math_2009_06

หนว ยการเรียนรูท่ี 1 จาํ นวนนบัผลการเรยี นรทู ่คี าดหวงั 1. บอกความหมายของตัวประกอบได 2. สามารถหาตวั ประกอบของจํานวนนับใดๆ ได 3. บอกความหมายของจาํ นวนเฉพาะได 4. บอกไดว า จํานวนนับใดเปนจาํ นวนเฉพาะ จํานวนนบั 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , . . . เรยี กวา “จํานวนนบั ” ดงั นนั้ จาํ นวนนบั ท่ีนอ ยท่ีสดุ คือ.......................................................... จาํ นวนนบั ทม่ี ากทีส่ ดุ คอื .......................................................... จากจาํ นวนนบั 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , . . . 1, 3, 5, 7, 9, . . . เรียกวา จาํ นวนคี่ 2, 4, 6, 8, . . . เรยี กวา จาํ นวน....................... เพราะฉะนน้ั จํานวนนบั จงึ ประกอบไปดว ยจํานวนคูและจํานวนค่ีจํานวนนับคูจาํ นวนนบั คตู วั ที่ 1 คอื 2 = 2(1)จาํ นวนนับคตู วั ท่ี 2 คอื 4 = 2(2)จํานวนนับคตู วั ท่ี 3 คอื 6 = 2(3)จํานวนนบั คตู วั ท่ี 4 คือ 8 = 2(4) Mจํานวนนบั คูต วั ท่ี 10 คอื ...................................................................................................................... Mจาํ นวนนบั คตู วั ท่ี n คอื ...................................................................................................................... ♦ จาํ นวนนบั คู : เปน จาํ นวนนบั ที่ 2 หารลงตวั หรอื เปน จํานวนนบั ทมี่ ี 2 เปน ตวั ประกอบ

คณติ ศาสตรร ะดับมธั ยมศึกษาปท่ี 1 -2-จาํ นวนนับค่ี = 2(1)-1จํานวนนับค่ีตวั ที่ 1 คือ 1 = 2(2)-1จาํ นวนนับคต่ี วั ท่ี 2 คอื 3 = 2(3)-1จํานวนนบั คตี่ วั ท่ี 3 คอื 5 = 2(4)-1จาํ นวนนับค่ีตวั ท่ี 4 คือ 7 Mจํานวนนบั คี่ตวั ท่ี 10 คือ...................................................................................................................... Mจํานวนนับค่ตี วั ที่ n คือ ......................................................................................................................♦ จาํ นวนนบั คี่ : เปนจาํ นวนนับที่ 2 หารไมลงตัว เหลอื เศษ 1หรอื เปน จาํ นวนนบั ทไ่ี มมี 2 เปน ตวั ประกอบนกั เรยี นจงตอบคําถามตอไปน้ี ª จาํ นวนนับคตู วั ท่ี 12 คอื .......................................................................................................... ª จํานวนนบั คตู วั ท่ี 20 คอื .......................................................................................................... ª จาํ นวนนับคีต่ วั ที่ 15 คอื .......................................................................................................... ª จํานวนนับคีต่ วั ที่ 30 คอื .......................................................................................................... ª 2 เปน จาํ นวนนบั คูจ ํานวนหน่งึ จาํ นวนนับคถู ัดไป คอื 4 จาํ นวนคูทงั้ สองตา งกันอย.ู ............ ª 50 เปน จาํ นวนนบั คูจํานวนหน่งึ จาํ นวนนับคถู ัดไป คอื .......จาํ นวนคทู ง้ั สองตา งกนั อย.ู ............ ª 146 เปนจํานวนนับคูจาํ นวนหนึ่ง จาํ นวนนบั คูถ ดั ไป คือ.......จาํ นวนคทู งั้ สองตางกันอย.ู ............ ª ถา a เปนจาํ นวนนบั คูจ าํ นวนหนง่ึ จาํ นวนนับคถู ดั ไป คือ.................................................. ª ถา a + 2 เปน จาํ นวนนับคจู าํ นวนหน่ึง จาํ นวนนบั คูถัดไป คือ.................................................. ª ถา a - 7 เปน จํานวนนับคูจ ํานวนหนึง่ จาํ นวนนับคถู ัดไป คอื .................................................. ª 3 เปน จํานวนนับคีจ่ าํ นวนหนง่ึ จาํ นวนนับคี่ถัดไป คือ 5 จาํ นวนค่ที ัง้ สองตา งกนั อยู............. ª 19 เปน จาํ นวนนบั ค่ีจาํ นวนหนงึ่ จํานวนนับคี่ถดั ไป คอื .......จาํ นวนคูทงั้ สองตางกนั อย.ู ........... ª ถา b เปน จํานวนนบั คีจ่ าํ นวนหนง่ึ จํานวนนบั ค่ถี ดั ไป คือ.................................................. ª ถา b + 3 เปนจํานวนนับคจี่ าํ นวนหนึ่ง จํานวนนบั ค่ถี ดั ไป คือ.................................................. ª ถา b - 9 เปน จํานวนนับค่จี ํานวนหน่งึ จาํ นวนนับคี่ถัดไป คอื ..................................................จากขางตน สามารถสรปุ ไดว า ถา x เปนจาํ นวนนับคจู ํานวนหนึง่ จาํ นวนนบั คูถดั ไป คือ x+2 ถา y เปนจาํ นวนนับค่จี าํ นวนหนง่ึ จาํ นวนนบั ค่ีถัดไป คือ y+2

คณิตศาสตรร ะดับมัธยมศกึ ษาปท ี่ 1 -3-1.1 ตวั ประกอบ • จํานวนนับทห่ี าร 16 ลงตัว ไดแ ก 1, 2, 4, 8, 16 เราสามารถกลา วไดว า 1, 2, 4, 8, 16 เปนตวั ประกอบของ 16• จํานวนนบั ทห่ี าร 20 ลงตวั ไดแก..................................................................................... เราสามารถกลา วไดว า.....................................................................................................• จาํ นวนนับทหี่ าร 81 ลงตวั ไดแก. .................................................................................... เราสามารถกลาวไดว า .....................................................................................................• ถา a เปนจํานวนนับจํานวนหนึง่ จาํ นวนนบั ทหี่ าร a ลงตัว ไดแ ก. ........................................ เราสามารถกลา วไดว า..................................................................................................... ตวั ประกอบของจาํ นวนนบั ใด ๆ คือ จาํ นวนนับทหี่ ารจาํ นวนนบั นัน้ ไดล งตวั 1 , 2 , 7, 14ตัวอยางท่ี 1 จงหาตัวประกอบของ 14 จาํ นวนนบั ทห่ี าร 14 ลงตวั ไดแ ก ...................... ดงั น้นั ตัวประกอบของ 14 คอื 1 , 2 , 7, 14ตัวอยางท่ี 2 จงหาตัวประกอบของ 23 จํานวนนบั ทห่ี าร 23 ลงตวั ไดแ ก 1, 23 ดังน้นั ตวั ประกอบของ 23 คอื 1 , 23ตวั อยา งท่ี 3 จงหาตัวประกอบของ b พิจารณาตวั ประกอบของ b ในรปู ผลคณู ดงั น้ี b = 1×b ดังนน้ั ตัวประกอบของ b คือ 1 , bตวั อยางที่ 4 จงหาตัวประกอบของ 2a พิจารณาตวั ประกอบของ 2a ในรปู ผลคูณ ดงั น้ี 2a = 2 × a ; 2a = 1 × 2a ดงั นัน้ ตวั ประกอบของ 2a คือ 1 , 2 , a , 2a

คณิตศาสตรร ะดับมัธยมศึกษาปท ่ี 1 -4-ตัวอยางท่ี 4 จงพจิ ารณาวา 25 เปนตวั ประกอบของ 525 หรือไม เพราะเหตใุ ด25 เปน ตัวประกอบของ 525 ตองพจิ ารณาวาเพราะวา 25 หาร 525 ไดผ ลลพั ธ 21 25 หาร 525 ลงตวั หรอื ไมแสดงวา 25 หาร 525 ไดลงตัวดงั นั้น 25 จึงเปน ตวั ประกอบของ 525ตวั อยางที่ 5 จงหาจาํ นวนนับทน่ี อยทีส่ ุด ทม่ี ี 1, 2, 4, 8 เปน ตัวประกอบ พจิ ารณาตวั ประกอบท่มี ากทส่ี ุด คอื 8 พบวา 1 หาร 8 ลงตวั 2 หาร 8 ลงตวั และ 4 หาร 8 ลงตวั ดงั นั้น จํานวนนบั ทน่ี อยทส่ี ุดท่มี ี 1, 2, 4, 8 เปน ตวั ประกอบ คอื 8♦ สาระนารู ♦ 1 เปน ตวั ประกอบของจํานวนนับทุกจาํ นวนมมุ นาคิด ในการหาตวั ประกอบของจาํ นวนนับ เราจะสามารถรูไดอ ยา งไรวา เราสามารถหาไดถกู ตอ ง ครบถวนทกุ ตวั มหี ลักการในการตรวจสอบ เชน ตองการหาตัวประกอบทั้งหมดของ24วา มกี ีต่ วั→ แยกตัวประกอบของ 24 โดยเขยี นใหอ ยใู นรปู ผลคณู ของจํานวนเฉพาะ ดงั นี้ 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 23 × 3→ พิจารณาเลขช้กี ําลังของ 2 และ 3 ดังน้ี 2 มเี ลขชก้ี ําลงั เปน 3 และ 3 มเี ลขช้กี าํ ลงั เปน 1→ นาํ เลขชกี้ าํ ลังแตละตวั บวกดวยหนงึ่ แลวนํามาคณู กัน ดงั น้ี (3+1) × (1+1) = 8→ ผลลัพธทไ่ี ดบ อกถึงจาํ นวนท่ีเปน ตัวประกอบทงั้ หมดของ 24 วา มกี ตี่ ัว ดงั นน้ั ตวั ประกอบทง้ั หมดของ 24 มี 8 ตวั คอื 1 2 3 4 6 8 12 24

คณิตศาสตรร ะดับมัธยมศึกษาปที่ 1 -5- แบบฝกหดั ที่ 1ใหนักเรยี นตอบคําถามตอไปน้ีขอ 1. ตวั ประกอบทง้ั หมดของ 17 คอื .............................................................................................ขอ 2. ตัวประกอบทงั้ หมดของ 24 คือ .............................................................................................ขอ 3. ตวั ประกอบทง้ั หมดของ 60 คอื .............................................................................................ขอ 4. ตวั ประกอบทง้ั หมดของ 60 คือ .............................................................................................ขอ 5. ตัวประกอบทง้ั หมดของ d คือ .............................................................................................ขอ 6. ตัวประกอบทงั้ หมดของ 2c คือ .............................................................................................ขอ 7. ตวั ประกอบทง้ั หมดของ 4ab คอื .............................................................................................ขอ 8. ตวั ประกอบทงั้ หมดของ 8pg คือ...............................................................................................ขอ 9. ตวั ประกอบทง้ั หมดของ 15pg คอื .............................................................................................ขอ 10. 15 เปนตัวประกอบของ 225 หรอื ไม เพราะเหตใุ ด.......................................................................................................................................................ขอ 11. 7 เปนตวั ประกอบของ 497 หรอื ไม เพราะเหตใุ ด.......................................................................................................................................................ขอ 12. 31 เปน ตัวประกอบของ 326 หรือไม เพราะเหตใุ ด.......................................................................................................................................................ขอ 13. 4 เปน ตัวประกอบของจํานวนใดบา ง ....................................................................................ขอ 14. 9 เปน ตวั ประกอบของจํานวนใดบาง ....................................................................................ขอ 15. จาํ นวนนับทนี่ อยท่สี ดุ ท่มี ี 1 , 2 , 3 , 9 เปน ตัวประกอบ คอื .....................................................ขอ 16. จาํ นวนนบั ทน่ี อยท่สี ดุ ทมี่ ีตวั ประกอบตางๆ กนั 3 ตัว คอื ........................................................ขอ 17. ผลบวกของจาํ นวนนบั คูสองจาํ นวนใดๆ ไดผลลัพธเปน จาํ นวนนบั คู หรือ จาํ นวนนบั คี่………………………………………………………………………………………………………………ขอ 18. ถา 3m เปน จํานวนนบั คจ่ี ํานวนหนงึ่ จํานวนนบั คี่ถดั ไป คอื ......................................................

คณิตศาสตรระดับมธั ยมศึกษาปท ่ี 1 -6-1.2 จาํ นวนเฉพาะ• ตัวประกอบของ 2 คอื 1 และ 2• ตัวประกอบของ 11 คอื 1 และ 11• ตวั ประกอบของ 43 คือ 1 และ 43จํานวนนบั ทมี่ ากกวา 1 และมีตัวประกอบเพียง 2 ตวั คอื 1 และ ตัวเองเรยี กวา “จํานวนเฉพาะ” ตะแกรงของเอราโตสเทเนส ( The Sieve of Eratosthenes ) เปน วธิ ีการหาจาํ นวนเฉพาะของเอราโตสเทเนส นกั คณิตศาสตรช าวกรกี ซึง่ คดิ ไวเม่อื ประมาณ 2,200 ปม าแลว โดยการตัดจาํ นวนทไี่ มใ ชจ าํ นวนเฉพาะทง้ิ เชน หาจํานวนเฉพาะระหวา ง 1 ถึง 40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 401) 1 ไมเ ปนจํานวนเฉพาะ ตัด 1 ทงิ้2) 2 เปนจาํ นวนเฉพาะ วงไว3) จาํ นวนทีม่ ี 2 เปนตัวประกอบไมใชจาํ นวนเฉพาะ ใหนกั เรยี นตัดทง้ิ4) ถา 3 เปน จาํ นวนเฉพาะวงไว ถา ไมใ ช ตัดทงิ้ จํานวนที่มี 3 เปน ตัวประกอบ นกั เรียนจะวงไวห รือ ตัดท้งิ5) ใหน ักเรยี นทํากับ 5 เชน เดยี วกนั กบั ที่ทาํ ในขอ 4)6) จาํ นวนท่เี หลอื จากการตดั ทง้ิ จะเปนจาํ นวนเฉพาะระหวา ง 1 ถึง 40 ใหน กั เรียนหาวา มีจาํ นวน ใดบาง

คณิตศาสตรร ะดับมัธยมศึกษาปท่ี 1 -7- แบบฝก หดั ท่ี 2ใหนกั เรยี นตอบคาํ ถามตอไปน้ีขอ 1. จาํ นวนเฉพาะ ต้งั แต 27 ถึง 53 คอื ............................................................................................ขอ 2. จาํ นวนเฉพาะ ต้ังแต 57 ถงึ 83 คือ............................................................................................ขอ 3. 87 เปน จํานวนเฉพาะหรอื ไม เพราะเหตใุ ด.................................................................................ขอ 4. จํานวนเฉพาะทน่ี อ ยทสี่ ดุ คือ....................................................................................................ขอ 5. จาํ นวนเฉพาะทมี่ ากทส่ี ดุ ท่ีเปน เลข 2 หลกั คือ...........................................................................ขอ 6. จาํ นวนเฉพาะทนี่ อยทสี่ ุด แตม ากกวา 151 คอื ...........................................................................ขอ 7. ตวั ประกอบเฉพาะของ 210 มีอะไรบาง..................................................................................... แบบฝกหัดเพม่ิ เตมิ 1ใหนกั เรยี นแสดงวธิ ที ํา (ลงในสมุด)1. 8 เปนตวั ประกอบของจํานวนตอ ไปนี้หรือไม เพราะเหตใุ ด1) 8 2) 46 3) 136 4) 42. จงหาตวั ประกอบทงั้ หมดของจํานวนตอไปน้ี1) 10 2) 13 3) 117 4) 1323. จงหาจํานวนนบั ทนี่ อ ยทส่ี ดุ ทม่ี ีจํานวนทุกจาํ นวนในแตละขอ ตอไปนี้เปน ตวั ประกอบ1) 1 , 2 , 4 2) 1 , 2 , 3 , 6 3) 1 , 3 , 44) 1 , 3 , 4 , 8 5) 1 , 5 6) 1 , 114. จงหาจาํ นวนนับทนี่ อ ยทส่ี ดุ ทม่ี ีตวั ประกอบตา งๆ กัน 1) 6 ตัว 2) 5 ตวั5. ขอความตอ ไปน้จี รงิ หรอื เท็จ 1) จํานวนนบั ที่ลงทา ยดว ย 0 , 2 , 4 , 6 และ 8 ทกุ จาํ นวนเปน จํานวนคู 2) จาํ นวนนบั ที่ลงทา ยดวย 1 , 3 , 5 , 7 และ 9 ทุกจาํ นวนเปนจํานวนคี่ 3) จาํ นวนนบั ทกุ จาํ นวนคณู ดว ย 2 แลว ไดจ ํานวนคู 4) จาํ นวนนับทกุ จาํ นวนคูณดวย 3 แลว ไดจาํ นวนคี่

คณติ ศาสตรระดับมธั ยมศกึ ษาปท่ี 1 -8-6. ผลลพั ธตอไปนี้เปน จาํ นวนคูหรอื จาํ นวนค่ี จงยกตวั อยา งพรอ มใหเ หตผุ ล 1) ผลบวกของจํานวนคูสองจาํ นวนใดๆ 2) ผลบวกของจาํ นวนค่ีสองจํานวนใดๆ 3) ผลบวกของสองจาํ นวนใดๆ ท่ีจํานวนหนึ่งเปน จาํ นวนคู และอกี จาํ นวนหนง่ึ เปน จาํ นวนคี่7. ใหน กั เรยี นดคู วามสมั พนั ธระหวา งผลบวกของจาํ นวนคี่กบั จํานวนทอ่ี ยใู นรูปเลขยกกาํ ลงั ทม่ี ีเลขชก้ี าํ ลงั เทากบั สองตอ ไปนี้ แลวหาคาํ ตอบเตมิ ใน ใหถูกตอง1 = 1 = 121 + 3 = 4 = 221+3+5 = 9 = 321 + 3 + 5 +7 ==1+3+5+7+9 ==1 + 3 + 5 + 7 + 9 + . . . + 37 + 39 = =8. จงหาจาํ นวนเฉพาะที่อยรู ะหวา ง 40 ถงึ 609. จงหาจํานวนเฉพาะท่มี ากท่สี ุดทน่ี อ ยกวา 6010. มจี าํ นวนเฉพาะทง้ั หมดก่ีจาํ นวนทนี่ อยกวา 6011. จาํ นวนคทู กุ จาํ นวนไมเ ปนจาํ นวนเฉพาะใชห รือไม เพราะเหตใุ ด12. จาํ นวนเฉพาะทุกจาํ นวนเปน จํานวนคใ่ี ชหรือไม เพราะเหตุใด13. จํานวนคท่ี กุ จาํ นวนเปน จาํ นวนเฉพาะใชห รอื ไม เพราะเหตุใด14. 91 เปน จาํ นวนเฉพาะหรอื ไม15. 13× 7 เปนจาํ นวนเฉพาะหรือไม16. จงหาจาํ นวนเฉพาะทม่ี ากท่สี ดุ ซ่งึ เปน จาํ นวนท่ีมสี องหลกั17. จงหาจาํ นวนเฉพาะ ตงั้ แต 89 ถึง 12718. จงหาจาํ นวนเฉพาะ ระหวาง 131 ถงึ 15119. จงหาผลบวกของจาํ นวนเฉพาะ ระหวา ง 157 ถึง 19

คณติ ศาสตรร ะดับมธั ยมศึกษาปที่ 1 -9-ผลการเรยี นรูที่คาดหวัง 1. บอกความหมายของตัวประกอบเฉพาะ พรอ มยกตัวอยา งได 2. บอกความหมายของการแยกตัวประกอบของจาํ นวนนบั ใดๆ ได 3. สามารถแยกตวั ประกอบของจาํ นวนนบั ใดๆ ได1.3 การแยกตัวประกอบ ตัวประกอบของ 12 คอื 1 , 2 , 3 , 4 , 6 และ 12 ª ตวั ประกอบของ 12 ทเี่ ปน จาํ นวนเฉพาะ คอื ............................ ตวั ประกอบทเ่ี ปน จาํ นวนเฉพาะ เรียกวา ตัวประกอบเฉพาะตวั อยา งท่ี 15 ตัวประกอบเฉพาะของ 4 คือ 2 ตัวประกอบเฉพาะของ 6 คอื 2 , 3 ตัวประกอบเฉพาะของ 9 คือ 3 ตวั ประกอบเฉพาะของ 10 คอื 2 , 5 พจิ ารณาประโยค 12 = 2×6 โดยที่ 2 เปนตวั ประกอบของ 12 และ 6 เปน ตวั ประกอบของ 12 เรยี กประโยค 12 = 2×6 วา เปนการเขยี น 12 ในรูป การคณู ของตวั ประกอบ ของ 12 ซ่ึงสามารถเขียน 12 ในรปู การคณู ของตวั ประกอบอน่ื ที่ไมซ า้ํ กับประโยคทเี่ ขียนมาแลว ไดอกี หลายประโยค เชน 12 = 1×12 ,12 = 3×4 ประโยค 12 = 2× 2×3 แสดงการเขียน 12 ในรูป การคูณของตัวประกอบเฉพาะ เรยี กประโยคน้วี าการแยกตัวประกอบของ 12 การแยกตวั ประกอบ ของจาํ นวนนับใด ๆ คอื ประโยคทแ่ี สดงการเขียนจาํ นวน น้ันในรูปการคณู ของตวั ประกอบเฉพาะตวั อยางที่ 16 จงแยกตวั ประกอบของ 18 คือ 18 = 2×3×3 จงแยกตวั ประกอบของ 40 คอื 40 = 2×2×2×5

คณติ ศาสตรร ะดับมัธยมศึกษาปท ี่ 1 -10- ในการแยกตวั ประกอบของจาํ นวนทม่ี ีตวั ประกอบหลายๆ จาํ นวน อาจหาตัวประกอบทลี ะ 2 ตวั หลายๆข้นั จนไดต วั ประกอบทกุ ตวั เปน จํานวนเฉพาะ เชน ตองการแยกตวั ประกอบของ 420 มวี ธิ คี ิดดงั นี้ คอื 420 = 2×210 = 2×2×105 = 2×2×3×35 = 2×2×3×5×7 นั่นคือ แยกตัวประกอบของ 420 ไดเปน 420 = 2× 2×3×5×7 หรอื เขียนเปน แผนภาพ ดังน้ี 420 2 × 210 2 × 105 3 × 35 5× 7 ในการแยกตัวประกอบขา งตน มตี วั ประกอบเฉพาะบางตวั ซํา้ กนั เราจะเขียนตวั ประกอบเฉพาะเหลา นนั้ โดยใชความรเู รอ่ื งเลขยกกําลงั เชน ในการแยกประกอบของ 18 มี 3 เปน ตวั ประกอบเฉพาะซ้ํากนัอยู 2 ตวั เราจะเขียน 3×3 ดว ย 32 สัญลกั ษณ 32 เรียกวา เลขยกกาํ ลังที่มี 3 เปน ฐาน และ 2 เปนเลขช้ีกาํ ลงั และอา นวา สามยกกาํ ลงั สองตวั อยางท่ี 17 จงแยกตวั ประกอบของ 36 และเขยี นใหอยูในรปู การคณู กันของเลขยกกาํ ลงัวิธีทาํ 36 = 2×2×3×3 = 22 ×32ตวั อยางที่ 18 จงแยกตัวประกอบของ 600 และเขียนใหอ ยูใ นรูปการคณู กนั ของเลขยกกาํ ลังวธิ ีทาํ 600 = 2×2×2×3×5×5 = 23 ×3×52 แบบฝก หัดเพ่มิ เติม 2ใหนักเรยี นแสดงวธิ ีทํา (ลงในสมดุ )ขอ 1. จงแยกตวั ประกอบของจาํ นวนตอไปน้ี 1.1 189 1.2 333 1.3 513 1.4 735 1.5 1,421 1.6 1,859 1.7 2,057 1.8 4,050ขอ 2. จงหาจาํ นวนนับทีน่ อยท่สี ดุ ทมี่ ีตัวประกอบเฉพาะไมซ าํ้ กนั 4 ตัว

แบบฝกหัดท่ี 3ใหนักเรยี นตอบคําถามตอ ไปน้ี ขอ 6. จงแยกตวั ประกอบของ 36ขอ 1. จงแยกตัวประกอบของ 25 ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ขอ 7. 23 ×3 คอื การแยกตวั ประกอบของ 18ขอ 2. จงแยกตัวประกอบของ 9,009 ใชห รอื ไม.................................................................... ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ขอ 8. จงหาจาํ นวนนับทน่ี อยท่สี ดุ ทมี่ ีตวั.................................................................... ประกอบเฉพาะตางๆ กนั 2 ตัว.................................................................... ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ขอ 9. จงแยกตวั ประกอบของ 18×16ขอ 3. จงหาจาํ นวนนับทนี่ อยทีส่ ุดทม่ี ีตัว ....................................................................ประกอบตางๆ กนั 4 ตวั ........................................................................................................................................ ....................................................................................................................................... ....................................................................ขอ 4. จงหาจาํ นวนนบั ทีน่ อ ยทส่ี ดุ ทม่ี ตี วั ....................................................................ประกอบตา งๆ กัน 5 ตัว ........................................................................................................................................ ขอ 10. จงแยกตวั ประกอบของ.................................................................... 12×9×32×15 ..........................................ขอ 5. จงหาจาํ นวนนับที่นอ ยที่สดุ ทม่ี ตี ัว ....................................................................ประกอบเฉพาะตางๆ กัน 3 ตัว ........................................................................................................................................ .......................................................................................................................................

คณติ ศาสตรร ะดับชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 1 -12-ผลการเรยี นรูทค่ี าดหวงั 1. บอกความหมายของตัวหารรวมมาก (ห.ร.ม.) ได 2. สามารถตวั หารรว มมาก (ห.ร.ม.) ของจาํ นวนนับใดๆ 2 จํานวนขึ้นไปทกี่ าํ หนดใหไ ด1.4 ตวั หารรวมมาก( ห.ร.ม. ) ตัวประกอบของ 12 คือ 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 หมายความวา ตวั ประกอบแตล ะตวั เปนตัวหารทห่ี าร 12 ลงตัว ตวั ประกอบของ 16 คอื 1 , 2 , 4 , 8 , 16 หมายความวา ตวั ประกอบแตละตัวเปนตวั หารท่ีหาร 16 ลงตวั จะพบวา ตัวประกอบของ 12 และตวั ประกอบของ 16 มตี วั ประกอบรว มกันอยู 3 จาํ นวน คือ 12 และ 4 หมายความวา ตวั ประกอบรว ม 1 , 2 และ 4 ตา งกเ็ ปน ตวั หารรว มที่หาร 12 และ 16 ลงตวั แตต ัวหารรวม 1 , 2 และ 4 ทัง้ 3 จํานวนนี้ มี 4 เปน ตัวหารรว มทม่ี ากทส่ี ดุ น่นั คอื 4 เปนตวั หารรวมทม่ี ากทสี่ ุดของ 12 และ 16 เรยี กวา 4 เปน ห.ร.ม. ของ 12 และ 16 ห.ร.ม. คอื ตวั ประกอบรว มหรือตัวหารรวมทีม่ ากทส่ี ดุ ทนี่ าํ ไปหารจํานวน นับใดๆ 2 จาํ นวนขึ้นไปไดล งตวัวิธกี ารหา ห.ร.ม.ตัวอยา งที่ 19 จงหา ห.ร.ม. ของ 16 , 24 และ 56 วิธีท่ี 1 ใชว ธิ หี าตวั ประกอบรวมที่มากทส่ี ุด ตวั ประกอบของ 16 คอื 1 , 2 , 4 , 8 , 16 ตวั ประกอบของ 24 คอื 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 24 ตัวประกอบของ 56 คือ 1 , 2 , 4 , 7 , 8 , 14 , 28 , 56 ตวั ประกอบรว มของ 16 , 24 และ 56 คือ 1 , 2 , 4 , 8 ตัวประกอบรว มทมี่ ากท่ีสดุ คอื 8 ∴ ห.ร.ม. ของ 16 , 24 และ 56 คือ 8

คณิตศาสตรระดับช้ันมธั ยมศึกษาปท ี่ 1 -13- วิธีที่ 2 ใชว ธิ แี ยกตัวประกอบ 16 แยกตัวประกอบได = 2 × 2 × 2 × 2 24 แยกตัวประกอบได = 2 × 2 × 2 × 3 56 แยกตวั ประกอบได = 2 × 2 × 2 × 7 ∴ ห.ร.ม. ของ 16 , 24 และ 56 คอื 2×2×2 = 8 วิธที ่ี 3 ใชว ิธหี ารสัน้ 2 16 24 56 2 8 12 28 2 4 6 14 237 ห.ร.ม. ของ 16 , 24 และ 56 คือ 2×2×2 = 8ตัวอยางที่ 20 จงหา ห.ร.ม. ของ 360 และ 288 วิธีท่ี 3 ใชว ิธหี ารสั้น 4 360 288 9 90 72 2 10 8 54ตอบ ห.ร.ม. ของ 360 และ 288 คอื 4×9×2 = 72วิธีท่ี 4 ใชว ธิ ตี ง้ั หาร 2 แถว 4 1 360 288 288 288 72 0ตอบ ห.ร.ม. ของ 360 และ 288 คือ 72

คณติ ศาสตรร ะดับช้นั มธั ยมศึกษาปที่ 1 -14- 173 865 5 865ตัวอยา งที่ 21 จงหา ห.ร.ม. ของ 1903 , 1038 และ 865 วธิ ที ี่ 4 ใชว ธิ ตี งั้ หาร 2 แถว 0 1 1903 1038 1 1038 865 5 865 173 865 0ตอบ ห.ร.ม. ของ 1903 , 1038 และ 865 คอื 173ตัวอยางท่ี 22 จงหา ห.ร.ม. ของ a2b3c2 , ab4c2 และ a3bc4 วธิ ีท่ี 2 ใชว ิธแี ยกตัวประกอบ a2b3c2 แยกตวั ประกอบได = a × a × b × b × b × c × c ab4c2 แยกตวั ประกอบได = a × b × b × b × b × c × c a3bc4 แยกตวั ประกอบได = a × a × a × b × c × c × c × c ตอบ ห.ร.ม. ของ a2b3c2 , ab4c2 และ a3bc4 คอื a× b× c× c = abc2ตวั อยา งท่ี 23 จงหา ห.ร.ม. ของ 5 และ 7 วธิ ที าํ เราไมสามารถแยกตวั ประกอบของ 5 และ 7 ได แต 1 เปนตวั ประกอบรว มของทกุ ๆจํานวน ตอบ ห.ร.ม. ของ 5 และ 7 คอื 1 แบบฝกหัดเพิม่ เติม 3ใหนกั เรยี นแสดงวธิ ที ํา (ลงในสมุด) 4) 8 กบั 56ขอ 1.จงหา ห.ร.ม. ของ 5) 51 กบั 85 6) 78 , 104 และ 143 1) 9 กับ 15 2) 25 กับ 75 3) 16 , 24 และ 32ขอ 2. 35 เปน ห.ร.ม. ของ 175 และ 385 จงหาตัวประกอบรว มทง้ั หมดของ 175 และ 385

คณติ ศาสตรร ะดับช้นั มัธยมศึกษาปที่ 1 -15-แบบฝก หดั ท่ี 4ใหนักเรยี นตอบคาํ ถามตอไปน้ี ....................................................................ขอ 1. 21 กับ 18 มีตวั ประกอบรวม คือ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................................ ............................................................ขอ 2. 13 กบั 17 มตี วั ประกอบรว ม คือ.................................................................... ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ขอ 7. จงหา ห.ร.ม. ของ 108 และ 120.................................................................... ....................................................................ขอ 3. ตัวหารรว มทมี่ ากที่สดุ ของ 36 และ 48 ....................................................................คือ................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ขอ 8. จงหา ห.ร.ม. ของ 180 , 210 และ 270.................................................................... ....................................................................ขอ 4. ตวั ประกอบรว มท้งั หมดของ 125 และ ....................................................................300 คอื ......................................................... ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ขอ 9. จงหา ห.ร.ม. ของ m2n , mn2 และ....................................................................ขอ 5. จงหาจาํ นวนนบั ทมี่ ากทส่ี ดุ ทหี่ าร 81 m2n2และ 72 ลงตัว ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ขอ 10. จงหา ห.ร.ม. ของ x2y3z4 , x3yz2 ,ขอ 6. จงหาจาํ นวนนับท่มี ากทสี่ ุดทหี่ าร 100 , xy 4z3 และ x3 y 3z3150 และ 200 ลงตวั .................................................................... .................................................................... ....................................................................

ผลการเรยี นรูท คี่ าดหวัง1. สามารถหา ห.ร.ม. ของจํานวนนับ เม่อื กาํ หนดจาํ นวนนับตง้ั แตส องจํานวนขึ้นไปได2. สามารถวเิ คราะหโจทยปญ หา ห.ร.ม.โดยใชกระบวนการแกโจทยป ญ หาได3. สามารถแกโ จทยป ญหาโดยใชต วั หารรวมมากไดโจทยปญหา ห.ร.ม.ตวั อยา งที่ 24 จงหาจํานวนนบั ทม่ี ากท่ีสุดที่หาร 272 และ 446 แลว เหลอื เศษ 11 เทากันวิธีทํา นาํ 272 – 11 = 261และ 446 – 11 = 435น่นั คอื จํานวนนับทม่ี ากท่สี ดุ ทีเ่ ราตองการ จะหาร 261 และ 435 ลงตัวหา ห.ร.ม. ของ 261 และ 435 1 261 435 1 เราตองการหาจํานวนนบั ทมี่ ากท่สี ุดท่ี 174 261 หาร 261 และ 435 ลงตวั นน่ั กค็ ือ เรา 87 174 2 ตองหา ห.ร.ม. ของจาํ นวนนับทงั้ สอง 174 น่ันเอง 0จะได ห.ร.ม. ของ 261 และ 435 คือ 87ตอบ จาํ นวนนบั ทม่ี ากที่สุดทห่ี าร 272 และ 446 แลวเหลอื เศษ 11 เทา กนั คือ 87ตัวอยา งท่ี 25 หอ งประชมุ กวา ง 18 เมตร ยาว 24 เมตร จะตดิ พดั ลมเพดานใหแ ตล ะตวั หางเทาๆ กนัและตัวท่อี ยใู กลฝ าผนงั อยหู า งจากฝาผนงั เทา กับทอ่ี ยหู า งจากพัดลมตวั อ่นื ๆ ดว ย จงหาวา1. จะตดิ พัดลมใหหา งกนั ไดม ากที่สุดก่เี มตร2. จะติดพดั ลมไดท ั้งหมดกตี่ วัวธิ ีทาํ เนือ่ งจากตอ งตดิ พัดลมใหห า งเทา กันและหา งกนั มากท่สี ดุดงั นนั้ ระยะหางทตี่ อ งการ คอื จาํ นวนที่มากทีส่ ุดทจี่ ะหาร 24 และ 18 ลงตวั จํานวนท่ีตองการจงึ เปน ห.ร.ม. ของ 24 และ 18ห.ร.ม. ของ 24 และ 18 คอื 6น่ันคือ จะติดพดั ลมใหห า งกนั ไดม ากทส่ี ดุ 6 เมตรดังนนั้ แบง ดา นกวา งได 18 =3 ชว ง ตดิ พดั ลมได 2 แถว แบงดา นยาวได 24 = 4 ชว ง ติด 6 6พดั ลมไดแถวละ 3 ตวัดงั นนั้ ติดพดั ลมไดทง้ั หมด 2×3 = 6 ตวั 1. ตดิ พดั ลมใหห างกนั ไดมากท่สี ดุ 6 เมตรตอบ 2. ตดิ พดั ลมไดท้ังหมด 6 ตัว

คณิตศาสตรร ะดับชั้นมัธยมศึกษาปที่ 1 -17- แบบฝก หัดท่ี 5ใหนักเรยี นตอบคําถามตอ ไปน้ีขอ 1. 72 เปน ห.ร.ม. ของ 216 และ 432 ใชหรือไม....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ขอ 2. จงหาจาํ นวนนบั ที่มากทส่ี ดุ ทห่ี าร 741 และ 937 แลวเหลอื เศษ 13 เทา กัน..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ขอ 3. จงหาจาํ นวนนับทม่ี ากท่สี ุด ซง่ึ เมอื่ นําไปหารจํานวนนบั 74, 98 และ 114 จะเหลือเศษเทากนั..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ขอ 4. นักเรยี นโรงเรียนสาธติ ชัน้ ม.1 หองหนงึ่ มนี กั เรียนชาย 20 คน นกั เรยี นหญงิ 25 คน ตองการแบงนกั เรยี นออกเปน กลมุ ๆ ทําโครงงานคณิตศาสตร โดยแตล ะกลมุ ใหมีจํานวนนกั เรียนมากท่ีสดุและมีจาํ นวนเทา ๆ กันเปน นกั เรียนชายลว นหรอื นักเรียนหญิงลว น จะแบง นกั เรยี นไดก ลมุ ละกีค่ นและจาํ นวนกก่ี ลุม..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

คณติ ศาสตรร ะดับชั้นมัธยมศึกษาปท ี่ 1 -18-ขอ 5. ตองการขดุ หลมุ เพอื่ ปลกู มะมว งในที่ดนิ รปู สเ่ี หล่ยี มผืนผา ซงึ่ กวาง 18 เมตร ยาว 25.5 เมตรและลอมรั้วมีระยะหา งจากขอบร้ัวเทา กบั ระยะหา งจากหลมุ อื่นๆ จงหาวา ปลกู มะมว งไดอ ยา งนอยทส่ี ดุ ก่ตี น…………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………..ขอ 6. มีผา อยผู นื หนง่ึ กวา ง 36 เซนติเมตร ยาว 180 เซนตเิ มตร ถา ตอ งการตัดเปน รปู สี่เหล่ยี มจัตรุ สั ท่มี ีความยาวของดา นเปน จํานวนเตม็ ซ่ึงมีหนว ยเปนเซนติเมตรโดยไมใหเหลือเศษและขนาดของผา ท่ีตดัออกมคี วามยาวดานละไมตา่ํ กวา 5 เซนตเิ มตร จะตดั ไดม ากที่สุดก่ผี นื และนอยท่สี ุดกผ่ี นื…………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………..ขอ 7. กระดาษรูปสีเ่ หลยี่ มผืนผา แผน หนึ่งยาว 60 เซนติเมตร กวา ง 18 เซนติเมตร ถา ตอ งการตดิกระดาษแผน นี้ดวยกระดาษสรี ูปส่เี หล่ียมจัตุรสั หลายๆ สี จะตอ งตดั กระดาษสีมขี นาดใหญท ี่สดุ เทาไรจงึ จะติดกระดาษแผน นไ้ี ดพอดี และจะตอ งติดก่แี ผน…………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………..

คณติ ศาสตรร ะดับชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 1 -19- แบบฝก หัดเพมิ่ เตมิ 4ใหนักเรยี นแสดงวธิ ีทํา (ลงในสมดุ )ขอ 1. มเี ชอื กอยู 3 เสน ยาว 3.5 , 4.9 และ 5.6 เมตร ถาจะแบงเปนเสน สัน้ ๆ ใหเ ทา ๆ กนั และยาวทส่ี ดุทจี่ ะยาวได จะไดเ ชือกยาวเสนละก่ีเมตร และไดเชอื กกเ่ี สนขอ 2. นักเรยี นชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 1 , 2 และ 3 ของโรงเรยี นแหง หนงึ่ มจี ํานวนดงั น้ี 216 คน , 198 คนและ 162 คน ตามลาํ ดับ ถาทางโรงเรยี นตอ งการแบงนักเรียนเหลานอี้ อกเปน กลมุ ๆ ละเทา ๆ กนัโดยนักเรยี นในแตละกลมุ ตอ งเปน นกั เรยี นในชนั้ เดยี วกัน เพ่อื เปนเวรรกั ษาความสะอาดในโรงเรยี น จะแบงนักเรียนไดอ ยางมากท่สี ดุ กลุมละกีค่ น และแบง ไดท ง้ั หมดกก่ี ลุมขอ 3. จรุ ีมีผาอยูผนื หน่ึงกวาง 0.75 เมตร ยาว 1.25 เมตร ตอ งการตัดเปน รูปส่เี หลย่ี มจัตุรัสเพอ่ื ทาํผา เช็ดหนาโดยไมเหลือเศษ และขนาดของผา ท่ีตดั ออกมีความยาวดานละประมาณ 20 ถึง 30เซนตเิ มตร จรุ ีจะตดั ผา เชด็ หนาไดมากท่สี ดุ ก่ีผนืขอ 4. จงหาจาํ นวนนับท่มี ากทีส่ ุดทหี่ าร 15 , 23 และ 31 แลว เหลือเศษ 1 , 2 และ 3 ตามลาํ ดบัขอ 5. ตองการตดิ ตัง้ พัดลมเพดานในหอ งประชมุ ซึ่งกวา ง 18 เมตร ยาว 24 เมตร โดยใหพดั ลมแตละตัวมรี ะยะหา งเทากันและตวั ท่อี ยูใกลฝ าผนงั มรี ะยะหา งจากฝาผนงั เทากับระยะหางจากพัดลมตวัอื่นๆ จงหาวาตอ งใชพดั ลมอยางนอ ยทส่ี ดุ กีต่ ัวขอ 6. จงหาจาํ นวนนบั ท่มี ากที่สดุ ทห่ี าร 676 และ 460 แลวเหลอื เศษ 1 เทา กันขอ 7. จงหาจาํ นวนนบั ทีม่ ากท่สี ดุ ทห่ี าร 70 และ 105 แลวเหลือเศษ 2 และ 3 ตามลาํ ดับขอ 8. มสี มอยสู ามชนิด ชนดิ ทห่ี น่ึงมี 48 ผล ชนดิ ทสี่ องมี 60 ผล และชนดิ ทส่ี ามมี 84 ผล ตอ งการแบงสมออกเปนกอง กองละเทา ๆ กนั ใหแ ตล ะกองมจี าํ นวนมากทสี่ ุดและไมเหลอื เศษ โดยท่ีสม แตล ะชนิดไมปะปนกนั จะแบง สมไดกกี่ อง กองละกผี่ ลขอ 9. นักเรยี นกลุมหนงึ่ เปน ชาย 64 คน เปนหญงิ 96 คน ถา ตองการจดั แถวนักเรยี นชายและนกั เรียนหญงิ ใหไ ดแถวละเทา ๆ กนั และไดแถวยาวท่สี ุด โดยไมใหน กั เรยี นชายและนกั เรยี นหญิงอยูในแถวเดียวกนั จะจัดไดกแ่ี ถว และแถวละกีค่ นขอ 10. ไมอัดแผน หน่งึ กวา ง 104 เซนตเิ มตร ยาว 195 เซนติเมตร นาํ มาตัดเปน แผน รปู สเี่ หลยี่ มจตั ุรัสท่ีมีขนาดเทากนั ทกุ แผนใหไ ดแ ผนขนาดใหญท ี่สดุ และไมเ หลือเศษ จะไดไมอ ดั รูปสเี่ หลยี่ มจัตุรัสกี่แผน และแตล ะแผน มขี นาดเทา ใดขอ 11. จงทาํ 24 ใหเ ปน เศษสว นอยางตา่ํ 36 78ขอ 12. จงทาํ 108 ใหเปน เศษสว นอยา งต่าํ เราจะทราบไดอยา งไรวาคาํ ตอบทีไ่ ดเปน เศษสวนอยา งตาํ่ขอ 13. ห.ร.ม. ของจํานวนนบั สองจาํ นวนใดๆ มากกวาหรือเทากับ 1 เสมอหรือไม เพราะเหตใุ ด

คณิตศาสตรร ะดับชัน้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 1 -20-ผลการเรยี นรทู คี่ าดหวงั 1. บอกความหมายของตัวคณู รว มนอ ย (ค.ร.น.) ได 2. สามารถหาตวั คูณรว มนอ ย (ค.ร.น.) ของจาํ นวนนบั ใดๆ 2 จาํ นวนข้ึนไปท่ีกําหนดใหได1.5 ตวั คูณรวมนอ ย( ค.ร.น. ) จํานวนท่มี ี 12 เปนตวั คณู รว ม ไดแก 12 , 24 , 36 , 48 , 60 , 72 , 84 , 96 , . . . จาํ นวนที่มี 16 เปน ตวั คณู รว ม ไดแ ก 16 , 32 , 48 , 64 , 80 , 96 , . . . จะพบวา 12 และ 16 มตี วั คณู รว มกันอยูหลายจํานวน คอื 48 , 96 , 144 , . . . แตต วั คูณรว มทนี่ อ ยทสี่ ุด คอื 48 เรียกวา 48 เปน ค.ร.น. ของ 12 และ 16 ค.ร.น. คอื ตวั คณู รว มท่ีนอ ยท่ีสุดทจ่ี าํ นวนนบั ใดๆ 2 จาํ นวนข้นึ ไปหาร ตัวคณู รว มทนี่ อยทสี่ ดุ นั้นลงตวัวิธีการหา ค.ร.น.ตัวอยา งที่ 26 จงหา ค.ร.น. ของ 16 , 24 และ 56 วธิ ีที่ 1 ใชว ธิ หี าตัวคูณรว มทนี่ อ ยทส่ี ดุ 16 จาํ นวนท่ีมี 16 เปนตัวคณู รว ม ไดแ ก 16 , 32 , 48 , 64 , 80 , 96 ,112 , 128 , 144 , 160 176 , 192 , 208 , 224 , 240 , 256 , 272 , 288 304 , 320 , 366 , . . . 24 จํานวนทมี่ ี 24 เปน ตวั คณู รวม ไดแก 24 , 48 , 72 , 96 , 120 , 144 , 168 , 192 , 216 240 , 264 , 288 , 312 , 336 , . . . 56 จํานวนท่ีมี 56 เปนตวั คูณรว ม ไดแก 56 , 112 , 168 , 224 , 280 , 336 , . . . ตวั คณู รวมทน่ี อ ยทีส่ ุด คอื 336 ค.ร.น. ของ 16 , 24 และ 56 คอื วิธที ี่ 2 ใชว ธิ หี ารสนั้ 2 16 24 56 4 8 12 28 237ค.ร.น. ของ 16 , 24 และ 56 คอื 2×4×2×3×7 = 336

คณติ ศาสตรร ะดับชัน้ มัธยมศึกษาปท ี่ 1 -21-ตวั อยางที่ 27 จงหา ค.ร.น. ของ 270 , 252 และ 324 วิธีที่ 2 ใชว ิธหี ารสั้น 3 270 252 324 3 90 84 108 2 30 28 36 3 15 14 18 2 5 14 6 573ค.ร.น. ของ 270 , 252 และ 324 คอื 3×3×2×3×2×5×7×3 = 11,340ตัวอยา งท่ี 28 จงหา ค.ร.น. ของ 615 และ 861 วิธที ี่ 3 ใชว ธิ ตี ง้ั หาร 2 แถว 2 615 861 1 492 615 123 246 2 246 0 123 615 861 57 ค.ร.น. ของ 615 และ 861 คอื 123×5×7 = 4,305ตวั อยางที่ 29 จงหา ค.ร.น. ของ a2b3c2 , ab4c2 และ a3bc4a2b3c2 แยกตวั ประกอบได = a × a × b × b × b × c × cab4c2 แยกตวั ประกอบได = a × b × b × b × b × c × ca3bc4 แยกตวั ประกอบได = a × a × a × b × c × c × c × cค.ร.น. ของ a2b3c2 , ab4c2 และ a3bc4 คอื a×a×a×b×b×b×b×c×c×c×c = a3b4c4

คณิตศาสตรร ะดับชัน้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 1 -22- แบบฝกหัดท่ี 6ใหน ักเรยี นตอบคาํ ถามตอ ไปนี้ขอ 1. จํานวนที่มี 4 เปน ตวั คูณรว ม ไดแก…………………..…………………………………………….ขอ 2. จาํ นวนท่มี ี 8 เปน ตวั คูณรวม ไดแก………………………………………………………………...ขอ 3. ตวั คณู รว มกนั ของขอ 1. และ 2. ไดแก… …………………………………………………………..ขอ 4. ตวั คูณรว มทนี่ อ ยทสี่ ุดของขอ 3. คือ………………………………………………………………..ขอ 5. ตวั คูณรว มทน่ี อ ยท่สี ดุ ของ 4 และ 8 คือ...................................................................................ขอ 6. ค.ร.น. ของ 36 กับ 48 คือ ขอ 8. ค.ร.น. ของ 21 , 48 และ 35 คือ.................................................................... ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ....................................................................ขอ 7. ค.ร.น. ของ 60 , 90 และ 120 คือ ขอ 9. ค.ร.น. ของ 7, 35 และ 140 คอื.................................................................... ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ....................................................................

คณติ ศาสตรร ะดับชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 1 -23-ขอ 10. ค.ร.น. ของ 2m และ nm คอื ขอ 13. ค.ร.น. ของ a2bc , 2b และ 4abc2 คอื.................................................................... ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ....................................................................ขอ 11. ค.ร.น. ของ m4n8 และ m9n คอื ขอ 14. ค.ร.น. ของ 6ac , ab2 และ 2c คอื.................................................................... ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ....................................................................ขอ 12. ค.ร.น. ของ ab , b และ abc2 คอื ขอ 15. ค.ร.น. ของ 2bd , 10ab และ 5ac คอื.................................................................... ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ....................................................................

ตวั อยา งที่ 30 ระฆัง 3 ใบ เริม่ ตีดงั พรอ มกนั ครัง้ แรกในเวลา 9.00 น. ถาระฆงั ใบท่หี น่ึงตีดงั ทกุ ๆ 15นาที ระฆงั ใบทส่ี องตีดงั ทุกๆ 20 นาที ระฆังใบท่สี ามตดี งั ทกุ ๆ 25 นาที เมอื่ ตดี งั พรอ มกนั คร้งั แรกแลวครง้ั ตอ ไปจะตีดงั พรอมกนั เมอื่ เวลาผา นไปก่ีนาที และตีดังพรอ มกนั ครงั้ ตอ ไปในเวลาก่ีนาฬิกา ระฆังใบทห่ี นงึ่ ตีดังทุกๆ 15 นาที คือ 15 , 30 , 45 , 60 , 75 , 90 , . . . ระฆงั ใบทส่ี องตีดงั ทกุ ๆ 20 นาที คือ 20 , 40 , 60 , 80 , 100 , 120 , . . . ระฆงั ใบทสี่ ามตดี ังทุกๆ 25 นาที คือ 25 , 50 , 75 , 100 , 125 , 150 , . . . จะพบวาระฆงั ท้งั สามใบจะตดี งั พรอ มๆกนั อกี ครง้ั จะตอ งเปน การหาตัวคณู รวมทนี่ อ ยที่สุดนั่นเอง ใชวธิ ีหารสน้ั 5 15 20 25 345ค.ร.น. ของ 15 , 20 และ 25 คอื 5× 3× 4× 5 = 300ตอบ ครั้งตอ ไปจะตดี ังพรอ มกนั เมอื่ เวลาผา นไป 300 นาที = 5 ชั่วโมง จะตดี งั พรอ มกันคร้งั ตอไป ในเวลา 9.00 น. + 5 ชวั่ โมง = 14.00 น. แบบฝกหัดที่ 7ขอ 1. 180 เปน ค.ร.น. ของ 90 และ 150 ใชห รือไม.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ขอ 2. จงหาจาํ นวนนบั ท่ีนอ ยทส่ี ดุ ทหี่ ารดว ย 30 และ 42 แลวเหลอื เศษ 5 เทา กนั...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

คณติ ศาสตรระดับชัน้ มธั ยมศึกษาปท่ี 1 -25-ขอ 3. จงหาจาํ นวนนับที่นอ ยทส่ี ุดทน่ี าํ 25 และ 45 ไปหารแลวเหลือเศษ 9 เทา กัน..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ขอ 4. นกั เรียน 4 คน วง่ิ รอบสนามวงกลม โดยวง่ิ รอบสนาม 1 รอบ คนที่ 1 ใชเ วลา 5 นาที คนท่ี 2 ใชเวลา 12 นาที คนที่ 3 ใชเ วลา 10 นาที คนท่ี 4 ใชเวลา 15 นาที ถาเร่มิ ออกวง่ิ พรอมๆ กนั นานเทา ใดคนทงั้ สจี่ งึ จะวง่ิ อยใู นตาํ แหนง เดยี วกันอกี.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ขอ 5. ทหารเรอื 3 คน ใหส ญั ญาณธงลงจากเสาพรอมๆ กัน โดยคนแรกใหส ญั ญาณทุก ๆ 20 นาที คนที่ 2 ใหสัญญาณทกุ ๆ 25 นาที คนที3่ ใหส ญั ญาณทกุ ๆ 30 นาที ถา ครัง้ แรกใหส ญั ญาณพรอ มกนัเวลา 8.30 น. ครง้ั ทส่ี องจะใหสัญญาณธงลงจากเสาพรอมกนั เมอ่ื เวลาเทา ใด..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

คณติ ศาสตรระดับชั้นมธั ยมศึกษาปที่ 1 -26- แบบฝกหัดท่ี 8ขอ 1. จงหา ห.ร.ม. โดยวธิ ตี ัง้ หารสองแถวของจาํ นวนตอ ไปน้ี1.1 276 กับ 391 1.4 2313 กบั 1028.................................................................... ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ....................................................................1.2 407 กับ 333 1.5 639 กบั 923.................................................................... ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ....................................................................1.3 536 กบั 1675 1.6 1908 กบั 1749.................................................................... ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ....................................................................

ขอ 2. จงหา ค.ร.น. โดยวธิ ีตงั้ หารสองแถวของ จาํ นวนตอไปน้ี2.1 2499 กับ 3213........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................2.2 2355 กับ 4239........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ขอ 3. จงหา ห.ร.ม. โดยวธิ ีตัง้ หารสองแถวของ 869 , 632 และ 1185............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ขอ 4. จงหา ค.ร.น. โดยวธิ ตี ้ังหารสองแถวของ 413 , 295 และ 649............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ขอ 5. จงหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. โดยวธิ ตี ้งั หารสองแถวของ 295 , 555 และ 407............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

คณิตศาสตรร ะดับชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 1 -28- แบบฝกหดั เพมิ่ เติม 5ใหนกั เรยี นแสดงวธิ ีทํา (ลงในสมดุ )ขอ 1. จงแสดงวิธหี า ค.ร.น. ของจํานวนตอ ไปน้ี1.1 40 และ 60 1.2 120 และ 150 1.3 10, 20 และ 30 1.4 8, 32 และ 56ขอ 2. จงหาจาํ นวนนับท่ีนอ ยทีส่ ดุ ซง่ึ หารดวย 36 , 54 และ 63 แลวเหลอื เศษ 7 ทกุ จํานวนขอ 3. รา นขายขนมแหง หน่ึงรับขนมจากผูผลิตเปน งวด ๆ ดังนี้รับขนมปง ไสไกทกุ 2 วนั รับขนมเคกทุก 3 วัน และรบั คุกก้ีทกุ 4 วนั โดยมขี อ ตกลงกับผูผลติ วา เมอ่ื มาสงขนมใหมจ ะรับขนมเกา ที่เหลือกลบั ไป ต๊ิกไปซอ้ื ขนมทรี่ า นนใี้ นวนั ที่ 1 พฤศจิกายน ซงึ่ ตรงกับวนั ที่รานรับขนมทง้ั สามชนิดพรอ มกนั พอดี อยากทราบวาติ๊กควรไปซื้อขนมทีร่ า นนค้ี รงั้ ตอไปเมอื่ ใดจึงจะไดขนมทมี่ าสงใหมท ง้ั สามชนิดขอ 4. จงหา ค.ร.น. ของจาํ นวนในแตละขอ ตอ ไปน้ี4.1 38 และ 57 4.2 13 และ 29 4.3 53 และ 694.4 24, 60 และ 120 4.5 7, 51 และ 147 4.6 3, 11 และ 47ขอ 5. จงใชค วามรเู กย่ี วกับ ค.ร.น. หาผลลพั ธต อไปนี้5.1 ⎛⎝⎜ 4 − 2 ⎞⎟⎠ + 7 3 5 305.2 7 + ⎜⎝⎛ 9 − 5 ⎞⎠⎟ 15 10 85.3 ⎛⎜⎝ 7 − 1 ⎟⎞⎠ − 7 12 16 24ขอ 6. จงหาจาํ นวนนบั ท่นี อ ยท่ีสุดซึง่ หารดวย 9 , 16 และ 24 แลว เหลือเศษ 5 เทากนัขอ 7. นายแมน เกบ็ สม จากสวนไวกองหนง่ึ เขามกี ลอ งอยสู ามขนาด คือกลอ งเล็กจุ 9 ผล กลองกลางจุ12 ผล และกลอ งใหญจ ุ 20 ผล ไมว าจะเลอื กใชก ลอ งขนาดใดกต็ ามเพยี งขนาดเดยี วกส็ ามารถบรรจุสมกองน้ไี ดห มดพอดี อยากทราบวา สม กองนมี้ อี ยา งนอยทสี่ ดุ กี่ผลขอ 8. การเดนิ ทางจากเมอื ง ก ไปเมือง ข ไปไดสามทาง ในแตละวนั นายทา ปลอยรถโดยสารออกพรอมกนัท้ังสามเสน ทาง เวลา 7.30 น. และจะปลอ ยรถโดยสารแตล ะเสนทางในครัง้ ตอ ไปดงั นี้ เสน ทางทหี่ นงึ่ รถออกทกุ 30 นาที เสน ทางทส่ี อง รถออกทกุ 40 นาที เสนทางท่สี าม รถออกทุก 50 นาทีจงหาวา นายทา จะปลอยรถโดยสารทงั้ สามเสน ทางพรอมกนั ครั้งตอ ไปในเวลาเทาใด

คณติ ศาสตรระดับชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 1 -29-ขอ 9. นางสายใจมลี กู สาวสามคน คอื สวย คม และขาํ ลกู สาวทงั้ สามคนอยตู า งจังหวดั แตทกุ คนจะแวะมาเยยี่ มแมเ สมอ โดยตกลงกนั วา สวยมาเยีย่ มแมท ุก 4 วนั คมมาเยย่ี มแมทกุ 5 วนั และขาํ มาเยี่ยมแมท กุ6 วนั ถา ลูกทงั้ สามคนมาเยยี่ มแมพ รอมกนั เมื่อวนั ท่ี 13 เมษายน จงหาวา คร้ังตอ ไปแมจะไดพ บลกู พรอ มกนั สองคนเมื่อใดและสามคนเมอ่ื ใดขอ 10. ค.ร.น. ของจาํ นวนนบั สองจํานวนใดๆ มากกวา หรอื เทา กบั จาํ นวนใดจาํ นวนหนง่ึ ในสองจํานวนนน้ัเสมอใชห รอื ไม เพราะเหตุใดขอ 11. ห.ร.ม. ของจาํ นวนนบั สองจาํ นวนใดๆ หาร ค.ร.น. ของจาํ นวนนบั สองจาํ นวนนน้ั ไดล งตวั เสมอใชหรอื ไม เพราะเหตใุ ด ชวนคิด ความสัมพันธระหวา ง ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจํานวนนบั สองจาํ นวนใด ๆจงทํากิจกรรมตอ ไปน้ีขอ 1. หา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ 6 และ 10ขอ 2. จากจาํ นวนทก่ี ําหนดใหในขอ 1 จงหา 2.1 ผลคูณของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. 2.2 ผลคูณของสองจาํ นวนนน้ัขอ 3. ใหส งั เกตผลลัพธท ไี่ ดจ าก 1) และ 2) ของขอ 2 ผลลัพธท ีไ่ ดมีความสัมพนั ธกนั อยางไรขอ 4. หา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ 8 และ 28 แลว ดาํ เนนิ กิจกรรมตามขอ 2 และขอ 3ขอ 5. ลองกาํ หนดจาํ นวนนบั สองจาํ นวนใดๆ แลวดาํ เนนิ กจิ กรรมตามขอ 1 ขอ 2 และขอ 3ขอ 6.จากกิจกรรมขอ 1 ถงึ ขอ 5 สงั เกตเหน็ หรือไมวา เมอ่ื กาํ หนดจาํ นวนนับสองจาํ นวนให ผลคณู ของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. กับผลคณู ของจํานวนนบั สองจาํ นวนนนั้ สมั พันธกนั อยา งไรขอ 7. จาํ นวนสองจํานวนมี ห.ร.ม. เปน 6 ค.ร.น. เปน 72 และถาจาํ นวนหนง่ึ คือ 18 จงใชข อสรปุ จากขอ6 หาจํานวนอกี จํานวนหนง่ึขอ 8. ใหตรวจสอบจํานวนทหี่ าไดใ นขอ 7 กับ 18 วา มี ห.ร.ม. เปน 6 ค.ร.น. เปน 72 จรงิ หรือไม