บทเรีบนโปรแกรม ชุดที่ 39

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 2 หน่วยการเรยี นรทู้ ่ี 5 เร่ือง การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรสี อง บทเรยี นโปรแกรม ชุดที่ 39 2 นางสาวสธุ ิดา เป็งเรือน รหสั นกั ศึกษา 601120056

คาแนะนาสาหรับนักเรียน 1. ให้นกั เรยี นอา่ นจุดประสงค์การเรยี นรขู้ องบทเรียนโปรแกรมกอ่ น 2. ศกึ ษาบทเรยี นโปรแกรมทลี ะกรอบตามลาดบั แลว้ ตอบคาถาม ลงในกระดาษทจ่ี ัดให้อยา่ ขา้ มกรอบ เพราะจะทาให้เนือ้ หาไม่ ต่อเนอ่ื งกนั 3. นักเรยี นตรวจคาตอบจากเฉลย หากตอบถูกให้ศึกษากรอบ เนื้อหาถดั ไป หากตอบผิดใหศ้ กึ ษากรอบเนื้อหาเดมิ อีกครัง้ และ เมือ่ ตอบคาถามถูกจึงเรม่ิ ศึกษากรอบเน้อื หาต่อไปใหค้ รบ 4. นักเรยี นตอ้ งซอ่ื สตั ยต์ อ่ ตนเอง ไมเ่ ปิดดูเฉลยก่อน 5. เมือ่ ทากจิ กรรมเสร็จครบทุกอย่างแล้ว นาบทเรียนโปรแกรม สง่ คนื ครู อ่านคาแนะนากนั ก่อนนะคะ

จุดประสงค์การเรียนรู้ 1. 1. เมื่อเมกอ่ืากหานหดนโดจทโจยทก์ ยา์กรหาราหคาาตคาอตบอขบอขงสองมสกมากรการากลงัาลสงัอสงอง ตัวตแัวปแรปเดรียเดวยีโดวโยดกยากรแารยแกยตกวั ตปัวรปะกระอกบอบนกั นเรกั ยี เรนียน สาสมาามรถารหถาหคาาตคาอตบอแบลแะและสแดสงดวิธงวีทธิ าที ไดาไ้ ด้ 2. 2.นักนเรกั ยี เรนยี มนีคมวคีามวาสมาสมาามรถารใถนใกนากรสารอ่ื สส่อืาสราร 3. 3.นกั นเรักยี เรนยี มนีคมวคีามวาใมฝใ่รฝู้ ่รู้ 4. 4.นักนเรักยี เรนยี มนคี มวคีามวาซมือ่ ซสื่อตั สยตั ์ตย่อ์ตตอ่นตเอนงเอง

กรอบที่ 1 เรามาทบทวนความรู้เดมิ กนั กอ่ นดกี วา่ ทบทวนความร้เู ดมิ 1.ทบทวนสมบัตกิ ารเทา่ กันของจานวนจรงิ กาหนด a, b, c เป็นจานวนจริงใดๆ 1. สมบตั กิ ารบวกด้วยจานวนทีเ่ ทา่ กนั ถา้ a = b แลว้ a + c = b + c เช่น 1 + 2 = 3 แลว้ 1 + 2 + 3 = 3 + 3 2. สมบัตกิ ารคูณด้วยจานวนทเี่ ทา่ กนั ถา้ a = b แลว้ ac = bc เช่น 2 + 3 = 5 แลว้ (2 + 3)2 = 52 2.ทบทวนสมบตั ขิ องจานวนจริง กาหนด a, b, c เป็นจานวนจรงิ ใดๆ ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรอื b = 0 เช่น 3 0 = 0 0 3 = 0 0 0 = 0

3.ทบทวนการหาคาตอบของสมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดยี ว หาคาตอบของสมการโดยการแทนค่า สมการเปน็ จริง จงหาคาตอบ 3x + 6 = 0 วิธที า จาก 3x + 6 = 0 ให้ x = -2 จะได้ 3(-2) + 6 = 0 (-6) + 6 = 0 0=0 ดังนัน้ คาตอบของสมการ คอื -2 หาคาตอบของสมการโดยใช้สมบัติการเท่ากนั จงหาคาตอบ 3x + 6 = 0 วธิ ีทา จาก 3x + 6 = 0 3x + 6 + (-6) = 0 + (-6) 3x = (-6) 3x  1 = (-6)  1  3 3 x = -2 ดังนั้น คาตอบของสมการ คอื -2

4.ทบทวนสมการกาลังสองตัวแปรเดียว สมการกาลังสองตัวแปรเดยี ว คอื สมการซ่ึงมี x เป็นตัวแปร และมีรปู ท่วั ไป เป็น ax2 + bx + c = 0 เมอ่ื a, b, c เป็นจานวนเตม็ และ a  0 เชน่ 3x + 8x +4 จะได้ a = 3 b=8 c=4 5.ทบทวนการแยกตัวประกอบของพหนุ าม x2+ bx + c = 0 หา m, n ทเี่ ปน็ จานวนเต็ม โดยท่ี m + n = b และ m  n = c จงแยกตวั ประกอบของ x2+ 8x + 7 วิธีทา จาก x2 + 8x + 7 จะได้ b = 8 และ c = 7 m = 7 และ n = 1 ซง่ึ m + n = 8 และ m  n = 7 ดงั นน้ั x2 + 8x + 7 = (x + 7)(x + 1)

6.ทบทวนการแยกตวั ประกอบของพหุนาม ax2 + bx + c = 0 หา m, n, p, q ทเี่ ป็นจานวนเตม็ โดยท่ี p  q = a , m  n = c และ qm + pn = b จงแยกตัวประกอบของ 6x2 - 14x + 8 วิธที า จาก 6x2- 14x + 8 จะได้ p = 2 และ q = 3 m = -2 และ n = -4 ซงึ่ p  q = 6, m  n = 8 และ qm + pn = −14 ดังนนั้ 8x2 - 14x + 8 = (2x - 2)(3x - 4) นักเรยี นพอจะจาความรู้เดมิ กนั ได้หรือยังคะ? จาไดแ้ ลว้ ครับ / ค่ะ

ใหน้ ักเรยี นเตมิ คาตอบ ลงใน ให้ถกู ต้อง 1. สมบตั กิ ารบวกด้วยจานวนท่ีเทา่ กัน ถา้ 2 + 4 = 6 แลว้ 2 + 4 + 4 = 6 + 4 2. สมบัติการคูณดว้ ยจานวนท่เี ทา่ กัน ถ้า 4 + 5 = 9 แลว้ (4 + 5)2 = 9 2 3. สมบัตขิ องจานวนจรงิ 5 0 = 0 0 8 = 0 0 0 = 0

4. จงหาคาตอบ 2x - 8 = 0 โดยการแทนคา่ วิธีทา จาก 2x - 8 = 0 ให้ x = 4 จะได้ 2( 4 ) - 8 = 0 ( 8 )-8=0 0 = 0 สมการเป็นจรงิ ดังน้ัน คาตอบของสมการ คอื 4 จงหาคาตอบ 2x - 8 = 0 โดยใชส้ มบตั กิ ารเทา่ กัน วิธที า จาก 2x - 8 = 0 2x - 8 + 8 = 0 + 8 2x = 8 2x  1 = 8  1  3 3 x=4 ดงั นั้น คาตอบของสมการ คอื 4

5. จงบอกค่าคงตวั a, b และ c ของ 2x2 - 4x + 1 = 0 วิธที า จาก 2x2 - 4x + 1 = 0 จะได้ a = b= c= 6. จงแยกตวั ประกอบของ x2 + 6x + 8 วธิ ที า จาก x2 + 6x + 8 จะได้ b = 6 และ c = 8 m = 2 และ n = 4 ซึ่ง m + n = 6 และ m  n = 8 ดงั นั้น x2 + 6x + 8 = (x + 2 )(x + 4 )

7. จงแยกตวั ประกอบของ 4x2 + 4x - 3 วธิ ที า จาก 4x2+ 4x - 3 จะได้ p = 2 และ q = 2 m = -1 และ n = 3 ซ่งึ p  q = 4 , m  n = -3 และ qm + pn = 4 ดังน้นั 4x2 + 4x - 3 = ( 2x - 1 )( 2x + 3 ) นกั เรยี นทาเสรจ็ กนั หรือยงั คะ เสร็จแลว้ ครับ / คะ่

เรามาเฉลยคาตอบในกรอบท่ี 1 กนั นะคะ 1. สมบัติการบวกดว้ ยจานวนท่เี ทา่ กนั ถ้า 2 + 4 = 6 แล้ว 2 + 4 + 4 = 6 + 4 2. สมบตั ิการคณู ด้วยจานวนที่เทา่ กัน ถา้ 4 + 5 = 9 แลว้ (4 + 5)2 = 99 2 3. สมบัตขิ องจานวนจริง 5 0 = 0 00  8 = 0 0 0 = 0 หนูตอบถูกท้งั 3 ขอ้ เลยคะ่ คุณครู เก่งมากจะ๊

4. จงหาคาตอบ 2x - 8 = 0 โดยการแทนค่า วธิ ที า จาก 2x - 8 = 0 ให้ x = 4 จะได้ 2( 4 ) - 8 = 0 ( 8 )-8=0 0 = 0 สมการเปน็ จริง ดังนนั้ คาตอบของสมการ คอื 44 จงหาคาตอบ 2x - 8 = 0 โดยใช้สมบัตกิ ารเทา่ กนั วิธที า จาก 2x - 8 = 0 2x - 8 + 8 = 0 + 88 2x2x = 8 2x  1  = 8  1  3 3 x=4 ดงั นน้ั คาตอบของสมการ คอื 44

5. จงบอกคา่ คงตวั a, b และ c ของ 2x2 - 4x + 1 = 0 วธิ ีทา จาก 2x2 - 4x + 1 = 0 จะได้ a = 2 b = -4 c= 1 6. จงแยกตวั ประกอบของ x2 + 6x + 8 วธิ ที า จาก x2 + 6x + 8 จะได้ b = 66 และ c = 8 m = 22 และ n = 44 ซึ่ง m + n = 6 และ m  n = 8 ดงั นั้น x2 + 6x + 8 = (x + 2 )(x + 4 )

7. จงแยกตวั ประกอบของ 4x2 + 4x - 3 วิธที า จาก 4x2+ 4x - 3 จะได้ p = 2 และ q = 22 m = --11 และ n = 33 ซ่ึง p  q = 4 , m  n = --33 และ qm + pn = 42 ดังน้นั 4x2 + 4x - 3 = ( 22xx - 1 )( 2x + 3 ) เก่งมากๆ เลยค่ะ นกั เรยี นทกุ คน หนูทาถูกทุกขอ้ เลย ครบั / ค่ะ คณุ ครู

วันนี้เราจะมาเรยี น เรอ่ื งการหาคาตอบของสมการ ax2 + bx + c = 0 โดยการแยกตัวประกอบ ถา้ ครูใหน้ ักเรยี นหาคาตอบของสมการ x2 - 2x -8 = 0 โดยการแยกตัวประกอบนักเรียนจะสามารถทาไดไ้ หมคะ? เราจะมีวธิ กี ารหาคาตอบได้ อย่างไรบา้ งครับคณุ ครู

กรอบที่ 2 ก่อนทคี่ รูจะตอบคาถาม ครูจะให้นกั เรยี นเตมิ คาตอบลงใน ให้ถกู ต้อง กนั ก่อนนะคะ ข้อที่ 1 จงหาคาตอบของ x2– 2x - 8 = 0 หาคาตอบของสมการโดยการแทนคา่ วธิ ที า 1. แทน x ด้วย –2 ในสมการ 2 จะได้ (-2) – 2(–2) – 8 = 0 4 – (-4) – 8 = 0 0 = 0 สมการเปน็ จริง 2. แทน x ดว้ ย 4 ในสมการ 2 จะได้ 4 – 2(4) – 8 = 0 16 – 8 – 8 = 0 0 = 0 สมการเป็นจรงิ ดงั นนั้ -2 และ 4 เปน็ คาตอบของสมการ หาคาตอบของสมการโดยการแยกตวั ประกอบ วิธีทา x2 – 2x – 8 = 0 หา m, n, p, q โดยที่ p  q = 1 , m  n = −8 และ qm + pn = −2 ( x + 2 )( x – 4 ) = 0 ( x + 2 ) = 0 หรือ ( x – 4 ) = 0 หาค่า x ทท่ี าให้ x + 2 = 0 หาค่า x ท่ที าให้ x – 4 = 0 จะได้ x + 2 + (-2) = 0 + (-2) จะได้ x – 4 + 4 = 0 + 4 x = -2 x=4 ดังนัน้ -2 และ 4 เปน็ คาตอบของสมการ

ข้อท่ี 1 จงหาคาตอบของ x2– 2x - 8 = 0 หาคาตอบของสมการโดยการแทนค่า วิธที า 1. แทน x ดว้ ย –2 ในสมการ 2 จะได้ (-2) – 2(–2) – 8 = 0 4 – (-4) – 8 = 0 0 = 0 สมการเป็นจริง 2. แทน x ดว้ ย 4 ในสมการ 2 จะได้ 4 – 2(4) – 8 = 0 16 – 8 – 8 = 0 0 = 0 สมการเปน็ จรงิ ดงั น้ัน -2 และ 4 เป็นคาตอบของสมการ หาคาตอบของสมการโดยการแยกตวั ประกอบ วธิ ที า x2 – 2x – 8 = 0 หา m, n, p, q โดยท่ี p  q = 1 , m  n = −8 และ qm + pn = −2 ( x + 2 )( x – 4 ) = 0 ( x + 2 ) = 0 หรือ ( x – 4 ) = 0 หาค่า x ทีท่ าให้ x + 2 = 0 หาค่า x ท่ที าให้ x – 4 = 0 จะได้ x + 2 + (-2) = 0 + (-2) จะได้ x – 4 + 4 = 0 + 4 x = -2 x=4 ดงั นน้ั -2 และ 4 เป็นคาตอบของสมการ

กรอบท่ี 3 ขอ้ ท่ี 1 จงหาคาตอบของ 6x2+ 7x + 2 = 0 วธิ ที า หาคาตอบของสมการโดยการแทนคา่ จะได้ 2 1. แทน x ดว้ ย − 3 ในสมการ จะได้ 6  − 2 2 + 7  − 2  + 2 = 0 ดังน้นั 3 3 8 +  − 14  + 2 = 0 3 3 0 = 0 สมการเปน็ จริง 2. แทน x ด้วย − 1 ในสมการ 2 2 6  − 1 + 7  − 1  + 2 = 0 2 2 3 +  − 7  + 2 = 0 2 2 0 = 0 สมการเปน็ จริง − 2 และ − 1 เปน็ คาตอบของสมการ 3 2 หาคาตอบของสมการโดยการแยกตวั ประกอบ วิธีทา 6x2+ 7x + 2 = 0 หา m, n, p, q โดยท่ี p  q = 6 , m  n = 2 และ qm + pn = 7 ( 3x + 2 )( 2x + 1 ) = 0 ( 3x + 2 ) = 0 หรือ ( 2x + 1 ) = 0 หาคา่ x ที่ทาให้ 3x + 2 = 0 หาคา่ x ที่ทาให้ 2x + 1 = 0 จะได้ 3x + 2 + (-2) = 0 + (-2) จะได้ 2x + 1 + (-1) = 0 + (-1) 3x = -2 2x = -1 3x  1  = (-2)  1  2x  1  = (-1)  1  3 3 2 = 2 x x = − 2 − 1 3 2 ดงั นน้ั − 2 และ − 1 เป็นคาตอบของสมการ 3 2

ข้อที่ 1 จงหาคาตอบของ 6x2+ 7x + 2 = 0 หาคาตอบของสมการโดยการแทนคา่ 2 วธิ ีทา 1. แทน x ด้วย − 3 ในสมการ จะได้ 6  − 2 2 + 7  − 2  + 2 = 0 3 3 8 +  − 14  + 2 = 0 3 3 0 = 0 สมการเปน็ จรงิ 2. แทน x ดว้ ย − 1 ในสมการ 2 1 2 จะได้ 6  − 2  + 7  − 1  + 2 = 0 2 3 +  − 7  + 2 = 0 2 2 0 = 0 สมการเป็นจริง ดังนั้น − 2 และ − 1 เป็นคาตอบของสมการ 3 2 หาคาตอบของสมการโดยการแยกตวั ประกอบ วธิ ที า 6x2+ 7x + 2 = 0 หา m, n, p, q โดยท่ี p  q = 6 , m  n = 2 และ qm + pn = 7 ( 3x + 2 )( 2x + 1 ) = 0 ( 3x + 2 ) = 0 หรือ ( 2x + 1 ) = 0 หาค่า x ที่ทาให้ 3x + 2 = 0 หาค่า x ทท่ี าให้ 2x + 1 = 0 จะได้ 3x + 2 + (-2) = 0 + (-2) จะได้ 2x + 1 + (-1) = 0 + (-1) 3x = -2 2x = -1 3x  1  = (-2)  1  2x  1  = (−-1)21  1  3 = 3 2 = 2 x x − 2 3 ดังนั้น − 2 และ − 1 เป็นคาตอบของสมการ 3 2

กรอบที่ 4 จากตวั อยา่ งท่ผี า่ นมา เรามาชว่ ยกนั สรปุ ความร้เู กี่ยวกบั การหาคาตอบของสมการ ax2 + bx + c = 0 โดยการแยกตวั ประกอบ นักเรยี นสรุปไดว้ า่ อย่างไรบ้างเอย่

การหาคาตอบของสมการ ax2 + bx + c = 0 โดยการแยกตัวประกอบ ทาได้โดย ax2 + bx + c = (px + m)(qx + n) โดยที่ p  q = a , m  n = c และ qm + pn = b ดงั นน้ั (px + m)(qx + n) = 0 จะได้ (px + m) = 0 หรอื (qx + n) = 0 แลว้ ใชส้ มบัตกิ ารเทา่ กนั หาคาตอบของสมการ ถกู ตอ้ งคะ่

กรอบท่ี 5 ใหน้ ักเรียนทาตัวอยา่ งเพมิ่ เติม ตอ่ ไปน้ีให้ถกู ต้องนะคะ ข้อที่ 1 จงหาคาตอบของ x2– 5x + 6 = 0 วิธที า x2 – 5x + 6 = 0 หา m, n, p, q โดยท่ี p  q = 1 , m  n = 6 และ qm + pn = −5 ( x – 2 )( x – 3 ) = 0 ( x – 2 ) = 0 หรือ ( x – 3 ) = 0 ให้ x - 2 = 0 ให้ x – 3 = 0 จะได้ x – 2 + 2 = 0 + 2 จะได้ x – 3 + 3 = 0 + 3 x=2 x=3 ดงั น้นั 2 และ 3 เปน็ คาตอบของสมการ ตรวจคาตอบ แทน x ดว้ ย 2 ในสมการ จะได้ 22 – 5( 2 ) + 6 = 0 4 – 10 + 6 = 0 0 =0 แทน x ดว้ ย 3 ในสมการ จะได้ 3 2– 5( 3 ) + 6 = 0 9 – 15 + 6 = 0 0=0 ดังนัน้ 2 และ 3 เป็นคาตอบของสมการ

ข้อท่ี 2 จงหาคาตอบของ 2x2+ 4x – 6 = 0 วธิ ีทา 2x2+ 4x - 6 = 0 หา m, n, p, q โดยที่ p  q = 1, m  n = 6 และ qm + pn = −5 ( 2x – 2 )( x + 3 ) = 0 ( 2x – 2 ) = 0 หรอื ( x + 3 ) = 0 ให้ 2x - 2 = 0 ให้ x + 3 = 0 จะได้ x + 3 + (-3) = 0 + (-3) จะได้ 2x – 2 + 2 = 0 + 2 x = -3 2x = 2 2x  1  = 2  1  2 2 x= 1 ดังน้ัน 1 และ -3 เป็นคาตอบของสมการ ตรวจคาตอบ แทน x ด้วย 1 ในสมการ จะได้ 2(1)2 + 4(1) - 6 = 0 2 + 4 -6=0 0 =0 แทน x ด้วย -3 ในสมการ จะได้ 2( -3 ) 2+ 4( -3 ) - 6 = 0 18 + (-12) – 6 = 0 0 =0 ดังนั้น 1 และ -3 เปน็ คาตอบของสมการ

ข้อที่ 1 จงหาคาตอบของ x2– 5x + 6 = 0 วธิ ที า x2 – 5x + 6 = 0 หา m, n, p, q โดยที่ p  q = 1 , m  n = 6 และ qm + pn = −5 ( x – 2 )( x – 3 ) = 0 ( x – 2 ) = 0 หรอื ( x – 3 ) = 0 ให้ x - 2 = 0 ให้ x – 3 = 0 จะได้ x – 2 + 2 = 0 + 2 จะได้ x – 3 + 3 = 0 + 3 x=2 x=3 ดังนั้น 2 และ 3 เป็นคาตอบของสมการ ตรวจคาตอบ แทน x ดว้ ย 2 ในสมการ จะได้ 22 – 5( 2 ) + 6 = 0 4 – 10 + 6 = 0 0 =0 แทน x ดว้ ย 3 ในสมการ จะได้ 3 2– 5( 3 ) + 6 = 0 9 – 15 + 6 = 0 0=0 ดงั นน้ั 2 และ 3 เป็นคาตอบของสมการ

ข้อท่ี 2 จงหาคาตอบของ 2x2+ 4x – 6 = 0 วธิ ีทา 2x2+ 4x - 6 = 0 หา m, n, p, q โดยที่ p  q = 1, m  n = 6 และ qm + pn = −5 ( 2x – 2 )( x + 3 ) = 0 ( 2x – 2 ) = 0 หรอื ( x + 3 ) = 0 ให้ 2x - 2 = 0 ให้ x + 3 = 0 จะได้ x + 3 + (-3) = 0 + (-3) จะได้ 2x – 2 + 2 = 0 + 2 x = -3 2x = 2 2x  1  = 2  1  2 2 x= 1 ดังน้ัน 1 และ -3 เป็นคาตอบของสมการ ตรวจคาตอบ แทน x ด้วย 1 ในสมการ จะได้ 2(1)2 + 4(1) - 6 = 0 2 + 4 -6=0 0 =0 แทน x ด้วย -3 ในสมการ จะได้ 2( -3 ) 2+ 4( -3 ) - 6 = 0 18 + (-12) – 6 = 0 0 =0 ดังนั้น 1 และ -3 เปน็ คาตอบของสมการ

กรอบท่ี 6 ให้นกั เรียนทาแบบฝึกทกั ษะ ต่อไปน้ใี ห้ถูกตอ้ งนะคะ ตวั อยา่ งที่ 1 จงหาคาตอบของสมการ x2 + 4x + 3 = 0 วิธีทา x2 + 4x + 3 = 0 ( x + 3 )( x + 1 ) = 0 ( x + 3 ) = 0 หรอื ( x + 1 ) = 0 ให้ x + 3 = 0 ให้ x + 1 = 0 จะได้ x + 3 + (-3) = 0 + (-3) จะได้ x + 1 + (-1) = 0 + (-1) x = -3 x = -1 ดังนัน้ -3 และ -1 เปน็ คาตอบของสมการ ตรวจคาตอบ แทน x ดว้ ย -3 ในสมการ จะได้ (-3)2+ 4(-3) + 3 = 0 9 + (-12) + 3 = 0 0=0 แทน x ด้วย -1 ในสมการ จะได้ (-1) 2+ 4(-1) + 5 = 0 1 + (-4) + 5 = 0 0 =0 ดังน้ัน -3 และ -1 เป็นคาตอบของสมการ

ตวั อยา่ งท่ี 2 จงหาคาตอบของสมการ 3 x2 − 4x − 4 = 0 วธิ ีทา 3x2 - 4x - 4 = 0 ( 3x + 2 )( x – 2 ) = 0 ( 3x + 2 ) = 0 หรือ ( x – 2 ) = 0 ให้ 3x + 2 = 0 ให้ x - 2 = 0 จะได้ 3x + 2 + (-2) = 0 + (-2) จะได้ x – 2 + 2 = 0 + 2 3x = -2 x= 2 3x  1  = (−2)  1  3 3 2 = 2 3 x −3 ดังนนั้ − และ 2 เป็นคาตอบของสมการ 2 ตรวจคาตอบ แทน x ดว้ ย − 3 ในสมการ 2- จะได้ 3  − 2 4  − 2  - 4 = 0 3 3  4  -  − 8  -4 =0 3 3 0 =0 แทน x ด้วย -1 ในสมการ จะได้ 3(2)2 - 4(2) - 4 = 0 12 – 8 – 4 = 0 2 0=0 −3 ดังน้นั และ 2 เป็นคาตอบของสมการ

1. จงหาคาตอบของสมการ x2 + 3x − 18 = 0 วิธที า x2 + 3x − 18 = 0 ( x + 6 )( x - 3 ) = 0 ( x + 6 ) = 0 หรือ ( x - 3 ) = 0 ให้ x + 6 = 0 ให้ x - 3 = 0 จะได้ x + 6 + (-6) = 0 + (-6) จะได้ x – 3 + 3 = 0 + 3 x = -6 x= 3 ดังนน้ั -6 และ 3 เปน็ คาตอบของสมการ ตรวจคาตอบ แทน x ด้วย -6 ในสมการ จะได้ (-6)2 + 3(-6) - 18 = 0 36 + (-18) - 18 = 0 0=0 แทน x ด้วย 3 ในสมการ จะได้ 392++ 3(3) - 18 = 0 9 - 18 = 0 0=0 ดงั น้นั -6 และ 3 เป็นคาตอบของสมการ

2. จงหาคาตอบของสมการ x2 − 6x + 5 = 0 วิธที า x2 − 6x + 5 = 0 ( x - 5 )( x - 1 ) = 0 ( x - 5 ) = 0 หรอื ( x - 1 ) = 0 ให้ x - 5 = 0 ให้ x - 1 = 0 จะได้ x – 5 + 5 = 0 + 5 จะได้ x – 1 + 1 = 0 + 1 x= 5 x= 1 ดังน้ัน 5 และ 1 เป็นคาตอบของสมการ ตรวจคาตอบ แทน x ด้วย 5 ในสมการ จะได้ 5 2- 6( 5 ) + 5 = 0 25 – 30 + 5 = 0 0=0 แทน x ด้วย 1 ในสมการ จะได้ 12 - 6( 1 ) + 5 = 0 1 – 6 +5=0 0 =0 ดงั นนั้ 5 และ 1 เปน็ คาตอบของสมการ

3. จงหาคาตอบของสมการ 3x2 + 2x − 5 = 0 วิธีทา 3x2 + 2x − 5 = 0 ( 3x + 5 )( x - 1 ) = 0 ( 3x + 5 ) = 0 หรือ ( x - 1 ) = 0 ให้ 3x + 5 = 0 ให้ x - 1 = 0 จะได้ 3x + 5 + (-5) = 0 + (-5) จะได้ x – 1 + 1 = 0 + 1 3x = -5 x= 1 3x  1  = (−2)  1  3 = 3 5 x −3 ดังนนั้ 5 และ 1 เปน็ คาตอบของสมการ −3 แทน x ด้วย 5 ตรวจคาตอบ 5 2 −3 − 3  ในสมการ จะได้ 3  + 2  − 5  - 5 = 0 3  25  +  15  - 5 = 0 3  − 3  0=0 แทน x ดว้ ย )21+ ในสมการ จะได้ 3( 1 2( 1 ) - 5 = 0 3 + 2 -5=0 5 0 =0 −3 ดงั นน้ั และ 1 เป็นคาตอบของสมการ

4. จงหาคาตอบของสมการ x2 + 7x + 10 = 0 วธิ ที า x2 + 7x + 10 = 0 ( x + 5 )( x + 2 ) = 0 ( x + 5 ) = 0 หรือ ( x + 2 ) = 0 ให้ x + 5 = 0 ให้ x + 2 = 0 จะได้ x + 5 + (-5) = 0 + (-5) จะได้ x + 2 + (-2) = 0 + (-2) x = -5 x = -2 ดังนน้ั -5 และ -2 เป็นคาตอบของสมการ ตรวจคาตอบ แทน x (ด-ว้ 5ย)2 -5 ในสมการ จะได้ + 7(-5) + 10 = 0 25 + (-35) + 10 = 0 0 =0 แทน x ดว้ ย -2 ในสมการ จะได้ (-2)2+ 7(-2) + 10 = 0 4 + (-14) + 10 = 0 0 =0 ดังน้ัน -5 และ -2 เป็นคาตอบของสมการ

5. จงหาคาตอบของสมการ x2 − 7x + 12 = 0 วธิ ที า x2 − 7x + 12 = 0 ( x - 3 )( x - 4 ) = 0 ( x - 3 ) = 0 หรอื ( x - 4 ) = 0 ให้ x - 3 = 0 ให้ x - 4 = 0 จะได้ x – 4 + 4 = 0 + 4 จะได้ x – 3 + 3 = 0 + 3 x= 3 x= 4 ดังนน้ั 3 และ 4 เป็นคาตอบของสมการ ตรวจคาตอบ แทน x ด้วย 3 ในสมการ จะได้ 32 - 7( 3 ) + 12 = 0 9 - 21 + 12 = 0 0=0 แทน x ด้วย 4 ในสมการ จะได้ 42- 7( 4 ) + 12 = 0 16 – 28 + 12 = 0 0=0 ดังนนั้ 3 และ 4 เปน็ คาตอบของสมการ

6. จงหาคาตอบของสมการ 2x2 − x − 28 = 0 วธิ ีทา 2x2 − x − 28 = 0 ( 2x + 7 )( x - 4 ) = 0 ( 2x + 7 ) = 0 หรอื ( x - 4 ) = 0 ให้ 2x + 7 = 0 ให้ x - 4 = 0 จะได้ 2x + 7 + (-7) = 0 + (-7) จะได้ x – 4 + 4 = 0 + 4 x= 4 2x = -7 2x  1  = (−7)  1  2 x = 7 2 −2 ดงั น้ัน 7 และ 4 เป็นคาตอบของสมการ −2 7 ตรวจคาตอบ −2 แทน x ดว้ ย ในสมการ จะได้ 2  − 7 2 -  − 7  - 28 = 0 2  2  49  -  7 - 28 = 0 2 − 2  0 = 0 แทน x ดว้ ย 4 ในสมการ จะได้ 2( 4 )2- 4 - 28 = 0 32 – 4 - 28 = 0 7 0 =0 −2 ดงั นัน้ และ 4 เป็นคาตอบของสมการ

7. จงหาคาตอบของสมการ 2x2 − 5x − 7 = 0 วิธที า 2x2 − 5x − 7 = 0 ( 2x - 7 )( x + 1 ) = 0 ( 2x - 7 ) = 0 หรือ ( x + 1 ) = 0 ให้ 2x - 7 = 0 ให้ x + 1 = 0 จะได้ 2x - 7 + 7 = 0 + 7 จะได้ x + 1 + (-1) = 0 + (-1) 2x = 7 x = -1 2x  1  = (7)  1  2 x = 2 7 7 2 2 ดังนั้น และ -1 เป็นคาตอบของสมการ แทน x ด้วย 7 ตรวจคาตอบ 2 ในสมการ จะได้ 2  7 2- 5  7  - 7 = 0 2  2   49  –  35  -7 = 0 2 2 0 = 0 แทน x ดว้ ย -1 ในสมการ จะได้ 2(-1)2– 5( -1 ) - 7 = 0 2 – (-5) - 7 = 0 7 0 =0 2 ดงั นั้น และ -1 เป็นคาตอบของสมการ

8. จงหาคาตอบของสมการ 8x2 − 26x + 15 = 0 วิธีทา 8x2 − 26x + 15 = 0 ( 2x - 5 )( 4x - 3 ) = 0 ( 2x - 5 ) = 0 หรอื ( 4x - 3 ) = 0 ให้ 2x - 5 = 0 ให้ 4x - 3 = 0 จะได้ 2x – 5 + 5 = 0 + 5 จะได้ 4x – 3 + 3 = 0 + 3 2x = 5 4x = 3 2x  1  = (5)  1  4x  1  = (3)  1  2 5 2 4 = 4 5 3 2 x= 2 x 4 ดงั น้ัน และ 3 เป็นคาตอบของสมการ 4 5 ตรวจคาตอบ แทน x ด้วย 2 ในสมการ 2- จะได้ 8  5 26  5  + 15 = 0 2 2 50 – 65 + 15 = 0 3 0 =0 4 ในสมการ แทน x ดว้ ย จะได้ 8  3 2- 26  3  + 15 = 0 4 4  9  –  39  + 15 = 0 2 2 0=0 ดังน้นั 5 และ 3 เปน็ คาตอบของสมการ 2 4

9. จงหาคาตอบของสมการ 12x2 − 56x + 9 = 0 วธิ ีทา 12x2 − 56x + 9 = 0 ( 6x - 1 )( 2x - 9 ) = 0 ( 6x - 1 ) = 0 หรอื ( 2x - 9 ) = 0 ให้ 6x - 1 = 0 ให้ 2x - 9 = 0 จะได้ 6x – 1 + 1 = 0 + 1 จะได้ 2x – 9 + 9 = 0 + 9 6x = 1 2x = 9 6x  1  = (1)  1  2x  1  = (9)  1  6 = 1 6 2 x = 2 9 x 6 2 ดังนัน้ 1 และ 9 เป็นคาตอบของสมการ 6 2 ตรวจคาตอบ 1 แทน x ด้วย 6 ในสมการ 2- จะได้ 12  1 56  1  + 9 = 0 6 6  1  –  28  + 9 = 0 3 3 แทน x ดว้ ย 9 0=0 2 ในสมการ จะได้ 12  9 2- 56  9  + 9 = 0 2 2 243 – 252 + 9 = 0 1 9 0=0 6 2 ดังน้นั และ เปน็ คาตอบของสมการ

10. จงหาคาตอบของสมการ (−3) x2 + 10x + 8 = 0 วิธีทา (−3) x2 + 10x + 8 = 0 ( 3x + 2 )( -x + 4 ) = 0 ( 3x + 2 ) = 0 หรอื ( -x + 4 ) = 0 ให้ 3x + 2 = 0 ให้ -x + 4 = 0 จะได้ 3x + 2 + (-2) = 0 + (-2) จะได้ –x + 4 + (-4) = 0 + (-4) 3x = -2 -x = -4 x= 4 3x  1  = ( −2)  1  3 x = 2 3 2 −3 −3 ดังน้ัน และ 4 เปน็ คาตอบของสมการ 2 ตรวจคาตอบ −3 แทน x ดว้ ย ในสมการ จะได้ (-3) 2 2+ 10  2 + 8 = 0 −3 − 3   − 4  –  − 20  + 8 = 0 3 3 แทน x ด้วย 4 ในสมการ 0=0 จะได้ (-3)( 4 )2+ 10( 4 ) + 8 = 0 48 + 40 + 8 = 0 2 0=0 −3 ดงั น้ัน และ 4 เปน็ คาตอบของสมการ

ตัวอยา่ งท่ี 1 จงหาคาตอบของสมการ x2 + 4x + 3 = 0 วิธที า x2 + 4x + 3 = 0 ( x + 3 )( x + 1 ) ( x + 3 ) = 0 หรือ ( x + 1 ) = 0 ให้ x + 3 = 0 ให้ x + 1 = 0 จะได้ x + 3 + (-3) = 0 + (-3) จะได้ x + 1 + (-1) = 0 + (-1) x = -3 x = -1 ดังนั้น -3 และ -1 เป็นคาตอบของสมการ ตรวจคาตอบ แทน x ดว้ ย -3 ในสมการ จะได้ (-3)2+ 4(-3) + 3 = 0 9 + (-12) + 3 = 0 0=0 แทน x ดว้ ย -1 ในสมการ จะได้ (-1) 2+ 4(-1) + 5 = 0 1 + (-4) + 5 = 0 0 =0 ดังนนั้ -3 และ -1 เปน็ คาตอบของสมการ

ตวั อยา่ งท่ี 2 จงหาคาตอบของสมการ 3 x2 − 4x − 4 = 0 วธิ ีทา 3x2 - 4x - 4 = 0 ( 3x + 2 )( x – 2 ) = 0 ( 3x + 2 ) = 0 หรือ ( x – 2 ) = 0 ให้ 3x + 2 = 0 ให้ x - 2 = 0 จะได้ 3x + 2 + (-2) = 0 + (-2) จะได้ x – 2 + 2 = 0 + 2 3x = -2 x= 2 3x  1  = (−2)  1  3 3 2 = 2 3 x −3 ดังนนั้ − และ 2 เป็นคาตอบของสมการ 2 ตรวจคาตอบ แทน x ดว้ ย − 3 ในสมการ 2- จะได้ 3  − 2 4  − 2  - 4 = 0 3 3  4  -  − 8  -4 =0 3 3 0 =0 แทน x ด้วย -1 ในสมการ จะได้ 3(2)2 - 4(2) - 4 = 0 12 – 8 – 4 = 0 2 0=0 −3 ดังน้นั และ 2 เป็นคาตอบของสมการ

1. จงหาคาตอบของสมการ x2 + 3x − 18 = 0 วิธที า x2 + 3x − 18 = 0 ( x + 6 )( x - 3 ) = 0 ( x + 6 ) = 0 หรือ ( x - 3 ) = 0 ให้ x + 6 = 0 ให้ x - 3 = 0 จะได้ x + 6 + (-6) = 0 + (-6) จะได้ x – 3 + 3 = 0 + 3 x = -6 x= 3 ดังนน้ั -6 และ 3 เปน็ คาตอบของสมการ ตรวจคาตอบ แทน x(-ด6้ว)ย2 -6 ในสมการ 0 จะได้ + 3(-6) - 18 = 36 + (-18) - 18 = 0 0=0 แทน x ด้วย 3 ในสมการ จะได้ 32+ 3(3) - 18 = 0 9 + 9 - 18 = 0 0=0 ดงั น้นั -6 และ 3 เป็นคาตอบของสมการ

2. จงหาคาตอบของสมการ x2 − 6x + 5 = 0 วิธที า x2 − 6x + 5 = 0 ( x - 5 )( x - 1 ) = 0 ( x - 5 ) = 0 หรอื ( x - 1 ) = 0 ให้ x - 5 = 0 ให้ x - 1 = 0 จะได้ x – 5 + 5 = 0 + 5 จะได้ x – 1 + 1 = 0 + 1 x= 5 x= 1 ดังน้ัน 5 และ 1 เป็นคาตอบของสมการ ตรวจคาตอบ แทน x ด้วย 5 ในสมการ จะได้ 5 2- 6( 5 ) + 5 = 0 25 – 30 + 5 = 0 0=0 แทน x ด้วย 1 ในสมการ จะได้ 12 - 6( 1 ) + 5 = 0 1 – 6 +5=0 0 =0 ดงั นนั้ 5 และ 1 เปน็ คาตอบของสมการ

3. จงหาคาตอบของสมการ 3x2 + 2x − 5 = 0 วิธีทา 3x2 + 2x − 5 = 0 ( 3x + 5 )( x - 1 ) = 0 ( 3x + 5 ) = 0 หรือ ( x - 1 ) = 0 ให้ 3x + 5 = 0 ให้ x - 1 = 0 จะได้ 3x + 5 + (-5) = 0 + (-5) จะได้ x – 1 + 1 = 0 + 1 3x = -5 x= 1 3x  1  = (−2)  1  3 = 3 5 x −3 ดังนนั้ 5 และ 1 เปน็ คาตอบของสมการ −3 แทน x ด้วย 5 ตรวจคาตอบ 5 2 −3 − 3  ในสมการ จะได้ 3  + 2  − 5  - 5 = 0 3  25  +  15  - 5 = 0 3  − 3  0=0 แทน x ดว้ ย )21+ ในสมการ จะได้ 3( 1 2( 1 ) - 5 = 0 3 + 2 -5=0 5 0 =0 −3 ดงั นน้ั และ 1 เป็นคาตอบของสมการ

4. จงหาคาตอบของสมการ x2 + 7x + 10 = 0 วธิ ที า x2 + 7x + 10 = 0 ( x + 5 )( x + 2 ) = 0 ( x + 5 ) = 0 หรือ ( x + 2 ) = 0 ให้ x + 5 = 0 ให้ x + 2 = 0 จะได้ x + 5 + (-5) = 0 + (-5) จะได้ x + 2 + (-2) = 0 + (-2) x = -5 x = -2 ดังนน้ั -5 และ -2 เป็นคาตอบของสมการ ตรวจคาตอบ แทน x (ด-ว้ 5ย)2 -5 ในสมการ จะได้ + 7(-5) + 10 = 0 25 + (-35) + 10 = 0 0 =0 แทน x ดว้ ย -2 ในสมการ จะได้ (-2)2+ 7(-2) + 10 = 0 4 + (-14) + 10 = 0 0 =0 ดังน้ัน -5 และ -2 เป็นคาตอบของสมการ

5. จงหาคาตอบของสมการ x2 − 7x + 12 = 0 วธิ ที า x2 − 7x + 12 = 0 ( x - 3 )( x - 4 ) = 0 ( x - 3 ) = 0 หรอื ( x - 4 ) = 0 ให้ x - 3 = 0 ให้ x - 4 = 0 จะได้ x – 4 + 4 = 0 + 4 จะได้ x – 3 + 3 = 0 + 3 x= 3 x= 4 ดังนน้ั 3 และ 4 เป็นคาตอบของสมการ ตรวจคาตอบ แทน x ด้วย 3 ในสมการ จะได้ 32 - 7( 3 ) + 12 = 0 9 - 21 + 12 = 0 0=0 แทน x ด้วย 4 ในสมการ จะได้ 42- 7( 4 ) + 12 = 0 16 – 28 + 12 = 0 0=0 ดังนนั้ 3 และ 4 เปน็ คาตอบของสมการ

6. จงหาคาตอบของสมการ 2x2 − x − 28 = 0 วธิ ีทา 2x2 − x − 28 = 0 ( 2x + 7 )( x - 4 ) = 0 ( 2x + 7 ) = 0 หรอื ( x - 4 ) = 0 ให้ 2x + 7 = 0 ให้ x - 4 = 0 จะได้ 2x + 7 + (-7) = 0 + (-7) จะได้ x – 4 + 4 = 0 + 4 x= 4 2x = -7 2x  1  = (−7)  1  2 x = 7 2 −2 ดงั น้ัน 7 และ 4 เป็นคาตอบของสมการ −2 7 ตรวจคาตอบ −2 แทน x ดว้ ย ในสมการ จะได้ 2  − 7 2 -  − 7  - 28 = 0 2  2  49  -  7 - 28 = 0 2 − 2  0 = 0 แทน x ดว้ ย 4 ในสมการ จะได้ 2( 4 )2- 4 - 28 = 0 32 – 4 - 28 = 0 7 0 =0 −2 ดงั นัน้ และ 4 เป็นคาตอบของสมการ

7. จงหาคาตอบของสมการ 2x2 − 5x − 7 = 0 วิธที า 2x2 − 5x − 7 = 0 ( 2x - 7 )( x + 1 ) = 0 ( 2x - 7 ) = 0 หรือ ( x + 1 ) = 0 ให้ 2x - 7 = 0 ให้ x + 1 = 0 จะได้ 2x - 7 + 7 = 0 + 7 จะได้ x + 1 + (-1) = 0 + (-1) 2x = 7 x = -1 2x  1  = (7)  1  2 x = 2 7 7 2 2 ดังนั้น และ -1 เป็นคาตอบของสมการ แทน x ด้วย 7 ตรวจคาตอบ 2 ในสมการ จะได้ 2  7 2- 5  7  - 7 = 0 2  2   49  –  35  -7 = 0 2 2 0 = 0 แทน x ดว้ ย -1 ในสมการ จะได้ 2(-1)2– 5( -1 ) - 7 = 0 2 – (-5) - 7 = 0 7 0 =0 2 ดงั นั้น และ -1 เป็นคาตอบของสมการ

8. จงหาคาตอบของสมการ 8x2 − 26x + 15 = 0 วิธีทา 8x2 − 26x + 15 = 0 ( 2x - 5 )( 4x - 3 ) = 0 ( 2x - 5 ) = 0 หรอื ( 4x - 3 ) = 0 ให้ 2x - 5 = 0 ให้ 4x - 3 = 0 จะได้ 2x – 5 + 5 = 0 + 5 จะได้ 4x – 3 + 3 = 0 + 3 2x = 5 4x = 3 2x  1  = (5)  1  4x  1  = (3)  1  2 5 2 4 = 4 5 3 2 x= 2 x 4 ดงั น้ัน และ 3 เป็นคาตอบของสมการ 4 5 ตรวจคาตอบ แทน x ด้วย 2 ในสมการ 2- จะได้ 8  5 26  5  + 15 = 0 2 2 50 – 65 + 15 = 0 3 0 =0 4 ในสมการ แทน x ดว้ ย จะได้ 8  3 2- 26  3  + 15 = 0 4 4  9  –  39  + 15 = 0 2 2 0=0 ดังน้นั 5 และ 3 เปน็ คาตอบของสมการ 2 4

9. จงหาคาตอบของสมการ 12x2 − 56x + 9 = 0 วธิ ีทา 12x2 − 56x + 9 = 0 ( 6x - 1 )( 2x - 9 ) = 0 ( 6x - 1 ) = 0 หรอื ( 2x - 9 ) = 0 ให้ 6x - 1 = 0 ให้ 2x - 9 = 0 จะได้ 6x – 1 + 1 = 0 + 1 จะได้ 2x – 9 + 9 = 0 + 9 6x = 1 2x = 9 6x  1  = (1)  1  2x  1  = (9)  1  6 = 1 6 2 x = 2 9 x 6 2 ดังนัน้ 1 และ 9 เป็นคาตอบของสมการ 6 2 ตรวจคาตอบ 1 แทน x ด้วย 6 ในสมการ 2- จะได้ 12  1 56  1  + 9 = 0 6 6  1  –  28  + 9 = 0 3 3 แทน x ดว้ ย 9 0=0 2 ในสมการ จะได้ 12  9 2- 56  9  + 9 = 0 2 2 243 – 252 + 9 = 0 1 9 0=0 6 2 ดังน้นั และ เปน็ คาตอบของสมการ

10. จงหาคาตอบของสมการ (−3) x2 + 10x + 8 = 0 วิธีทา (−3) x2 + 10x + 8 = 0 ( 3x + 2 )( -x + 4 ) = 0 ( 3x + 2 ) = 0 หรอื ( -x + 4 ) = 0 ให้ 3x + 2 = 0 ให้ -x + 4 = 0 จะได้ 3x + 2 + (-2) = 0 + (-2) จะได้ –x + 4 + (-4) = 0 + (-4) 3x = -2 -x = -4 x= 4 3x  1  = ( −2)  1  3 x = 2 3 2 −3 −3 ดังน้ัน และ 4 เปน็ คาตอบของสมการ 2 ตรวจคาตอบ −3 แทน x ดว้ ย ในสมการ จะได้ (-3) 2 2+ 10  2 + 8 = 0 −3 − 3   − 4  –  − 20  + 8 = 0 3 3 แทน x ด้วย 4 ในสมการ 0=0 จะได้ (-3)( 4 )2+ 10( 4 ) + 8 = 0 48 + 40 + 8 = 0 2 0=0 −3 ดงั น้ัน และ 4 เปน็ คาตอบของสมการ