Κεφάλαιο 1 Όριο - Συνέχεια Συνάρτησης
Κεφάλαιο 1 Όριο – Συνέχεια Συνάρτησης 11.1 Συναρτήσεις Α. Η έννοια της πραγματικής συνάρτησης Β. Πεδίο ορισμού συνάρτησης Γ. Τιμή συνάρτησης – Σύνολο τιμών συνάρτησης Δ. Γραφική παράσταση συνάρτησης Ε. Άρτιες – Περιττές συναρτήσεις ΣΤ. Ισότητα συναρτήσεων – Πράξεις με συναρτήσεις Ζ. Κατασκευή συνάρτησης Η. Σύνθεση συναρτήσεων Θ. Συναρτησιακές σχέσεις – Εύρεση συνάρτησης Ι. Ερωτήσεις αξιολόγησης - Διαγωνίσματα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Βασιλειάδης Χρήστος Διδάκτωρ Μαθηματικός Α.Π.Θ. Υποψήφιος Διδάκτορας του τμήματος Εφαρμοσμένης Πληροφορικής του Πανεπιστημίου ΜακεδονίαςΜαθηματικός
2 1.1 Συναρτήσεις – Α. Η έννοια της πραγματικής συνάρτησηςΑ Η έννοια της συνάρτησηςΗ έννοια της πραγματικής συνάρτησηςΜεταξύ δύο μη κενών συνόλων μπορούν να υπάρξουν διάφοροι κανόνες αντιστοίχισης τωνστοιχείων τους. Οι κανόνες αυτοί ονομάζονται διμελείς σχέσεις ή απλά σχέσεις.Μια τέτοια σχέση είναι και η συνάρτηση ή αλλιώς μονοσήμαντη απεικόνιση.Μονοσήμαντη σημαίνει ότι σε κάθε στοιχείο του πρώτου συνόλου Α ντιστοιχεί ένα μόνο στοιχείοτου δεύτερου συνόλου Β.1. Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση* με πεδίο ορισμού ένα μη κενό υποσύνολο Α του ;Έστω Α ένα υποσύνολο του . Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μιαδιαδικασία (κανόνα) f , με την οποία κάθε στοιχείο x A αντιστοιχίζεται σε έναν μόνοπραγματικό αριθμό y . Το y ονομάζεται τιμή της f στο x και συμβολίζεται με f (x) .• Για να εκφράσουμε συμβολικά την παραπάνω διαδικασία γράφουμε:f :Α→ f ή x→y = f (x) ή y = f (x)• Η συμβολική αναπαράσταση του ορισμού της πραγματικής συνάρτησης είναι: Για κάθε x1, x2 Α ισχύει: f (x1 ) f (x2 ) τότε x1 x2 ή ισοδύναμα Για κάθε x1, x2 Α ισχύει: x1 = x2 τότε f (x1 ) = f (x2 )• Το γράμμα x, που παριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο του πεδίου ορισμού Α, λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή. Το γράμμα y, που παριστάνει την τιμή της f στο x, λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή.• Το y = f (x) το λέμε τύπο της συνάρτησης ή εικόνα του x ή τιμή της f στο x.• Αν f (x1 ),f (x2 )Df και f (x1 ) = f (x2 ) , τότε f (f (x1 )) = f (f (x2 ))• Το πεδίο ορισμού Α μιας συνάρτησης f συμβολίζεται συνήθως με Df• Το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f για όλα τα x Α λέγεται σύνολο τιμών της f και συμβολίζεται με f (Α) . Είναι, δηλαδή:*Ο όρος συνάρτηση (function) επινοήθηκε αρχικά από τον Wilhelm Leibniz to 1694. Στα μέσα του 18ου αιώνα, ο Ελβετόςμαθηματικός Leonard Euler τελειοποίησε την ιδέα χρησιμοποιώντας γράμματα, όπως f, g, h κ.τ.λ., προκειμένου νασυμβολίσει παραστάσεις οι οποίες περιείχαν μια μεταβλητή x και κάποιες σταθερές. Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Βασιλειάδης Χρήστος Διδάκτωρ Μαθηματικός Α.Π.Θ. Υποψήφιος Διδάκτορας του τμήματος Εφαρμοσμένης Πληροφορικής του Πανεπιστημίου Μακεδονίας Μαθηματικός
Κεφάλαιο 1 Όριο – Συνέχεια Συνάρτησης 5β. Με άδεια θέση στη θέση της μεταβλητής Για παράδειγμα, η συνάρτηση f (x) = 2x2 + 3x +1 θα μπορούσε να έχει στη σκέψη μας τη μορφή: f ( ) = 2( )2 + 3( ) +1 Τη θέση της μεταβλητής, δηλαδή, την έχουμε αφήσει κενή. Έτσι, για να υπολογίσουμε: • την τιμή f (-1) , απλώς τοποθετούμε το − 1 στις κενές θέσεις, οπότε: f (−1) = 2(−1)2 + 3(−1) +1 = 2 − 3+1 = 0 • την τιμή f (−x) , απλώς τοποθετούμε το -x στις κενές θέσεις, οπότε: f (−x) = 2(−x)2 + 3(−x) +1 = 2x2 −3x +1 • την τιμή f (x + y) , απλώς τοποθετούμε το x+y στις κενές θέσεις, οπότε: ( )f (x + y) = 2(x + y)2 + 3(x + y) +1 = 2 x2 + 2xy + y2 + 3x + 3y +1 = 2x2 + 4xy + 2y2 + 3x + 3y +1 Συναρτήσεις που ορίζονται με δύο ή περισσότερους τύπουςΘεωρούμε τη συνάρτηση f (x) = 2x2 + 3x +1 για την οποία ισχύουν: • κάθε αρνητικός αριθμός αντιστοιχεί στο τετράγωνό του • κάθε μη αρνητικός αριθμός αντιστοιχεί στο διπλάσιό τουΕίναι φανερό ότι δεν μπορούμε να εκφράσουμε την παρακάτω διαδικασία μέσω ενός τύπου μόνο,αφού έχουμε άλλο κανόνα για τους αρνητικούς και άλλο για τους θετικούς αριθμούς και το μηδέν.Συγκεκριμένα: • f (x) = x2 , για x 0• f (x) = 2x , για x 0Συνοπτικά, γράφουμε: f ( x ) = x2, x0 2x, x0Η παραπάνω συνάρτηση καλείται δίκλαδη (ή κλαδωτή συνάρτηση) και το σημείο x0 = 0 είναι τοσημείο αλλαγής του τύπου της συνάρτησης, αφού εκατέρωθεν του x0 = 0 έχουμε διαφορετικό τύπογια τη συνάρτηση f . Ανάλογα μπορεί να έχουμε συναρτήσεις που ορίζονται από τρεις ήπερισσότερους κλάδους. Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Βασιλειάδης Χρήστος Διδάκτωρ Μαθηματικός Α.Π.Θ. Υποψήφιος Διδάκτορας του τμήματος Εφαρμοσμένης Πληροφορικής του Πανεπιστημίου ΜακεδονίαςΜαθηματικός
Κεφάλαιο 1 Όριο – Συνέχεια Συνάρτησης 9 Μεθοδολογία 2 Ασκήσεις στις οποίες ζητείται να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησηςΌταν γνωρίζουμε μόνο τον τύπο μιας συνάρτησης f, τότε το πεδίο ορισμού της είναι τοευρύτερο υποσύνολο του στο οποίο ο τύπος y = f (x) έχει νόημα πραγματικού αριθμού. Θαβρούμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f θέτοντας κατάλληλους περιορισμούς, σύμφωνα μετον επόμενο πίνακα. Συνάρτηση f Περιορισμός f ( x ) = h ( x ) g(x) 0 g ( x ) f (x) = v g(x), v *,v 2 g(x) 0 f (x) = n (g(x)) ή f (x) = οg(g(x)) g(x) 0 f (x) = logg(x) h (x) h (x) 0, g(x) 0 και g(x) 1 f (x) = εφ(g(x)) g(x) κπ + π , κ f (x) = σφ(g(x)) 2 g(x) κπ, κ f (x) = (g(x))κ(x) g (x) 0 και κ (x) g (x) = 0 και κ (x) 0 g (x) 0 και κ (x) ❖ Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις, οι συναρτήσεις ημx , συνx και αx (α > 0) έχουν πεδίο ορισμού το .Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: α. f (x) = x−1 ε. t(x) = 3x +1 + x2 −1 x2 −1 2x + 3 − 3 4 − 3x + 2 β. g (x) = x2 2 −x 2 − x2 x3 + 4 στ. k (x) = εφx − σφx − 3x + −x 2συνx −1 ημ3x − 2 ημx + 1 γ. h(x) = x3 + x2 −10x + 8 ζ. s ( x) = ex − 1 + 2x +4 ex − 4 e3x +1 δ. φ(x) = συνx + 1 x4 + 2 1− ημ2x συν3x 1 + 1 η. r (x) = 9ημx + 3ημx − 90 − ex −1 −1 x3Λύση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Βασιλειάδης Χρήστος Διδάκτωρ Μαθηματικός Α.Π.Θ. Υποψήφιος Διδάκτορας του τμήματος Εφαρμοσμένης Πληροφορικής του Πανεπιστημίου ΜακεδονίαςΜαθηματικός
12 1.1 Συναρτήσεις – B. Πεδίο ορισμού συνάρτησης • e x −1 −1 0 e x −1 1 e x −1 e0 x −1 0 x 1 x 1 και x −1 Άρα το πεδίο ορισμού της r είναι: Dr = −−1, 1 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Βασιλειάδης Χρήστος Διδάκτωρ Μαθηματικός Α.Π.Θ. Υποψήφιος Διδάκτορας του τμήματος Εφαρμοσμένης Πληροφορικής του Πανεπιστημίου Μακεδονίας Μαθηματικός
Κεφάλαιο 1 Όριο – Συνέχεια Συνάρτησης 13 Λυμένες ασκήσειoςj- Γενικά θέματα1. Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε να είναι συνάρτηση η σχέση: f (x) = x - 6, x 2λ2 - 4λ + 7 2x + 4, x λ2 + 2λ -1Για την ακέραια τιμή του λ που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα να υπολογίσετε τηνπαράσταση: Α = f (12) - 2f (13) + f (14)ΛύσηΓια να έχει η f νόημα συνάρτησης πρέπει οι δύο τύποι της σχέσης να μην ορίζονται σε κοινόδιάστημα διότι θα υπήρχει ο κίνδυνος για δύο ίδιες τιμές του x να αντιστοιχούν δύοδιαφορετικές τιμές της f.Πρέπει: 2λ2 − 4λ + 7 λ2 + 2λ −1 λ2 − 6λ + 8 0 2 λ 4Επειδή λ και λ 2, 4 βρίσκουμε ότι λ = 2 ή λ = 3 ή λ = 4• Για λ = 2 ο τύπος της f γράφεται: f ( x ) = x − 6, x7 2x + 4, x7 Για x = 7 ο πρώτος τύπος δίνει f (7) = 1 και ο δεύτερος τύπος f (7) = 18 . Άρα η τιμή λ = 2 απορρίπεται.• Για λ = 3 ο τύπος της f γράφεται: f ( x ) = x − 6, x 13 2x + 4, x 14 Η τιμή λ = 3είναι δεκτή διότι δεν υπάρχει κοινή τιμή του x και στους δύο τύπους.• Για λ = 4 ο τύπος της f γράφεται: f ( x ) = x − 6, x 23 2x + 4, x 19 Για x = 20 ο πρώτος τύπος δίνει f (20) = 14 και ο δεύτερος τύπος f (20) = 44 . Άρα η τιμή λ = 4 απορρίπεται.Για λ = 3 ο τύπος της f είναι: f ( x ) = x − 6, x 13 2x + 4, x 14Τότε: f (12) =12 − 6 = 6 , f (13) =13 − 6 = 7 και f (14) = 214 + 4 = 32Άρα: A = 6 − 27 + 32 = 24 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Βασιλειάδης Χρήστος Διδάκτωρ Μαθηματικός Α.Π.Θ. Υποψήφιος Διδάκτορας του τμήματος Εφαρμοσμένης Πληροφορικής του Πανεπιστημίου ΜακεδονίαςΜαθηματικός
14 1.1 Συναρτήσεις – B. Πεδίο ορισμού συνάρτησης2. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων:α. f (x) = 2 − x − x2 − 4x + 3 η. r (x) = n (1 + nx) − 3 - exβ. g (x) = x2 + 9 + 2 1− n(e −ex ) 4x − x2 θ. c(x) = n ex x 1 − γ. h(x) = (n x3 - 3x + 2) - 3 n(2ημx + 3)δ. φ(x) = x+1 ι. m(x) = nx x−1 1 + nxε. t(x) = n x2 +x- 6 ( )ια. n(x) = 3 n(2ημ3x + 5) − 2 n x2 +1 + x x-1 ιβ. p(x) = n(1 − ημx)στ. k (x) = n(x2 + 4x + 4) n(x2 +1) 3 − x3 +1 ( )ιγ. q(x) = logx x2 − 2x − 3ζ. s(x) = 3 − 2 − x (− ln x2 − 5) 16 − x2 1+ x−4 +2Λύσηα. Για να ορίζεται η συνάρτηση f (x) = 2 − x − x2 − 4x + 3 πρέπει: • 2−x0x2 • x2 − 4x + 3 0 x 1 ή x 3 x − 1 3 +x2 − 4x + 3 + -+Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι: 12 3 Df = (−,1β. Για να ορίζεται η συνάρτησηg (x) = x2 + 9 + 2 πρέπει: 4x − x2• x2 + 9 0 x2 −9 , που ισχύει για κάθε x • 4x − x2 0 (1)• 4x − x2 0 4x − x2 0 (2)Από (1) και (2) πρέπει 4x − x2 0 x (4 − x) 0 0 x 4Άρα το πεδίο ορισμού της g είναι: Dg = (0, 4) Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Βασιλειάδης Χρήστος Διδάκτωρ Μαθηματικός Α.Π.Θ. Υποψήφιος Διδάκτορας του τμήματος Εφαρμοσμένης Πληροφορικής του Πανεπιστημίου ΜακεδονίαςΜαθηματικός
20 1.1 Συναρτήσεις – B. Πεδίο ορισμού συνάρτησηςγ. Ο τύπος της f γράφεται: f (x) = x −3 = 1 x3 Πρέπει επομένως x 0 . Άρα Df = *δ. Ο τύπος της f γράφεται: f ( x ) = x− 1 = 1 = 1 4 4x 1 x4Πρέπει επομένως x 0 . Άρα Df = (0, + )5. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f με τύπο: f ( x ) = 1 − 3 x x ΛύσηΗ συνάρτηση f με τύπο f (x) = g (x)h(x) αποτελείται από τους x για τους οποίους: • g (x) 0 και h (x) • g (x) = 0 και h (x) 0 • g (x) 0 και h (x)Το πεδίο ορισμού της f αποτελείται από τους x για τους οποίους:• 1 − 3 0 1 − 3 0 x−3 0 x (x − 3) 0 x 0 ή x3 x x x x • 1 − 3 = 0 x − 3 = 0 x − 3= 0 x = 3 x x 0 x 0 x x 0• 1 − 3 0 x −3 0 x (x − 3) 0 0 x 3 x 1, 2 x x x x x x Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι: Df = (− ,0) 1, 23, + )Ένα κλασικό λάθος που συναντάμε συχνά στην ελληνική βιβλιογραφία, είναι ότι η συνάρτησηf με τύπο f (x) = g (x)h(x) αποτελείται από τους x για τους οποίους ισχύει g(x) 0 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Βασιλειάδης Χρήστος Διδάκτωρ Μαθηματικός Α.Π.Θ. Υποψήφιος Διδάκτορας του τμήματος Εφαρμοσμένης Πληροφορικής του Πανεπιστημίου ΜακεδονίαςΜαθηματικός
24 1.1 Συναρτήσεις – B. Πεδίο ορισμού συνάρτησης6. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: η. f (x) = 4− x2 x −1 α. f (x) = ( )n 1− e−xβ. f (x) = 2x − 3 θ. f (x) = x2 2x −1 3 + 2x − 3− x +1γ. f (x) = 1 ι. f (x) = x −3 x2 + 4 n( nx)δ. f (x) = ex ια. f (x) = 7−x 2x -1 − 5 n(x − 2)( )ε. f (x) = n x + x2 +1 ιβ. f (x) = n(x + 5)στ. f (x) x +1 2−x x2 + x −6 = x2 − 2x( )ζ. f (x) = n 4x2 +1 − 2x ιγ. f (x) = n (x −1) ιδ. f (x) = n (x2 +1) 2ημx-17. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: x 1 2 ( )α. f (x) = n 6 − 6 − x − x2 η. f (x) = εφ nx (x) n2 x − n xβ. f = x3 − 2x2 − 5x + 6 ( )θ. f (x) = 9 − x2 x −1 9− x 1 x 2x − 4x x γ. f (x) = x ι. f ( x ) = x −δ. f (x) = n (2πx − x2 ) − εφx ια. f (x) = 4 −x + 1 x +3 n 1 x 1 n (x +1) −1 3 9 − ιβ. f (x) 2x − n x x2 − 2x + αε. f (x) = = ex −1 ημx + 2x x20 + x6 +στ. f (x) = (ημx) nx ιγ. f (x) = 5ζ. f (x) = x2 + 4 + n ( x +1) ιδ. f (x) = 1− x x −3 x2 − x +18. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων:α. f (x) = 81 − 1 x ε. f (x) = x − x − 2 3 στ. f (x) 4− x2( )β. f (x) = n 4x − 2x −12 = (x −1) x +1γ. f (x) = 5 x2 + x − 2 ζ. f (x) = 3 2x − 4 x+3δ. f ( x ) (3 x )− 1 = − 8 η. f (x) = n(x2 + x −2)+ n x +3 3 −x Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Βασιλειάδης Χρήστος Διδάκτωρ Μαθηματικός Α.Π.Θ. Υποψήφιος Διδάκτορας του τμήματος Εφαρμοσμένης Πληροφορικής του Πανεπιστημίου ΜακεδονίαςΜαθηματικός
Κεφάλαιο 1 Όριο – Συνέχεια Συνάρτησης 27 Γ Τιμή συνάρτησης- Σύνολο τιμών Τιμή συνάρτησης Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Βασιλειάδης Χρήστος Διδάκτωρ Μαθηματικός Α.Π.Θ. Υποψήφιος Διδάκτορας του τμήματος Εφαρμοσμένης Πληροφορικής του Πανεπιστημίου ΜακεδονίαςΜαθηματικός
Search
Read the Text Version
- 1 - 11
Pages: