2ος τομος

Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ προβλήματα ερωτήσεις θεωρίας 2021 Σελίδες 660 2ος τόμος

Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ 40 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ 300 50 προβλήματα 100 ερωτήσεις θεωρίας τόμος 2ος Μάϊος 2021 660 σελ.

Βιβλία γραμμένα σε ευανάγνωστη μορφή (ηλεκτρονικά ) από τον συγγραφέα, όχι με τη μορφή του εμπορικού,δυσανάγνωστου και πυκνογραμμένου βιβλίου. για όσους ψάχνουν για κάτι διαφορετικό και πρωτότυπο , έξω από κλειστούς εμπορικούς εκδοτικούς ομίλους. Το βιβλίο δεν πωλείται από βιβλιοπωλεία (διότι τυπώνεται σε λίγα αντίτυπα) για αποστολή 69 73 82 76 22 ή προσωπικό μήνυμα στο fb και πληρώμη μετα την παραλαβή. 30 ευρώ , μέσω e-banking, για το βιβλίο των 660 σελίδων. Οι λύσεις των άλυτων θεματων, και διαγωνισματων, στέλνονται σε αρχεία PDF(1200 σελίδες) Ολοκληρωμενη η σειρα Βιβλίων Μαθηματικών Γ΄ Λυκείου αποτελείται από 4 τόμους: 1ος τόμος: Συναρτήσεις , Όρια,Συνέχεια(700 σελίδες) 2ος τόμος : Παράγωγοι(700 σελίδες) 3ος τόμος: Ολοκληρώματα(600 σελίδες) 2ος τομος: Επαναληπτικών Θεματων,εκδοση21, 660 σελίδες.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιββλίο αυτό απευθύνεται σε μαθητές της Γ΄ Λυκείου που έχουν τελειώσει την ύλη , για να ελέγξουν κατα πόσον έχουν κατανοήσει λεπτά σημεία της θεωρίας και κατά πόσο μπορούν να ανταποκριθούν σε θέματα με ερωτήματα αυξημένης δυσκολιας Το βιβλίο αποτελείται από 5 μέρη:  Το 1ο μέρος περιέχει ερωτήσεις ΘΕΩΡΙΑΣ (νέας μορφής) πολλές από τις οποίες είναι όπως δίνονται στα τελευταία χρονια στο πρώτο Θέμα. Πολλές από τις ερωτήσεις απαιτούν πολύ καλή γνώση της θεωρίας και κριτική σκέψη.  Το 2ο μέρος περιέχει ΝΕΑ πρωτότυπα ΘΕΜΑΤΑ πάνω σε όλη την εξεταστέα ύλη των μαθηματικών Γ΄ τάξης Γενικού Λυκείου Θετικού προσανατολι- σμού όπως ακριβώς αυτά δίνονται στις ΠΑΝΕΛΛΗ- ΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ, (Θέμα 2ο , 3ο , 4ο) με στόχο μια πλήρη τελική επανάληψη, πριν τις εξετάσεις. Είναι Θέματα με τα οποία γίνεται επανάληψη των εννοιών των μαθηματικών της Γ΄ τάξης καθώς και των μαθηματικών των προηγουμένων τάξεων του Λυκείου και του Γυμνασίου. Η πρωτοτυπία πολλών θεμάτων, όπως θα διαπιστώσει ο μελετητής, έγκειται στη μορή των ερωτημάτων και στο συνδυασμό θεωρηματων ,ορισμών και πορισμάτων της θεωρίας.

Πολλά από τα θέματα είναι από ασκήεις του Σχολικού Βιβλίου, εμπλουτισμένες με δύσκολα ερωτήματα.  Το 3ο μέρος περιέχει τις λύσεις των θεμάτων του 2ου μέρους  Το 4ο μέρος περιέχει 12 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ , (λύμένα) το Α΄ ΘΕΜΑ των οποίων καλύπτει την εξεταστέα θεωρία . Τα θέματα περιέχουν πρωτότυπα ερωτήματα η λύση των οποίων απαιτεί πολύ καλή γνωση ,αλλά όχι μαγικές ιδέες και ασύλληπτες τεχνικές.  Το 5ο μέρος περιέχει 36 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ,  Το 6ο μέρος περιέχει 50 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ , προσω- πικής κατασκευής , με πολλά δύσκολα ερωτήματα. που η λύση τους απαιτεί και βασικές γνώσεις Γεωμετρίας  Το 7ο και 8ο μέρος περιέχει: ΕΠΑΝΑΛΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΘΗΝΑ Μάϊος 2021 Γιώργος Τσικαλουδάκης

ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ενοτητων 5,6,7,8 (λόγω όγκου του βιβλίου) θα αποστέλλονται σε αρχείο PDF. Το βιβλίο δεν πωλείται από βιβλιοπωλεία για αποστολή: 69 73 82 76 22 ή προσωπικό μήνυμα και πληρώμη ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΛΑΒΗ ( 30 ευρώ) μέσω e-banking ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΜΕΡΗ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

ΜΕΡΟΣ 1ο ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Στο κεφάλαιο αυτό δίνουμε μια σειρά ερωτήσεων με τις απαντήσεις των οποίων γίνεται μια προσε- κτική επανάληψη της ύλης , πάνω σε λεπτομέρειες που πιθανών να μας έχουν ξεφύγει από την πρώτη ανάγνωση. Υπάρχουν πρωτότυπες ερωτήσεις που η απάντηση τους απαιτεί πολύ καλή γνώση της θεωρίας και έχουν στόχο την κατανόηση λεπτών σημείων της θεωρίας που μας ξεφεύγουν με μια απλή ανάγνωση.

Ι. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΜΠΕΔΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Να δικαιολογήσετε την αλήθεια της πρότασης: α . Αν f ( x ) g ( x ) , για κάθε x  και f ( 0 ) g( 0 ) , τότε f ( x ) g( x ) , για κάθε x  . β. Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f τέμνει την ευθεία x   το πολύ μια φορά. γ. Αν lim f ( x ) lim g( x ) , τότε f ( x ) g( x ), x xο x xο κοντά στο x . δ. Κάθε κυρτή συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη έχει το πολύ δύο πραγματικές ρίζες. ε. Αν η συνάρτηση g( x ) f ( x ) είναι 1 1,τότε και η f ( x ) είναι 1 1 2. Για δύο συναρτήσεις f , g ορισμένες σε περιοχή του x  ισχύει: f ( x ) g( x ) , κοντά στο x  Ποια από τις παρακάτω προτάσεις δεν μπορεί να είναι αληθής πάντοτε: α . lim f ( x ) lim g( x ) x xο x xο β. lim f ( x ) lim g( x ) x xο x xο γ. f ( xο ) g( xο ) δ . lim f ( x ) lim g( x ) x xο x xο ε. lim f ( x ) lim g( x ) x xο x xο

3. Για δύο συναρτήσεις f , g ορισμένες σε περιοχή του x  ισχύει: f ( x ) g( x ) , κοντά στο x  Ποια από τις παρακάτω προτάσεις δεν μπορεί να είναι αληθής πάντοτε: α . lim f ( x ) lim g( x ) x xο x xο β. lim f ( x ) lim g( x ) x xο x xο γ. f ( xο ) g( xο ) δ . f ( xο ) g( xο ) ε. lim f ( x ) lim g( x ) f ( xο ) x xο x xο 4. Για δύο συναρτήσεις f , g ορισμένες σε περιοχή του x  ισχύει: f ( x ) g( x ) , κοντά στο x  Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι αληθής ; α . lim f ( x ) lim g( x ) x xο x xο β. lim f ( x ) lim g( x ) x xο x xο γ. f ( xο ) g( xο ) δ . f ( xο ) g( xο ) ε. lim f ( x ) lim g( x ) f ( xο ) x xο x xο ζ. lim f ( x ) lim g( x ) f ( xο ) x xο x xο

5. Δώσετε από ένα παράδειγμα στο οποίο να ισχύει: α. lim f ( x ) f ( xο ) x xο β. lim f ( x ) και f ( 0 ) 0 x0 γ. f συνεχής και μη παραγωγίσιμη στο 0 δ. f παραγωγίσιμη στο 0 και f μη συνεχής στο 0 ε. lim f ( x ) lim g( x ) 0 και x0 x0 lim f ( x ) lim f ( x ) x 0 g( x ) x 0 g ( x ) 6. Έστω οι συναρτήσεις: , f g :Γ f :Α , g :Β όπου f g είναι η σύνθεση της g με την f και Α, Β, Γ είναι μη κενά υποσύνολα του Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι πάντοτε αληθείς ; 1. Γ Α 6. g( B ) A 2. Γ Α 7. g( B ) A Γ 3. g( B ) Γ 8. f g( B ) f ( A ) 4. Γ g( B ) 9. f g( Γ ) f ( A ) 5. g( B ) Α 10. g( Γ ) A

7. Έστω συνάρτηση f ορισμένη σε περιοχή του x  και οι προτάσεις: α . lim f ( x ) x xο β. lim f ( x ) f ( xο ) x xο γ. lim f ( x ) x xο δ . lim f ( x ) f ( xο ) x xο ε. lim f ( x ) ή lim f ( x ) x xο x xο i. Αν ευθεία x  x είναι (κατακόρυφη) ασύμπτωτη της C f ,ποια από τις παραπάνω προτάσεις δεν μπορεί να είναι αληθής ; ii. Ποία από τις παραπάνω ισότητες είναι ικανή για να είναι η ευθεία x  x ; (κατακόρυφη) ασύμπτωτη της C f , iii. Ποία από τις παραπάνω ισότητες είναι αναγκαία για να είναι η ευθεία x  x (κ ακόρυφη) ασύμπτωτη της C f ;ατ iv . Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x , τότε ποια ή ποιες από τις παραπάνω ισότητες ισχύει υποχρεωτικά; v. Αν η f είναι συνεχής στο x , τότε ποιες από τις παραπάνω ισότητες υποχρεωτικά δεν ισχύουν;

8. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο ( , ) , με εξαίρεση ίσως το x ( , ) στο οποίο όμως η f είναι συνεχής και οι προτάσεις: α . f ( xο ) 0 β. η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο x γ. η f αλλάζει πρόσημο στο x δ. f ( xο ) 0 ε. αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x , τότε πρέπει f ( xο ) 0 1. Ποια από τις παραπάνω προτάσεις είναι αναγκαία για να είναι το x θέση πιθανού ακροτάτου; 2. Ποια από τις παραπάνω προτάσεις είναι ικανή για να είναι το x θέση πιθανού ακροτάτου; 3. Ποια από τις παραπάνω προτάσεις είναι ικανή για να είναι το x θέση ακροτάτου; 4. Αν το x είναι θέση τοπικού ακροτάτου,τότε ποια από τις παραπάνω προτάσεις ισχύει υποχρεωτικά ; 5. Αν το x είναι σημείο καμπής, τότε ποια από τις παραπάνω προτάσεις δεν μπορεί να ισχύει;

9. Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο ( , x ) ( x , ) , συνεχής στο x και οι προτάσεις: α . αν υπάρχει η f ( xο ) , τότε πρέπει : f ( xο ) 0 β. δεν υπάρχει η δεύτερη παράγωγος της f στο x γ. υπάρχει η εφαπτομένη της C f στο x και f αλλάζει πρόσημο στο x δ. υπάρχει εφαπτομένη της C f στο x ε. υπάρχει το f(x) f ( xο ) : lim x xο x xο 1. Ποια από τις παραπάνω προτάσεις είναι αναγκαία για να είναι το x θέση πιθανού σημείου καμπής; 2. Ποια από τις παραπάνω προτάσεις είναι ικανή για να είναι το x πιθανό σημείο καμπής ; 3. Ποια από τις παραπάνω προτάσεις είναι ικανή για να είναι το x σημείο καμπής ; 4. Ποια από τις παραπάνω προτάσεις είναι αναγκαία και ικανή για να είναι το x σημείο καμπής ; 5. Αν το x είναι σημείο καμπής , τότε ποιες από τις παραπάνω προτάσεις ισχύουν υποχρεωτικά;

10. Έστω ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής με πεδίο ορισμού Α , όπου Α είναι ένα διάστημα ή ένωση διαστημάτων. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι πάντα αληθείς: α . Αν f ( x ) 0 , για κάθε x ∈ Α , τότε η f διατηρεί πρόσημο. β. Η f διατηρεί πρόσημο μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών της . γ. Σε κάθε διάστημα του  μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών της , η f διατηρεί πρόσημο δ. Αν   [ , ] με f (x)  0 , για κάθε x  [ , ] και f ( ) f (  )  0 , τότε η f διατηρεί πρόσημο. ε. Αν   [ , ] με f (x)  0 , για κάθε x  [ , ] και f ( ) f (  )  0 , τότε η f διατηρεί πρόσημο.

28 Ποιοι από τους παρακάτω τύπους δίνουν το εμβαδό Ε( Ω ) του καθενός από τα παρακάτω χωρία Ω ; y fy f Οα 1. g g y βx α βx f 2. yf Οα β xα β x 4. 3. g y α β Ο x f 5. α. E(Ω ) β β γ. E(Ω ) δ. E(Ω ) f(x)dx , β . E(Ω ) |f(x)|dx ε. E(Ω ) α α β g(x) f(x) dx α β f(x) g(x) dx α β f(x) g(x) dx α

29 Στο παρακάτω σχήμα έχουμε το χωρίου Ω ,που περικλείεται από τη γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης f , τον άξονα x x και τις ευθείες : x a και x β , να γράψετε αν είναι σωστή ή λάθος η κάθε μία από τις ισότητες που ακολουθούν: yf α β γx Ο γ β γ 1. f(x)dx f(x)dx f(x)dx α α β β γ β 2. f(x)dx α f(x)dx f(x)dx γ α γ 3. f(x)dx γ α β f(x)dx f(x)dx γ α β 4. f(x)dx α γ α γ f(x)dx f(x)dx 5. f(x)dx β β α β β f(x)dx f(x)dx γ α

32 Στο παρακάτω σχέδιο έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f : [0,+ ) , η οποία είναι παραγωγίσιμη στο 0,4,6,10 . Ακόμα η ευθεία δ είναι εφαπτομένη της f στο x1 2 ενώ η ευθεία ε είναι ασύμπτωτη της f στο και εφαπτομένη στο x2 8 . α. Na γράψετε σε ποια διαστήματα η f είναι γνησίως αύξουσα και σε ποια γνησίως φθίνουσα. β. Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της f και το είδος τους γ. Να γράψετε σε ποια διαστήματα η f είναι κυρτή και σε ποια κοίλη δ. Να σημειώσετε τα σημεία καμπής της f και να βρείτε την εφαπτομένη σε αυτά ε. Να υπολογίσετε (αν υπάρχει) το όριο: i. lim f(x) , ii. lim f(x) 4x , xx x iii. lim f(x) , iv. lim f(x) , v. lim f(x) x x4 x6

ΙΙ. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ – Λ με δικαιολόγηση Για κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις: Αν είναι Λάθος , να δώσετε ένα παράδειγμα Αν όχι , να δικαιολογήσετε βάσει ποιάς πρότασης, ορισμού , θεωρήματος ή πορίσματος είναι Σωστή. 1. Κάθε συνάρτηση f που δεν είναι γνησίως μονό- τονη δεν είναι 1 1 2. Κάθε συνάρτηση f που είναι κυρτή στο διάστημα [ α, xο ] και στο [ xο , β ) δεν παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο xο . 3. Κάθε συνάρτηση f που είναι συνεχής διατηρεί πρόσημο μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών της 4. Κάθε συνάρτηση f : για την οποία η εξίσωση f ( x )  a έχει ακριβώς μια λύση, για κάθε α , είναι γνησίως μονότονη 5. Κάθε συνάρτηση f : Α για την οποία για κάθε x1 , x2   με f ( x1 )  f ( x2 ) ισχύει: x1  x2 είναι γνησίως αύξουσα 6. Αν για μια συνάρτηση f : Α ισχύει: για κάθε x1 , x2   με f ( x1 )  f ( x2 ) είναι x1  x2 , τότε υποχρεωτικά η f είναι 1  1. 7. Το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα μιας συνάρτησης είναι πάντα το μέγιστο αυτής.

38 Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διά- στημα ( , ] και στο διάστημα [  , ) , τότε υποχρεωτικά είναι παραγωγίσμη στο  39 Έστω συνάρτηση f : Α που είναι 1 1 . Οι f f 1 , f 1 f είναι ίσες, αν και μόνο αν: f ( A ) A 40 Αν για τις συναρτήσεις: . f : , g:Α ισχύει: f g ( A ) ,τότε υποχρεωτικά f( ) 41 Αν η συνάρτηση: f : Α , είναι 1 1 ,με: Α f(Α) τότε υποχρεωτικά οι f , f 1 έχουν κοινό σημείο 42 Αν μια συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [ α, β ] και ισχύουν: f ( xo ) 0 , για κάποιο xo ( α, β ), f ( x ) 0 , για κάθε x [α, β ] , με x xο τότε υποχρεωτικά το xo είναι πιθανό σημείο καμπής της f . 43 Αν f είναι πολυωνυμική συνάρτηση με βαθμό ν 3 και xo ρίζα περιττής τάξης της f , τότε υποχρεωτικά το xo είναι σημείο καμπής της f .

44 Αν για μια συνάρτηση f : , ισχύει: και υπάρχει f ( x ) 0 , για κάθε x xο , τέτοιο ώστε f ( xο ) 0 , τότε υποχρεωτικά ,για κάθε ισχύει f ( x ) f ( xο ) 45 Αν μια συνάρτηση f , είναι δυο φορές παρα- γωγίσιμη στο διάστημα( α , β )και παρουσιάζει καμπή στο xο ( α, β ), τότε υποχρεωτικά η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο xο . 46 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [ α, xo ] και η συνάρτηση : F : [ α, xo ] . Αν F είναι μια παράγουσα της f στο [ α, xο ) . και είναι συνεχής στο [ α, xo ] , τότε υποχρεωτικά η F είναι παράγουσα της f και στο [ α, xo ]

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 503 ΘΕΜΑ 4ο Δίνεται η συνάρτηση : f ( x )  e2 x  2 xe x  1  . Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και η f 1 είναι γνησίως αύξουσα  . Να αποδείξετε ότι για κάθε x  0 ισχύει: e2x  1  ex με 2x  . Να αποδείξετε ότι για κάθε  ,  1     ισχύει:     ln   ln  . Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή στο [ 0, ) ε. Να αποδείξετε ότι : i . υπάρχει   0 τέτοιο ώστε: f 1 (  )  f (  ) ii . για κάθε x   υπάρχει x1  (  , xo ) τέτοιο ώστε: f 1 ( x )  f ( x1 ) iii . για τα παραπάνω xo , x1 ισχύει: x1  f ( x1 )  xo ® ΛΥΣΗ 503 a . Έχουμε: f ( x )  e2 x  2 xe x  1, με: f ( x )  2e2 x  2e x  2 xe x  f ( x )  2e x e x  x  1  0 , για κάθε x  0 , οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα και επομένως αντιστρέψιμη. Ακόμα είναι:

 lim f ( x )  lim e2 x  2 xe x  1  1 x x  limf ) e x x  2x  1    ex ex  x ( x lim e . x Άρα η f 1 έχει πεδίο ορισμού το ( 1, ), Οπότε για κάθε y, y ( 1, ) , υπάρχουν x1 , x2  , τέτοιοι ώστε: y1  f ( x1 ) και y2  f ( x2 ) Οπότε για κάθε y, y ( 1, ) , έχουμε: y1  y2  f ( x1 )  f ( x2 )  x1  x2  f 1 ( y1 )  f 1 ( y2 ) και συνεπώς η f 1 είναι γνησίως αύξουσα.  . Η f είναι γνησίως αύξουσα , με f ( 0 )  0 , οπότε: x  0  f ( x )  0  e2 x  2 xe x  1  0  e2 x  1  2 xe x  e2x  1  ex (1) 2x . Έχουμε: 1      ln  0 (1)     2  1    2 2    a2 (ln   ln )     2   2 ln    2 (    )   ln   ln  . Είναι: f ( x )  2e x 2e x  x  2 , με: f ( 0 )  0 Θεωρούμε τη συνάρτηση: g( x )  2e x  x  2 , x  [ 0 , ) και έχουμε: g( 0 )  0 και g( x )  2e x  1 ,

από την οποία προκύπτει ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο [ 0, ) και επομένως είναι f ( x )  0 , για κάθε x ( 0 , ), οπότε η f είναι κυρτή στο [ 0, ) . ε. i . Θεωρούμε τη συνάρτηση: h( x )  f ( x )  x , x  [ 0 , ), με συνεχή παράγωγο και έχουμε: h( x )  f ( x )  1 , h( x )  f ( x ) h( 0 )  f ( 0 )  1  1 h( 1 )  f ( 1 )  1  2e2  4e  1  , h( 1 )  e  2e  4   1  0 , αφού 2e  4  1 και e  1 Συνεπώς είναι: h( 0 )h( 1 )  0 , οπότε υπάρχει  ( 0,1 ) τέτοιο ώστε: h(  )  0 Ακόμα η h είναι γνησίως αύξουσα στο [ 0, ) , Οπότε η h στο διάστημα [ 0, ) , παρουσιάζει ελάχιστο στο  και επειδή h( 0 )  0 , θα είναι h(  )  0 και ακόμα είναι: lim h( x )  lim  f ( x )  x    , x  x Οπότε υπάρχει  (  , ) , τέτοιο ώστε: h(  )  0 και άρα f (  )   , οπότε: f 1 (  )  f 1 (  ) .

ii . Έστω x   . Θεωρούμε τη συνάρτηση:  ( x )  f ( x )  f 1( xo ) , x  [  , xo ] συνεχής , με:  (  )  f (  )  f 1 ( xo )  0 αφού : f (  )  f 1 ( xo )  f 1 (  )  f 1 ( xo ) και  ( x )  f ( x )  f 1 ( xo )  0 αφού η h είναι γνησίως αύξουσα στο [  , xo ] , με: h(  )  0 , οπότε: x    f ( x )  xo  xo  f 1 ( xo )  f ( x )  f 1 ( xo )  f ( x )  f 1 ( xo )  0 Επομένως είναι  (  )  ( xo )  0 , οπότε υπάρχει x1  (  , x ), τέτοιο ώστε:  ( x1 )  0 και άρα: f ( x1 )  f 1 ( xo ) (2) iii . Θα δείξουμε ότι: x1  f ( x1 )  xo . Η h είναι γνησίως αύξουσα στο [  , ) , με h(  )  0 , οπότε: x1    h( x1 )  0  f ( x1 )  x1 (2) και x1  f ( x1 )  x1  f 1 ( xo ) (3) και f ( xo )  xo  xo  f 1 ( xo )  xo  f ( x1 ) (4) Από (3),(4) έχουμε: x1  f ( x1 )  xο

449 ® Θ Ε Μ Α 3 ο Δίνεται η συνάρτηση f :   , συνεχής και περιττή ,για την οποία, για κάθε x  0 ισχύει: f ( x)  ln( ex  1)  . Να αποδείξετε ότι για κάθε x  0 ισχύει: f ( x)  x  ln( 1 ex )  . Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει εφαπτομένη της Cf που να διέρχεται από την αρχή των αξόνων  . Να αποδείξετε ότι η ευθεία y x είναι ασύμπτωτη της Cf στο  και στο   . Να λυθεί η ανίσωση: f ( x2  x)  x2  x ΛΥΣΗ a . Η f :   είναι συνεχής και περιττή, με: f( x )  lne x  1 , για x  0 . Οπότε για x  0 έχουμε: x  0   x  0  f( x )  lnex  1   f( x )  lnex  1  f( x )  x  ln1  ex  . Οπότε: lne x  1 , x 0 f( x )  x  ln1  e x  , x 0  . Η εφαπτομένη της f στο x διέρχεται από το ( 0,0 ) αν και μόνο αν f( x )  x f ( x ) . Θα δείξουμε ότι η εξίσωση: f( x )  x f ( x )  0 δεν έχει λύση. Θεωρούμε τη συνάρτηση: h( x )  f( x )  x f ( x ) και έχουμε:

Για x 0, h( x )  ln( e x  1 ) xe x  ex 1 xe x h( x )  x f ( x )  h( x )  xf ( x )  ex  12 0 Οπότε η h( x ) είναι γνησίως αύξουσα στο ( 0, ),με: xe x ex 1  lim h( x )  lim ln( e x  1 )   , αφού: x0 x0 lim ln( e x  1 )  lim ln u   και x 0  u0  lim xe x  lim ex  xe x  lim ( 1  x )  1 ex 1 ex x0 x0 x0 Ακόμα είναι: xe x te x 1 ex 1  lim h( x )  lim ln( e x  1 )   x x  lim t lnt  ln( t  1 )( t  1 ) t x  lim lnt  ln( t  1 )( t  1 ) t x  lim ln t  ln( t 1 ) 0 , οπότε έχουμε:  t x t 1 h( 0 , )  ( ,0 ) και επομένως η εξίσωση f( x )  x f ( x )  0 , για x  0 δεν έχει λύση. Ακόμα επειδή η f  είναι άρτια, για x  0 , έχουμε: h( x )  f ( x )  xf ( x )  x  0  h( x )  f ( x ) xf (  x )  h( x )   f ( x )  xf ( x )  h( x )  h( x ). Δηλαδή η είναι περιττή, οπότε: h( ,0 )   h( 0, )  ( 0, ) και συνεπώς η εξίσωση: f ( x )  xf ( x )  0 δεν έχει λύση.

 . Έχουμε: lim  f( x )  x  lim ln( e x  1 )  x  x x  lim ln e x  1  lim ln u  0 u1 x e x και συνεπώς η ευθεία y  x είναι ασύμπτωτη της f στο  . Ομοίως είναι: lim  f( x )  x  lim  ln( 1  e x )   ln1  0 . x x Άρα η y  x είναι ασύμπτωτη της f και στο ∞  . Έχουμε: f( x2  x )  x2  x   ln e x2x  1  x2  x , x0 ή x1 , με:   x2  x  ln1  e x2x   x2  x , 0  x  1 ln e x2x  1  x2  x  e x2x  1  e x2x , αδύνατη και  x2  x  ln 1  e x2x   x2  x   0  x  1 ln1  e x2x   ln 1  e x2x  0  0x1  0 x1 0  x  1 Επομένως έχουμε: f( x2  x )  x2  x  0  x  1

38 1 ® Θ ΕΜ Α 3o Σε οικόπεδο σχήματος ορθογωνίου τραπεζίου ΑΒΓΔ , με , ΑΔ 4c , ΒΓ 6c ΑΒ 6c και Αˆ Βˆ 90ο , όπου c 10m θέλουμε να κατασκευάσουμε δύο διαμερίσματα με βάσεις ορθογώνια , AΔEZ και ΗΖΒΚ (βλέπε σχήμα) α. Να αποδείξετε ότι το συνολικό εμβαδό και των ορθογωνίων δίνεται από τον τύπο: Ε( x) x 2 2 x 24 3 β . Να βρείτε την τιμή του x για την οποία το συνολικό εμβαδό των δύο ορθογωνίων γίνεται μέγιστο. γ . Να αποδείξετε ότι υπάρχει τρόπος κατασκευής, ώστε τα δύο ορθογώνια να είναι ισεμβαδικά. δ. Αν το κόστος κατασκευής του AΔEZ είναι 4 χιλ. / m2 , ενώ του ΗΖΒΚ είναι , 3 χιλ. / m2 , να βρείτε πως πρέπει να γίνει η παραπάνω κατασκευή για να έχουμε ελάχιστο κόστος.

® ΛΥΣΗ 38 1  . Έστω   x και BK  y , τότε έχουμε:    , αρα y4  6 x x  y  x  12   6 y  3 Οπότε: E( x )  4 x  ( 6  x )y  xo  x1  4 x  x2  6 x  24 23 άρα E( x )   x2  2 x  24 3 . Είναι: E ( x )  2  2x , από την οποία προκύπτει ότι 3 το E( x ) γίνεται μέγιστο για x  3 , με E( 3 )  27  . Είναι: (  )  (  )  4 x  ( 6  x )( x  12 )  3 x2  18x 72  0 , 0  x  6  x  8 2  9  . Αν  1 ( x ), K2 ( x ) είναι το αντίστοιχο κόστος Κατασκευής, τότε έχουμε:  1( x )  K2 ( x )  16x   x2  6 x 72  x2  22x 72  0  x  4

422 ΘΕΜΑ 2ο Μεταβλητού ορθογωνίου  οι κορυφές είναι σημεία των πλευρών  , ΒΓ , ΓΔ , ΔΑ αντίστοιχα, τετραπλεύρου  , με    ,   60cm και   40cm (σχήμα).  . Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του  δίνεται από τον τύπο:  ( x )   2 x2  40 x 3 όπου x   .  . Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του εμβαδού του  και τη σχέση του με το εμβαδόν του   . Να αποδείξετε ότι για κάθε x ( 0,30 ) υπάρχει x1 ( 30 ,60 ), ώστε  ( x1 )   ( x )  . Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του  όταν αυτό γίνεται τετράγωνο

® ΛΥΣΗ 422  . Το εμβαδόν του  είναι: (  )      xy Από τα όμοια τρίγωνα:  ,  και  , , με:  1 , 2 έχουμε: x  1 και x  2  x  1 2  60 O 60 B 60 OB x  40  y  y  40  2 x 60 40 3 Οπότε είναι: (  )  xy   ( x )   2 x2  40 x 3  . Είναι:  ( x )  120  4 x 2 , από την οποία προκύπτει 3 ότι το  ( x ) γίνεται μέγιστο για x  30 με τιμή:  ( 30 )  600cm 2 Το  έχει εμβαδόν (  )  1     1200 cm2 2 Οπότε (  ) 1 (  ) 2

 . Η συνάρτηση  ( x ) είναι γνησίως αύξουσα στο 1  [ 0,30 ] και γνησίως φθίνουσα στο 2  [ 30,60 ] με :  ( 1 )   ( 2 )  [ 0,600 ] , οπότε για κάθε x ( 0,30 ) υπάρχει x1 ( 30,60 ) τέτοιο ώστε:  ( x )   ( x1 )  . Είναι:  ( t )   2 x( t )  40 x( t ) 3  ( t )   4 x( t ) x( t )  40 x( t ) 3 Ακόμα το AB είναι τετράγωνο , όταν x  y , δηλαδή x  24 Οπότε αν x( t )  3 έχουμε:  ( t )  4 x( t )  120 και τη χρονική στιγμή t που είναι x  24 , έχουμε:  ( t )  4 24  40 3  88cm / min 3

436 ® ΘΕΜΑ 3ο μονοτονία , ακρότατα ,εξισώσεις, ανισώσεις , όρια Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f(x)  e x 1 , x0 x α. Na μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα . β. Να αποδείξετε ότι για κάθε x  , με 0  x  1, ισχύει: f(x)  f(lnx) γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: f(x)  f( ln x ) έχει ακριβώς μια λύση η οποία βρίσκεται στο διάστημα (1 , e) δ. Να υπολογιστεί το όριο: f(xlnx) lim x f(x) ΛΥΣΗ x 1 x2 1 x 1 x x2 x  a. Έχουμε: f( x )  e , f ( x )  e Από την οποία προκύπτει ότι η f είναι: γν. αύξουσα στα διαστήματα( ,1] , [1,   ) και γν. φθίνουσα στα [ 1,0 ) και ( 0,1] παρουσιάζει δε τ. μέγιστο στο 1 και τοπικό ελάχιστο στο1 , με : f( 1 )   3 και 3 e 2 f( 1 )  e 2

 . Έχουμε: f( x )  f (ln x )  e x 1  e ln x 1  x ln x x  1  ln x  1  h( x )  h ln x (1) x ln x όπου: h( x )  x  1 x Η συνάρτηση h στο διάστημα ( 0, ),έχει ελάχιστη τιμή h( 1 )  2 και στο ( ,0 ) έχει μέγιστη τιμή h( 1 )  2 Για 0  x  1 έχουμε : h( x )  2 και h(ln x )  2 Άρα h( x )  h(ln x ) και άρα f( x )  f (ln x )  . f(x)  f( ln x )  h( x )  h(ln x ) Θεωρούμε τη συνάρτηση g( x )  h( x )  h(ln x ) η οποία έχει πεδίο ορισμού το ( 0,1 )( 1, ) και αφού για x ( 0,1 ) είναι: f( x )  f (ln x ) , έχουμε: h( x )  h(ln x )  g( x )  0 , x  1 Ακόμα κάθε x ( 1,e ) είναι g( x )  h( x ) 1 h(ln x )  0 x g( e )  h( e )  h( 1 )  e  1  2  0 e lim g( x )  h( 1 )  lim h(ln x )  x1 x1 lim g( x )  h( 1 )  lim h( u )   x1 u0  Επομένως υπάρχει ακριβώς ένα x  ( 1,e ) g( xo )  0 f ( xo )  f (ln xo )

Ακόμα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [ 1, ), οπότε για x  e έχουμε x  ln x  1  f ( x )  f (ln x ) και συνεπώς η παραπάνω ρίζα x  ( 1,e ) είναι η μοναδική της εξίσωσης: f ( x )  f (ln x ) . lim f(xlnx)  lim e xlnxln1x  lim 1  f(x) x e x 1x x x e xlnx  e ln x e x  e 1x  1  1x   e xlnxx ln x  lim  e   x   αφού: lim  xlnx  x   και lim  1  1   0  ln x x  x x παράσταση της f . .

46 7 ® Θ ΕΜ Α 3o Δίνεται η συνάρτηση: f(x ) ( x a )3( x β )3 , με α β . α. Να αποδείξετε ότι η f έχει ένα τοπικό ακρότατο και δύο σημεία καμπής. β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μόνο μια ευθεία που εφάπτεται ταυτόχρονα σε δύο σημεία της C f και ακόμα ότι αυτή είναι αυτή που διέρχεται από τα σημεία καμπής της C f . γ. Να αποδείξετε ότι η ευθεία x α β είναι άξονας συμμετρίας της C f . 2 δ. Να αποδείξετε ότι : β α β f(x)dx 0. x α2 ε. Αν α β 2 και β να αποδείξετε ότι xf(x)dx 5 , α β f(x)dx 5 . α

483 ΘΕΜΑ 2ο Έστω συνάρτηση f : R  R, δυο φορές παραγωγίσιμη και γνησίως φθίνουσα . Στο παρακάτω σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης : g : R  R με g( x )  f ( x ) , x  R Δίνεται ακόμα ότι η ευθεία y  x 1 είναι ασύμπτωτη της g στο  και g( x )  0, για κάθε x  1 α. Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει καμπή στο xo  1 β. Να αποδείξετε ότι η ευθεία y  x 1 είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο   . Αν η ευθεία x  1 είναι άξονας συμμετρίας της γραφικής παράστασης της g ,τότε να αποδείξετε ότι το σημείο ( 1,0 ) είναι κέντρο συμμετρίας της γραφικής παράστασης της f .  . Να αποδείξετε ότι για κάθε x  1 ισχύει: f ( x )  0

522 ΘΕΜΑ 3ο  τ. ακρότατα , Σ.Κ. , ανισότητες  . Έστω συνάρτηση f δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστ.ημα [ , ] η οποία παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στη θέση x1 και τοπικό μέγιστο στο x2 ,με: x1 , x2  ( a ,  ) και x1  x2 . Αν η f  έχει μοναδική ρίζα xo  ( x1 , x2 ) ,να αποδείξετε ότι το xo είναι σημείο καμπής της f  . Δίνεται η συνάρτηση: f ( x )  x3  ln( x2  1 )  . Να αποδείξετε ότι η f έχει ακριβώς δύο τοπικά ακρότατα.  . Να αποδείξετε ότι μεταξύ των δύο παραπάνω τοπικών ακροτάτων η f έχει ένα σημείο καμπής  . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση : f ( x)0 έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες.  . Αν x1 , x2 , με x1  x2 είναι οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων της f , να αποδείξετε ότι για κάθε  ,   ( x1 , x2 ), με    ισχύει:  2     2  1 ε. Αν x είναι το σημείο καμπής της f , να υπολογιστεί το όριο: lim  ( x xo ) 1 f( xo   f( x) x  xo ) 

527 ΘΕΜΑ 4ο γραφ. παρ. , εμβαδό,  ολοκλ-ανισότητες, ρίζες Δίνεται .η συνάρτηση : f ( x )  xe1x  . Να γίνει μελέτη και γραφική παράσταση της f  . Αν  ( ) είναι το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f τον άξονα xx και την ευθεία x   , να αποδείξετε ότι: lim  (  )  1    . Να αποδείξετε ότι για κάθε a ( 0,1 ) ισχύει: 1 2a  f ( t )dx  a1 f ( x )dx  . Τετράπλευρο  έχει κορυφές: ( xo ,0 ), 0  xo  1 ,   xo , f ( xo ) ,   x1 , f ( x1 ) , x1  1 και ( x1 ,0 ) . Nα αποδείξετε ότι : i . Για κάθε xo  ( 0 ,1 ) υπάρχει x1  1 ώστε το  να είναι ορθογώνιο και ακόμα ότι για τα xo , x1 αυτά ισχύει: xo  x1  1 2 ii . υπάρχει xo  ( 0 ,1 ) , τέτοιο ώστε το παραπάνω ορθογώνιο  να είναι τετράγωνο.

579 ΘΕΜΑ Δ  ρίζες, ακρότατα , κοινή εφαπτομενη κρ. παρεμβολής 1 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: ex  1 (1) x έχει.μοναδική ρίζα xo η οποία ανήκει στο διάστημα ( 0 ,1 ) Δίνονται οι συναρτήσεις: f ( x )  ex  ln x  1 , x0 xo και g( x )  ex  xo x  xo2 , x  , όπου xo είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης (1) 2 Να αποδείξετε ότι οι f , g έχουν ελάχιστη τιμή xo 3 Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεις f , g έχουν μόνο ένα κοινό σημείο με κοινή εφαπτομένη σ’ αυτό. 4 Αν μια συνάρτηση h :  , είναι συνεχής στο xo , με: f ( x )  h( x )  g( x ), για κάθε x  x τότε να αποδείξετε ότι: i . h( xo )  xo ii . το x είναι πιθανό τοπικό ακρότατο της h .

474 ΘΕΜΑ 3ο Δίνεται η συνάρτηση:  x  2 ln e x 1 , x 0  x f ( x)   0 , x0 α. Na αποδείξετε ότι: i . η f είναι άρτια ii . η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 . β. Να αποδείξετε ότι η f είναι κοίλη.  . Να λυθεί η ανίσωση: x  ln  x2e x 2  f 2( x ) x 1 e  . Na αποδείξετε ότι υπάρχουν  ,  R , με  0 τέτοιοι ώστε: f ( ) f ( )  ΛΥΣΗ ΘΕΜΑΤΟΣ 474  x  2 ln e x 1 , x0  x a. f( x )  0 , x 0 i . Για κάθε x  0 έχουμε  f(  x )   x  2 ln e x  1  ex  1 ex  x  x  2 ln  x

  x  2 ln e x  1  2 ln e x  x  2 ln e x  1  f ( x ) xx lim f ( x )  2 ln e x  1   2 ln e x  1  x0 x  x  x ii .  lim  1  x  1  lim  x , x0 x0     2 ln e x  1  lim  x  0 ln e x  1   0  2 lim x0  x  x0 x   2 lim x  xe x ex  1  2 lim xe x  e x  1  ex  x2 xe x  x x0 1 x0  2 lim xe x 1  2 lim x  2 lim 1 1 x 1 x0 xe x  e x x0 x  1ex  e x0 Επομένως είναι f ( 0 )  0 . Για κάθε x  0 είναι: f ( x )  2  ex 1 x ex 1 ( )  2  2e x x2 ex 1 2  f x (1) Έχουμε: 2e x  e x 1 2 ex 1 x   2  2 0   ex  x2 ex 1  e 1 x (2) 2 x Επειδή η f  είναι άρτια , αρκεί να δείξουμε ότι η (2) αληθεύει για x  0 . Έχουμε: ex 1  e 1 x  xe 1 x ex 1 0 2 2 x Θεωρούμε τη συνάρτηση: g(x)  xe 1 x  e x  1 και έχουμε: 2 g(x)  e 1 x  1 xe 1 x  e x = 2 2 2

 e 1 x  e 1 x  1 x  1   0 , x0 2  2 2  Οπότε η g είναι γνησίως φθίνουσα στο [0, ), με g(0)  0 και άρα g(x)  0 για κάθε x  0 . Επομένως για κάθε x  0 είναι f ( x )  0 , οπότε η f είναι κοίλη. f( x )  x  2 ln e x  1 = ln x2e x x ex 1 2   . Έχουμε: , οπότε: x2e x ex 1  f 2 ( x )  x ln 2  f 2 ( x )  x f( x )  f( x )  f( x )  x  0 (1) Ακόμα η f  είναι γνησίως φθίνουσα με f ( 0 )  0 , οπότε η f έχει μέγιστη τιμή f( 0 )  0 και επομένως η (1) γίνεται: f( x )  x  0 Έχουμε: x2 0  ex 1  f( x ) x  0  ln 2 x e x  1  0  e x x  1  0  ex 1 ex  1  ex 10  x 0  . Έχουμε: f( )  f(  )  a    f( )  a    f(  )   ln ea  1  ln e  1  a  ln a  ln e  1  a  e  1  ea   ea  1  1 a  1 (1) ea  1  e 1 Θεωρούμε τη συνάρτηση g( x )  e x 1 και η (1) x γράφεται: g( )  1 ) (2) g( 

Έχουμε: g( x )  e x  1  xe x ( e x  1 )2 Θεωρούμε τη συνάρτηση h( x )  e x  1  xe x και έχουμε: h( x )  xe x με h( 0 )  0 , οπότε είναι h( x )  0 , για κάθε x  0 και άρα g( x )  0 , για κάθε x  0 . Επομένως η g είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήματα 1  ( ,0 ) , 2  ( 0 , ), με: lim g( x )  lim e x 1 1 , x x0 x0 lim g( x )  lim e x 1   x x x και lim g( x )  lim e x 1 0 , x x x δηλαδή είναι g( 1 )  ( 1, ) και g( 2 )  ( 0 ,1 ) οπότε για κάθε   1 είναι : g( )  1 και άρα 1 ) ( 0,1 ) g( οπότε υπάρχει   2 τέτοιο ώστε g(  )  1 ) g( ισοδύναμα g( )  1 ) και άρα g(  f(a) f( )a

398 ΘΕΜΑ 4ο Δυο ταχύπλοα P1 , P2 του αναχώρησαν ταυτόχρονα από ένα λιμάνι O και με ευθεία συνεχή κίνηση, όχι όμως με σταθερή ταχύτητα , έφτασαν μετά από 4 ώρες συγχρόνως σε δύο νησιά  , , αντίστοιχα, με αποστά- σεις από το  : A  10 ν.μ. και  B  14 ν.μ. Στο παρακάτω σχέδιο έχουμε τις γραφικές παραστάσεις Δύο συναρτήσεων f , g που μας δείχνουν την απόσταση των P1 , P2 , αντίστοιχα , από το  , συναρτήσει του χρόνου t ( σε ώρες) . Θεωρούμε ακόμα ότι οι f , g είναι παραγωγίσιμες.  . Να εξηγήσετε τι δηλώνουν οι στιγμή χρόνοι 1, 2 ,4 και τι το τμήμα  .  . Να αποδείξετε ότι υπάρχει χρονική στιγμή t  ( 0 ,2 ) που τα P1 , P2 είχαν την ίδια ταχύτητα.  . Να αποδείξετε ότι υπάρχει χρονική στιγμή t1 , μία ώρα μετά την οποία το P2 είχε κάνει 3ν.μ. περισσό- τερα από όσα είχε κάνει το P1 την στιγμή t1 .  . Αν είναι γνωστή η θέση του  και κάποια χρονική στιγμή t2 το P2 ισααπείχε από τα  , , με  2   2  6 , να εντοπίσετε (γεωμετρικά ή αλγεβρικά) τnν πιθανή θέση του  .

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 40ο ΘΕΜΑ Α Έστω συνάρτηση f : A  , διάσημα    και xo   .  1 Να γράψετε , πότε λέμε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο xo . ΜΟΝ.4  2 Να γράψετε , πότε λέμε ότι η f είναι κυρτή στο  ΜΟΝ.4 3 Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο  και ισχύει: f ( x )  0 , για κάθε x εσωτερικό του  , τότε να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το  . ΜΟΝ.9  4 Να δικαιολογήσετε αν είναι Σωστό ή Λάθος ο ισχυρισμός : ΄΄ Αν η f δεν είναι γνησίως μονότονη ,τότε υποχρεωτικά δεν είναι αντιστρέψιμη ΄΄ ΜΟΝ.4  5 Να δικαιολογήσετε αν είναι Σωστό ή Λάθος ο ισχυρισμός : ΄΄ Αν η f έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο  , τότε υποχρεωτικά δεν έχει πλάγια ασύμπτωτη στο  ’’ ΜΟΝ.4

ΘΕΜΑ Β Έστω η συνάρτηση f :  , με τύπο: f ( x ) x  x x2  1  1 Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή και ΜΟΝ. 5 γνησίως αύξουσα.  2 Να αποδείξετε η f παρουσιάζει καμπή σε ΜΟΝ.5 μία θέση και ακόμα ότι η ευθεία y  x είναι ασύμπτωτη της f στο  και στο   3 Να αποδείξετε ότι για κάθε x  0 ισχύει: ΜΟΝ.5 | f ( x ) || x |  4 Να αποδείξετε ότι για κάθε   1 η εξίσωση: f ( x )  ax  f ( ax )  a 0 (1) 1a x 1 έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα ( 0 , ) ΜΟΝ. 6  5 Αν το x είναι λύση της παραπάνω εξίσωσης ( 1 ) στο διάστημα ( 0 , ) , να αποδείξετε ότι: x  1 ΜΟΝ.4

ΘΕΜΑ Γ MON.8 MON. 4 Δίνεται η συνάρτηση: f ( x )  1  ln x  x ln x  1 Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.  2 Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα xx σε δύο θέσεις x1 , x2 με : 0  x1  1  x2 .  3 Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της f στο x1 τέμνει τον αρνητικό ημιάξονα  y και η εφαπτομένη στο x2 τέμνει τον ημιάξονα  y . MON. 3  4 Να αποδείξετε ότι υπάρχει x  ( 0 ,1 ) , στο οποίο x η εφαπτομένη της f είναι παράλληλη με την ευθεία yx ΜΟΝ.5  5 Για το x του ερωτήματος  4 : i . να αποδείξετε ότι : x  x1 ii . να υπολογιστεί το όριο: lim ( x xo ) f(x) f( xo ) f ( x ) x xo ΜΟΝ.(3+2)

ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f :  , με τύπο: f ( x )  cxe x  ce x  2 Όπου c σταθερά με c  0 . 1 Να αποδείξετε ότι η παρουσιάζει ένα τοπικό ακρότατο και ένα σημείο καμπής σε θέσεις ανεξάρτητες του c MON. 5  2 i . Να αποδείξετε ότι η ευθεία y  2 είναι οριζόντια ασύμπτωτη της f ii . Να λυθεί η ανίσωση: f ( x )  2 MON.(3+2)  3 Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει εφαπτομένη της f που να διέρχεται από την αρχή των αξόνων. MON.5  4 Αν c  2 , να αποδείξετε ότι : i . υπάρχει  ( 1,0 ) και  ( 1,1 ), ώστε: f (  )  e f (  ) ii . για τους παραπάνω  , ισχύει: 1    e1    e2 MON.(5+5)

Το βιβλίο δεν πωλείται από βιβλιοπωλεία (διότι τυπώνεται σε λίγα αντίτυπα) για αποστολή 69 73 82 76 22 ή προσωπικό μήνυμα στο fb και πληρώμη μετα την παραλαβή ( 30 ευρώ) μέσω e-banking Ολοκληρωμενη η σειρα Βιβλίων Μαθηματικών Γ΄ Λυκείου αποτελείται από 4 τόμους: 1ος τόμος: Συναρτήσεις , Όρια,Συνέχεια(700 σελίδες) 2ος τόμος : Παράγωγοι(700 σελίδες) 3ος τόμος: Ολοκληρώματα(600 σελίδες) 2ος τομος: Επαναληπτικά Θέματα(660 σελίδες)