HÌNH HỌC 11_HK1

TÀI LIỆU ÔN TẬP MÔN TOÁN HÌNH HỌC 11_HỌC KÌ I GIÁO VIÊN: NGUYỄN NHÂN TÌNH NĂM HỌC: 2021 - 2022

Muïc luïc CHƯƠNG 1. PHÉP DỜI HÌNH – PHÉP ĐỒNG DẠNG § 2. PHÉP TỊNH TIẾN................................................................................................................................................ 1 § 3. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC .................................................................................................................................. 5 § 4. PHÉP QUAY............................................................................................................................................................ 9 § 5. PHÉP VỊ TỰ............................................................................................................................................................ 11 CHƯƠNG 2. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN § 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG ..................................................................... 16 Daïng toaùn 1. Tìm giao tuyeán cuûa hai maët phaúng ......................................................................... 18 Daïng toaùn 2. Tìm giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng ............................................. 20 Daïng toaùn 3. Tìm thieát dieän cuûa hình choùp khi caét bôûi moät maët phaúng ..................... 23 Daïng toaùn 4. Chöùng minh ba ñieåm thaúng haøng .............................................................................. 24 Baøi taäp töï luyeän ......................................................................................................................................................... 26 § 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG .......................................................................................................... 32 Daïng toaùn 1. Chöùng minh hai ñöôøng thaúng song song ............................................................. 33 Daïng toaùn 2. Tìm giao tuyeán cuûa 2 maët phaúng chöùa 2 ñöôøng thaúng song song.... 35 Baøi taäp töï luyeän ......................................................................................................................................................... 39 § 3. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG........................................................................... 41 Daïng toaùn 1. Chöùng minh ñöôøng thaúng song song vôùi maët phaúng................................... 42 Daïng toaùn 2. Tìm thieát dieän song song vôùi moät maët phaúng ................................................... 47 Baøi taäp töï luyeän ......................................................................................................................................................... 50 § 4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG .................................................................................................................. 52 Daïng toaùn 1. Chöùng minh hai maët phaúng song song................................................................... 53 Baøi taäp vaän duïng ....................................................................................................................................................... 57 Baøi taäp oân chöông ..................................................................................................................................................... 59

H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 1 – PhÐp biÕn h×nh CHƯƠNG I PHÉP DỜI HÌNH – PHÉP ĐỒNG DẠNG Bài 2. PHÉP TỊNH TIẾN A. Kiến thức cần nắm  1. Địnhnghĩa:Trong mặt phẳng cho vectơ v. Phép biến hình biến mỗi điểm M thànhđiểm M  sao cho: MM   v được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v. Ký hiệu: T  M   M   MM   v. v 2. Nhận xét: Phép tịnh tiến theo vectơ - không là phép đồng nhất Cho v  a;b và phép tịnh tiến T 3. Biểu thức tọa độ: v M  x; y   T  M   M   x; y       x  x  a . v MM  v  y  y  b  4. Tính chất:   Tính chất 1: Nếu T  M   M , T  N   N thì MN  M N và từ đó suy ra MN  M N . vv Tính chất 2: Phép tịnh tiến  Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự của các điểm tương ứng  Biến tia thành tia , biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó  Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó  Biến tam giác thành tam giác bằng nó  Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính B. Dạng toán thường gặp  Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ v  1; 2 và hai điểm A3;5 , B 1;1.  a) Tìm tọa độ của các điểm A, B ' theo thứ tự là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến v.  b) Tìm tọa độ điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến v. Lời giải tham khảo a) Ta có: T  A  A  x  3  1   x  2  A2;7. v   7  y  5  2  y  ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 1

H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 1 – PhÐp biÕn h×nh Ví dụ 2. Cho đường thẳng d :2x  y  3  0. Tìm đường thẳng d là ảnh của d qua phép tịnh tiến v  1;3. Lời giải tham khảo Phương pháp 1: Chọn hai điểm bất kì trên d , xác định ảnh tương ứng. Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng qua hai ảnh ) Gọi A0;3, B 1;1  d. ) Ta có: Tv  A  A x; y  A  1; 6   d  AB.  B  B x; y  B  0; 4 Tv ) Đường thẳng d: qua A  1; 6  1;  2  .  VTPT n   2;1 VTCP u  AB    ) Vậy đường thẳng d  : 2x  y  4  0. Phương pháp 2: Theo tính chất của phép tịnh tiến: Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó ) Vì: T d  d nên d: 2x  y  m  0. v ) Gọi A0;3  d, khi đó: A  T  A  x  xa  x  1 A  1; 6 . v  yb     y   y 6 ) Mà: A1;6  d  : 2x  y  m  0  2 1  6  m  0  m  4. ) Vậy đường thẳng d  : 2x  y  4  0. Phương pháp 3: Sử dụng quỹ tích : M  d  T  M   M  d . v ) Gọi M  x; y  d  T M   M  x; y :  x  x 1 x  x 1 v  y  y    .   y 3 y  3 ) Khi đó: M  x  1; y  3  d  2  x  1  y  3  3  0  2x  y  4  0. ) Vậy đường thẳng d  : 2x  y  4  0. Ví dụ 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho   2;1 và đường thẳng d : 5x  3y 1  0. Tìm phương trình v đường thẳng d là ảnh của d qua phép tịnh tiến Tv. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 2

H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 1 – PhÐp biÕn h×nh Ví dụ 4. Cho đường tròn C : x2  y2  2x  4 y 1  0. Tìm đường tròn C là ảnh của C  qua phép  tịnh tiến v  1;2. Lời giải tham khảo Phương pháp 1: Tính chất của phép tịnh tiến: Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính ) Đường tròn C  :  I 1;  2 .   R  6 ) Gọi C  T C   I   T  I  v  v . R  R ) Ta có: T I  I  x  11  2  I 2;0. v   y  2  2  0 ) Đường tròn C :  I   2; 0  C : x  22  y2  6.  R  R  6 Ví dụ 5. Cho đường tròn C  :  x 12   y  22  4 . Tìm đường tròn C là ảnh của C  qua phép  tịnh tiến v  4;3 . ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 3

H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 1 – PhÐp biÕn h×nh BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1:   Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho u  2;1 và điểm M 3;2. Bài 3: Bài 4: a) Tìm tọa độ điểm A sao cho A là ảnh của M qua phép tịnh tiến u. Bài 5:  Bài 6: b) Tìm tọa độ điểm B sao cho M là ảnh của B qua phép tịnh tiến u.  Cho hình bình hành ABCD. Dựng ảnh của ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ AD. Trong mặt phẳng Oxy, cho v  2;3 và đường thẳng d : 3x  5y  3  0. Viết phương trình đường thẳng d là ảnh của d qua phép tịnh tiến v. Trong mặt phẳng Oxy, cho u  2;  3 và đường tròn C : x2  y2  2x  4 y  4  0. Tìm ảnh của C  qua phép tịnh tiến u.  Trong mặt phẳng Oxy, cho vectơ u  2; 1 , đường thẳng d : 2x  3y  3  0, đường thẳng d1 : 2x  3y  5  0. a) Viết phương trình đường thẳng d là ảnh của d qua T. u b) Tìm tọa độ của vectơ  có giá vuông góc với đường thẳng để là ảnh của qua v d d1 d T . v  Trong mặt phẳng Oxy, cho vectơ u  1;2, hai điểm A3;4 , B 2;  5, đường thẳng d có phương trình: x  2 y  3  0 và đường tròn C : x 12   y 12  9.  a) Tìm tọa độ các điểm A, B theo thứ tự là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến u.  b) Tìm tọa độ điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến u. c) Tìm phương trình đường thẳng d là ảnh của d qua T. u d) Tìm phương trình đường tròn C là ảnh của C qua T . u Bài 7:  Bài 8: Bài 9: Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol có đồ thị y  x2 và vectơ u  2;  3. Tìm ảnh của parabol Bài 10: qua phép tịnh tiến u. Bài 11: Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol có đồ thị  P : y  x2  2x  3. Phép tịnh tiến theo phương của trục tung về dưới 3 đơn vị. Tìm ảnh của parabol qua phép tịnh tiến trên. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A1;3. Thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến theo các vectơ u  1; 2 và v  3; 1, điểm A biến thành điểm A có tọa độ bao nhiêu? Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : y  3x  2. Thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến theo các vectơ u  1; 2 và v  3;1 , đường thẳng d biến thành đường thẳng d có phương trình. Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol  P : y  x2. Phép tịnh tiến theo phương của trục hoành về phía trái 3 đơn vị , sau đó tiếp tục tịnh tiến theo phương của trục tung về phía dưới 1 đơn vị. Ảnh của  P là một parabol Q có phương trình. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 4

H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 1 – PhÐp biÕn h×nh Bài 3. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC A. Kiến thức cần nắm M d 1. Định nghĩa: Cho đường thẳng d. Phép biến hình biến mỗi điểm M0 M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành điểm M  sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM  được M' gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục d.  Đường thẳng d được gọi là trục của phép đối xứng hoặc đơn giản gọi là trục đối xứng.  Phép đối xứng trục d được kí hiệu là Đd .  Nếu hình H là ảnh của hình H qua phép đối xứng trục d thì ta còn nói H đối xứng với H qua d , hay H và H đối xứng nhau qua d. Nhận xét:  Cho đường thẳng d. Với mỗi điểm M,gọi M0 là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng  d. Khi đó: M   Đd  M   M0M   M0M .  M   Đd M   M  Đd M . 2. Biểu thức tọa độ:  Nếu d  Ox. Gọi M  x; y  Đd M  x; y thì  x  x .   y   y  Nếu d  Oy. Gọi M  x; y  Đd M  x; y thì x  x .   y  y 3. Tính chất: Tính chất 1: Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Tính chất 2: Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. A O CR a B a' B' C' R A' O' B. Các dạng toán thường gặp Ví dụ 1. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 5

H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 1 – PhÐp biÕn h×nh Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M 1;5 , đường thẳng d : x  2 y  4  0 và đường tròn C : x2  y2  2x  4 y  4  0. a) Tìm ảnh của M , d, C  qua phép đối xứng trục Ox. b) Tìm ảnh của M , d, C  qua phép đối xứng trục Oy. c) Tìm ảnh của M , C qua phép đối xứng trục d. Lời giải tham khảo a) Tìm ảnh của M , d, C  qua phép đối xứng trục Ox .  Tìm ảnh của M qua phép đối xứng trục Ox. ) Ta có: M   ĐOx  M    x  1  M 1; 5.  y  5   Tìm ảnh của d qua phép đối xứng trục Ox. ) Gọi A x; yd  A  ĐOx  A   x  x   x  x  y   y  .   y   y ) Do: A x;  y  d  x  2 y  4  0. ) Vậy đường thẳng d  : x  2 y  4  0.  Tìm ảnh của C  qua phép đối xứng trục Ox. ) Gọi B  x; y C  B  ĐOx B   x  x   x  x   .  y   y  y   y ) Do: B  x;  y  C   x2   y2  2x  4  y  4  0. ) Vậy đường tròn C : x2  y2  2x  4 y  4  0. b) ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 6

H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 1 – PhÐp biÕn h×nh c) Tìm ảnh của M , C qua phép đối xứng trục d. Lời giải tham khảo  Tìm ảnh của M qua phép đối xứng trục d : x  2 y  4  0. ) Gọi M   Đd  M . ) Gọi  là đi qua M và vuông góc với d. ) Do:   d : x  2 y  4  0 nên  có dạng: 2x  y  m  0. ) Mà: M 1;5   :2x  y  m  0  2.1  5  m  0  m  7. ) Suy ra: đường thẳng  :2x  y  7  0. ) Gọi M0  d  nên tọa độ của M0 là nghiệm của hpt:  x 2 y  4  M0 2;3.  2x y7   ) Ta có: M0 là trung điểm của MM   M  2xM0  xM ; 2 yM0  yM  M 3;1.  Tìm ảnh của C  qua phép đối xứng trục d : x  2 y  4  0. ) Ta có: C : Tâm I 1;  2.   R3 ) Gọi C  Đd C  nên có tâm I   Đd  I . ) Gọi  là đường thẳng đi qua I và vuông góc với d. ) Ta có:   d : x  2 y  4  0 nên phương trình  : 2x  y  m  0. ) Mà: I 1;  2   :2x  y  m  0  2.1  1.2  m  0  m  0. ) Suy ra đường thẳng  : 2x  y  0.   x4  5 ) Gọi I0 d  , nên tọa độ của I0 là nghiệm của hpt  x 2y  4  0   .  2x  y  0  y8    5 ) Mà I0 là trung điểm của I I nên I    13 ; 26  .  5 5 ) Vậy đường tròn  C :  x  13 2   y  26 2  9.  5     5  Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 7

H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 1 – PhÐp biÕn h×nh BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M 1;4 , đường thẳng d : x  y  0 và đường tròn C : x2  y2  4x  6 y  4  0. a) Tìm ảnh của M , d , C  qua phép đối xứng trục Ox. b) Tìm ảnh của M , d, C  qua phép đối xứng trục Oy. c) Tìm ảnh của M , C qua phép đối xứng trục d. Câu 2: a) Tìm ảnh của các điểm A1;2 , B 0;  5 qua phép ĐOx. b) Tìm ảnh của các điểm A1;2 , B 5;0 qua phép ĐOy. c) Tìm ảnh của điểm M 1;5 qua phép Đd với d : x  3y  4  0. d) Tìm ảnh của d :3x  y  2  0 qua phép đối xứng trục Ox. e) Tìm ảnh của d : x  2 y 1  0 qua phép đối xứng trục Oy. f) Tìm ảnh của đường tròn C  : x  22   y  42  18 qua phép ĐOx. g) Tìm ảnh của đường tròn C  : x  22   y 12  40 qua phép ĐOy. h) Tìm ảnh của C  : x2  y2  4x  2 y  4  0 qua phép đối xứng trục d : 2x  y  0. Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn C1  : x2  y2  4x  5y 1  0 và C2  : x2  y2  10 y  5  0. Viết phương trình ảnh của mỗi đường tròn trên qua phép ĐOy. Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d : x  5y  7  0 và d  : 5x  y  13  0. Tìm phép đối xứng qua trục biến d thành d . Câu 5: Cho tứ giác ABCD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Xác định ảnh của ABE qua phép đối xứng qua đường thẳng CD. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 8

H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 1 – PhÐp biÕn h×nh Bài 4. PHÉP QUAY A. Kiến thức cần nắm: 1. Định nghĩa Cho điểm O và góc lượng giác . Phép biến hình biến O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác  O thành điểm M  sao cho OM   OM và góc lượng giác OM ;OM  bằng  được gọi là phép quay tâm O góc quay . Điểm O gọi là tâm quay,  gọi là góc quay. Phép quay tâm O góc  , kí hiệu là QO;. 2. Tính chất Phép quay là phép biến hình biến:  Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.  Biến một đường thẳng thành một đường thẳng.  Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho.  Biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. Lưu ý: Giả sử phép quay tâm O góc quay  biến đường thẳng d thành đường thẳng d .  Nếu 0     thì góc giữa d và d bằng . 2  Nếu      thì góc giữa d và d bằng   . 2 3. Phương pháp xác định ảnh một điểm qua phép quay Phương pháp 1. Sử dụng định nghĩa Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M  x; y là ảnh của M  x; y qua phép quay tâm I a;b, góc quay . Khi đó: M   x; y  Q I ;   M   IM   IM 1 MIM   . 2 Từ 1, sử dụng công thức tính độ dài, sẽ tìm được phương trình thứ nhất theo 2 ẩn. Từ 2 , sử dụng định lý hàm số cos, sẽ tìm được phương trình thứ hai theo 2 ẩn. Giải hệ phương trình này tìm được x, y từ đó suy ra tọa độ điểm M  x; y. Phương pháp 2. Sử dụng công thức tọa độ: M  x; y  QI ;    x  x  a cos  y  bsin  a   x  a sin  y  b cos  .  y b  Đặc biệt: M   x; y  QO  M    x   y .  y  x ;90  B. Các dạng toán thường gặp: Ví dụ 1. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 9

H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 1 – PhÐp biÕn h×nh Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A2;3, đường thẳng d : 2x  3y  2  0 và đường tròn có phương trình C : x2  y2  4x  4 y 1  0. a) Tìm ảnh của điểm A2;3 qua phép QO;90. Lời giải tham khảo ) Ta có: A  QO ; 90  A  x   y  x  3  A  3; 2  . x  2  y   y   ) Vậy ảnh của điểm A2;3 qua phép QO;90 là A3;2. b) Viết phương trình đường thẳng d  là ảnh của d qua phép QO;90. Lời giải tham khảo ) Gọi  d   QO;90 d  d  : 3x  2 y  m  0. ) Chọn M 1;0  d : 2x  3y  2  0. ) Khi đó: M   QO;90  M   x   y   x  0  M 0;1.   y  1  y  x  ) Do: M  d  M  d  : 3x  2 y  m  0  3.0  2.1  m  0  m  2. ) Vậy đường thẳng d  : 3x  2 y  2  0. c) Viết phương trình đường tròn C là ảnh của C  qua phép QO;90. Lời giải tham khảo ) Đường tròn C  có tâm I 2;2 và bán kính R  22  22  1  3. ) Gọi C   QO;90 C   I   QO ; 90  I  .  R  R  3 ) Khi đó: I   QO;90  I   x   y   x  2  I   2; 2 .   y  2  y  x  ) Vậy phương trình đường tròn C :  x  22   y  22  9. Ví dụ 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A3;1 , đường thẳng d : 3x  4 y  2  0 và đường tròn có phương trình C  :  x  12   y  22  16. Tìm ảnh của điểm A, d , C  qua phép QO;90. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 10

Bài 1: H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 1 – PhÐp biÕn h×nh BÀI TẬP TỰ LUYỆN Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A1;0 , B 0;  2. Tìm A, B lần lượt là ảnh của A, B qua phép quay tâm O, góc quay 90. Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tìm ảnh của đường tròn C  qua phép quay tâm O, góc quay  trong các trường hợp sau đây: a) C :  x  22   y 12  1,   90. b) C : x2  y2  4x  5  0,   90. c) C : x2  y2  2x  4 y  1,   90. f) C : x2  y2  6x  5  0,   90. Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tìm ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm O, góc quay  trong các trường hợp sau đây: a) d : x  y  2  0,   90. b) d : x  3y  11  0,   90. c) d : x  3y  5  0,   60. d) d : 2x  y  6  0,   45. Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 2x  3y  2  0 và đường tròn có phương trình là C : x2  y2  4x  4 y 1  0. Bài 5: a) Viết phương trình d  là ảnh của d qua phép QO;90. b) Viết phương trình C là ảnh của C  qua phép quay QO;90. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M 2;2, đường thẳng d : 2x  y  2  0 và đường tròn C :  x 12   y 12  4. Tìm ảnh của M , d, C  a) Phép quay tâm O góc quay 45. b) Phép quay tâm I 1; 2 góc quay 45.  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm 2 Bài 6: A4;3, đường tròn C  :  x  22  y2 3  5. Tìm ảnh của A, C qua phép quay tâm O góc quay 60. Bài 7: Cho tam giác ABC có các đỉnh kí hiệu theo hướng âm, dựng bên ngoài các hình vuông Bài 8: ABDE, BCKF. Gọi P là trung điểm của AC, H là điểm đối xứng của D qua B, M là trung điểm của FH.   a) Xác định ảnh của BA, BP trong phép quay QB,90. b) Chứng minh: DF  2BP và DF  BP. Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngoài tam giác đó các tam giác BAE và CAF vuông cân tại A. Gọi I , M , J theo thứ tự là trung điểm của EB, BC, CF. Chứng minh tam giác IMJ vuông cân. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 11

H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 1 – PhÐp biÕn h×nh Bài 5. PHÉP VỊ TỰ A. Kiến thức cần nắm: 1. Định nghĩa Cho điểm O cốđịnh vàmột số thực k không đổi, k  0. Phép biến hình mỗi điểm M thành điểm M , sao cho OM   kOM được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k và kí hiệu là VO;k. Điểm O được gọi là tâm vị tự. 2. Tính chất Định lí 1.Nếu phép vị tự tâm I tỉ số k biến hai điểm M và N lần lượt thành hai điểm M  và N thì M N  k MN và M N   k.MN. Định lí 2. Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó. Hệ quả.  Biến đường thẳng không qua tâm vị tự thành đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.  Biến đường thẳng qua tâm vị tự thành chính nó.  Biến tia thành tia.  Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên với k .  Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là k .  Biến góc bằng góc ban đầu.  Lưu ý:  Qua phép VO;k đường thẳng d biến thành chính nó khi và chỉ khi d qua tâm vị tự O.  Nếu M   VI;k  M   M   V 1  M .  k  I ; 3. Ảnh của đường tròn qua phép vị tự Định lí 3. Phép vị tự tỉ số k biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính R  k R. Chú ý. Nếu phép vị tự tâm O tỉ số k biến đường tròn  I; R thành đường tròn  I; R thì k  R k  R và   OI  k.OI. RR  Đặc biệt: I   VO ; k   I        x  k.x . OI  k.OI  y  k.y  4. Tâm vị tự của hai đường tròn  Với hai đường tròn bất kì luôn có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia. Tâm của phép vị tự này được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn.  Nếu tỉ số vị tự k  0 thì tâm vị tự đó gọi là tâm vị tự ngoài, nếu tỉ số vị tự k  0 thì tâm vị tự đó gọi là tâm vị tự trong.  Cách xác định tâm vị tự: ) Nếu I là tâm vị tự ngoài, ta có:   R  IO .IO. R ) Nếu I là tâm vị tự trong, ta có:    R  IO .IO. R B. Các dạng toán thường gặp: Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 12

H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 1 – PhÐp biÕn h×nh Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép vị tự tâm O 0;0 sau: a) Cho A1; 1 , B 2;3. Tìm A  VO;k  A và B  VO;k  B với k  3. Lời giải tham khảo ) Ta có: A  VO ; 3  A   x  k.x  x  3.1  3  A  3; 3 .  y  k.y    y 3.1  3  ) Vậy A3;3. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... b) Cho M 3; 1 và M   VO;k  M  với k  3. Tìm tọa độ điểm M . ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tìm ảnh của đường thẳng d trong các trường hợp: a) Cho d : 2x  y  3  0. Tìm d  VO;k d  với O 0;0 và k  2. Lời giải tham khảo ) Gọi d   VO;2 d   d  : 2x  y  m  0. ) Chọn M 0;3  d : 2x  y  3  0. ) Gọi: M   VO ; 2   M    x  2.x   x  2.0  0  M  0; 6 .  y  2. y  y  2.3  6   ) Do M  d  M  d  : 2x  y  m  0  2.0  1.6  m  0  m  6. ) Vậy đường thẳng có phương trình d  : 2x  y  6  0. b) Cho d : 3x  2 y  6  0. Tìm d   VO;k d  với O 0;0 và k  2. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 13

H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 1 – PhÐp biÕn h×nh Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , hãy tìm ảnh của đường tròn C  trong các trường hợp: a) Cho C :  x  12   y  32  2. Tìm C  VO;k C  với O 0;0 và k  3. Lời giải tham khảo ) Đường tròn C  có tâm I 1;3 và bán kính R  2. ) Gọi C  VO;k C   I   VO;k  I  . 2  R  k .R  3 ) Ta có: I   VO ; 3  I    x  k.x   x  3.  1  3  I  3; 9  .  y  k.y  y    3.3  9 ) Vậy đường tròn có phương trình  x  32   y  92  18. b) Cho C : x2  y2  6x  2 y  1  0. Tìm C  VO;k C  với O 0;0 và k  2. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 14

H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 1 – PhÐp biÕn h×nh BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho đường tròn C  :  x 12   y  22  4. Gọi f là phép biến hình có được bằng cách thực hiện phép tịnh tiến theo véctơ    1 ; 3  , rồi đến phép vị tự tâm M  4 ; 1  với tỉ số k  2. v  2 2   3 3  Viết phương trình đường tròn C qua phép biến hình f . Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm B 4;  2, đường thẳng d : x  y  2  0 và đường tròn C :  x  22   y  52  9. a) Tìm tọa độ điểm B1 là ảnh của B qua phép quay tâm O, góc quay 90 và điểm B2 , biết B  là ảnh của B2 qua phép tịnh tiến theo véctơ v  1;  3. b) Viết phương trình C là ảnh của C  qua phép vị tự tâm O, tỉ số k  3. Bài 3: c) Viết phương trình đường thẳng d là ảnh của d qua phép vị tự tâm O, tỉ số k  2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 3x  4 y  8  0 và đường tròn có phương trình C  : x2  y2 18x  4 y  36  0 . a) Tìm ảnh của d qua phép quay tâm O, góc quay 90. b) Tìm ảnh của đường tròn C  qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp  phép tịnh tiến theo v  4;3 và phép vị tự tâm I 0; 2, tỉ số k  2. Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho B 2;3, I 3; 1, đường thẳng d : 2x  y  1 và đường tròn C : x2  y2  2x  6 y 1  0. a) Tìm ảnh của điểm B qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O, góc quay 90 và phép tịnh tiến theo v  1;2. b) Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm O, tỉ số 2. c) Tìm ảnh của đường tròn C  qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm I , tỉ số 3 và phép quay tâm O, góc quay 90. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 15

H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 2 – §¹i c­¬ng vÒ ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng CHƯƠNG II. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN BÀI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 1. Mở đầu về hình học không gian d  Đối tượng cơ bản: A  Điểm: kí hiệu A , B , C , …  Đường thẳng: kí hiệu a , b , c , d , … B P  Mặt phẳng: kí hiệu  P , Q ,   ,   , …  Quan hệ cơ bản:  Thuộc: kí hiệu . Ví dụ: A d , M   P .  Chứa, nằm trong: kí hiệu  . Ví dụ: d   P , b    .  Hình biểu diễn của một hình trong không gian:  Dùng nét vẽ liền    để biểu diễn cho những đường thấy và dùng nét đứt đoạn    để biểu diễn cho những đường bị che khuất. 2. Các tính chất thừa nhận trong hình học không gian  Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt A không thẳng hàng cho trước.  Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt B C phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng P đó.  Tồn tại 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng. d A  Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa. Từ tính chất này suy ra: PB Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng D sẽ có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy. Đường thẳng chung là duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai B A mặt phẳng đó. Đường thẳng chung đó gọi là giao tuyến của P C hai mặt phẳng.  Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng. 3. Điều kiện xác định mặt phẳng  Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng thẳng hàng.  Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó.  Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.  Mặt phẳng hoàn toàn có thể mở rộng ra đến vô cực. 4. Hình chóp và hình tứ diện Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 16

H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 2 – §¹i c­¬ng vÒ ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng  Cho đa giác A1A2 A3...An nằm trong mặt phẳng   và điểm S    . Lần lượt nối điểm S với các đỉnh A1 , A2 , A3 , …, An ta được n tam giác SA1A2 , SA2 A3 , …, SAn A1 . Hình gồm đa giác A1A2 A3...An và n tam giác SA1A2 , SA2 A3 , …, SAn A1 được gọi là hình chóp, kí hiệu hình chóp này là SA1A2 A3...An . Khi đó ta gọi:  S là đỉnh của hình chóp.  A1A2 A3...An là mặt đáy của hình chóp.  Các tam giác SA1A2 , SA2 A3 , …, SAn A1 gọi là mặt bên.  SA1 , SA2 , SA3 , …, SAn được gọi là các cạnh bên. Ta gọi hình chóp có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác, …, lần lượt là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác, …  Cho bốn điểm A , B , C , D không đồng phẳng. Hình gồm 4 tam giác ABC , ACD , ABD và BCD gọi là tứ diện (hay ngắn gọn gọi là tứ diện) và kí hiệu là ABCD .  Các điểm A , B , C , D là bốn đỉnh của tứ diện.  Các đoạn thẳng AB , BC , CD , DA , CA , BD gọi là các cạnh của tứ diện.  Hai cạnh không đi qua một đỉnh gọi là hai cạnh đối diện của tứ diện. Hình tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều gọi là hình tứ diện đều. Hình chóp tam giác Hình chóp tứ giác S S AD AD BC BC Hình chóp tứ giác có đáy Hình chóp tứ giác có đáy là hình bình hành là hình thang Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 17

H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 2 – §¹i c­¬ng vÒ ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng Dạng 1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng 1. Phương pháp giải  Tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng.  Đường thẳng nối hai điểm chung đó là giao tuyến của chúng. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Cho tứ diện SABC. Gọi M , N lần lượt là hai điểm trên cạnh AB và BC sao cho MN không song song với AC. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau: a) SMN  và SAC. b) SAN  và SCM . ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... Ví dụ 2. Cho tứ diện SABC. Gọi K, M lần lượt là hai điểm trên cạnh SA và SC. Gọi N là trung điểm của cạnh BC. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau: ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... a) SAN  và  ABM . b) SAN  và  BCK . ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 18

H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 2 – §¹i c­¬ng vÒ ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng Ví dụ 3. Cho hình chóp SABCD, trong đó mặt đáy ABCD có các cặp cạnh đối không song song. Gọi M là điểm thuộc SA. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau: a) SAC và SBD. b) SAB và SCD. ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... c) MBC và SAD. ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 19

H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 2 – §¹i c­¬ng vÒ ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng Dạng 2. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng 1. Phương pháp giải  Tìm giao tuyến của d và mặt phẳng  .  Bước 1. Tìm một mặt phẳng phụ   chứa đường thẳng d sao cho dễ tạo giao tuyến với  . Mặt phẳng này thường xác định bởi d và một điểm của  .  Bước 2. Tìm giao tuyến u của   và  .  Bước 3. Trong mp   : d cắt u tại I , mà u   . Vậy d cắt   tại I. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 4. Cho tứ diện S.ABC có M là điểm nằm trên tia đối tia SA, O là điểm nằm trong tam giác ABC. Tìm các giao điểm của đường thẳng: a) BC với SOA. b) MO với SBC . ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... c) AB với  MOC . d) SB với  MOC . ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 20

H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 2 – §¹i c­¬ng vÒ ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng Ví dụ 5. Cho tứ diện SABC có hai điểm M , N lần lượt thuộc hai cạnh SA, SB và O là điểm nằm trong tam giác ABC. Xác đỉnh các giao điểm sau: ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... a) AB với SOC. b) MN với SOC. ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... c) SO  CMN  . ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 21

H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 2 – §¹i c­¬ng vÒ ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA và CD. a) Tìm giao điểm E của AD với  BMN . ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... b) Tìm giao điểm F của SD và  BMN . Tính tỉ số FS . FD ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... c) Gọi O  AC  BD và H , K lần lượt là trung điểm của BC, SO. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng 1.  NHK  và SAB. 2.  NHK  và SBD. ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 22

H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 2 – §¹i c­¬ng vÒ ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng Dạng 3. Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi một mặt phẳng 1. Phương pháp giải Tìm các đoạn giao tuyến nối tiếp nhau của mặt phẳng   với hình chóp cho đến khi khép kín thành một đa giác phẳng. Đa giác đó là thiết diện cần tìm và các đoạn giao tuyến chính là các cạnh của thiết diện. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 7. Cho tứ diện ABCD. Trên các đoạn CA, CB, BD lấy lần lượt các điểm M , N , P sao cho MN không song song với AB. Gọi   là mặt phẳng xác định bởi ba điểm M , N , P. Dựng thiết diện tạo bởi   và tứ diện ABCD. Lời giải tham khảo Trong mp  BCD , gọi E  MP  CD. Trong mp  ACD , gọi Q  NE  AD. Ta có:     ABC  MN.     ACD  NQ.     ABD  QP.    BCD  PM . Suy ra thiết diện tạo bởi   và tứ diện  ABCD là tứ giác MNQP. Ví dụ 8. Cho tứ diện SABC . Gọi O là điểm thuộc miền trong tam giác ABC . Gọi M , N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh SA và SC sao cho MN không song song với AC . Tìm thiết diện do  MNO cắt tứ diện S.ABC . ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 23

H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 2 – §¹i c­¬ng vÒ ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng Dạng 4. Chứng minh ba điểm thẳng hàng 1. Phương pháp giải Chứng minh ba điểm đó cùng thuộc hai mặt phẳng khác nhau 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 9. Cho tứ diện S.ABC. Trên cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy M , N , P sao cho MN cắt AB tại I , NP cắt BC tại J và MP cắt AC tại K. Chứng minh rằng ba điểm I , J , K thẳng hàng. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... Ví dụ 10. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB, AC, BD lần lượt lấy ba điểm E, F, G sao cho AB  3AE, AC  2 AF, DB  4DG. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng  EFG và  BCD. ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 24

H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 2 – §¹i c­¬ng vÒ ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng b) Tìm giao điểm H của đường thẳng CD với  EFG. Tính tỉ số HC . HD ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... c) Tìm giao điểm I của đường thẳng AD với  EFG. Tính tỉ số IA . ID ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... d) Chứng minh ba điểm F, H , I thẳng hàng. ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... e) Gọi J là trung điểm của BC, AJ cắt EF tại K. Tính tỉ số AK . AJ ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... ………………………………………………. ………………………………………………... Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 25

H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 2 – §¹i c­¬ng vÒ ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng sau Bài 2: đây: Bài 3: a) SAB và SAC. b) SAC  và SBD. c) SAB và SCD. d) SAD và SBC . Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với AB // CD và AB  CD. Lấy điểm M nằm trên đoạn BC. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây: a) SAC và SBD. b) SAD và SBC. c) SAM  và SBD. d) SDM  và SAB. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, gọi M là trung điểm CD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây: a) SAC và SBD. b) SBM  và SAC. c) SBM  và SAD. d) SAM  và SBC. Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với AB // CD và AB  CD. Lấy điểm M nằm trên đoạn SA. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây: a) BDM  và SAC. b)  BCM  và SAD. c)  BCM  và SCD. Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Lấy điểm M trên cạnh SA , trung điểm của CD là N . Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau: a) BMN  và SAC. b) BMN  và SAD. c) MCD và SBD. d) MCD và SAB. Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác có hai cạnh đối diện không song song. Lấy điểm M thuộc miền trong tam giác SCD. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng sau đây: a) SBM  và SCD. b)  ABM  và SCD. c)  ABM  và SAC. Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. Lấy I thuộc SA, J thuộc cạnh SB sao cho IJ không song song với AB. Lấy điểm K trong tứ giác ABCD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau: a)  IJK  và  ABCD. b)  IJK  và SAB. c)  IJK  và SAD. d)  IJK  và SAC. e)  IJK  và SBD. Bài 8: Cho hình chóp S.ABC. Trên cạnh SA, SC lấy M , N sao cho MN không song song AC. Gọi Bài 9: K là trung điểm BC. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng: a) MNK  và  ABC. b) MNK  và SAB. Cho hình chóp S.ABC. Trên cạnh SA, SC lấy M , N sao cho MN không song song AC. Gọi O là điểm nằm miền trong tam giác ABC. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng: a) MNO và  ABC. b)  MNO và SAB. c) SMO và SBC. d) ONC và SAB. Bài 10: Cho tứ diện ABCD có M là điểm trên cạnh AB, N trên cạnh AD sao cho MB  2MA, AN  2ND. Gọi P là điểm nằm trong tam giác BCD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau: a) CMN  và  BCD. b) MNP và SAD. c) MNP và  ABC. Bài 11: Cho tứ diện ABCD. Gọi M là điểm nằm trong tam giác ABC, N là điểm nằm trong tam giác ACD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây: a) CDM  và  ABD. b) BCN  và  ABD. c) CMN  và  BCD. Bài 12: Cho tứ diện S.ABC. Lấy điểm E, F lần lượt trên đoạn SA, SB và điểm G là trọng tâm tam giác ABC. Hãy tìm: Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 26

H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 2 – §¹i c­¬ng vÒ ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng a) EFG   ABC. b) EFG  SBC. c) EFG  SGC. Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD. Hai điểm G, H lần lượt là trọng tâm SAB, SCD. Tìm: a) SGH    ABCD. b) SAC  SGH . c) SAC  BGH . d) SCD  BGH . Bài 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang có AB song song CD. Gọi I là giao điểm của AD và BC. Lấy M thuộc cạnh SC. Hãy tìm: a) SAC  SBD. b) SAD  SBC. c)  ADM   SBC . Bài 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác lồi. Gọi hai điểm M , G lần lượt là trọng tâm SAB, SAD, N  SG, P nằm trong tứ giác ABCD. Hãy tìm: a) MNP   ABCD. b) MNP  SAC. c) MNP  SCD. Bài 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CD, SA. Hãy tìm: a) MNP  SAB. b) MNP  SAD. c) MNP  SBC. d) MNP  SCD. Bài 17: Cho hình chóp S.ABC. Gọi H , K lần lượt là trọng tâm SAB, SBC và M là trung điểm AC, I  SM sao cho SI  SM . Hãy tìm: a)  IHK    ABC. b)  IHK   SBC. Bài 18: Cho tứ diện SABC. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC, SA. a) Tìm giao tuyến SH của hai mặt phẳng SCD và SAE . b) Tìm giao tuyến CI của hai mặt phẳng SCD và  BFC . Bài 19: Cho hình chóp SABC. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho SA  3SM , trên cạnh SC lấy điểm N sao cho SC  2SN , điểm P thuộc cạnh AB. Tìm giao điểm của: a) MN và  ABC. b) BC và  MNP. Bài 20: Cho tứ diện ABCD. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Lấy điểm P trên cạnh BD sao cho PB  PD. Tìm giao điểm của: a) CD và  MNP. b) AD và  MNP. Bài 21: Cho tứ diện ABCD. Trên AC và AD lần lượt lấy các điểm M , N. Gọi P là điểm thuộc miền trong của tam giác BCD. Tìm giao điểm: a) MN và  BCD. b) AP và  BMN . Bài 22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Trên SA, SB lần lượt lấy hai điểm M và N. Hãy tìm: a) SO  CMN . b) SAD  CMN . Bài 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB. Hãy tìm: a) SGC   ABCD. b) AD  SGC. c) SO  GCD. d) SD  BCG. Bài 24: Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình bình hành. Gọi M là điểm lấy trên cạnh SB, N là điểm lấy trong SCD. Hãy tìm giao điểm của: a) MN với  ABCD. b) SC với  MAN . c) SD với  MAN . d) SA với CMN . Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 27

H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 2 – §¹i c­¬ng vÒ ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng Bài 25: Cho tứ diện S.ABC . Lấy điểm M trên cạnh SA, lấy N , P lần lượt nằm trong các tam giác SBC và ABC. a) Tìm giao điểm của MN với  ABC. b) Tìm các giao điểm của  MNP với AB, SB, AC, SC. c) Tìm các giao điểm của NP với SAB , SAC . Bài 26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB. Gọi I , J là trung điểm của SA và SB. Lấy điểm M tùy ý trên SD. Tìm giao điểm của: a) IM và SBC . b) JM và SAC . c) SC và  IJM . Bài 27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB. Gọi I , J , K là ba điểm nằm trên cạnh SA, AB, BC. a) Tìm giao điểm của IK với SBD. b) Tìm các giao điểm của  IJK  với SD, SC. Bài 28: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm SB, N là trọng tâm SCD. Xác định giao điểm của: a) MN và  ABCD. b) MN và SAC . c) SC và  AMN . d) SA và CMN . Bài 29: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của cạnh SA, SD và P là điểm thuộc cạnh SB sao cho SP  3PB. a) Tìm giao điểm Q của SC và  MNP. b) Tìm giao tuyến  MNP và  ABCD. Bài 30: Cho tứ diện ABCD. Trên AC và AD lần lượt lấy các điểm M , N sao cho M , N không song song với CD. Gọi O là điểm thuộc miền trong BCD. Tìm giao điểm của đường thẳng: a) BD và OMN . b) BC và OMN . c) MN và  ABO. d) AO và  BMN . Bài 31: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M , N lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và SCD. Xác định giao điểm của: a) BD và SMN . b) MN và SAD. c) SD và  BMN . d) SA và CMN . Bài 32: Cho tứ diện SABC. Gọi I , J lần lượt là trung điểm của SA, BC. Lấy điểm M trên đoạn IJ , lấy N trên cạnh SC. a) Tìm H  SM   ABC. b) Tìm K  CM  SAB. c) Tìm L  MN   ABC. d) Tìm P  AM  SBC . Bài 33: Cho tứ diện OABC. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của OA, OB và AB. Trên cạnh OC lấy điểm Q sao cho OQ  QC. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. a) Tìm E  BC   MNQ. b) Tìm F  CP  MNQ. c) Tìm K  BG  MNQ. Bài 34: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm của SB và G là trọng tâm của tam giác SAD. a) E  SA  OMG. b) F  AD  OMG. c) K  GM   ABCD. Bài 35: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M , N là hai điểm lần lượt nằm trong tam giác SAB và SAD. a) E  MN   ABCD. b) F  AB  OMN . c) H  SA  OMN . d) K  CD  OMN . Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 28

H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 2 – §¹i c­¬ng vÒ ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng Bài 36: Cho tứ diện SABC, lấy điểm M là trung điểm của SA, lấy điểm N là trọng tâm SBC và P nằm trong ABC. Tìm giao điểm của: a) I  MN   ABC . b) SB   MNP  ?. c) SC   MNP  ?. d) NP  SAB  ?. Bài 37: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm của SD. a) Tìm I  BM  SAC . Chứng minh: BI  2IM . b) Tìm E  SA   BCM . Chứng minh: E là trung điểm của SA. Bài 38: Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên cạnh BD lấy điểm K sao cho BK  2KD. a) Tìm giao điểm E của đường thẳng CD và  IJK . Chứng minh: DE  DC. b) Tìm giao điểm F của đường thẳng AD và  IJK . Tính tỉ số FA . FD Bài 39: Cho tứ diện ABCD. Gọi I , M lần lượt là trung điểm của AB và BC, G là trọng tâm tam Bài 40: Bài 41: giác ACD. a) Tìm P  CD   IMG. b) Tính tỉ số: PC . PD Cho hình chóp S.ABC có G là trọng tâm ABC. Gọi M là điểm trên cạnh SA sao cho MA  2MS, K là trung điểm BC và D là điểm đối xứng của A qua G. a) Tìm H  SK   MCD. b) Tính tỉ số: HK . SK Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA và CD. a) Tìm giao điểm E của AD với  BMN . b) Tìm giao điểm F của SD và  BMN . Chứng minh rằng: FS  2FD. Bài 42: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB và AB  2CD. Gọi I , J , K lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, AB, BC. a) Tìm giao điểm của IK và SBD. Bài 43: b) Tìm giao điểm F của SD và  IJK . Tính tỉ số FS . FD c) Tìm giao điểm G của SC và  IJK . Tính tỉ số GS . GC Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên cạnh BD lấy điểm K sao cho BK  2KD. a) Tìm giao điểm E của CD với  IJK . Chứng minh: DE  DC. b) Tìm giao điểm F của AD với  IJK . Chứng minh: FA  2FD và FK // IJ . c) Gọi M và N là hai điểm bất kì lần lượt nằm trên hai cạnh AB và CD. Tìm giao điểm của MN với  IJK . Bài 44: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O. Gọi M là trung điểm của SB, N là điểm thuộc đoạn SD sao cho SN  2ND. a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SBD và SAC . Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 29

H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 2 – §¹i c­¬ng vÒ ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng Bài 45: b) Tìm giao điểm E của đường thẳng MN và mặt phẳng  ABCD. Tính EN . EM c) Tìm giao điểm K của đường thẳng SC và mặt phẳng  AMN . Gọi J giao điểm của AK và SO. Tính tỉ số: JK . JA Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AD // BC và AD  2BC, E là trung điểm của SA. Gọi N là điểm thuộc đoạn AB sao cho NB  2NA và M là điểm thuộc đoạn CD sao cho MD  2MC. a) Tìm EMN   SAD  ?. b) Tìm  EMN   SCD  ?. c) Tìm EM  SBC   L. Bài 46: d) Tìm giao tuyến của CDE  và SAB. Giao tuyến này cắt SB tại P và cắt AB tại I. Chứng minh: 2SB  3SP và SIDE  3.SICP. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang AB đáy lớn và AB  3CD. Gọi N là trung điểm của CD, M thuộc cạnh SB thỏa SM  3MB, I thuộc cạnh SA thỏa AI  3IS. a) Tìm giao điểm của đường thẳng MN với SAD. b) Gọi H là giao điểm của CB với  IMN . Tính tỉ số: HB . HC Bài 47: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm của SC, N là Bài 48: trung điểm của OB với O là giao điểm của AC và BD. a) Tìm I  SD   AMN . b) Tính tỉ số: SI . ID Cho hình chóp S.ABC. Trên cạnh SA, SB lần lượt lấy M , N sao cho MN không song song với AB. Gọi P là điểm thuộc miền trong tam giác ABC. Xác định giao tuyến của  MNP và  ABC. Từ đó suy ra thiết diện khi cắt hình chóp bởi mặt phẳng  MNP. Bài 49: Cho tứ diện SABC. Gọi K, N trung điểm của SA, BC và M là điểm thuộc đoạn SC sao cho 3SM  2MC. a) Tìm thiết diện của hình chóp và mặt phẳng  KMN . Bài 50: b) Mặt phẳng  KMN  cắt AB tại I. Tính tỉ số IA . IB Cho tứ diện ABCD. Trên AB lấy điểm M , điểm N trên BC thỏa BN  2NC, P là trung điểm CD. Xác định thiết diện khi cắt bởi  MNP. Bài 51: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AD. Lấy M trên cạnh SB. Tìm thiết diện cắt bởi mặt phẳng  AMD. Bài 52: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N , P là các điểm lần lượt trên các cạnh CB, CD, SA. Tìm thiết diện của hình chóp với  MNP. Bài 53: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AD. Gọi H , K là trung điểm của SB và AB, M là điểm lấy trong hình thang ABCD sao cho đường thẳng KM cắt hai đường thẳng AD, CD. Tìm thiết diện của hình chóp với  HKM . Bài 54: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB, lấy M , N lần lượt trên các cạnh SC, SD. Tìm thiết diện của hình chóp với  ABM  và  AMN . Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 30

H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 2 – §¹i c­¬ng vÒ ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng Bài 55: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H , K là trung điểm BC và CD. Lấy M bất kì trên cạnh SA. Tìm thiết diện của hình chóp với  MHK . Bài 56: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB // CD, AB  CD. Gọi I , J theo thứ tự là trung điểm của các cạnh SB và SC. a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng SAD và SBC . b) Tìm giao điểm của đường thẳng SD với  AIJ . c) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng  AIJ . Bài 57: Cho hình chóp S.ABCD. Lấy một điểm M thuộc miền trong tam giác SBC, N thuộc miền trong tam giác SCD. a) Tìm giao điểm của MN với SAC . b) Tìm giao điểm của SC với  AMN . c) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD với  AMN . Bài 58: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm của SB, G là trọng tâm tam giác SAD. a) Tìm giao điểm I của GM với  ABCD. b) Tìm giao điểm J của OMG với AD. Tính tỉ số JA . JD c) Tìm giao điểm K của OMG với AD. Tính tỉ số: KA . KS d) Tìm thiết diện tạo bởi OMG với hình chóp S.ABCD. Bài 59: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của SB, SD, OC. a) Tìm giao tuyến của  MNP với SAC và  ABCD. b) Tìm giao điểm của SA và  MNP. Bài 60: c) Xác định thiết diện của hình chóp với  MNP. Tính tỉ số mà  MNP chia các cạnh SA, BC và CD. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K là trọng tâm của tam giác SAC và I , J lần lượt là trung điểm của CD và SD. a) Tìm giao điểm H của đường thẳng IK với mặt phẳng SAB. b) Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng  IJK  với hình chóp. Bài 61: Cho tứ diện S.ABC. Trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy M , N , P sao cho MN cắt AB tại I , NP cắt BC tại J và MP cắt AC tại K. Chứng minh rằng: I , J , K thẳng hàng. Bài 62: Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD. a) Tìm giao điểm của  ADN  và  ABP. b) Gọi I  AG  MP và J  CM  AN. Chứng minh D, I , J thẳng hàng. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 31

H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 2 – §¹i c­¬ng vÒ ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng BÀI 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng phân biệt Cho hai đường thẳng phân biệt a và b. Định nghĩa  Hai đường thẳng gọi là đồng phẳng nếu chúng cùng nằm trong một mặt phẳng.  Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng.  Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung. 2. Tính chất hai đường thẳng song song  Tính chất 1. Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường song song với đường thẳng đã cho.  Tính chất 2. (Định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng) Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng qui hoặc đôi một song song với nhau. Hệ quả. Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của  chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó. Tính chất 3. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 32

H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 2 – §¹i c­¬ng vÒ ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng Dạng 1. Chứng minh hai đường thẳng song song 1. Phương pháp giải: Cách 1: Chứng minh hai đường thẳng a, b đồng phẳng, rồi dùng các định lý trong hình học phẳng, chẳng hạn định lý đường trung bình, định lý đảo Thales, … để chứng minh a  b. Cách 2: Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba. Cụ thể chứng minh: c  a  a  b. c  b Cách 3: Áp dụng định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng và hệ quả của nó. Chẳng hạn b  c  chứng minh: b   , c    a  b  c.       a 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD có M , N lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và ABD. Chứng minh rằng: MN  CD. Lời giải tham khảo Gọi I là trung điểm của AB. Vì M là trọng tâm tam giác ABC  IM  1 . IC 3 Vì N là trọng tâm tam giác ABD  IN  1 . ID 3 Suy ra: IM  IN  1  MN  CD. IC ID 3 Ví dụ 2. Cho hình bình hành S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA, SD. Chứng minh: a) MN  AD và MN  BC. ........................................................................................................................................................ ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... b) MO  SC và NO  SB. ........................................................................................................................................................ ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 33

H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 2 – §¹i c­¬ng vÒ ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, AD. Gọi I , J , G lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SAD, AOD. a) Chứng minh: IJ  MN. ........................................................................................................................................................ ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... b) Chứng minh: IJ  BD và GJ  SO. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................ Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O. Gọi G là trọng tâm tam giác SAD và E là điểm trên cạnh DC sao cho DC  3DE, I là trung điểm của AD. a) Tìm giao điểm P của IE và mặt phẳng SBC . ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... b) Chứng minh: GE  SP. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 34

H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 2 – §¹i c­¬ng vÒ ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng Dạng 2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song 1. Phương pháp giải Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng   và   có chứa hai đường thẳng song song lần lượt nằm trong hai mặt phẳng đó, ta làm như sau: A       Ta có: a   ,b           At  a  b. a  b 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M thuộc cạnh SA, điểm E, F lần lượt là trung điểm của AB và BC. a) Tìm SAB  SCD. S SAB  SCD  Ta có:  AB // CD  SAB  SCD  Sx  AB  CD.  AB   SAB , CD   SCD  b) Tìm MBC  SAD. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... c) Tìm MEF   SAC . ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... d) Tìm AD   MEF  . ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 35

H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 2 – §¹i c­¬ng vÒ ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng e) Tìm SD  MEF  . ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... f) Thiết diện của  MEF  và hình chóp. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAD. a) Tìm giao tuyến của SAB và SCD. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... b) Tìm giao điểm của đường thẳng SD và mặt phẳng GBC. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang đáy lớn AD, AB cắt CD tại điểm K. Gọi M là điểm nằm trên cạnh SD. a) Tìm d  SAD  SBC  và N  KM  SBC . ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 36

H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 2 – §¹i c­¬ng vÒ ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... b) Chứng minh rằng AM , BN và d đồng qui. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB. Gọi M là trung điểm của SC. a) Tìm giao điểm của SAB và SCD. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... b) Tìm giao điểm của đường thẳng SB và  MAD. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 37

H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 2 – §¹i c­¬ng vÒ ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng Ví dụ 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm của tam giác SBC và E thuộc cạnh BD sao cho 3BE  BD. a) Tìm giao tuyến của SAB và SCD. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... b) Tìm giao tuyến của SAC và SBD. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... c) Tìm giao điểm của đường thẳng SB và  ADG. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... d) Chứng minh: GE  SA. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 38

H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 2 – §¹i c­¬ng vÒ ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA, SD. Chứng minh: a) MN  AD và MN  BC. b) MO  SC và NO  SB. Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, AD. Gọi I , J , G lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SAD, AOD. a) Chứng minh: IJ  MN. b) Chứng minh: IJ  BD và GJ  SO. Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, I thuộc cạnh SO. a) Tìm giao điểm E, F của mặt phẳng  ICD với SA, SB. Chứng minh: EF  AB. b) Gọi K là giao điểm của DE và CF. Chứng minh: SK  BC. Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA, SB. Gọi P là một điểm trên cạnh BC. Tìm giao tuyến của: a) SBC và SAD. b) SAB và SCD. c) MNP và  ABCD. Câu 5: Cho tứ diện SABC. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và AB, G là một điểm trên cạnh AC. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau: a) SAC và EFC. b) SAC và EFG. Câu 6: Cho tứ diện ABCD. Gọi G, J lần lượt là trọng tâm của tam giác BCD và ACD. a) Chứng minh: GJ  AB. b) Tìm  ABD  GJD. Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB. Gọi E, F lần lượt trung điểm của SA và SB. a) Chứng minh: EF  CD. b) Tìm I  AF  SDC. c) Chứng minh: SI  AB. Câu 8: Cho tứ diện ABCD. Gọi I , J lần lượt là trọng tâm ABC, ABD và E, F lần lượt trung điểm BC, AC. a) Chứng minh: IJ  CD. b) Tìm DEF    ABD. Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC và N là trọng tâm của tam giác ABC. a) Tìm I  SD   AMN . b) Chứng minh: NI  SB. c) Tìm  AMN   SAD. Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AD  2BC. Gọi O là giao điểm của AC và BD, K là trung điểm của SC, G là trọng tâm của tam giác SCD. a) Chứng minh: OG  BK. b) Tìm  ACG  SBC. Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có O là tâm của hình bình hành ABCD, điểm M thuộc cạnh SA sao cho SM  2MA, N là trung điểm của AD. a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SAD và  MBC. b) Tìm giao điểm I của SB và CMN  , giao điểm J của SA và  ICD. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 39

H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 2 – §¹i c­¬ng vÒ ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng c) Chứng minh ba đường thẳng ID, JC, SO đồng qui tại E. Tính tỉ số SE . SO Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AD là đáy lớn và AD  2BC. Gọi M , N , P lần lượt là các điểm thuộc các đoạn SA, AD, BC sao cho MA  2MS, NA  2ND, PC  2PB. a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau: SAD và SBC ; SAC  và SBD. b) Xác định giao điểm Q của SB với  MNP. c) Gọi K trung điểm của SD. Chứng minh: CK   MQK   SCD. Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Lấy điểm E trên cạnh SC sao cho EC  2ES. a) Tìm SAB  SCD. b) M  AE  SBD. Chứng minh M là trung điểm của SO. Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của SD, CD, BC. a) Tìm giao tuyến của  AMN  và SBC . b) I  AC  PMN ; K  SA  PMN . c) Gọi F là trung điểm của PM . Chứng minh: ba điểm K, F, I thẳng hàng. Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB, AB  3a, CD  2a. Gọi O là giao điểm của AC và BD, M là điểm trên cạnh SA sao cho 5AM  3SA. a) Tìm giao tuyến của SAD và SBC . b) Tìm giao điểm N của đường thẳng SB và  MCD. Chứng minh: ON  SD. c) Gọi I  SO  MC. Tính tỉ số OI . SI Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 40

H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 2 – §¹i c­¬ng vÒ ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng BÀI 3. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng Cho đường thẳng d và mặt phẳng  P. Có ba trường hợp xảy ra:  Đường thẳng d và  P có 2 điểm chung phân biệt  d   P.  Đường thẳng d và  P có 1 điểm chung duy nhất  d   P  A.  Đường thẳng d và  P không có điểm chung nào  d   P. Định nghĩa: Đường thẳng d và mặt phẳng  P gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung. 2. Các định lí  Định lí 1. Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng   và d song song với đường thẳng d  nằm trong   thì d song song với  .  Định lí 2. Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng  . Nếu mặt phẳng   chứa a và cắt   theo giao tuyến b thì b  a. Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cắt nhau và cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.  Định lí 3. Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia. Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 41

H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 2 – §¹i c­¬ng vÒ ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng Dạng 1. Chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng  P. 1. Phương pháp giải a  b  Chứng minh: b  P  a  P. a  P 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M , N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ACD và BCD. Chứng minh rằng MN song song với các mặt phẳng  ABC và  ABD. Lời giải tham khảo Gọi I là trung điểm CD. Vì M , N là trọng tâm của các tam giác ACD, BCD nên IM  IN  1 . IA IB 3 Theo định lý đảo Thales, suy ra: MN  AB. MN  AB  Ta có:  AB   ABC   MN   ABC. MN   ABC MN  AB  Ta có:  AB   ABD   MN   ABD. MN   ABD Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD. a) Chứng minh MN song song với các mặt phẳng SBC và SAD. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... b) Gọi E là trung điểm của SA . Chứng minh SB, SC đều song song với  MNE  . ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 42

H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 2 – §¹i c­¬ng vÒ ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA, SD. Chứng minh rằng: a) BC  SAD và AD  SBC. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... b) MN   ABCD và MN  SBC . ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... c) MO  SCD và NO  SBC . ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 43

H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 2 – §¹i c­¬ng vÒ ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O. Gọi G là trọng tâm tam giác SAD và E là điểm trên cạnh DC sao cho DC  3DE, I là trung điểm AD. a) Chứng minh: OI  SAB và OI  SCD. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... b) Chứng minh: GE  SBC . ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB, với AB  2CD. Gọi O là giao điểm của AC và BD, I là trung điểm của SA, G là trọng tâm của tam giác SBC và E là một điểm trên cạnh SD sao cho 3SE  2SD. a) Chứng minh: DI  SBC . ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... b) GO  SCD. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 44

H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 2 – §¹i c­¬ng vÒ ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... c) Chứng minh: SB   ACE . ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang  AB  CD và AB  2CD. Gọi G, H lần lượt là trọng tâm tam giác SAD và SBC, gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC. a) Tìm giao tuyến của SAB và SCD. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... b) Chứng minh rằng: GH  SCD. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 45

H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 2 – §¹i c­¬ng vÒ ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng Ví dụ 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA và CD. a) Tìm giao điểm E  AD   BMN . ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... b) Tìm giao điểm F  SD   BMN . Chứng minh: SF  2FD. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... c) Gọi I là trung điểm ME, G  AN  BD. Chứng minh: FG  SAB. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... d) Gọi H  MN  SG. Chứng minh: OH  GF. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 46

H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 2 – §¹i c­¬ng vÒ ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng Dạng 2. Tìm thiết diện song song với một đường thẳng 1. Phương pháp giải Để tìm thiết diện của mặt phẳng   đi qua một điểm và song song với hai đường thẳng chéo nhau hoặc   chứa một đường thẳng và song song với một đường thẳng. M        Ta sử dụng tính chất sau: d           a  d, với M   . d    2. Ví dụ minh họa Ví dụ 8. Cho tứ diện SABC. Gọi M , I lần lượt là trung điểm của BC, AC. Mặt phẳng  P đi qua điểm M , song song với BI và SC. Tìm thiết diện của  P cắt hình chóp. Lời giải tham khảo M  P   ABC  Ta có: BI   ABC   ABC  P  Mx  BI. BI  P Trong mp  ABC, gọi N  Mx  AC 1 N  P  SAC  Ta lại có: SC  SAC  SAC   P  Nz  SC. SC  P Trong mp SAC  , gọi P  Nz  SA 2 M  P  SBC  Tương tự: SC  SBC   SBC  P  My  SC. SC  P Trong mp SBC  , gọi Q  My  SB 3 Từ 1 , 2 và 3 suy ra thiết diện cần tìm là tứ giác MNPQ. Ví dụ 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB. Gọi M là trung điểm của CD,   là mặt phẳng qua M , đồng thời song song với SA và BC. Tìm thiết diện của   với hình chóp S.ABCD. Thiết diện là hình gì? ........................................................................................................................................................ ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 47

H×nh häc – 11 – Ch­¬ng 2 – §¹i c­¬ng vÒ ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng Ví dụ 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm SA. Gọi   là mặt phẳng đi qua M , đồng thời song song với SC và AD. Tìm thiết diện của mặt phẳng   với hình chóp S.ABCD. ........................................................................................................................................................ ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ 11. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M , N thuộc cạnh AB, CD. Gọi   là mặt phẳng qua MN và song song với SA. Tìm thiết diện của   và hình chóp. ........................................................................................................................................................ ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Biªn so¹n vµ gi¶ng d¹y: NguyÔn Nh©n T×nh Trang 48