P-Series

P-SERIES PRESENTED BY GROUP II Suan Sunandha Rajabhat University

What is P-SERIES? P-series ( อนุกรมพี ) คือ อนุกรมที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปแบบ _1 เมื่อ ������ เป็นจำนวนจริงใด ๆ n=1 np อนุกรมพีจะเป็นอนุกรมลู่เข้า เมื่อ p > 1 และเป็นอนุกรมลู่ออก เมื่อ p <_ 1

PROOF AND FIND THE CONDITION OF THE P-VALUE. โดยแบ่งออกเป็น 3 กรณี ได้แก่ กรณีที่ 1 ถ้า P < 0 ใช้ทฤษฎีบท กรณีที่ 2 ถ้า P = 0 กรณีที่ 3 ถ้า P > 0 ใช้ Integral test

ทฤษฎีที่ใช้ในการพิจารณา ถ้า an เป็นอนุกรมลู่เข้า เเล้วจะได้ว่า lnim an= 0 n=1

พิสูจน์กรณีที่ 1 เมื่อ P<0 กำหนดให้ _1 โดยที่ an= _1 จะได้ np np n=1 lim lim _1 an = np ;p<0 n n = lim _1 n-p n = lim np n = =0

พิสูจน์กรณีที่ 2 เมื่อ P=0 กำหนดให้ _1 โดยที่ an= 1_ จะได้ np np n=1 lim lim _1 an = np ;p= 0 n n = lnim _1 n0 = lim _1 = lim 1 1 n n =1 = 0

จาก 2 กรณีจะเห็นว่า เมื่อ p < 0 จะได้ว่า _1 เป็นอนุกรมลู่ออก n=1 np

I(NกTารทEดGสอRบแAบLบอินTทิกEรัลS )T ฟังกใ์หช้ันคn่า=จ1ริงaซnึ่งมีเสปม็นบัอตนิุกดัรงมนี้จำนวนจริงซึ่ง an > 0 และ f (x) เป็น 1. f(n) = anทุก n c- N [ n0, ∫2.มี n0= N ซึ่ง f เป็นฟังก์ชันไม่เพิ่ม เเละมีความต่อเนื่องบนช่วง ) nn0f(x)dx , n > n0 3. tn = จะได้ว่า an เป็นอนุกรมลู่เข้า ถ้า { tn } เป็นลำดับลู่เข้า และ n=1 an เป็นอนุกรมลู่ออก ถ้า { tn } เป็นลำดับลู่ออก n=1

พิสูจน์กรณีที่ 3 เมื่อ P>0 เนื่องจาก _1 np ให้ nf=(1x) _1 ,x>1 = xp จะได้ f’(x) = _ p_xp+1 <0 ดังนั้น f เป็นฟังก์ชันไม่เพิ่ม เเละมีความต่อเนื่องบนช่วง [1 , )

พิสูจน์กรณีที่ 3 เมื่อ P>0 และพิจารณา ∫tn = n f(x) dx ∫= n1 dx _1 1 xp x1-p x=n 1 - p x=1 , p=1 = , p=1 = ln x x=n , p=1 1-p , p=1 ( 1 x= 1 1 ) _ 1 , p=1 )( - 1-p , p=1 np tn _ln1n พบว่า lim 1-p = n +

เนื่องจาก lim tn หาค่าได้ { tn } เป็นลำดับลู่เข้า n lim tn หาค่าไม่ได้ { tn } เป็นลำดับลู่ออก n ดังนั้น กรณีที่ p > 1 จะได้ว่า _1 เป็นอนุกรมลู่เข้า n=1 np _1 กรณีที่ 0 < p < 1 จะได้ว่า n=1 np เป็นอนุกรมลู่ออก จึงสรุปได้ว่า _1 เป็นอนุกรมลู่เข้า เมื่อ p > 1 n=1 np และ _1 เป็นอนุกรมลู่ออก เมื่อ 0 < p < 1 n=1 np

Example จงทดสอบว่าอนุกรมต่อไปนี้เป็นอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออก 5 n43 วิธีทำ พิจารณา an = 5 n4 3 4 4 n=1 n n จัดรูปจะได้ = 1 = 1 1 3 4 20 n( 4 - 5 ) n- จะได้ 5 n4 = 1 ; p = -210 < 1 3 n- 1 n=1 n 4 n=1 20 ดังนั้น 5 n4 3 เป็นอนุกรมลู่ออก n 4 n=1

REFERENCES เกษสุดา บูรณพันศักดิ์. (2023). บทที่ 4 ลำดับและอนุกรม. สืบค้นเมื่อ 07 มีนาคม 2566. จาก https://dspace.bru.ac.th/ xlmui/bitstream/handle/123456789/5482/บทที่%204%20 ลำดับและอนุกรม%20.pdfsequence=4&isAllowed=y มหาวิทยาลัยจุฬาลงกรณ์. (2023). บทที่ 1 ลำดับและอนุกรมของจำนวน. สืบค้นเมื่อ 07 มีนาคม 2566. จาก http://pioneer.netserv.chula. ac.th/~tdumrong/230118ch1_1in1.pdf สุรนนท์ เย็นศิริ. (2023). หน้า 13

THANK YOU YOU R ATTENT I FOR O N . Do you have any questions?