تلخيص تاسع رياضيات

‫ملاحظة ‪=a -:‬معامل س‪= b , 2‬معامل س ‪ =c ,‬الحد المطلق‬ ‫المميز = ب ‪ 4- 2‬أ ج‬ ‫يرمز الى المميز‬ ‫اذا كان المميز > ‪ 0‬فان للمعادلة جذرين حقيقين مختلفين‬ ‫اذا كان المميز < ‪ 0‬فانه لا يوجد حل للمعادلة التربيعية‬ ‫اذا كان المميز =‪ 0‬فان للمعادلة جذر حقيقي مكررا وهو ( ‪-‬ب ‪2 /‬أ )‬ ‫مثال ‪-:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫لديك المعادلات الاتية بيني اذا كان يوجد لها حل‬ ‫‪ 2 )1‬س ‪ 11 + 2‬س ‪0 = 15 +‬‬ ‫المميز = ب ‪ 4 – 2‬أ ج‬ ‫=( ‪15 * 2 * 4 – 2 ) 11‬‬ ‫= ‪120 – 121‬‬ ‫=‪1‬‬ ‫اذن يوجد حلين للمعادلة التربيعية لان المميز > ‪0‬‬

‫‪ )2‬س ‪ + 2‬س ‪0 = 9 +‬‬ ‫المميز = ب ‪ 4 – 2‬أ ج‬ ‫=(‪9*1*4–2)1‬‬ ‫= ‪36 – 1‬‬ ‫= ‪35 -‬‬ ‫اذن المميز < ‪ 0‬لذك لايوجد حل للمعادلة التربيعية‬ ‫‪ )3‬س ‪ 4 – 2‬س ‪0 = 4 +‬‬ ‫المميز = ب ‪ 4 – 2‬أ ج‬ ‫=(‪4*1*4–2)4-‬‬ ‫= ‪16 – 16‬‬ ‫=‪0‬‬ ‫نلاحظ ان المميز = ‪ , 0‬لذلك يوجد حل واحد للمعادلة التربيعية‬

‫مثال ‪-:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫جدي حل المعادلات التربيعية الاتية بستخدام القانون العام‬

‫الوحدة الرابعة‬ ‫الاحتمالات‬

‫مبدأ العد‬ ‫قاعدة مبدأ العد‬ ‫‪ )1‬في عملية تتكون من خطوتين ‪ ,‬إذا كان‬ ‫عدد الطرق أجراء الخطوة الأولى ن ‪, 1‬‬ ‫وعدد طرق إجراء الخطوة الثانية ن ‪, 2‬‬ ‫فان عدد طرق إجراء العملية بأكملها هو‬ ‫ن ‪ * 1‬ن‪2‬‬ ‫مثال ‪1 -:‬‬ ‫لتكن ع = { ‪ , } 9 , 7 , 3 , 8 , 5‬كم عدد ا مكون من منزلتين مختلفتين‬ ‫يمكن تكوينه من هذه الأعداد ؟‬ ‫عدد طرق تكوين العدد الأول = ‪ , 5‬لان عدد الارقام الموجودة بالمجموعة =‬ ‫‪5‬‬

‫‪ ,‬لانه لايسمح بتكرار العدد ‪ ,‬لانه‬ ‫عدد طرق لتكوين العدد الثاني = ‪4‬‬ ‫بالسؤال طلب عددين مختلقين‬ ‫عدد طرق تكوين العددين = ‪4 * 5‬‬ ‫= ‪ 20‬طريقة‬ ‫مثال ‪2-:‬‬ ‫ما عدد الطرق الممكنة لتكوين كلمة من حرفين من مجموعة الحروف الاتية‬ ‫{ س ‪ ,‬ص ‪ ,‬م ‪ ,‬ن ‪ ,‬ك ‪ ,‬ع } ‪ ,‬بغض النظر عن معناها ؟‬ ‫عدد الطرق لتكوين الحرف الأول = ‪ , 6‬عدد حروف المجموعة = ‪6‬‬ ‫‪ ,‬عدد حروف المجموعة =‪, 6‬‬ ‫عدد طرق تكوين الحرف الثاني = ‪6‬‬ ‫وطلب بغض النظر عن معناها‬ ‫عدد طرق تكوين الحرفين = ‪6 * 6‬‬ ‫= ‪ 36‬طريقة‬

‫الفضاء العيني والتجربة العشوائية‬ ‫التجربة العشوائية‪-:‬‬ ‫هي التجربة التي يمكن معرفة جميع نواتجها‬ ‫الممكنة قبل إجرائها ‪ ,‬ولكن لا يمكن تحديد أي من‬ ‫هذه النواتج سيتحقق فعلا إلا بعد إجراء التجربة‬ ‫الفضاء العيني‪-:‬‬ ‫هو مجموعة كل النواتج الممكنة لهذه التجربة ‪,‬‬ ‫ويرمز لها بالرمز اوميجا ( ‪) Ω‬‬ ‫مثال ‪1 -:‬‬ ‫جدي الفضاء العيني لتجربة القاء حجر نرد ثم قطعة نقد ؟‬ ‫لاحظي عزيزتي الطالبة ان التجربة الاولى هي القار حجر نرد ‪ ,‬اما التجربة‬ ‫الثانية فهي القاء قطعة نقد‬

‫‪,1({=Ω‬ص)‪,1(,‬ك)‪,2(,‬ص)‪,2(,‬ك)‪,3(,‬ص)‪,‬‬ ‫(‪,3‬ك)‪,4(,‬ص)‪,4( ,‬ك)‪,5(,‬ص)‪,5(,‬ك) ‪,‬‬ ‫(‪,5‬ص)‪,6(,‬ص) ‪,6(,‬ك)}‬ ‫هنالك طريقتين لتمثيل الفضاء العيني‪-:‬‬ ‫‪ )1‬الشجرة البيانية‬ ‫‪ )2‬المستوى الاحداثي‬ ‫مثال ‪2 -:‬‬ ‫جدي الفضاء العيني لتجربة إلقاء حجري نرد ‪ ,‬استخدمي طريقة المستوى‬ ‫الاحداثي‬ ‫‪, ) 5 , 1 ( , ) 4 , 1 ( , ) 3 , 1( , ) 2 ,1 ( , ) 1 , 1 ( { Ω‬‬ ‫( ‪, ) 4 , 2 ( , ) 3 , 2 ( , ) 2 , 2 ( , )1 , 2 ( , ) 6 , 1‬‬ ‫( ‪, ) 4 , 3( , ) 3 , 3( , ) 2, 3 ( , ) 1 , 3 ( , ) 6 , 2 ( , ) 5 , 2‬‬ ‫(‪4( , ) 4 , 4( , ) 3 , 4( , ) 2 ,4 ( , ) 1, 4 ( , ) 6 , 3( , ) 5, 3‬‬ ‫‪, )5 , 5( , ) 4, 5( , ) 3, 5( , ) 2 ,5 ( ) 1, 5( , ) 6 , 4( , ) 5 ,‬‬ ‫(‪, 6( , ) 5 , 6( , ) 4 , 6( , ) 3 , 6 ( ) 2 , 6( , ) 1, 6( , ) 6 , 5‬‬ ‫‪})6‬‬

‫مثال ‪3 -:‬‬ ‫جدي الفضاء العيني لتجربة القاء قطعتي نقد باستخدام طريقة الشجرة ؟‬ ‫‪( {=Ω‬ص‪,‬ص) ‪(,‬ص‪,‬ك)‪(,‬ك‪,‬ص)‪(,‬ك‪,‬ك)}‬

‫الحادث‬ ‫الحادث‪ -:‬مجموعة جزئية من الفضاء العيني لتجربة عشوائية‪ ,‬ويرمز له بالرمز ح‬ ‫يرمز لعدد عناصر الحادث ع ( ح )‬ ‫أنواع الحوادث ‪-:‬‬ ‫‪ )1‬الحادث البسيط‪ - :‬هو الحادث الذي يحوي عنصرا واحدا فقط من الفضاء العيني ‪Ω‬‬ ‫‪ )2‬الحادث المركب ‪ -:‬هو الحادث الذي يحوي عنصرين او أكثر من الفضاء العيني ‪Ω‬‬ ‫‪ )3‬الحادث الأكيد ‪ -:‬هو الحادث الذي يحوي جميع عناصر الفضاء العيني ‪Ω‬‬ ‫‪ )4‬الحادث المستحيل‪ -:‬هو الحادث الذي لا يحوي أي عنصر من الفضاء العيني ‪Ω‬‬ ‫مثال ‪1 -:‬‬ ‫في تجربة القاء قطعة نقد ثم حجر نرد ‪ ,‬جدي ما يلي ‪-:‬‬ ‫ح‪ = 1‬ظهور العدد زوجي‬ ‫ح‪ =2‬ظهور كتابة والعدد ‪3‬‬ ‫ح‪= 3‬ظهور عدد اولي وصورة‬ ‫ح‪ =4‬ظهور عدد اكبر من ‪6‬‬ ‫ح‪ =5‬ظهور صورة او كتابة‬

‫دائما اول خطوة يجب كتابة الفضاء العيني‬ ‫‪ ( {=Ω‬ص ‪ ( , )1 ,‬ك ‪ ( , ) 1 ,‬ص ‪ ( , ) 2 ,‬ك ‪ ( , ) 2 ,‬ص ‪, ) 3 ,‬‬ ‫( ك ‪ ( , ) 3 ,‬ص ‪ ( , ) 4 ,‬ك ‪ ( , ) 4 ,‬ص ‪( , ) 5 ,‬ك ‪ ( , ) 6 ,‬ص ‪, ) 6 ,‬‬ ‫(ك‪})6,‬‬ ‫ح‪ ( { = 1‬ص ‪ ( , ) 2 ,‬ك ‪ ( , ) 2 ,‬ص ‪ ( , ) 4 ,‬ك ‪ ( , ) 4 ,‬ص ‪( , ) 6 ,‬‬ ‫ك‪})6,‬‬ ‫هذا النوع يسمى الحادث المركب‬ ‫ح‪ ( { = 2‬ك ‪} ) 3 ,‬‬ ‫هذا النوع يسمى الحادث البسيط‬ ‫ح‪ ( {=3‬ص ‪ ( , ) 2 ,‬ص ‪ ( , ) 3 ,‬ص ‪} ) 5 ,‬‬ ‫هذا النوع يسمى الحادث المركب‬ ‫ح‪} {=4‬‬ ‫مجموعة خالية‪ ,‬لان حجر النرد لا تحتوي على الرقم اكبر من ‪6‬‬ ‫هذا النوع يسمى الحادث المستحيل‬ ‫ح‪ ( { = 5‬ص ‪ ( , )1 ,‬ك ‪ ( , ) 1 ,‬ص ‪ ( , ) 2 ,‬ك ‪ ( , ) 2 ,‬ص ‪, ) 3 ,‬‬ ‫( ك ‪ ( , ) 3 ,‬ص ‪ ( , ) 4 ,‬ك ‪ ( , ) 4 ,‬ص ‪( , ) 5 ,‬ك ‪ ( , ) 6 ,‬ص ‪) 6 ,‬‬ ‫‪(,‬ك‪})6,‬‬ ‫ح‪Ω = 5‬‬ ‫هذا النوع يسمى الحادث الأكيد‪ ,‬لان عناصر الحادث = عناصر الفضاء العيني‬

‫هنالك عدة عمليات تجري على الحوادث‬ ‫∩ اشارة للتقاطع المجموعات ‪ ,‬أي جميع العناصر المشتركة بين المجموعات ‪ ,‬ويرمز له‬ ‫بالحرف ( و )‬ ‫‪ Ս‬هذه الاشارة تعني الاتحاد ‪ ,‬وهي جميع العناصر المشتركة وغير المشتركة بين‬ ‫المجموعات‬ ‫( ‪ ) -‬اشارة الفرق ‪ ,‬يعني جميع العناصر الموجودة بالمجموعة الاولى وليست موجودة‬ ‫بالمجموعة الثانية‬ ‫المتممة ( هي إشارة – توضع على الحادث من الأعلى ) وتعني جميع العاصر الموجودة‬ ‫بالفضاء العيني ولا توجد بالحادث‬ ‫مثال ‪2:‬‬ ‫في تجربة القاء حجر نرد جدي ما يلي‬ ‫ح‪ -: 1‬ظهور عدد زوجي‬ ‫ح‪ =2‬ظهور عدد فردي‬ ‫ح‪ =3‬ظهور عدد اولي‬ ‫ح‪= 4‬ظهور عدد اصغر من ‪0‬‬ ‫ح‪ = 5‬ظهور عدد مربع كامل‬ ‫ح‪∩ 1‬ح‪ , 2‬ح‪ ∩3‬ح‪ , 5‬ح‪ – 2‬ح ‪ , 5‬ح‪4‬‬

‫الحل ‪-:‬‬ ‫يجب كتابة الفضاء العيني‬ ‫‪} 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 {=Ω‬‬ ‫ح‪} 6 , 4 , 2 { =1‬‬ ‫ح‪} 5 , 3 , 1 { = 2‬‬ ‫ح‪} 5 , 3 , 2 { = 3‬‬ ‫ح ‪ , } { =4‬لا يوجد عناصر اصغر من الصفر‬ ‫ح‪}4,1{=5‬‬ ‫ح‪∩ 1‬ح‪} { = 2‬‬ ‫أي العناصر الموجودة في الحادثين ‪ ,‬ولكن بدون تكرار‬ ‫ح‪ ∩3‬ح‪} 4 , 1 , 5 , 3 , 2 { = 5‬‬ ‫جميع العناصر الموجودة في الحادثين ولكن بدون تكرار‬ ‫ح‪ – 2‬ح ‪} 5 , 3 { = 5‬‬ ‫أي العناصر الموجودة في ح‪ 2‬وليست موجودة في ح ‪5‬‬ ‫ح‪ - Ω = 4‬ح ‪ 3, 2 , 1 { = 4‬و ‪} 6, 5 , 4‬‬ ‫أي العناصر الموجودة في ‪ Ω‬وليست موجودة في ح‪4‬‬

‫هنالك تمثيل لإشكال فن‪ ,‬وهذه الإشكال توضيحية للعمليات بين المجموعات‬

‫احتمال الحادث‬ ‫التكرار النسبي لحادث ما ‪-:‬‬ ‫هو النسبة بين عدد مرات وقوع الحادث‬ ‫الى عدد مرات اجراء التجربة‬ ‫احتمال وقوع الحادث ح = عدد عناصر الحادث ح ‪ /‬عدد عناصر‬ ‫الفضاء العيني‬ ‫بالرموز ل ( ح ) = ع ( ح ) ‪ /‬ع ( ‪)Ω‬‬ ‫مثال ‪1 -:‬‬

‫صندوق يحتوي على مجموعة من البطاقات تحمل الاسماء الاتية {‬ ‫اجمد ‪ ,‬علي ‪ ,‬دعاء ‪ ,‬نسرين ‪ ,‬ميسون ‪ ,‬نرجس }‬ ‫جدي ما يلي‬ ‫ح‪ = 1‬ظهور اسم بنت‬ ‫ح‪ = 2‬ظهور اسم ولد‬ ‫ح‪ = 3‬ظهور اسم توفيق‬ ‫‪ { =Ω‬اجمد ‪ ,‬علي ‪ ,‬دعاء ‪ ,‬نسرين ‪ ,‬ميسون ‪ ,‬نرجس}‬ ‫ح‪ { = 1‬دعاء ‪ ,‬نسرين ‪ ,‬ميسون ‪ ,‬نرجس }‬ ‫ح‪ { =2‬احمد ‪ ,‬علي }‬ ‫ح‪} { = 3‬‬ ‫ل ( ح‪ = ) 1‬ع ( ح‪ / ) 1‬ع (‪) Ω‬‬ ‫= ‪7/4‬‬ ‫ل ( ح‪ = )2‬ع ( ح‪ / ) 2‬ع (‪) Ω‬‬ ‫= ‪7/2‬‬ ‫ل ( ح‪ = )3‬ع ( ح‪ / ) 3‬ع (‪) Ω‬‬ ‫= ‪7/0‬‬ ‫=‪0‬‬

‫الحمد لله‬ ‫انتهى تلخيص المادة‬ ‫ان شاء الله الجميع يستفيد من هذا التخليص‬