Variance of discrete random variable 22August2020

1 / 14 ความแปรปรวน ของ ตวั แปรส่มุ ไม่ต่อเน่ือง ความแปรปรวนของตวั แปรสมุ่ ไม่ต่อเนือ่ ง

2 / 14 ค่าเฉล่ียของตวั แปรสมุ่ X แทนด้วย µ หรือ E(X) X = x1, x2, ... , xn P(X = x) = f(x) E(x) = n xiP(X = xi) = n xif (xi) ∑ ∑ หรือ i=1 i=1 X = x1, x2, ... , xn , ... P(X = x) = f(x) E(x) = ∞ xiP(X = xi) = ∞ xif (xi) ∑ ∑ i=1 i=1 สตู รทว่ั ไป E(X) = ∑ xP(X= x=) ∑ xf (x) xx ความแปรปรวนของตวั แปรสุ่มไมต่ ่อเนือ่ ง

3 / 14 ค่าความแปรปรวนของตวั แปรสมุ่ ไม่ต่อเน่อื ง X แทนด้วย Var(X) หรือ σ2 กาํ หนดสตู รอย่างไรดี ความแปรปรวนของตวั แปรสมุ่ ไมต่ ่อเนอื่ ง

4 / 14 ความแปรปรวนใช้อธบิ ายการกระจายค่าของตัวแปรสมุ่ กระจายค่าของตัวแปรส่มุ X ออกจากค่าของอะไรจงึ จะดี จาก ค่าเฉล่ีย ? จาก ฐานนิยม ? จาก มัธยฐาน ? ความแปรปรวนของตวั แปรสุ่มไม่ต่อเนอื่ ง

5 / 14 ตัดสนิ ใจ การกระจายค่าของตัวแปรสมุ่ X จาก ค่าเฉล่ีย กาํ หนดสตู รอย่างจงึ จะดี ความแปรปรวนของตวั แปรสุ่มไมต่ ่อเนือ่ ง

6 / 14 =σ2 n (xi − µ) หรือ σ2 n (xi − µ) หรือ σ2 n (xi − µ)2 , ... n ∑ ∑ ∑ n i=1 =i=1 =i=1 ในกล่องมสี ลากเขยี นเลข -1, 0, 1 หมายเลขละ 1 ใบ หยบิ สลากออกมา 1 ใบ ปริภมู ติ วั อย่าง S = {–1, 0, 1} ตวั แปรสมุ่ X = เลขท่ไี ด้ = –1, 0, 1 เป็นตัวแปรส่มุ ยูนฟิ อร์ม และ P(X = x) = f(x) = 1 3 n =σ2 (xi − µ) = (-1 - 0) + (0 - 0) + (1 - 0) = 0 ∑ i=1 n ∑ (xi − µ) = 1 [ (-1 - 0) + (0 - 0) + (1 - 0) ] = 0 σ2 =i=1 n3 n (xi − µ)2 = 1 [ (-1 - 0)2 + (0 - 0)2 + (1 - 0)2 ]= 2 ∑ n3 3 σ2 =i=1 ความแปรปรวนของตวั แปรส่มุ ไมต่ ่อเนือ่ ง

7 / 14 =σ2 n (xi − µ) หรือ σ2 n (xi − µ) หรือ σ2 n (xi − µ)2 , ... n ∑ ∑ ∑ n i=1 =i=1 =i=1 ในกล่องมสี ลากเขียนเลข -100, 0, 100 หมายเลขละ 1 ใบ หยิบสลากออกมา 1 ใบ ปริภมู ติ วั อย่าง S = {–100, 0, 100} ตวั แปรส่มุ X = เลขท่ไี ด้ = –100, 0, 100 เป็นตวั แปรสมุ่ ยูนฟิ อร์ม และ P(X = x) = f(x) = 1 3 3 =σ2 (xi − µ) = (-100 - 0) + (0 - 0) + (100 - 0) = 0 ∑ i=1 3 ∑ (xi − µ) = 1 [ (-100 - 0) + (0 - 0) + (100 - 0) ] = 0 σ2 =i=1 33 3 (xi − µ)2 = 1 [ (-100 - 0)2 + (0 - 0)2 + (100 - 0)2 ]= 20000 ∑ 33 3 σ2 =i=1 ความแปรปรวนของตวั แปรสุม่ ไมต่ ่อเนอื่ ง

8 / 14 กาํ หนดสตู รความแปรปรวนแบบน้ี n (xi − µ)2 ดีจริงหรือ ? ∑ n σ2 =i=1 ในกล่องมสี ลากเขียนเลข -1, 0, 1 หมายเลขละ 1 ใบ หยบิ สลากออกมา 1 ใบ ปริภมู ติ ัวอย่าง S = {–1, 0, 1} ตัวแปรสมุ่ X = เลขท่ไี ด้ = –1, 0, 1 3 (xi − µ)2 = 1 [ (-1 - 0)2 + (0 - 0)2 + (1 - 0)2 ]= 2 ∑ 33 3 σ2 =i=1 ในกล่องมีสลากท้งั หมด 1000 ใบ เขียนเลข -1, 1 หมายเลขละ 1 ใบ และ เลข 0 จาํ นวน 998 ใบ หยบิ สลากออกมา 1 ใบ ปริภมู ิตวั อย่าง S = {–1, 0, 1} ตัวแปรส่มุ X = เลขท่ไี ด้ = –1, 0, 1 ค่าเฉล่ีย = µ = (−1)(10100) + (0)(1909080) + (1)(10100) = 0 3 (xi − µ)2 = 1 [ (-1 - 0)2 + (0 - 0)2 + (1 - 0)2 + ]= 2 ∑ 33 3 σ2 =i=1 ความแปรปรวนของตวั แปรสมุ่ ไม่ต่อเนอื่ ง

9 / 14 จากตวั อย่างข้างต้น กาํ หนดสตู รความแปรปรวนแบบน้ี n (xi − µ)2 ไม่ดแี ล้ว ? ∑ n σ2 =i=1 การเกดิ ของค่า (xi − µ)2 ต้องคาํ นึงถงึ ค่าความน่าจะเป็นของ P(X = xi) กาํ หนดสตู ร ความแปรปรว=น σ2 n (xi − µ)=2 P(X xi ) ∑ i=1 =σ2 n (xi − µ)2f (xi ) ∑ i=1 ความแปรปรวนของตวั แปรสุ่มไม่ต่อเนือ่ ง

10 / 14 ทฤษฎีบ=ท σ2 n (xi − µ=)2 P(X=xi ) n (xi − µ)2f (xi ) ∑ ∑ i=1 i=1 =σ2 n (xi2 − 2µxi − µ2 )f (xi ) ∑ ni =1 n n µ2f (xi ) ∑ xi2f (xi ) − ∑ 2µxif (xi ) + ∑ i ∑n 1=xi2f (xi ) − i2µ 1 ∑n=xif (xi ) +i µ21 n ∑ f (xi) i 1 =i 1=i 1 n xi2f (xi ) − 2µ µ + µ2 (1) ∑ i =1 n xi2f (xi ) − µ2 ∑ i =1 E(X2) − µ2 ความแปรปรวนของตวั แปรสมุ่ ไม่ต่อเนอื่ ง

11 / 14 สรปุ X = x1, x2, ... , xn และ P(X = x) = f(x) ค่าเฉล่ีย µ = E(x) = n xiP(X = xi ) = n xif (xi) ∑ ∑ i=1 i=1 ความแปรปร=วน σ2 n (xi − µ=)2 P(X=xi ) n (xi − µ)2f (xi ) ∑ ∑ i=1 i=1 หรือ X = x1, x2, ... , xn , ... และ P(X = x) = f(x) ค่าเฉล่ีย µ = E(x) = ∞ xiP(X = xi ) = ∞ xif (xi) ∑ ∑ i=1 i=1 =σ2 ∞ (xi − µ=)2 P(X=xi ) ∞ (xi − µ)2f (xi ) ∑ ∑ i=1 i=1 สตู รทว่ั ไป ค่าเฉล่ีย µ = E(X) = ∑ xP(X= x=) ∑ xf (x) xx ความแปรปรว=น σ2 ∑ (xi − µ)=2 P(X=xi ) ∑ (xi − µ)2f (xi ) xx ความแปรปรวนของตวั แปรส่มุ ไมต่ ่อเนือ่ ง

12 / 14 ตัวแปรส่มุ ยูนฟิ อร์ม X = x1, x2, ... , xn P(X = x) = f(x) = 1 n n n n ค่าเฉล่ีย µ = E(x) = ∑ xiP(X = xi) = ∑ xif (xi) = 1 ∑ xi i=1 i=1 n i=1 ความแปรปร=วน σ2 n (xi − µ=)2 P(X=xi ) n (xi − µ)=2 f (xi ) 1 n (xi − µ)2 n ∑ ∑ ∑ i =1 i =1 i =1 หรือ n n x 2 i ∑ ∑ =σ2 E(X2 )=− µ2 xi2f (xi )=− µ2 i = 1 − µ2 n i =1 ความแปรปรวนของตวั แปรสมุ่ ไม่ต่อเนือ่ ง

13 / 14 การทดลอง 1 คร้ังมีผลได้ 2 แบบ ความสาํ เรจ็ ไม่ความสาํ เรจ็ ทาํ การทดลอง 1 คร้ัง X = จาํ นวนความสาํ เรจ็ = 0, 1 ตวั แปรสมุ่ แบร์นูลลี ค่าเฉล่ีย µ =E(X) =(0)P(X =0) + (1)P(X =1) = (0)(1− p) + (1)(p) =p ความแปรปรวน =σ2 1 (x − µ)=2 P(X x) ∑ x=0 =(0 − p)2 P(X =0) + (1− p)2 P(X =1) = p2 (1− p) + (1− p)2 p = (p2 + (1− p)p)(1− p) = p(1− p) ความแปรปรวนของตวั แปรสุ่มไม่ต่อเนือ่ ง

14 / 14 รูปแบบท่วั ไปของการทดลองทวินาม (Binomial experiment) 1. ในการทดลอง 1 คร้ังมีผลได้ 2 แบบเท่าน้นั คือความสาํ เรจ็ (S : success) หรือ ความไม่สาํ เรจ็ (F : failure) 2. ความน่าจะเป็นท่จี ะเกดิ ความสาํ เรจ็ เทา่ กบั P(S) = p 3. ความน่าจะเป็นท่จี ะเกดิ ความไม่สาํ เรจ็ เท่ากบั q ซ่ึง p + q = 1 4. การทดลองแต่ละคร้ังเป็นอสิ ระต่อกนั 5. ทาํ การทดลองท้งั หมด n คร้ัง ให้ X = จาํ นวนคร้ังท่เี กดิ ความสาํ เรจ็ เพราะฉะน้นั X = 0, 1, 2, 3, ... , n ตวั แปรสมุ่ X เรียกว่า ตวั แปรส่มุ ทวนิ าม มีฟังกช์ ันการแจกแจงความน่าจะเป็น ( )P(X = x) = b(x, n, p) = n px (1− p)n−x x ค=่าเฉล่ีย µ n n ∑=xf (x) ∑ x=b(x, n, p) np x=0 x=0 ความแปรปรว=น σ2 n (x − µ)=2 f (x) n (x − np)2 b(x=, n, p) np(1− p) ∑ ∑ x=0 x=0 ความแปรปรวนของตวั แปรสมุ่ ไม่ต่อเนอื่ ง