MATEMATIKA SAINTEK 81
Bab 1 Eksponen dan Logaritma A. Pengertian Eksponen D. Pertidaksamaan Eksponen Bilangan bereksponen (berpangkat) dinyatakan 1. Untuk 0 < a < 1 maka berlaku: dengan: af(x) ≥ ag(x) ⇒ f(x) ≤ g(x) af(x) ≤ ag(x) ⇒ f(x) ≥ g(x) a× a × a ×a×a×........×a = an 2. Untuk a > 1 maka berlaku: af(x) ≥ ag(x) ⇒ f(x) ≥ g(x) n kali af(x) ≤ ag(x) ⇒ f(x) ≤ g(x) Contoh: 2 x 2 x 2 = 23 = 8 E. Pengertian Logaritma Notasi: an dibaca “a pangkat n” • a disebut bilangan pokok (basis) Logaritma adalah invers dari perpangkatan, • n disebut bilangan pangkat yaitu mencari pangkat dari suatu bilangan pokok seh ingga hasilnya sesuai dengan yang telah B. Sifat-Sifat Eksponen diketahui. Untuk a, b, m, dan n anggota bilangan real berlaku Jika an = b maka alogb = n sifat: dibaca “n = log b dengan basis a” 1. am. an = am + n 2. am : an = am – n • a disebut basis (bilangan pokok), a > 0 dan 3. 1 : an = a–n a≠1 4. (am)n = am x n 5. a0 = 1; a ≠ 0 • b disebut bilangan yang dilogaritmakan, b > 0 6. an. bn = (ab)n 7. am : bm = (a : b)m F. Sifat-Sifat Logaritma m 1. log 1 = 0 2. log 10 = 1 8. n am = a n 3. alog b.c = alogb + alogc 4. alog b = alogb – alogc C. Persamaan Eksponen c • Bentuk : af(x) = 1 ⇒ f(x) = 0 • Bentuk : af(x) = ap ⇒ f(x) = p 5. alog bn = n . alogb • Bentuk : af(x) = ag(x) ⇒ f(x) = g(x) 6. alog a = 1 • Bentuk : af(x) = bf(x) ⇒ f(x) = 0 • Bentuk : a2f(x)+b + af(x)+ c + d = 0 a2f(x) .ab + a f(x) .ac + d = 0 01
7. alogb = 1 = logb = p logb H. Pertidaksamaan Logaritma b loga loga p loga 1. Untuk bilangan pokok a > 1 berlaku: 8. alog b . blog c . clog d = alog d • Jika a log f(x) ≤ a log g(x) maka: 9. am logbn n = n a logb = a logbm m 10. a a logb = b a loga = b f(x) ≥ g(x) G. Persamaan Logaritma • Jika a log f(x) ≤ a log g(x) maka: f(x) ≤ g(x) • Bentuk : alog f(x) = a log p atau alog f(x) = c 2. Untuk bilangan pokok 0 < a < 1, berlaku: Solusi : f(x) = p atau f(x) = ac • Bentuk : alog f(x) = b log p atau g(x) log f(x) = c • Jika a log f(x) ≤ a log g(x) maka: Solusi : f(x) = p = 1 atau f(x) = g(x)c • Bentuk : a (plog x)2 + b plog x + c = 0 f(x) ≤ g(x) Solusi : Gunakan sifat persamaan kuadrat • Jika a log f(x) ≤ a log g(x) maka: atau dengan cara singkat, yaitu: f(x) ≥ g(x) x1.x2 = −b Syarat: f(x) > 0 dan g(x) > 0. pa • Bentuk : af(x) = bg(x) Solusi : Kedua ruas dilogaritmakan menjadi: f(x) log a = g(x) log b 02
Bab 2 Persamaan Kuadrat A. Bentuk Umum Persamaan Contoh: Kuadrat x2 + 6x + 8 = 0 ax2 + bx + c = 0 x + 6 2 = −8 + 6 2 ay2 + by + c = 0 2 2 untuk a, b, c ∈ bilangan real x, y variabel dan a ≠ 0 (x + 3) = ± −8 + 9 Rumus diskriminan: x = −3 ± 1 D = b2 – 4ac x1= –2 atau x2 = – 4 c. Rumus Al-Khawarizmi (abc) B. Menentukan Akar-Akar x1,2 = −b ± b2 − 4ac Persamaan Kuadrat 2a Jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan C. Bentuk Simetri Akar-Akar kuadrat ax2 + bx +c = 0 maka akar-akar tersebut Persamaan Kuadrat dapat diperoleh dengan cara: Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat a. Faktorisasi ax2 + bx +c = 0 maka berlaku: a(x − x1).(x − x2 ) = 0 • x1 + x2 = −b a Contoh: x2 – 5x + 6 = 0 • x1 . x2 = c (x – 3)(x – 2) = 0 a Maka x = 3 atau x = 2 • x1 – x2 = D a b. Melengkapi Kuadrat Sempurna • x12 + x22 = (x1 + x2 )2 − 2x1 ⋅ x2 x2 + bx + c = 0 di mana a = 1 maka: • x12 − x22 = (x1 + x2 )(x1 − x2 ) x + b 2 = −c + b 2 2 2 • 1 + 1 = x1 + x2 x1 x2 x1 ⋅ x2 ( )• x14 + x24 = x12 + x22 2 − 2(x1 ⋅ x2 )2 ( )( )• x14 − x24 = x12 + x22 x12 − x22 03
• x13 + x32 = (x1 + x2 )3 − 3x1 ⋅ x2 (x1 + x2 ) E. Menyusun Persamaan • x13 − x32 = (x1 − x2 )3 + 3x1 ⋅ x2 (x1 − x2 ) Kudrat Baru (x – a)(x – b) = 0 D. Jenis-Jenis Akar Persamaan atau Kuadrat x2 – (x1 + x2)x + (x1.x2) = 0 x2 – (JAA)x + (PAA) = 0 Berdasarkan nilai diskriminan D = b2 – 4ac, akar- akar terbagi menjadi dua jenis, yaitu: a dan b adalah akar-akar persamaan kuadrat JAA = Jumlah akar-akar (a + b) a. Jika D ≥ 0 maka akar-akarnya real PAA = Perkalian akar-akar (a.b) • Jika D > 0, akarnya real berlainan Contoh: • Jika D = 0, akarnya real kembar Jika akar-akarnya adalah kebalikan dari akar-akar yang diketahui maka: b. Jika D < 0, akar-akarnya tidak real ax2 + bx + c = 0 menjadi cx2 + bx + a = 0 Jika akar-akarnya real maka hubungan akar- akar x1 dan x2 mempunyai syarat-syarat, yaitu: • Akar-akarnya real positif: • D ≥ 0, x1 + x2 > 0, x1.x2 > 0 • Akar-akarnya real negatif: D > 0, x1 + x 2 = 0, x1.x2 < 0 Akar-akarnya berlawanan tanda: • D > 0, x1.x2 = 1 Akar-akarnya berlawanan: • D > 0, x1 + x 2 = 0, x1.x2 < 0 Akar-akarnya saling berkebalikan: D > 0, x1.x2 = 1 04
Bab 3 Bentuk Akar A. Sifat-Sifat Bentuk Akar ( )2 • a + b = a + b × a + b = a + b a. Bentuk Umum Akar a− b a− b a+ b a−b m m C. Persamaan Bentuk Akar n am = a n am = a 2 1 1 • (a + b) + 2 ab = a + b , syarat: a > b > 0 Bukti: n a = an a = a 2 b. Penjumlahan dan Pengurangan (a + b) + 2 ab 1. a c + b c = (a + b) c = a + 2 ab + b 2. a c − b c = (a − b) c = a + ab + ab + b c. Perkalian dan Pembagian = ( a2 ) + ab + ab + ( b2 ) 2 1. a ⋅ a = a2 = a 2 = a = a( a + b) + b( a + b) 2. n a ⋅ n b = n ab = ( a + b)( a + b) 3. n am ⋅ n ap = n am+p 2 a+ b = a+ b ( ) = 4. n p a = np a • (a + b) − 2 ab = a − b,ssyyaarraatta: a>>bb> >0 0 5. n a = n a Bukti: nb b (a + b) − 2 ab B. Merasionalkan Penyebut = a − 2 ab + b = a − ab − ab + b • a = a × b = a b = ( a2 ) − ab − ab + ( b2 ) b bb b = a( a − b) − b( a − b) = ( a − b)( a − b) • a = a × b = ab = ( a − b)2 = a − b b bb b • c = c × a − b a+ b a+ b a− b = c( a − b ) a−b 05
Bab 4 Fungsi Kuadrat A. Definisi Fungsi Kuadrat Gambar kurva parabola: Fungsi f yang didefinisikan sebagai Nilai D>0 D=0 D<0 f(x) = ax2 + bx + c, di mana a, b, c ∈ R dan a ≠ 0 (2 titik potong) (menyinggung) (tidak memotong) disebut sebagai fungsi kuadrat. a>0 B. Bentuk Umum Fungsi (terbuka Kuadrat ke atas) Bentuk umum fungsi kuadrat adalah sebagai a<0 berikut: (terbuka ke bawah) y = f(x) = ax2 + bx + c • Suatu kurva disebut definit positif (selalu Dengan a, b, c ∈ real dan a ≠ 0. bernilai positif untuk setiap x), jika a > 0 dan • x ∈ R disebut Domain (daerah asal) D < 0. • y = f (x) ∈ R disebut Range (daerah hasil). • Suatu kurva disebut definit negatif (selalu • Range ∈ disebut kodomain (daerah bernilai negatif untuk setiap x), jika a < 0 dan kawan) yang berpasangan dengan D < 0. Domain. definit Diskriminan (D) adalah nilai konstanta yang positif besarnya: a>0 D<0 D = b2 – 4ac definit C. Sifat-Sifat Kurva Fungsi negatif Kuadrat a<0 D<0 Bentuk kurva fungsi kuadrat adalah parabola se Jika (Xe,Ye) adalah koordinat titik ekstrem maka: hingga sering disebut fungsi parabola, yaitu: • Xe = −b = x1 + x2 y = f(x) = ax2 + bx + c 2 2a Titik Xe disebut sumbu simetri. • Ye = − D = axe2 + bxe + c 4a Titik Ye disebut nilai ekstrem. 06
D. Persamaan Fungsi Kuadrat • Untuk menentukan hubungan kedua fungsi tersebut maka kedua persamaan Menentukan fungsi kuadrat dapat menggunakan disubstitusikan sebagai berikut: tiga cara, yaitu: 1. Jika diketahui tiga titik sembarang maka: y parabola = ygaris y = ax2 + bx + c px2 + qx + r = mx + n 2. Jika diketahui titik potong dengan sumbu x px2 + (q – m)x + (r – n) = 0 di (x1,0), (x2,0), dan sebuah titik sembarang maka: Dari hasil substitusi tersebut diperoleh: a = p, b = q – m, dan c = r _ n y = a(x − x1)(x − x2 ) Gambar Keterangan 3. Jika diketahui titik puncak (xe,ye) dan sebuah D > 0 ⇒ parabola titik sembarang maka: memotong garis di dua titik. y = a(x − xe )2 + ye D = 0 ⇒ parabola E. Hubungan Garis Dan memotong garis di 1 titik Parabola (menyinggung garis). • Persamaan garis lurus adalah y = mx + n, D < 0 ⇒ parabola tidak sedangkan persamaan fungsi parabola memotong garis. adalah y = f(x) = px2 + qx + r. 07
Bab 5 Pertidaksamaan A. Sifat-Sifat Pertidaksamaan B. Bentuk-Bentuk Pertidaksamaan 1. Pemindahan suku tanda tetap. Contoh: a + b > c maka a + b _ c > 0 a. Pertidaksamaan Linear 2. Perkalian atau pembagian dengan bilangan ax – b > 0 negatif tanda berubah. ax > b x > b Contoh: a > c maka – a < – c a −1 Contoh: 2x _ 6 > 0 3. Pemangkatan genap mempunyai syarat kedua ruas sama nilainya. 2x > 6 • Jika kedua ruas positif tanda tetap x > 6 • Jika kedua ruas negatif tanda berubah 2 Contoh: b. Pertidaksamaan Kuadrat 3 ≥ 1 → jika keduanya dikuadratkan 32 ≥ 1 Bentuk umum: menjadi 9 ≥ 1 (tanda tetap) ax2 + bx + c > 0 –3 ≤ –1 → jika keduanya dikuadratkan akan menjadi 9 ≥ 1 (tanda berubah dari ≤ menjadi Langkah-langkah umum penyelesaian pertidak samaan kuadrat adalah sebagai berikut: ≥). • Nolkan ruas kanan, kemudian pindahkan 4. Operasi dua pertidaksamaan suku kanan ke ruas kiri. Operasi penjumlahan tanda pertidaksamaan • Faktorkan menjadi faktor-faktor linier. • Buat garis bilangan untuk menentukan tetap. pen yelesaian. Jika sulit difaktorkan maka: Contoh: • Untuk D > 0 gunakan rumus abc • Untuk D < 0 maka berlaku: a < b - a > 0 maka fungsinya adalah definit c<d positif atau lebih dari nol. + - a < 0 maka fungsinya adalah definit a+c<b+d negatif atau kurang dari nol. Operasi perkalian atau pembagian mengikuti rumus: (+) x (+) = + (–) x (–) = + (+) x (–) = – (–) x (+) = – 08
c. Pertidaksamaan Pecahan 2. f (x) < g Bentuk umum: • Jika g > 0 maka solusinya adalah a > c , b ≠ 0 dan d ≠ 0 bd ( ) f (x) 2 < g2 dan f (x) > 0. Langkah-langkah umum penyelesaian •J ika g < 0 maka tidak mempunyai pertidaksamaan pecahan adalah sebagai solusi. berikut: • Nolkan ruas kanan dengan memindahkan e. Pertidaksamaan Nilai Mutlak suku kanan ke ruas kiri. • Faktorkan pembilang dan penyebut Bentuk umum: menjadi faktor-faktor linier. • Jika |f(x)| < g maka f(x) < g dan f(x) > –g • B u a t l a h g a r i s b i l a n g a n u n t u k atau menentukan pen yelesaian. ditulis: –g < f(x) < g • Jika |f(x)| < g maka f(x) < g dan f (x) < –g d. Pertidaksamaan Bentuk Akar • Jika |f(x)| > g maka f(x) > g dan f(x) < –g Bentuk umum: • Jika |f(x)| < |g(x)| maka: 1. f (x) > g (f(x) + g(x)).(f(x) – g(x)) < 0 • Jika g > 0 maka solusinya adalah • Jika f(x) < k maka: ( ) f (x) 2 > g2 dan f (x) > 0. g(x) • Jika g < 0 maka solusinya adalah f (x) > 0. (f(x) – k.g(x)).(f(x) + k.g (x)) < 0 09
Bab 6 Logika Matematika A. Pernyataan, Kalimat ‘‘dan’’. Konjungsi dari pernyataan p dan q dilambangkan p ∧ q . Terbuka, dan Ingkaran Dua pernyataan p ∧ q bernilai benar hanya jika pernyataan p benar dan q juga benar. • Pernyataan adalah suatu kalimat yang dapat Tabel kebenarannya: ditentukan salah atau benar, tetapi tidak kedua-duanya. pq p∧q BB B Contoh: BS S 1. Tambun berada di Kabupaten Bekasi SB S SS S (Benar) 2. 9 adalah bilangan prima (Salah) b. Disjungsi • Kalimat terbuka adalah kalimat yang masih Disjungsi adalah penggabungan dua mengandung variabel atau peubah dan pernyataan menggunakan kata penghubung belum dapat ditentukan kebenarannya. Jika ‘‘atau’’. Disjungsi dari pernyataan p dan q variabel tersebut diganti dengan konstanta ditulis dengan p ∨ q . maka akan menjadi pernyataan. Dua pernyataan p ∨ q bernilai salah hanya jika Contoh: pernyataan p salah dan q juga salah. 1. 3x _ 9 = 12 2. x + 5 = 19 Tabel kebenarannya: • Negasi atau ingkaran adalah pernyataan baru pq p∨q dengan nilai kebenaran berlawanan dengan nilai pernyataan semula. Negasi dinotasikan BB B dengan “ ”. BS B SB B Contoh: SS S a. Pernyataan p : 6 > 2 (B) maka p : 6 ≤ 2 (S) c. Implikasi b. Hari ini hujan. Negasinya: Hari ini tidak hujan Implikasi adalah penggabungan dua pernyataan menggunakan kata ‘‘jika... B. Operasi Logika Matematika maka...’’. Implikasi dari pernyataan p dan q ditulis p → q . a. Konjungsi Dua pernyataan p → q bernilai salah hanya Konjungsi adalah penggabungan dua jika pernyataan p benar dan q salah. pernyataan menggunakan kata penghubung 10
Tabel kebenarannya: D. Konvers, Invers, dan p q p→q Kontraposisi BB B Jika implikasi p → q maka: • q → p disebut konvers dari p → q BS S • p → q disebut invers dari p → q SB B • q → p disebut kontraposisi dari p → q SS B d. Biimplikasi E. Penarikan Kesimpulan Biimplikasi adalah penggabungan dua a. Prinsip Modus Ponens pernyataan menggunakan kata penghubung “jika dan hanya jika”. Biimplikasi dari Bentuk umum: pernyataan p dan q ditulis p ↔ q . Premis 1 : p → q = benar Dua pernyataan p ↔ q bernilai salah hanya Premis 2 : p = benar jika kedua pernyataan bernilai sama. ––––––––––––––––––––– Kesimpulan : q = benar Tabel kebenarannya: p q p↔q Contoh: Premis 1 : Jika saya makan maka saya BB S kenyang. BS B Premis 2 : Saya makan. Kesimpulan : Saya kenyang. SB B SS S C. Pernyataan Majemuk b. Prinsip Modus Tollens Bentuk umum: a. Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen Premis 1 : p → q = benar Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen KPeresmimispu2l an– –::–––p–––q–– –==–––bb––ee–nn–aa––rr– ( ≡ ) jika kedua pernyataan majemuk tersebut memp unyai nilai kebenaran yang sama. Contoh: : Jika saya rajin belajar maka Premis 1 nilai saya bagus. Contoh: Premis 2 : Nilai saya buruk. p → q ≡ p∨ q Kesimpulan : Saya malas belajar. Dapat dibuktikandengantabelkebenaran,yaitu: p q p p∨ q p → q c. Prinsip Silogisme BB S B B Bentuk umum: Premis 1 : p → q = benar BS S S S Premis 2 : q → r = benar ––––––––––––––––––––– SB B B B Kesimpulan : p → r = benar SS B B B Contoh: Premis 1 : Jika saya rajin belajar maka b. Negasi Pernyataan Majemuk nilai saya bagus. • (p ∧ q) ≡ p∨ q Premis 2 : Jika nilai saya bagus maka • (p ∨ q) ≡ p∧ q • (p → q) ≡ ( p ∨ q) ≡ p∧ q saya naik kelas. • ∃ ≡ ∀ ⇔ ∀ ≡ ∃ Kesimpulan : Jika saya rajin belajar maka Simbol: ∀ dibaca “untuk setiap/semua” saya akan naik kelas. Simbol: ∃ dibaca “sebagian/ada beberapa” 11
Bab 7 Trigonometri A. Perbandingan Trigonometri B. Rumus Sudut yang Berelasi a. Perbandingan Sisi Suatu Segitiga Siku-siku Pada tiap kuadran, nilai sin, cos, dan tan dapat bernilai positif atau negatif. Tabel di bawah ini • sin α = y menunjukkan tanda di setiap kuadran. r Kuadran • cos α= x Fungsi I II III IV 0o—90o 90o—180o 180o—270o 270o—360o r r y Sin + + – – • tan α = y x Cos + – – + x Tan + – + – • ctg α = x Hubungan dari sin, cos, dan tan pada masing- y masing kuadran adalah: a. Pada Kuadran I (0o—90o) • sec α = r sin (90o – ) = cos x cos (90o – ) = sin tan (90o – ) = cot • cosec α = r y b. Nilai Perbandingan Sudut-sudut Istimewa b. Pada Kuadran II (90o—180o) 45o 30o sin (180o – ) = sin 21 2 cos (180o – ) = –cos tan (180o – ) = –tan 2 45o 60o c. Pada Kuadran III (180o—270o) 1 1 sin (180o + ) = –sin x 0o 30o 45o 60o 90o cos (180o + ) = –cos tan (180o + ) = tan sin 0 1 12 13 1 2 2 2 cos 1 1 3 1 2 1 0 d. Pada Kuadran IV (270o—360o) 2 22 sin (360o – ) = –sin cos (360o – ) = cos tan 0 1 3 1 3∞ tan (360o – ) = –tan 3 Keterangan: ∞ = tidak terdefinisi (tak berhingga) 12
C. Rumus-Rumus Segitiga • tan 2A = 2tan A Dalam Trigonometri 1− tan2 A a. Hubungan Sin, Cos, dan Tan c. Perkalian Sinus dan Kosinus 1. sin x = tan x 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B) 2. cos x 2 cos A sin B = sin (A + B) – sin (A – B) 3. 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B) sin2x + cos2x = 1 –2 sin A sin B = cos (A + B) – cos (A – B) tan2 x + 1 = sec2x b. Pada Setiap Segitiga Sembarang Berlaku d. Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Kosinus A cb sin A + sin B = 2 sin A +B cos A −B 2 2 Ba C sin A – sin B = 2 cos A + B sin A −B 2 2 1. Aturan sinus cos A + cos B = 2 cos A + B cos A −B 2 2 a =b= c sin A sinB sinC cos A – cos B = A + B A − B 2. Aturan kosinus −2 sin 2 sin 2 • a2 = b2 + c2 − 2bc cos A E. Grafik Fungsi Trigonometri • b2 = a2 + c2 − 2ac cos B • c2 = a2 + b2 − 2abcos C 3. Luas segitiga ABC a. f(x) = A cos (kx + b) = A cosk x + b k 1 1 1 2 absinC = 2 bc sin A = 2 ac sinB b. f(x) = A sin (kx + b) = A sink x + b k D. Rumus-Rumus Trigonometri Untuk menggambar grafik fungsi y = f(x) a. Jumlah dan Selisih Dua Sudut = A cos k x + b atau y = A cosk x + b k k sin (A + B) = sin A cos B + cosA sinB gunakan langkah-langkah sebagai berikut: sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B 1. Gambar grafik y = cosx atau y =sin x cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B 2. Kalikan semua ordinatnya (y) dengan k tan (A + B) = tan A + tanB 3. Geser grafik ke kiri sejauh b jika b 1− tan A tanB kk tan (A – B) = tan A − tanB positif, dan geser grafik ke kanan sejauh b jika b negatif. 1+ tan A tanB kk b. Sudut Rangkap atau Kembar 4. Periode grafik adalah 2π k • sin 2A = 2 sin A cos A • cos 2A = cos2A – sin2 A = 2 cos2 A – 1 = 1 – 2sin2 A 13
F. Persamaan dan 3. Persamaan yang dapat diubah ke bentuk Pertidaksamaan persamaan kuadrat Trigonometri Contoh: a. Persamaan Trigonometri cos2 x + 3cos x − 4 = 0 1. Persamaan dasar Misalkan, cos x = p maka persamaan di sin x = sin a x = a + k.2π atas menjadi: x = (π − a) + k.2π p2 + 3p – 4 = 0 cos x = cos a → x = ±a + k ⋅ 2π Kemudian selesaikan seperti penyelesaian tan x = tan a → x = a + kπ persamaan kuadrat. 2. Persamaan yang diselesaikan dengan 4. Bentuk persamaan asin x + bcos x = c faktorisasi dapat diubah menjadi dengan syarat Contoh: a2 + b2 ≥ c2 , di mana: sin 2x + cos x = 0 2 sin x cos x + cos x = 0 k = a2 + b2 dan tan a = a . cos x (2 sin x + 1) = 0 cos x = 0 atau 2 sin x + 1 = 0 b 2 sin x = –1 b. Pertidaksamaan Trigonometri sin x = − 1 2 Pertidaksamaan trigonometri dapat diselesaikan dengan: a. Menggambar grafiknya. b. Menggunakan garis bilangan seperti per tidaks amaan biasa. c. Untuk soal-soal pilihan ganda bisa dilakukan cara uji pilihan ganda. 14
Bab 8 Dimensi Tiga A. Pengertian Titik, Garis, dan 3. Dua garis sejajar. Bidang pada Bangun Ruang Contoh: Garis sejajar AB dan CD membentuk bidang • Titik adalah sebuah noktah. Contoh: titik A ( • A). ABCD. AC • G a r i s l u r u s d i l u k i s k a n d e n g a n menghubungkan dua buah titik. BD 4. Dua garis yang berpotongan. Contoh: Contoh: Garis AB menghubungkan titik A dan titik B. Garis AB dan CD berpotongan membentuk AB bidang AOD atau COB. • Bidang datar dapat dilukiskan dengan unsur- CB unsur berikut ini: O 1. Sebuah garis lurus dan sebuah titik di D A luar garis. • Bangun ruang tersusun atas bidang- Contoh: bidang yang membentuk ruangan, seperti kubus, balok, prisma, limas, dan Garis AB dengan titik C membentuk lain sebagainya. • Garis dikatakan tegak lurus dengan bidang bidang ABC. B jika garis tersebut membentuk sudut 900 terhadap dua garis pada suatu bidang. B. Irisan Bangun Ruang •C A Irisan bidang a dengan bangun ruang adalah bidang datar yang dibatasi oleh garis potong-garis 2. Tiga buah titik yang tidak terletak potong bidang a dengan sisi-sisi bangun ruang tersebut. segaris. Contoh: Titik A, B, dan C membentuk bidang ABC. •C A• • B 15
Irisan bidang dapat digambarkan dengan cara b. Proyeksi Titik pada Bidang menggambarkan sumbu afinitas. A Sumbu afinitas adalah garis potong antara bidang irisan dengan alas bagian ruang yang diirisnya. T B P Q• Titik B = proyeksi titik A pada bidang a (AB • tegak lurus bidang a). C A •R c. Proyeksi Garis pada Bidang 1. Garis g menembus bidang a B A g Pada gambar di atas, diketahui limas T.ABC. Titik B P pada rusuk TA, titik Q pada bidang ACT, dan titik A′ R pada rusuk BC. Lukis garis potong-garis potong bidang yang melalui P, Q, R dengan sisi limas. Garis AB menembus bidang a dititik B. Titik Langkah-langkah: A' = proyeksi titik A pada bidang a. Proyeksi 1. Tarik garis PQ sehingga memotong rusuk TC garis AB ke bidang a adalah BA'. di K dan memotong rusuk perpanjangan AC 2. Garis g sejajar bidang a di L. A Bg 2. Hubungkan L dengan R sehingga memotong BC dan AB di R dan M. A′ B′ 3. Hubungkan K ke R dan P ke M sehingga terlukis bidang PKRM. Garis AB sejajar bidang a. Titik A' dan B' Garis potong-garis potongnya adalah PK, KR, = proyeksi titik A dan B pada bidang a. RM, MP. Proyeksi garis AB ke bidang a adalah A'B'. T P Q K • C • • L B A R M D. Jarak Dalam Bangun Ruang Garis LRM disebut sumbu afinitas. 1. Jarak titik A ke titik B adalah panjang ruas garis AB, dihitung dengan menggunakan rumus: C. Proyeksi A B a. Proyeksi Titik pada Garis A (x1,y1) (x2,y2) Titik B = proyeksi titik A pada garis g. Jarak AB = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 Bg 2. Jarak antara titik A ke garis g adalah panjang garis AA', di mana A' adalah proyeksi titik A ke garis g. 16
A 2. Sudut antara garis dengan bidang. Sudut antara garis g dengan bidang U adalah sudut a yang dibentuk antara garis g dengan A' g proyeksi garis g, yaitu g' pada bidang U. g 3. Jarak antara titik A ke bidang a adalah panjang ruas garis AA', di mana A' adalah g′ proyeksi titik ke bidang a. U A A′ 3. Sudut antara bidang dengan bidang Sudut antara bidang U dengan bidang V E. Sudut Dalam Bangun Ruang adalah sudut a yang dibentuk oleh m dan n 1. Sudut antara dua garis yang bersilangan masing-masing pada bidang U dan V. Garis Buatlah garis h' yang sejajar dengan garis h m dan n tersebut tegak lurus dengan garis potong antara bidang U dan V. dan memotong garis g maka terbentuk sudut a, yaitu sudut antara perpotongan garis g n dengan h'. V m U g g h′ hh 17
Bab 9 Statistika A. Pengertian Me = Xn+1 Statistika adalah salah satu cabang dari matematika 2 yang berkaitan dengan cara pengumpulan data, penyusunan data, penyajian data, dan pengolahan Untuk jumlah data (n) ganjil data, kemudian hasilnya dapat digunakan untuk pengambilan keputusan atau kesimpulan sesuai Me = 1 X + X karakteristik data tersebut. 2 n n +1 2 2 Untuk jumlah data (n) genap B. Rumus Untuk Data Tunggal 4. Kuartil (Q) adalah nilai data yang membagi sekelompok data menjadi 4 bagian sama Misalkan, diketahui data-data sebagai berikut: x1, banyak. Kuartil data terdiri atas kuatil bawah x2, x3, x4, x5, ......, xn maka: (Q1), kuartil tengah (Q2), dan kuartil atas (Q3). 1. Mean (rataan hitung) = x Di mana kuartil tengah (Q2 ) = Median (Me). n 5. Jangkauan (J) adalah nilai data terbesar ∑x = x1 + x2 + x3 + ......... + xn = dikurangi nilai data terkecil. xi i=1 nn atau J = Xn – X1 6. Jangkauan antarkuartil n ∑∑x = f1x1 + f2x2 + f3x3 + ......... + fnxn = fixi H = Q3 – Q1 f1 + f2 + f3 + ....... + fn i=1 7. Jangkauan semi interkuartil atau simpangan n kuartil (Qd) fi i=1 2. Modus (Mo) adalah nilai data yang paling Qd = 1 (Q3 − Q1 ) banyak muncul (data yang frekuensinya 2 terbesar). 8. Simpangan rata-rata 3. Median (Me) adalah nilai tengah data setelah data disusun dari yang terkecil hingga ∑SR = 1 n xi − x terbesar. n i=1 Median membagi data tersusun menjadi dua bagian sama banyak. 18
9. Ragam atau variansi c. Kuartil (Qn) ∑S2 =1 n 2 n n i=1 ∑ xi − x Qn = 4 f − fkn , dimana n = 1, 2, 3 p fQn tb + 10. Simpangan baku ∑S = 1 n 2 Keterangan: S2 = n i=1 xi − x Untuk n = 2, berarti rumus Q2 = median tb = tepi bawah kelas kuartil ke-n (Qn) C. Rumus Untuk Data p = panjang interval kelas Kelompok ∑f = jumlah frekuensi a. Mean atau Rataan Hitung fkn = frekuensi kumulatif sebelum kelas Qn fQn = frekuensi kelas Qn n ∑ fidi x = xs + i=1 D. Perubahan Data n ∑ fi i=1 Jika terjadi perubahan pada data tunggal dengan nilai perubahan sama untuk setiap data maka Keterangan: perubahannya adalah: xs = rataan sementara (nilai dari salah satu Setiap nilai data di: Bagi P Statistik titik tengah interval kelas) Tambah p Kurangi p Kali p xi = titik tengah interval kelas data ke-i di = xi − xs x x' = x +p x' = x −p x' =p x x' = x:p xi = frekuensi kelas ke-i M0 MM00+' =p M0' = M0 – p MM00' = p M0 '= M0 : p b. Modus (Mo) Q Q' = Q + p Q' = Q – p Q' = Q' = Q : p pQ Mo = tb + p d1 J J' = J J' = J J' = p.J J' = J : p + d2 d1 SR SR' = SR SR' = SR SR' = SR' = SR : p p.SR Di mana: Qd Qd' =Qd Qd' =Qd Qd' Qd' = Qd d1 = f0 – f–1 d2 = f0 – f+1 =p.Qd : p Keterangan: S S' = S S' = S S' = p.S S' = S : p tb = tepi bawah kelas modus data Keterangan: p = panjang interval kelas x : rata-rata Mo : modus f–1 = frekuensi kelas data sebelum kelas modus Q : kuartil fo = frekuensi kelas modus J : jangkauan f+1 = frekuensi kelas data setelah kelas modus SR : simpangan rata-rata Qd : simpangan kuartil S : simpangan baku 19
Bab 10 Peluang A. Kaidah Pencacahan Jawab: a. Aturan Pengisian Tempat P34 = (4 4! = 24 cara Jika suatu kejadian dapat terjadi dalam p − 3)! cara berlainan dan kejadian berikutnya dapat Jenis-jenis permutasi, antara lain: terjadi dalam q cara berlainan maka kedua 1. Permutasi yang memuat beberapa unsur kejadian tersebut dapat terjadi dalam (p x q) yang sama cara. Jika ada beberapa susunan n unsur dengan n1 unsur sama, n2 unsur sama, b. Notasi Faktorial dan seterusnya maka: Perkalian bilangan asli yang pertama disebut P = n! cara faktorial (!). n1! × n2 ! × .... n! dibaca “n faktorial” 2. Permutasi siklis (melingar) n! = n × (n − 1) × (n − 3) × ......3 × 2 ×1 Jika tersedia n unsur yang berbeda maka Contoh: banyaknya permutasi siklis dari n unsur 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 tersebut adalah: 1! = 1 0! = 1 P(siklis) = (n − 1)! cara c. Permutasi B. Kombinasi (C) Banyak permutasi (susunan yang Banyak kombinasi (susunan acak) k unsur dari n memerhatikan urutan) k unsur dari n unsur unsur yang tersedia adalah: adalah: P(n,k) = = n! , dimana n≥k C(n,k) = Cnk = n! dimana (n − k)! (n − k)!k! n≥k Contoh: Ada berapa cara 4 orang duduk berjajar pada tiga kursi yang disediakan? 20
C. Teorema Binomial Newton E. Peluang Kejadian Majemuk (a + b)n = C(n,0)an + C(n,1)an−1b + a. Peluang Gabungan Dua Kejadian C(n,2)an−2b2 + ... + C(n,n)bn Misalkan, A dan B adalah dua kejadian yang Contoh: terdapat dalam ruang sampel S maka peluang gabungan dua kejadiannya dituliskan sebagai (x + y)4 = 1.x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + 1.y4 berikut: D. Peluang Suatu Kejadian P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) a. Menghitung Peluang Suatu Kejadian Keterangan: Peluang suatu kejadian A dirumuskan sebagai P(A) = peluang kejadian A P(B) = peluang kejadian B berikut: P(A ∪ B ) = peluang kejadian A atau B P(A) = k = n(A) P(A ∩ B ) = peluang kejadian A dan B s n(S) b. Peluang Gabungan Dua Kejadian yang Saling Lepas Keterangan: k = hasil kejadian A Peluang dua kejadian A dan B yang saling s = seluruh hasil yang mungkin terjadi lepas dituliskan sebagai berikut: n(A) = banyak anggota himpunan A n(S) = banyak anggota himpunan ruang P(A ∪ B ) = P(A) + P(B) sampel n = banyaknya percobaan c. Peluang Gabungan Dua Kejadian yang P(A) = peluang kejadian A Saling Bebas b. Kisaran Nilai Peluang Kejadian A dan B disebut saling bebas jika dan Nilai peluang berkisar antara 0 ≤ P(A) ≤ 1. hanya jika: Untuk P(A) = 1, artinya kejadian A pasti terjadi, P(A ∩ B ) = P(A).P(B) sedangkan P(A) = 0, artinya kejadian A tidak mungkin terjadi. d. Peluang Komplemen Suatu Kejadian c. Frekuensi Harapan Kejadian a (fh(a)) Jika diketahui kejadian A maka komplemen fh(a) = P(A) x N kejadian A dinotasikan dengan Ac dan peluang dari Ac ditulis P(Ac) dan dirumuskan sebagai Keterangan: berikut: fh(a) = frekuensi harapan kejadian a N = banyak percobaan P(Ac) = 1 – P(A) P(A) = peluang kejadian A Keterangan: 21 P(Ac) = peluang kejadian komplemen A P(A) = peluang kejadian A
e. Kejadian Bersyarat Peluang munculnya kejadian A dengan syarat kejadian B muncul adalah: P A B = P(A ∩ B) atau P(B) P(A ∩ B) = P(B) × P A B dengan P(B) ≠ 0. Analog dengan rumus di atas diperoleh: P B A = P(A ∩ B) atau P(A) P(A ∩ B) = P(A) × P B A dengan P(A) ≠ 0. Keterangan: P A B = peluang kejadian A setelah kejadian B P(A ∩ B) = peluang kejadian A dan B P(A) = peluang kejadian A P(B) = peluang kejadian B 22
Bab 11 Lingkaran A. Persamaan Lingkaran 4. Bentuk umum persamaan lingkaran adalah x2 1. Persamaan lingkaran yang berpusat di O (0, + y2 + Ax + By + C = 0 berpusat di − 1 A, − 1 B 0) dengan jari-jari r adalah: 2 2 dengan jari-jari: y x2 + y2 = r2 r= 1 A 2 + 1 B 2 − C 2 2 r B. Jari-Jari Lingkaran ox Untuk memperjelas pengertian lingkaran perhati kan gambar di bawah ini: 2. Persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b) y dengan jari-jari r adalah: P (a . b) I (x _ a)2 + (y _ b)2 = r2 y r x r r II (a,b) P (a . b) x 3. Persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b) y men yinggung garis mx + ny + p = 0 Garis Px + Qy + R = 0 Y r III Garis mx + ny + p = 0 (a,b) r (a , b) x X (I) Lingkaran I: Menyinggung sumbu x maka r = b (x – a)2 + (y – b)2 = r2 dengan r = am + bn + p (II) Lingkaran II: m2 + n2 Menyinggung sumbu y maka r = a 23
(III) Jika lingkaran berpusat di (a,b) Contoh: Menyinggung garis Px + Qy + R = 0 maka Garis : y = mx + n... (1) Lingkaran : x2 + y2 + Ax + Bx + C = 0... (2) r = P.a + Q.b + R Persamaan (1) disubstitusikan ke persamaan (2) diperoleh: P2 + Q2 x2 + (mx + n)2 + Ax + B(mx + n) + C = 0 (1+ m2)x2 + (2mn + a + mB)x + (n2 + Bn + C. Kedudukan Titik Terhadap C) = 0... (3) Lingkaran Persamaan (3) adalah persamaan kuadrat sehingga hubungan garis dan lingkaran Jika persamaan lingkaran adalah x2 + y2 + Ax + By + dapat ditentukan nilai diskriminannya (D), C = 0 maka kuasa titik P(x1, y1) terhadap lingkaran yaitu: adalah: D = (2mn + a + mB)2 – 4(1 + m2)(n2 + Bn + C) K = x12 + y12 + Ax1 + By1 + C Kedudukan garis terhadap lingkaran ditentukan sebagai berikut: 1. Titik P (x1, y1) terletak di luar lingkaran maka K > 0. 1. Garis memotong lingkaran di dua titik berlainan apab ila nilai diskriminannya lebih 2. Titik P (x1, y1) terletak pada lingkaran maka K dari nol (D > 0). = 0. y 3. Titik P (x1, y1) terletak di dalam lingkaran maka x K < 0. 2. Garis menyinggung lingkaran/memotong di D. Kedudukan Garis Terhadap satu titik apabila diskriminan hasil substitusi Lingkaran bernilai nol (D = 0). Jarak garis ax + by + c = 0 ke pusat ling-karan Kedudukan garis ax + by + c = 0 terhadap P (x1, y1) dirumuskan dengan: persamaan lingkaran: • x2 + y2 = r2 ax1 + by1 + c • (x – a)2 + (y – b)2 = r2 a2 b2 • x2 + y2 + Ax + By + C = 0 y Ditentukan sebagai berikut: 1. Nyatakan x dalam y atau y dalam x dari ax + by + c = 0 persamaan garis ax + by + c = 0. d 2. Substitusikan x atau y ke persamaan lingkaran P(x1,y1) sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam x atau y. x 3. Tentukan diskriminan D dari persamaan kuadrat tersebut. 24
3. Garis tidak memotong lingkaran maka 2. Jika persamaan lingkaran diskriminan substitusi kurang dari nol 0 (D < 0). (x − a)2 + (y − b)2 = r2 maka persamaan garis singgungnya adalah: y (x − a)(x1 − a) + (y − b)(y1 − b) = r2 x 3. Jika persamaan lingkaran E. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui Sebuah x2 + y2 + Ax + By + C =0maka Titik pada Lingkaran persamaan garis singgungnya adalah: a. Persamaan Garis Singgung di Titik (x1, y1) pada Lingkaran xx1 + yy1 + A x + x1 + B y + y1 + C = 0 1. Jika persamaan lingkaran x2 + y2 = r2 2 2 maka persamaan garis singgungnya adalah xx1 + yy1 = r2 b. Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m pada Lingkaran 1. x2 + y2 = r2 adalah y = mx ± r m2 + 1 2. (x − a)2 + (y − b)2 = r2 adalah: y − b = m(x − a) ± r m2 + 1 3. x2 + y2 + Ax + By + C = 0 adalah: ( )y + 1 B = m(x + 1 A) ± r m2 + 1 22 25
Bab 12 Suku Banyak (Polinomial) A. Pengertian dan Bentuk Suku x2 − 3x − 4 polinom yang dibagi {f(x)} Banyak x−5 f(x) = anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + .... x + 2 x2 − 3x − 4 +a2x2 + a1x1 + a0 x2 + 2x − − 5x − 4 • Bentuk di atas dinamakan suku banyak −5x − 10 − (polinom) berderajat n, bervariabel x, dan n bilangan cacah. 6 • Derajatpolinomditentukanpangkattertinggi(n). Jadi, x – 5 adalah hasil bagi {h(x)} dan 6 adalah • an, an – 1,..., an – 2 disebut koefisien dari xn, xn sisa pembagian {s(x)} –1,..., xn – 2 Cara 2: Metode sintetik Horner Contoh: Koefesien suku-suku dituliskan sebagai berikut: f(x) = x3 − 7x2 + 4x − 6 merupakan polinom koefisien-koefisien f(x) berderajat 3 dengan: • Koefisien x3 adalah 1 x = –2 1 –3 –4 • Koefisien x2 adalah –7 P(x) • Koefisien x adalah 4 _2 10 • Suku tetapnya adalah –6 x + B. Pembagian Suku Banyak 1 –5 6 Jika suatu suku banyak dibagi dengan suku banyak koefisien h(x) s(x) lain yang lebih rendah derajatnya atau sama derajatnya akan memberikan sisa pembagian. Jika Langkah-langkah: sisa pembagian 0, berarti suku banyak pembaginya 1. Menuliskan koefisien xn dari suku banyak, adalah faktor dari suku banyak yang dibagi. yaitu 1, –3, dan –4. Contoh: 2. Menjumlahkan koefisien dimulai dari Berapakah hasil x2 – 3x – 4 dibagi x + 2? Cara 1: Pembagian biasa koefisien paling kiri ke bawah (hasilnya 1). x + 2 polinom pembagi {P(x)} 3. Melakukan operasi pada tanda panah, artinya 1 x (–2) = –2 dan jumlahkan ke bawah lagi. 4. Mengulang langkah ke-3 pada koefisien berikutnya. 5. Maka x – 5 adalah hasil pembagian {h(x)} dan 6 adalah sisa pembagian {s(x)}. 26
C. Teorema Sisa 1. Nilai x yang memenuhi f (x) = 0 adalah akar- akar atau penyelesaian dari suku banyak • Jika suatu suku banyak f(x) dibagi P(x) akan tersebut. diperoleh hasil bagi H(x) dan sisa S(x) dapat dirumuskan sebagai berikut: 2. Untuk mencari akar-akar suku banyak dapat digunak an cara, yaitu: f(x) = P(x).H(x) + S(x) • Cara faktorisasi (derajat 2) • Cara Horner (derajat 3 atau lebih) Sehingga jika suku banyak f(x) dibagi (x – n) maka nilai sisanya S(n) sama dengan nilai f(n). a. Fungsi Berderajat Dua ax2 + bx + c = 0 • Jika f (x) suku banyak dibagi dengan a(x − x1)(x − x2 ) = 0 (ax + b) maka sisanya adalah f − b . = − b a a x1 + x2 • Jika f(x) suku banyak dibagi oleh ax2 + bx x1 ⋅ x2 = c + c maka sisanya px + q. a • Jika f(x) suku banyak dibagi oleh (x – a) b. Fungsi Berderajat Tiga (x – b) maka sisanya dapat dicari dengan rumus: ax3 + bx2 + cx + d = 0 Sisa = (x − a) ⋅ f(b) + (x − b) ⋅ f(a) a(x − x1)(x − x2 )(x − x3 ) = 0 (b − a) (a − b) x1 + x2 + x3 = − b a D. Teorema Faktor x1x2 + x1x3 + x2x3 = c • Jika suku banyak dibagi oleh bentuk faktornya a maka sisa pembagiannya adalah nol. x1 ⋅ x2 ⋅ x3 = − d Sehingga, jika suku banyak f(x) dibagi (x – n), a di mana (x – n) adalah faktor dari f(x) maka nilai sisanya sama dengan nilai f(n) = 0. c. Fungsi Berderajat Empat • Jika pada suku banyak f(x) berlaku f(a) = 0 dan ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 f(b) = 0 maka f(x) habis dibagi (x – a). (x – b). a(x − x1)(x − x2 )(x − x3 )(x − x4 ) = 0 • Jika (x – n) adalah faktor dari f(x) maka x = n x1 + x2 + x3 + x4 = − b adalah akar dari f(x). a E. Akar-Akar Suku Banyak x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 = c a Perhatikan suku banyak berderajat n di bawah ini: x1x2x3 + x1x 3 x 4 + x2x3x4 + x1.x2.x4 = − d a anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + x1 ⋅ x2 ⋅ x3 ⋅ x4 = e .... + a2x2 + a1x1 + a0 = 0 a 27
Bab 13 Fungsi Komposisi dan Invers A. Definisi Fungsi Notasi komposisi fungsi sebagai berikut: Fungsi f atau pemetaan f dari himpunan A ke Af Bg C himpunan B adalah suatu relasi khusus yang mem asangkan setiap elemen dari himpunan A xy z (domain) dengan tepat pada satu elemen dari himpunan B (kodomain). h B. Domain dan Range Fungsi x ∈ A, y ∈B, dan z ∈ C f(x) = y, g(y) = z, dan h(x) = z • Daerah asal (domain) fungsi y = f (x) adalah h(x) = g(f(x)) = g f(x) nilai-nilai x supaya y = f (x) ada nilainya g f(x) dibaca “Komposisi fungsi f dilanjutkan (terdefinisi). dengan fungsi g”. • Anggota x disebut domain (daerah asal) dan y disebut range (daerah hasil). D. Sifat Komposisi Fungsi • Syarat domain agar fungsi di bawah ini Jika f, g, dan h suatu fungsi maka berlaku: terdefinisi adalah: 1 . g f ≠ f g 1. y = f(x) → syaratnya: f(x) ≥ 0 2. f I = I f = f, I(x) = x → fungsi identitas 2. y = f(x) → syaratnya: g(x) ≠ 0 3. (f g) h = f (g h) g(x) E. Fungsi Invers 3. y = a logb → syaratnya a > 0 dan a ≠ 1, b > 0 A fB 4. y = f(x) → syaratnya f(x) ≥ 0 xy g(x) g(x) f–1 dan g(x) ≠ 0 1. Jika x anggota A (x ∈ A) dan y anggota B (y ∈B) maka: C. Komposisi Fungsi Fungsi f: A → B, sedangkan invers fungsi f ditulis f –1 : B → A. Komposisi fungsi adalah pemetaan dua fungsi (lebih) secara berturutan. 28
2. Jika f(x) = y maka f –1 (y) = x 3. Fungsi f mempunyai fungsi invers jika f korespondensi (berpasangan) satu-satu. 4. Sifat fungsi invers: • f f −1 = f −1 f = I = x • (g f )−1 = f −1 g−1 Rumus Ringkas Beberapa Fungsi Invers: 1. f(x) = ax + b → f-1(x) = x − b a 2. f(x) = 1 x − b → f-1(x) = (x + b)a a 3. f(x) = ax + b → f-1(x) = x2 − b a 4. f(x) = ax + b → f–1(x) = −dx + b cx + d cx − a 5. f(x) = ax2 − b → f-1(x) = ± x + b a 6. f(x) = ax2 + bx + c f-1(x) = −b ± 4ax + D 2a 7. f(x) = a log nx → f–1(x) = 1.ax n 8. f(x) = anx → f–1(x) = 1. a log x n 29
Bab 14 Limit Fungsi A. Pengertian Limit 1. Jika nilai f (a) tertentu, yaitu: Limit suatu fungsi f(x) untuk x mendekati a adalah k, c , c , k , dan k L, ditulis: ∞ aa∞ lim f(x) = L 2. Jika f (a) adalah nilai tak tentu, yaitu: c , x→a L adalah nilai pendekatan suatu fungsi untuk x ∞ , dan ∞−∞ maka a disekitar a. ∞ f(x) harus diubah ke dalam bentuk tertentu. B. Teorema Limit b. Mengubah Bentuk Tak Tentu Menjadi Bentuk Tertentu 1 . limb = b , b adalah konstanta 1. Bentuk tak tentu: x→a 0 2. lim (bx + c) = ab + c lim f(x) = 0 x→a x→a 3 . lim{f(x) ± g(x)} = lim f(x) ± lim g(x) x→a x→a x→a Dapat diselesaikan dengan tiga cara, 4 . lim{f(x) ⋅ g(x)} = lim f(x) ⋅ lim g(x) yaitu: x→a x→a x→a q Faktorisasi q Kali sekawan (jika bentuk akar) 5 . lim c ⋅ f(x) = c ⋅ lim f(x) q Dalil L’Hospital (turunan limit) x→a x→a 6. Jika lim 1 = L maka: x→a g(x) lim g(x) = 1 . Syarat: L ≠ 0 lim f (x) = lim f '(x) x→a L 7. lim f(x) = lim f(x) , dengan g(x) ≠ 0 x→a x→a x→a x→a g(x) lim g(x) x→a Jika f(x) dan g(x) suatu suku banyak maka 2. Bentuk tak tentu: lim f(x) = f(a) dengan g(a) ≠ 0. lim f (x) = ∞ x→a g(x) g(a) x→a ∞ C. Penyelesaian Limit Dapat diselesaikan dengan dua cara, yaitu: q Membagi pembilang dan penyebut a. Penyelesaian Umum Limit Fungsi dengan x pangkat tertinggi. Penyelesaian umum limit fungsi lim f(x) x→a adalah sebagai berikut: 30
q Rumus: Rumus limit fungsi trigonometri adalah: m > n,hasiln ya = ∞ 1. lim sin x = 1 7. lim tan x =1 x axm +d m a x→0 x→0 x bxn +c b lim = n,hasiln ya = 2. lim x = 1 8. lim x =1 sin x→∞ x→0 x→0 tan x m < n,hasiln ya = 0 x 3. lim ax =a 9. lim sinbx =b sinbx ax x→0 b x→0 a 3. Bentuk tak tentu: 4. lim ax =a 10. lim tan bx = b lim f (x) = ∞ − ∞ x→0 tan bx b x→0 ax a x→a 5. lim tan ax = a 11. lim tan ax = a x→0 sin bx b x→0 tan bx b Pada umumnya berbentuk: 6. lim tan ax = a 12. lim sin bx = b lim ax2 + bx + c − px2 + qx + r x→0 sin bx b x→0 tan ax a x→∞ Jika terdapat fungsi cos maka diubah terlebih dahulu menjadi: Dapat diselesaikan dengan cara, yaitu: q Kalikan dengan akar sekawan, cos x = 1 – 2sin2 1 x atau selanjutnya membagi pembilang dengan penyebut dengan x pangkat 2 tertinggi. q Gunakan konsep jitu, yaitu: cos2 x = 1 – sin2 x Hasil limitnya = b − p , jika a = p Rumus trigonometri yang sering digunakan untuk menguraikan soal limit, yaitu: 2a 1. sin2 x + cos2 x = 1 Hasil limitnya = −∞ , jika a < p Hasil limitnya = ∞ , jika a > p 2. cos x = sin π − x 2 D. Penyelesaian Limit Fungsi 3. sin x = cos π − x Trigonometri 2 Untuk limit fungsi trigonometri digunakan 4. sin 2x = 2 sin x cos x beberapa cara, yaitu: 1. Rumus dasar limit trigonometri 5. 1 – cos 2x = 2sin2 x 6. sin A + sin B = 2sin 1 (A + B)cos 1 (A − B) 22 7. sin A – sin B = 2cos 1 (A + B)sin 1 (A − B) 22 lim sinax = lim ax = a 8. cos A + cos B = 2 cos 1 (A + B)cos 1 (A − B) x→0 bx b 2 2 x→0 sinbx lim tan ax = lim ax = a 9. cos A – cos B = −2 sin 1 (A + B) sin 1 (A − B) bx x→0 tanbx b 2 2 x→0 2. Jika fungsinya mudah diturunkan maka guna kan dalil L’ Hospital (turunan limit). 31
Bab 15 Turunan Fungsi A. Definisi Turunan C. Rumus Turunan Fungsi Turunan pertama fungsi y terhadap x didefinisikan a. Turunan Fungsi Aljabar sebagai: f(x) = c → f '(x) = 0 y' = f ' (x) = dy = lim f(x + h) − f(x) f(x) = xn → f '(x) = nxn – 1 dx f(x) = axn → f '(x) = anxn – 1 h→0 h f(x) = ln x → f '(x) = 1 Nilai fungsi turunan f ' untuk x = a adalah x f '(a) = lim f(a + h) − f(a) h→0 h b. Turunan Fungsi Trigonometri B. Sifat-Sifat Turunan Fungsi f(x) = sin x → f '(x) = cos x f(x) = cos x → f '(x) = –sin x Untuk U = g(x), V = h (x), dan c = konstanta maka f(x) = tan x → f '(x) = sec2 x berlaku: f(x) = cot x → f '(x) = –cosec2 x f(x) = sec x → f ‘(x) = sec x tan x f(x) = cosec x → f ‘(x) = –cosec xcot x y=c → y ' = 0 Untuk U = U (x), dapat dirumuskan menjadi: f(x) = sin u → f '(x) = u' cos u y = c.V → y ' = c.V ' f(x) = cos u → f '(x) = –u' sin u f(x) = tan u → f '(x) = u' sec2 u y = U ± V → y ' = U'± V ' f(x) = cot u → f '(x) = –u' cosec2 u f(x) = sinn u → f '(x) = n.sinn – 1 u. (u' cos u) y = U.V → y ' = U'.V + U.V ' f(x) = cosn u → f '(x)= –n.cosn – 1 u. (u' sin u) y=U → y' = U'.V − U.V ' D. Aplikasi Turunan V2 V a. Menentukan Gradien Garis Singgung Kurva g y = Un → y ' = n.Un−1.U' (x1,y1) f(x) 32
Titik (x1,y1) adalah titik singgung garis g 3. Titik belok horizontal dengan kurva y = f (x). Syarat: f '(x) = 0 dan f ''(x) = 0 Gradien (kemiringan) garis singgung kurva y = d. Menyelesaikan Soal-Soal Terapan f (x) adalah m = f '(x1) maka persamaan garis singgungnya: y – y1 = m (x – x1) Langkah-langkah menentukan maksimum dan minimum dalam soal-soal terapan. b. Menentukan Interval Fungsi Naik dan 1. Tuliskan rumus apa yang maksimum atau Fungsi Turun minimum dalam soal tersebut. 2. Jika rumus maksimum dan minimum Fungsi akan naik jika f '(x) > 0 dan fungsi akan tersebut lebih dari satu variabel maka turun jika f '(x) < 0. jadikan satu variabel dengan persamaan lain. c. Menentukan Titik Stasioner 3. Tentukan kondisi stasioner fungsi 4. Jawablah yang ditanyakan soal. Fungsi y = f(x) mengalami stasioner jika f '(x) = 0 dan terdapat titik-titik stasioner. Jenis-jenis titik stasioner: 1. Titik balik maksimum Syarat: f '(x) = 0 dan f ''(x) < 0 2. Titik balik minimum Syarat: f '(x) = 0 dan f ''(x) > 0 33
Bab 16 Integral A. Definisi dan Sifat-Sifat B. Integral Fungsi Aljabar dan Integral eksponen Integral fungsi merupakan kebalikan dari turunan ∫1. dx = x + C (antidifferensial). f ( x ) Differensial f '(x) ∫2. xndx = 1 xn+1 + C Integral n+1 Jenis-jenis integral, antara lain: ∫3. axndx = 1 axn+1 + C a. Integral tak tentu n+1 4. ∫ k dx = kx + c ∫ f '(x) dx = f(x) + c 5. ∫ 1 dx = ln x + c x b. Integral tertentu ∫6. ax dx = ax + c b ln a ∫f '(x)dx = f(x) b = f(b) − f(a) ∫7. ex dx = ex + C a a Sifat-sifat integral, yaitu: ∫ ∫1. k.f(x)dx = k f(x)dx C. Rumus Integral Tak Tentu ∫ ∫ ∫2. {f(x) ± g(x)}dx = f(x)dx ± g(x)dx Fungsi Trigonometri ba a. Integral dengan Variabel Sudut x dan Sudut ax ∫ ∫3. f(x)dx = − f(x)dx ab ∫1. sin x dx = −cos x + C a ∫2. cos x dx = sin x + C ∫3. sin ax dx = − 1 cos ax + C 4. ∫ f(x) dx = 0 a a bb ∫4. cos ax dx = 1 sin ax + C a 5. ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx aa ∫5. sec2 xdx = tan x + C pb b 34 6. ∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx = ∫ f(x) dx ap a b bb 7. ∫[f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx a aa
b. Integral dengan Bentuk Pangkat Contoh: ∫1. sinn x ⋅ cos x dx = 1 sinn+1 x + C ∫• (ax + n = 1 1) (ax + )b n+1 + C n+1 b) dx a(n + ∫2. cosn x ⋅ sin x dx = − 1 cosn+1 x + C • ∫ sin(ax + b)dx = − 1 cos(ax + b) + C n+1 a 3. ∫ ∫cosn x dx = cosn−1 x ⋅ cos x dx, jika n ganjil ∫• cos(ax + b)dx = 1 sin(ax b) C a 4. ∫ ∫cosn x dx = cosn−1 x ⋅ cos x dx, jika n ganjil + + n sinn xdx = (sin2 x)2 dx, jika n genap ∫ ∫5. ∫• sec2(ax + b)dx = 1 tan(ax + b) + C n a cosn x dx = (cos2 x)2 dx, jika n genap ∫ ∫6. b. Teknik Parsial D. Integral Tertentu Teknik parsial biasanya digunakan untuk mencari integral suatu fungsi yang tidak dapat • Integral tertentu adalah integral yang dicari menggunakan teknik substitusi. memiliki nilai batas-batas tertentu. Jika u = f(x) dan v = g(x) maka berlaku rumus: • Jika f(x) adalah fungsi kontinu dan terdefinisi pada interval a ≤ x ≤ b maka integral tertentu ∫ ∫u.dv = u.v − v.du f(x) terhadap x dari x = a sampai x = b dirumuskan oleh: F. Aplikasi Integral b a Menghitung Luas daerah ∫ f(x)dx = F(x)ba = F(b) – F(a) Luas daerah yang dibatasi kurva dan sumbu a x: Keterangan: Y F(x) : Hasil integral a : Batas bawah y = f(x) b b : Batas atas X ∫L = f(x) dx E. Teknik Integral a a. Teknik Substitusi x=a x=b Misalkan, u = g(x) dengan g(x) merupakan Y X fungsi yang mempunyai turunan maka: x=a x=b ∫ f (g(x)).g'(x)dx y = f(x) bb Dapat diubah menjadi: L = −∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx aa ∫ f(u).du Luas daerah yang dibatasi dua buah kurva Jika F(u) adalah anti-urunan dari f(u) maka terhadap batas sumbu x: dapat dituliskan: Y ∫ ∫ f(g(x)).g'(x)dx = f(u)du = F(u) + c y1 = f1(x) x=a y2 = f2(x) X x=b 35
bb Volume benda putar terhadap sumbu y L = (y1 − y2 ) dx = [f1(x) − f2(x)] dx Y aa x = f(y) ∫ ∫ b L uas daerah yang dibatasi kurva dan sumbu y: b V = π∫ (f(y))2 dx Y a y=d x = f(y) d a y=c X L = ∫ f(y) dy c Volume daerah yang dibatasi dua buah kurva terhadap batas sumbu x: x = f(y) Y X y X y=d dd y=c L = −∫ f(y)dy = ∫ f(y)dy cc b. Menghitung Volume Benda Putar y1= f(x) x Volume benda putar terhadap sumbu x y2= g(x) ab Y b y = f(x) ∫V = π (y12 − y22 )dx a y a b xX b b x1= f(y) b ∫V = π (x12 − x22 )dy x2= g(y) a V = π∫(f(x))2 dx a a x 36
Bab 17 Persamaan Garis Lurus dan Program Linear A. Persamaan Garis Lurus b. Jika Diketahui Dua Titik (x1, y1) dan (x2, y2) y − y1 = x − x1 Bentuk umum persamaan garis lurus: Bentuk eksplisit : y = m x + c, dengan m adalah y2 − y1 x2 − x1 gradien garis atau Bentuk implisit : A x + b y + c = 0 (x2 − x1)y = (y2 − y1)x + (x1y2 − x2y1) dengan gradien m = − b a B. Kemiringan Garis Lurus D. Hubungan Dua Garis Lurus (Gradien) Jika garis a1x + b1y = c1 dan garis a2x + b2y = c2 yang Gradien (m) adalah ukuran kemiringan suatu garis. Pada gambar di bawah ini gradien sama dengan memilki gradien m1 = − a1 dan m2 = − a2 terdapat tangen a (tan a). hubungan sebagai beribk1ut: b2 (x2,y2) (i). Dua garis saling sejajar jika: a m1 = m2 x1,y1 Gradien (m) = y2 − y1 = tan a (ii). Dua garis tegak lurus jika: x2 − x1 m1 x m2 = –1 C. Menyusun Persamaan Garis (iii). Dua garis saling berimpit jika: Lurus a1 = b1 = c1 a. Jika Diketahui Sebuah Titik (x1, y1) dan Gradien (m) a2 b2 c2 (iv). Dua garis membentuk sudut a jika: y – y1 = m(x – x1) tan a = m1 − m2 1+ m1m2 37
E. Menggambar Kurva Garis a. Menentukan Daerah Penyelesaian Lurus Daerah penyelesaian masalah program linear, yaitu suatu model matematika yang berbentuk pertidaksamaan linear ax + b ≤ c Menghubungkan dua titik koordinat yang terletak atau ax + by ≤ c. pada persamaan garis lurus tersebut. Daerah penyelesaian dapat ditentukan dengan cara berikut: Contoh: Gambar kurva garis lurus 2x – 3y = 12! 1. Jika ax + by ≤ c maka daerah penyelesaian • Tahap 1 berada di sebelah kanan garis, dengan Tentukan koordinat titik potongnya terhadap syarat: koefisien x positif (a > 0). sumbu-Y dengan cara mensubstitusikan x = 0: 2. Jika ax + b ≤ c maka daerah penyelesaian 2(0) – 3y = 12 _3y = 12 berada di sebelah kiri garis, dengan syarat y = –4 koefisien x positif (a > 0). Jadi, koordinat titik potong terhadap sumbu-Y kiri ( ≤ ) adalah (0, –4). kanan ( ≤ ) • Tahap 2 kanan ( ≤ ) Tentukan koordinat titik potongnya terhadap kiri ( ≤ ) sumbu-X dengan cara mensubstitusikan y = 0: kiri ( ≤ ) kanan ( ≤ ) kanan/atas ( ≤ ) 2x – 3(0) = 12 kiri/bawah ( ≤ ) 2x = 12 x = 6 b. Menentukan Nilai Optimum Jadi, koordinat titik potong terhadap sumbu-X Untuk menentukan nilai optimum (maksimum adalah (6,0) dan minimum) dapat digunakan: Jadi, gambar kurvanya adalah: Cara 1: Dengan uji titik-titik sudut Langkah-langkah: Y 1. Buat model matematika (6,0) 2. Gambar grafik daerah penyelesaiannya X 3. Tentukan titik-titik sudut dari grafik (0, –4) himpunan penyelesaian 4. Substitusikanlah titik-titik tersebut ke F. Program Linear dalam fungsi sasaran Program linear adalah suatu metode matematika Cara 2: Dengan menggunakan garis selidik untuk mencari nilai optimum suatu fungsi Langkah-langkah: sasaran/objektif dalam bentuk linear pada daerah 1. Buat model matematika himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan 2. Gambar grafik daerah penyelesaiannya linear. 3. Membuat persamaan garis selidik Sistem pertidaksamaan linear menentukan (diambil dari fungsi objektif) daerah penyelesaian, kemudian titik-titik pojok 4. Titik-titik yang dilalui garis selidik yang pada daerah penyelesaian tersebut menentukan nilai optimum dari suatu fungsi sasaran. paling kanan atau yang paling kiri merupakan penyelesaian optimum 38
Bab 18 Matriks A. Definisi Matriks d. Matriks Identitas • Matriks adalah susunan bilangan berbentuk Matriks identitas adalah matriks yang memiliki persegi panjang yang diatur dalam baris dan elemen diagonal utamanya 1, dan sisanya 0. kolom. Contoh: I= 1 0 Sifatnya: A x I = 1 x A = A • Banyaknya baris dan kolom disebut ordo 1 matriks. 0 • Contoh bentuk matriks: C. Transpose Matriks Ordo matriks (baris dan kolom) • Transpose matriks A adalah matriks baru yang diperoleh dengan cara menukar elemen baris A2x3 = 1 35 Baris 1 menjadi elemen kolom, atau sebaliknya. 0 24 Baris 2 • Jika diketahui sebuah matriks: Nama matriks A= a b c maka transpose matriks A Kolom 1 Kolom 2 Kolom 3 e d f a d B. Jenis-Jenis Matriks dituliskan: AT = b e c f a. Matriks Persegi Matriks persegi, yaitu matriks yang memiliki D. Kesamaan Matriks baris dan kolom yang sama, berordo n x n. Dua buah matriks dikatakan sama bila memiliki Contoh: ordo sama dan elemen yang posisinya seletak besarnya sama. A2 x 2 = 2 1 , ordo matriks 2 x 2. −1 Contoh: 0 b. Matriks Baris Matriks baris adalah matriks yang hanya Jika 2 3 = 2 3 memiliki satu baris dan beberapa kolom. 1 1 0 0 Contoh: A1 x 3 = (3 –4 0) Di mana a = p, b = q, c = r, dan d = s c. Matriks Kolom Matriks kolom adalah matriks yang hanya E. Operasi Matriks memiliki satu kolom. a. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Contoh: A3 x 1 = 1 , ordo matriks 3 x 1 2 Dua buah matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan bila ordonya sama dan elemen yang 3 39
posisinya seletak dapat dijumlah atau dikurangi. Jika B adalah matriks berordo 3 x 3 seperti di bawah ini: Contoh: Misalkan, A = a b dan B m n c d o p a b c Maka A ± B adalah: B = d e f (a ± m) (b ± n) g h i (c ± o) (d ± p) A ±B= Maka determinan B adalah: b. Perkalian Matriks abcab B= d e f d e Perkalian dengan bilangan konstanta dapat ghi gh dilakukan dengan mengalikan ke setiap elemen matriks tersebut. ––– + ++ = (aei + bfg + cdh) – (ceg + afh + bdi) Contoh: Sifat-sifat determinan matriks: k a b = ka kb 1. A = AT 3. A−1 = 1 d c kc kd A Perkalian matriks dengan matriks, syaratnya 2. AB = C → AkoBns=taCnt a 4. k.A = kn A kolom matriks A sama dengan baris matriks B. Di dan mana, k = n= ordo matriks persegi. Am×n × Bn×p = Cm×p G. Invers Matriks Cara mengalikan: elemen baris pada matriks a. Dua Matriks Saling Invers pertama dikali dengan elemen kolom pada • Dua matriks saling invers terjadi jika A dan matriks kedua hingga semua elemen terkalikan. B adalah matriks persegi yang berordo sama dan memilki hubungan syarat: Contoh: A . B = B. A = I (I = matriks identitas) A = a b dan B m n d • Maka dikatakan A adalah invers B dan B c o p adalah invers A. Maka A x B adalah: • Invers A dinotasikan dengan A–1, sedangkan invers B dinotasikan dengan B-1. AxB= a bm n = a.m + b.o a.n + b.p b. Invers Matriks Persegi Berordo 2x2 c d o p c.m + d.o c.n + d.p Jika diketahui matriks A adalah: f. Determinan Matriks • Misalkan, A adalah matriks persegi berordo A = a b 2 x 2 maka determinan matriks A adalah d hasil kali elemen-elemen yang berada pada c diagonal utama dikurangi hasil kali elemen- elemen yang berada pada diagonal samping. Maka invers matriks A adalah: (A−1) = 1 × d −b A −c a A = a b c d c. Sifat-sifat Invers Matriks Determinan (A) adalah: 1. A-1A = AA-1 = Identitas (I) |B| = a b = ad – bc ( )2. A -1 −1 c d =A ( )3. AB -1 = B−1A-1 4. AB = C BA = CB−1 = A -1C 40
Bab 19 Vektor A. Definisi Vektor 2. Panjang vektor posisi adalah: b • Vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah. Contoh: gaya dan percepatan dalam b = (x2 )2 + (y2 )2 bidang fisika. 3. Panjang vektor posisi adalah: • Vektor digambarkan dengan garis anak panah. AB Contoh: panjang garis (dari A ke B) adalah besar nilai vektor. Arah panah menunjukkan AB = ( x2 − )x1 2 + ( y2 − )y1 2 arah vektor. B. Operasi Vektor • Sdiimatbaosl(vAekBto=rad)itautlaisukdanendgeanngahnurtuafntdeabpaal n(AaBh = a). a. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Jika diketahui terdapat dua buah vektor a Jika diketahui vektor a dan b pangkalnya melalui titik asal O (0,0) dan memiliki dan b maka penjumlahan vektor a dan vektor koordinat di titik A (x1,y1) dan B (x2,y2) maka b dapat dilakukan dengan metode sebagai vektor OA atau OB disebut vektor posisi a berikut: atau b. Sedangkan, vektor AB ditentukan oleh: b b A (x1, y1) B (x2, y2) Penjumlahan ( + ) b a b 1. Metode segitiga b a b O (0,0) Langkah-langkah penjumlahan ( + ): OA AB ( ) + AB = OB • Letakkan pangkal vektor b berimpit AB = OB − OA b−a dengan ujung vektor a. = = • Tarik garis dari pangkal vektor a ke ujung ( x2 − x1),( y2 − y1 ) vektor b maka vektor R adalah hasil p( eRn=juam +labh)a.n kedua vektor tersebut Maka panjang vektor a, b, dan AB dirumuskan oleh: 1. Panjang vektor posisi adalah: a a = (x1)2 + (y1)2 41
2. Metode jajargenjang b Langkah-langkah pengurangan ( − ): b a b R • Letakkan pangkal vektor a dan negatif 2. Metode jajargenjang vektor b saling berimpit. Langkah-langkah penjumlahan ( + ): • Tarik garis putus-putus sejajar vektor a a b dan negatif vektor b sampai bertemu • Letakkan pangkal vektor a dan b saling pada satu titik. berimpit. • Tarik garis dari pangkal kedua vektor • Tarik garis putus-putus sejajar vektor a sampai titik pertemuan garis putus- dan b sampai bertemu pada satu titik. putus tersebut maka vektor R adalah • Tarik garis dari pangkal kedua vektor (hRas=ilap−enbg)u. rangan kedua vektor tersebut sampai titik pertemuan garis putus- putus tersebut maka vektor R adalah (hRas=ilap+enbju).mlahan kedua vektor tersebut R b −b q Besar vektor hasil pengurangan secara b R geometris: q b Besar vektor hasil penjumlahan secara a − = a 2 + 2 − 2 a cos θ geometris: b b b a − = a 2 + 2 − 2 a cos θ Keterangan: b b b a = panjang vektor a b = panjang vektor b Kaet e r=anpgaannja:ng vektor a b = panjang vektor b q = sudut antara vektor a dan vektor b q = sudut antara vektor a dan vektor b b. Operasi Perkalian Vektor dengan Bilangan Real (Skalar) Pengurangan ( − ) 1. Jika m adalah bilangan real dan a adalah a b vektor maka hasil kalinya: 1. Metode segitiga Langkah-langkah pengurangan ( a − b ): = ....(sebanyak m kali) a+a+a+ • Letakkan pangkal negatif vektor b m ⋅ a berimpit dengan ujung vektor a. 2. Jika nilai m adalah bilangan real positif maka vektor m.a searah dengan vektor a • Tarik garis dari pangkal vektor a ke ujung 3. Jika nilai m adalah bilangan real negatif negatif vektor b maka vektor R adalah maka vektor m.a berlawanan arah dengan vektor a (hRas=ilape−nbg)u.rangan kedua vektor tersebut c. Sifat Operasi Penjumlahan, Pengurangan, dan Perkalian dengan Bilangan Real −b 1. Sifat komutatif, yaitu: b R a + b = b + a 42
2. Sifat asosiatif, yaitu: 2. Pembagian dalam bentuk vektor z ( ) ( ) mn a+b +c =a+ b+c AP 3. Sifat identitas (vektor nol), yaitu: B b b b a + 0 = a O(0,0) Y 4. Memiliki invers, yaitu vektor lawannya: X ( ) a b p Jika , , dan adalah vektor posisi dari a + −a = 0 titik A, B, dan P dengan perbandingan AP C. Vektor di Ruang Tiga : PB = m : n. Dimensi Maka: AP = m a. Vektor Satuan PB n − a) = 1. Vektor satuan adalah vektor yang n ⋅ (p − p) nn⋅⋅ppp(+n−m+nm⋅⋅ ap) === m ⋅ (b memiliki besar satu satuan. m ⋅ b − m ⋅p m ⋅ b +n ⋅ a 2. Jika vektor a berada di ruang tiga dimensi m ⋅ b +n ⋅ a m ⋅ b +n ⋅ a maka posisinya bisa dituliskan di dalam p koordinat (x,y, dan z). = (n + m) a xi + yj + zk ( )Contoh: = 3. Pembagian dalam bentuk koordinat Dimana: Jika titik P (xp, yp , zp) membagi garis AB di i = vektor satuan di sumbu x mana A (x1, y1 , z1) dengan perbandingan j = vektor satuan di sumbu y maka: k = vektor satuan di sumbu z =m :n AP : PB xp = m ⋅ x2 + n ⋅ x1 , m+n b. Pembagian Ruas Garis dalam Bentuk yp = m ⋅ y2 + n ⋅ y1 , Vektor dan Koordinat m+n 1. Pembagian dalam ruas garis zp = m ⋅ z2 + n ⋅ z1 n mB m+n P D. Perkalian Skalar Dua A Vektor Titik P berada di antara titik A dan B dan a. Perkalian Skalar Dua Vektor memb agi garis AB dengan perbandingan AP : PB = m : n Perkalian skalar naonttaasiraa .vbe k(tdoibraaca:daa nb dituliskan dengan dot m b) yang didefinisikan sebagai berikut: P B 1. Jika diketahui dua vektor berbentuk An komponen: Titik P membagi garis AB di luar dengan = a1 dan = b1 perb andingan AP : PB = m : (–n) a a2 b b2 a3 b3 Maka: a .b = a1 ⋅ b1 + a2 ⋅ b2 + a3 ⋅ b3 43
2. Jika dua vektor membentuk sudut q E. Proyeksi Vektor maka perkalian skalarnya adalah: a .b = a b cosθ Jpiakanjvaenkgtoar daandanb b mengapit sudut a dengan seperti gambar di bawah ini: a Dengan: = panjang vektor a b = panjang vektor b b θ = sudut antara a dan b Sedangkan sudutnya adalah: a b b Kce=tevreakntgoarnp:royeksi cos q = a.b ab = x1.x2 + y1.y2 + z1.z2 dari vektor ke vektor a b x12 + y12 + z12 . x22 + y22 + z22 Maka berlaku: Tanda perkalian skalar: 1. vPeroktyoerkbsiasdkaalalahr: ortogonal vektor pada a a ⋅ b > 0 atau positif maka sudut dua vektor lancip a b c a⋅ b ⋅ < 0 atau positif maka sudut dua vektor = b tumpul a ⋅b b = 0 atau maka sudut dua vektor saling 2. vPeroktyoerksai skalar ortogonal vektor pada adalah: tegak lurus c b⋅ a a ⋅ b = a ⋅ b maka sudut dua vektor berimpit atau sejajar = a b. Sifat-Sifat Perkalian Skalar Dua Vektor 3. vPeroktyoerksbi vektor ortogonal vektor pada adalah: a a⋅b =b⋅a 1. Sifat komutatif: 2. Sifat distributif: a.(b + c) = a.b + a.c c b 3. Jika k skalar, dan vektor di mana: = a⋅ b a b b 2 = a1 dan = b1 4. vPeroktyoerksai vektor ortogonal vektor pada a a2 b b2 adalah: b b3 a3 Mba..baa=k=aab11b22e++rabla222k2 +u+:ab3322 = a 2 = b 2 c a⋅ b a = 2 a a + b = a 2 + b 2 + 2 a b .cosθ a −b = a 2 + b 2 − 2 a b .cosθ Keterangan: θ : Sudut antara vektor a dan vektor b 44
Bab 20 Transformasi Geometri A. Pengertian Transformasi b. Refleksi (Pencerminan) Transformasi adalah suatu proses pemetaan suatu Pencerminan Pemetaan Matriks objek ke objek lain dalam satu bidang. Terhadap Transformasi Jika titik A (x,y) ditransformasikan oleh transformasi Sumbu X (x, y) → (x, –y) 1 0 T akan menghasilkan A' (x',y'). 0 − 1 Sumbu Y (x, y) → (–x, y) −1 0 x' a b x 0 1 y ' c A(x,y) T → A '(x ',y ') atau = d y Garis Y = X (x, y) → (–x, y) 0 1 a b 1 0 Di mana = matriks transformasi c d Garis X = –Y (x, y) → (–y, –x) 0 −1 −1 0 B. Jenis-jenis Transformasi Titik asal O (x, y) → (–x, –y) −1 0 0 − 1 a. Translasi (Pergeseran) Garis x = k (x, y) → (2k–x, y) Garis y = h (x, y) → (x, Suatu objek P ditranslasikan oleh T maka 2h–y) hasilnya P′. P(x,y) (ba)→P'(x',y') c. Rotasi (Perputaran) 1. Rotasi terhadap titik O (0,0) x ' = x + a → x = x '− a y ' y b y = y '− b Matriks Transformasi Rotasi Pemetaan T(a, b) berarti: π atau − π (x, y) → (–y, x) 0 −1 2 2 1. Objek digeser sejauh a satuan ke kanan 1 0 (+)/kiri (–). 2. Objek digeser sejauh b satuan ke atas (+)/ − π atau 3π (x, y) → (y, –x) 0 1 bawah (–). 2 2 −1 0 ±π (x, y) → (–x, –y) −1 0 0 − 1 45
a (x, y) → (x', y') cosα − sinα C. Komposisi Transformasi x' = x cos a – y sinα cos α a. Komposisi dua translasi berurutan T1 sin a dilanjutkan T2 dapat diganti dengan translasi tunggal (komposisi kedua translasi). y' = x sin a – y cos a 2. Rotasi terhadap titik (a, b) T= T1 T2 = a + c = a + c Jika titik A (x,y) dirotasikan sebesar a b d d b + terhadap titik (a,b) berlaku hubungan: x '− a − cos α − sinα x − a b. K o m p o s i s i d u a r e f l e k s i b e r u r u t a n y '− b sinα b menghasilkan translasi dua kali jarak antara cos α y − dua sumbu. Urutan refleksi menentukan arah translasi. d. Dilatasi (Perkalian atau Pembesaran) Misalkan, M1 dan M2 adalah refleksi terhadap Suatu titik A (x,y) didilatasikan dengan pusat garis x = a dan x = b maka: O (0,0) dengan faktor skala k akan mempunyai bayangan A'(x',y') dapat dituliskan: ( )P(x,y) M1oM2→P' 2(a − b) + x,y P(x,y) M1oM2→P'(2(a − b) + x,y) A(x,y) [O,k] → A '(kx,ky) atau x' = k 0 x y ' c. Komposisi dua rotasi yang sepusat sebesar 0 k y θ1 dilanjutkan θ2 dapat diganti dengan rotasi sebesar ( θ1 + θ2 ) dengan pusat rotasi sama. Jika titik A (x,y) didilatasikan pada titik P (a,b) dengan faktor skala k maka bayangan A′(x′,y′) dapat dirumuskan: x '− a k 0 x −a D. Luas Bangun Hasil Suatu y '− b = 0 k y − b Transformasi Suatu bangun A ditransformasikan dengan matriks a c , hasilnya bangun A' maka luas A′ d b = ad − bc × luas A (luas bayangan = determinan (M) x Luas semula). 46
Bab 21 Baris dan Deret A. Notasi Sigma b. Pengertian Deret Deret adalah penjumlahan suku-suku suatu Notasi sigma atau ∑ digunakan untuk barisan bilangan. menyatakan operasi penjumlahan bilangan Bentuk umum deret adalah: berurutan. Sifat-sifat notasi sigma: Sn = U1 + U2 + U3 + .......+ Un ∑ ∑1. n i = n p Keterangan: i=m p=m Sn = jumlah n suku pertama ∑ ∑2. n ki = k n i , k = konstanta C. Barisan dan Deret i=m i=m Aritmetika a −1 n n a. Barisan Aritmetika Barisan aritmetika adalah barisan bilangan ki + ki ∑ ∑ ∑3. ki = yang mempunyai beda (selisih) yang tetap untuk setiap dua suku yang berurutan. i=m i=a i=m Bentuk umum barisan aritmetika adalah: n+a (i − a) = n−a U1, U2, U3....... Un ∑ ∑4. a, a + b, a + 2b,........., a + (n – 1)b (i + a) Pada barisan aritmetika terdapat beberapa i=m+a i=m−a rumusan sebagai berikut: 5. nn n • Rumus beda (b) ∑ai ± ∑bi = ∑(ai ± bi) b = Un – Un-1 i=m i=m i=m b = U2– U1= U3– U2= U4– U3= U5– U4 B. Pengertian Barisan dan Deret a. Pengertian Barisan Barisan adalah rangkaian bilangan yangdisusun menurut aturan atau pola tertentu. Bentuk umum barisan adalah sebagai berikut: U1, U2, U3....... Un Keterangan: U1 = suku pertama U2 = suku kedua U3 = suku ketiga Un = suku ke –n 47
• Rumus mencari suku ke – n Contoh: Deret aritmetika: Un = a + (n – 1) b 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + .... Tentukan jumlah 10 suku pertama? U1 = a = suku pertama/suku awal U2 = a + b Pembahasan: U3 = a + 2b Perhatikan barisan aritmetika di atas: U4 = a + 3b n = 10, a = 3, dan b = 7 – 3 = 4 U5 = a + 4b Contoh: Sn = n (2a + (n – 1).b) Barisan aritmetika: 2 3, 7, 11, 15, 19... Tentukan suku ke-10? S10 = 10 (2.3 + (10 – 1).4) 2 Pembahasan: = 5 (6 + 36) = 210 b = U2 – U1 = 7 – 3 = 4 D. Barisan dan Deret Geometri Suku ke –10 adalah: Un = a + (n – 1) ⋅ b a. Barisan Geometri U10 = 3 + (10 – 1) .4 Bentuk umum barisan geometri adalah = 3 + (9.4) = 3 + 36 = 39 sebagai berikut: b. Deret Aritmetika U1, U2, U3 ....... Un Bentuk umum deret aritmetika adalah: a, ar, ar2, ........ arn–1 U1 + U2 + U3.+...... +Un Pada barisan geometri terdapat beberapa a + (a + b) + (a + 2b)+......+(a + (n – 1)b) rumusan sebagai berikut: Pada deret aritmetika terdapat rumusan • Rumus rasio (r) sebagai berikut: r = Un = U2 = U3 • Rumus mencari jumlah n suku pertama Un−1 U1 U2 Sn = n (a + Un ) = n 2a + (n − 1)b 2 2 • Rumus mencari suku ke – n Sn adalah jumlah n suku yang pertama. Un = arn−1 • Rumus mencari suku tengah U1= a, U2 = ar, U3 = ar2 Jika banyak sukunya ganjil maka terdapat suku Contoh: tengah (Ut): Barisan geometri: 2, 6, 18, 54, ........... Ut = 1 (a + Un ) Tentukan U10 dan rasionya? 2 Rasionya adalah: Hubungan antara jumlah n suku pertama dan r = 6 = 18 suku tengah adalah: 26 Sn = n × Ut = 54 = 3 18 48
Search
