หน่วยที่1ปริมาณเวกเตอร์

ปริมาณเวกเตอร์ 12/05/63

ใบความรู้ เร่ืองปริมาณเวกเตอร์ ปริมาณเวกเตอร์ จะตอ้ งมีขนาดและทิศทางเป็ นส่วนประกอบเพอื่ ทาใหเ้ กิดความเขา้ ใจในปริมาณน้นั ชดั เจน เช่น รถยนตว์ ง่ิ ไปทาง เหนือ 200 เมตร ออกแรง 50 นิวตนั ทามุม 30 องศา ดนั วตั ถุทว่ี างบนพน้ื ราบ  การเขยี นปริมาณเวกเตอร์ จะเขียนโดยการใชห้ วั ลูกศรอยบู่ นสญั ลกั ษณ์ที่แทนปริมาณเวกเตอร์น้นั A เช่น อ่านวา่ เวกเตอร์ A ในการเขียนอธิบายปริมาณเวกเตอร์แบง่ ออกเป็น 2 แบบ คอื 1. การเขยี นบรรยาย เป็นการเขียนอธิบายโดยใชค้ าอธิบายขยายความหมายของปริมาณเวกเตอร์ ท้งั ขนาดและทิศทาง 2. การเขยี นแบบใชล้ ูกศร เป็ นการนาเวกเตอร์มาต่อโดยนาหางมาต่อหวั ของเวกเตอร์ไปเรื่อยๆ การหาขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ของการบวกเวกเตอร์ สามารถทาได้ 2 แบบ ดงั น้ี  1.การบวกโดยการวาดรูป คอื เอาหางของเวกเตอร์มาตอ่ หวั ของเวกเตอร์ตวั เรียงต่อกนั ไปเรื่อยๆ เช่น A  จงหา  B จากการวาดรูป  AB  B    A A B  2.การบวกโดยการคานวณ R 2.1การบวกเวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ - กรณีเวกเตอร์มีทิศทางเดียวกนั  A  B   R  AB R= A+B เอาขนาดของเวกเตอร์มาบวกกนั

- กรณีเวกเตอร์ตรงขา้ มกนั   A A R  B B   เอาขนาดของเวกเตอร์มาลบกนั R  AB R= A-B - กรณีเวกเตอร์ทามุม 90๐   B R   A B  A   ใชท้ ฤษฎีไพทาโกรัส R  AB R= -กรณีเวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ทามุมกนั   จะหาผลลพั ธโ์ ดยการคานวณจากสูตร ซ่ึงท่ีมาของสูตรจะมาจากการบวกโดยการวาดรูปโดยกาหนด ขนาดของเวกเตอร์ท้งั สองและมุมระหวา่ งเวกเตอร์ ขนาดของเวกเตอร์ a  a  ขนาดของเวกเตอร์ b  b  b มุมระหวา่ งเวกเตอร์ a กบั คอื   เมื่อนาเวกเตอร์ท้งั 2 มาบวกกนั โดยการวาดรูปจะได้ a

 b αθ a การคานวณหาค่าเวกเตอร์ลพั ธ์ R จะอาศยั สร้างใหเ้ ป็ นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากข้ึนโดยลากเพม่ิ เตมิ บางส่วน ข้ึนคือ X และ Y  b y  bsin αθ a x  b2  x2  y2 b y  bsin y θ x sin   y b จากทฤษฎีของไพทาโกรัส จะได้ R2  a  x2  y2 R2  a2  2ax  x2  y 2 R2  a2  2ax  b2 R2  a2  b2  2ab cos R  a2  b2  2ab cos

หาทศิ ทาง จากตรีโกณมิติ tan  y ax tan  b sin a  b cos tan  a b sin  b cos นอกจากน้ีเรายงั นามาใชก้ บั การลบเวกเตอร์ได้ เพราะการลบเวกเตอร์กค็ อื การบวกดว้ ยเวกเตอร์ลบ   เม่ือเวกเตอร์ b ทามุมกบั a มีคา่  เวกเตอร์ - b จะทามุมกบั เวกเตอร์ a เทา่ กบั 180  เพราะ   b กบั - b ทศิ ทางตรงขา้ มกนั เม่ือแทนคา่  ดว้ ย 180 - คา่ ของ cos 180  = - cos ค่าของ sin 180    sin หาขนาดเวกเตอร์ลพั ธไ์ ดจ้ ากสูตร  /a    = a2  b2  2ab cos R b หาทิศทางไดจ้ ากสูตร tan  =  bsin a  b cos 2.2 การบวกเวกเตอร์โดยการหาผลบวกขององคป์ ระกอบเวกเตอร์ ในกรณีทีม่ ีเวกเตอร์มากกวา่ 2 เวกเตอร์ข้ึนไปการคานวณหาเวกเตอร์ลพั ธจ์ ะใชว้ ธิ ีการหาองคป์ ระกอบในแนวแกน x และ y ของเวกเตอร์ แตล่ ะตวั จากน้นั นาองคป์ ระกอบในแนวแกน x และ y ของแตล่ ะเวกเตอร์มารวมกนั ซ่ึงจะรวมกนั ได้ เหมือนกบั การบวกตวั เลข เพราะมีทศิ ทางแนวเดียวกนั จะได้ ผลบวกเวกเตอร์ทางแกน x, Rx = ax  bx  cx  ... ผลบวกเวกเตอร์ทางแกน y, Rx = ay  by  cy  ... หาผลบวกของเวกเตอร์ลพั ธ์ จาก หาผลบวกของเวกเตอร์ลพั ธ์ จาก

 Rx2  Ry 2 R

 ในกรณีที่เวกเตอร์ทามุมกบั แนวด่ิง (แกน y) cos ������ ������������ y ������������ ������ ���⃑⃑��� x sin ������ ������ cos ������ α ������������ ������������ ������������ ������ ������ sin ������ สรุปได้ว่า การหาองคป์ ระกอบของเวกเตอร์โดยใชต้ รีโกณมิติ “ถา้ เวกเตอร์ทามุมกบั แกนใด องคป์ ระกอบทางแกนน้นั จะเป็นผลคูณของเวกเตอร์กบั คา่ cosine ของมุมน้นั ส่วนอีกแกนจะเป็ นผลคูณของเวกเตอร์กบั ค่า sine ของมุมน้นั ” y X ⃑

การหาผลรวมของเวกเตอร์ 1. การบวกเวกเตอร์โดยการวาดรูป การบวกและลบเวกเตอร์โดยการวาดรูปจะใชล้ ูกศรแทนปริมาณเวกเตอร์ แตล่ ะเวกเตอร์จะใช้ สเกลเดียวกนั จากน้นั นาเวกเตอร์ท่โี จทยก์ าหนดมาบวกกนั โดยเอาหางของเวกเตอร์ที่ 2 ไปต่อกบั หวั เวกเตอร์แรก และเรียงกนั ไป ผลลพั ธข์ องการบวกจะเป็นเวกเตอร์ที่ลากจากหางเวกเตอร์แรกไปยงั หวั เวกเตอร์ตวั สุดทา้ ย เรียกวา่ เวกเตอร์ลพั ธ์ ของขนาดและทศิ ทางจะไดจ้ ากการวดั ตวั อยา่ งเช่น จากเวกเตอร์ท่ีกาหนดให้ จงหาการบวกของเวกเตอร์ท้งั หมด ⃑ มีขนาด 4 เมตร ทามุม 0 องศา ⃑⃑ มีขนาด 8 เมตร ทามุม 45 องศา ⃑ มีขนาด 12 เมตร ทามุม 120 องศา ⃑ มีขนาด 8 เมตร ทามุม 200 องศา 200° ⃑ ���⃑��� 120° ���⃑⃑��� 45° ���⃑��� ∴ จากรูปผลบวกของเวกเตอร์ท้งั หมดมีขนาดประมาณ 14 เมตร มีทิศทางทามุมประมาณ 105 องศา 2. การบวกเวกเตอร์โดยการคานวณ ในการคานวณหาขนาดของเวกเตอร์และทิศทางของเวกเตอร์ลพั ธ์ ซ่ึงเราจะแบง่ ลกั ษณะของการ คานวณออกเป็น 2 ลกั ษณะ คือ 2.1 การบวกเวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ กรณีเวกเตอร์มีทิศทางเดียวกนั ⃑⃑ ���⃑��� ���⃑⃑��� ���⃑��� ⃑⃑ ⃑ ⃑⃑ ���⃑⃑��� R a b เอาขนาดเวกเตอร์มาบวกกนั

กรณีเวกเตอร์มีทิศทางตรงกนั ขา้ ม ⃑⃑ ⃑ ⃑⃑ R a b เอาขนาดเวกเตอร์มาลบกนั กรณีเวกเตอร์ทามุมกนั 0° ���⃑⃑��� ���⃑⃑��� ���⃑⃑��� ���⃑��� ���⃑��� ⃑⃑ ⃑ ⃑⃑ R a2 b2 เอาขนาดเวกเตอร์มาลบกนั กรณีเวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ทามุมกนั ( ) จะหาผลลพั ธโ์ ดยการคานวณจากสูตร ซ่ึงทมี่ าของสูตรจะมาจากการบวกโดยการวาดรูปโดย กาหนดขนาดของเวกเตอร์ท้งั สองและมุมระหวา่ งเวกเตอร์ ขนาดของเวกเตอร์ ���⃑��� ������ ���⃑⃑��� ขนาดของเวกเตอร์ ���⃑⃑��� ������ ������ มุมระหวา่ งเวกเตอร์ ���⃑��� กบั ���⃑⃑��� คือ θ เม่ือนาเวกเตอร์ท้งั 2 มาบวกกนั ในการวาดรูปจะได้ ���⃑��� ������ ���⃑⃑��� ���⃑��� ������

การคานวณหาคา่ เวกเตอร์ลพั ธ์ ( ⃑⃑) จะอาศยั สร้างเป็ นรูปสามเหล่ียมมุมฉากข้นึ โดยลาก เพม่ิ เติมบางส่วนข้นึ คือ x และ y b2 2 2 R ������ sin ������ sin θ b y cos θ b b y b ������ ������ ������ x ax จากทฤษฎีของไพทาโกรัส จะได้ R2 (a )2 2 R2 a2 2a 22 R2 a2 2a b2 2 2 2 2 cos R a2 b 2 2ab cos θ หาทศิ ทาง จากตรีโกณมิติ an an θ b sin θ a b cos θ สรุปได้ว่า การคานวณผลบวกของเวกเตอร์ หาขนากของเวกเตอร์ลพั ธไ์ ดจ้ ากสูตร ∥ ���⃑⃑��� ∥ a2 b2 2ab cos θ ทิศทางไดจ้ ากสูตร an ������ θ θ

นอกจากน้ีเรายงั นามาใชก้ บั การลบเวกเตอร์ได้ เพราะการลบเวกเตอร์กค็ ือ การบวกดว้ ยเวกเตอร์ลบ ⃑a⃑ ⃑b⃑ ⃑a⃑ ( ⃑⃑) ���⃑⃑��� ���⃑��� ������ ������ ���⃑⃑��� ���⃑��� ���⃑⃑��� 0° ������ เม่ือเวกเตอร์ ⃑⃑ ทามุมกบั ⃑ มีคา่ เวกเตอร์ ⃑⃑ จะทามุมกบั เวกเตอร์ ⃑ เท่ากบั 0° ������ เพราะ ⃑⃑ กบั ⃑⃑ ทศิ ทางตรงขา้ มกนั เม่ือแทนคา่ ดว้ ย 0° ������ ค่าของ cos( 0° ) cos ค่าของ sin( 0° ) sin หาขนากของเวกเตอร์ลพั ธไ์ ดจ้ ากสูตร ∥ ���⃑⃑��� ∥ a2 b2 2ab cos θ ทศิ ทากงาไรดคจ้ าาคกวสณูตกรารบวกเวกเตอร์จะนาไปใชใ้ aนnเร���่ือ���งของการรวมแรงและการหาผθลθรวมและการหา ผลรวมของโมเมนตมั ตอ่ ไป ตวั อย่าง 4 ⃑ มีขนาด 50 เมตร ⃑⃑ มีขนาด 30 เมตร ทามุมกนั 60 องศา จงหาขนาดของเวกเตอร์ลพั ธ์ ก. เมื่อนาเวกเตอร์ท้งั สองมาบวกกนั ข. เม่ือนาเวกเตอร์ท้งั สองมาลบกนั วธิ ีทา ก. เมื่อนาเวกเตอร์ท้งั สองมาบวกกนั จากสูตร 2 2 2 cos 02 02 (2)( 0)( 0)(cos 0°) 2 00 000 000(0 ) 00 00

00 0 เมตร ∴ เวกเตอร์ลพั ธม์ ีขนาด 70 เมตร ข. เม่ือนาเวกเตอร์ท้งั สองมาลบกนั จากสูตร R √a2 b2 2ab cos 02 02 (2)( 0)( 0)(cos 0°) 2 00 000 000(0 ) 00 00 00 เมตร ∴ เวกเตอร์ลพั ธม์ ีขนาด 43.59 เมตร ตัวอย่าง 5 ชายคนหน่ึงขบั รถมุ่งหนา้ ไปทางทศิ เหมือ 12 กิโลเมตร จากน้นั ขบั รถมุ่งหนา้ ไปทางทสิ ตะวนั ออก 9 กิโลเมตร เขาอยหู่ ่างจากจดุ ต้งั ตน้ เท่าไหร่ วธิ ีทา ให้ ⃑ ขบั รถไปทางทิศเหนือ 12 กิโลเมตร ⃑⃑ ขบั รถมุ่งหนา้ ไปทางทศิ ตะวนั ออก 9 กิโลเมตร มีคา่ 90 องศา จากสูตร R a2 b2 2ab cos 22 2 (2)( )( )(cos 0°) (2)( 2)( )(0) 22 ∴ เขาอยหู่ ่างจากจดุ ต้งั ตน้ เท่า 15 กิโลกรัม

2.2 การบวกเวกเตอร์โดยการหาผลบวกขององคป์ ระกอบเวกเตอร์ ในกรณ์ทีม่ ีเวกเตอร์มากกวา่ 2 เวกเตอร์ข้นึ ไปการคานวณหาเวกเตอร์จะใชว้ ธิ ีการหาองคป์ ระกอบในแนวแกน x และ y ของเวกเตอร์แต่ ละตวั จากน้นั นาองคป์ ระกอบในแกน x และ y ของแตล่ ะเวกเตอร์มารวมกนั ซ่ึงจะรวมกนั ไดเ้ หมือนกนั กบั การบวกตวั เลข เพราะมีทศิ ทางแนวเดียวกนั จะได้ ผลบวกเวกเตอร์ทางแกน x, R a b c .... ผลบวกเวกเตอร์ทางแกน y, R a b c .... หาผลบวกของเวกเตอร์ลพั ธ์ จาก ∥ ���⃑⃑��� ∥ √(ผลบวกเวกเตอร์ทางแกน������)2 (ผลบวกเวกเตอร์ทางแกน ������)2 ตวั อยา่ ง 6 จงหาผลบวกของเวกเตอร์ในแนวแกน x และ y กาหนดให้ ���⃑��� มีขนาด 10 เมตร ทามุม ∘ ���⃑⃑��� มีขนาด 20 เมตร ทามุม ∘ ���⃑��� มีขนาด 20 เมตร ทามุม 0 ∘ ���⃑��� มีขยาด 10 เมตร ทามุม 2 ∘ .y วธิ ีทา a a cos ° a = ������ sin ° ( 0)(0 ) a a⃑⃑ ( 0)(0 ) m °x m ������������ ������ sin ° a (20)(0 ) 2m y b⃑⃑ ° b b b cos ° ( 20)(0 ) ° m bx

y b b cos ° ������������ ������ sin ° ( 20)(0 ) (20)(0 ) ⃑b⃑ ° b m 2m ° bx y c 20 ������������ 0 m c⃑ 0° x y d 2° x d b cos ° d ������ sin ° ( 0)(0 ) ( 0)(0 ) ° m m ⃑d⃑ d หาผลรบวกทางแกน x หาผลรบวกทางแกน y R abcd R abcd ( ) ( 20) ( ) 20( ) R เมตร R 0 เมตร ∴ ผลรวมของเวกเตอร์ในแนวแกน X = -34 เมตร ∴ ผลรวมของเวกเตอร์ในแนวแกน X = -34 เมตร

ตวั อยา่ ง 7 จากรูปจงหาผลรวมของแรงในแนวแกน x และแกน y และผลรวมของแรงท้งั หมด F⃑⃑⃑⃑1⃑ 20N ⃑F⃑⃑⃑2⃑ 0N 37° F⃑⃑⃑⃑3⃑ 0N วธิ ีทา หาองคป์ ระกอบของแรงแตล่ ะตวั F1 F1 sin ° (20)(0 ) y F1 F1 cos ° (20)(0 ) = 12 N F1������ F1 37° x = 16 N F1 y F2 0N F2 0 N F2 x y F3 0N F3 0 N x ������������

หารผลบวกทางแกน X ∑F F1 F2 F3 = 16+(-10)+0 ∴ ผลรวมของแรงในแนวแกน X = 6N หาผลบวกของแนวแกน y = 6 นิวตนั ∴ ผลรวมของแรงในแนวแกน y ∑F F1 F2 F3 หาขนาด จากทฤษฎีของไพทาโกรสั = 12+0+(-30) = -18 N ΣF⃑⃑⃑⃑⃑ = -18 นิวตนั Σ⃑F⃑⃑⃑⃑ ΣF⃑⃑ ∥ ∑F⃑⃑ ∥ ∑F2 ∑F2 2 ( )2 2 0 ∴ ขนาดของแรงลพั ธ์ = 18.97 N สรุปท้ายหน่วย 1. ปริมาณเวกเตอร์ เป็นปริมาณท่มี ีทท่ี ้งั ขนาดและทศิ ทางซ่ึงมีลกั ษณะแตกตา่ งจากปริมาณสเกลาร์ที่ใชท้ ว่ั ๆ ไป 1.1 การเขยี นเวกเตอร์  เขียนแบบบรรยาย

 เขยี นแบบลูกศร 1.2 การหาองคป์ ระกอบเวกเตอร์ในระบบแกน 2 มิติทามุมกบั แกนไหน ค่าทางแกนน้นั จะเป็ นผล คูณของเวกเตอร์กบั ค่าฟังกช์ นั่ cosine ของมุมน้นั ส่วนอีกแกนจะเป็นผลคูณของเวกเตอร์กบั คา่ ฟังกช์ น่ั sine ของมุมน้นั 1.3 การบวกเวกเตอร์  การบวกโดยการวาดรูป เอาหางตอ่ กบั หวั ของเวกเตอร์เรียงไปเร่ือย ๆ  การบวกโดยการคานวณ 1. การบวก 2 เวกเตอร์ สูตร ∥ ⃑⃑ ∥ ( ⃑ ⃑⃑) = 2 22 tan = 2 22 ∥ ⃑⃑ ∥ ( ⃑ ⃑⃑) = tan = 2. การหาผลบวกขององคป์ ระกอบของเวกเตอร์ ผลบวกทางแกน x , = … ผลบวกทางแกน y , = … หา R ไดจ้ าก R= 22 หาทิศทางไดจ้ าก = tan

1. ปริมาณเวกเตอร์ เป็นปริมาณทม่ี ีท่ที ้งั ขนาดและทศิ ทางซ่ึงมีลกั ษณะแตกตา่ งจากปริมาณสเกลาร์ทีใ่ ชท้ วั่ ๆ ไป 1.1 การเขียนเวกเตอร์  เขียนแบบบรรยาย  เขียนแบบลูกศร 1.2 การหาองคป์ ระกอบเวกเตอร์ในระบบแกน 2 มิตทิ ามุมกบั แกนไหน คา่ ทางแกนน้นั จะเป็ นผล คูณของเวกเตอร์กบั คา่ ฟังกช์ นั่ cosine ของมุมน้นั ส่วนอีกแกนจะเป็นผลคูณของเวกเตอร์กบั คา่ ฟังกช์ น่ั sine ของมุมน้นั 1.3 การบวกเวกเตอร์  การบวกโดยการวาดรูป เอาหางต่อกบั หวั ของเวกเตอร์เรียงไปเรื่อย ๆ  การบวกโดยการคานวณ 1. การบวก 2 เวกเตอร์ สูตร ∥ ⃑⃑ ∥ ( ⃑ ⃑⃑) = 2 22 tan = ∥ ⃑⃑ ∥ ( ⃑ ⃑⃑) = 2 22 tan = 2. การหาผลบวกขององคป์ ระกอบของเวกเตอร์ ผลบวกทางแกน x , = … ผลบวกทางแกน y , = … หา R ไดจ้ าก R= 22 หาทศิ ทางไดจ้ าก = tan

ตัวอย่าง 5  = 3 หน่วย  = 4 หน่วย ทามุมกนั 60 ๐ซ่ึงกนั และกนั จงหาเวกเตอร์ลพั ธข์ อง A  B  A B A B ก. ข. ก.  A B  AB cos = 34cos 60 = 120.5  6 หน่วย ข.  A B  AB sin  43sin 60  430.866 10.39 หน่วย สรุปท้ายหน่วย 1. ปริมาณเวกเตอร์ เป็นปริมาณทม่ี ีทท่ี ้งั ขนาดและทศิ ทางซ่ึงมีลกั ษณะแตกต่างจากปริมาณสเกลาร์ท่ีใชท้ ว่ั ๆ ไป 1.1 การเขยี นเวกเตอร์  เขียนแบบบรรยาย  เขียนแบบลูกศร 1.2 การหาองค์ประกอบเวกเตอร์ในระบบแกน 2 มติ ิทามุมกบั แกนไหน ค่าทางแกนน้นั จะเป็ นผลคูณ ของเวกเตอร์กบั คา่ ฟังกช์ น่ั cosine ของมุมน้นั ส่วนอีกแกนจะเป็ นผลคณู ของเวกเตอร์กบั คา่ ฟังกช์ นั่ sine ของมุมน้นั 2. การบวกเวกเตอร์  การบวกโดยการวาดรูป เอาหางตอ่ กบั หวั ของเวกเตอร์เรียงไปเรื่อย ๆ  การบวกโดยการคานวณ 1. การบวก 2 เวกเตอร์ สูตร ∥ ⃑⃑ ∥ ( ⃑ ⃑⃑) = 2 22 tan =

∥ ⃑⃑ ∥ ( ⃑ ⃑⃑) = 2 22 = tan = 3. การหาผลบวกขององค์ประกอบของเวกเตอร์ = … ผลบวกทางแกน x , = ผลบวกทางแกน y , = … หา R ไดจ้ าก R 22 หาทศิ ทางไดจ้ าก tan 4. การคูณเวกเตอร์ 4.1 การคูณปริมาณเวกเตอร์ดว้ ยปริมาณสเกลาร์ 4.2 การคูณปริมาณเวกเตอร์แบบสเกลาร์  A B  AB cos 4.3 การคูณปริมาณเวกเตอร์แบบเวกเตอร์    AB  C เมื่อ C  AB sin