تلخيص الوحدة الاولى رياضيات تاسع-محول(1)

‫بسم الله الرحمن الرحيم‬ ‫مديرية التربية والتعليم لواء الشوبك‬ ‫مدرسة الزبيرية الأساسية المختلطة‬ ‫تلخيص الوحدة الأولى لمادة الرياضيات‬ ‫) وحدة الأسس النسبية )‬ ‫الصف التاسع الأساسي‬ ‫الفصل الدراسي الثاني‬ ‫للعام ‪2021/2020‬‬ ‫إعداد المعلمة ‪ -:‬عائشة العسوفي‬

‫عزيزتي الطالبة ‪ -:‬في هذه‬ ‫الوحدة سوف نتعرف على‬ ‫قوانين الأسس النسبية ‪,‬‬ ‫وكيفية تطبيق هذه القوانين‬ ‫في تبسيط التعابير العددية ‪,‬‬ ‫وأيضا سوف نتعرف على‬ ‫كيفية استخدام قوانين الأسس‬ ‫في حل مسائل حياية‬

‫تذكري عزيزتي الطالبة أن مجموعة الأعداد الحقيقية‬ ‫تحتوي على مجموعة ما لا نهاية من الأعداد وتنقسم إلى‬ ‫مجموعتين الأعداد النسبية والأعداد غير النسبية‬ ‫الأعداد النسبية تضم مجموعة الأعداد الصحيحة ‪,‬‬ ‫ومجموعة الأعداد الصحيحة تضم مجموعة الأعداد‬ ‫الطبيعية‬ ‫نرمز لمجموعة الأعداد الحقيقية بالرمز ( ح )‬ ‫نرمز لمجموعة الأعداد النسبية بالرمز ( ن )‬ ‫نرمز لمجموعة الأعداد الصحيحة بالرمز ( ص )‬ ‫نرمز لمجموعة الأعداد الطبيعية ( ط )‬

‫نستذكر عزيزتي الطالبة أن ‪-:‬‬ ‫(س)م‬ ‫تسمى ( س ) هنا الأساس‬ ‫اما ( م ) فيسمى بالأس‬ ‫قوانين الاسس‬ ‫س م = س × س × س × س‪( ......‬م من المرات )‬ ‫‪ )1‬اذا كانت الأساسات متساوية وبينهم اشارة ضرب فاننا نجمع‬ ‫الأسس‬ ‫سم× س ن = س م‪+‬ن‬

‫‪ )2‬اذا كانت الاساسات متساوية وبينهم اشارة القسمة فاننا نطرح‬ ‫الاسس‬ ‫س م ÷ س ن = س م–ن‬ ‫‪)3‬اذا كان هنالك اساس واحد فقط ومرفوع لاسين معا ‪ ,‬فاننا نضرب‬ ‫الاسين‬ ‫( س م ) ن = سم×ن‬ ‫‪ )4‬اذا كان أساسان غير متساويان وبينهما اشارة الضرب ومرفوعين‬ ‫الأس نفسه فاننا نوزع الأس‬ ‫(س×ص)م=سم×صم‬ ‫ويمكن كتابة العكس‬ ‫سم×صم=(س×ص)م‬ ‫‪ )5‬اذا كان الاساسان غير متساويان وبينهما اشارة القسمة ومرفوعين‬ ‫للاس نفسه فاننا نوزع الاس‬ ‫(س÷ص)م=سم÷صم‬ ‫ويمكن كتابة العكس‬ ‫س م÷ص م=(س ÷ص)م‬ ‫‪ )6‬اساس مرفوع لأس ( صفر ) دائما يكون الناتج = ( ‪) 1‬‬

‫س‪1=0‬‬ ‫‪ )7‬اذا كان الاساس مرفوع لاس سالب فاننا ناخذ مقلوب الاساس ونغير‬ ‫اشارة الاس‬ ‫س –م = ‪ ÷ 1‬سم‬ ‫‪ )8‬اذا كانت ن عددا زوجيا موجبا ‪ ,‬وكانت س عددا حقيقيا موجبا فان‬ ‫الجذر النوني للعدد ( س ) يساوي ( س ) ‪/1‬ن‬ ‫ملاحظة هنا ( ن ) هي قوة الجذر‬ ‫‪ )9‬اذا كانت ن عددا فردي موجب ‪ ,‬وكانت س عددا حقيقيا فان‬ ‫الجذر النوني للعدد ( س ) يساوي س ( ‪ /1‬ن )‬ ‫‪ )10‬اذا كانت م تنتمي الى مجموعة الاعداد الطبيعية ‪ ,‬والعدد ( ن )‬ ‫عددا نسبيا ‪ ,‬العدد (س ) ينتمي الى مجموعة الاعداد الحقيقية فان‬ ‫الجذر الميمي للعدد ( س ) المرفوع للاس ( ن )‬ ‫= ( ( س ) ‪/1‬م ) ن =س ن‪/‬م‬ ‫ملاحظة قوة الجذر هنا العدد ( م )‬

‫مثال ‪1 -:‬‬ ‫جدي قيمة ما يلي ‪-:‬‬ ‫‪1000 =10 × 10 × 10 = 3 ) 10 ( )1‬‬ ‫‪) 3 /2 ( × ) 3 / 2 ( × ) 3 /2 ( × ) 3 /2 ( = 4 ) 3 / 2 ( )2‬‬ ‫= ( ‪) 3 × 3 × 3 × 3 ( / ) 2× 2 × 2 × 2‬‬ ‫= ‪81 / 16‬‬ ‫‪25/1 =2)5(/1 = 2 – ) 5 ( )3‬‬ ‫‪0,00243 = )0.3 × 0.3 ×0.3 × 0.3 × 0.3 ( = 5)0.3 ( )4‬‬ ‫‪1 = 0)25 ( )5‬‬ ‫‪ )6‬الجذر التكعيبي للعدد ( ‪)0,064‬‬ ‫لاحظي عزيزتي الطلبة هنا الكسر العشري يمكن تحويله الى كسر عادي‬ ‫أي بسط ومقام‬

‫الجذر التكعيبي لـ ( ‪)1000 / 64‬‬ ‫نتذكر هنا عزيزتي الطالبة من خواص الجذور اذا كان بين العددين‬ ‫اشارة الضرب او القسمة فانه يمكن توزيع الجذر للبسط والمقام‬ ‫الجذر التكعيبي للعدد ‪4=64‬‬ ‫الجذر التكعيبي للعدد ‪10 = 1000‬‬ ‫اذن الجذر التكعيبي للعدد ( ‪0,4 = 10 / 4 = )1000 /64‬‬ ‫‪7- /1)128 ( )7‬‬ ‫نلاحظ هنا ان اشارة الاس سالب وكذلك الاس عبارة عن كسر أي قوة‬ ‫لجذر ‪ ,‬لذلك يجب ان ناخذ مقلوب العدد ليكون الاس موجب‬ ‫( ‪7/1 ) 128 / 1‬‬ ‫أي الجذر السابع للعدد ( ‪2/1 = ) 128/1‬‬

‫مثال ‪2:‬‬ ‫جدي قيمة مايلي ‪_:‬‬ ‫‪7 × 3 /1) 125 ( )1‬‬ ‫لاحظي عزيزتي الطالبة هنا الاولوية للاس ‪ ,‬لذلك يجب ان نجد ناتج‬ ‫القوس المرفوع للاس ثم عملية الضرب‬ ‫الاس هنا عبارة عن عدد نسبي أي كسر لذلك هو قوة لجذر‬ ‫الجذر التكعيبي لعدد ( ‪5 = ) 125‬‬ ‫( ‪7 × 5 = 7 × 3 / 1 ) 125‬‬ ‫= ‪35‬‬ ‫‪6 ) 2/1)3 ( × 3/1)2 ( ( )2‬‬ ‫نلاحظ هنا عزيزتي الطالبة ان العدد ( ‪ ) 2‬مرفوع لاس ثلث‬ ‫أي الجذر التكعيبي للعدد ( ‪ , ) 2‬ولكن العدد ( ‪ ) 2‬ليس مكعب كامل‬ ‫كذلك العدد ( ‪ ) 3‬مرفوع للاس النصف ‪ ,‬أي الجذر التربيعي للعدد ‪3‬‬

‫ولكن العدد ‪ 3‬ليس مربع كامل‬ ‫الاساسان مرفوعان للاس ( ‪) 6‬‬ ‫من قواعد الاسس ‪ ,‬اذا كان الاساسان مختلفان وبينهما اشارة الضرب ‪,‬‬ ‫ومرفوعان لاس واحد ‪ ,‬فاننا نوزع الاس على الاساسين‬ ‫( ( ‪6 ) 2/1 ) 3 ( ( × 6 ) 3/1) 2‬‬ ‫من قواعد الاسس اذا كان الاساس مرفوع لاسين ‪ ,‬فاننا نضربهم‬ ‫( ‪6 × 2/1 ) 3 ( × 6× 3/1 ) 2‬‬ ‫( ‪2/6 ) 3 ( × 3/6 ) 2‬‬ ‫(‪3 )3 ( × 2)2‬‬ ‫‪108=27×4‬‬ ‫‪2/1 )3 ( × 2/1)27 ( )3‬‬ ‫لاحظي عزيزتي الطالبة ان العدد ( ‪ ) 27‬والعدد ( ‪ ) 3‬ليس مربعين‬ ‫كاملين ‪ ,‬ومن قوانين الاسس س م × ص م = ( س × ص ) م‬ ‫( ‪2/1 ) 81 ( = 2/1 ) 3 × 27‬‬ ‫= الجذر التربيعي للعدد ( ‪) 81‬‬ ‫=‪9‬‬

‫‪6/1) 4096 / 15625 ( )4‬‬ ‫نلاحظ هنا عزيزتي الطالبة انه مطلوب الجذر السادس للعدد‬ ‫وكذلك العدد عبارة عن كسر ‪ ,‬ولسهولة الحل نستخدم قوانين الاسس‬ ‫(س÷ص)م=سم÷صم‬ ‫( ‪6/1)4096 ( ÷ 6/1)15625 ( = 6 /1) 4096 / 15625‬‬ ‫=‪4/5‬‬ ‫‪ )5‬خزان ماء مكعب الشكل طول ضلعه ( ‪ 3‬س ‪ 2‬ص ‪ , ) 4‬جدي‬ ‫حجم الخزان ؟‬ ‫الحل ‪ -:‬لاحظي عزيزتي الطالبة ان الخزان شكله مكعب ‪ ,‬والمطلوب‬ ‫من السؤال حجم الخزان ‪ ,‬لذلك نستخدم حجم المكعب‬ ‫حجم المكعب = ( طول الضلع ) ‪3‬‬ ‫حجم المكعب = ( ‪ 3‬س ‪ 2‬ص ‪3 ) 4‬‬ ‫لاحظي عزيزتي الطالبة هنا اكثر من اساس وكلهم مرفوعين لاس نفسه‬ ‫‪ ,‬لذلك نستخدم قوانين الاسس‬

‫(س×ص)م=سم×صم‬ ‫حجم المكعب = ( ‪ 3‬س ‪ 2‬ص ‪3 ) 4‬‬ ‫= ( ‪ ( × 3)3‬س ‪ ( × 3 ) 2‬ص ‪3 ) 4‬‬ ‫هنا نجد ان الاساس مرفوع لاسين لذلك نستخدم قانون‬ ‫( س م ) ن = سم×ن‬ ‫حجم المكعب = ( ‪ 3‬س ‪ 2‬ص ‪3 ) 4‬‬ ‫= ( ‪ ( × 3)3‬س ‪ ( × 3 ) 2‬ص ‪3 ) 4‬‬ ‫= ‪ ( × 27‬س ) ‪ ( × 3×2‬ص ) ‪3 × 4‬‬ ‫= ‪ × 27‬س ‪ × 6‬ص ‪12‬‬

‫مثال ‪3:‬‬ ‫اكتب ما ياتي بصورة لايظهر فيها الجذر في المقام‬ ‫‪)1‬‬

)2

‫الصورة العلمية‬ ‫تعلمنا عزيزتي الطالبة في الصفوف السابقة انه يمكن كتابة الاعداد‬ ‫الكبيرة والاعداد الصغيرة بالصورة العلمية ‪.‬‬ ‫الصورة العلمية هي‬ ‫أ × ‪10‬ن ‪ ,‬حيث أ تنتمي الى [ ‪ , ) 10 , 1‬ن تنتمي لمجموعة الاعداد‬ ‫الصحيحة‬ ‫مثال ‪4:‬‬ ‫عبر عن الاعداد الاتية بالصورة العلمية ‪-:‬‬

‫‪1230000 )1‬‬ ‫لاحظي عزيزتي الطالبة هنا انه يجب وضع الفاصلة بين العددين ‪ 1‬و ‪2‬‬ ‫لذلك سوف نحرك الفاصلة ‪ 6‬خطوات‬ ‫‪1000000 × 1000000 ÷ 1230000‬‬ ‫‪6 ) 10 ( × 1,23‬‬ ‫‪0,00000078 ) 2‬‬ ‫هنا عزيزتي الطالبة يجب ان نحرك الفاصلة ونضعها بين العددين ‪, 7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫لذلك نحرك الفاصلة ‪ 7‬حركات‬ ‫‪) 10000000 /1 ( ÷ 10000000 × 0,00000078‬‬ ‫‪) 7 10 / 1 ( ÷ 7,8‬‬ ‫‪7-10 × 7,8‬‬

‫مثال ‪5:‬‬ ‫اكتب الاعداد الاتية دون استخدام الصورة العلمية ‪-:‬‬ ‫‪8 10 × 6 )1‬‬ ‫= ‪10×10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 6‬‬ ‫= ‪100000000 × 6‬‬ ‫= ‪600000000‬‬ ‫‪5- 10 × 4,2 )2‬‬ ‫‪) 510 /1 ( × 4,2‬‬ ‫‪)1000000/1 ( × 4,2‬‬ ‫‪0,000042 =100000 / 4,2‬‬

‫المعادلات الأسية‬ ‫المعادلة الأسية ‪ -:‬هي عبارة رياضية يكون الأساس‬ ‫فيها عددا حقيقيا والأس متغيرا ‪ ,‬وتحتوي على إشارة‬ ‫المساواة ( = )‬ ‫ويمكن كتابتها على الصورة أ س = ب‬ ‫أ تنتمي لمجموعة الأعداد الحقيقية‬ ‫ب > صفر ‪.‬‬ ‫قاعدة‬ ‫إذا كان أ عددا حقيقيا موجبا ‪ ,‬أ لا تساوي ‪ , 1‬وكان أ‬ ‫س = أ ن ‪ ,‬فان س = ن‬

‫مثال‪6-:‬‬ ‫حل المعادلات الاسية الاتية ‪-:‬‬ ‫‪2‬س = ‪128‬‬ ‫هنا يجب ان يكون الاساسين متساويين حتى نساوي الاس‬ ‫لذلك نبحث بالعدد( ‪ , ) 128‬يجي ان يكتب على صورة العدد ( ‪) 2‬‬ ‫مرفوع لاس معين‬ ‫نلاحظ ان العدد ( ‪ ) 128‬هو من مضاعفات العدد ‪2‬‬ ‫‪2×2×2×2×2×2 × 2 = 128‬‬ ‫‪7 )2 (= 128‬‬ ‫‪2‬س = ‪128‬‬ ‫‪ 2‬س = ( ‪7) 2‬‬

‫بما ان الاساسات متساوية ‪ ,‬اذن الاس متساوي‬ ‫س=‪7‬‬ ‫‪ ) 25 ( )2‬س – ‪125 = 1‬‬ ‫هنا الاساسات مختلفة ‪ ,‬يجب ان نجعلها متساوية‬ ‫نلاحظ انه العددين من مضاعفات العدد ( ‪) 5‬‬ ‫‪5× 5 = 25‬‬ ‫‪2 5 = 25‬‬ ‫‪5 × 5 × 5 = 125‬‬ ‫‪3 5 = 125‬‬ ‫( ‪ ) 25‬س – ‪125 = 1‬‬ ‫( ( ‪ ) 2 ) 5‬س–‪3) 5 ( = 1‬‬ ‫نلاحظ هنا عزيزتي الطالبة انه يوجد اساس مرفوع لاسين ‪ ,‬لذلك‬ ‫نضرب الاسس‬ ‫( ‪(×2 ) 5‬س–‪3) 5 ( = ) 1‬‬

‫نلاحظ هنا عزيزتي الطالبة استخدام خاصية توزيع الضرب على‬ ‫الجمع‬ ‫(‪ 2)5‬س – ‪3 ) 5 ( = 2‬‬ ‫بما ان الاساسات متساوية ‪ ,‬لذلك نساوي الاسس‬ ‫‪ 2‬س – ‪ , 3 = 2‬هنا معادلة خطية بمتغير واحد‬ ‫‪2‬س–‪3=2‬‬ ‫‪2‬س–‪2+3=2+2‬‬ ‫‪2‬س=‪5‬‬ ‫‪2‬س‪2/5=2/‬‬ ‫س = ‪2/5‬‬ ‫س = ‪2.5‬‬ ‫‪ ) 7 ÷ 6 ( )3‬م = ‪36 ÷ 49‬‬ ‫هنا نلاحظ ان في الطرف الايمن البسط هو العدد ( ‪) 6‬‬ ‫‪ ,‬المقام العدد ( ‪) 7‬‬

‫بينما في الطرف الايسر البسط هو العدد ( ‪ ) 49‬وهو من مضاعفات‬ ‫العدد ( ‪ , ) 7‬والمقام هو العدد ( ‪ ) 36‬من مضاعقات العدد (‪)6‬‬ ‫لذلك يجب ان نغير في شكل الطرف الايسر حتى يكون نفس الاساس‬ ‫بالطرف الايمن‬ ‫( ‪ ) 7 ÷ 6‬م = ‪36 ÷ 49‬‬ ‫( ‪ ) 7 ÷ 6‬م = ( ( ‪) ) 6 × 6 ( ÷ ) 7× 7‬‬ ‫(‪)7÷6‬م=( (‪)2)6(÷2)7‬‬ ‫(‪) 7÷6‬م= ( ‪2) 6÷7‬‬ ‫( ‪ ) 7 ÷ 6‬م = ‪2- ) 6 ÷ 7 ( ÷ 1‬‬ ‫( ‪ ) 7 ÷ 6‬م = ‪)2- 6 ÷ 2 – 7 ( ÷ 1‬‬ ‫( ‪ ) 7 ÷ 6‬م = ‪2- 7 ÷ 2- 6 × 1‬‬ ‫(‪ ) 7 ÷6‬م = ( ‪2- ) 7 ÷ 6‬‬ ‫م = ‪2-‬‬ ‫‪) 9 /1 ()4‬س × ‪81 = 27‬‬ ‫يجب ان نجعل الاساسات متساوية ‪ ,‬نلاحظ ان الاعداد كلها من‬ ‫مضاعفات العدد (‪)3‬‬

‫( ‪ ) 9 ÷ 1‬س × ‪81 = 27‬‬ ‫( ‪ ) 3× 3 ÷ 1‬س ×( ‪)3×3×3× 3 (=)3 ×3× 3‬‬ ‫( ‪) 2 3 ÷ 1‬س × ‪4 3 = 3 3‬‬ ‫(( ‪ ) 2—) 3‬س × ‪4 3 = 3 3‬‬ ‫‪ 2– 3‬س × ‪4 3 = 3 3‬‬ ‫لاحظي عزيزتي الطالبة ان الاساسات متساوية ‪ ,‬وبينهم في الطرف‬ ‫الايمن اشارة الضرب ‪ ,‬فاننا نستخدم قانون الاسس‬ ‫سم× س ن = س م‪+‬ن‬ ‫( ‪2 – ) 3‬س ‪4 3 = 3 +‬‬ ‫بما ان الاساسات متساوية ‪ ,‬اذن الاسس متساوية‬ ‫‪ 2-‬س ‪4 = 3 +‬‬ ‫هنا معادلة خطية بمتغير واحد‬ ‫‪ 2-‬س ‪4 = 3 +‬‬ ‫‪ 2-‬س ‪3– 4 = 3 – 3 +‬‬ ‫‪ 2-‬س = ‪ , 1‬نقسم طرفي المعادلة على العدد ( ‪) 2-‬‬ ‫( ‪ 2 -‬س = ‪2- ÷ ) 1‬‬ ‫س = ‪2/1-‬‬ ‫س = ‪0,5-‬‬

‫انتهى تلخيص الوحدة الاولى‬ ‫اتمنى من الله ان تكونوا وجدتم الفائدة‬