Basic-Calculus

ลมิ ติ และความตอ่ เนอ่ื งของฟงั กช์ นั (Limits & Continuity of a Function) ลมิ ติ ของฟงั กช์ นั (Limit of a Function) ( ) กต็ อ่ เมอื่ ( ) () สาหรบั ฟังกช์ นั f ใดๆ ทมี่ ีโดเมน และ เรนจ์ เปน็ สบั เซตของจานวนจรงิ 1) x เขา้ ใกล้ a โดยท่ี x<a เรยี กวา่ x เขา้ ใกล้ a ทางซ้าย เขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ x a- 2) x เขา้ ใกล้ a โดยท่ี x >a เรยี กวา่ x เข้าใกล้ a ทางขวา เขยี นแทนดว้ ยสญั ลักษณ์ x a+  ถ้าค่าของ f(x) เข้าใกลจ้ านวนจริง L1 เม่ือ x เขา้ ใกล้ a ทางด้านซ้าย (x<a) เรยี กว่า ลมิ ติ ซ้ายของ f(x) เขยี นแทนดว้ ย - ()  ถา้ ค่าของ f(x) เขา้ ใกลจ้ านวนจริง L2 เม่ือ x เข้าใกล้ a ทางด้านขวา (x >a) เรยี กวา่ ลิมติ ขวาของ f(x) เขียนแทนด้วย ()  ถ้า L1=L2=L จะได้วา่ ฟงั ก์ชนั f มีลมิ ิตเทา่ กบั L เมอ่ื x เข้าใกล้ a เขยี นแทนด้วย ()  ถ้า จะได้วา่ ฟังก์ชัน f ไม่มลี ิมิต เมือ่ x เข้าใกล้ a น่นั คือหาคา่ ไมไ่ ด้ ()

Ex.1 กาหนด y = f(x) = x+4 จงหา () Ex.2 กาหนด f(x) = { เม่ือ จงหา () เมอื่ Ex.3 กาหนด f(x) = | | จงหา ()

Ex.4 | - |-| |

ทฤษฎเี กย่ี วกบั ลมิ ติ เมอ่ื a, L และ M เปน็ จานวนจริงใดๆ ถา้ f และ g เป็นฟงั กช์ นั ท่มี ี โดเมนและเรนจ์ เป็นสับเซตของเซตของจานวนจริง โดยท่ี ( ) และ () 1. เมือ่ c เป็นคา่ คงตัวใดๆ 2. 3. ( ) () 4. ( ( ) ( )) () () 5. ( ( ) ( )) () () 6. ( ( ))) () , ( () 7. เมือ่ n

เทคนคิ การหาคา่ ลมิ ติ ของฟงั กช์ นั เลข แทน x ดว้ ย a แลว้ ถ้าได้ เลข ถา้ ได้ ถ้าได้ เลข เลข ถา้ ได้ กรณผี ลของลมิ ติ ออกมาในรปู ( ) อาจหาคา่ ไม่ได้ จึงต้องพยายามเปล่ียนรูปใหส้ ามารถตดั ทอนกนั และหา ค่าลิมติ ไดโ้ ดยตรง วธิ กี ารเปลย่ี นรปู ของ f(x) มหี ลายวธิ ี ดงั นี้ 1. แยกตวั ประกอบ 2. ใช้คอนจูเกต (conjugate) คูณทงั้ เศษและสว่ น (พวก ติดรูท) 3. กฎของโลปิตาล ( ’Hop t ‘Rue) 4.

Ex กาหนดให้ f(x) = - ; -

สตู รการแยกตวั ประกอบ  กาลังสองสมบูรณ์ (น+ล)2=น2+2นล+ล2 (น-ล)2=น2-2นล+ล2  ผลต่างกาลงั สอง น2+ล2= (น+ล)(น-ล)  กาลังสามสมบูรณ์ (น+ล)3=น3+3น2ล+3น2ล+ล3 (น-ล)3=น3-3น2ล+3น2ล-ล3  ผลตา่ งกาลงั สาม น3+ล3= (น+ล)(น2-นล+ล2) น3-ล3= (น-ล)(น2+นล+ล2)

ลมิ ติ ทอี่ นนั ต์ (Limits at Infinity) เมื่อเวลาจะหาลิมิตของฟงั ก์ชนั ตรรกยะ ก็ให้เอา x ที่มีกาลงั สงู สดุ ทีป่ รากฏในฟังก์ชันน้นั หารตลอดท้ังเศษและสว่ น จะทาให้ (n เป็นจานวนเต็มซึง่ n ) กลายเปน็ จานวนคงคา่ Ex. จงหาคา่ ของ - Ex. จงหาค่าของ -

Ex. - -√ √- Ex. -

ความตอ่ เนอื่ งของฟงั กช์ นั (Continuity of Funtion) นยิ าม : ให้ f เปน็ ฟงั ก์ชนั ซ่ึงนยิ ามบนชว่ งปดิ [a,b] และ c [a,b] จะกล่าววา่ f เปน็ ฟังก์ชนั ต่อเน่อื งท่ี x=c กต็ ่อเม่อื 1. f(c) หาคา่ ได้ () 2. ( ) หาค่าได้ โดย - ( ) 3. ( ) ( ) ดงั น้นั f(x) ตอ่ เนือ่ งที่จดุ x=c **ถา้ เง่อื นไขขอ้ ใดข้อหนง่ึ ขาดไปแสดงวา่ f ไมต่ ่อเนอ่ื ง x=c Ex.1 กาหนด f(x) = x3+x2+4 จงแสดงวา่ ฟังก์ชนั นตี้ ่อเน่อื งที่จดุ x=1

Ex.2 กาหนด f(x) = |x+2| ฟงั ก์ชันนต้ี อ่ เน่ืองท่จี ดุ x=-2 หรอื ไม่ Ex.3 f(x) = {- ตอ่ เน่อื งทจ่ี ดุ x=0 หรอื ไม่ -√

- Ex.4 f(x) = { - ตอ่ เนื่องท่จี ดุ x=1 หรอื ไม่

กราฟ f(x) มคี วามต่อเนอ่ื งท่ี x=a กราฟ f(x) ไมม่ คี วามตอ่ เน่อื งท่ี x=a

อนพุ นั ธ์ (Derivative) ความชนั เสน้ สมั ผสั โคง้ ความชนั ของเสน้ สมั ผสั โคง้ ( ) () ( ) () ( ) () ( ) () () หาความชนั ได้จากการ take lim ; ดงั นน้ั อตั ราการเปลย่ี นแปลง, ความชันของกราฟกไ็ ด้ ก็คือ อนพุ นั ธ์ (Differential) น่นั เอง!! อัตราการเปลยี่ นแปลงเฉลยี่ นของ y เทยี บกับ x ในช่วง x ถงึ x+h คอื ( )- ( ) อตั ราการเปลยี่ นแปลงของ y เทยี บกบั x ขณะ x มีคา่ ใดๆ = ( )- ( ) =

Ex1 จงหาความชนั เสน้ สัมผสั เสน้ โค้งท่ี y=x2 -2x +1 ทจ่ี ุด (-1,2) Ex2 จงหาคา่ เม่อื y = 5x+2 โดยใช้ four step rule

นยิ ามของอนพุ นั ธฟ์ งั กช์ นั ถ้า y=f(x) เป็นฟังก์ชันท่ีมี โดเมน และ เรนจ์ เป็นสับเซตของเซตจานวนจริง และ ( )- ( ) หาค่าได้ เรียกวา่ ค่าลมิ ิตท่ีเรียกได้ว่า อนุพนั ธ์ของ f ท่ี x เขยี นแทนดว้ ย หรอื ’ หรอื ’( ) หรอื ( ) จะไดว้ ่า ( )- ( )= ’ **หมายเหตุ 1. 2. คือ อัตราการเปลยี่ นแปลงของ y เทียบกับ x ขณะ x มคี ่าใดๆ 3. เมือ่ s แทนระยะทางท่ีวัตถเุ คลื่อนท่ีไดใ้ นเวลา t หรือ s = f(t) ถา้ v คือ ความเร็วขณะเวลาใดๆ จะได้ ( )- ( ) และ ’ t การหาอนพุ นั ธโ์ ดยใชส้ ตู ร ถา้ c, n เปน็ ค่าคงท่ีใดๆ และ u=f(x), v=g(x), w=h(x) เป็นฟงั กช์ ัน สูตรท่ี 1 ( ) สูตรท่ี 2 ( ) สูตรที่ 3 ( u) u สูตรท่ี 4 - สูตรที่ 5 (u+v-w) = u สูตรท่ี 6 (u ) u u - สูตรท่ี 7 (u) u-u สูตรที่ 8 สูตรที่ 9 u u u eu eu u

อนพุ นั ธ์ของฟงั กช์ นั (โดยใชส้ ตู ร) จงหาอนพุ ันธ์ของฟงั ก์ชันทกี่ าหนดตอ่ ไปน้ี 1. 2. - 3. 4. - 5. √ 6. - √ 7. ( )( - ) 8. -

กฎลกู โซ่ (u)และ u ( ) เป็นฟงั กช์ ันท่มี อี นพุ นั ธท์ ี่ u และ ตามลาดบั แลว้ u u Ex.1 กาหนดให้ y=(1+2x)2 จงหา Ex.2 กาหนดให้ y= (3x4-2x+1)50

Ex.3 กาหนดให้ √ () Ex.4 กาหนด √ จงหา Ex.5 กาหนด () จงหา ( -)

อนพุ นั ธฟ์ งั กช์ นั แฝง (Implicit Differentiation) Ex.1 จงหาคา่ ของ จากสมการ y4+4y-3x3 = 5x2+x-1 Ex.2 หาความชันเสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ - หา

Ex.3 จงหา จากสมการ - Ex.4 - - หา

อนพุ นั ธอ์ นั ดบั สงู (Higher Derivative) ซอ้ น diff) หาอนพุ นั ธ์ได้ 1. จะเรียกอนุพนั ธข์ องอนพุ นั ธ์ของ f(x) หรืออนุพันธ์ ของ ’( ) ( ว่าอนพุ นั ธอ์ ันดบั ที่ 2 ของ f(x) 2. สามารถเขยี นแทนด้วยสญั ลกั ษณ์เป็น ’( ) หรือ  อนพุ นั ธอ์ นั ดบั ท่ี ’( )  อนพุ นั ธอ์ ันดบั ที่ 2 ’( ) ( )  อนพุ นั ธอ์ ันดบั ที่ ’’( ) 3(x) = ( )= … Ex.1 กาหนด ( ) - - หา ’’

Ex.2 กาหนดให้ - จงหา Ex.3 y = - จงหา

อนพุ นั ธข์ องสมการองิ ตวั แปรเสรมิ (Derivation of Parametric Equation) สมการองิ ตวั แปรเสรมิ คอื สมการท่ี x และ y เขยี นอยใู่ นรูปตัวแปรอนื่ ๆ เช่น t,u,v, หรือ x=f(t) หรือ y=g( ) การหาอนุพนั ธข์ องสมการองิ ตัวแปร ทาได้ 2 วิธี คอื 1. โดยการกาจดั ตัวแปรเสรมิ ออกไป เพอ่ื ใหส้ มการอยูใ่ นรปู y=f(x) แลว้ จงึ หาคา่ 2. โดยใชก้ ฎลูกโซ่ ถา้ x=f(x) และ y=g(t) จากกฎลูกโซ่ จะได้สูตร ’ t t เมอ่ื t t t และสูตรการหาอนพุ ันธ์กาลังสอง คอื t โดย ’ เมื่อ t t Ex จงหา ’ จาก x=t2 +1 , y=√t เมอ่ื t=3

Ex.1 จงหา จาก -√t ( t ) เม่อื t -

Ex.2 t √( -t) จงหา

การประยกุ ตอ์ นพุ นั ธ์ สมการเสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ และสมการเสน้ ตงั้ ฉาก (Tangent & Normal line Equation) ความชนั ของเสน้ โคง้ ถา้ y=f(x) เป็นสมการของเสน้ โค้ง ; 1. จะมคี วามชนั ของเสน้ โคง้ (m) เท่ากับ ’( ) 2. เสน้ สมั ผัสเส้นโคง้ ผ่านจดุ (x0,y0) ใดๆ จะมคี วามชนั (m) คือ ’( 0) 3. สมการเส้นตรงทส่ี ัมผัสเส้นโค้งทจี่ ดุ (x0,y0) จะมสี มการเสน้ สมั ผัสเสน้ โคง้ เป็น y-y0=mL(x-x0) สมการเส้นปกตจิ ะได้ y-y0=mN(x-x0) 4. สมการเส้นตรงมคี วามชนั เป็น mN ตง้ั ฉากกบั เสน้ สมั ผสั (เสน้ ปกต)ิ กับ เส้น สมั ผัสที่ (x0,y0) มคี วามชนั เปน็ mN จะไดว้ า่ mN x mL = -1 5. สมการเสน้ ตรงมคี วามชันเปน็ m1 ขนานกบั เสน้ สมั ผัสท่ี (x0,y0) มีความชันเปน็ m2 จะได้วา่ m1=m2 6. เส้นตรงท่ผี า่ นจุด 2 จุด คอื (x,y) และ (x0,y0) จะไดว้ า่ ความชัน m= - - มมุ ทเ่ี สน้ โคง้ ตดั กนั (Angle of Intersection of Curves)

กาหนดให้ C1 และ C2 เป็นเสน้ โค้งสองเสน้ ตดั กนั ที่จดุ P(x1,y1) L1 และ L2 เป็นเส้นสัมผสั เส้นโคง้ C1 และ C2 ทจี่ ดุ P(x1,y1) ตามลาดบั β และ α เปน็ มุมทีเ่ กดิ จากการตัดกันระหว่างเสน้ โค้งทั้งสอง โดยที่ β+α =180 m1 และ m2 เปน็ ความชนั ของเสน้ สมั ผสั เสน้ โค้ง C1 และ C2 และ เปน็ มมุ เอียงของ L1 และ L2 ทลี่ ากตอ่ ไปตัดกบั แกน x ดังน้นั mL1 = tan และ mL2 = tan จากรูป α = - α tanα = tan( - ) = t -t t t =- α t -( - ) หมายเหตุ : 1. ถา้ tan >0 จะได้ เป็นมมุ แหลม ถา้ tan <0 จะได้ เป็นมุมปา้ น ถา้ tan =0 เพราะ mL1=mL2 จะได้ แสดงว่าเส้นโค้งท้งั สองเสน้ ขนานหรอื ทับกนั สนทิ ถา้ tan หาคา่ ไมไ่ ด้ เพราะ mL1 x mL2 = -1 จะไดว้ า่ = 90 แสดงว่าเสน้ โคง้ ทั้งสองต้งั ฉากกัน 2. ถา้ เส้นโค้งทัง้ สองตดั กันมากกวา่ 1 จดุ จะตอ้ งหามุมให้ครบทุกจุด 3. ถ้าจดุ ต้ังท้งั สองจดุ สมมาตรกนั แสดงวา่ มุมทต่ี ดั กันเท่ากัน หาจดุ เดียว

Ex.1 จากเสน้ โคง้ - จงหาความชันและสมการของเสน้ สมั ผสั และเสน้ ปกติท่จี ดุ ( )

Ex.2 จงหาสมการเส้นปกตซิ ึ่งต้งั ฉากกบั เสน้ สมั ผสั เส้นโคง้ √ ที่จดุ ( )

ความเรว็ และความเรง่ ถ้า s = f(t) เป็นสมการการเคลื่อนที่ 1. ความเร็วเฉลยี่ ในชว่ งเวลา t1 ถึง t2 (t )- (t ) t -t 2. ความเร็วขณะเวลา t t (t) 3. ความเรง่ ขณะเวลา t t (t) Ex.1 ถ้าอนุภาค A เคล่ือนท่ีได้ระยะทาง t - t t เมตร ในเวลา t วินาที และ อนุภาค B เคล่ือนที่ได้ระยะทาง -t t - t เมตร ในเวลา t วินาที จงหาความเร่งและ ระยะทางของอนุภาค B ขณะทอ่ี นภุ าคทั้งสองมคี วามเร็วเทา่ กนั

Ex.2 ยิงธนขู ้นึ ไปในแนวด่งิ จากพนื้ ราบตามสมการการเคลอื่ นท่ี t- t โดยท่ี t แทนเวลา มหี นว่ ยเปน็ วนิ าที จงหา 1. ลูกธนูอย่สู ูงจากพื้นราบ 48 เมตร เมื่อเวลาใด 2. ลูกธนูขนึ้ ไปสูงสุดเทา่ ไร 3. ลูกธนูตกลงพ้นื เมอ่ื เวลาเทา่ ไร

อตั ราสมั พทั ธ์ อตั ราสัมพัทธ์จะเทียบกับเวลา เป็นการบอกอตั ราการเปล่ียนแปลงของสองปริมาณ ** ถ้า t เพ่มิ ขน้ึ เครอ่ื งหมายเปน็ + ถ้า t ลดลง เครือ่ งหมายเปน็ - Ex.1 อัดแกส๊ เขา้ บอลลูนกลม ดว้ ยอตั ราคงท่ี 20 ลบ.ซม./วินาที แก๊สมแี รงดนั สม่าเสมอทาให้ บอลลูนขยายเปน็ ทรงกลม จงหาอตั ราการเปลีย่ นแปลงของรศั มบี อลลูน ขณะท่บี อลลูนมีรศั มี 25 ซม.

Ex.2 ถังเกบ็ นา้ รปู กรวย รศั มี 12 ซม. และสูง 30 ซม. มจี ุดยอดอยูด่ า้ นล่าง ถ้านา้ ไหลเขา้ ดว้ ย อตั รา 20 ลบ.ซม/วินาที จงหาวา่ ความสูงของนา้ จะเพม่ิ ขน้ึ ด้วยอัตราเทา่ ใด ขณะท่นี า้ อยู่สูง 25 ซม.

Ex.3 บนั ไดยาว 30 ฟุต พาดกับกาแพง ถา้ บนั ไดเคลอ่ื นทอ่ี อกจากกาแพงด้วยอัตราเรว็ 3 ฟุต/วินาที ปลายบันไดจะเลอ่ื นลงด้วยอัตราเรว็ เทา่ ไร ขณะที่เชงิ บนั ไดอยู่หา่ งกาแพง 12 ฟตุ

คา่ สงู สดุ และคา่ ตา่ สดุ คา่ สงู สดุ และคา่ ตา่ สดุ ให้ f(x) เป็นฟังกช์ นั ที่ต้องการหาคา่ สงู สดุ และคา่ ต่าสุด 1. หา ’( ) 2. จบั ’( ) แลว้ แกส้ มการหาคา่ x คา่ x ที่ได้เรยี กว่า คา่ วิกฤต สมมติวา่ ได้ x=c - ถ้า ’( ) เปลย่ี นความชนั จาก + ไปเป็น – ใหค้ า่ สงู สดุ สัมพทั ธ์ - ถา้ ’( ) เปลี่ยนความชนั จาก - ไปเป็น + ให้คา่ ตา่ สดุ สัมพทั ธ์ จดุ เปลย่ี นเวา้ 1. หา f’( ) 2. จบั ’( ) แลว้ แก้สมการหาคา่ x คา่ x ทไี่ ดเ้ รยี กวา่ คา่ วกิ ฤต สมมตวิ ่าได้ x=c - ถา้ f’( ) เปล่ยี นจาก + ไปเปน็ – แสดงวา่ กราฟเปลีย่ นจากเวา้ บนไปเปน็ เว้าล่าง - ถ้า ’(x) เปล่ียนจาก - ไปเปน็ + แสดงว่ากราฟเปล่ยี นจากเวา้ ลา่ งไปเป็น เวา้ บน Ex.1 กาหนดให้ f(x) = 12x-3x2-2x3 จงหาคา่ สูงสดุ ต่าสดุ สัมพัทธ์ จุดเปลยี่ นเว้า

ปรพิ นั ธ์ การอนิ ทเิ กรต จะตรงข้ามกับ การหาอนพุ ันธ์ การอนิ ทเิ กรตแบบไมจ่ ากดั เขต เมื่อ f เปน็ ฟังก์ชนั ทมี่ ี โดเมน และ เรนจ์ เปน็ สับเซตของจานวนจริงและ F’( ) f(x) สาหรบั ทุก x ทอ่ี ย่ใู นโดเมนของ f อนิ ทิเกรตไม่จากดั เขตของฟงั กช์ นั f เขียนแทนด้วย ∫ ( ) โดยที่ ∫ ( ) F( ) เมือ่ c เปน็ คา่ คงท่ีใดๆ จากบทนยิ ามเรยี กกระบวนการ ∫ ( ) ว่าการอินทิเกรต เครื่องหมาย ∫ เรยี กวา่ เคร่ืองหมาย อนิ ทกิ รัล เรียก f(x) วา่ ตัวถูกอนิ ทเิ กรต dx เป็นสญั ลกั ษณว์ ่า การอนิ ทิเกรตน้ีเทยี บกบั ตัวแปร x การอนิ ทเิ กรตแบบจากดั เขต ถ้าให้ F(x) เป็นอนิ ทิเกรตของ f(x) อนิ ทิกรัลจากดั เขตของฟงั ก์ชันต่อเนอื่ ง f บนชว่ ง x=a ถงึ x=b ∫ ( ) F( ) เมื่อ F’( ) ( ) เรยี ก a วา่ ขอบล่าง และ เรยี ก b ว่า ขอบบน หมายเหตุ : การอนิ ทเิ กรตจากัดของฟงั ก์ชนั ไมจ่ าเปน็ ต้องบวกคา่ c เข้าไป เน่อื งจากเมอื่ แทนคา่ x=a และ x=b ใน F(x) แลว้ F(b) – F(a) คา่ c จะลบกันหมดไป

ทฤษฎบี ท 1. ∫ 2. ∫ 3. ∫ เมอ่ื - 4. ∫ ( ) ∫ ( ) 5. ∫[ ( ) ( )] ∫ ( ) ∫ ( ) 6. ∫[ ( )- ( )] ∫ ( ) - ∫ ( ) สมบตั ขิ องอนิ ทกิ รลั จากดั เขต 1. ∫ ( ) 2. ∫ ( ) - ∫ ( ) 3. ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( )

Ex.1 ∫ - - Ex.2 ∫ -√ √

Ex.3 ∫ - Ex.4 ∫- ( ) ( )

พนื้ ทปี่ ดิ ลอ้ มดว้ ยเสน้ โคง้ A (Area) a bX ถา้ f เปน็ ฟงั กช์ นั ตอ่ เน่ืองบนชว่ งปดิ [a,b] และ f(x) แล้วพน้ื ทที่ ี่ลอ้ มรอบด้วยเส้นโคง้ y=f(x) แกน x เส้นตรง x=a และ x=b คือพน้ื ที่ A Area =∫ ( ) วธิ กี ารหาคานวณ 1. เขยี นกราฟของสมการที่โจทยก์ าหนดมาให้ทุกครง้ั 2. หาขอบเขตท่กี าหนดพ้ืนท่ี (ปิดลอ้ มด้วยเส้นโคง้ กับ แกน x) 3. นาสมการมาอนิ ทิเกรตแลว้ ใสข่ อบเขต  ถ้าพ้นื ท่มี ีคา่ เป็นบวก ชว่ งกราฟจะอยู่เหนือแกน x  ถา้ พนื้ ท่ีมีคา่ เป็นลบ ชว่ งกราฟจะอยูเ่ หนือแกน x 4. พนื้ ทีจ่ ะมคี า่ เป็นบวกเสมอ เคร่อื งหมายของผลอินทิเกรตเปน็ การบอกวา่ กราฟอยใู่ นช่วงใด

Ex.1 จงหาพน้ื ทป่ี ิดลอ้ มเส้นโคง้ y=x2 จาก x=-3 ถึง x=0 Ex.2 จงหาพน้ื ท่ปี ดิ ลอ้ มดว้ ยเสน้ โคง้ y=x2-25 จาก x=-1 ถงึ 3

Ex.3 จงหาพ้นื ที่ปดิ ลอ้ มดว้ ยเส้นโคง้ y = f(x) = x2-4x จาก x=-1 ถงึ x=5

อนพุ นั ธแ์ ละอนิ ทกิ รลั ฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ิ ลมิ ติ ฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ิ ทฤษฎบี ท ถา้ เปน็ คา่ ทวี่ ดั เป็นหน่วยเรเดยี น จะได้วา่ 1. 2. t t อนพุ นั ธข์ องฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ิ สตู ร ( u) o u u ( o u) u u (t u) e u u ( otu) o e u u ( e u) e u t u u ( u) u otu u Ex.1 y = sin(8x+3)

Ex.2 y = cos Ex.3 y = sin(3x2+1) Ex.4 y = sec√ - Ex.5 √ t

การอนิ ทเิ กรตฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ิ ∫ou u u ∫ u u ou ∫ u u ot u ∫e u u t u ∫ u ot u u u ∫eut u u eu Ex.1 ∫ o ( - ) Ex.2 ∫ o o ( )

Ex.3 ∫ t Ex.4 ∫ o