ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 49 อกี รูปหนงึ่ ของฟังก์ชนั กาลงั สองท่นี ิยมใช้ คือ ������(������) = ������(������ − ℎ)2 + ������ เช่น ������(������) = 2(������ − 1)2 + 5 → ������ = 2 , ℎ = 1 , ������ = 5 ������ = 0 ������(������) = −(������ + 2)2 → ������ = −1 , ℎ = −2 , ������ = −5 ������ = 3 ������(������) = 2������2 − 5 → ������ = 2 , ℎ = 0 , ������(������) = 3 − (������ + 2)2 → ������ = −1 , ℎ = −2 , ถ้าโจทย์ให้สมการในรูปนี ้จะมวี ิธีวาดกราฟดงั นี ้ ถ้า ������ เป็นลบ จะได้พาราโบลาควา่ ถ้า ������ เป็นบวก จะได้พาราโบลาหงาย จดุ ยอด มีพิกดั คือ (ℎ, ������) สมการแกนสมมาตร คอื ������ = ℎ ตวั อยา่ ง จงวาดกราฟของฟังก์ชนั ������(������) = −(������ + 1)2 + 2 พร้อมทงั้ บอกสมการแกนสมมาตร วธิ ีทา จะได้ ������ = −1 , ℎ = −1 , ������ = 2 (−1, 2) เนอ่ื งจาก ������ = −1 เป็นลบ ดงั นนั้ เป็นกราฟควา่ จดุ ยอด เป็นจดุ สงู สดุ และมีพิกดั = (ℎ, ������) = (−1, 2) สมการแกนสมมาตร คอื ������ = −1 # ตวั อยา่ ง จงหาโดเมน และ เรนจ์ ของฟังก์ชนั ������(������) = ������2 − 5 จากกราฟ วิธีทา ข้อนี ้บงั คบั วา่ ให้หาโดเมนและเรนจ์ จากกราฟ ดงั นนั้ ต้องวาดกราฟให้ได้ก่อน ข้อนจี ้ ะมองในรูป ������(������) = ������(������ − ℎ)2 + ������ ก็ได้ → ������ = 1 , ℎ = 0 , ������ = −5 เป็นกราฟหงาย , จดุ ยอด = (0, −5) หรือจะมองในรูป ������(������) = ������������2 + ������������ + ������ ก็ได้ → ������ = 1 , ������ = 0 , ������ = −5 เป็นกราฟหงาย , จดุ ยอด = (− 0 , 4(1)4(−(15))−02) 2(1) = (0, −5) จากกราฟ จะได้ D������ = R (0, −5) R������ = [−5, ∞) # อีกอยา่ งท่ีโจทย์จะถามได้ คอื “จดุ ตดั แกน” ซง่ึ มีอยู่ 2 ประเภท คอื จดุ ตดั แกน X กบั จดุ ตดั แกน Y จดุ ตดั แกน X คอื จดุ ท่ี พาราโบลา ตดั กบั แกน X ปกติจะตดั 2 จดุ แตบ่ างทกี ็ตดั จดุ เดยี ว หรือไมต่ ดั เลย จดุ ตดั แกน Y คอื จดุ ที่ พาราโบลา ตดั กบั แกน Y พาราโบลาทกุ รูป จะตดั แกน Y หนงึ่ จดุ เสมอ ตดั แกน X สองจดุ ตดั แกน X หนง่ึ จดุ (สมั ผสั แกน X) ไมต่ ดั แกน X ตดั แกน Y หน่ึงจดุ ตดั แกน Y หนงึ่ จดุ ตดั แกน Y หน่งึ จดุ
50 ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั เรามวี ธิ ีหาพกิ ดั ของจดุ ตดั แกน ดงั นี ้ หาจดุ ตดั แกน X ให้แทน ������ = 0 แล้วหา ������ (เพราะจดุ ตดั แกน X จะมพี กิ ดั Y เป็นศนู ย์เสมอ) หาจดุ ตดั แกน Y ให้แทน ������ = 0 แล้วหา ������ (เพราะจดุ ตดั แกน Y จะมพี กิ ดั X เป็นศนู ย์เสมอ) ตวั อยา่ ง จงหาจดุ ตดั แกน X และจดุ ตดั แกน Y ของ ������(������) = ������2 − 3������ − 4 วธิ ีทา หาจดุ ตดั แกน X ต้องแทน ������ = 0 ������(������) = ������2 − 3������ − 4 ดงั นนั ้ จดุ ตดั แกน X คอื (4, 0) และ (−1, 0) 0 = ������2 − 3������ − 4 0 = (������ − 4)(������ + 1) ������ = 4 , −1 หาจดุ ตดั แกน Y ต้องแทน ������ = 0 ������(������) = ������2 − 3������ − 4 ดงั นนั้ จดุ ตดั แกน Y คอื (0, −4) # ������ = 02 − 3(0) − 4 ������ = −4 จะเหน็ วา่ จดุ ตดั แกน Y จะหางา่ ยกวา่ เพราะแคแ่ ทนคา่ คดิ เลข จดุ ตดั แกน X มกั จะต้องแก้สมการกาลงั สอง และมกั ต้องแยกตวั ประกอบ ในกรณีที่แยกตวั ประกอบไมไ่ ด้ อาจต้องใช้สตู ร ������ = −������±√������2−4������������ 2������ และถ้าใน √ ติดลบ แปลวา่ สมการไมม่ ีคาตอบ ซงึ่ แปลได้วา่ กราฟไมต่ ดั แกน X นนั่ เอง ตวั อยา่ ง จงหาจดุ ตดั แกน X และจดุ ตดั แกน Y ของ ������(������) = ������2 + 4������ − 3 วิธีทา หาจดุ ตดั แกน X ต้องแทน ������ = 0 ������(������) = ������2 + 4������ − 3 0 = ������2 + 4������ − 3 ������ = −4±√42−4(1)(−3) ดงั นนั ้ จดุ ตดั แกน X คอื (−2 + √7 , 0) และ (−2 − √7 , 0) 2 = −2 ± √7 หาจดุ ตดั แกน Y ต้องแทน ������ = 0 ������(������) = ������2 + 4������ − 3 ดงั นนั้ จดุ ตดั แกน Y คือ (0, −3) # ������ = 02 − 4(0) − 3 ������ = −3 ตวั อยา่ ง จงหาวา่ ������(������) = ������2 + 2������ + 3 ตดั แกน X กี่จดุ วิธีทา หาจดุ ตดั แกน X ต้องแทน ������ = 0 ������(������) = ������2 + 2������ + 3 จะเห็นวา่ ในรูทตดิ ลบ ดงั นนั้ กราฟไมต่ ดั แกน X # 0 = ������2 + 2������ + 3 ������ = −2±√22−4(1)(3) 2 = −2±√−8 2
ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 51 นอกจากนี ้เรายงั ต้องอา่ นและวิเคราะห์กราฟพาราโบลา ให้เป็นด้วย สว่ นใหญ่ เราจะต้องการดวู า่ คา่ ������ ท่ีบริเวณตา่ งๆในกราฟเป็นอยา่ งไร ตวั อยา่ ง กาหนด ������(������) = ������2 − 2������ − 3 จงพิจารณาวา่ ข้อใดผิด 1. กราฟของ ������ อยใู่ ต้แกน X สาหรับทกุ ������ ท่ีอยใู่ นชว่ ง (0, 2) 2. ������(������) ≥ −5 สาหรับทกุ จานวนจริง ������ 3. ������(1 + √2) = ������(1 − √2) 4. ������(2 + √2) < ������(2 − √2) วธิ ีทา จากสมการกราฟที่โจทยใ์ ห้ จะได้ ������ = 1 , ������ = −2 , ������ = −3 → เป็นกราฟหงาย จดุ ยอด = (− −2 , 4(1)(−43()1−)(−2)2) = (1, −4) 2(1) หาจดุ ตดั แกน X: 0 = ������2 − 2������ − 3 0 = (������ − 3)(������ + 1) ������ = 3 , −1 ข้อ 1 จะเห็นวา่ บริเวณ ������ ∈ (0, 2) กราฟอยใู่ ต้แกน X ดงั นนั้ ข้อ 1 ถกู # ข้อ 2 จากกราฟ คา่ ������ ที่ตา่ ที่สดุ คอื −4 ซงึ่ > −5 ดงั นนั้ ข้อ 2 ถกู ข้อ 3 เน่ืองจากจดุ ยอด มีพกิ ดั ������ = 1 ดงั นนั้ กราฟจะสมมาตรรอบๆ ������ = 1 นน่ั คือ ที่ ������ = 1 + ������ กบั ท่ี ������ = 1 − ������ กราฟจะมีคา่ ������ เทา่ กนั ดงั นนั ้ คา่ ������ ตรง ������ = 1 + √2 ก็จะต้องเทา่ กบั คา่ ������ ตรง ������ = 1 − √2 ������ = 1 ดงั นนั ้ ข้อ 3 จริง ข้อ 4 จากกราฟ จะเห็นวา่ ตรง ������ = 2 กราฟเป็นชว่ งขาขนึ ้ หมายความวา่ ท่ี ������ = 2 + ������ กราฟจะสงู ขนึ ้ แตท่ ่ี ������ = 2 − ������ กราฟจะตา่ ลง ดงั นนั ้ คา่ ������ ตรง ������ = 2 + √2 ก็จะต้องสงู กวา่ คา่ ������ ตรง ������ = 2 − √2 ������ = 2 ดงั นนั้ ข้อ 4 จึงผดิ แบบฝึกหดั 1. จงหา ลกั ษณะกราฟ (ควา่ /หงาย), จดุ ยอด, แกนสมมาตร, จดุ ตดั แกน X, จดุ ตดั แกน Y, จดุ สงู สดุ /ต่าสดุ , คา่ สงู สดุ / ตา่ สดุ ของพาราโบลาตอ่ ไปนี ้พร้อมทงั้ วาดรูปกราฟอยา่ งคร่าวๆ และหาโดเมน, เรนจ์ จากกราฟ 1. ������ = ������2 − 4������ + 3 ลกั ษณะกราฟ: จดุ ยอด: แกนสมมาตร: จดุ ตดั แกน X: จดุ ตดั แกน Y: จดุ สงู สดุ : จดุ ตา่ สดุ : คา่ สงู สดุ : คา่ ตา่ สดุ : โดเมน: เรนจ์:
52 ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 2. ������ + 2 = −(������ + 1)2 จดุ ยอด: ลกั ษณะกราฟ: แกนสมมาตร: จดุ ตดั แกน Y: จดุ ตดั แกน X: จดุ ตา่ สดุ : จดุ สงู สดุ : คา่ ตา่ สดุ : คา่ สงู สดุ : เรนจ์: โดเมน: 2. พาราโบลารูปหนง่ึ เป็นกราฟของฟังก์ชนั ������(������) = 2������2 − 4������ − 6 ข้อใดถกู ต้อง [O-NET 54/12] 1. พาราโบลารูปนมี ้ ีแกนสมมาตรคอื เส้นตรง ������ = −1 2. พาราโบลารูปนมี ้ ีจดุ วกกลบั อยใู่ นจตภุ าคท่สี ี่ 3. ถ้า P เป็นจดุ วกกลบั ของพาราโบลา ������ = −������2 + 12������ − 38 และ O เป็นจดุ กาเนดิ แล้ว ระยะหา่ งระหวา่ งจดุ P และจดุ O เทา่ กบั เทา่ ไร [O-NET 49/1-6] 4. ถ้ากราฟของ ������ = ������2 − 2������ − 8 ตดั แกน X ท่จี ดุ A, B และมี C เป็นจดุ วกกลบั แล้ว รูปสามเหลย่ี ม ABC มีพนื ้ ท่ี เทา่ กบั เทา่ ไร [O-NET 50/25]
ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 53 อกี หวั ข้อในเรื่องพาราโบลาท่ีนิยมทาไปออกข้อสอบ คือ เร่ืองคา่ มากสดุ - น้อยสดุ # วธิ ีหา คอื ให้หาจดุ สงู สดุ หรือ จดุ ตา่ สดุ แล้วเอาคา่ ������ ไปตอบ ในกราฟหงาย จะไมม่ จี ดุ สงู สดุ จดุ ยอดจะเป็นจดุ ตา่ สดุ โดยคา่ ������ ตรงจดุ ยอด คอื คา่ น้อยสดุ ในกราฟควา่ จะไมม่ จี ดุ ตา่ สดุ จดุ ยอดจะเป็นจดุ สงู สดุ โดยคา่ ������ ตรงจดุ ยอด คอื คา่ มากสดุ หมายเหต:ุ เวลาท่ีโจทย์พดู คาวา่ “คา่ ” เฉยๆ ให้หมายถงึ คา่ ������ ตวั อยา่ ง จงหาคา่ มากสดุ หรือ คา่ น้อยสดุ ของ ������(������) = 2(������ − 1)2 − 3 วธิ ีทา ข้อนมี ้ าในรูป ������(������ − ℎ)2 + ������ โดยที่ ������ = 2 , ℎ = 1 , ������ = −3 เนื่องจาก ������ เป็นบวก ดงั นนั้ เป็นกราฟหงาย จะได้จดุ ยอดเป็นจดุ ตา่ สดุ และมพี ิกดั คือ (1, −3) ดงั นนั้ คา่ น้อยสดุ คอื −3 แตค่ า่ มากสดุ หาไมไ่ ด้ แบบฝึกหดั 5. กาหนดให้ ������(������) = −������2 + 4������ − 10 ข้อความใดตอ่ ไปนถี ้ กู ต้อง [O-NET 49/1-5] 1. ������ มคี า่ ตา่ สดุ เทา่ กบั −6 2. ������ ไมม่ คี า่ สงู สดุ 3. ������ มคี า่ สงู สดุ เทา่ กบั 6 4. ������ (√29) < −6 6. กาหนดให้ ������(������) = (������ − 3)2 − 4 ข้อใดถกู ต้องบ้าง [O-NET 57/14] 1. กราฟของ ������ เป็นพาราโบลาหงาย 2. ถ้า ������ ∈ (1, 4] แล้ว ������(������) < 0 3. ถ้ากราฟของ ������ ตดั แกน ������ ท่ีจดุ (0, ������) และคา่ ตา่ สดุ ของ ������ คอื ������ แล้ว ������ + ������ = 1 7. ถ้าเส้นตรง ������ = 3 เป็นเส้นสมมาตรของกราฟของฟังก์ชนั ������(������) = −������2 + (������ + 5)������ + (������2 − 10) เม่อื ������ เป็น จานวนจริง แล้ว ������ มคี า่ สงู สดุ เทา่ กบั เทา่ ไร [O-NET 51/10]
54 ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 8. ถ้า ������(������) = −������2 + ������ + 2 แล้ว ข้อสรุปใดถกู ต้อง [O-NET 53/10] 1. ������(������) ≥ 0 เม่ือ −1 ≤ ������ ≤ 2 2. จดุ วกกลบั ของกราฟของฟังก์ชนั ������ อยใู่ นจตภุ าคทส่ี อง 3. ฟังก์ชนั ������ มีคา่ สงู สดุ เทา่ กบั 2 4. ฟังก์ชนั ������ มคี า่ ตา่ สดุ เทา่ กบั 2 9. กาหนดให้ ������(������) = ������2 − 2������ − 15 ข้อใดตอ่ ไปนผี ้ ิด [O-NET 51/30] 1. ������(������) ≥ −17 ทกุ จานวนจริง ������ 2. ������(−3 − √2 − √3) > 0 3. ������(1 + √3 + √5) = ������(1 − √3 − √5) 4. ������(−1 + √3 + √5) > ������(−1 − √3 − √5) 10. พาราโบลารูปหนงึ่ มเี ส้นสมมาตรขนานกบั แกน Y และมีจดุ สงู สดุ อยทู่ ่จี ดุ (������, ������) ถ้าพาราโบลานตี ้ ดั แกน X ที่จดุ (– 1, 0) และ (5, 0) แล้ว ������ มคี า่ เทา่ กบั เทา่ ไร [O-NET 50/10]
ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 55 นอกจากนี ้เร่ืองคา่ มาสดุ น้อยสดุ ยงั สามารถออกเป็นโจทย์ปัญหาแบบทเ่ี ด็กสว่ นใหญ่ไมค่ อ่ ยชอบได้ โดยโจทย์มกั จะสร้างเรื่องราวสลบั ซบั ซ้อนมาให้ แล้วสดุ ท้ายให้หา พนื ้ ทม่ี ากสดุ ต้นทนุ น้อยสดุ กาไรมากสดุ ฯลฯ วิธีทาโจทย์ประเภทนี ้คือ 1. ให้ ������ เป็นสง่ิ ทีโ่ จทย์ต้องการหาคา่ มากสดุ น้อยสดุ 2. สมมตใิ ห้ ������ แทนปริมาณซกั ตวั ที่มีผลตอ่ คา่ ������ 3. เขยี นปริมาณอน่ื ๆทเ่ี กี่ยวข้อง ให้อยใู่ นเทอมของ ������ 4. เขียนสมการของ ������ ให้เป็นฟังก์ชนั กาลงั สองของ ������ 5. สดุ ท้าย ใช้ความรู้เร่ืองจดุ ยอดของพาราโบลาเพอ่ื หาคา่ มากสดุ น้อยสดุ ตวั อยา่ ง มลี วดยาว 20 เมตร ต้องการล้อมทด่ี นิ ริมแมน่ า้ ให้เป็นรูปสเี่ หลยี่ มมมุ ฉาก โดยล้อมแค่ 3 ด้าน เว้นด้านทต่ี ดิ ริม แมน่ า้ ไมต่ ้องล้อม จงหาวา่ จะล้อมได้พนื ้ ที่มากทส่ี ดุ เทา่ ไร วิธีทา ข้อนตี ้ ้องการพนื ้ ท่ีมากสดุ ดงั นนั้ ให้ ������ แทนพนื ้ ที่ และ ให้ ������ แทนปริมาณซกั อยา่ ง ที่มผี ลตอ่ พนื ้ ที่ ในข้อนี ้เราจะให้ ������ แทนด้านกว้าง 20 − 2������ เนือ่ งจากมลี วดยาว 20 เมตร ������ ������ ดงั นนั้ เหลอื ลวดสาหรับด้านยาว = 20 − 2������ เนอ่ื งจาก พนื ้ ที่ = กว้าง × ยาว ดงั นนั้ จะได้สมการ คือ ������ = ������(20 − 2������) = 20������ − 2������2 = −2������2 + 20������ จะเห็นวา่ ������ เป็นฟังก์ชนั กาลงั สอง ซงึ่ มี ������ = −2 , ������ = 20 , ������ = 0 → เป็นกราฟควา่ จะได้จดุ ยอดเป็นจดุ สงู สดุ ซงึ่ มีพกิ ดั = (− 20 , 4(−24)((−02)−) 202) = (5, 50) 2(−2) ดงั นนั้ ������ มคี า่ มากสดุ คอื 50 เมือ่ ������ = 5 นน่ั คือ จะได้พนื ้ ทม่ี ากสดุ 50 ตารางเมตร โดยต้องล้อมให้กว้าง 5 เมตร และยาว 20 − 2(5) = 10 เมตร # แบบฝึกหดั 11. โยนลกู บอลขนึ ้ ในแนวดง่ิ ถ้าความสงู ของลกู บอล (ฟตุ ) ทโี่ ยนขนึ ้ ������(������) = −������2 + 6������ เมือ่ ������ แทนเวลา (วินาท)ี 1. ทว่ี นิ าทที ่ี 2 ลกู บอลอยสู่ งู จากพนื ้ ทไ่ี ด 2. นานเทา่ ใดลกู บอลจงึ จะอยสู่ งู จากพนื ้ 5 ฟตุ 3. ในขณะท่ีลกู บอลอยทู่ ี่จดุ สงู สดุ จากพนื ้ ใช้เวลานานเทา่ ได
56 ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 4. ลกู บอลขนึ ้ สงู สดุ ก่ีฟตุ 5. นานเทา่ ไรลกู บอลจงึ จะตกสพู่ นื ้ 12. เจ้าของโรงงานผลติ ต๊กุ ตา พบวา่ ผลกาไร ������(������) มีความสมั พนั ธ์กบั จานวนต๊กุ ตา ������ ดงั นี ้ ������(������) = −20������2 + 400������ จงหา 1. จานวนต๊กุ ตาทีท่ าให้โรงงานมผี ลกาไร 2. จานวนต๊กุ ตาทีท่ าให้โรงงานมกี าไรสงู สดุ 3. ผลกาไรมากทสี่ ดุ 13. ถ้าต้นทนุ ในการผลติ ของเลน่ ������ ชิน้ เทา่ กบั 1 ������2 − 20������ − 200 บาท โดยขายของเลน่ ในราคาชิน้ ละ 180 บาท 3 ถ้าต้องการผลติ กาไรสงู สดุ บริษัทต้องผลติ ของเลน่ ก่ีชิน้
ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 57 14. กาหนดให้ ������ เป็นจานวนนบั เมอื่ รวมกบั อีกจานวนหนงึ่ เทา่ กบั 10 จงหาคา่ สงู สดุ ของผลคณู ระหวา่ งจานวนนบั สอง จานวนดงั กลา่ ว 15. ลวดเส้นหนงึ่ ยาว 20 ซ.ม. นามาดดั เป็นรูปสเ่ี หลยี่ มมมุ ฉาก จงหาพนื ้ ทม่ี ากสดุ ทีเ่ ป็นไปได้ ของสเ่ี หลยี่ มนี ้ 16. เมธาวตี ้องการล้อมรัว้ ทด่ี ินรูปสเี่ หลย่ี มมมุ ฉากเพอ่ื เลยี ้ งเป็ด โดยท่ดี นิ ด้านหนง่ึ ตดิ แมน่ า้ ไมต่ ้องล้อมรัว้ ถ้าเธอมีลวด ยาว 60 เมตร และเป็ดตวั หนงึ่ ต้องใช้พนื ้ ที่ 5 ตารางเมตร จงหาวา่ เมธาวจี ะเลยี ้ งเป็ดได้มากทีส่ ดุ ก่ีตวั 17. ถ้าคะแนนสอบของนชั ชาและวนั วสิ าข์ รวมกนั ได้ 10 คะแนน อยากทราบวา่ ผลบวกของกาลงั สองของคะแนนสอบ ของทงั้ สองคน มคี า่ น้อยสดุ เทา่ ไร
58 ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 18. ฟาร์มแหง่ หนงึ่ กนั้ รัว้ เป็นรูปสเ่ี หลย่ี มผืนผ้า โดยด้านทิศใต้ตดิ ริมนา้ ไมต่ ้องกนั้ รัว้ และรัว้ ด้านทศิ เหนอื ต้องเปิดเป็น ชอ่ งกว้าง 10 เมตร ถ้ามไี ม้สาหรบั ทารัว้ ยาว 110 เมตร จะสามารถเลยี ้ งววั ได้มากท่ีสดุ ก่ีตวั เมอื่ ววั 1 ตวั ต้องใช้พนื ้ ท่ี อยา่ งน้อย 20 ตารางเมตร 19. ถ้า ������2 − ������ = 1 แล้ว ������������2 มีคา่ น้อยท่สี ดุ เทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 56/15]
ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 59 ฟังก์ชนั เอกซ์โพเนนเชียล ฟังก์ชนั เอกซ์โพเนนเชียล คอื ฟังก์ชนั ท่ีอยใู่ นรูป ������(������) = ������������ เม่ือ ������ เป็นตวั เลขอะไรก็ได้ ทีม่ ากกวา่ 0 และไมเ่ ทา่ กบั 1 ทผ่ี า่ นมา ������ จะเป็นฐานของการยกกาลงั ซะสว่ นใหญ่ แตใ่ นเรื่องนี ้������ จะถกู ใช้เป็น “เลขชกี ้ าลงั ” ก่อนอ่นื ต้องรู้วา่ ยิ่งยกกาลงั มาก ไมไ่ ด้แปลวา่ จะได้ผลลพั ธ์มากขนึ ้ เสมอไป เชน่ 22 = 4 (0.1)2 = 0.01 23 = 8 มากขนึ ้ (0.1)3 = 0.001 น้อยลง ดงั นนั ้ ใน ������(������) = ������������ จะเห็นวา่ ถ้า ������ > 1 ย่ิงยกกาลงั มาก ก็จะยง่ิ ได้คา่ มาก ถ้า ������ < 1 ย่งิ ยกกาลงั มาก กลบั จะได้คา่ น้อยลง เน่อื งจากในเร่ืองนจี ้ ะสนใจเฉพาะ ������ ทม่ี ากกวา่ 0 และไมเ่ ทา่ กบั 1 ดงั นนั้ จะแยกพิจารณาได้เป็น 2 กรณี คือ กรณี ������ > 1 กบั กรณี 0 < ������ < 1 กรณี ������ > 1 เชน่ ������ = 2������ กรณี 0 < ������ < 1 เช่น ������ = 0.1������ ������ ยิ่งมาก จะได้ ������ ท่มี ากขนึ ้ ������ ยิง่ มาก กลบั จะได้ ������ ที่น้อยลง ������ เพิม่ → ������ เพมิ่ ↑ ������ เพิ่ม → ������ ลด ↓ (0, 1) (0, 1) เม่อื ������ เป็นบวกมากๆ คา่ ������ จะเพม่ิ สดุ ๆ เม่อื ������ เป็นลบมากๆ คา่ ������ จะเพม่ิ สดุ ๆ เมอ่ื ������ เป็นศนู ย์ จะได้ ������ = 1 เมื่อ ������ เป็นศนู ย์ จะได้ ������ = 1 เมื่อ ������ เป็นลบมากๆ คา่ ������ จะเกือบเป็น 0 เม่ือ ������ เป็นบวกมากๆ คา่ ������ จะเกือบเป็น 0 ไมว่ า่ จะเป็นกรณีไหนก็ตาม จะเหน็ วา่ เมอ่ื ������ = 0 จะได้คา่ ������ = ������0 = 1 เสมอ นนั่ คอื กราฟจะผา่ นจดุ (0, 1) เสมอ และจากกราฟของทงั ้ สองกรณี จะได้ D������ = R และ R������ = R+
60 ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั แบบฝึกหดั 1. กาหนดให้ ������ และ ������ เป็นจานวนจริงบวก ถ้ากราฟของฟังก์ชนั ������1 = 1 + ������������ และ ������2 = 1 + ������������ มีลกั ษณะแสดง ในภาพตอ่ ไปนแี ้ ล้ว Y ������2 = 1 + ������������ ������1 = 1 + ������������ 2 X 1 2. ������ < 1 < ������ 4. ������ < ������ < 1 ข้อใดตอ่ ไปนเี ้ป็นจริง [O-NET 51/9] 1. 1 < ������ < ������ 3. ������ < 1 < ������ 2. ถ้า ������ = sin 65° แล้ว อสมการในข้อใดตอ่ ไปนเี ้ป็นจริง [O-NET 49/1-19] 1. ������ < ������2 < ������ 2. ������ < ������ < ������2 1+������ 1+������ 1+������2 3. ������2 < ������ < ������2 4. ������2 < ������2 < ������ 1+������2 1+������2
ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 61 คอู่ นั ดบั 1. 1. ������ = 3 , ������ = 0 2. ������ = −1 , ������ = 2 2. 5 3. 6 ผลคณู คาร์ทเี ซยี น 1. 1. 6 2. 100 3. 4 4. 3 5. 4 6. 4 2. 1. {(������, ������), (������, ������), (������, ������), (������, ������), (������, ������), (������, ������)} 2. {(1, 2), (1, {1}), ({2}, 2), ({2}, {1})} 3. {(สมชาย , สมชาย), (สมปอง , สมชาย)} 4. {(1, 1), (1, (2, 3)), (2, 1), (2, (2, 3))} 3. 1, 4 4. 1 ความสมั พนั ธ์ 1. 1. {(2, 6), (4, 12), (6, 18)} 2. {(1, 2), (3, 8), (5, 14), (7, 20)} 3. {(1, 3), (2, 6), (3, 9)} 4. {(20, 2), (20, 4), (18, 2)} 5. {(1, 8), (1, 9), (1, 10), (2, 10)} 6. {(6, 8), (12, 16)} 7. {(1, 4), (3, 2), (7, 2), (9, 4)} 8. { } 9. {(2, 3), (4, 5), (6, 7), (8, 9)} 2. 2 3. 10 4. 5 5. 2 6. 3 7. ������ = 1000 + 80������ − 2������2 กราฟของความสมั พนั ธ์ 1. 1, 3 2. 1. X : (3, 0) 2. X : (− 1 , 0) 3. X : (1, 0), (−3, 0) 4. X : ไมต่ ดั 2 Y : (0, 2) Y : (0, 1) Y : (0, −1) Y : (0, 3), (0, −3) 5. X : (1, 0), (−1, 0) 6. X : (1, 0) Y : (0, −1) Y : ไมต่ ดั 3. 1. (− 1 , ∞) 2. (−∞ , −1) ∪ ( 3 , ∞) 8. 4 2 2 4. 1. (−2, 1 ) 2. (3, ∞) 4 6. 2 7. 1 5. 2
62 ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 2. 3. 4. 6. 4. รูปกราฟท่คี วรจา 4 1. 1. −2 5. 2 กราฟของอสมการ 2. 3. 1. 1. 5. 6. 7. 8. 9. 2. 1 3. 4 4. 1 5. 3 โดเมน และ เรนจ์ 2. R − {2} , R − {2} 33 1. 1. R − {0} , R − {1} 3. R − {−2} , R − {2} 4. R − {0} , R − {1} 5. R − {−1} , R − {3} 6. R , [3, ∞) 7. R , [−10, ∞) 8. [0, ∞) , [1, ∞) 9. (−∞, −2] ∪ [2, ∞) , [0, ∞) 10. [−1, 1] , [0, 1] 11. [0, ∞) , (−∞, 0] 12. [−2, 2] , [−2, 0] 13. [−2, 2] , [1, 3] 14. (−∞, −1] ∪ [1, ∞) , (−∞, 2] 2. (−∞, −2] ∪ (0, ∞) 2. 1. (−∞, 1] ∪ [2, ∞) 3. (−∞, −3) ∪ [−1, 2]
ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 63 โดเมนและเรนจ์ จากการพจิ ารณาช่วงคา่ 2. R , (−∞, 3] 4. R , [1, ∞) 1. 1. [5, ∞) , R 6. [0, 2] , [−1, 1] 3. R , [−2, ∞) 5. R , (−∞, −1] 2. (−∞, 0] , R 7. R , (−∞, −1] ∪ [1, ∞) 4. (−3, 3) , (−3, 3) 6. R , [0, ∞) โดเมนและเรนจ์ จากกราฟ 8. R , R 1. 1. [0, 2] , [−1, 3] 2. {(������, ������) ∈ ������ × ������ │ ������ = ±√������ } 3. R , (−∞, −2] ∪ [2, ∞) 4. ������ = 2−������ 5. (−2, 2] , (−2, 3) 7. R , (1, ∞) ������ อินเวอร์ส 6. ������ = 2 − ������ 8. ������ = ������2−1 และ ������ ≥ 0 1. 1. {(4, 1), (2, 2), (2, 3)} 3. {(������, ������) ∈ R+ × R │ ������ = 2������ − 1} 2 5. ������ = 3������+1 10. ������ = ±√4 − ������2 และ ������ ≥ 0 ������−2 3. 4. 7. ������ = ±√������−21 9. ������2 + ������2 = 1 กราฟของอนิ เวอร์ส 1. 1. 2. 5. 6. 7. 8. ฟังก์ชนั 2. 1, 2, 4, 7, 10, 11 3. 2, 4, 5, 6, 7 4. 2 6. 4 7. 1 8. 3 1. 1, 2, 4 5. 4
64 ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 9. 4 10. 3 11. 2 สญั ลกั ษณ์แทนฟังก์ชนั 1. 1. 2 2. 5 3. 2 4. 1 5. 16 6. 4 4. 11 2. 1. 1 4. R , [−8, ∞) 3. 1. R , R 2. 2 3. 1 4. −2 + 4������ − ������2 4. 1. −7 8. 2 5. 4������ + 3 2. [4, ∞) , [1, ∞) 3. R , [0, ∞) 12. 86 9. 1 − 1 16. [−2, 2] , [1, 3] 2. 1 + 2������ − ������2 3. 1 − 2������2 − ������4 ������ 6. 2������ + 1 7. 2������ + 4 13. 2 17. 4 10. ������2 + 5������ − 6 11. 6 14. 2������2 + 3 15. 3 18. 5 ฟังก์ชนั กาลงั สอง 1. 1. ลกั ษณะกราฟ: หงาย จดุ ยอด: (2, −1) แกนสมมาตร: ������ = 2 จดุ ตดั แกน X: (1, 0), (3, 0) จดุ ตดั แกน Y: (0, 3) จดุ ตา่ สดุ : (2, −1) จดุ สงู สดุ : ไมม่ ี คา่ ตา่ สดุ : −1 (2, −1) เรนจ์: [−1, ∞) คา่ สงู สดุ : ไมม่ ี โดเมน: R 2. ลกั ษณะกราฟ: ควา่ จดุ ยอด: (−1, −2) แกนสมมาตร: ������ = −1 จดุ ตดั แกน X: ไมม่ ี จดุ ตดั แกน Y: (0, −3) จดุ ตา่ สดุ : ไมม่ ี จดุ สงู สดุ : (−1, −2) คา่ ตา่ สดุ : ไมม่ ี (−1, −2) เรนจ์: (−∞, −2] คา่ สงู สดุ : −2 5. 4 4. 27 9. 4 โดเมน: R 8. 1 4. 9 2. 2 3. 2√10 16. 90 6. 1, 2, 3 7. 0 10. 2 11. 1. 8 2. 1, 5 3. 3 5. 0, 6 12. 1. 1,2, … , 19 2. 10 3. 2000 15. 25 13. 300 14. 25 19. − 1 17. 50 18. 90 4
ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั 65 ฟังก์ชนั เอกซ์โพเนนเชียล 1. 3 2. 4 เครดิต ขอบคณุ คณุ Gunta Serikijcharoen คณุ Chaiyaklit Adsavavichairote คณุ ครูเบิร์ด จาก กวดวิชาคณิตศาสตร์ครูเบิร์ด ยา่ นบางแค 081-8285490 คณุ Theerat Piyaanangul ทช่ี ว่ ยตรวจสอบความถกู ต้องของเอกสารครับ
Search