คณิตศาสตร์ ประถม

หนังสือเรยี นสาระความรพู น้ื ฐาน รายวิชา คณติ ศาสตร (พค11001) ระดบั ประถมศกึ ษา หลักสตู รการศกึ ษานอกระบบระดบั การศึกษาขน้ั พน้ื ฐาน พุทธศักราช 2551 สาํ นกั งานสง เสรมิ การศกึ ษานอกระบบและการศกึ ษาตามอธั ยาศยั สาํ นกั งานปลดั กระทรวงศกึ ษาธกิ าร กระทรวงศกึ ษาธกิ าร หามจาํ หนาย หนังสือเรยี นเลม นี้จัดพมิ พด วยเงนิ งบประมาณแผน ดินเพื่อการศกึ ษาตลอดชีวิตสาํ หรับประชาชน ลขิ สทิ ธิ์ เปนของ สํานักงาน กศน. สํานักงานปลัดกระทรวงศึกษาธิการ เอกสารทางวชิ าการลาํ ดบั ท่ี 10/2554

หนงั สือเรยี นสาระความรพู นื้ ฐาน รายวชิ า คณติ ศาสตร( พค11001 ) ระดับประถมศกึ ษา ลิขสทิ ธเิ์ ปน ของ สาํ นกั งาน กศน. สํานักงานปลัดกระทรวงศึกษาธิการ เอกสารทางวิชาการลําดับที่ 10/2554

คาํ นาํ สํานักงานสงเสริมการศึกษานอกระบบและการศึกษาตามอัธยาศัย ไดดําเนินการจัดทํา หนังสือเรียน ชุดใหมนี้ข้ึน เพ่ือสําหรับใชในการเรียนการสอนตามหลักสูตรการศึกษานอกระบบ ระดับการศึกษาขัน้ พื้นฐาน พุทธศักราช 2551 ทีม่ ีวัตถุประสงคในการพัฒนาผูเรียนใหมีคุณธรรม จริยธรรม มีสติปญญาและศักยภาพในการประกอบอาชีพ การศึกษาตอ และสามารถดํารงชีวิตอยูใ น ครอบครัว ชุมชน สังคมไดอยางมีความสุข โดยผูเรียนสามารถนําหนังสือเรียนไปใช ดวยวิธีการศึกษา คนควาดวยตนเอง ปฏิบัติกิจกรรมรวมทัง้ แบบฝกหัดเพือ่ ทดสอบความรูค วามเขาใจในสาระเนือ้ หา โดยเม่อื ศึกษาแลวยังไมเ ขา ใจ สามารถกลบั ไปศกึ ษาใหมไ ด ผเู รยี นอาจจะสามารถเพิ่มพูนความรูห ลังจาก ศึกษาหนังสือเรียนนี้ โดยนําความรูไปแลกเปล่ียนกับเพ่ือนในช้ันเรียน ศึกษาจากภูมิปญญาทองถิ่น จากแหลง เรียนรูและจากสื่ออ่นื ๆ ในการดําเนินการจัดทําหนังสือเรียนตามหลักสูตรการศึกษานอกระบบระดับการศึกษา ขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 ไดรับความรวมมือทีด่ ีจากผูท รงคุณวุฒิและผูเกี่ยวของหลายทานที่คนควา และเรียบเรียงเน้ือหาสาระจากสื่อตางๆ เพ่ือใหไดส่ือที่สอดคลองกับหลักสูตร และเปนประโยชน ตอผูเ รียนทีอ่ ยูน อกระบบอยางแทจริง สํานักงานสงเสริมการศึกษานอกระบบและการศึกษาตามอัธยาศัย ขอขอบคุณคณะที่ปรึกษา คณะผูเรียบเรียง ตลอดจนคณะผูจัดทําทุกทานท่ีไดใหความรวมมือดวยดี ไว ณ โอกาสนี้ สํานักงานสงเสริมการศึกษานอกระบบและการศึกษาตามอัธยาศัย หวังวาหนังสือเรียน ชุดนี้จะเปนประโยชนในการจัดการเรียนการสอนตามสมควร หากมีขอเสนอแนะประการใด สํานักงาน สงเสริมการศึกษานอกระบบและการศึกษาตามอัธยาศัย ขอนอมรับไวดวยความขอบคุณยิ่ง สํานักงาน กศน.

สารบญั หนา คํานํา 1 คําแนะนําการใชแบบเรียน 74 โครงสรา งรายวชิ าคณติ ศาสตร ระดบั ประถมศกึ ษา 101 บทท่ี 1 จาํ นวนและการดาํ เนินการ 122 บทท่ี 2 เศษสว น 131 บทท่ี 3 ทศนิยม 188 บทท่ี 4 รอ ยละ 216 บทท่ี 5 การวดั 232 บทท่ี 6 เรขาคณิต 244 บทท่ี 7 สถิติและความนาจะเปนเบื้องตน 248 เฉลย บทที่ 1 จาํ นวนและการดาํ เนนิ การ 251 เฉลย บทท่ี 2 เศษสว น 253 เฉลย บทท่ี 3 ทศนิยม 261 เฉลย บทท่ี 4 รอ ยละ 270 เฉลย บทที่ 5 การวดั เฉลย บทท่ี 6 เรขาคณิต เฉลย บทที่ 7 สถิติและความนาจะเปนเบอ้ื งตน

คาํ แนะนาํ การใชแบบเรยี น หนงั สอื เรยี นสาระความรพู น้ื ฐาน รายวิชา คณิตศาสตร (พค 11001) ระดบั ประถมศกึ ษาเปน หนังสือ เรียนทจี่ ัดทําขนึ้ สาํ หรับผูเรยี นที่เปนนักศกึ ษานอกระบบ ในการศึกษาหนังสือเรยี นสาระความรูพ ้ืนฐาน รายวิชา คณิตศาสตร ผเู รียนควรปฏบิ ัติดังน้ี 1. ศึกษาโครงสรางรายวิชาใหเขาใจในหัวขอสาระสําคัญ ผลการเรียนรูที่คาดหวังและ ขอบขายเนื้อหา 2. ศึกษารายละเอียดเนื้อหาของแตละบทอยางละเอียด และทาํ กจิ กรรมตามทกี่ ําหนด แลวตรวจสอบกับแนวตอบกจิ กรรมท่กี าํ หนด ถาผเู รียนตอบผดิ ควรกลับไปศกึ ษา และทําความเขาใจในเน้ือหานนั้ ใหมใหเขาใจกอนท่ีจะศกึ ษาเรอื่ งตอ ไป 3. ปฏบิ ัตกิ จิ กรรมทา ยเร่ืองของแตละเร่ือง เพ่ือเปนการสรปุ ความรูความเขาใจของ เนอ้ื หาในเรอ่ื งน้นั ๆอกี ครัง้ และการปฏบิ ัติกจิ กรรมของแตละ เนอ้ื หาในแตละเร่ือง ผูเรยี นสามารถนําไปตรวจสอบกบั ครแู ละเพื่อนๆทร่ี ว มเรียนในรายวชิ าและระดบั เดยี วกนั ได 4. แบบเรียนเลม นมี้ ี 8บทคือ บทที่ 1 จาํ นวนและการดาํ เนินการ บทที2่ เศษสว น บทท3ี่ ทศนิยม บทที่ 4 รอ ยละ บทที่ 5 การวดั บทที่ 6 เรขาคณิต บทที่ 7 สถิติ บทที่ 8 ความนาจะเปนเบื้องตน

โครงสรา งรายวชิ าคณติ ศาสตร ระดบั ประถมศกึ ษา (พค11001) สาระสําคัญ มคี วามรูความเขาใจเกย่ี วกบั จํานวนและตัวเลข เศษสว น ทศนิยมและรอยละ การวัด เรขาคณิต สถติ ิ และความนาจะเปน ไปไดเบื้องตน ผลการเรยี นรูที่คาดหวงั ๑. ระบหุ รือยกตวั อยางเกยี่ วกับจํานวนและตัวเลข เศษสวน ทศนยิ มและรอ ยละ การวดั เรขาคณิต สถิติ และความนาจะเปนไปไดเบื้องตนได ๒. สามารถคิดคํานวณและแกโจทยปญหาเกี่ยวกับจํานวนนับเศษสวน ทศนิยม รอยละ การวัด เรขาคณิตได ขอบขา ยเน้ือหา บทที่ 1 จาํ นวนและการดาํ เนินการ บทที่ 2 เศษสว น บทที่ 3 ทศนิยม บทที่ 4 รอ ยละ บทที่ 5 การวดั บทที่ 6 เรขาคณิต บทที่ 7 สถิติ บทที่ 8 ความนาจะเปนเบื้องตน สือ่ การเรียนรู 1. ใบงาน 2. หนงั สอื เรียน

บทที่ 1 จํานวนและการดาํ เนนิ การ สาระสําคญั 1. การอานและเขียนตัวเลขแทนจํานวน การประมาณคา และการบวก ลบ คูณ หาร การดาํ เนนิ การ เกยี่ วกบั จาํ นวน การนํามาใชในชีวิตประจําวัน และการบูรณาการกับศาสตรอื่นได 2. สมบัติของจํานวนนับ และศูนย สมบัติการสลับที่ของการบวกและการคูณ สมบัติการเปลย่ี นหมู การบวก การคณู สมบตั กิ ารบวกดว ยศนู ย สมบตั กิ ารคณู ดวยหน่ึง และสมบัตแิ ยกตัวประกอบ สามารถนําไปใชป ระโยชนใ นการคดิ คาํ นวณได ผลการเรียนรูท่ีคาดหวงั เมื่อศึกษาบทที่ 1 แลว ผูเรียนสามารถ 1. อา นและเขยี นตวั เลขแทนจาํ นวนได 2. บอกคาประจําหลักและคาของตัวเลขได 3. เขยี นจาํ นวนในรปู การกระจายได 4. เปรยี บเทยี บจาํ นวนนบั ได 5. ประมาณคาเปนจํานวนเต็มได 6. นาํ ความรูและสมบตั ิ เกีย่ วกบั จํานวนนับ และศนู ย ไปใชไ ด 7. บวก ลบ คณู และหาร จํานวนนบั ได 8. หาตวั ประกอบของจาํ นวนนับได 9. บอกจํานวนเฉพาะและตัวประกอบเฉพาะได 10. แยกตวั ประกอบของจาํ นวนนบั ได 11. หา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจํานวนนบั ทก่ี าํ หนดใหไ ด ขอบขา ยเนอ้ื หา เร่ืองท่ี 1 การอา นและเขยี นตวั เลขแทนจาํ นวน เรื่องท่ี 2 คา ประจาํ หลักและคาของตัวเลข เรื่องที่ 3 การเขียนจาํ นวนในรปู การกระจาย เร่ืองที่ 4 การเรียงลําดับจํานวน เรื่องที่ 5 การประมาณคา เร่ืองท่ี 6 สมบตั ิของจํานวนนบั และศนู ย และการนาํ ไปใชใ นการแกป ญ หา เรื่องที่ 7 การบวก ลบ คณู และหาร จาํ นวนนบั และการแกป ญ หา เร่ืองท่ี 8 ตวั ประกอบของจํานวนนบั และการหาตวั ประกอบ เร่ืองที่ 9 จํานวนเฉพาะและตัวประกอบเฉพาะ เรื่องที่ 10 การแยกตัวประกอบ เร่ืองท่ี 11 ห.ร.ม. และ ค.ร.น.

2 เรือ่ งท่ี 1 การอานและเขยี นตัวเลขแทนจํานวน จาํ นวน ใชในการบอกปริมาณของคน สัตว สิ่งของตาง ๆ วามีมากหรือนอยเทาไร ตัวเลข เปนสญั ลกั ษณทใ่ี ชแ ทนจาํ นวน ตวั เลขโดด เรานิยมใชต ัวเลขแทนจาํ นวนตา ง ๆ ซ่ึงประกอบดวยตัวเลขโดดสิบตัว ไดแก 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 1.1 จาํ นวนท่ีเขยี นแทนดว ยตวั เลขหนง่ึ หลกั ตัวเลข ฮนิ ดอู ารบิก จาํ นวน ตัวหนงั สือ ตวั เลขไทย ศนู ย ๐ 0  หนึ่ง ๑ 1  สอง ๒ 2  สาม ๓ 3  สี่ ๔ 4  หา ๕ 5  หก ๖ 6  เจด็ ๗ 7  แปด ๘ 8  เกา ๙ 9

แบบฝก หดั ที่ 1 3 ก. จงเขียนตัวเลขไทย และเลขฮินดูอารบิกแทนภาพจํานวนในแตล ะขอ ตัวเลข ตัวเลข จาํ นวน ไทย ฮินดู (1) อารบคิ (2) (3) (4) (5) ข. จงฝก เขยี นตัวเลขไทยและตวั เลขฮินดอู ารบิก แสดงจาํ นวน ตัวเลขไทย

4 1.2 จาํ นวนท่ีเขยี นแทนดว ยตวั เลขสองหลกั ตวั เลข ฮนิ ดูอารบกิ จํานวน ตวั หนังสือ ตวั เลขไทย ๑๑ 11  สบิ เอ็ด  หา สบิ ๕๐ 50 เกาสิบเกา ๙๙  99          

แบบฝก หัดที่ 2 5 ก. จงเขียนตัวเลขไทยและตัวเลขฮินดูอารบิกแทนภาพจาํ นวนในแตละครั้ง ตวั เลข ตวั เลขฮนิ ดู จาํ นวน ไทย อารบคิ (1) (2) (3) (4) (5)

6 ข. จงฝก เขยี นตัวเลขไทยและตวั เลขฮินดอู ารบกิ ลงในสมุด ๑๑ ๑๙ ๒๘ ๓๗ ๔๖ ๕๐ 11 19 28 37 46 50 ค. จงเขียนตัวเลขสองหลักท่ีเรยี งลําดับกนั ลงในชอ งวา งทเ่ี วน ไว ตัวเลขไทย ๑๐ ..... ๑๒ ๑๓ ...... ๑๕ ...... ....... ๑๘ ..... ..... ..... ๒๒ ...... ..... ...... ๒๖ ๒๗ ...... ...... ๓๐ ตวั เลขฮินดูอารบกิ 31 32 ..... ....... ....... 36 ...... ...... 39 ...... ....... 42 ...... 44 ...... ....... 47 ...... ....... 50 ง. จงเขยี นตัวเลขฮนิ ดอู ารบกิ แสดงจาํ นวน (1) สามสิบแปด ................ (2) หกสบิ หา ................ (3) เจ็ดสิบเจด็ ................ (4) แปดสบิ เอด็ ................ (5) เกาสบิ หก ................ (6) เกา สิบเกา ................ จ. จงเขยี นเปน ตัวหนงั สอื (1) 35 ......................... (2) 53 ......................... (3) 68 ......................... (4) 86 ......................... (5) 79 ......................... (6) 97 ......................... 1.3 จาํ นวนท่ีเขยี นแทนดว ยตวั เลขสามหลกั เชน 238 2 อยใู นหลกั รอย 3 อยูในหลกั สบิ 8 อยใู นหลกั หนว ย 2 3 8 อานวา สองรอยสามสิบแปด ตวั เลขหนาสุดหรือทางซายมือสุด คือ ตวั เลขหลกั รอย ตัวเลขถัดตัวหนามาทางขวามอื คือ ตัวเลขหลกั สิบ ตัวเลขสุดทายหรือขวามือสุด คือ ตวั เลขในหลกั หนว ย 1.4 จํานวนที่เขียนแทนดวยตวั เลขสี่หลกั เชน 6,385 6 อยูในหลักพัน 3 อยูในหลกั รอ ย 8 อยใู นหลกั สบิ 5 อยใู นหลกั หนว ย 6 , 3 8 5 อา นวา หกพันสามรอ ยแปดสิบหา เพื่อสะดวกในการอาน นิยมเขียนเครื่องหมาย (,) ค่ันระหวางตวั เลขหลกั รอยกบั ตวั เลข หลกั พัน

7 1.5 จํานวนท่ีเขยี นแทนดว ยตัวเลขหาหลกั หกหลกั เจ็ดหลัก และมากกวาเจด็ หลกั 1) ตวั เลขหาหลกั เชน 76,432 7 อยใู นหลักหม่ืน 6 อยใู นหลกั พนั 4 อยใู นหลกั รอ ย 3 อยใู นหลกั สบิ 2 อยใู นหลกั หนว ย 7 6 , 4 3 2 อา นวา เจ็ดหมื่นหกพนั สร่ี อยสามสบิ สอง 2) ตัวเลขหกหลัก เชน 278,647 2 อยใู นหลกั แสน 7 อยใู นหลกั หมื่น 8 อยูในหลกั พนั 6 อยใู นหลักรอ ย 4 อยูใ นหลกั สบิ 7 อยใู นหลกั หนว ย 2 7 8 , 6 4 7 อานวา สองแสนเจ็ดหมน่ื แปดพนั หกรอยสส่ี บิ เจด็ 3) ตวั เลขเจด็ หลกั เชน 3,245,618 3 อยูใ นหลกั ลาน 2 อยใู นหลกั แสน 4 อยูในหลกั หมน่ื 5 อยูในหลกั พนั 6 อยใู นหลกั รอ ย 1 อยใู นหลักสบิ 8 อยใู นหลกั หนว ย 3 , 2 4 5 , 6 1 8 อา นวา สามลา นสองแสนสห่ี มน่ื หา พนั หกรอ ยสิบแปด 4) ตัวเลขท่มี ากกวา เจ็ดหลกั เชน 15,340,796 อา นวา สิบหาลานสามแสนส่ีหม่นื เจ็ดรอ ยเกา สิบหก 421,674,081 อา นวา ส่รี อยย่ีสบิ เอ็ดลา นหกแสนเจ็ดหมื่นส่ีพนั แปดสบิ เอด็

8 จะเห็นวา จาํ นวนนับทเ่ี ปนตัวเลขมากกวาเจ็ดหลัก ตัวเลขที่อยถู ดั จากหลักลานทางซาย จะเปน ตวั เลขในหลกั สิบลา น รอ ยลาน พันลา น.......ตามลําดับ แบบฝกหัดท่ี 3 จงเขียนคําอา นจาํ นวนท่แี ทนดว ยตัวเลขตอ ไปนี้ (1) 345 อา นวา ______________________________________________________ (2) 8,017 อา นวา ______________________________________________________ (3) 20,897 อา นวา ______________________________________________________ (4) 302,466 อา นวา ______________________________________________________ (5) 1,367,589 อา นวา ______________________________________________________ (6) 703,970,500 อา นวา ______________________________________________________

9 เรื่องท่ี 2 คา ประจาํ หลักและคาของตัวเลข 2.1 คาประจําหลักของตัวเลขที่อยูถัดไปทางซายมือของตัวเลขแตละหลัก จะเพิ่มขึ้นเปนสิบเทาเสมอ และคาของตัวเลขแตละหลกั จะมคี าเทากบั ผลคูณของตวั เลขน้ัน ๆ กับคา ประจําหลักของตวั เลขน้ัน 2.2 การอานตัวเลขแทนจํานวน จะอานแทนคาประจําตําแหนง เรียงตามลําดับจากคาประจาํ หลักทม่ี ี คามากที่สุดไปจนถึงคาประจําหลกั ท่ีมีคา นอยทสี่ ุด เชน จาํ นวน รอ ย ลาน แสน หมน่ื พัน รอ ย สิบ หนว ย สบิ หนว ย 216,354,789 2 1 6 3 5 4 7 8 9 216,354,789 อา นวา สองรอยสบิ หกลา นสามแสนหาหมืน่ ส่พี ันเจด็ รอ ยแปดสิบเกา คาประจําหลักและคาของตัวเลขจํานวนดังกลาว มีดังนี้ หลกั คา ประจาํ หลกั ตวั เลขในแตละหลกั คา ของตัวเลขตามคาประจาํ หลัก หนว ย 1 9 9 x 1 = 9 10 8 8 x 10 = 80 สิบ รอ ย 100 7 7 x 100 = 700 พัน 1,000 4 4 x 1,000 = 4,000 หมน่ื 10,000 5 5 x 10,000 = 50,000 แสน 100,000 3 3 x 100,000 = 300,000 ลาน 1,000,000 6 6 x 1,000,000 = 6,000,000 สิบลา น 10,000,000 1 1 x 10,000,000 = 10,000,000 รอยลา น 100,000,000 2 2 x 100,000,000 = 200,000,000 จากตาราง เชน 9 เปนหลกั หนว ย จึงมีคาเปน 9 8 เปน หลกั สบิ จึงมคี า เปน 80 5 เปน หลกั หม่ืน จึงมคี าเปน 50,000 2 เปนหลักรอยลาน จึงมีคา เปน 200,000,000 ตัวอยาง 426,739 ตัวเลขท่ีขีดเสนใตอยใู นหลกั ใด และมคี า เทา ไร วิธคี ดิ 426,739 2 อยใู นหลักหม่นื มคี า เปน 2 x 10,000 = 20,000

10 แบบฝกหัดที่ 4 จงบอกวา ตัวเลขท่ีอยูใน  อยใู นหลักใดและมีคาเทาไร 1. 115,116 ______________________________________________________ 2. 765,908 ______________________________________________________ 3. 9,235,776 ______________________________________________________ 4. 12,456,789 ______________________________________________________ 5. 420,831,546 ______________________________________________________ เรอื่ งที่ 3 การเขยี นจํานวนในรูปกระจาย สามารถเขียนจาํ นวนในรูปของการบวกของคาประจําหลัก ดังนี้ ตวั อยาง จงเขียน 9,521,364 ในรูปของการกระจาย วธิ คี ิด 9,521,364 = (9x1,000,000) + (5x100,000) + (2x10,000) (1x1,000) + (3x100) + (6x10)+(4x1) นนั่ คอื 9,521,364 = 9,000,000 + 500,000 + 20,000 + 1,000 + 300 + 60 +4 แบบฝก หัดท่ี 5 จงเขียนจาํ นวนทีก่ ําหนดใหอยูในรูปของการกระจายลงในสมดุ 1. 504,120 3. 19,754,830 2 468, 793 4. 562,849,321 ขอยกเวน การอา นตัวเลขในชีวิตประจาํ วัน ในชีวิตประจําวัน เราจะเห็นวามีการนําตัวเลขไปใชกับสิ่งตาง ๆ หลายแบบ แตละแบบมี วิธกี ารอา นแตกตา งกนั ไปตามแตห นวยงานทีเ่ กยี่ วของกําหนดไว หรือตามความนิยมของคนสวนใหญ เชน 1) การอานตามคาประจําหลัก (1) พุทธศักราช และคริสตศกั ราช เชน พ.ศ. 2552 อานวา พทุ ธศักราชสองพนั หารอยหาสิบสอง ค.ศ. 2009 อา นวา ครสิ ตศ ักราชสองพันเกา (2) บานเลขที่อา นได 2 แบบ คือ 1. อานตามคาประจําหลัก สําหรับตัวเลขหนาเครื่องหมาย / และอานแบบเรียงตัวหลังเครื่องหมาย / 2. อา นแบบเรยี งตัว เชน 377/18 อา นวา บานเลขที่สามรอ ยเจด็ สิบเจ็ดทับหนึง่ แปด หรอื บา นเลขทสี่ ามเจ็ดเจ็ดทบั หน่งึ แปด บานเลขที่ 94/140 อา นวา บานเลขที่เกา สิบส่ที บั หนึ่งส่ีศูนย หรอื บา นเลขที่ เกา สที่ ับหนงึ่ สศ่ี ูนย

11 2) การอานแบบเรียงตัว (1) รหสั ไปรษณยี  เชน 10510 อานวา หนึ่งศนู ยห า หนงึ่ ศูนย 10300 อา นวา หนึ่งศนู ยส ามศนู ยศ นู ย (2) ทะเบียนยานพาหนะ เชน ธศ 3041 อา นวา ทอสอสามศนู ยสีห่ นง่ึ หมายเหตุ เพอ่ื ปองกนั ความสบั สน มกั จะอา นช่อื ของพยัญชนะไทยไปดว ย เชน ทอธงสอ สาลา สามศนู ยสีห่ น่ึง (3) หมายเลขโทรศัพท เชน 02 – 571 – 4239 อานวา ศูนยสองหา เจ็ดหนง่ึ ส่โี ทสามเกา 08 – 1480 – 3424 อานวา ศูนยแปดหน่ึงส่แี ปดศนู ยส ามส่โี ทสี่ หมายเหตุ ตวั เลข 2 ในหมายเลขโทรศัพท นิยมอานวา โท เพราะชว ยใหฟ งชัดเจนข้ึน (4) หนงั สือราชการ เชน ท่ี กท 2013.2/27 อานวา ท่ี กอทอสองศูนยหนึ่งสาม จุดสองทับสองเจ็ด เร่ืองท่ี 4 การเรยี งลําดบั จาํ นวน การเรยี งลาํ ดบั จาํ นวน โดยการนาํ จาํ นวนหลาย ๆ จํานวนมาเปรียบเทียบกันทลี ะคู แลว เรียงลาํ ดบั จากจาํ นวนนอยไปหาจาํ นวนมาก หรือจากจาํ นวนมากไปหาจาํ นวนนอ ย วธิ ีการเปรยี บเทียบ ใหดทู ลี ะหลกั วา ตวั เลขในหลกั เดยี วกันจํานวนใดมีคามากกวา แตถามี คา ของหลกั เลขตวั แรกเทา กัน กใ็ หดตู ัวเลขในหลักถัดไป ทาํ เชน นี้ไปจนครบทุกหลัก ตัวอยาง จงเปรียบเทียบวา 39,215 กบั 39,251 จํานวนใดมีคามากกวา แลวเรียงลําดับจากมากไปนอย วิธีคดิ จํานวนทง้ั สอง มคี า ตัวเลขในหลกั หมนื่ หลักพัน และหลักรอยเทา กัน จงึ ใหพ ิจารณาตวั เลข ในหลักถัดไป คือ หลกั สิบ จะเหน็ วา หลกั สบิ ของจํานวน 39,251 คือ 5 มีคาเปน 50 แตห ลกั สบิ ของจาํ นวน 39,215 คอื 1 มีคาเปน 10 ดงั นน้ั 39,251 มีคามากกวา 39,215 จงึ เขียนเรียงลําดับไดดังนี้ 39,251 39,215 แบบฝก หดั ที่ 6 จงเรยี งลาํ ดบั จากจาํ นวนนอ ยไปหาจาํ นวนมาก 1. 956,420 965,204 659,024 69,594 69,945 2. 10,050 10,500 1,001,001 110,001 111,100 3. 769,386 1,001,900 972,142 893,013 100,119 4. 2,403,107 2,460,710 2,471,613 2,498,789 999,991

12 4.1 การเปรียบเทียบจํานวนโดยใชเครื่องหมาย > (มากกวา), < (นอ ยกวา ), = (เทา กบั ), ≠ (ไมเทา กับ) (1) ถาจํานวนที่อยูขางหนามากกวาจํานวนที่อยูขางหลังใหใชเครื่องหมาย > เชน 85 > 58 อา นวา แปดสิบหามากกวาหาสิบแปด 72 > 48 อา นวา เจ็ดสิบสองมากกวาสี่สิบแปด (2) ถาจํานวนที่อยูขางหนานอยกวาจํานวนขางหลังใหใชเครื่องหมาย < เชน 58 < 85 อา นวา หา สบิ แปดนอ ยกวา แปดสบิ หา 48 < 72 อา นวา สี่สิบแปดนอ ยกวาเจ็ดสบิ สอง (3) ถาจํานวนสองจํานวนมีคาเทากันใหใชเครื่องหมาย = เชน 25 + 55 = 80 อา นวา ผลบวกของยี่สบิ หากับหาสบิ หา มคี าเทากับแปดสบิ 120 + 40 = 160 อา นวา ผลบวกของหนึ่งรอยยีส่ บิ กบั สส่ี บิ มคี า เทากบั หนงึ่ รอ ยหกสิบ (4) ถาจํานวนสองจํานวนมีคาไมเทากันใหใชเครื่องหมาย ≠ เชน แบบฝกหดั ที่ 7 1,031 ≠ 1,003 อา นวา หนึ่งพันสามสิบเอ็ดมีคาไมเทากับหนึ่งพันสาม จงเปรยี บเทียบจาํ นวนตอไปน้ี โดยเติมเครอื่ งหมาย > < หรอื = ลงในชองวาง (1) 89  98 (2) 1,181  1,811 (3) 1,888  8,881 (4) 355  553 (5) 1,001  1,100 (6) 1,500  1,005 (7) 202 + 28  230 (8) 23,870  23,807 (9) 495  385 + 110 (10) 7,605  7,650 เร่ืองท่ี 5 การประมาณคา การบอกขนาด ปรมิ าณ หรือจํานวนสงิ่ ของตา ง ๆ ทเ่ี ก่ียวของกบั ชวี ิตประจาํ วนั บางครั้งไม ตองการความละเอียดมาก จึงใชการประมาณคาใกลเคียงสิ่งนั้น ๆ มากที่สุด เพอ่ื การจดจําไดงาย 5.1 การประมาณคาใกลเคียงจํานวนเต็มสิบ 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 114 อยูระหวา ง 110 กับ 120 แตอ ยูใกล 110 มากกวา ดังน้นั คา ประมาณใกลเ คียงจํานวนเต็มสิบของ 114 คือ 110 และ 115 อยูกง่ึ กลางระหวา ง 110 และ 120 คาประมาณใกลเคียงจํานวนเต็มสิบของ 115 คอื 120

13 การประมาณคาใกลเคียงจํานวนเต็มสิบของจํานวนใด ๆ ใหพิจารณาตัวเลขในหลักหนวยของ จาํ นวนนน้ั ถาหลักหนวยมคี าตา่ํ กวา 5 ใหประมาณเปนจํานวนเต็มสิบที่มีคานอยกวาและถา หลกั หนว ย มีคาเท5า.ก2ับก5ารหปรรือะหมนาวณยคสางูใกกวลา เ ค5ยี ใงหจําปนรวะนมเาตณม็ เรปอนยจพํานนั วหนมเต่ืน็มสแสิบนที่มีคามากกวา การประมาณคา ใกลเ คียงจาํ นวนเต็มรอ ย พัน หม่ืน แสน กใ็ ชห ลักการเดยี วกนั คือ ใหพิจารณา ตวั เลขในหลกั ถดั ไปทต่ี าํ่ กวา - ลองพิจารณาคาประมาณใกลเคียงจํานวนเต็มรอยของ 2,440 และ 2,460 - คาประมาณใกลเคียงจํานวนเต็มรอยของ 2,440 คอื 2,400 - คาประมาณใกลเคียงจํานวนเต็มรอยของ 2,460 คอื 2,500 แบบฝก หัดที่ 8 ก. หาคาประมาณใกลเคียงจํานวนเต็มสบิ 1) 54 _____________________________ 6) 718 ______________________________ 2) 129 ____________________________ 7) 895 ______________________________ 3) 381 _____________________________ 8) 919 ______________________________ 4) 562 _____________________________ 9) 1,045 ____________________________ 5) 675 _____________________________ 10) 2,655 ___________________________ ข. หาคาประมาณใกลเคียงจํานวนเต็มรอย 1) 109 _____________________________ 6) 1,049 ______________________________ 2) 182 ____________________________ 7) 2,534 ______________________________ 3) 276 _____________________________ 8) 5,079 ______________________________ 4) 593 _____________________________ 9) 14,306 _____________________________ 5) 626_____________________________ 10) 203,148 ___________________________ ค. หาคาประมาณใกลเคียงจํานวนเต็มแสนของพลเมืองประเทศตาง ๆ 1) ประเทศญี่ปุน 118,519,000 คน _________________________________________ 2) ประเทศฝรั่งเศส 55,239,000 คน ________________________________________ 3) ประเทศอินเดยี 688,600,000 คน ________________________________________ 4) ประเทศจีน 1,004,000,000 คน _________________________________________ 5) ประเทศรัสเซีย 279,900,000,000 คน ____________________________________

14 เร่อื งที่ 6 สมบัตขิ องจาํ นวนนบั และศูนย และการนําไปใช ในการแกป ญ หา จาํ นวนนบั คอื จาํ นวนเตม็ บวก ไดแ ก 1, 2, 3, 4, 5, .............. เปนตนไป เรื่อย ๆ จาํ นวนนับท่ีมคี า นอ ยทสี่ ดุ คือ 1 จํานวนนับที่มีคามากที่สุด ไมสามารถบอกคาได เพราะจํานวนนับมีมากมาย ไมสิ้นสุด เราสามารถนับไปไดเรื่อย ๆ สว น 0 เปน ตัวเลข แตไ มใ ชจ ํานวนนบั 6.1 สมบตั ิของหนง่ึ 1) การคูณจาํ นวนใด ๆ ดวยหนง่ึ หรือคณู หนง่ึ ดว ย จาํ นวนใด ๆ จะไดผ ลคณู เทา กบั จาํ นวนนบั เชน 4 × 1=4 หรอื 1 × 4 = 4 2) การหารจํานวนใด ๆ ดว ยหน่งึ จะไดผ ลหารเทา กบั จาํ นวนน้ัน เชน 3÷1=3 หรอื 7 ÷ 1 = 7 6.2 สมบัติของศนู ย 1) การบวกจาํ นวนใด ๆ ดว ยศนู ยห รอื การบวกศนู ยด ว ยจาํ นวนใด ๆ จะไดผ ลบวกเทา กับ จาํ นวนนน้ั เชน 2+0=2 หรอื 0 + 2 = 2 2) การคูณจาํ นวนใด ๆ ดวยศนู ย หรอื การคณู ศนู ยดวยจาํ นวนใด ๆ จะไดผ ลคูณเทา กบั ศนู ย เชน 2×0=0 หรอื 0 × 2 = 0 3) การหารศูนยด ว ยจํานวนใด ๆ ทไ่ี มใชศูนย จะไดผลหารเทากบั ศูนย เชน 0÷6=0 หรอื 0 ÷ 8 = 0 หรอื 0 ÷ 15 = 0 หมายเหตุ ในทางคณิตศาสตร เราไมใช 0 เปน ตัวหาร ดงั นน้ั การหารจาํ นวนใด ๆ ดว ย 0 ไมมี ความหมายทางคณิตศาสตร เชน 5 ÷ 0 ไมมีความหมายทางคณิตศาสตร หรอื 36 ÷ 0 ไมมีความหมายทางคณิตศาสตร หรอื 790 ÷ 0 ไมมีความหมายทางคณิตศาสตร

15 ตองเปนศูนย 4) ถาผลคณู ของ 2 จํานวนใด ๆ เทากับศนู ย จํานวนใดจาํ นวนหนึ่งอยา งนอ ยหน่งึ จาํ นวน เชน หรอื 4×0=0 หรอื 0×9=0 0×0=0

16 เร่ืองที่ 7 การบวก การลบ การคณู การหาร จาํ นวนนับ และการแกป ญ หา 1.1 การบวก ความหมายของการบวก การบวก คอื การนาํ จาํ นวนต้ังแต สองจาํ นวนขึ้นไปมารวมกัน จาํ นวนท่ไี ดจากการรวม จํานวนตา ง ๆ เขา ดว ยกัน เรียกวา “ผลรวม” หรอื “ผลบวก” และใชเครื่องหมาย + เปนสญั ลกั ษณแ สดงการบวก รปู แบบของการบวก การบวกตามแนวนอน การบวกตามแนวตั้ง 5+2 = 7 5 + เรียกวา ตวั ตงั้ 2 เรยี กวา ตัวบวก 7 เรยี กวา ผลบวก หลกั หนว ย หลกั สิบ หลกั หนว ย 50 + 10 = 60 5 + 0 + 1 0 60 หลักสิบ หลกั สบิ หลกั รอย หลกั สิบ หลกั หนว ย หลกั หนว ย 4 0 0 + 400 + 250 =650 2 5 0 หลกั รอ ย 650 การบวกกบั 0 1) จํานวนเลขทเ่ี ปน 0 บวกกับ 0 ไดผ ลบวกเปน 0 2) จาํ นวนเลขใด ๆ บวกกับ 0 จะไดผลบวกเทากับเลขจาํ นวนนั้น เชน 5 + 0 ได 5 หรอื 0 + 5 ได 5 การบวกจํานวนสองจํานวนและสามจํานวนที่ไมมีการทด การบวกจาํ นวน 2 จาํ นวน การบวกจาํ นวน 3 จาํ นวน 123 + 543 = 6 6 6 2 , 3 1 2 + 2, 1 1 4 + 5, 3 2 1 = 9 , 7 4 7 123 + 2,3 1 2 54 3 2,1 1 4 + 6 6 6 5,3 2 1 9,7 4 7 การบวกจาํ นวนสองจาํ นวน หรอื สามจาํ นวนทไ่ี มม กี ารทด เปน การนาํ จาํ นวนเลขสองจาํ นวน หรอื สามจาํ นวนมาบวกกัน แลวผลบวกของตวั เลขแตล ะหลักจะมีคา ไมเ กิน 9

17 เราสามารถหาผลบวกของการบวกจํานวนเลขตามแนวนอนได โดยมวี ธิ ีทาํ ดังนี้ ตวั อยา ง 423 + 215 มีคาเทาไร วธิ ีทาํ 423 + 215 = 638 ตอบ 638 วิธีคิด คอื 4 2 3 215 จํานวนที่ หนง่ึ จํานวนที่ สอง ใหบ วกทลี ะหลัก โดยเรม่ิ จากหลักหนว ยขวามอื สุดของทงั้ 2 จาํ นวน ดงั น้ี หลกั หนว ย เลข 3 ของจํานวนท่ี หนึ่ง บวกกับ เลข 5 ของจํานวนที่ สอง ไดเ ทา กับ 8 ใสลงไปในผลบวก ของหลกั หนว ย หลกั สบิ เลข 2 ของจํานวนที่ หน่ึง บวกกับ เลข 1 ของจํานวนที่ สอง ไดเ ทา กับ 3 ใสลงไปในผลบวก ของหลกั สบิ หลักรอ ย เลข 4 ของจํานวนที่ หนึ่ง บวกกับ เลข 2 ของจํานวนท่ี สอง ไดเ ทากับ 6 ใสลงไปในผลบวก ของหลกั รอย ผลบวก รวมผลบวกเปน 638 การบวกโดยการกระจายจํานวนตามคาประจาํ หลัก ตัวอยา ง 310 + 423 + 236 มีคาเทาไร วธิ ที าํ 310 + 423 + 236 = (300 + 10 + 0) + (400 + 20 + 3) + (200 + 30 + 6) = (300 + 400 + 200) + (10 + 20 + 30) + (0 + 3 + 6) = 900 + 60 + 9 = 969 ตอบ 969

18 แบบฝกหัดที่ 9 ก. ใหเติมเครื่องหมาย > , < หรอื = ลงใน  (1) 98  80 + 9 (2) 138 + 821  959 (3) 999 + 101  1,101 (4) 11,312  10,000 + 1,213 ข. ใหหาผลบวกของจํานวนตอไปนี้ โดยการกระจายตามคาประจําหลัก (1) 62 + 6 (2) 43 + 34 (3) 1,234 + 2,103 (4) 312 + 213 + 101 (5) 2,311 + 3,042 + 506 การหาผลบวกของจาํ นวนเลขตามแนวตง้ั มีวิธที ําดังน้ี วธิ ที ี่ 1 โดยการกระจายจํานวนตามคาประจําหลัก ตวั อยา งท่ี 1 147 + 720 มีคาเทาไร วิธีทาํ 147 + 100 + 40 + 7 + 720 700 + 20 + 0 800 + 60 + 7 = 867 ตอบ 867 ตัวอยา งท่ี 2 จงหาผลบวกของ 2,433 กับ 2,114 และ 5,322 วิธที ํา 2,433 + 2,000 + 400 + 30 + 3 + จาํ นวนท่ี 1 2,114 2,000 + 100 + 10 + 4 จํานวนที่ 2 5,322 4,000 + 500 + 40 + 7 ผลบวก 5,000 + 300 + 20 + 2 + จาํ นวนท่ี 3 = 9,869 ผลบวก 9,000 + 800 + 60 + 9 ตอบ 9,869

19 วธิ ีท่ี 2 โดยใชวิธีลดั ตวั อยาง 147 + 720 มีคาเทาไร วิธที าํ 147 + ตงั้ ตัวเลขแตละตวั ใหมหี ลักตรงกนั แลวบวกทลี ะหลกั 720 867 ตอบ 867 ตวั อยา ง จงหาผลบวกของ 2,433 กบั 2,114 และ 5,322 วธิ ที ํา 2, 4 3 3 + 2, 1 1 4 4, 5 4 7 + 5, 3 2 2 9, 8 6 9 ตอบ 9,869 แบบฝก หัดที่ 10 ก. ใหหาผลบวกของจาํ นวนตอไปนี้ โดยวธิ กี ระจายจาํ นวนตามคา ประจาํ หลัก (1) 140 + 123 (2) 210 + 304 + 63 (3) 11,200 + 3,504 + 23,183 (4) 210,250 + 454,104 + 33,141 ข. ใหห าผลบวกโดยใชต ารางหลกั เลขและวิธลี ัด (1) 121 + 47 (2) 132 + 325 (3) 12,100 + 454,104 + 33,141 (4) 1,152,113 + 2,112,421 + 1,320,260

20 การบวกจาํ นวนสองจํานวนและสามจํานวนทมี่ ีการทด การบวกจาํ นวน 2 จาํ นวน การบวกจาํ นวน 3 จาํ นวน 7,665 + 5,247 = 12,912 22,452 + 76,258 + 50,864 = 149,574   7, 6 6 5 2 2,4 5 2 + 5, 2 4 7 7 6,2 58 + 12, 9 1 2 5 0, 8 64 1 4 9, 5 7 4 การบวกจํานวนสองจํานวนและสามจํานวนที่มีการทด มีวิธีทํา และวิธีคิดเชนเดียวกับการบวกที่ไม มที ด แตเม่ือผลบวกของตวั เลขในแตละหลกั ไดตง้ั แต 10 ขึ้นไป จะตองทดเลขตัวหนาขึ้นไปบวกกับตัวเลข ในหลักท่ีสูงกวาถดั ไปขา งหนา การหาผลบวกของการบวกจํานวนเลขทม่ี ีการทดตามแนวนอน วิธที ี่ 1 โดยวธิ ลี ัด ตวั อยาง จงหาผลบวกของ 7,665 กบั 5,247 วิธีทาํ 7,665 + 5,247 = 12,912 วธิ ีคดิ คือ ตอบ 12,912 7,665 5,247 จาํ นวนที่ หนง่ึ จาํ นวนที่ สอง หลกั หนว ย 5 ของจํานวนที่ หนง่ึ บวกกับ 7 ของจํานวนที่ สอง เปน 12 ใหใส 2 ลงไปในผลบวกของ หลกั สิบ หลักรอ ย หลกั หนว ย สว น 1 ซ่ึงเปน หลักสบิ ใหทดขึน้ ไปไวบวกกับตัวเลขในหลักสิบตอไป โดยการ ทดไวก อ น 6 ของจํานวนที่ หนง่ึ บวกกับ 4 ของจํานวนที่ สอง เปน 10 แลว บวกกบั 1 ทท่ี ดไวเปน 11 ใหใ ส 1 ตวั หลงั ลงไปในผลบวกของหลกั สบิ สว น 1 ตวั หนา ใหท ดขน้ึ ไปไวบ วกกบั ตัวเลข ในหลกั รอ ยตอไป 6 ของจาํ นวนท่ี หนึ่ง บวกกับ 2 ของจํานวนที่ สอง เปน 8 แลว บวกกบั 1 ทท่ี ดไวเปน 9 ใส ลงไปในผลบวกของหลักรอย

21 หลกั พนั 7 ของจํานวนที่ หนง่ึ บวกกับ 5 ของจํานวนที่ สอง เปน 12 ใหใส 2 ลงไปในผลบวกของ ผลบวก หลักพนั และใส 1 ลงไปในผลบวกของหลกั หมืน่ ไดเลย เพราะไมมีเลขตัวหนา ที่จะบวกอกี แลว ดงั นน้ั ผลบวกเปน 12,912 วธิ ีท่ี 2 โดยการกระจายจํานวนตามคาประจําหลัก ตวั อยา ง 7,665 + 5,247 มีคาเทาไร วธิ ที ํา 7,665 + 5,247 = (7,000 + 600 + 60 + 5) + (5,000 + 200 + 40 + 7) = (7,000 + 5,000) + (600 + 200) + (60 + 40) + (5 + 7) = 12,000 + 800 + 100 + 12 = 12,000 + 900 + (10 + 2) = 12,000 + 900 + 10 + 2 = 12,912 ตอบ 12,912 การหาผลบวกของจํานวนที่มีการทดตามแนวตั้ง วธิ ีท่ี 1 โดยการกระจายจํานวนตามคาประจําหลัก ตวั อยา ง จงหาผลบวก 627,665 กับ 385,247 วธิ ที าํ 6 2 7, 6 6 5 600,000 + 20,000 + 7,000 + 600 + 60 + 5 3 8 5, 2 4 7 300,000 + 80,000 + 5,000 + 200 + 40 + 7 900,000 + 100,000 + 12,000 + 800 + 100 + 12 = 1,000,000 + (10,000 + 2,000) + 900 + (10 + 2) = 1,000,000 + 10,000 + 2,000 + 900 + 10 + 2 = 1,012,912 ตอบ 1,012,912

22 วิธีท่ี 2 โดยใชวิธีลดั ตวั อยา ง จงหาผลบวกของ 31,562 87,149 และ 60,975 วิธีทาํ  3 1 ,5 6 2 8 7 ,1 4 9 + 6 0 ,9 7 5 1 7 9 ,6 8 6 ตอบ 179,686 แบบฝกหดั ท่ี 11 ก. ใหนักศึกษาหาผลบวกของจํานวนตอไปนี้ โดยการกระจายจํานวนตามคาประจาํ หลักตาม แนวนอน (1) 54,623 + 93,545 (2) 871,496 + 247,308 ข. ใหน ักศกึ ษาหาผลบวกของจํานวนตอ ไปนี้ โดยใชตารางหลักเลข และวิธีลดั ตามแนวต้งั (1) 3,486,801 + 1,670,528 (2) 584, 169 + 958,782 + 321,456 โจทยป ญหาการบวก ตัวอยา ง สวนแรกเกบ็ มะพรา วได 2,355 ผล สวนทสี่ องเกบ็ ได 4,020 ผล สวนท่สี ามเก็บได 3,700 ผล รวมเกบ็ มะพราวไดกผ่ี ล ประโยคสัญลกั ษณ คือ 2,355 + 4,020 + 3,700 =  วิธีที่ 1 สวนแรกเกบ็ มะพรา วได 2,355 ผล สวนทส่ี องเกบ็ ได 4,020 ผล สวนที่สามเก็บได 3,700 ผล รวมเก็บมะพรา วได 2,355 + 4,020 + 3,700 = 10,075 ผล ตอบ 10,075 ผล วธิ ีท่ี 2 สวนแรกเกบ็ มะพรา วได 2,355 ผล สวนทส่ี องเกบ็ ได 4,020 + ผล สวนที่สามเก็บได 3,700 ผล รวมเก็บมะพรา วได 10,075 ผล ตอบ 10,075 ผล

23 การทําโจทยเกี่ยวกับการบวก มีวิธีการบวกเชนเดียวกับการบวกจํานวนเลขธรรมดา แลวแต จะเลอื กทาํ วธิ ีใด แตท ่นี ยิ มมกั ทาํ 2 วธิ ขี างบน โดยเฉพาะ วิธีท่ี 2 เหมาะสําหรับโจทยที่มีตัวเลขมาก ๆ จะทําใหการบวกตัวเลขงายและถูกตองมากขึ้น แบบฝก หัดท่ี 12 ใหแ สดงวธิ ที าํ (1) ในตําบลหนง่ึ มีคนแก 1,323 คน คนวัยทํางาน 9,705 คน เดก็ 4,320 คน รวมมีประชากรทั้งหมดกี่คน (2) นายชาลีขายขาวครั้งที่หนึ่งไดเงิน 18,257 บาท ครั้งสองที่ขายได 16,540 บาท ครั้งที่สามขายได 13,050 บาท นายชาลีขายขาวรวมสามครั้งไดเงินทั้งหมดเทาไร (3) สถานสงเคราะหเ ดก็ แหง หนง่ึ ไดร ับบริจาคเงินจากผูมีจิตศรัทธา ครง้ั ท่หี นง่ึ ไดเ งนิ 351,279 บาท ครง้ั ทส่ี องไดเงิน 131,217 บาท รวมไดรับเงินบริจาคทั้งหมดเทาไร (4) ถานายปองซื้อตูเยน็ ผอนสงเดอื นละ 2,500 บาท ซื้อโทรทศั นผอนสง เดือนละ 3,500 บาท และ ซอื้ หมอหุงขา วไฟฟา ผอนสงอีกเดือนละ 500 บาท นายปองจะตองผอนสงเงินใหรานคาทั้งหมด เดอื นละเทา ไร สมบตั ิการสลบั ที่ของการบวก ตวั อยา งที่ 1 403 + 326 = 729 326 + 403 = 729 ดังน้นั 403 + 326 = 326 + 403 ตัวอยางท่ี 2 2 3 4 + 641 + 6 4 1 234 875 875 จํานวนสองจาํ นวนทน่ี ํามาบวกกนั สามารถสลับทก่ี นั ได โดยที่ผลบวกยังคงเทา เดมิ ดงั เชน 12 + 36 = 36 + 12 เราเรียกคุณสมบัตขิ อน้ีวา “สมบตั ิการสลับท่ีของการบวก”

24 สมบตั กิ ารเปลยี่ นหมู สมบัตกิ ารเปลย่ี นหมูของการบวก 3 + 5+ 2 = (3 + 5) + 2 3 + 5 + 2 = 3 + (5 + 2) = 8 +2 = 3+7 = 10 = 10 ดงั นนั้ (3 + 5 ) + 2 = 3 + (5 + 2) 121 + 122 + 321 = (121 + 122) + 321 121 + 122 + 321 = 121 + (122+321) = 243 + 321 = 121 + 443 = 564 = 564 ดงั น้นั (121 + 122) + 321 = 121 + (122 + 321) ในการบวกจาํ นวนสามจาํ นวน ตอ งบวกทลี ะสองจาํ นวนกอน โดยจะบวกสองจาํ นวนใดกอ นกไ็ ด แลวจึงไปบวกกบั จํานวนท่ีเหลอื ผลบวกจะเทา กนั เราเรยี กสมบัตขิ อ นว้ี า “สมบตั กิ ารเปล่ยี นหมูของการบวก” และ นิยมใสเครื่องหมายวงเล็บ ( ) คน่ั จํานวนสองจาํ นวนที่จะบวกกอ น เราสามารถแสดงคุณสมบัติการเปลี่ยนหมูของการบวกได ดงั น้ี ตวั อยา ง 41 + 12 + 34 = (41 + 12) + 34 วธิ ที ี่ 1 41 + 12 + 34 = 53 + 34 วธิ ที ี่ 2 = 87 = 41 + (12 + 34) = 41 + 46 = 87 โดยทั่วไปนิยมนําสมบัติการเปลี่ยนหมูของการบวก ไปใชบวกจํานวนสองจํานวนที่นอย กอ นแลวจึงไปบวกกับจาํ นวนที่มาก เชน วิธที ่ี 2 หรอื ถา มีสองจาํ นวนใดทบ่ี วกกนั แลว ไดผ ลบวกลงทา ยดว ย 0 กจ็ ะบวกสองจาํ นวนนน้ั กอ น แลว จงึ บวกดว ยจาํ นวนท่ีเหลอื จะชวยใหค ิดเลขงายข้ึน

25 7.2 การลบ ความหมายของการลบ การลบ คอื การนาํ จํานวนหนงึ่ หกั ออกจากอกี จาํ นวนหน่ึง หรือเปนการเปรียบเทยี บจาํ นวนสองจาํ นวน ซงึ่ จาํ นวนทเี่ หลอื หรอื จํานวนที่เปน ผลตา งของสองจํานวนน้เี รียกวา “ผลลบ” และใช เครื่องหมาย – เปนสญั ลักษณแ สดงการลบ รปู แบบของการลบ การลบตามแนวนอน การลบตามแนวตั้ง 7- 2 = 5 7 – ตัวต้ัง 2 ตวั ลบ ตัวตั้ง ตัวลบ ผลลบ 5 ผลลบ 405 - 200 = 205 รอย สิบ หนว ย 40 5 – 20 0 20 5 1. การลบ มี 2 รปู แบบ เชนเดยี วกบั การบวก คอื การลบตามแนวนอน และการลบตามแนวตง้ั แตล ะ รูปแบบจะมีวธิ ีคิดและวิธีลบเหมอื นการบวก คือ ตอ งลบกันทลี ะหลกั โดยเริม่ จากหลักหนวยกอ น แลวจึงลบหลักถัดไปขางหนาตามลําดับ 2. การลบกับ 0 2.1 จาํ นวนเลขที่เปน 0 ลบกับ 0 ไดผ ลลบเปน 0 2.2 จาํ นวนใด ๆ ทีม่ ีตวั ลบเปน 0 จะไดผ ลลบเทา กับเลขจาํ นวนนนั้ เชน 5 – 0 = 5 การลบที่ไมมีการกระจายขามหลัก การลบทไ่ี มมีการกระจายขา มหลกั เปนการลบกันของจํานวน สองจํานวน ซึง่ ตัวเลขในแตละหลกั ของ ตัวลบไมเกินตัวตง้ั ซึ่งอยใู นหลักเดียวกนั เราสามารถแสดงวธิ ีการลบท่ีไมม ีการกระจายขา มหลกั ได ดงั นี้ วธิ ที ี่ 1 โดยวิธีลัด ตัวอยา ง 465 หกั ออกเสยี 214 จะเหลอื เทา ไร วิธที ํา ประโยคสัญลักษณ คอื 465 – 214 =  465 - 214 = 251 ตอบ 251

26 วิธีคดิ ข้นั ท่ี 1 ลบหลักหนวยกอ น คอื 5 หกั ออกเสยี 4 เหลอื 1 ขน้ั ที่ 2 ลบหลักสิบ คอื 6 หักออกเสีย 1 เหลอื 5 ข้ันท่ี 3 ลบหลักรอย คอื 4 หักออกเสีย 2 เหลอื 2 ดังนัน้ ผลลบ คอื 251 วิธีที่ 2 โดยการกระจายจํานวนตามคา ประจาํ หลกั ตัวอยาง มาลัยมีเงิน 255 บาท ใชไป 120 บาท มาลัยเหลือเงินเทาไร ประโยคสัญลักษณ คือ 255 – 120 =  วธิ ีทํา มาลัยมีเงิน 255 บาท ใชไป 120 บาท มาลัยเหลือเงิน 255 – 120 = (200 + 50 + 5) – (100 + 20 + 0) = (200 – 100) + (50 – 20) + (5 – 0) = 100 + 30 + 5 = 135 บาท วิธีคดิ ตอบ 135 บาท ขัน้ ที่ 1 กระจายตัวตง้ั และตัวลบตามคาประจาํ หลัก โดยใสวงเล็บไวแ ละมีเครอื่ งหมาย – คน่ั ระหวา ง 2 วงเลบ็ ขั้นที่ 2 จับคูใ หมโดยเอาคาประจําหลักทอี่ ยูใ นหลักเดยี วกัน ใสไ วใ นวงเลบ็ เดียวกัน และมีเคร่ืองหมาย – คั่นกลาง สวนนอกวงเล็บใสเครื่องหมาย + คน่ั (ดูบรรทดั ท่ี 2) ข้นั ที่ 3 เอาจํานวนในแตละวงเลบ็ ลบกัน ไดเทาไร ใสเคร่อื งหมาย + คน่ั แตล ะจาํ นวน (ดูบรรทัดท่ี 3) ขั้นท่ี 4 จะเหน็ วา บรรทัดท่ี 3 ที่เหลือแตล ะจาํ นวน คือ คา ประจําหลกั จงึ มาบวกกันใหเ ปนจาํ นวน เดียวกัน คือ 135 (ดูบรรทัดท่ี 4) การลบจาํ นวนสองจาํ นวนตามแนวตง้ั ท่ไี มม กี ารกระจายขามหลกั การลบจํานวนสองจํานวนตามแนวตั้งน้ี ตัวต้ังตองอยขู า งบนตวั ลบเสมอ และตวั เลขแตล ะหลกั ตอ ง ตรงกนั ดวย เราสามารถหาผลลบไดดังนี้ วิธที ี่ 1 โดยการกระจายจํานวนตามคา ประจาํ หลัก ตวั อยา ง 756 – 302 =  วธิ ที ํา 756 – 700 + 50 + 6 – 302 300 + 0 + 2 ตอบ 454 400 + 50 + 4 = 454

27 วธิ ีท่ี 2 โดยวธิ ีลดั เนอื่ งจากวิธลี ัดนี้ มีแนวคิดและวิธีการทํามาจากการใชตารางหลักเลข ดังนั้นจะแสดงขั้นตอนการทาํ ใหดู ดงั น้ี ตัวอยา ง จงหาผลลบของ 578 กับ 453 วิธีทาํ ประโยคสัญลักษณ คอื 578 - 453 =  5 7 8 – 4 5 3 125 ตอบ 125 การลบทมี่ กี ารกระจายขา มหลกั การลบที่มีการกระจายขามหลกั ใชเ มอ่ื ตวั เลขในแตละหลกั ของตวั ต้งั นอ ยกวา ตวั ลบ ซึ่งอยูในหลัก เดยี วกนั จึงตอ งมีการกระจายตัวตัง้ ขา มหลัก โดยกระจายตัวตั้งในหลกั ทีส่ งู กวา ซ่ึงอยถู ดั ไปขา งหนาหนง่ึ หลกั มา รวมกับตัวต้งั ตวั ท่ีนอยกวาน้ี แลว จึงนําตวั ลบมาหกั ออก ซ่ึงเราสามารถแสดงวธิ กี ารลบท่มี ีการกระจายหลักได ดงั น้ี การลบจํานวนสองจาํ นวนตามแนวนอนที่มกี ารกระจายขามหลัก การลบตามแนวนอนนี้ เรานิยมใชวิธีลัดมากกวาการกระจายจํานวนตามคาประจําหลักเพราะ ดูไมซับซอ น ดงั น้นั จะแสดงวธิ ลี ดั อยา งเดียวดังนี้ ตวั อยา ง 56 – 38 =  วิธีทาํ 56 – 38 = 18 ตอบ 18 วิธคี ดิ 56 – 50 + 6 – 38 30 + 8 ใชวิธีคิดแบบการกระจายจํานวนตามคาประจําหลักตามแนวตั้ง จะเห็นวา ตัวตั้งคือ 6 นอ ยกวา ตัวลบ คอื 8 ดังนั้นตองกระจายจากหลักสิบมา 1 สิบ หรอื 10 มารวมกนั 6 เปน 16 แลว จงึ นาํ 8 มาหกั ออก ดังน้ี 50 + 6 – 40 + 16 – 30 + 8 30 + 8 10 + 8 = 18

28 สว นการลบของจาํ นวนท่มี เี ลขหลายหลักกใ็ ชวธิ ีคิดเดยี วกบั ตวั อยางน้ี คือ ถาตวั ต้งั ในหลกั สิบนอยกวา ตวั ลบในหลกั สิบ ก็ใหก ระจายตวั ตั้งในหลักรอยมารวมกับตัวตงั้ ในหลกั สิบแลวจงึ นําตัวลบมาหักออก ถาตัวต้งั ในหลกั รอ ยนอยกวา ตวั ลบในหลกั รอ ย ก็กระจายตัวตั้งในหลักพันมารวมแลว จงึ นําตัวลบมาหกั ออก ทาํ เชนน้ี เร่ือยไปจนกวา จะหมด วิธีที่ 1 โดยการกระจายจํานวนตามคาประจําหลัก ตวั อยาง 724 - 467 =  วธิ ีทาํ 724 – 700 + 20 + 4 – 600 + 110 + 14 – 467 400 + 60 + 7 400 + 60 + 7 ตอบ 257 200 + 50 + 7 = 257 วธิ ีคดิ 724 – 700 + 20 + 4 467 400 + 60 + 7 เนอื่ งจากหลักหนว ยตวั ตั้งคอื 4 นอ ยกวา ตวั ลบคือ 7 จงึ ตองกระจายจากหลักสิบมา 1 สบิ หรอื 10 รวมกนั เปน 14 ดงั น้ี 700 + 20 + 4 – 700 + 10 + 14 – 400 + 60 + 7 400 + 60 + 7 สําหรับหลกั สบิ ตัวต้งั ถูกกระจายไปเสีย 10 เหลอื อกี 10 ซึ่งนอยกวาตวั ลบ คือ 60 จงึ ตองกระจาย จากหลักรอยมา 1 รอย หรอื 100 รวมเปน 110 แลวจงึ ลบกนั ดงั น้ี 700 + 10 + 14 – 600 + 110 + 14 – 400 + 60 + 7 400 + 60 + 7 200 + 50 + 7 = 257 ในทํานองเดยี วกนั การลบของจํานวนที่มีเลขเกนิ รอยขน้ึ ไป การกระจายจากหลักอน่ื ๆ กใ็ ชวิธเี ดยี วกนั กบั การกระจายจากหลักรอยมาหลักสิบ หรือจากหลกั สบิ มาหลกั หนวย วธิ ที ่ี 2 โดยวิธีลัด ตวั อยาง จงหาผลลบของ 7,151 – 6,249 วธิ ีทาํ 6 117 4 11 7 15 1 – 6 24 9 แบบฝก หดั ที่ 15 ตอบ 902 9 0 2 จงสังเกตผลลบของตัวเลขตัวหนาสุดที่เปน 0

29 แบบฝกหัดท่ี 13 จงหาผลลพั ธของจํานวนเลขตอไปนี้ (1) 900 - 400 (2) 888 - 727 (3) 15,280 - 10,270 (4) 63 – (5) 6,248 – (6) 27,648 – 25 41 9,806 (7) 3,000 + 500 + 40 + 5 – (8) 50,000 + 4,000 + 500 + 60 – 1,000 + 400 + 30 + 2 20,000 + 3,000 + 300 + 30 ความสมั พันธระหวางการบวกและการลบ การลบ การบวก ตัวตง้ั – ตวั ลบ = ผลลบ ผลลบ + ตวั ลบ = ตัวต้งั 7– 2 = 5 5+ 2 =7 เนอ่ื งจากการลบ คอื การนําจํานวนหนงึ่ ออกจากอีกจาํ นวนหน่งึ จึงเปนการกระทาํ ทก่ี ลับกนั กบั การ บวก หรือตรงขามกับการบวก กลาวคือ การบวกเปนการนําจํานวนสองจํานวนมารวมกัน ผลบวกจะมีคามาก ขึ้น แตการลบเปนการนําจํานวนสองจํานวนมาหักออกจากกัน ผลลบจะมีคานอยลง ดังตัวอยางขางบน จะ เหน็ วา ตัวตัง้ + ตัวลบ = ผลลบ ในทางกลับกัน ผลลบ – ตัวลบ = ตวั ตงั้ ดังนั้น จากความสัมพันธระหวางการบวกและลบนี้ เราสามารถนําไปใชตรวจสอบผลลบวาถูกตอง หรอื ไมโดยวธิ กี ารบวกดงั น้ี ตวั อยาง จงหาผลลบแลว ตรวจคาํ ตอบ ตรวจคําตอบ ตรวจคาํ ตอบ 465 251 485 271 214 – 214 + 214 – 214 + 251 465 271 485 251 เปนคําตอบท่ีถกู ตอง 271 เปนคําตอบท่ีถูกตอง

30 การบวกลบระคน นอกจากความสัมพันธดังกลาวขางตนแลว บางคร้งั โจทยอาจกําหนดประโยค สัญลกั ษณทมี่ ีทั้งการ บวกและลบจาํ นวนเลขตา ง ๆ ในขอ เดยี วกันมาใหท าํ ในวงเลบ็ กอ น ตวั อยา ง (3,237,596 + 242,456) – 366,530 =   วธิ ีทํา 3 , 2 3 7, 5 9 6 + 2 4 2, 4 5 6 3 , 4 8 0, 0 5 2 – 3 6 6, 5 3 0 3 , 1 1 3, 5 2 2 ตอบ 3,113,522 วิธคี ิด เนือ่ งจากจํานวนหนา สดุ ทีก่ าํ หนดใหน ้ีเปนจํานวนเลขทม่ี ีคา มากท่ีสดุ เราจึงสามารถเลือกทําไดส องวธิ ี โดยจะนาํ จาํ นวนทส่ี องบวกกอ นแลว จงึ ลบดวยจาํ นวนทส่ี าม ดงั วิธีที่ 1 กไ็ ด หรือจะนําจํานวนที่สามไปลบกอน แลวจงึ บวกดวยจํานวนทส่ี อง ดงั วิธีที่ 2 กไ็ ด แตถ า จาํ นวนหนา และจาํ นวนทส่ี องซง่ึ เปนตวั บวกนอยกวา ตวั ลบ เราจะนําตวั ลบกอนไมไดจะตอ งทําตามวธิ ที ่ี 1 เพยี งวิธเี ดียว การบวกลบระคนนี้ยังอาจมีโจทยปญหาที่เปนเรื่องที่เก่ียวของกับชวี ิตประจาํ วนั ของเราทัง้ ในแงบ วก และลบพรอม ๆ กันดวย ซง่ึ จะกลาวถงึ ในเรื่องตอไป

31 โจทยป ญหา โจทยปญ หาการลบ เปนเร่ืองทีเ่ ก่ียวของกบั ชีวิตประจําวันเชน เดยี วกบั การบวก ตัวอยางท่ี 1 แมคาขายสมโอได 350 ผล ขายมังคุดได 270 ผล แมคาขายสมโอมากกวามังคุดกี่ผล ประโยคสัญลกั ษณ คอื 350 – 270 =  วธิ ที าํ แมคาขายสมโอได 350 ผล ขายมังคุดได 270 – ผล แมคาขายสม โอมากกวามังคุด 80 ผล ตอบ 80 ผล ตวั อยา งท่ี 2 เดือนที่แลวสมชายมีเงิน 3,456 บาท เดือนน้ีหาไดอ กี 2,009 บาท แลว นาํ เงินไปซ้ือ ตเู ส้อื ผาราคา 1,750 บาท เขาจะเหลือเงินเทาไร ประโยคสัญลกั ษณ คือ (3,456 + 2,009) – 1,750 =  วิธีทาํ เดอื นทีแ่ ลว มีเงนิ 3,456 บาท เดอื นนห้ี าไดอกี 2,009 + บาท รวมมีเงิน 5,465 – บาท ซื้อตเู ส้ือผา ราคา 1,750 บาท เขาจะเหลอื เงนิ 3,715 บาท ตอบ 3,715 บาท วิธีคดิ สาํ หรับตวั อยา งที่ 2 ในข้ันตอนแรกนาํ มาบวกกนั เพราะตอ งรกู อ นวา สมชายหาเงนิ ได 2 เดอื นรวมกันไดเ ทา ไรกอ น สว นในขน้ั ตอนท่ี 2 ตองนําไปลบออกจากเงินทั้งหมด เพราะเขาซื้อ ตเู ส้อื ผากต็ องใหเงินพอ คา ไป เงินจะเหลือนอยลง จงึ ตอ งลบออก

32 การคูณ ความหมายของการคูณ การคณู คือ การบวกจํานวนท่ีเทา ๆ กัน หรือเปนการนับเพ่มิ จาํ นวนคร้งั ละเทา ๆ กนั และสามารถ แสดงไดโ ดยการคณู จาํ นวนเพยี ง 2 จํานวน คอื จาํ นวนทีเ่ ทากนั กบั จํานวนคร้ังทีบ่ วกกัน จํานวนท่ีไดจ ากการ คูณ 2 จาํ นวนเขา ดว ยกนั เรยี กวา “ผลคณู ” และใชเครื่องหมาย × เปนสัญลกั ษณแสดงการคณู ใชเ ขยี นอยู ระหวางตัวเลข 2 จํานวนท่นี าํ มาคูณกนั การคูณจึงเปนวิธีลัดของการบวก และประโยคที่แสดงการคูณทางขวามือนั้น เรียกวา ประโยค สัญลักษณของการคณู เชน 2 × 9 = 18 เปน ประโยคสญั ลกั ษณของการคณู อา นวา 2 คณู ดว ย 9 เทากับ 18 2 เรียกวา ตัวตงั้ 9 เรียกวา ตวั คูณ 18 เรียกวา ผลคณู ดงั น้นั ตวั ตัง้ × ตวั คูณ = ผลคณู เนื่องจากการคูณเปนวธิ ีลัดของการบวก จึงไดม ีการนํามาสรางเปน ตารางการคูณ หรอื ทเี่ รยี กวา สตู รคณู เพ่ือชวยใหบ วกจาํ นวนเลขทเ่ี ทา ๆ กัน ไดรวดเร็ว และสะดวกขึ้น และนยิ มทองจํากนั เชน สูตรคูณ คูณกบั 2 คูณกบั 3 คณู กบั 4 คณู กับ 5 คูณกับ 6 2×1 = 2 3×1 = 3 4×1 = 4 5×1 = 5 6×1 = 6 2 × 2 = 4 3 × 2 = 6 4 × 2 = 8 5 × 2 = 10 6 × 2 = 12 2 × 3 = 6 3 × 3 = 9 4 × 3 = 12 5 × 3 = 15 6 × 3 = 18 2 × 4 = 8 3 × 4 = 12 4 × 4 = 16 5 × 4 = 20 6 × 4 = 24 2 × 5 = 10 3 × 5 = 15 4 × 5 = 20 5 × 5 = 25 6 × 5 = 30 2 × 6 = 12 3 × 6 = 18 4 × 6 = 24 5 × 6 = 30 6 × 6 = 36 2 × 7 = 14 3 × 7 = 21 4 × 7 = 28 5 × 7 = 35 6 × 7 = 42 2 × 8 = 16 3 × 8 = 24 4 × 8 = 32 5 × 8 = 40 6 × 8 = 48 2 × 9 = 18 3 × 9 = 27 4 × 9 = 36 5 × 9 = 45 6 × 9 = 54 2 × 10 = 20 3 × 10 = 30 4 × 10 = 40 5 × 10 = 50 6 × 10 = 60 2 × 11 = 22 3 × 11 = 33 4 × 11 = 44 5 × 11 = 55 6 × 11 = 66 2 × 12 = 24 3 × 12 = 36 4 × 12 = 48 5 × 12 = 60 6 × 12 = 72

33 จาํ นวนทค่ี ณู กบั 0 0 คอื 0 × 1 = 0 0 + 0 คอื 0 × 2 = 0 0+0+0 คอื 0 × 3 = 0 0+0+0+0 คอื 0 × 4 = 0 ดงั นั้น ทุกจาํ นวนที่คณู กบั 0 จะมผี ลคณู เทากบั 0 จากตารางการคูณทั้งหมดที่กลาวมานั้น สามารถรวมเปนตารางการคูณแบบสั้น ๆ เพื่อชวยใหค นท่ี ทอ งจาํ ไมไดไ วใชหาผลคณู ดงั นี้ ตารางการคูณ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 11 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132 12 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 วิธใี ชต ารางการคณู มีวธิ ใี ชด ังน้ี 1. ตารางแถวบน นับจากซายไปขวา (แถวนอน) เปนตัวตงั้ 2. ตารางแถวซา ยหนา สดุ นบั จากบนลงลาง (แถวตง้ั ) เปนตวั คูณ 3. การดูผลคูณวาจะไดเทาไร ใหนับจากตัวตั้งแถวบนลงมา และนับจากตัวคูณทางซายไปขวาตัด กันที่ตารางไหน จํานวนเลขในตารางนั้นเปนผลคณู ทต่ี องการ เชน ตองการหารผลคูณของ 6 × 8 ก็ใหนับจากตารางที่ 6 แถวบนไลลงมา และนับจากตารางที่ 8 ทางซาย ไปทางขวา จะพบวามันไปตัดกันที่ตาราง ซึ่งมีจํานวนเลขเปน 48 ดงั น้ัน ผลคณู ของ 6 × 8 กค็ อื 48 ในทาํ นองเดยี วกัน ถาจะหาผลคณู ของจาํ นวนเลขอื่น ๆ กใ็ หท ําเหมอื นตัวอยางขางบน เชน 3 × 7 = 21, 9 × 4 = 36

34 แบบฝกหัดท่ี 14 ใหเตมิ ผลคณู ลงในตารางการคณู ตอ ไปน้ี (1) × 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 44 20 40 (2) × 9 10 11 12 ×3 4 5 6 7 6 54 66 1345 67 7 70 84 2 8 12 8 72 88 3 9 15 21 4 16 24 9 90 108 5 15 25 35 10 90 110 รปู แบบของการคณู การคูณตามแนวต้ัง การคูณตามแนวนอน 7 × ตัวตั้ง 7 × 5 = 35 5 ตวั คณู 86 × 4 = (80 + 6) × 4 35 ผลคณู = (80 × 4) + (6 × 4) = 320 + 24 86 × = 344 4 344 การหาผลคูณระหวางจํานวนที่ไมเกนิ 3 หลกั มหี ลายลกั ษณะ ดังนี้ เม่อื ตวั คูณเปน ตวั เลขหลกั เดียว เปนการคูณของจํานวน 2 จาํ นวน ซง่ึ ตัวต้ังอาจเปนตวั เลขหลักเดียว สองหลัก หรือสามหลักกไ็ ด แตต ัวคูณเปนจํานวนหลักเดยี ว และเราสามารถหาผลคณู ได ดังน้ี วิธีที่ 1 โดยวธิ คี ูณอยางงาย วิธนี ้ีเหมาะสาํ หรบั ตวั ต้ังท่ีเปนตวั เลขหลักเดียว เราสามารถหาผลคณู ไดโดยการเปด ตาราง การคูณ หรือทองสูตรคูณแลวตอบไดทันที

35 ตัวอยาง 7 × 5 =  วธิ ที ํา การคูณตามแนวตัง้ การคณู ตามแนวนอน วธิ ีทํา 7 × 5 = 35 7 × ตอบ 35 5 35 ตอบ 35 จงสังเกตการณคูณตามแนวนอนเปนการคูณในรูปประโยคสัญลักษณ วธิ ที ่ี 2 โดยวธิ กี ระจายจาํ นวนตามคาประจําหลัก วิธีนใ้ี ชก บั ตัวตง้ั ทเ่ี ปนตวั เลขต้ังแต 2 หลักขึน้ ไป ตัวอยาง จงหาผลคูณของ 37 กับ 4 การคูณตามแนวนอน การคณู ตามแนวตั้ง วิธที าํ 37 × 4 = (30 + 7) × 4 วธิ ที าํ = (30 × 4) + (7 × 4) 37 × 30 + 7 × = 120 + 28 4 4 = 148 ตอบ 148 120 + 28 = 148 ตอบ 148 ตัวอยา ง การคูณตามแนวนอน การคณู ตามแนวตัง้ วธิ ีทํา วิธที ํา 578 × 6 = (500 + 70 + 8) × 6 = (500 × 6) + (70 × 6) + (8 × 6) 578 × 500 + 70 + 8 × = 3,000 + 420 + 48 4 6 = 3,468 3,000 + 420 + 48 = 3,468 ตอบ 3,468 ตอบ 3,468

36 วธิ ที ่ี 3 โดยวิธลี ดั โดยท่วั ไปนิยมใชวธิ ีนก้ี ับการคณู ตัวตัง้ ทีเ่ ปนจาํ นวนเลขต้ังแต 2 หลักข้ึนไปมากกวา วิธที ่ี 2 ตวั อยาง จงหาผลคูณของ 45 กบั 9 การคณู ตามแนวนอน วธิ ีทํา การคณู ตามแนวตัง้ วธิ ที าํ 45 × 9 = 405 ตอบ 405 45 × 9 405 ตอบ 405 แนวคดิ คอื คณู ทลี ะหลกั โดยเรม่ิ จากหลักหนว ย ดงั น้ี หลกั หนว ย 5 × 9 = 45 ใส 5 ลงในหลกั หนว ย สว น 4 ซง่ึ เปน หลักสบิ ใหท ดขึน้ ไปไว บวกกบั ตวั เลขในหลกั สบิ ตอไป หลกั สิบ 4 × 9 = 36 แลว บวกอกี 4 ทท่ี ดไวรวมเปน 40 ใหใ ส 0 ลงในหลักสิบ และ 4 ลงในหลักรอ ยไดเ ลย เพราะไมมเี ลขตวั หนาที่ตองคูณอีก ผลคูณ ดงั นน้ั ผลคูณเปน 405 ตวั อยา ง จงหาผลคูณของ 578 กบั 6 การคูณตามแนวนอน วธิ ีทาํ การคณู ตามแนวตง้ั วิธที ํา 578 × 6 = 3,468 ตอบ 3,468 578 × 6 3,468 ตอบ 3,468 แนวคดิ สาํ หรบั ตัวอยา งที่ 2 น้ีจะมวี ธิ คี ดิ เชนเดียวกบั ตวั อยา งท่ี 1 เพียงแตค ูณหลกั รอยเพ่ิมอกี 1 ตวั ดงั น้ี หลกั หนว ย 8 × 6 = 48 ใส 8 ลงในหลกั หนว ย สว น 4 ซึ่งเปนหลกั สบิ ใหทดขึ้นไปไว บวกกับตวั เลขในหลักสบิ ตอ ไป หลกั สบิ 7 × 6 = 42 บวกอีก 4 ทท่ี ดไวรวมเปน 46 ใหใส 6 ลงในหลกั สบิ สว น 4 ตวั หนา ใหท ดข้นึ ไปไวบ วกกับตัวเลขในหลกั รอ ยตอไป หลกั รอย 5 × 6 = 30 บวกอีก 4 ทท่ี ดไวรวมเปน 34 ใหใ ส 4 ลงในหลกั รอ ยและ 3 ลงในหลกั พันไดเ ลย เพราะไมม เี ลขตวั หนา ที่จะตอ งคูณอีก ผลคณู ดังนน้ั ผลคูณเปน 3,468

37 แบบฝกหดั ท่ี 15 ก. ใหผูเรียนหาจํานวนที่ทําใหประโยคเปนจรงิ (1) 5 × 37 = 5 × (30 +  ) (2) 65 × 3 = (60 × 3) + (5 ×  ) (3) 47 × 8 = ( +)×8 (4) 123 × 7 = (  + 20 +  ) × 7 (5) (300 + 40 + 6) × 9 = (300 × 9) + (  × 9) + (6 ×  ) ข. ใหผเู รยี นหาผลคณู ตอไปน้โี ดยวธิ ลี ัด (1) 28 × 3 (2) 78 × 4 (3) 64 × 7 (4) 90 × 8 (5) 328 × 8 เมอ่ื ตัวคณู เปนตวั เลขสองหลัก เปนการคูณของจํานวน ซง่ึ ตวั ตงั้ อาจเปนตัวเลขหลกั เดียว สองหลกั หรอื สามหลัก แตตวั คณู เปนตัวเลขสองหลกั วธิ คี ณู ใหนําตัวคูณไปคูณตวั ต้ังทีละตวั โดยเร่มิ จากหลักหนวย กอน แลวนําผลคณู ของตัวคูณแตละตวั มาบวกกัน ก็จะไดผลคณู ทงั้ หมด เราสามารถหาผลคณู ไดหลายวธิ ี วิธีทน่ี ยิ มใชกัน ไดแ ก วิธที ี่ 1 โดยวธิ ลี ดั วธิ นี ี้นิยมใชค ณู ตวั เลขตามแนวตั้ง ไมนยิ มคูณตามแนวนอน เพราะการคูณตามแนวต้ังจะตรวจสอบ ตวั เลขไดง า ย เห็นชดั เจนกวา สว นการคณู ตามแนวนอนน้ันจะมวี ธิ คี ดิ เหมือนแนวตง้ั แตไ มแ สดงใหด ู จะใส เฉพาะผลคณู ใหเ หน็ เทาน้นั ดังนัน้ จะใหตวั อยา งเฉพาะการคณู ตามแนวตั้ง ดังนี้ ตวั อยา ง 234 × 36 แบบท่ี 1 แบบท่ี 2 วธิ ที ํา วิธีทาํ 234 234 36 × 30 + 6 36 × 1404 + 234 × 6 1404 + 7020 234 × 30 702 8,4 2 4 8,4 2 4 ตอบ 8,424 ตอบ 8,424 วิธคี ดิ วิธนี ใี้ ชคา ประจําหลักของตวั คูณ วธิ คี ดิ วิธนี ้เี ลขตวั หลังของผลคณู แตละตัว แตล ะตัว คูณกบั ตัวต้ัง แลว นําผลคณู มาบวกกนั จะอยตู รงหลกั เดียวกันกบั ตัวคณู ตวั นั้น แลว นํา ผลคณู แตล ะตวั มาบวกกัน

38 วธิ ที ่ี 2 โดยการแยกเปนตัวประกอบของตัวคูณ ตัวประกอบของตัวคูณ คอื การเปลย่ี นตัวคูณใหเปน เลขหลักเดยี ว โดยแยกตัวคูณใหเปน ผลคณู ของจาํ นวนเลขหลักเดียว เชน 21 = 3 × 7 เราเรยี ก 3 และ 7 วาเปนตัวประกอบของ 21 วธิ ีนีต้ วั ต้งั จะเปนเลขกหี่ ลกั ก็ตาม ถา ตวั คูณเปนเลขหลักเดียวจะทาํ ไดสะดวกและงา ยขน้ึ กวาท่ตี ัวคณู เปนเลขหลายหลัก เพราะไมตอ งนําผลคณู มาบวกกนั อีก เพยี งแตใ ชตวั คณู คณู ตัวต้ังทลี ะตัวจนหมด ตัวอยา ง จงหาผลคูณของ 274 กบั 21 การคณู ตามแนวนอน การคณู ตามแนวตง้ั วิธที าํ 21 = 3 × 7 วิธที ํา 21 = 3 × 7 274 × 21 = 274 × (3 × 7) 274 274 = (274 × 3) × 7 21 × 3 × = 822 × 7 822 × = 5,754 7 ตอบ 5,754 ตอบ 5,754 5,754 วธิ ีคิด 1. แยกตวั คูณ คอื 21 ออกเปน 3 × 7 2. นาํ 3 ซง่ึ เปน ตัวคูณท่นี อย คณู กบั 274 กอ น จะได 822 (เหตุท่นี าํ ตัวเลขนอยคูณกอน เพ่ือจะ ไดผ ลคูณเปน จาํ นวนเลขนอ ย ๆ งา ยแกก ารคูณเลขตัวตอไป) 3. นาํ 7 ไปคณู 822 ดงั น้ันจะไดผลคณู เปน 5,754 วิธที ่ี 3 โดยการแยกตัวคูณที่เปนพหุคูณของ 10 วธิ ีน้ีจะใชเ มอื่ ตัวคูณเปนพหุคูณของ 10 คือ ตัวคูณท่ีลงทายดว ย 0 นน่ั เอง ตวั อยา ง จงหาผลคูณของ 324 กบั 30 การคูณตามแนวนอน การคูณตามแนวต้ัง วธิ ที ํา 30 = 3 × 10 วธิ ีทํา 30 = 3 × 10 324 × 30 = 324 × (3 × 10) 324 = (324 × 3) × 10 3 × = 972 × 10 972 × = 9,720 10 ตอบ 9,720 9,720 ตอบ 9,720

39 วธิ ที ี่ 4 โดยวธิ ีการกระจายจํานวนตามคาประจําหลัก วธิ ีนชี้ วยใหก ารหาผลคูณงายขนึ้ สาํ หรับการคูณจาํ นวนท่ีมีเลขหลาย ๆ หลักใหกระจายจํานวนท่มี ี หลักมากกวา ไมว าจาํ นวนน้ันจะเปน ตวั ตัง้ หรือตัวคูณ แลวจึงคูณกบั อกี จาํ นวนหน่งึ จากน้ัน จึงนําผลคณู แต ละตวั มาบวกกนั เหมอื นวิธที ี่ 1 ของการคูณ โดยวิธลี ัดนัน่ เอง ตัวอยาง จงหาผลคูณของ 382 กับ 23 การคณู ตามแนวนอน การคูณตามแนวตง้ั วธิ ีทํา วิธีทํา 382 × 23 = (300 + 80 + 2) × 23 382 300 + 80 + 2 = (300 × 23) + (80 × 23) + (2 × 23) 23 × 23 × = 6,900 + 1,840 + 46 6,900 + 1,840 + 46 = 8,786 = 8,786 ตอบ 8,786 ตอบ 8,786 แบบฝก หัดที่ 16 ก. ใหหาผลคณู ตอไปนี้ โดยวธิ ลี ัด (1) 36 × 17 (2) 45 × 22 (3) 55 × 40 (4) 79 × 30 (6) 123 × 21 ข. ใหห าผลคูณตอไปนี้ โดยการแยกตัวประกอบของตวั คูณ (1) 54 × 20 (2) 63 × 21 (3) 154 × 24 (4) 583 × 32 ค. ใหหาผลคูณตอไปนี้ โดยวิธกี ระจายจาํ นวนตามคาประจาํ หลักตามแนวนอน (1) 78 × 60 (2) 98 × 72 (3) 825 × 56 (4) 999 × 80 เม่ือตัวคูณเปนจาํ นวนเลข สามหลกั สําหรับตัวคูณที่เปน จาํ นวนเลขสามหลักน้ี เราสามารถหาผลคูณไดห ลายวิธี แตวิธที ่เี หมาะสมและ สะดวกคอื วธิ ที ี่ 1 โดยวิธีลดั วธิ นี น้ี ยิ มใชคณู จาํ นวนเลขตามแนวตง้ั และมีวธิ ีคิดเหมอื นตัวคณู ที่เปนจํานวนเลขสองหลกั ดงั น้ัน จะใหตัวอยางเฉพาะการคูณตามแนวตั้ง ดังนี้

40 ตวั อยาง 267 × 125 แบบท่ี 1 แบบท่ี 2 วิธที าํ วิธีทํา 267 267 125 × 267 × 5 125 × 267 × 20 1335 + 267 × 100 1335 + 5340 534 26700 2 67 3 3,3 7 5 3 3,3 7 5 ตอบ 33,375 ตอบ 33,375 วิธีที่ 2 โดยการแยกตัวคูณที่เปนพหุคูณของ 10 วธิ นี จ้ี ะใชเมอื่ ตัวคูณเปนพหุคณู ของ 10 เชนเดยี วกับตัวคูณทีเ่ ปน เลขสองหลกั ดงั น้ี ตัวอยางท่ี 1 จงหาผลคูณของ 372 × 250 การคณู ตามแนวนอน การคณู ตามแนวตัง้ วธิ ที ํา วิธีทาํ 250 = 25 × 10 = 5 × 5 × 10 250 = 25 × 10 = 5 × 5 × 10 372 × 250 = 372 × (5 × 5 × 10) 372 × = (372 × 5) × 5 × 10 5 = (1,860 × 5) × 10 1,860 × = 9,300 × 10 5 = 93,000 9,300 ตอบ 93,000 10 93,000 ตอบ 93,000

41 ตัวอยางท่ี 2 จงหาผลคูณของ 362 กับ 100 การคูณตามแนวนอน วิธีทํา การคณู ตามแนวตงั้ วธิ ีทาํ 100 = 10 × 10 100 = 10 × 10 362 × 100 = 362 × (10 × 10) 362 × 10 = (362 × 10) × 10 = 3,620 × 10 3,620 × = 36,200 10 ตอบ 36,200 36,200 ตอบ 36,200 สาํ หรับตัวคูณท่ีเปน 100 ซงึ่ เปน พหคุ ณู ของ 10 เราจะสังเกตเห็นวา ผลคูณของจํานวน เลขใด ๆ ทีค่ ณู กับ 100 จะมคี า เทากับเลขจํานวนน้นั ตอทายดวย 00 (ศูนย 2 ตวั ) นน่ั เอง จากตัวอยางท่ี 2 เราสามารถหาผลคูณของ 362 กบั 100 ไดใ หมโดยวธิ ลี ดั ซง่ึ จะสะดวกกวาดังน้ี การคณู ตามแนวนอน วิธีทาํ การคณู ตามแนวตงั้ วธิ ีทํา 362 × 100 = 36,200 ตอบ 36,200 362 × 100 36,200 ตอบ 36,200 แบบฝก หัดท่ี 17 (4) 764 × 491 ก. ใหห าผลคูณตอ ไปน้ีโดยวิธีลัด (4) 917 × 320 (1) 136 × 111 (ข) 275 × 165 (3) 398 × 234 ข. ใหห าผลคูณตอไปนี้ โดยวธิ กี ารแยกตัวคูณตามแนวตงั้ (1) 247 × 200 (ข) 624 × 120 (3) 879 × 240

42 โจทยป ญหา เน่อื งจากการคูณเปนวธิ ีลัดของการบวก โจทยป ญ หาเก่ยี วกับการคูณจงึ เปนเรื่องราวทีเ่ กยี่ วของกบั ชวี ติ ประจาํ วนั เชนเดยี วกบั การบวก แตช วยใหเ กดิ การคิดแกป ญ หาเรว็ ขน้ึ กวา การบวก ตัวอยา งท่ี 1 กระเทียมแหงกิโลกรัมละ 18 บาท ถาขายได 9 กโิ ลกรมั จะไดเ งินเทาไร วธิ ีทาํ ประโยคสัญลกั ษณ คือ 18 × 9 =  กระเทียมแหง กิโลกรมั ละ 18 บาท ขายได 9 กโิ ลกรมั ดงั นน้ั จะไดเงนิ 18 × 9 = 162 บาท ตอบ 162 บาท ตวั อยางที่ 2 ขาวสารถังละ 130 บาท น้ําปลาขวดละ 18 บาท ถาซื้อขาวสาร 4 ถัง น้ําปลา 14 ขวด จะตองจายเงินทั้งหมดเทาไร วธิ ีทํา ประโยคสญั ลกั ษณ คอื (130 × 4) + (18 × 14) =  ขา วสารถังละ 130 บาท ซอื้ 4 ถัง คิดเปน เงิน 130 × 4 = 520 บาท น้ําปลาขวดละ 18 บาท ซื้อนาํ้ ปลา 14 ขวด คิดเปน เงิน 18 × 14 = 252 บาท ดงั น้นั จะตอ งจา ยเงนิ ทัง้ หมด 520 + 252 = 772 บาท ตอบ 772 บาท การทําโจทยป ญหาที่เก่ียวกับการคณู น้ี ทาํ ไดทั้งแบบแนวนอนและแนวตง้ั แตสว นใหญจะทาํ ตาม แนวนอน ซง่ึ อยใู นรปู ของประโยคสัญลกั ษณ เพราะเห็นวาสั้นดีกวาวิธีอื่น ๆ แบบฝก หัดท่ี 18 (1) สม กโิ ลกรมั ละ 15 บาท ซื้อ 10 กิโลกรัม จะตองจา ยเงนิ เทา ไร (2) ชาวบานในหมบู านหนง่ึ แบงกลุมกนั สรางถนนเขา หมูบา น กลุมละ 9 คน รวม 8 กลุม จะตองใชคน ทง้ั หมดก่คี น (3) ชาวสวนปลกู ตน มะมวง 9 แถว แถวละ 20 ตน และตน ฝรั่ง 7 แถว แถวละ 22 ตน ดังน้ัน มีตนไมในสวนท้งั หมดกี่ตน (4) ซื้อขนมมาครั้งแรก 15 ถงุ ถุงละ 5 ชนิ้ ครง้ั ทสี่ อง 20 ถงุ ถงุ ละ 6 ชน้ิ นาํ ไปแจกเดก็ คนละ 1 ช้ิน เดก็ จะไดรับแจกก่ีคน (5) ขายขาวเปลือกได 43 เกวยี น ไดราคาเกวียนละ 4,500 บาท จะไดเ งินเทาไร

43 1.2 สมบตั ิการสลบั ท่ีของการคูณ การคณู ตามแนวต้ัง การคณู ตามแนวนอน 3×2 = 6 3 × 2 × 2×3 = 6 2 3 ดังนน้ั 3 × 2 = 2 × 3 6= 6 10 × 9 = 90 10 × 9 × 9 × 10 = 90 9 10 ดังนน้ั 10 × 9 = 9 × 10 90 = 90 จํานวนสองจาํ นวนทม่ี าคณู กัน สามารถสลบั ทกี่ นั ได กลาวคือ ตัวตัง้ และตัวคูณสลับทีก่ ัน ไดโ ดยท่ีผลคูณยงั คงเทาเดิม ดังเชน 3 × 2 = 2 × 3 หรอื 10 × 9 = 9 × 10 เราเรียกสมบัติ ขอ นี้วา “สมบัติการสลบั ท่ีของการคณู ” สมบัตกิ ารเปลยี่ นหมขู องการคณู 3 × 5 × 6 = (3 × 5) × 6 3×5×6 = 3 × (5 × 6) = 3 × 30 = 15 × 6 = 90 = 90 ดงั น้นั (3 × 5) × 6 = 3 × (5 × 6) การนาํ จาํ นวนสามจํานวนมาคูณกนั จะคณู สองจํานวนใดกอนแลวไปคณู กับจํานวนทีเ่ หลอื ผลคณู จะเทากนั เสมอ เราเรียกสมบัติขอน้ีวา “สมบตั ิการเปล่ียนหมูของการคณู ” ประโยชนข อนกี้ ็เพื่อจะชว ยใหค ดิ เลขงา ยข้นึ โดยยึดหลกั ขอใดขอ หนงึ่ ดังนี้ 1. คณู สองจาํ นวนที่นอยกอน แลว จึงคณู กับจาํ นวนที่เหลอื 2. คณู สองจํานวนท่ีไดผ ลคณู ลงทายดว ย 0 กอน แลว จึงคูณกับจาํ นวนท่ีเหลือ 3. ถามีจาํ นวนทล่ี งทายดวย 0 อยูหนึ่งจํานวนทีไ่ มเ กิน 3 หลัก ใหคูณสองจํานวนทีไ่ มลง ทา ยดว ย 0 กอน แลว จึงคณู จาํ นวนทีล่ งทายดวย 0 3. สมบตั กิ ารแจกแจงของการคณู (5 + 10) × 4 = 15 × 4 (5 + 10) × 4 = (5 × 4) + (10 × 4) = 60 = 20 + 40 = 60 ดงั นน้ั (5 + 10) × 4 = (5 × 4) + (10 × 4)

44 การนาํ จาํ นวนใด ๆ ไปคณู กับผลบวกของจํานวนอีกสองจํานวน จะมีผลคูณเทากับการนํา จาํ นวนนน้ั ไปคูณทลี ะจาํ นวน แลว บวกกนั เราเรียกสมบัตขิ อนี้วา “สมบัติการแจกแจงของการคูณ” สมบัติการแจกแจงของการคูณนี้ นิยมนําไปใชในการคูณจํานวน 2 จํานวน ท่ีเปนตัวเลข ต้งั แต 2 หลักขึ้นไป โดยวิธกี ระจายจํานวนตามคาํ ประจําหลกั ตามแนวนอน แตสําหรบั ในช้ันนี้ นิยมใชก บั ตวั คูณท่เี ปน เลขไมเ กินสองหลกั ซง่ึ ผเู รยี นไดเ รยี นมาบางแลว ในการคูณทม่ี ตี วั คูณเปน เลขหลกั เดยี วนั่นเอง แบบฝก หัดที่ 19 จงเติมจํานวนเลขลงใน  เพอ่ื ใหประโยคเปน จริง 1.  ÷ 7 = 0 2.  × 1 = 4 3. 10 ÷  = 10 4. 46 +  = 46 5.  + 0 = 0 + 8 6. 0 × 9 = 9 ×  7. 716 +  = 210 + 716 8. 50 × 70 = 70 ×  9. (9 +7) + 26 = 9 + (  + 26) 10. (40 × 17) × 69 = 40 × (17 ×  ) 11. (5,040 + 1,460) × 445 = + (1,460 × 445)