เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง เวกเตอร์

คณิตศาสตรเพม่ิ เติม 3 (ค32201) เวกเตอร -1 1 ตวั อยางที่ 31 ให u = 0 และ v = 3 จงหา u × v 34 i jk วิธที ำ u × v = -1 0 3 1 34 0 3 -1 3 -1 0 = 3 4i- 1 4 j+ 1 3k = (0(4) - 3(3))i - ((-1)(4) - 3(1)) j + ((-1)(3) - 0(1))k = (0 - 9)i - (-(4) - 3) j + (-3 - 0)k = - 9i + 7j - 3k ตวั อยางที่ 32 จงหา u × v เม่อื กำหนด u = 2i - 3j และ v = i - 5j i jk วิธีทำ u × v = 2 -3 0 1 -5 0 -3 0 2 0 2 -3 = -5 0 i - 1 0 j + 1 -5 k = ((-3)(0) - 0(-5))i - (2(0) - 0(1)) j + (2(-5) - (-3)(1))k = -7k ตวั อยางท่ี 33 จงหาเวกเตอร i × j i jk วธิ ที ำ i × j = 1 0 0 010 00 10 10 = 1 0i- 0 0j+ 0 1k = (0(0) - 0(1))i - (1(0) - 0(0)) j + (1(1) - 0(0))k = k ช้ันมธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 50 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพ่ิมเติม 3 (ค32201) เวกเตอร ทฤษฎบี ท 11 กำหนด u, v และ w เปนเวกเตอรในระบบพิกดั ฉากสามมิติ และ α เปนจำนวนจรงิ ใดๆ 1. u × v = -(v × u) 2. (u + v) × w = (u × w) + (v × w) 3. u × (αv) = α(u × v) 4. u × (v + w) = (u × v) + (u × w) 5. u × u = 0 6. i × j = k 7. j × k = i 8. k × i = j 9. u⋅(v × w) = (u × v)⋅w 10. (u - v) × (u + v) = (2u) × v ตัวอยางท่ี 34 จงหา (i + j + 2k) × (2i - j - 3k) 2(i × i) - (i × j) - 3(i × k) + 2( j × i) - ( j × j) วิธีทำ (i + j + 2k) × (2i - j - 3k) = - 3( j × k) + 4(k × i) - 2(k × j) - 6(k × k) 2(0) - k + 3j - 2k - 1(0) - 3i + 4 j + 2i - 6(0) = = -i + 7j - 3k ตวั อยางท่ี 35 กำหนด u = 2i - j และ v = 2i + j + k) จงหาคาของ sinθ เม่ือ θ เปนขนาดของมุม ระหวาง u และ v i jk วิธที ำ u × v = 2 -1 0 211 -1 0 2 0 2 -1 = 1 1i- 2 1j+ 2 1k = ((-1)(1) - 0(1))i - (2(1) - 0(2)) j + (2(1) - (-1)(2))k = -i - 2j + 4k u×v = (-1)2 + (-2)2 + 42 = 1 + 4 + 16 = 21 u= 22 + (-1)2 + 02 = 4 + 1 + 0 = 5 v= 22 + 12 + 12 = 4 + 1 + 1 = 6 เนอื่ งจาก u ≠ 0, v ≠ 0 และ u ×v = u v sinθ จะไดวา sinθ = u×v uv ดังนัน้ sinθ = 21 = 21 = 7 = 70 56 30 10 10 ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 5 หนา 51 ครคู เณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพิม่ เตมิ 3 (ค32201) เวกเตอร แบบฝกหัดที่ 7 เร่ือง ผลคูณเชิงเวกเตอร 1. จงหา u × v และ v × u จากเวกเตอรทก่ี ำหนดให 10 2) u = 1 , v = 1 21 1) u = 0 , v = 2 -1 0 3 -1 3) u = 2i + 7j , v = 5i + 4 j - 3k 4) u = 5i - 3j + 4k , v = j - k 2. กำหนดให A(1, 2, 3), B(2, 3, 1) และ C(2, 4, 2) ถา θ เปนมมุ ระหวาง AB กับ AC แลว จงหาคา sinθ ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 52 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพมิ่ เติม 3 (ค32201) เวกเตอร 3. จงพจิ ารณาวาการนำเวกเตอรมาคณู กนั ดังตอไปนี้มคี วามหมายหรือไม เพราะเหตุใด ถามคี วามหมาย จะมผี ลลพั ธเปนปริมาณเวกเตอรหรอื สเกลาร 1) (u⋅v)⋅r ..................................... 2) (u⋅v)r ..................................... 3) (u × v) × r ..................................... 4) (u⋅v) × r ..................................... 5) u⋅(v × r) ..................................... 6) (u⋅v) × (w⋅v) ..................................... 4. กำหนดเวกเตอร u = ai + 2j + bk เม่ือ a และ b เปนจำนวนจริง ถา u × j = 2 แลว u 2 เทากับเทาใด [PAT 1 (เม.ย.57)/26] 5. ให u = ai + b j + 2k และ v = 2ai - 3bj โดยที่ a, b เปนจำนวนเต็มบวก และ θ คอื มุมระหวาง u และ v ถา u =3 และ cosθ = 1 แลว u×v มีคาเทากับเทาใด [A-NET 50/1-10] 3 ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 53 ครูคเณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพิ่มเติม 3 (ค32201) เวกเตอร การใชเวกเตอรในการหาพน้ื ทขี่ องรปู สเ่ี หลี่ยมดานขนาน จากรปู ที่ 20 กำหนด θ เปนมมุ ระหวาง u และ v และ v sinθ คอื สวนสูงของรูปส่ีเหลี่ยมดานขนาน ดงั นั้น u × v = u v sinθ เปนพ้นื ทข่ี องรปู สเี่ หลีย่ มดานขนานท่ีมี ดานไมขนานกนั ยาว u และ v หนวย รปู ที่ 20 และจาก u × v คอื พ้ืนทข่ี องรปู ส่ีเหลีย่ มดานขนาน ดงั นัน้ จะไดวาพืน้ ท่ีของรปู สามเหลี่ยม คอื 1 u × v 2 ตัวอยางที่ 36 จงหาพ้นื ที่ของรูปสามเหลย่ี มทม่ี จี ดุ ยอดที่ A(1, -1, 3), B(2, 3, -2) และ C(1, 1, 5) วิธีทำ พื้นที่ของรูปสามเหล่ยี ม ABC เทากับ 1 AB × AC 2 2-1 1 เน่อื งจาก AB = 3 - (-1) = 4 = i + 4 j - 5k -2 - 3 -5 1-1 0 และ AC = 1 - (-1) = 2 = 2j + 2k 5-3 2 AB × AC = i jk 1 4 -5 02 2 4 -5 1 -5 1 4 = 2 2 i- 0 2 j+ 0 2k = (4(2) - (-5)(2))i - (1(2) - (-5)(0)) j + (1(2) - 4(0))k = 18i - 2j + 2k จะได AB × AC = 182 + (-2)2 + 22 = 324 + 4 + 4 = 332 = 2 83 ดังน้ัน รูปสามเหลี่ยม ABC มีพื้นที่ 1 (2 83 ) = 83 ตารางหนวย 2 ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 54 ครคู เณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพ่มิ เตมิ 3 (ค32201) เวกเตอร ตัวอยางท่ี 37 จงหาพ้นื ท่ีของรปู สี่เหลี่ยมดานขนาน ABCD เม่ือ AB = i + 3j + 4k , AD = 3i - 2j + k วธิ ีทำ พน้ื ทข่ี องรปู สเ่ี หลีย่ มดานขนาน ABCD เทากบั AB × AD AB × AD = i jk 134 3 -2 1 3 4 14 1 3 = -2 1 i - 3 1 j + 3 -2 k = (3(1) - 4(-2))i - (1(1) - 4(3)) j + (1(-2) - 3(3))k = 11i + 11j - 11k จะได AB × AD = 112 + 112 + (-11)2 = 121+ 121+ 121 = 11 3 ดงั นนั้ รปู สเ่ี หล่ียมดานขนาน ABCD มีพืน้ ที่ 11 3 ตารางหนวย การใชเวกเตอรในการหาปรมิ าตรของทรงสเ่ี หล่ยี มดานขนาน รูปที่ 21 จากรูปที่ 21 กำหนดทรงส่เี หลี่ยมดานขนานซ่ึงมี u, v และ r เปนดาน ถา h เปนความยาวของเสนตั้งฉากท่ลี ากจากจุดสน้ิ สดุ ของ u มายังระนาบท่ีกำหนดดวย v และ r θ เปนมุมระหวาง u และ v × r จะไดวา h = u cosθ ดังนน้ั ปริมาตรของส่ีเหล่ยี มดานขนานทรงตัน เทากับ u cosθ v × r = u v × r cosθ = u⋅(v × r) ชัน้ มธั ยมศึกษาปที่ 5 หนา 55 ครคู เณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพ่ิมเตมิ 3 (ค32201) เวกเตอร ตัวอยางท่ี 38 จงหาปริมาตรของทรงสเ่ี หลย่ี มดานขนาน ABCDEFGH โดยที่ AB = u = i + j , AD = v = j + k และ AF = w = i + k วิธที ำ เนอื่ งจากปริมาตรของทรงสเี่ หล่ยี มดานขนานเทากับ u⋅(v × r) v×w = i jk 011 101 11 01 01 = 0 1i- 1 1j+ 1 0k = (1(1) - 1(0))i - (0(1) - 1(1)) j + (0(0) - 1(1))k = i+j-k u⋅(v × w) = (i + j)⋅(i + j - k) = 1(1) + 1(1) + 0(-1) = 2 = 2 ดังนนั้ รูปส่เี หลยี่ มดานขนาน ABCD มีพ้ืนที่ 11 3 ตารางหนวย ทฤษฎบี ท 12 u, v และ w เปนเวกเตอรในระบบพิกัดฉากสามมิติ u, v และ w อยบู นระนาบเดียวกนั ก็ตอเมอ่ื u⋅(v × w) = 0 ตัวอยางท่ี 39 จงตรวจสอบวา u = i + j + k, v = 2i + j + 2k, r = 3i + 4 j + 3k อยบู นระนาบเดยี วกันหรอื ไม 1 23 วธิ ีทำ u⋅(v × w) = 1 ⋅ 1 × 4 1 23 1 -5 = 1⋅ 0 15 = (1)(-5) + (1)(0) + (1)(5) = 0 ดังน้ัน u = i + j + k, v = 2i + j + 2k และ r = 3 i + 4 j + 3k อยบู นระนาบเดียวกนั ช้นั มัธยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 56 ครคู เณศ สมตระกูล

คณิตศาสตรเพม่ิ เติม 3 (ค32201) เวกเตอร แบบฝกหดั ท่ี 8 เรื่อง การใชเวกเตอรในการหาพื้นท่ขี องรปู ส่ีเหลี่ยมดานขนานและ การหาปริมาตรของทรงส่ีเหลี่ยมดานขนาน 1. จงหาพ้นื ท่ีของรปู ส่ีเหล่ียมดานขนาน PQRS เม่ือ PO = 3i - 2j และ PS = 3j + 4k 2. จงหาพ้ืนท่ีของรูปสีเ่ หลี่ยมท่มี ีจดุ ยอดเปน A(0, 2, 2), B(8, 8, -2) และ C(9, 12, 6) 3. จงหาปรมิ าตรของทรงส่ีเหลย่ี มดานขนาน ที่มี u และ v × r ดังน้ี 1) u = i + k, v = i + j, r = j + k ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 5 หนา 57 ครูคเณศ สมตระกลู

คณติ ศาสตรเพิ่มเตมิ 3 (ค32201) เวกเตอร 2) u = 2i + 3j - 4k, v = i - j + k, r = i + j + 2k 4. เวกเตอรในขอใดตอไปน้ี อยบู นระนาบเดียวกนั 2 -3 0 1) 0 , 1 และ 1 2) i - j + k, i + j - k และ -i + j + k 6 -1 8 12 3 5. ถารปู ทรงส่เี หลยี่ มดานขนานท่เี กดิ จาก -1 , x และ 2 2 -1 -1 ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 5 หนา 58 ครคู เณศ สมตระกลู

คณิตศาสตรเพิ่มเติม 3 (ค32201) เวกเตอร 6. กำหนดให u, v และ w เปนเวกเตอรใดๆ ในสามมิติ ขอใดตอไปนี้ถูกตองบาง [PAT 1 (ม.ี ค.57)/13] 1) u⋅(v × w) = w⋅(u × v) 2) ถา u = w , u-v = v-w และเวกเตอร u ตัง้ ฉากกับเวกเตอร v แลวเวกเตอร v ตง้ั ฉากกับเวกเตอร w 7. กำหนดให u = i + 3k, v = 2j + xk, w = -3i + j - k เมอ่ื x เปนจำนวนจรงิ ถา u, v และ w อยบู นระนาบเดียวกัน แลว x มคี าเทากับเทาใด [A-NET 49 /1-13] ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 5 หนา 59 ครูคเณศ สมตระกลู