تلحيص الرياضيات ثامن

‫ثم نطبق على القانون وهو‬ ‫الوسط الحسابي = مجموع ( ت ر * س ر ) ‪ /‬مجموع ت ر‬ ‫الوسط الحسابي =مجموع حاصل ضرب التكرار بالمركز على‬ ‫مجموع التكرارات‬ ‫مثال ‪3-:‬‬ ‫جدي الوسط الحسابي للبيانات المنظمة في الجدول التالي‬ ‫تر*سر‬ ‫تر سر‬ ‫الفئات‬ ‫‪92 23‬‬ ‫‪4 26 – 20‬‬ ‫‪180 30‬‬ ‫‪6 33 – 27‬‬ ‫‪370 37 10 40- 34‬‬ ‫‪352 44‬‬ ‫‪8 47 – 41‬‬ ‫‪102 51‬‬ ‫‪2 54 - 48‬‬ ‫مجموع ( ت ر * س ر ) = ‪1096‬‬ ‫مجموع ت ر = ‪30‬‬ ‫نطبق على القانون‬ ‫الوسط الحسابي = مجموع ( ت ر * س ر ) ‪ /‬مجموع ت ر‬ ‫= ‪30 / 1096‬‬ ‫= ‪36.533‬‬

‫الوسيط‬ ‫الوسيط هو القيمة التي تتوسط‬ ‫المشاهدات بعد ترتيبها‬ ‫سوف نستذكر عزيزتي الطالبة كيفية إيجاد الوسيط للمشاهدات‬ ‫خطوات إيجاد الوسيط للمشاهدات‬ ‫‪ )1‬ترتيب المشاهدات اما ترتيب تصاعدي او تنازلي‬ ‫‪ )2‬تحديد عدد المشاهدات‬ ‫‪ )3‬اذا كان عدد المشاهدات فردي فاننا نستخدم القانون ( ن ‪2 / ) 1 +‬‬ ‫ويكون الوسيط هي المشاهدة التي ترتيبها الناتج السابق‬ ‫‪ )4‬اما اذا كان عدد المشاهدات زوجي فاننا نستخدم القانون‬ ‫( ( ن‪ (( + ) 2 /‬ن ‪2 / )) 1+) 2 +‬‬

‫ويكون الوسيط هي المشاهدة التي ترتيبها الناتج السابق‬ ‫مثال ‪1 -:‬‬ ‫جدي الوسيط للمشاهدات الاتية‬ ‫‪63 , 46 , 11 , 20 , 84 , 56 , 35 )1‬‬ ‫نعمل على ترتيب المشاهدات ترتيب تصاعدي او تنازلي‬ ‫‪84 , 63 , 56 , 46 , 35 , 20 , 11‬‬ ‫لاحظي عزيزتي الطالبة ان عدد المشاهدات = ‪ , 7‬أي عدد فردي ‪ ,‬لذلك‬ ‫نستحدم القانون الاتي‬ ‫الوسيط = ( ن ‪2 / ) 1 +‬‬ ‫=( ‪2 / ) 1 + 7‬‬ ‫=‪4‬‬ ‫اذن الوسيط هي المشاهدة التي ترتيبها ‪4‬‬ ‫الوسيط = ‪46‬‬ ‫‪136 , 144 , 140 , 130 , 115 , 120 , 142 , 100 )2‬‬ ‫نعمل على ترتيب المشاهدات اما ترتيب تصاعدي او تنازلي‬

‫‪110 , 115 , 120 , 130 , 136 , 140 , 142 , 144‬‬ ‫لاحظي عزيزتي الطالبة انع عد المشاهدات = ‪ , 8‬أي عدد زوجي لذلك‬ ‫نستخدم القانون‬ ‫( ( ن‪ (( + ) 2 /‬ن ‪2 / )) 1+) 2 +‬‬ ‫ن = عدد المشاهدات‬ ‫ن ‪4 = 2/8 = 2 /‬‬ ‫( ن ‪1 + ) 2 / 8 ( = 1 + ) 2/‬‬ ‫=‪1+4‬‬ ‫=‪5‬‬ ‫هنا نجد الوسيط الحسابي للمشاهدة التي ترتيبها (‪ )4‬والمشاهدة التي ترتيبها (‪)5‬‬ ‫الوسيط = ( ‪2 / ) 130 + 136‬‬ ‫= ‪2/266‬‬ ‫=‪133‬‬

‫الوسيط للبيانات المنظمة داخل الجداول التكرارية‬ ‫لايجاد الوسيط للبيانات المنظمة داخل الجداول التكرارية فان‬ ‫‪ )1‬وجود جدول يوجد فيه حدود فعليا عليا وتكرار تراكمي‬ ‫‪ )2‬ايجاد رتبة الوسيط من خلال القانون ( مجموع التكرارات ‪) 2/‬‬ ‫‪ )3‬تحديد ترتيب الوسيط في عمود التكرار التراكمي ‪ ,‬ويقابله الوسيط ( س )‬ ‫في عمود الحدود الفعلية العليا‬ ‫مثال ‪1 -:‬‬ ‫جدي الوسيط للبيانات المنظمة داخل الجدول التكراري‬ ‫التكرار‬ ‫الفئات‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6–4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9–7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪12 – 10‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪15 – 13‬‬

‫‪ )1‬نعمل على انشاء جدول تكراري فية الحدود الفعليا العليا ‪ ,‬والتكرار‬ ‫التراكمي‬ ‫الحدود الفعليا العليا التكرارالتراكمي‬ ‫‪4 6.5‬‬ ‫‪10 9.5‬‬ ‫‪17 12.5‬‬ ‫‪20 15.5‬‬ ‫‪ )2‬نجد رتبة الوسيط‬ ‫رتبة الوسيط = مجموع التكرارات ‪2 /‬‬ ‫= ‪2 / 20‬‬ ‫= ‪10‬‬ ‫‪ )3‬نلاحظ موقع العدد ( ‪ ) 10‬في الجدول السابق في عامود التكرار‬ ‫التراكمي ‪ ,‬نحدد موقعها وما يقابلها من الحدود الفعلية العليا‬ ‫قيمة الحد الفعلي الاعلى الذي يقابل العدد ( ‪ ) 10‬يكون هو الوسيط‬ ‫الوسيط = ‪9.5‬‬

‫مثال ‪2 -:‬‬ ‫جدي الوسيط للبيانات المنظمة داخل الجدول التكراري‬ ‫التكرار‬ ‫الفئات‬ ‫‪10‬‬ ‫‪16 – 12‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪21 – 17‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪26 – 22‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪31 – 27‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪36 – 32‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪41 – 37‬‬ ‫‪ )1‬نعمل على انشاء جدول تكراري فيه حدود فعلية عليا ‪ ,‬والتكرار‬ ‫التراكمي‬ ‫التكرار‬ ‫الفئات‬ ‫‪10‬‬ ‫‪16.5‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪21.5‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪26.5‬‬

‫‪35 31.5‬‬ ‫‪41 36.5‬‬ ‫‪50 41.5‬‬ ‫‪ )2‬نحدد رتبة الوسيط‬ ‫مجموع التكرارات ‪2/50 = 2 /‬‬ ‫‪25‬‬ ‫نحدد قيمة رتبة الوسيط على الجدول في العامود للتكرارالتراكمي ‪,‬‬ ‫نلاحظ انه لا يوجد قيمة للعدد ‪25‬‬ ‫لكن العدد ‪ 25‬موجود بين العددين ( ‪ ) 30‬و ( ‪) 35‬‬ ‫الوسيط =‬ ‫( س – ‪)23-30 (/) 23-25 (= ) 21.5 – 26.5 / ) 21.5‬‬ ‫( س – ‪7/2 = 5/) 21.5‬‬ ‫نستخدم الضرب التبادلي‬ ‫( س ‪5*2 = 7 * ) 21.5-‬‬ ‫( س ‪10 = 7* ) 21.5-‬‬

‫(بقسمة الطرفين على العدد ‪7‬‬ ‫( ( س – ‪7/ ) 10 = 7 * ) 21.5‬‬ ‫( س ‪1.43 = 21.5-‬‬ ‫نعمل على اضافة العدد ( ‪ ) 21.5‬للطرفين للحصول على قيمة س‬ ‫س – ‪21.5 + 1.43 = 21.5+ 21.5‬‬ ‫س = ‪22.93‬‬

‫المنوال‬ ‫نستذكر عزيزتي الطالبة ايجاد المنوال للمشاهدات‬ ‫المنوال هو المشاهدة الاكثر تكرار‬ ‫مثال ‪1 -:‬‬ ‫جدي المنوال للمشاهدات الاتية‬ ‫‪9 , 8 , 14 , 10 , 5 , 9 )1‬‬ ‫المنوال = المشاهدة الاكثر تكرار‬ ‫الموال = ‪ , 9‬في هذه الحالة يسمى وحيد المنوال‬ ‫‪47 , 54 , 41 , 13 , 22 )2‬‬ ‫المنوال = المشاهدة الاكثر تكرار‬ ‫عديم المنوال ‪ ,‬لايوجد منوال هنا ‪ ,‬لان جميع المشاهدات تكررت بنفس المقدار‬ ‫*** المنوال للبيانات المنظمة داخل الجداول التكرارية‬ ‫لايجاد المنوال للبيانات المنظمة داخل الجدول التكراري‬ ‫يجب ان يكون هنالك جدول تكراري منظم‬ ‫المنوال = مركز الفئة ذات اكبر تكرار‬

‫مثال ‪2 -:‬‬ ‫جدي المنوال للبيانات المنظمة داخل التكراري‬ ‫مركز الفئة‬ ‫التكرار‬ ‫الفئات‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6–4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9–7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪12 – 10‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪15 – 13‬‬ ‫‪12‬‬ ‫المنوال = مركز الفئة ذات اكبر تكرار‬ ‫المنوال= ‪11‬‬ ‫مثال ‪2 -:‬‬ ‫جدي المنوال للبيانات المنظمة بالجدول التكراري‬ ‫حدود الفعلية‬ ‫مركز الفئة‬ ‫التكرار‬ ‫الفئات‬ ‫‪14.5 - 9.5‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪14 – 10‬‬ ‫‪19.5 – 14.5‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪19 – 15‬‬ ‫‪24.5 – 19.5‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪24 – 20‬‬ ‫‪29.5 -24.5‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪29 - 25‬‬ ‫‪34.5 – 29.5‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪34– 30‬‬ ‫‪39.5 -34.5‬‬ ‫‪37‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪39 – 35‬‬ ‫‪44.5 – 39.5‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪44 - 40‬‬

‫المنوال = مركز الفئة ذات اكبر تكرار‬ ‫المنوال= ‪32‬‬

‫العلاقات بين مقاييس‬ ‫النزعة المركزية‬ ‫عزيزتي الطالبة‬ ‫هنالك عدة طرق لتمثيل الجداول التكرارية ‪ ,‬وقد تم شرح احدى هذه الطرق‬ ‫وهو المدرج التكراري بمادة الرياضيات الصف السادس‬ ‫في هذا الدرس سوف نتعلم على كيفية تمثيل الجداول التكرارية على شكل منحنى‬ ‫تكراري‬ ‫خطوات تمثيل الجدول التكراري على شكل المنحنى التكراري‬ ‫‪ )1‬إنشاء جدول تكراري‬ ‫‪ )2‬رسم المستوى الديكارتي‬ ‫‪ )3‬تعين على محور السينات ( مركز الفئة )‬ ‫‪ )4‬تعين على محور الصادات التكرار‬ ‫‪ )5‬تعين النقاط من الجدول على المستوى‬ ‫‪ )6‬توصيل خط منحني بين النقاط‬

‫هنالك اشكال للتوزيع‬ ‫‪ )1‬متماثل‬ ‫يكون فيه الوسط = الوسيط = المنوال‬ ‫‪ )2‬ملتو نحو اليمين‬ ‫المنوال < الوسيط < الوسط الحسابي‬ ‫‪ )3‬ملتو نحو اليسار‬ ‫المتوسط الحسابي < الوسيط < المنوال‬ ‫لديك مجموعة من الجداول التكرارية مثلت على شكل‬ ‫مثال ‪1 -:‬‬ ‫منحنى تكراري‬





‫اثر تعديل البيانات في مقاييس‬ ‫النزعة المركزية‬ ‫بصورة عامة ‪-:‬‬ ‫إذا عدلت المشاهدات س‪ . 1‬س‪ , 2‬س‪ ................., 3‬س ن‬ ‫حسب العلاقة الخطية الاتية‬ ‫ص ر = أ سر ‪ +‬ب‬ ‫حيث ص ر ‪ -:‬تعني المشاهدة بعد التعديل‬ ‫س ر ‪ -:‬المشاهدة قبل التعديل‬ ‫أ ‪ ,‬ب ‪ ,‬اعداد حقيقية ‪ ,‬ر = ‪ ,............ , 3 , 2 , 1‬ن‬ ‫فان‪-:‬‬ ‫‪ )1‬المتوسط الحسابي بعد التعديل = أ * المتوسط الحسابي قبل التعديل ‪+‬ب‬ ‫‪ )2‬الوسيط بعد التعديل = أ * الوسيط قبل التعديل ‪ +‬ب‬ ‫‪ )3‬المنوال بعد التعديل = أ * المنوال قبل التعديل ‪ +‬ب‬ ‫مثال ‪1 -:‬‬ ‫عدلت مجموعة من المشاهدات خسب الصيغة الاتية‬ ‫ص ر = ‪ 2‬س ر ‪1+‬‬ ‫اذا علمت ان الوسيط = ‪75‬‬

‫الوسط الحسابي =‪ , 80‬المنوال = ‪77‬‬ ‫جدي المقاييس النزعة المركزية بعد التعديل‬ ‫الوسط الحسابي بعد = أ * الوسط الحسابي قبل ‪ +‬ب‬ ‫= ‪1 + 80 * 2‬‬ ‫= ‪161‬‬ ‫الوسيط بعد = أ * الوسيط قبل ‪ +‬ب‬ ‫= ‪1 + 75 * 2‬‬ ‫= ‪151‬‬ ‫المنوال بعد = أ * المنوال قبل ‪ +‬ب‬ ‫= ‪1+77* 2‬‬ ‫= ‪155‬‬ ‫مثال ‪2 -:‬‬ ‫عدلت البيانات حسب الصيغة الاتية ص ر = ‪ 3‬س ‪5 +‬‬ ‫وكانت المقاييس بعد التعديل كما هي‬ ‫الوسط الحسابي = ‪50‬‬

‫الوسيط = ‪ 60‬المنوال ‪55‬‬ ‫جدي المقاييس قبل التعديل‬ ‫الوسط الحسابي بعد = أ * الوسط الحسابي قبل ‪ +‬ب‬ ‫= ‪ *3‬الوسط قبل ‪5 +‬‬ ‫‪50‬‬ ‫= ‪* 3‬الوسط قبل ‪5 +‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪ * 3 = 5 - 50‬الوسط قبل ‪5 +‬‬ ‫= ‪ * 3‬الوسط قبل ‪ ,‬نقسم على ‪3‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪ = 15‬الوسط قبل‬ ‫الوسيط بعد = أ * الوسيط قبل ‪ +‬ب‬ ‫‪ * 3 = 60‬الوسيط فبل ‪5 +‬‬ ‫‪ 3 = 60‬الوسيط قبل ‪5 +‬‬ ‫‪ 3 = 5 – 60‬الوسيط ‪5 – 5 +‬‬ ‫‪ 3 = 55‬الوسيط ‪ ,‬نقسم على ‪3‬‬ ‫الوسيط = ‪18.33‬‬ ‫المنوال بعد = ا * المنوال قبل ‪ +‬ب‬ ‫‪ * 3 = 55‬المنوال قبل ‪5 +‬‬ ‫‪ * 3 = 5 – 55‬المنوال ‪5 – 5 +‬‬

‫‪ * 3 = 50‬المنوال قبل‬ ‫المنوال قبل = ‪16.66‬‬ ‫تم بحمد الله الانتهاء من تلخيص المادة‬ ‫أتمنى للجميع الاستفادة منه‬