HÌNH HỌC_HK1

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Tích vô hướng của hai véctơ A     a) Hãy tìm AB.AC và BA.AH .    AB.AC  ........................................................................ a ......................................................................................  a2  2    BA.AH  ........................................................................ B H C ................................................................................   3a2  4     b) Hãy tìm z  (CB  CA)(2CA  3AH ).     Ta có: z  (CB  CA)(2CA  3AH )  .............................................................................................. ..............................................................................................................................................   13a2  4 BT 3. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O.     A D a) Hãy tìm AB.BC và AB.BD.    AB.BC  ........................................................................ a ........................................................................................  0. O    AB.BD  ......................................................................... ....................................................................................  a2. BN C Đáp số: x  0 và y  a2. .................................................     b) Hãy tính: z  (AB  AD)(BD  BC ).         (AB  AD)(BD  BC )  AC (BD  BC )  ............................................................................. ................................................................................................................................................................. .......................................................................................................................................................  a2.     c) Hãy tính: ON .AB và NA.AB, với N là điểm trên cạnh BC .       ON .AB  (BN  BO).AB  ......................................................................................................... ......................................................................................................................................................  a2  2       NA.AB  (BA  BN )AB  .......................................................................................................... ....................................................................................................................................................  a2. BT 4. Cho hình thoi ABCD tâm O cạnh bằng 7, góc BAC  60.     a) Hãy tính AB.AC và AB.OA. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 99 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Tích vô hướng của hai véctơ    AB.AC  ......................................................................... .....................................................................................  49  2    AB.OA  .......................................................................... Ta có: BAC  60  ABC đều ..................................................................................   49  4 7 3  AC  7, BO  2     b) Hãy tính AC .BD và AB.OB.    AC .BD  ................................................................................................................................  0.    AB.OB  .......................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................  147  4 BT 5. Cho hình thang ABCD có đáy lớn BC  3a, đáy nhỏ AD  a, đường cao AB  2a.   a) Hãy tính AB.CD.     Ta có: AB.CD  DE.CD  ................................................. ................................................................................................. Dựng DE  BC, E  BC .................................................................................................  ABED làhìnhchữ nhật.  ..................................................................................  4a2. b) Hãy tính BC .BD và AC .BD.    BC .BD  .......................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................  3a2.        AC .BD  (BC  BA)(AD  AB)  ............................................................................................ ....................................................................................................................................................  a2. c) Gọi I là trung điểm của CD. Hãy tính góc giữa AI và BD. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................     Đáp số: AI .BD  0  AI  BD  góc giữa AI và BD bằng 90. ........................................ BT 6. Cho tam giác ABC có AB  2, AC  3, BAC  60.   a) Tính AB.AC và độ dài cạnh BC . Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 100 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Tích vô hướng của hai véctơ C   3  AB.AC  .......................................................................... ........................................................................................  3. 2   Tính BC ? Ta có: BC  (AC  AB)2 2 2 2    BC  AB  AC  2AB.AC ................................... 60o ........................................................................  BC  7. B2 A    b) Cho điểm M thỏa MB  2MC  0. Tính dộ dài AM.     Phân tích: Để tính AM, đựa vào đẳng thức MB  2MC  0 và biểu diễn AM theo hai véctơ   2 AB và AC . Sau đó sử dụng đẳng thức bình phương vô hướng, tức AM  (.......)2 để tìm ra AM 2  AM . Đó là hướng xử lý thường gặp cho dạng toán này. Học sinh hoàn thiện lời giải sau:           MB  2MC  0  (AB  AM )  2(AC  AM )  0  AM  .............................................  Khi đó:  2  AM 2   13   2  2  ............................................................................. AM AB 3 AC ................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................  AM  2 7/3. BT 7. Cho tam giác ABC có AB  a2,B C  5a, ABC  135.Gọi điểm M thuộc AC sao cho 2AM  3MC. Tính BA.BC . Tìm x, y sao cho BM  x BA  yBC và tính độ dài đoạn BM .    BA.BC  .................................................. ......................................................................... ..........................................................  5a2.  Ta có: AM  3 MC   3  2  AM MC 2      3     ..................................................................................................... BM BA 2 (BC BM ) ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................  BM  a 173/5. BT 8. Cho tam giác ABC có AB  2, AC  3, BAC  120.   a) Tính AB.AC và độ dài trung tuyến AM. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 101 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Tích vô hướng của hai véctơ    Tính AB.AC  ............................................... .....................................................................  3.  Tính độ dài trung tuyến AM : ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. .......................................................................................................................................  AM  7  2 b) Gọi ADlàphân giác trong của góc A của tam giác ABC. Phân tích AD theo hai véctơ AB và AC. Suy ra độ dài đoạn AD. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ..........................................................................................................................................  AD  6  5 BT 9. Cho tam giác ABC có AB  2a, BC  a 7, AC  3a. Gọi M trung điểm của AB, N thuộc AC sao cho AN  2NC và D thuộc MN sao cho 2DM  DN.    a) Tìm x, y sao cho AD  x AB  yAC . ..................................................................................................... ..................................................................................................... ..................................................................................................... ................................................................ x  1 và y  1   3 9 b) Tính AB.AC và độ dài 2đoạnAD.      BC  AC  AB  BC  (AC  AB)2  BC 2  AB2  AC 2  2AB.AC .....................    AB.AC  ...........................................................................................................................  3a2.   AD  ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ...............................................................................................................................  AD  2a 11/3. BT 10. Tính góc giữa hai véctơ trong các trường hợp sau: a) ba  (1;2)  cos(a,b)  aa..bb  1.(1)  (2).(3)  2  (a,b)  45.  (1;3) 12  (2)2 . (1)2  (3)2 2 Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 102 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Tích vô hướng của hai véctơ b) ba  (3; 4)  cos(a,b)  .................................................................................  (a,b)  90.  (4; 3) c) ba  (2; 5)  cos(a,b)  ...............................................................................  (a,b)  135.  (3;7) BT 11. Cho hai véctơ u, v có cùng độ dài bằng 1. và thỏa mãn 2u  3v  4. Tính cos(u,v). Lời giải tham khảo Ta có: 2u  3v  4  (2u  3v)2  16  4u2  12u.v  9v2  16  4 u 2  12 u . v cos(u,v)  9 v 2  16  4  12 cos(u,v)  9  16  cos(u,v)   1  4 BT 12. Cho hai véctơ u, v có cùng độ dài bằng 1. và thỏa mãn 2u  3v  3. Tính cos(u,v). ................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................  cos(u, v)  1  3 BT 13. Cho hai véctơ a,  có cùng độ dài vbằvnớgi 1 và góc tạo bởi haai vbé.ctơ bằng 60. Xác định cosin góc b hai vec tơ u và u  a  2b , v  giữa Hướng dẫn: Ta có: u.v  u . v cos(u,v)  cos(u,v)  u.v  Do đó cần tính u.v, u , v . u . v  u.v  ................................................................................................................................................. ........................................................................................................................................  u.v   1  2  u2  ................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................  u  7.  v2  ................................................................................................................................................... ..............................................................................................................................................  v  1. u.v  u . v cos(u,v)  cos(u,v)  u.v  ..................................................................  7  u . v 14 BT 14. Cho hai véctơ a  a  6,   3, (a,b)  45. Hãy tính các tích vô hướng: và b , biết b  a.(2a    ..................................................................................................................................... b) ................................................................................................................................................................. ...........................................................................................................................................  72  9 2. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 103 -

Môn: Hình học 10  Chủ đề: Tích vô hướng của hai véctơ 4b)(2a 3b )  (3a    ................................................................................................................... ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ......................................................................................................................................  108  9 2. BT 15. Cho hai véctơ u, v thỏa mãn u  3, v  2, u  3v  3. Tính 2u  v . ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. Đáp số: 2u  v  26. ...................................................................................................................... BT 16. Cho hai véctơ a,  thỏa mãn điều kiện 2a    3. Tính a.b và a  . b b b ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. Đáp số: a   1. ............................................................................................................................. b BT 17. Cho hai 2vbé)c.tcơ a  (0; 4) và   (4; 2). Tìm tọa độ của véctơ c, biết (2c  b).a  6 và (a  1. b ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. Đáp số: c  (1/8;1/4). .................................................................................................................. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 104 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Tích vô hướng của hai véctơ Daïng toaùn 2: Chöùng minh vuoâng goùc hoaëc heä thöùc thöôøng gaëp Nhóm 1. CHỨNG MINH VUÔNG GÓC BT 1. (HK1 – THPT Lê Trọng Tấn – Tp. Hồ Chí Minh 2018 – 2019) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB  3, BC  5.   C F a) Tính BA.CA  ..................................................................................  0. E   b) Tính AB.BC  ......................................................................................... ........................................................................................................................... ...............................................................................................................  9. A D B c) Gọi D, E, F là các điểm thỏa mãn:   1    1  và   3  AD AB, CE CA BF BC . 3 2 11 Chứng minh: DE  AF.        Phân tích: Tính DE, AF theo hai vécctơ AB, AC . Sau đó tính tích vô hướng DE.AF sẽ nhận được kết quả  0  DE  AF. Ta làm tương tự nếu đề yêu cầu tính góc giữa DE và AF.  Ta có:       1   1  DE AE AD 2 AC 3 AB.  Ta lại có:       3     3       3   8  AF BF BA 11 BC AB 11 (AC AB) AB 11 AC 11 AB.   Suy ra: DE.AF  ................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. BT 2. Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Dựng bên ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi M trung điểm của đoạn BC . Chứng minh rằng AM vuông góc với DE.       Ta có: 2AM .DE  (AB  AC )(AE  AD) ..............................  ..................................................................................................... ......................................................................................................... ......................................................................................................... ......................................................................................................... ......................................................................................................... ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 105 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Tích vô hướng của hai véctơ BT 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AH và HC. Chứng minh: BI  AJ. Ta có:   1    và   1    AJ 2 (AH AC ) BI 2 (BA BH ).       Suy ra: 4AJ .BI  (AH  AC ).(BA  BH )  ................................................................................................................. ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. BT 4. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi H là trung điểm của đoạn BC, D là hình chiếu vuông góc của H trên AC, M trung điểm của đoạn HD. Chứng minh AM  DB.    Ta có M là trung điểm của HD nên 2AM  AH  AD.       Xét 2AM .BD  (AH  AD)(BH  HD)  ....................................................................................................... ............................................................................................................ ............................................................................................................ ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. BT 5. Cho hình chữ nhật ABCD, dựng BH  AC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AH và DC. Chứng minh: BM  MN.       Ta có: 2BM  BA  BH và 2MN  AD  HC .       Suy ra: 4BM MN  (BA  BH )(AD  HC )  ........................................................................................................ ............................................................................................................. ............................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 106 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Tích vô hướng của hai véctơ BT 6. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, điểm M thuộc đoạn thẳng AC sao cho AC  4AM. Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng BC . Chứng minh rằng DMN là tam giác vuông cân. Ta có: AC  a 2, CM  3a 2 , CN a 4 2 2   Trong tam giác CMN, ta có: MN 2  MN  (CN CM )2    MN 2  CN 2  CM 2  2CN .CM  MN 2  CN 2  CM 2  2CN .CM. cos 45 (định lý hàm cos)  MN 2  a2 2   3a 2 2  2. a  3a 2  2  5a2  MN a 10  4 2 4 28 4 2   Trong tam giác CDM, ta có: MD2  MD  (CD CM )2  ........................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................  MD  a 10  4 Trong tam giác vuông DNC, ta có: ND2  CD2  CN 2  a2  a2 2  5a 2  4 Suy ra: MN 2  MD 2  ND 2  5a 2  tam giác DMN vuông cân (đpcm). 4 BT 7. Cho tam giác ABC đều cạnh 3a. Lấy M, N, P lần lượt trên ba cạnh BC, CA, AB sao cho BM  a, CN  2a, AP  x. Tìm x để AM  PN.   Đặt AB  u, AC  v.        AB  AB) Ta có: AM  AB  BM  AB  1 BC   1 (AC   1 v  2 u. 3 3 3 3    Ta lại có: PN  AN  AP  1 v  x u.  3 3a  Để AM  PN  AM .PN  0 .......................................................................................................... ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ..............................................................................................................................................  x  4a. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 107 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Tích vô hướng của hai véctơ Nhóm 2. CHỨNG MINH HỆ THỨC THƯỜNG GẶP   BT 8. Cho H là trung điểm của AB và M tùy ý. Chứng minh: MA.MB  HM 2  HA2.       Ta có: MA.MB  (MH  HA)(MH  HB) ............................  ................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... .........................................................................................................       BT 9. Chứng minh A, B, C, D bất kỳ, ta có: AB.CD  AC .DB  AD.BC  0. (Hệ thức Ơle – có thể dùng hệ thức này để chứng minh ba đường cao đồng quy)                Ta có: AB.CD  AC .DB  AD.BC  AB(AD  AC )  AC (AB  AD)  AD(AC  AB) ..  ............................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. BT 10. Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J theo thứ tự là trung điểm của AC, BD. Chứng minh rằng AB2  BC 2  CD2  DA2  AC 2  BD2  4IJ 2. Ta có: AB 2  BC 2  CD 2  DA2  AC 2  BD 2 4IJ 2   AB2  BC 2  CD2  DA2  AC 2  BD2  (AB  CD)2    (AD2 AC 2)(BD2 BC2) 2AB .CD     (AD  AC )(AD  AC )  (BD  BC )(BD  BC )  2AB.CD  ........................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. BT 11. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:   b) BC 2  AB2  AC 2  2AB.AC . cos A. a) 2AB.AC  AB 2  AC 2  BC 2. 2   2   Ta có: BC 2  BC  (AC  AB)2 Ta có: BC 2  BC  (AC  AB)2  .......................................................................... ............................................................................. .............................................................................. ............................................................................. .............................................................................. ............................................................................. .............................................................................. ............................................................................. .............................................................................. ............................................................................. .............................................................................. ............................................................................. BT 12. Cho tam giác ABC có I trung điểm của BC và AH là đường cao. Chứng minh: Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 108 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Tích vô hướng của hai véctơ a) AB2  AC 2  2AI 2  BC 2  b)    1 (AB 2  AC 2 ). 2 BC .IH 2 2 2 2 2 Ta có: AB2  AC 2  AB  AC Ta có: AB 2  AC 2  AB  AC          (AI  IB)2  (AI  IC )2  (AB  AC )(AB  AC )        (AI  IB)2  (AI  IB)2  CB.2AI  ..........................................................................  ........................................................................ .............................................................................. ............................................................................ .............................................................................. ............................................................................ .............................................................................. ............................................................................ .............................................................................. ............................................................................ BT 13. Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Chứng minh rằng: a)    AM 2  1 BC 2. AB.AC 4     Ta có:    (AB 2  2AB.AC  AC 2)  (AB2  2AB.AC  AC 2) AB.AC 4  ............................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. b) Chứng minh: AM 2  2(AB 2  AC 2)  BC 2 (định lý đường trung tuyến) 4 Ta có: AM 2   2   21   AC)2  1 (AB2  AC 2    AM (AB 4 2AB.AC )  1 2(AB 2  AC 2)  (AB2  AC 2  2AB.AC)  ....................................................................... 4  ............................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. BT 14. Cho tam giác ABC, biết AB  c, BC  a, AC  b. Có trọng tâm G. Chứng minh rằng: GA2  GB 2 GC 2  a2  b2  c2  (Hệ thức Lep–nit) 3 Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 109 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Tích vô hướng của hai véctơ        Vì G là trọng tâm tam giác ABC  GA  GB  GC  0  (GA  GB  GC )2  0        GA2  GB 2  GC 2  2(GA.GB  GB.GC  GC .GA)  0      3(GA2  GB 2  GC 2)  (GA2  GB 2  2GA.GB)  (GB 2  GC 2  2GB.GC )   (GC 2  GA2  2GC .GA)  0        3(GA2  GB 2  GC 2)  (GA  GB)2  (GB  GC )2  (GC  GA)2 ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. BT 15. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta luôn có: MA2  MB 2  MC 2  GA2  GB2  GC 2  3MG 2.     Vì G là trọng tâm tam giác ABC  GA  GB  GC  0.       Ta có: MA2  MB 2  MC 2  (MG  GA)2  (MG  GB)2  (GC  GC )2  ............................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................  Nhận xét: Từ đẳng thức MA2  MB 2  MC 2  GA2  GB 2  GC 2  3MG 2.  Vì A, B, C cố định nên điểm M có tổng bình phương các khoảng cách từ đó đến các đỉnh của tam giác nhỏ nhất chính là trọng tâm của tam giác.  Nếu tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) thì 3(R2 OG 2)  GA2  GB2  GC 2 (với điểm M  O). BT 16. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta luôn có: MG 2  1 (MA2  MB2  MC 2)  1 (AB2  BC 2  CA2) 39     2    Vì G là trọng tâm ABC  MA  MB  MC  3MG  9MG  (MA  MB  MC )2        9MG 2  MA2  MB 2  MC 2  2MA.MB  2MB.MC  2MA.MC ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. BT 17. Cho tam giác ABC, gọi H là trực tâm, M là trung điểm của cạnh BC . Chứng minh 2   rằng BC  4.MH .MA. Ta có:    1    1   MH .MA 2 (BH CH )  2 (BA  CA) Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 110 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Tích vô hướng của hai véctơ  1           A 4 (BH .BA BH .CA CH .BA  CH .CA)  1      1 BH(BC     BA) 4 (BH .BA  CH .CA) 4  CA)  CH (CB  H ............................................................................................................................................................. ...................................................................................................................B....................M.......................C... ................................................................................................................................................................. BT 18. Cho tamgiác ABC cóAD,BE, CF lần lượt là các đường trung tuyến. Chứng minh  rằng AB.CF  BC .AD  CA.BE  0. Có          1     1     1    ABCF BC AD  CABE AB. 2 (CA  CB) BC . 2 (AB AC )  CA. 2 (BA BC )  1                 2 (AB.CA AB.CB BC .AB BC .AC  CA.BA CA.BC )  ..........................................................................................................  ..........................................................................................................  .......................................................................................................... BT 19. Cho tam giác ABC, chứng minh: S  1 AB.AC sin A  1 2 2   2 2 AB .AC  (AB.AC )2 . Kẻ đường cao BH . Ta có: sin A  BH  BH  AB sin A. BA Do đó: S  1 AC .BH  1 AC .AB sin A  1 AB.AC . sin A. 2 2 2 S2   1 AB.AC . sin A2  1  2  2 . sin2 A 2 .AB .AC Suy ra: 4  1 2 2 cos2 A)  1 .AB 2  2 2 2 A 4 .AB .AC (1  4 .AC  AB .AC . cos2  1 AB 2 2    .  .cos A2   1 AB 2  2     4 .AC AB AC 4 .AC (AB.AC )2 S  1 2 2   2 AB .AC  (AB.AC )2 . BT 20. Cho tam giác ABC, biết BC  a, AC  b, AB  c và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.     a) Chứng minh rằng: aIA  bIB  cIC  0. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 111 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Tích vô hướng của hai véctơ ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. b) Chứng minh rằng: aIA2  bIB2  cIC 2  abc.        Ta có: aIA  bIB  cIC  0  (aIA  bIB  cIC )2  0       ()  a 2IA2  b2IB 2  c2IC 2  2abIA.IB  2bcIB.IC  2caIC .IA  0 2   2 2   Mà AB  (IB  IA)2  IB  IA  2IA.IB   2 2 2  2IA.IB  IB  IA  AB  IB2  IA2  AB2. Tương tự: ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. Thế vào ()  a 2IA2  b2IB2  c2IC 2  ab(IB2  IA2  c2)  bc(IB2  IC 2  a2) ca(IA2  IC 2  b2)  0  (a 2  ab  ca)IA2  (b2  ab  bc)IB 2  (c2  bc  ca)IC 2  abc(a  b  c)  0 ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 112 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Tích vô hướng của hai véctơ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều MNP. Góc nào sau đây bằng 120.         A. (MN , NP). B. (MO,ON ). C. (MN ,OP). D. (MN, MP). Câu 2. Tam giác ABC vuông ở A và có góc B  50. Hệ thức nào sau đây là sai ?     A. (BC, AC )  40. B. (AB,CB)  50.     C. (AC,CB)  120. D. (AB, BC )  130. Câu 3. Cho hai véctơ a    và     Khi đó a.b bằng 4i  6j b 3i  7j. A. 30. B. 30. C. 43. D. 3.     Câu 4. Cho hai véctơ OM  (2;1), ON  (3;1). Tính góc (OM,ON ). A. 135. B. 135. C.  2 D. 2 2 2    Câu 5. Cho hai véctơ a và b biết a  (1;2), b  (1;3). Tính góc giữa hai véctơ a và b. A. 45. B. 60. C. 30. D. 135.   Câu 6. Cho hai véctơ a  (4; 3) và b  (1; 7). Góc giữa hai véctơ a và b bằng A. 30. B. 90. C. 60. D. 45. Câu 7. Góc giữa hai véctơ u  (3;4) và v  (8;6) bằng A. 60.  B. 90. C. 45. D. 30. b Câu 8. Cho a  (2;1) và  (3; 2). Tích vô hướng của hai véctơ đã cho bằng A. 0. B. 1. C. 4.   D. –4. Câu 9. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng m. Khi đó AB.AC bằng A.  m2 3 B. m2  C. m2  D. 2m2. 2 2 2   Câu 10. Cho ba điểm A(3;1), B(2;10), C (4;2). Tích vô hướng AB.AC bằng A. 40. B. 12. C. 26. D. 26.   Câu 11. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Khi đó AB.AC bằng A. a2. B. a 2 2. C. a2 2  D. a2  2 2   Câu 12. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng 4. Khi đó AB.AC bằng A. 6. B. 6. C. 8. D. 8. Câu 13. Cho hình vuông MNPQ có I , J lần lượt là trung điểm của PQ, MN. Tích vô   hướng QI .NJ bằng Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 113 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Tích vô hướng của hai véctơ       2 A. PQ.PI . B. PQ.PN . C. PM .PQ.  PQ D. 4  Câu 14. Cho u và v là hai véctơ khác  Khi đó (u  v)2 bằng 0. A. u2  v2. B. u2  v2  2uv. C. (u  v)2  2uv. D. u2  v2  2uv. Câu 15. Cho tam giác ABC có BAC  60, AB  5, AC  8. Giá trị của   bằng BC .AC A. 64. B. 60. C. 20.   D. 44. Câu 16. Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a. Giá trị của BO.BC bằng A. a2  B. 3a2  C. a2. D. a2. 2 2   Câu 17. Trong tam giác có AB  10, AC  12, góc BAC  120. Giá trị của AB.AC bằng A. 30. B. 60.  C. 60. D. 30. b Câu 18. Cho hai vesctơ a  (3;2),  (1;7). Tìm tọa độ véctơ c biết a.c  9, b.c  20. A. c  (1;3). B. c  (1; 3). C. c  (1;3). D. c  (1; 3). Câu 19. Cho hình thang vuông ABCD có đáy lớn AB  4a, đáy nhỏ CD  2a, đường cao AD  3a, I là trung điểm của AD. Câu nào sau đây sai ?         A. AD.CD  0. B. AD.AB  0. C. DA.DB  0. D. AB.DC  8a2.   Câu 20. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có BC  a 2. Tính CA.CB.        a2    A. CA.CB  a 2. B. CA.CB  a. CA.CB 2 D. CA.CB  a 2. C. Câu 21. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua C. Khi đó AE.AB bằng A. 5a2. B. 5a2. C. 2a2. D. 3a2. Câu 22. Cho tam giác đều ABC cạnh a  2. Hỏi mệnh đề nào sau đây sai ?       A. (AB.AC ).BC  2BC . B. BC .CA  2.       C. (AB  BC ).AC  4. D. (AC  BC ).BA  4.   Câu 23. Cho đoạn thẳng AB  4, AC  3, AB.AC  k. Hỏi có mấy điểm C để k  8 ? A. 2. B. 0. C. 3. D. 1.       Câu 24. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Giá trị của AB.BC  BC .CA  CA.AB bằng A.  3a2  B. a2 3  C. a2 3  D. 3a 2  2 2 2 2 Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 114 -

Môn: Hình học 10 có AB  10, AC  12, góc Chủ đề: Tích vô hướng của haivéctơ AB.AC Câu 25. Trong tam giác ABC BAC  120. Khi đó bằng A. 60. B. 60. C. 30. D. 30. Câu 26. Tam giác ABC có ABC  135, BC  3, AB  2. Cạnh AC bằng A. 2,25. B. 5. C. 5. D. 17. Câu 27. Cho biết (a,b)  120, a  3,   5. Độ dài của véctơ a   bằng b b A. 4. B. 2. C. 19. D. 7.   Câu 28. Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Tính AB.AD. A. a2  B. a2. C. 0. D. a. 2    Câu 29. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Khi đó AC .(CD  CA) bằng A. 3a2. B. 2a2. C. 1. D. 3a2. Câu 30. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB  3, AC  5. Vẽ đường cao AH. Tích vô   hướng HB.HC bằng A. 34. B. 225  C.  225  D.  34. 34 34   Câu 31. Tam giác ABC vuông ở A, AB  c, AC  b. Tích vô hướng BA.BC bằng A. b2. B. c2. C. b2  c2. D. b2  c2.      Câu 32. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Khi đó (AB  AC ).(BC  BD  BA) bằng A. 2 2a. B.  3a2  C. 0. D. 2a2. 2    Câu 33. Tam giác ABC có BC  a; CA  b; AB  c. Giá trị của (AB  AC ).BC bằng A. c2  b2 a2  B. a2. C. c2 b2  D. c2 b2  a2  2 2 3 Câu 34. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM  BN  CP  DQ  x (0  x  a). Giả sử ta có    a2 thì giá trị của x bằng PM .DC 2 A. 3a  B. a. C. a D. a 4 4 2 Câu 35. Cho hình thang vuông ABCD có đáy lớn AB  4a, đáy nhỏ CD  2a, đường cao   AD  3a, I là trung điểm của AD. Giá trị của DA.BC bằng Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 115 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Tích vô hướng của hai véctơ A. 0. B. 4a2. C. 9a2. D. 15a2.   Câu 36. Cho hình vuông ABCD có I là trung điểm của AD. Tính cos(AC, BI ) bằng A.  2  B. 1  C. 1  D. 1 10 10 5 3 Câu 37. Cho hai véctơ a và  khác  Xác định góc giữa hai véctơ a và  nếu hai véctơ b 0. b 2 a   và a  vuông góc với nhau và a    1. 5 3b b b A. 60. B. 45. C. 90. D. 180. Câu 38. Cho hình thang vuông ABCD có đáy lớn AB  4a, đáy nhỏ CD  2a, đường cao    AD  3a; I là trung điểm của AD. Tích (IA  IB).AC bằng A. 9a2. B. 3a2  C.  3a2  D. 0. 2 2 Câu 39. Cho tam giác vuông ABH vuông H tại có BH  2; AB  3. Hình chiếu của H lên   AB là K. Tích vô hướng BK.BH bằng A. 4. B. 4 C. 3 D. 16  3 4 9 Câu 40. Cho hình thang vuông ABCD có đáy lớn AB  4a, đáy nhỏ CD  2a, đường cao   AD  3a; I là trung điểm của AB. Tích DA.BC bằng A. 0. B. 9a2. C. 9a2. D. 15a2. 1.A 2.C 3.A BẢNG ĐÁP ÁN 8.C 9.C 10.B 11.A 12.C 13.D 4.A 5.A 6.D 7.B 18.B 19.C 20.D 21.C 22.C 23.A 14.D 15.D 16.A 17.C 28.C 29.A 30.C 31.B 32.D 33.B 24.A 25.B 26.D 27.C 38.D 39.D 40.C 34.A 35.C 36.A 37.D Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 116 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Hệ thức lượng trong tam giác §2 . HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC  1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông  b2  a.b.  c2  ac.  a2  b2  c2.  b.c  h2.  a.h  b.c.  b  b2  c c2  1  11 h2 b2 c2 2. Hệ thức lượng trong tam giác thường  Định lí côsin: bac222  b2  c2  2bc cos A  cccooosssCAB   c2 a2  2ca cos B   a2  b2  2ab cosC   Định lí sin: a  b  c  2R. sin A sin B sinC  Trung tuyến: ma2  2(b 2 c2)a2 ; mb2  2(c2  a2) b2 ; mc2  2(a 2 b2) c2  4 4 4  Công thức diện tích tam giác: S  1 aha  1 bc sin A  abc  pr  p(p  a)(p  b)(p  c), với p  a b c  2 2 4R 2 Trong đó R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC . 3. Bán kính đường tròn nội tiếp (nâng cao) r  (p  a) tan A  (p  b) tan B  (p  c) tan C  2 2 2 Đặc biệt: Nếu tam giác ABC là đều thì p  a b c  3a  3b  3c và A  B  C  60 2 2 2 2 nên: r  a tan 60  a 3  2 2 Nếu tam giác ABC là vuông thì r  tæng hai c¹nh gãc vu«ng  c¹nh huyÒn  2 4. Độ dài đường phân giác (nâng cao)  2  4bc .p(p  a),  2  4ca .p(p  b),  2  4ab .p(p  c). a (b  c)2 b (c  a)2 c (a  b)2 Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 117 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Hệ thức lượng trong tam giác Daïng toaùn 1: Tính caùc giaù trò cô baûn BT 1. Cho tam giác ABC, hãy tính ha, R, r và số đo các góc trong các trường hợp sau: a) AB  6, AC  8 và BAC  60. b) BC  8, AB  5, ABC  60. B 8 B 8 H 60o H 5 6 A 60o CA C Theo định lý hàm cos, ta có: ........................................................................... ........................................................................... BC 2  AB2  AC 2  2AB.AC.cos A ........................................................................... ...........................................................................  64  36  2.8.6. cos 60  49. ........................................................................... ........................................................................... Suy ra BC  7. ........................................................................... ........................................................................... Diện tích tam giác ABC : ........................................................................... ........................................................................... SABC  AB.AC sin A  8.6 sin 60  10 3. ........................................................................... 2 2 ........................................................................... Mà SABC  1 AH.BC  10 3 2  1 AH .7  10 3  AH  20 3  2 7 Áp dụng định lý hàm sin: 2R  a  BC  R  2BC sin A sin A sin A  R  7  7 3  ........................................................................... 2.sin 60 3 ........................................................................... ........................................................................... Ta lại có: SABC  pr r  SABC ........................................................................... p ........................................................................... ...........................................................................  r  AB 2SABC  20 3  ...........................................................................  BC  CA 21 ........................................................................... ........................................................................... Có cos B  BA2  BC 2  AC 2 ........................................................................... 2BA.BC ...........................................................................  .......................................................................... Có cosC  CA2 CB2  AB2 2CA.CB  .......................................................................... c) AB  20, AC  16, BC  12. d) BC  19, AC  15, AB  6. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 118 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Hệ thức lượng trong tam giác B B 19 H 12 6 20 H A 15 C A 16 C ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... e) BC  12, AC  13, ma  AM  8. f) BAC  60, BC  10, 3r  5 3. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 119 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Hệ thức lượng trong tam giác B B H H M 10 8 12 A 60o C A 13 C .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... .............................................................................. ........................................................................... BT 2. (THPT Trần Phú – Tp. Hồ Chí Minh) Cho tam giác ABC có AB  2, AC  2 3, góc A  30. Tính độ dài BC , bán kính đường tròn ngoại tiếp và diện tích ABC . Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 120 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Hệ thức lượng trong tam giác .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. Đáp số: BC  2, R  2, S  3. ...................................................................................................... BT 3. (THPT Lê Trọng Tấn – Tp. Hồ Chí Minh) Cho tam giác ABC có AB  3, BC  4 và ABC  120.   b) Tính độ dài cạnh AC . a) Tính tích vô hướng BA.BC. ............................................................................ ................................................................................. ............................................................................ ................................................................................. ............................................................................ ................................................................................. ............................................................................ ................................................................................. ............................................................................ .................................................................................   Đáp số: BA.BC  6. ................................... Đáp số: AC  37. ............................................. BT 4. (THPT Nguyễn Chí Thanh – Tp. Hồ Chí Minh) Cho tam giác ABC có AB  5, AC  8, BAC  60. a) Tìm độ dài cạnh BC và bán kính đường b) Tính diện tích tam giác ABC và bán kính tròn ngoại tiếp tam giác ABC . đường tròn nội tiếp tam giác ABC . ............................................................................ ................................................................................. ............................................................................ ................................................................................. ............................................................................ ................................................................................. ............................................................................ ................................................................................. ............................................................................ ................................................................................. ............................................................................ ................................................................................. ............................................................................ ................................................................................. ............................................................................ ................................................................................. ............................................................................ ................................................................................. ............................................................................ ................................................................................. BT 5. Cho tam giác ABC có A  120, B  30, diện tích SABC  9 3. Tính các cạnh của tam giác ABC . Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 121 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Hệ thức lượng trong tam giác .......................................................................................................... C .......................................................................................................... .......................................................................................................... 120° B .......................................................................................................... A .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. BT 6. Cho tam giác ABC có AB  3, AC  7 và góc B  60. A .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. Tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC . .............................................................................. .............................................................................. B C .............................................................................. a) Tính cạnh BC . .............................................................................. ............................................................................... .............................................................................. ............................................................................... .............................................................................. ............................................................................... .............................................................................. ............................................................................... .............................................................................. b) Trên đoạn AC , BC lấy lần lượt các điểm D, E sao cho CD  CE  4. Tính đoạn DE. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. BT 7. (THPT Nguyễn Thượng Hiền – Tp. Hồ Chí Minh) Cho tam giác ABC có AB  2, AC  2 7 và BC  4. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 122 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Hệ thức lượng trong tam giác a) Tính góc B, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và diện tích tam giác ABC . . ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. Đáp số: B  120, R  2 21 , SABC 2 3. ................................................................................... 3 b) Tính độ dài đường phân giác trong của góc B của tam giác ABC . Gọi D là chân đường phân giác trong kẻ từ góc B. SABC  SABD  SBCD  2 3  1 AB.BD.sin ABD  1CB.BD.sinCBD 22 2 3  1 .2.BD. sin 60  1 .4.BD. sin 60 2 2  ............................................................................................................................................................ .........................................................................................................................................  BD  4/3. BT 8. (THPT Chuyên Lê Hồng Phong – Tp. Hồ Chí Minh) Cho tam giác ABC có AB  2, AC  3 và BAC  120. Tính độ dài BC , diện tích tam giác ABC , bán kính đường tròn ngoại tiếp và độ dài đường phân giác trong AD của tam giác ABC . .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. BT 9. (THPT Bùi Thị Xuân – Tp. Hồ Chí Minh) Cho tam giác ABC có AB 3, AC 5 và BAC  60. Gọi M là trung điểm của AB và E là trên AC thỏa AC  4AE.   a) Tính CM và bán kính nội tiếp AMC . b) Tính tích vô hướng BE.AC . Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 123 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Hệ thức lượng trong tam giác ............................................................................ ................................................................................. ............................................................................ ................................................................................. ............................................................................ ................................................................................. ............................................................................ ................................................................................. ............................................................................ ................................................................................. ............................................................................ ................................................................................. ............................................................................ ................................................................................. ............................................................................ ................................................................................. ............................................................................ ................................................................................. ............................................................................ ................................................................................. ............................................................................ ................................................................................. ............................................................................ ................................................................................. ............................................................................ ................................................................................. ............................................................................ ................................................................................. ............................................................................ ................................................................................. Đáp số: CM  79 và SAMC  15 3  Đáp số:    5  2 8 BE.AC 4 BT 10. Cho tam giác ABC có AB  10, BC  6, góc B  120. H B6 C a) Tính AC và diện tích tam giác ABC . .............................................................................. 10 .............................................................................. D .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. A .............................................................................. ............................................................................... .............................................................................. ............................................................................... .............................................................................. ............................................................................... .............................................................................. ............................................................................... .............................................................................. b) Tính đường cao AH và bán kính đường c) Tính độ dài đường phân giác trong BD tròn nội tiếp tam giác ABC . của tam giác ABC . ............................................................................... .............................................................................. ............................................................................... .............................................................................. ............................................................................... .............................................................................. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 124 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Hệ thức lượng trong tam giác .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. BT 11. Cho tam giác ABC có AB  8, AC  13, góc A  60. Bổ sung hình vẽ a) Tính BC và diện tích tam giác ABC . A .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. B C .............................................................................. b) Tính độ dài trung tuyến AM và bán kính c) Tính độ dài đường phân giác trong AD đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . của tam giác ABC . .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 125 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Hệ thức lượng trong tam giác ............................................................................... .............................................................................. ............................................................................... .............................................................................. ............................................................................... .............................................................................. ............................................................................... .............................................................................. ............................................................................... .............................................................................. ............................................................................... .............................................................................. BT 12. Cho tam giác ABC có AB  4, BC  2 7, AC  6. Hình vẽ a) Tính góc A. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. b) Tính bán kính đường trong ngoại tiếp và c) Tính độ dài đường cao AH và độ dài diện tích tam giác ABC . đường trung tuyến AM . ............................................................................... .............................................................................. ............................................................................... .............................................................................. ............................................................................... .............................................................................. ............................................................................... .............................................................................. ............................................................................... .............................................................................. ............................................................................... .............................................................................. ............................................................................... .............................................................................. ............................................................................... .............................................................................. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 126 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Hệ thức lượng trong tam giác BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho tam giác ABC . Trung tuyến AM có độ dài : 1 2b2  2c2  a2 . B. 3a2  2b2  2c2 . A. 2 C. 2b2  2c2 a2 . D. b2  c2 a2 . Câu 2. Trong tam giác ABC , câu nào sau đây đúng? A. a2  b2  c2  2bc. cos A . B. a2  b2  c2  2bc. cos A . C. a2  b2  c2  bc. cos A . D. a2  b2  c2  bc. cos A . Câu 3. Diện tích S của tam giác sẽ thỏa mãn hệ thức nào trong hai hệ thức sau đây? I. S 2  p p ap bp c . II. 16S 2  a  b  ca  b ca b  ca  b  c. A. Cả I và II. B. Không có. C. Chỉ I. D. Chỉ II. Câu 4. Tính diện tích tam giác có ba cạnh lần lượt là 3 , 2 và 1. 2 B. 3 . 6 3 A. 2 . C. 2 . D. 2 . Câu 5. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB  AC  30 cm. Hai đường trung tuyến BF và CE cắt nhau tại G . Diện tích tam giác GFC là: A. 50 2 cm2. B. 75 cm2. C. 15 105 cm2. D. 50 cm2. Câu 6. Tam giác có ba cạnh lần lượt là 5,12,13. Tính độ dài đường cao ứng với cạnh lớn nhất. A. 12 . 120 30 60 B. 13 . C. 13 . D. 13 . Câu 7. Tam giác có ba cạnh là 9, 10, 11. Tính đường cao lớn nhất của tam giác. A. 60 2 . B. 3 2. C. 70. D. 4 3. 9 Câu 8. Cho tam giác với ba cạnh a  13,b  14,c  15. Tính đường cao hc . A. 5 3 . B. 12. C. 10 1 . D. 11 1 . 5 5 5 Câu 9. Tam giác ABC có tổng hai góc B và C bằng 1350 và độ dài cạnh BC bằnga . Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. A. a 3 . B. a 2 . a3 a2 C. 2 . D. 2 . Câu 10. Tính diện tích tam giác ABC biết A  60 , b  10 , c  20 . A. 50 5 . B. 50 . C. 50 2 . D. 50 3 . Câu 11. Tam giác ABC có BC  5 5 , AC  5 2 , AB  5 . Tính A Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 127 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Hệ thức lượng trong tam giác A. 60 . B. 45 . C. 30 . D. 120. Câu 12. Cho tam giác ABC có AB  4 cm,BC  7 cm, CA  9 cm. Giá trị cos A là: A.  2 . 1 2 1 3 B. 2 . C. 3 . D. 3 . Câu 13. Tam giác ABC có AC  3 3 , AB  3 , BC  6 . Tính số đo góc B A. 60 . B. 45 . C. 30 . D. 120. Câu 14. Tam giác ABC có góc B tù, AB  3 , AC  4 và có diện tích bằng 3 3. Góc A có số đo bằng bao nhiêu? A. 30 . B. 60 . C. 45 . D. 120. Câu 15. Tam giác ABC có AB  12 , AC  13 , A  30 . Tính diện tích tam giác ABC . A. 39 3 . B. 78 3 . C. 39 . D. 78 . Câu 16. Tam giác ABC có A  105 , B  45 , AC  10 . Tính cạnh AB . A. 5 6 . 56 C. 5 2 . D. 10 2 . B. 2 . Câu 17. Cho tam giác ABC có a  2 , b  6 , c  3  1 . Góc B là : A. 115 . B. 75 . C. 60 . D. 5332 ' . Câu 18. Cho tam giác DEF có DE  DF  10 cm và EF  12 cm. Gọi I là trung điểm của cạnh EF . Đoạn thẳng DI có độ dài là: A. 8 cm. B. 4 cm. C. 6, 5 cm. D. 7 cm. Câu 19. Tam giác ABC có AB  9 , BC  10 ,CA  11. Gọi M là trung điểm BC và N là trung điểm AM . Tính độ dài BN . A. 5 . B. 34 . C. 6 . D. 4 2 . Câu 20. Tam giác ABC có AB  5 , BC  8 ,CA  6 . Gọi G là trọng tâm tam giác. Độ dài đoạn thẳng AG bằng bao nhiêu? 72 58 72 58 A. 2 . B. 2 . C. 3 . D. 3 . Câu 21. Tam giác ABC có góc A nhọn, AB  5 , AC  8 , diện tích bằng 12. Tính độ dài cạnh BC. A. 2 3 . B. 4 . C. 5 . D. 3 2 . Câu 22. Tam giác ABC có BC  a , CA  b , AB  c và có diện tích S . Nếu tăng cạnh BC lên 2 lần đồng thời tăng cạnh AC lên 3 lần và giữ nguyên độ lớn của góc C thì khi đó diện tích của tam giác mới được tạo nên bằng: A. 4S . B. 6S . C. 2S . D. 3S . Câu 23. Cho tam giác ABC có BC  6,CA  4,AB  5. Mệnh đề nào sau đây sai ? Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 128 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Hệ thức lượng trong tam giác     1 .      1 . 8 8 A. cos AB,AC B. cos BA, AC     BA,CA BA, BC  C. cos   1 .  D. cos  3 . 8 4 Câu 24. Tam giác ABC có AB  10 , AC  24 , diện tích bằng 120. Tính độ dài đường trung tuyến AM. A. 13 . B. 7 3 . C. 26 . D. 11 2 . Câu 25. Tam giác ABC có a  8 , b  7 , c  5 . Diện tích của tam giác là: A. 10 3 . B. 12 3 . C. 5 3 . D. 8 3 . Câu 26. Tam giác ABC có AB  9 cm, AC  12 cm và BC  15 cm. Khi đó đường trung tuyến AM của tam giác có độ dài là: A. 9 cm. B. 7, 5 cm. C. 8 cm. D. 10 cm. Câu 27. Tam giác ABC có AB  5 , AC  9 và đường trung tuyến AM  6. Tính độ dài cạnh BC . A. 22 . B. 17 . C. 129 . D. 2 17 . Câu 28. Tam giác ABC có AB  4 , AC  6 và trung tuyến BM  3 . Tính độ dài cạnh BC . A. 17 . B. 2 5 . C. 4 . D. 8 . Câu 29. Tam giác ABC có AB  4 , AC  10 và đường trung tuyến AM  6 . Tính độ dài cạnh BC . A. 5 . B. 22 . C. 2 22 . D. 2 6 . Câu 30. Tam giác ABC có các góc B  30,C  45 , AB  3 . Tính cạnh AC . 32 B. 6 . 26 36 A. 2 . C. 3 . D. 2 . Câu 31. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC có ba cạnh là 13, 14, 15. A. 2 . B. 3. C. 2. D. 4. Câu 32. Tam giác ABC có AB  1,AC  3,A  600 . Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC . A. 7 . 21 5 D. 3 . B. 3 . C. 2 . Câu 33. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có ba cạnh lần lượt là 5, 12, 13. A. 3. B. 2. C. 2. D. 2 2. Câu 34. Tam giác ABC có A  75, B  45 , AC  2 . Tính cạnh AB . 6 6 2 D. 6 . A. 2 . B. 3 . C. 2 . Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 129 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Hệ thức lượng trong tam giác Câu 35. Cho tam giác ABC có AB  8 cm, AC  18 cm và có diện tích bằng 64 cm2. Giá trị sin A là: 8 3 4 3 A. 9 . B. 8 . C. 5 . D. 2 . Câu 36. Tam giác ABC có các góc A  75, B  45 . Tính tỉ số AB . AC A. 1,2 . 6 C. 6 . 6 B. 3 . D. 2 . Câu 37. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính R, AB  R, AC  R 2. Tính góc A biết A là góc tù. A. 120 . B. 150. C. 135 . D. 105. Câu 38. Tam giác ABC có AB  3 , AC  4 và tan A  2 2 . Tính cạnh BC A. 4 2 . B. 33 . C. 17 . D. 3 2 . Câu 39. Tam giác ABC có AB  3 , AC  4 và tan A  2 2 . Tính cạnh BC A. 4 3 . B. 33 . C. 7 . D. 3 2 . Câu 40. Tam giác ABC có AB  7 , AC  5 và cos B C    1 . Tính BC 5 A. 2 22 . B. 4 22 . C. 4 15 . D. 2 15 . Câu 41. Tam giác ABC có AB  4 , AC  6, cos B  1 , cosC  3 .Tính cạnh BC . 8 4 A. 5 . B. 3 3 . C. 2 . D. 7 . Câu 42. Tam giác ABC có BC  5 , AC  3 và cotC  2 . Tính cạnh AB A. 2 10 . B. 26 . C. 21 . 9 D. 5 . Câu 43. Tam giác ABC có BC  10 và sin A  sin B  sinC . Tìm chu vi của tam giác đó. 54 3 A. 36 . B. 24 . C. 22 . D. 12 . Câu 44. Tam giác ABC có BC  12 ,CA  9 , AB  6 . Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM  4 . Tính độ dài đoạn thẳng AM A. 19 . B. 3 2 . C. 20 . D. 2 5 . Câu 45. Cho tam giác cân ABC có A  1200 và AB  AC  a . Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho BM  2BC . Tính độ dài AM 5 a3 11a a7 a6 A. 3 . B. 5 . C. 5 . D. 4 . Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 130 -

Môn: Hình học 10 Chủ đề: Hệ thức lượng trong tam giác Câu 46. Trong tam giác ABC , nếu có 2ha  hb  hc thì : A. 2  1  1 . B. 2  1  1 . sin A sin B sinC sin A sin B sinC C. 2 sin A  sin B  sinC . D. sin A  2 sin B  2 sinC . Câu 47. Tìm chu vi tam giác ABC , biết rằng AB  6 và 2 sin A  3 sin B  4 sinC . A. 10 6 . B. 26 . C. 13 . D. 5 26 . Câu 48. Cho tam giác ABC vuông tại A , AC  b , AB  c . Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho góc BAM  30 Tính tỉ số MB . MC 3c b c b3 3c A. b . B. b  c . C. 3c . D. 3b . Câu 49. Hình bình hành có hai cạnh là 3 và 5 , một đường chéo bằng 5 . Tìm độ dài đường chéo còn lại. A. 43 . B. 2 13 . C. 8 . D. 8 3 . Câu 50. Trong tam giác ABC , nếu có a2  b.c thì A. 1  1 1 . B. ha2  hb.hc . C. 1  1 1 . D. 1  2 2 . ha2 hb hc ha2 hb hc ha2 hb hc 1.A 2.B 3.A BẢNG ĐÁP ÁN 8.D 9.D 10.D 11.A 12.C 13.A 4.A 5.B 6.D 7.A 18.A 19.B 20.D 21.C 22.B 23.C 14.B 15.C 16.C 17.C 28.B 29.C 30.A 31.D 32.B 33.C 24.A 25.A 26.B 27.D 38.C 39.B 40.D 41.A 42.C 43.B 34.D 35.A 36.D 37.D 48.D 49.A 50.B 44.A 45.C 46.B 47.B Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang - 131 -