tmo62

การแขง ขนั คณติ ศาสตรโอลมิ ปก ระดบั ชาติ ครงั้ ที่ 16 วันท่ี 18 – 22 พฤษภาคม 2562 ขอสอบวนั แรก วนั อาทติ ยที่ 19 พฤษภาคม 2562 เวลา 4 ชว่ั โมง 30 นาที ขอสอบมี 5 ขอ แตล ะขอมีคะแนนเต็ม 7 คะแนน 1. ให ABCDE เปนรูปหาเหลีย่ มนนู ซึง่ ∠AEB = ∠BDC = 90◦ และ AC แบงครงึ่ มมุ ท้ัง ∠BAE และ ∠DCB ใหวงกลมลอ มรอบรูปสามเหลีย่ ม ABE ตดั เสนตรง ←A→C อีกครั้งทจี่ ดุ P (ก) จงแสดงวา P เปนจุดศนู ยก ลางวงกลมลอมรอบรปู สามเหลี่ยม BDE (ข) จงแสดงวา จุด A, C, D, E อยูบนวงกลมเดียวกัน 2. ให a และ b เปนจำนวนเต็มบวกท่แี ตกตางกนั ถา a และ b เปนจำนวนเฉพาะสัมพทั ธ แลว จงแสดงวา 2a(a2 + b2) ไมเ ปน จำนวนเตม็ a2 − b2 3. จงหาฟง กช ัน f : R+ → R+ ทัง้ หมดซึง่ f (x + y f(x) + y2) = f(x) + 2y สำหรับทกุ x, y ∈ R+ 4. กระตา ยตวั หนึ่งเริม่ ตนอยทู ีต่ ำแหนง 0 และกระโดดไปมาบนเสน จำนวนจริง ในการกระโดดแตล ะครง้ั กระตายจะกระโดดไปยงั ตำแหนงทเ่ี ปนจำนวนเตม็ ตำแหนง ใดก็ได แตตอ งไมกระโดดอยกู บั ที่ ให N(a) แทนจำนวนวธิ ีที่กระตายจะกระโดดใหไ ดระยะทางรวมทง้ั หมด 2019 หนว ย แลวสิ้นสุดทีต่ ำแหนง a จงหาจำนวนเต็ม a ทั้งหมด ซ่งึ N(a) เปน จำนวนคี่ 5. กำหนดให a, b, c เปนจำนวนจรงิ บวก ซึ่ง abc = 1 จงแสดงวา 4a − 1 + 4b − 1 + 4c − 1 ≥ 1 (2b + 1)2 (2c + 1)2 (2a + 1)2

การแขง ขันคณติ ศาสตรโอลมิ ปก ระดับชาติ ครงั้ ที่ 16 วันที่ 18 – 22 พฤษภาคม 2562 ขอสอบวนั ทสี่ อง วนั จันทรที่ 20 พฤษภาคม 2562 เวลา 4 ชว่ั โมง 30 นาที ขอสอบมี 5 ขอ แตละขอ มคี ะแนนเต็ม 7 คะแนน 6. จงหาฟงกชนั f : R → R ทั้งหมดซงึ่ x f(y) + y f(x) ≤ xy สำหรับทุก x, y ∈ R 7. ให A = {−2562, −2561, . . . , 2561, 2562} จงแสดงวา สำหรับฟง กช นั หนง่ึ ตอหนง่ึ ทั่วถงึ f : A → A ∑2562 |f(k) − f(−k)| มีคามากสดุ กต็ อ เมอ่ื f(k)f(−k) < 0 สำหรับทกุ k = 1, 2, . . . , 2562 k=1 8. ให ABC เปนรูปสามเหลีย่ ม โดยท่ี AB ̸= AC และมี ω เปน วงกลมลอ มรอบ ให I เปนจดุ ศนู ยกลางของวงกลมแนบในรูปสามเหล่ยี ม ABC ซ่ึงสมั ผสั ดา น BC ที่จดุ D ใหว งกลมซงึ่ มี AI เปนเสน ผานศูนยกลาง ตดั วงกลม ω อกี ครง้ั ที่จุด K ถาเสน ตรง ←→ ตัดวงกลม ω อกี ครั้งท่จี ุด M จงแสดงวา จดุ K, D, M อยบู นเสน ตรงเดียวกัน AI 9. รูปไชยศรี คือ รปู สามเหลยี่ มท่ีมีจดุ ยอดทงั้ สามเปนจุดยอดของรปู 2019 เหลยี่ มดานเทา มุมเทา รูปใดรูปหนึ่ง โดยรปู ไชยศรที ่ตี างกนั อาจเกดิ จากรูป 2019 เหลยี่ มดา นเทามุมเทาขนาดตางกัน รปู ทับแกว คอื รปู หลายเหลีย่ มนนู ซึ่งสามารถตดั แบง ทง้ั รปู ออกเปนรปู ไชยศรหี ลาย ๆ รปู โดยทีจ่ ดุ ยอดของรูปไชยศรีไมจำเปน ตองอยบู นเสนขอบของรูปหลายเหลี่ยมนนู น้ี จงหาวา รปู ทบั แกวมีจำนวนเหลีย่ มไดม ากสดุ เทา ใด 10. จงแสดงวา มจี ำนวนค่ี n อยอู นนั ตจ ำนวนทีท่ ำให n! + 1 ไมเ ปน จำนวนเฉพาะ