DOCA2000043161

สรปุ สตู รคณติ ศาสตร์ ม.ปลายระบบจานวนจรงิสมบตั ขิ องจานวนจรงิกำหนด a, b, c เป็ นจำนวนจรงิ ใดๆ (a, b, c ∈ R)การเทา่ กนั ในระบบจานวนจรงิสมบตั ขิ องกำรเทำ่ กนั ในระบบจำนวนจรงิ มดี งั นี้ 1. สมบตั กิ ำรสะทอ้ น a=a 2. สมบตั สิ มมำตร ถำ้ a = b แลว้ b = a 3. สมบตั กิ ำรถำ่ ยทอด ถำ้ a = b และ b = c แลว้ a = c 4. สมบตั กิ ำรบวกดว้ ยจำนวนทเี่ ทำ่ กนั ถำ้ a = b แลว้ a + c = b + c 5. สมบตั กิ ำรคณู ดว้ ยจำนวนทเี่ ทำ่ กนั ถำ้ a = b และ c ≠ 0 แลว้ ac = bc

การแกส้ มการพหนุ ามตวั แปรเดยี ว1. กำรแยกตัวประกอบ2. หำจำกสตู ร x = −b±√b2−4ac 2a3. ทฤษฏบี ทเศษเหลอื 3.1. ทฤษฏบี ทเศษเหลอื กลำ่ ววำ่ “ถำ้ หำรพหนุ ำม P(x) ดว้ ย x − a เมอื่ a เป็ นจำนวนจรงิ แลว้ เศษจำก กำรหำรจะเทำ่ กบั P(a)” 3.2. ทฤษฏตี วั ประกอบ (factor theorem) กำหนดพหนุ ำม P(x) และ a เป็ นจำนวนจรงิ ใดๆ แลว้ 3.2.1 ถำ้ x − a เป็ นตัวประกอบของ P(x) แลว้ P(a) = 0 3.2.2 ถำ้ P(a) = 0 แลว้ x - a จะเป็ นตวั ประกอบของ P(x) 3.2.3 พอได ้ a จำกขอ้ 3.2.2 กน็ ำไปหำรสงั เครำะห์การไมเ่ ทา่ กนั ในระบบจานวนจรงิสมบตั ขิ องกำรไมเ่ ทำ่ กนั ในระบบจำนวนจรงิ มดี งั น้ี 1. ถำ้ a, b เป็ นจำนวนจรงิ ใดๆ จะไดว้ ำ่ 1.1. a = b ก็ตอ่ เมอื่ a – b = 0 1.2. a > b ก็ตอ่ เมอ่ื a – b > 0 1.3. a < b ก็ตอ่ เมอ่ื a – b < 0 2. สมบตั กิ ำรบวกและกำรคณู ดว้ ยจำนวนทไ่ี มเ่ ทำ่ กนั ดงั นี้ 2.1. ถำ้ a > b และ c ∈ R แลว้ a + c > b + c หรอื a + (-c) > b + (-c) 2.2. ถำ้ a > b และ c ∈ R ; c ≠ 0 แลว้ ถำ้ c > 0 ; ac > bc ถำ้ c < 0 ; ac < bc 3. ให ้ a, b, c, d ∈ R 3.1 ถำ้ a < b และ b < c แลว้ a < c 3.2 ถำ้ 0 < a < b แลว้ 1 > 1 a b 3.3 ถำ้ a < b < 0 แลว้ 1 > 1 a b 3.4 ถำ้ a < b และ c < d แลว้ a + c < b + d 3.5 ถำ้ a < b และ c < d แลว้ a - d < b - c 3.6 ถำ้ 0 < a < b และ 0 < c < d แลว้ 0 < ac < bd 3.7 ถำ้ a < b < 0 และ c < b < 0 แลว้ ac > bd > 0 3.8 ถำ้ 0 < a < b และ 0 < c < d แลว้ 0 < a < b c d 3.9 ถำ้ a < b < 0 และ c < b < 0 แลว้ a > b > 0 c dคา่ สมั บรู ณข์ องจานวนจรงิ คำ่ สมั บรู ณ์ คอื |a| ระยะทำงบนเสน้ จำนวนจำก 0 ไปถงึ aเงอ่ื นไขของคา่ สมั บรู ณ์ x; x>0 |x| = { 0 ; x = 0 −x ; x < 0

สมบตั ขิ องคา่ สมั บรู ณ์1. |x| ≥ 02. |x| = |-x|3. |xy| = |x||y|4. ቚyxቚ= |x| |y|5. |x-y| = |y-x|6. √x2 = |x|7. |x|2 = x28. ถำ้ |a| < |b| แลว้ a2 < b29. |x+y| ≤ |x| + |y|10. |x-y| ≥ |x| - |y|11. |x+y| = |x| + |y| ก็ตอ่ เมอ่ื xy ≥ 0คณุ สมบตั ขิ องอสมการคา่ สมั บรู ณ์กำหนดให ้ a > 0 1. ถำ้ |p(x)| < a แลว้ –a < p(x) < a 2. ถำ้ |p(x)| ≤ a แลว้ –a ≤ p(x) ≤ a 3. ถำ้ |p(x)| > a แลว้ p(x) > หรอื p(x) < -a 4. ถำ้ |p(x)| ≥ a แลว้ p(x) ≥ หรอื p(x) ≤ -a 5. ถำ้ |p(x)| > |q(x)| แลว้ [p(x)]2 > [q(x)]2เซต ∅ เป็ นเซตจำกดั และ ∅ ≠ ሼ∅ሽ ≠ ሼ0ሽชนดิ ของเซต 1. เซตจำกดั เชน่ {1, 2, 3, …, 100} 2. เซตอนันต์ เชน่ [0, 1] หรอื {1, 2, 3, ...} 3. เซตวำ่ ง (∅, {}) เป็ นเซตทไี่ มม่ สี มำชกิ อยเู่ ลย 4. เอกภพสมั พัทธ์ (������) คอื เซตทป่ี ระกอบดว้ ยสมำชกิ ทงั้ หมด ของสง่ิ ทเ่ี รำตอ้ งกำรการเขยี นเซต 1. เขยี นแบบแจกแจงสมำชกิ (Tubular form) มหี ลักกำรเขยี น ดงั นี้ เขยี นสมำชกิ ทงั้ หมดในวงเลบ็ ปีกกำ สมำชกิ แตล่ ะตัวคน่ั ดว้ ยเครอื่ งหมำยจลุ ภำค (,) สมำชกิ ทซ่ี ำ้ กนั ใหเ้ ขยี นเพยี งตวั เดยี ว ในกรณีทจ่ี ำนวนสมำชกิ มำกๆ ใหเ้ ขยี นสมำชกิ อยำ่ งนอ้ ย 3 ตวั แรก แลว้ ใชจ้ ุด 3 จดุ (Triple dot) แลว้ จงึ เขยี นสมำชกิ ตวั สดุ ทำ้ ย 2. เขยี นแบบบอกเงอื่ นไขของสมำชกิ (Set builder form) หลักกำรเขยี นมดี งั น้ี เขยี นเซตดว้ ยวงเลบ็ ปีกกำ กำหนดตัวแปรแทนสมำชกิ ทงั้ หมดตำมดว้ ยเครอ่ื งหมำย | (| อำ่ นวำ่ “โดยท”่ี ) แลว้ ตำมดว้ ย เงอ่ื นไขของตวั แปรนัน้ ดงั รปู แบบ {x | เงอื่ นไขของ x}

ตวั อยำ่ งเชน่การกระทาของเซต 1. กำรยเู นยี น (∪) คอื กำรรวมกนั ของสมำชกิ เชน่ A ∪ B จะไดว้ ำ่ 2. กำรอนิ เตอรเ์ ซคชนั (∩) คอื กำรซ้ำกนั ของสมำชกิ เชน่ A ∩ B จะไดว้ ำ่ 3. ผลตำ่ งเซต (-) คอื เอำแคเ่ ซตใดเซตหนงึ่ ไมเ่ อำเซตทซ่ี ำ้ กนั เชน่ A - B จะไดว้ ำ่

4. กำรคอมพลเี มนท์ (A’, Ac) คอื ไมต่ อ้ งกำรเซตนัน้ ๆ เชน่ A’ คอื ไมเ่ อำเซต Aสบั เซตสบั เซต คอื เซตย่อย เชน่ A ⊂ B ก็ตอ่ เมอื่ สมำชกิ ทกุ ตัวของ A เป็ นสมำชกิ ของ B เชน่ A = {1, 2, 3} สบั เซตของ A คอื {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, ∅ ดงั นัน้ จำนวนสบั เซตของ A = 2n(A) ∅ เป็ นสบั เซตทเ่ี ลก็ ทส่ี ดุ ของทกุ เซตและ เซตทกุ เซตเป็ นสบั เซตทใ่ี หญ่ทส่ี ดุ ของตวั เองพาวเวอรเ์ ซตหรอื เซตกาลงั P(A) = {สบั เซตทงั้ หมดของ A} เชน่ A= {1, 2, 3} ดงั นัน้ P(A) = {{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, ∅}ขอ้ สงั เกต 1. จำนวนสมำชกิ ของ P(A) = n(P(A)) = 2n(A) 2. เมอ่ื A เป็ นเซตจำกดั และ n(A) = K จะได ้ 2K 2.1 n(P(A)) = 2K 2.2 n(P(P(A))) = 22K 2.3 n(P(P(P(A)))) = 222K ดงั นัน้ จำนวนสมำชกิ ทตี่ ำ่ ทส่ี ดุ ของพำวเวอรเ์ ซตคอื P(A) = 20 = 1 = ∅คณุ สมบตั ขิ องการ Operation1. กฎกำรยบุ 2. กฎกำรสลับท่ีA∩A=A A∩B=B∩AA∪A=A A∪B=B∪A3. กฎกำรเปลย่ี นหมู่ 4. กฎกำรแจกแจง(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)5. กฎเดอรม์ อแกน(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’A – B = A – (A ∩ B) = A ∩ B’ = B’ – A’

สตู รลดทอน ∅ = ������ A – B = A B’ (A’)’ = A ������’ = ∅ A ∪ ∅= A A ∩ ∅= ∅ A ∪ ������ = ������ A ∩ ������ = A A ∪ (A ∩ B) = A A ∩ (A ∪ B) = A A ∪ (A’ ∩ B) = A ∪ B A ∩ (A’ ∪ B) = A ∩ B (A ∩ B) ∪ (A ∩ B’) = A (A ∪ B) ∩ (A U B’) = Aสตู รจานวนสมาชกิ ของเซต • n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B) • n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A∩B) - n(A∩C) - n(B∩C) + n(A∩B∩C) • n(A’) = n(������) - n(A) • n(A-B) = n(A) - n(A∩B)แผนภาพเวนส์ – ออยเลอร์

เลขยกกาลงัสมบตั ขิ องเลขยกกาลงั1. aman = am+n2. am = am−n an3. (am)n = amn เมอ่ื amn ≠ amn4. (ab)n = anbn5. ቀbaቁn = an เมอื่ b ≠ 0 bn6. a−n = 1 เมอื่ a ≠ 0 an7. a0 = 1 เมอื่ a ≠ 0ขอ้ ควรระวงั(a ± b)2 = (a2 ± b2) ใหใ้ ชก้ ำลงั สองสมบรู ณห์ รอื ผลตำ่ งกำลงั สอง1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b22. (a − b)2 = a2 − 2ab + b23. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b34. (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b35. a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)6. a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)สมบตั ขิ องรากที่ nกำหนดให ้ a, b เป็ นจำนวนจรงิ ทม่ี รี ำกที่ n และ n เป็ นจำนวนเต็มบวกทมี่ ำกกวำ่ 11. ൫n√a൯n = a เมอ่ื n√a เป็ นจำนวนจรงิ a เมอื่ a ≥ 02. ൫n√an൯ = ቐ a เมอ่ื a < 0 และ n เป็ นจำนวนคบี่ วก |a| เมอ่ื a < 0 และ n เป็ นจำนวนคบู่ วก3. n√a ⋅ n√b = n√ab4. nටba = n√a เมอ่ื b ≠ 0 n√b5. n√am = amn

ฟงั กช์ นัผลคณู คารท์ เี ชยี น ให ้ A และ B แทนเซตใด ๆ เขยี นผลคณู คำรท์ เี ชยี นของ A และ B วำ่ A×B อำ่ นวำ่ “A Cross B” จะไดว้ ำ่ผลคณู คำรท์ เี ชยี น ของ A และ B (A×B) คอื เซตของคอู่ นั ดบั ทม่ี สี มำชกิ ตวั หนำ้ มำจำก A และสมำชกิ ตวั หลงั มำจำกB A×B = {(x,y) | x ∈ A, y ∈ B}สมบตั ทิ คี่ วรทรำบ 1. ถำ้ A มสี มำชกิ m ตัว และ B มสี มำชกิ n ตวั แลว้ A×B มสี มำชกิ mn ตวั n(A×B) = n(A)×n(B) 2. A×B ≠ B×A แตจ่ ะเทำ่ กนั ก็ตอ่ เมอื่ A = B, A = ∅, B =∅ 3. A×∅ = ∅ = ∅×A 4. A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C), (A∪B)×C = (A×C)∪(B×C) 5. A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C), (A∩B)×C = (A×C)∩(B×C) 6. A×(B−C) = (A×B)−(A×C), (A−B)×C = (A×C)−(B×C) 7. r แทน ควำมสมั พันธท์ สี่ อดคลอ้ งกบั เงอ่ื นไขทตี่ อ้ งกำรจำกผลคณู คำรท์ เี ชยี นขอ้ ควรระวงั !!!! A∪(B×C) ≠ (A∪B)×(A∪C) A∩(B×C) ≠ (A∩B)×(A∩C) A−(B×C) ≠ (A−B)×(A−C)ฟงั กช์ นั โดเมน (Domain) คอื เซตของ x ทที่ ำให ้ y หำคำ่ ได ้ เรนจ์ (Range) คอื เซตของ y ทท่ี ำให ้ x หำคำ่ ได ้ “โดเมน คอื x, เรนจ์ คอื y”การตรวจสอบฟงั กช์ นั 1. ควำมสมั พันธแ์ บบแจกแจงสมำชกิ โดยดวู ำ่ สมำชกิ ตวั หนำ้ จับคกู่ ับสมำชกิ ตัวหลงั มำกกวำ่ 1 คหู่ รอื ไม่ ถำ้ จบั คมู่ ำกกวำ่ 1 คจู่ ะไม่เป็ นฟังกช์ นัเชน่ r1 = {(1, 2), (2, 4), (6, 3), (7, 2), (9, 4)} เป็ นฟังกช์ นั เพรำะไมม่ สี มำชกิ ตวั หนำ้ ใดเลยทจี่ ับคมู่ ำกกวำ่ 1 คู่ r2 = {(2, 2), (2, 4), (4, 1), (5, 8), (7, 1)} ไมเ่ ป็ นฟังกช์ นั เพรำะมสี มำชกิ ตวั หนำ้ ทจี่ บั คกู่ นั มำกกวำ่ 1 คู่ คอื สมำชกิ ตวั หนำ้ 2 จับคกู่ บั 2 และ 4 2. ควำมสมั พันธท์ เี่ ป็ นสมกำร เมอื่ แทนคำ่ x ในสมกำร จะตอ้ งใหค้ ำ่ y ออกมำเพยี งคำ่ เดยี ว ถำ้ ได ้ y มำกกวำ่ 1 คำ่ แสดงวำ่ ไมเ่ ป็ นฟังกช์ นั เชน่ r1 = {(x,y) ∈ R×R | y = x2} เป็ นฟังกช์ นั เพรำะเมอื่ แทน x = 1 , 2 , 3 , … จะได ้ y เพยี ง 1 คำ่ เสมอ r2 = {(x,y) ∈ R×R | x = y2} ไมเ่ ป็ นฟังกช์ นั เพรำะเมอื่ แทนคำ่ x = 1 จะได ้ y มำกกวำ่ หนงึ่ คำ่ คอื 1 และ -1 3. กรำฟของควำมสมั พันธ์ ทำไดโ้ ดยกำรลำกเสน้ ตรงขนำนกบั แกน y ถำ้ ตดั มำกกวำ่ 1 จุดแสดงวำ่ ไมเ่ ป็ นฟังกช์ นั่

กรำฟ A เป็ นกรำฟฟังกช์ นั เพรำะเมอื่ ลำกเสน้ ขนำนกบั แกน y แลว้ ไดจ้ ุดตดั เพยี ง 1 จดุ กรำฟ B ไมเ่ ป็ นกรำฟฟังกช์ นั เพรำะเมอื่ ลำกเสน้ ขนำนกบั แกน y แลว้ ไดจ้ ดุ ตดั 2 จดุ 4. กำรหำคำ่ ของฟังกช์ นั หำไดจ้ ำก 3 วธิ ี ไดแ้ ก่ 1) หำจำกเซตทแี่ จกแจงสมำชกิ 2) อำ่ นจำกกรำฟ และ 3) แทนคำ่ ในสมกำร โดยคำ่ ทห่ี ำไดจ้ ำกฟังกช์ นั จะเป็ นคำ่ y 5. ฟังกช์ นั เชงิ เสน้ คอื ฟังกช์ นั ทอี่ ยใู่ นรปู y = f(x) = ax + b เมอื่ a,b ∈ R และ a ≠ 0 6. ฟังกช์ นั กำลงั สอง กรำฟของฟังกช์ นั กำลงั สอง y = ax2 + bx + c เมอื่ a ≠ 0 แล y = a(x-h)2 + k เป็ นกรำฟพำรำโบลำ แบง่ เป็ น 2 ชนดิ คอื 1) a < 0 จะเป็ นกรำฟพำรำโบลำควำ่ ใหค้ ำ่ สงู สดุ 2) a > 0 จะเป็ นกรำฟพำรำโบลำหงำย ใหค้ ำ่ ตำ่ สดุ สมบตั ขิ องพาราโบลา

1. จดุ ยอด (vertex) หรอื จดุ วกกลบั (turning point) หำไดจ้ ำก V = ቀ− ������ , ������������������������−������������������ቁ ������������2. สมกำรแกนสมมำตรของกรำฟ คอื x = − ������ และ ������������ คำ่ สงู สดุ หรอื ตำ่ สดุ ของฟังกช์ นั คอื y = ������������������−������������ ������������ 3. เมอื่ y = ax2 + bx + c จะได ้ x = K เป็ นแกนสมมำตร แลว้ f(k+Δ) = f(k−Δ) กลำ่ วคอื คำ่ ของ ฟังกช์ นั ทอ่ี ยหู่ ำ่ งจำกแกนสมมำตรเทำ่ กนั จะมคี ำ่ เทำ่ กนั 4. จดุ ตดั แกน x หำไดจ้ ำก ให ้ y = 0 และ จดุ ตดั แกน y ให ้ x = 07. ฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชยี ลคอื ฟังกช์ นั ทอ่ี ยใู่ นรูป f = {(x,y) ∈ R×R+ | y = ax, a > 0, a ≠ 1}กรณีที่ 1 ถำ้ 0 < a < 1 แลว้ f( x ) จะเป็ นฟังกช์ นั ลดกรณีท่ี 2 ถำ้ a > 1 แลว้ f ( x ) จะเป็ นฟังกช์ นั เพม่ิกำรหำคำ่ ของรำกทสี่ องของ x ± 2√y และ ටx ± 2√yจำก ൫√������ + √������൯ = ������ + 2√y ൫√a൯2 + 2√a√b + ൫√b൯2 = ������ + 2√y a + 2√a√b + ������ = ������ + 2√y a + b + 2√ab = ������ + 2√y ටx ± 2√y = √a ± √b กต็ อ่ เมอ่ื a + b = x และ ab = y8. ฟังกช์ นั คำ่ สมั บรู ณ์คอื ฟังกช์ นั ทอ่ี ยใู่ นรูป y = |x – h| + k เมอื่ a, c เป็ นจำนวนจรงิ โดยมี (h, k) เป็ นจดุ ยอดกรณที ่ี 1 a > 0 จะไดก้ รำฟหงำย กรณีท่ี 2 a < 0 จะไดก้ รำฟควำ่

อตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิพจิ ารณาสามเหลย่ี ม ABC จำกรูป ABC เป็ นรูปสำมเหลย่ี มทม่ี มี มุ C เป็ นมมุ ฉำกและดำ้ นตรงขำ้ มมมุ A, B และ C ยำว a, b และ c ตำมลำดบั โดยยดึ มมุ B เป็ นมมุ หลกั จะได ้ a เป็ นควำมยำวของดำ้ นตรงขำ้ มมมุ A หรอื เรยี กวำ่ “ขำ้ ม” b เป็ นควำมยำวดำ้ นประชดิ มมุ A หรอื เรยี กวำ่ “ชดิ ” c เป็ นควำมยำวดำ้ นตรงขำ้ มมมุ ฉำก หรอื เรยี กวำ่ “ฉำก”อตั ราสว่ นของความยาวดา้ นตา่ งๆsin A = ขำ้ ม cos A = ชดิ tan A = ขำ้ ม ฉำก ฉำก ชดิcosec A = 1 A sec A = 1 A cot A = 1 A sin cos tanขอ้ สงั เกต!!! sin A cos A cos A sin A1. tan A = และ cot A =2. (sin A)(cosec A) = 1, (cos A)(sec A) = 1, (tan A)(cot A) = 13. sin2 A + cos2 A = 14. 1 + cot2 A = cosec2 A5. tan2 A + 1 = sec2 Aการยบุ มมุ ทต่ี ดิ ลบ sin (-θ) = -sin θ cos (-θ) = cos θ tan (-θ) = -tan θทฤษฏบี ทพธี าโกรสั ให ้ ABC เป็ นสำมเหลยี่ มมมุ ฉำก และ A,B,C เป็ นควำมยำวดำ้ นแตล่ ะดำ้ นดงั รูป c2 = a2 + b2 “ดำ้ นตรงขำ้ มมมุ ฉำก = ผลบวกกำลงั สองของดำ้ นประกอบ มมุ ฉำก”

อตั ราสว่ นตรโี กณมติ ทิ ค่ี วรทราบ cos = X sin = Yลาดบั และอนกุ รมลาดบั เลขคณิตผลตำ่ งร่วม ������ = ������������+������ − ������������พจนท์ ี่ n ของลำดับเลขคณิต คอื ������������ = ������������ + (������ − ������)������ลาดบั เรขาคณติ ������������+������อตั รำสว่ นร่วม ������ = ������������พจนท์ ี่ n ของลำดับเรขำคณติ คอื ������������ = ������������������������−������

สมบตั ขิ องซกิ มาสตู รผลบวกทส่ี าคญัผลบวกของ n พจนแ์ รกของอนุกรมเขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ Sn = a1 + a2 + a3 + … + an = ∑������������=������ ������������อนุกรมเลขคณติผลบวกของ n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณติ สำมำรถหำไดจ้ ำกสมกำร������������ = ������ [������������������ + (������ − ������)������] หรอื ������������ = ������ (������������ + ������������) ������ ������หมำยเหตุ ในกรณีทเี่ รำรู ้ Sn ตอ้ งกำรจะหำ an ไดจ้ ำกสมกำรน้ี an = Sn – Sn-1 เมอ่ื n ≠ 1 และ Sn = ∑������������=1 ������������อนกุ รมเรขาคณิตผลบวกของ n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขำคณติ สำมำรถหำไดจ้ ำกสมกำร������������ = ������������(������������−������) หรอื ������������ = ������������(������−������������) เมอื่ r ≠ 1 ������−������ ������−������หรอื จะใชส้ มกำร ������������ = ������������(������−������������) หรอื ������������ = ������������−������������������ เมอ่ื r ≠ 1 ใชใ้ นกรณีที่ r < 1 ������−������ ������−������ความนา่ จะเป็ นกฎการนบั เบอ้ื งตน้ 1. กฎกำรคณู ถำ้ มเี หตกุ ำรณ์ย่อยเกดิ ขนึ้ k เหตกุ ำรณ์ (n1, n2, …, nk) และแตล่ ะเหตกุ ำรณเ์ กดิ ขน้ึ ภำยใตเ้ งอ่ื นไขหลักและเงอ่ื นไขย่อยเดยี วกนั จำนวนเหตกุ ำรณ์ทงั้ หมด = n1 × n2 × n3 × … × nk 2. กฎกำรบวก ถำ้ มเี หตกุ ำรณ์ย่อยเกดิ ขน้ึ k เหตกุ ำรณ์ (n1, n2, …, nk) และแตล่ ะเหตกุ ำรณเ์ กดิ ขน้ึ ภำยใตเ้ งอื่ นไขหลกัเดยี วกนั แตม่ เี งอื่ นไขยอ่ ยทตี่ ำ่ งกนั จำนวนเหตกุ ำรณท์ งั้ หมด = n1 × n2 × n3 × … × nk

แฟคทอเรยี ล (Factorial) n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 3 × 2 × 1การสบั เปลย่ี น1. กำรสบั เปลยี่ นเชงิ เสน้ (Linear Permutation)สง่ิ ของทม่ี ลี ักษณะแตกตำ่ งกนั n ชน้ิจำนวนวธิ ใี นกำรสบั เปลยี่ น = n! วธิ ีกำรสบั เปลย่ี นเชงิ เสน้ ของสง่ิ ของทม่ี บี ำงสงิ่ ซ้ำกนั ในกรณที ม่ี สี ง่ิ ของทมี่ ลี กั ษณะเหมอื นกนั n!จำนวนวธิ ใี นกำรสบั เปลยี่ น = n1!n2!n3!…nr! วธิ ี2. กำรสบั เปลย่ี นแบบวงกลม (Circular Permutation) สง่ิ ของมลี กั ษณะแตกตำ่ งกนั n ชน้ิ จำนวนวธิ ใี นกำรสบั เปลย่ี น = (n-1)! วธิ ีการจดั หมแู่ ละการเปลยี่ นลาดบั 1. กำรจดั หมู่nCr = n! = ቀnr ቁ (n−r)!r!2. กำรเปลยี่ นลำดบัnPr = nCr × r! = n! (n−r)!สมบตั ขิ องการจดั หมู่1. ቀn1ቁ = n2. ቀn n 1ቁ = n −3. ቀnnቁ = 14. ቀn0ቁ = 1ความนา่ จะเป็ นให ้ P(E) แทนควำมน่ำจะเป็ นของเหตกุ ำรณ์P(E) = n(E) n(S)

สมบตั ขิ องความนา่ จะเป็ นของเหตุการณ์ 1. 0 ≤ P(E) ≤ 1 โดย P(E) = 0 หมำยถงึ ไมม่ เี หตกุ ำรณน์ ัน้ เกดิ ขนึ้ 2. P(S) = 1 หมำยถงึ ควำมน่ำจะเป็ นของแซมเป้ิลสเปซเทำ่ กบั 1 เสมอ 3. ถำ้ P(E’) แทนควำมน่ำจะเป็ นทเี่ หตกุ ำรณ์ E จะไมเ่ กดิ ขน้ึ แลว้ P(E) = 1 – P(E’)สถติ ิการหาคา่ กลางขอ้ มลู1. ขอ้ มลู ไมแ่ จกแจงควำมถ่ี 1.1 คำ่ เฉลย่ี เลขคณติ ∑x ขอ้ มลู 1 ชดุ x̅ = N ขอ้ มลู k ชดุ x̅i = ∑Nx̅i = N1x̅ 1+N2x̅ 2+⋯+Nk x̅ k ∑N N1+N2+⋯+Nk 1.2 มัธยฐำน (Median) ขนั้ ตอนกำรหำมธั ยฐำน 1) เรยี งลำดับขอ้ มูลจำกนอ้ ยไปหำมำก n+1 2) หำตำแหน่งขอ้ มลู โดยใชส้ ตู ร 2 3) ขอ้ มลู ทตี่ ำแหน่งตรงกบั สตู ร คอื คำ่ มัธยฐำน 1.3 ฐำนนยิ ม (Mode) คอื ขอ้ มลู ทม่ี คี ำ่ ซำ้ กนั บอ่ ยครัง้ ทส่ี ดุ2. ขอ้ มลู แจกแจงควำมถ่ี ∑fxc n 2.1 คำ่ เฉลย่ี เลขคณติ x̅ = โดย f แทน ควำมถข่ี องอนั ตรภำคชนั้ นัน้ ๆ Min + Max xc แทน จดุ กงึ่ กลำงชนั้ 2 n แทน จำนวนขอ้ มลู หรอื ควำมถส่ี ะสมชนั้ สดุ ทำ้ ย 2.2 มธั ยฐำน (Med) ขนั้ ตอนกำรหำมัธยฐำน N 1) หำตำแหน่งขอ้ มลู โดยใชส้ ตู ร 2 2) นำตำแหน่งของขอ้ มลู ทไี่ ด ้ ไปเทยี บกบั ควำมถสี่ ะสม วำ่ อยูใ่ นอนั ตรภำคชนั้ ใด 3) หำคำ่ มธั ยฐำน โดยใชส้ ตู ร Med = L + I (N2f−M∑edfL) โดย L แทน ขอบลำ่ งของชนั้ ทม่ี มี ธั ยฐำนอยู่ I แทน ควำมกวำ้ งของอนั ตรภำคชนั้ ∑fL แทน ควำมถสี่ ะสมจนถงึ กอ่ นหนำ้ ชนั้ ทมี่ มี ธั ยฐำนอยู่ fMed แทน ควำมถขี่ องชนั้ ทมี่ มี ัธยฐำนอยู่ 2.3 ฐำนนยิ ม Mode = L + I ቀd1d+1d2ቁ โดย L แทน ขอบลำ่ งของชนั้ ทม่ี ฐี ำนนยิ มอยู่ (ชนั้ ทม่ี คี วำมถส่ี งู สดุ ) I แทน ควำมกวำ้ งของอนั ตรภำคชนั้ d1 แทน ผลตำ่ งของควำมถี่ ของชนั้ ทม่ี คี วำมถส่ี งู สดุ กบั ชนั้ กอ่ นหนำ้ d2 แทน ผลตำ่ งของควำมถ่ี ของชนั้ ทม่ี คี วำมถสี่ งู สดุ กบั ชนั้ ถัดไป

การวดั ตาแหนง่ ขอ้ มลู1. ขอ้ มลู ไมแ่ จกแจงควำมถี่1.1 ควอไทล์ (Quartile)ขนั้ ตอนกำรหำควอไทล์1) เรยี งลำดบั ขอ้ มลู จำกนอ้ ยไปมำก r(N+1)2) หำตำแหน่งของควอไทลจ์ ำกสตู ร Qr = 43) ขอ้ มลู ทตี่ ำแหน่งตรงกบั สตู ร คอื คำ่ ควอไทล์1.2 เดไซล์ (Decile)ขนั้ ตอนกำรหำเดไซล์1) เรยี งลำดบั ขอ้ มูลจำกนอ้ ยไปมำก r(N+1)2) หำตำแหน่งของเปอเซ็นไทลจ์ ำกสตู ร Dr = 103) ขอ้ มลู ทต่ี ำแหน่งตรงกบั สตู ร คอื คำ่ เดไซล์1.3 เปอรเ์ ซ็นไทล์ขนั้ ตอนกำรหำเปอรเ์ ซน็ ไทล์1) เรยี งลำดบั ขอ้ มูลจำกนอ้ ยไปมำก r(N+1)2) หำตำแหน่งของเปอเซน็ ไทลจ์ ำกสตู ร Pr = 1003) ขอ้ มลู ทต่ี ำแหน่งตรงกบั สตู ร คอื คำ่ เปอรเ์ ซ็นไทล์ Q2 = D5 = P50 = Median2. ขอ้ มลู แจกแจงควำมถี่2.1 ควอไทล์ (Quartile)ขนั้ ตอนกำรหำควอไทล์ rN1) หำตำแหน่งของควอไทลจ์ ำกสตู ร Qr = 42) Qr = L + I (r4N−fQ∑fL)2.2 เดไซล์ (Decile)ขนั้ ตอนกำรหำเดไซล์ rN1) หำตำแหน่งของเดไซลจ์ ำกสตู ร Dr = 102) Dr = L + I (r1N0−fD∑fL)2.3 เปอรเ์ ซ็นไทล์ Pr = rN ขนั้ ตอนกำรหำเปอรเ์ ซน็ ไทล์ 100 1) หำตำแหน่งของเปอรเ์ ซ็นไทลจ์ ำกสตู ร 2) Pr = L + I (1r0N0f−P∑fL)โดย L แทน ขอบลำ่ งของชนั้ ทม่ี คี วอไทล์ เดไซล์ เปอเซน็ ไทลอ์ ยู่I แทน ควำมกวำ้ งของอนั ตรภำคชนั้∑fL แทน ควำมถสี่ ะสมจนถงึ กอ่ นหนำ้ ชนั้ ทมี่ มี คี วอไทล์ เดไซล์ เปอเซ็นไทล์fQ,D,P แทน ควำมถขี่ องชนั้ ทมี่ มี คี วอไทล์ เดไซล์ เปอรเ์ ซน็ ไทลอ์ ยู่

การวดั การกระจายขอ้ มูล1. พสิ ยั = Max – Min Q3−Q12. สว่ นเบย่ี งเบนควอไทล์ = 23. สว่ นเบย่ี งเบนเฉลย่ี (M.D) = Σ|x−x̅| N4. สว่ นเบย่ี งเบนมำตรฐำน (S.D.) = ට∑(x−x̅ )2 = ටΣx2 − x̅ 2 N N5. ควำมแปรปรวน (S.D.)2 = ∑(x−x̅)2 N