Universitas Muhammadiyah Pringsewu MODUL ANALISA VEKTOR Gradien, Divergensi, Curl, Dan Rumus Yang Mengandung Nabla Dosen Pengampu : Nurmitasari, M.Pd 2023 Disusun oleh kelompok 03 Dwi Imam Syaputra Dini Elyawati Viya Marliyanti Analisa Vektor
KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Kuasa karena telah memberikan kesempatan pada saya untuk menyelesaikan tugas ini. Atas rahmat dan hidayah- Nyalah kami dapat menyelesaikan tugas Modul Analisa Vektor ini. Tugas ini disusun guna memenuhi tugas mata kuliah Analisa Vektor. Kami mengucapkan banyak terima kasih kepada Ibu Nurmitasari, M.Pd selaku Dosen Pengampu mata kuliah Analisa Vektor dan kepada semua rekan-rekan yang telah membantu dalam penyusunan tugas ini. Kami menyadari tugas modul ini masih jauh dari kata sempurna. Oleh karena itu, saya mengharapkan kritik dan saran yang membangun untuk perbaikan yang akan mendatang. Harapan kami, semoga tugas modul ini bermanfaat dan memenuhi harapan berbagai pihak. Pringsewu, 25 Maret 2023 Kelompok 03 Analisa Vektor ii ektor
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL ............................................................................................... i KATA PENGANTAR.............................................................................................ii DAFTAR ISI .......................................................................................................... iii A. Gradien ..................................................................................................4 B. Divergensi .............................................................................................6 C. Curl ........................................................................................................8 D. Rumus – rumus yang mengandung nabla .........................................10 E. Latihan soal ..........................................................................................11 Analisa Vektor iii ektor
A. GRADIEN Operatol Del Operator del merupakan operator pada diferensial vector yang disimbolkan dengan ∇ (������������������������������), yang didefinisikan dalam bentuk turunan parsial yaitu : ������ ������ ������ ∇= ������������ ������ + ������������ ������ + ������������ ������ Operator del ini bermanfaat untuk mencari gradien, divergensi, dan curl. 1. DEFINISI GRADIEN : Misalkan ������ (������, ������, ������) terdefinisi dan diferensibel pada setiap titik (������, ������, ������) dalam ruang ������3 maka gradien ������ atau ∇������ didefinisikan oleh : ������ ������ ������ ∇������ = (������������ ������ + ������������ ������ + ������������ ������) ������ ������������ ������������ ������������ = ������������ ������ + ������������ ������ + ������������ ������ Catatan : Bahwa gradien merubah fungsi skalar menjadi fungsi vector. 2. Sifat – sifat gradien Misalkan ������ (������, ������, ������) dan ������(������, ������, ������) adalah fungsi – fungsi scalar yang dideferensiabel pada setiap titik (������, ������, ������) dan c adalah bilangan real, maka berlaku : 1. ∇ (������ + ������) = ∇������ + ∇������ 2. ∇ (c ������) = ������ (∇������) 3. ∇ (������������) = ������∇ψ + ϕ∇ Analisa Vektor 4 ektor
3. Turunan berarah Rumus gradien dikembangkan untuk mendefinisikan turunan berarah, yaitu : Misalkan ������ ������������������������������������������������������������������������������������������ (������, ������, ������). Maka ������ memiliki turunan berarah di (������, ������, ������) pada arah vector satuan ������ = ������1������ + ������2������ + ������3������, yang diberikan oleh ������������������ = ∇������ . ������ Harga maksimum dari turunan berarah sama dengan besar gradient. Harga maksimum dari ������������������ ������������������������������ℎ |∇������|. Contoh : 1. Jika ������ = 2������������4 − ������2, ������������������������������������ℎ ∇������ ������������������ |∇������| ������������������������ ������������������������������ (2, −2,1). Penyelesaian : ∇������ = ������������ ������ + ������������ ������ + ������������ ������ ������������ ������������ ������������ = ������(2������������4−������2������) ������ + ������(2������������4−������2������) ������ + ������(2������������4−������2������) ������ ������������ ������������ ������������ = (2������4 − ������������)������ − ������2������ + 8������������3������ ∇������ (2, −2,1) = 10������ − 4������ + 16������ |∇������| = √102 + (−4)2 + 162 = 2 √93 Analisa Vektor 5 ektor
B. DIVERGENSI 1. Definisi divergensi Misalkan vector ������ (������, ������, ������) = ������1������ + ������2 + ������3������ terdefinisi dan diferensiabel pada setiap titik (������, ������, ������). Divergensi dari V atau div ������(∇. ������) didefinisikan oleh : ������ ������ ������ ∇. ������ = (������������ ������ + ������������ ������ + ������������ ������) . (������1������ + ������2 + ������3������) = ������������1 + ������������2 + ������������3 ������������ ������������ ������������ Catatan : Divergensi mengubah fungsi vector menjadi fungsi scalar. 2. Sifat – sifat divergensi. Misalkan ������(������, ������, ������) ������������������ ������ (������, ������, ������) adalah vector-vektor yang kontinu dan diferensiabel terhadap x, y,z dan z, ������(������, ������, ������)������������������������������ℎ fungsi scalar yang kontinu dan diferensiabel terhadap x,y, dan z, serta ������ ������������������ ������ bilangan real, maka berlaku : ∇. (������������ + ������������) = ������∇. ������ + ������∇. ������ ∇( ������������) = ������(∇. ������) + (∇. ������). ������ ∇. (������������������) = (∇������������). ������ − ������. (∇������������) ∇. (∇������������) = 0 3. Laplacian Misalkan U (������, ������, ������)adalah suatu fungsi scalar yang didefinisikan dan diferen pada titik-titik (������, ������, ������) dalam suatu daerah tertentu dalam ruang maka : Laplacian U atau ditulis ∇2������ didefinisikan sebagai : ������ ������ ������ ������ ������ ������ ∇. ∇������ = (������ ������������ + ������ ������������ + ������ ������������) . (������ ������������ + ������ ������������ + ������ ������������) ∇2������ = ������2������ + ������2������ + ������2������ ������������2 ������������2 ������������2 Contoh : 1. Hitunglah laplacian dari fungsi scalar berikut : Analisa Vektor 6 ektor
������ = ������3 − 3������������2 + ������3 Penyelesaian : Laplacian U atau ditulis ∇2������ didefinisikan sebagai : ∇2������ = ������2������ + ������2������ + ������2������ ������������2 ������������2 ������������2 ∇2������ = 6������ + (−6������ + 6������) + 0 ∇2������ = 0 4. Solenoidel Sebuah vector V dikatakan solenoidel jika divergensinya sama dengan NOL. (∇. ������ = 0 ������������������������ ������������������ ������ = 0) Contoh : 1. Tentukan nilai a sehingga vector ������̅ = (������ + 3������) + (������ − 2������) + (������ + ������������)������ adalah “solenoidel”. Penyelesaian : ∇. ������̅ = ������ (������ + 3������) + ������ (������ − 2������) + ������ (������ + ������������) = 0 ������������ ������������ ������������ 1 + 1 + ������ = 0 ↔ ������ = −2 Analisa Vektor 7 ektor
C. CURL 1. Definisi curl Misalkan vector ������ (������, ������, ������) = ������1������ + ������2 + ������3������ terdefinisi dan diferensiabel pada setiap titik (������, ������, ������). Maka curl dari V atau rot ������(∇������ ������) didefinisikan oleh : ������ ������ ������ ∇������������ = (������������ ������ + ������������ ������ + ������������ ������) ������ (������1������ + ������2 + ������3������) ������ ������ ������ = | ������ ������ ������ ������������ ������������ ������������| ������1 ������2 ������3 ������ ������ ������ ������ ������ ������ |������������ ������������| ������ − |������������ ������������| ������ + |������������ ������������| ������ ������1 ������3 ������2 ������3 ������1 ������2 ∇������������ = (������������������������3 − ������������������������2) ������ + (������������������������1 − ������������������������3) ������ + (������������������������2 − ������������������������1) ������ 2. Sifat-sifat curl Misalkan ������(������, ������, ������)������������������ ������ (������, ������, ������) adalah fungsi vector-vektor yang kontinu dan diferensiabel terhadap x.y, dan z, ������(������, ������, ������)adalah fungsi scalar yang kontinu dan diferensiabel terhadap x,y, dan z dan a adalah bilangan real , maka berlaku : i. ∇x(F + G) = (∇xF) + (∇xG) ii. ∇������������������ = ������(∇������������) iii. ∇x ������������ = (∇������)������������ + ������(∇������������) iv. ∇x(∇xF) = ∇(∇. F) − ∇2������ v. ∇x(∇������) = 0 vi. ∇x(FxG) = (G. ∇)F − G(∇. F) − (F. ∇)G + F(∇. G) 3. Medan vector konservatif Sebuah medan vector yang dapat diturunkan sebuah medan scalar ������ sehingga ������ = ∇������ disebut sebuah medan konservatif dan ������ disebut potensial skalar. Jika V= ∇������, maka ∇������������ = 0 Contoh : 1. Buktikan medan vector ������ = ������2������ + ������2������+������2������ ������������������������������ℎ medan vector konservatif. Analisa Vektor 8 ektor
4. Irotasional Sebuah vector ������̅ disebut “irotasional” jika curl ������̅ = 0 Contoh : 1. Carilah konstanta – konstanta a,b,c sehingga ������̅ = (������ + 2������ + ������������)������ + (������������ − 3������ − ������)������ + (4������ + ������������ + 2������)������ ������������������������������������������������������������������! Jawab : ������ ������ ������ Curl ������̅ = (∇���������̅���) = | ������ ������ ������ | ������������ ������������ ������������ ������ + 2������ + ������������ ������ − 3������ − ������ 4������ + ������������ + 2������ = (������ + 1)������ + (������ − 4)������ + (������ − 2)������ Ini sama dengan nol, apabila a = 4, b = 2, c = -1, sehingga vektornya adalah ������ = (������ + 2������ + 4������)������ + (2������ − 3������ − ������)������ + (4������ + ������ + 2������)������ Analisa Vektor 9 ektor
RUMUS-RUMUS YANG MENGANDUNG NABLA (∇) Rumus pertama Rumus kedua Analisa Vektor 10 ektor
LATIHAN SOAL ! 1. Buktikan bahwa ~ ������������������������������������������������������������������ ~ Analisa Vektor 11 ektor
Search
Read the Text Version
- 1 - 11
Pages: