تلخيص الوحدة الاولى رياضيات الصف الثامن

‫بسم الله الرحمن الرحيم‬ ‫مديرية التربية والتعليم لواء الشوبك‬ ‫مدرسة الزبيرية الاساسية المختلطة‬ ‫تلخيص الوحدة الاولى لمادة الرياضيات‬ ‫الصف ‪ -:‬الثامن الاساسي‬ ‫وحدة المعادلات الخطية بمتغيرين‬ ‫الفصل الدراسي الثاني ‪2021/2020‬‬ ‫اعداد المعلمة ‪ -:‬عائشة العسوفي‬

‫المعادلات موضوع رياضي له تطبيقات واسعة في شتى مجالات‬ ‫الحياة ‪ ,‬فلا يكاد يخلو مجال منها ‪.‬‬ ‫المعادلات لها انواع عدة منها ‪ ,‬الخطية والتربيعية والتكعيبية ‪,‬‬ ‫وقد تحتوي على متغير او اكثر وسنتعرف في هذه الوحدة على‬ ‫المعادلات الخطية بمتغيرين‬ ‫في هذه الوحدة سنتعرف عزيزتي الطالبة على‬ ‫‪ )1‬تمييز انظمة المعادلات الخطية بمتغيرين وتكوينها‬ ‫‪ )2‬حل نظام مكون من معادلتين بطرائق مختلفة‬

‫الدرس الأول ‪ -:‬المعادلة الخطية بمتغيرين‬ ‫الصورة العامة للمعادلة الخطية بمتغرين س ‪,‬‬ ‫ص هي ‪-:‬‬ ‫أ س ‪ +‬ب ص ‪ +‬ج = ‪ , 0‬حيث أ ‪ ,‬ب ‪ ,‬ج ∋‬ ‫ح ‪ ,‬أ و ب لا تساوي صفرا‬ ‫أ معامل س ‪ ,‬ب معامل ص ‪ ,‬ج الحد المطلق او‬ ‫الثابت‬ ‫مثال ‪1 -:‬‬ ‫ميزي أي من المعادلات الآتية معادلة خطية بمتغيرين ‪-:‬‬ ‫‪ 5 )1‬س ‪8 = 4 +‬‬ ‫‪ 2 )2‬س ‪ 6 – 2‬س = ‪1‬‬ ‫‪ 3 )3‬س – ‪ 4‬ص = ‪7‬‬ ‫‪ 5 )4‬س – ‪7 = 2‬‬

‫الحل ‪-:‬‬ ‫في المعادلة الأولى نلاحظ وجود متغير واحد فقط لذلك هذه المعادلة تسمى‬ ‫معادلة خطية بمتغير واحد ‪ ,‬وسميت خطية لان المتغير مرفوع لاس ( ‪) 1‬‬ ‫‪ )2‬المعادلة الثانية‬ ‫يوجد متغير واحد في المعادلة ولكن اكبر اس للمتغير هو ( ‪ ) 2‬لذلك المعادلة‬ ‫تسمى معادلة تربيعية بمتغير واحد‬ ‫‪ )3‬في هذه المعادلة يوجد متغيرين مختلفين وكل منهما مرفوع للاس ( ‪) 1‬‬ ‫لذلك هذه المعادلة تسمى معادلة خطية بمتغيرين‬ ‫‪ )4‬المعادلة يوجد فيها متغير وهو ( س ) ولكن يوجد في الاس ‪ ,‬لذلك تسمى‬ ‫هذه المعادلة بالمعادلة الآسية‬ ‫مثال ‪2 -:‬‬ ‫اكتب كلا من المعادلات الآتية على الصورة العامة ‪:‬‬ ‫‪ 7 )1‬س – ‪ 5‬ص = ‪9‬‬ ‫‪ 4 )2‬ص = ‪ 3 -‬س – ‪2‬‬

‫الحل ‪-:‬‬ ‫عزيزتي الطالبة من اجل كتابة المعادلة على الصورة العامة يجب ان نجعل كل‬ ‫القيم والمتغيرات في طرف والطرف الاخر يساوي صفرا‬ ‫أي ان نجعلها على صورة‬ ‫أ س ‪ +‬ب ص ‪ +‬جـ = ‪0‬‬ ‫‪ 7 )1‬س – ‪ 5‬ص = ‪9‬‬ ‫نعمل على اضافة العدد ( ‪ ) 9 -‬الى طرفي المعادلة‬ ‫‪7‬س–‪5‬ص–‪9–9=9‬‬ ‫‪7‬س–‪5‬ص–‪0=9‬‬ ‫‪ 4 )2‬ص = ‪ 3 -‬س – ‪2‬‬ ‫نعمل على اضافة العدد ( ‪ 3 +‬س ) الى طرفي المعادلة ‪ ,‬والخطوة الثانية‬ ‫نضيف العدد ( ‪ ) 2‬الى طرفي المعادلة‬ ‫‪4‬ص‪3+‬س=‪3-‬س–‪3+2‬س‬ ‫‪4‬ص‪3+‬س=‪2-‬‬ ‫‪4‬ص‪3+‬س‪2+2-=2+‬‬ ‫‪4‬ص‪3+‬س‪0=2+‬‬

‫يسمى الزوج المرتب من الأعداد الحقيقية الذي يحقق المعادلة‬ ‫الخطية بمتغيرين حلا للمعادلة‬ ‫ومجموعة حل المعادلة بمتغيرين هي مجموعة غير منتهية‬ ‫من الأزواج المرتبة‬ ‫مثال ‪3 -:‬‬ ‫لديك المعادلة الآتية جدي حلين من الأزواج المرتبة ؟‬ ‫‪ 5‬ص – س = ‪10‬‬ ‫الحل ‪-:‬‬ ‫لايجاد ازواج مرتبة تكون حلا للمعادلة فاننا نتبع الخطوات الاتية‬ ‫‪ )1‬فرض قيمة أي مجهول في المعادلة بعدد معين‬ ‫‪ )2‬تعويض قيمة المتغير الذي تم اختياره في المعادلة‬ ‫‪ )3‬تتكون معادلة خطية بمتغير واحد‬

‫‪ )4‬العمل على حل المعادلة الخطية بمتغير واحد‬ ‫‪ )5‬كتابة الحل على شكل زوج مرتب‬ ‫‪ ) 6‬عند كتابة الازواج المرتبة يجب ان نضع قيمة س في المسقط الاول‬ ‫وقيمة ص في المسقط الثاني‬ ‫الحل ‪-:‬‬ ‫‪ 5‬ص – س = ‪10‬‬ ‫لايجاد حلين لهذه المعادلة فاننا‬ ‫الحل الاول ‪-:‬‬ ‫نفرض قيمة س = ‪2 -‬‬ ‫نعوض قيمة س في المعادلة‬ ‫‪ 5‬ص ‪10 = 2 - -‬‬ ‫‪ 5‬ص ‪10 = 2 +‬‬ ‫‪ 5‬ص ‪2 – 10 = 2 – 2 +‬‬ ‫‪5‬ص =‪8‬‬ ‫‪ ������‬ص = ‪������‬‬ ‫‪������ ������‬‬ ‫ص = ‪3.6‬‬ ‫الزوج المرتب ( ‪) 3.6 , 2 -‬‬ ‫الحل الثاني‬

‫نفرض ان ص = ‪6‬‬ ‫‪ 5‬ص – س = ‪10‬‬ ‫‪ – 6 × 5‬س = ‪10‬‬ ‫‪ – 30‬س = ‪10‬‬ ‫‪ – 10 – 30‬س = ‪10 – 10‬‬ ‫‪ – 20‬س = ‪0‬‬ ‫‪ – 20‬س ‪ +‬س = ‪ + 0‬س‬ ‫‪ = 20‬س‬ ‫الزوج المرتب ( ‪) 6 , 20‬‬ ‫مثال ‪4-:‬‬ ‫أي من الأزواج آلاتية يعتبر حلا للمعادلة الخطية بمتغرين الآتية ‪-:‬‬ ‫‪7-‬س‪9+‬ص=‪2‬‬ ‫(‪)1,1(, )1-,2‬‬ ‫الحل ‪-:‬‬

‫عزيزتي الطالبة لاثبات ان الزوج المرتب هو حل للمعادلة فاننا نعوض قيمة س‬ ‫‪ ,‬ص في المعادلة ‪ ,‬اذا كان الناتج التعويض يساوي الناتج النهائي للمعادلة فانه‬ ‫يعتبر حلا ‪ ,‬ولكن اذا لم يكن مساويا فانه لايعتبر حلا‬ ‫نعوض الزوج المرتب الاول في المعادلة‬ ‫( ‪) 1- , 2‬‬ ‫‪7-‬س‪9+‬ص=‪2‬‬ ‫‪2=1-×9+2×7-‬‬ ‫‪2 = 9 – 14 -‬‬ ‫‪2 = 23-‬‬ ‫لاحظي عزيزتي الطالبة ان العدد ‪ 23-‬لا يساوي العدد ‪2‬‬ ‫لذلك الزوج المرتب ( ‪ ) 1 - , 2‬لا يمثل حلا للمعادلة‬ ‫الزوج المرتب الثاني ( ‪) 1 , 1‬‬ ‫نعوض الزوج المرتب في المعادلة‬ ‫‪2=1×9+ 1×7 -‬‬ ‫‪2=9+7 -‬‬ ‫‪2=2‬‬ ‫هنا نلاحظ ان الناتج متساوي‬ ‫اذن الزوج المرتب (‪ ) 1 , 1‬هو حل للمعادلة‬

‫خطوات كتابة المعادلة بجعل احد المتغيرات هو موضوع القانون‬ ‫‪ )1‬تحديد المتغير الذي سوف نجعله موضوع القانون‬ ‫‪ )2‬ننقل المتغير والحد الثابت الى الطرف الاخر‬ ‫‪ )3‬نقسم المعادلة على معامل المتغير المراد جعله موضوع القانون‬ ‫مثال ‪5-:‬‬ ‫أ) اجعلي المتغير ص موضوع القانون في المعادلة الاتية ‪-:‬‬ ‫‪2‬س–‪3‬ص=‪7‬‬ ‫نضيف الى طرفي المعادلة ( ‪ 2 -‬س )‬ ‫‪2‬س‪2-+‬س–‪3‬ص=‪2–7‬س‬ ‫‪3-‬ص=‪2–7‬س‬ ‫نقسم المعادلة على ( ‪) 3 -‬‬ ‫( ‪ 3 -‬ص = ‪ 2 – 7‬س ) ‪3- /‬‬ ‫ص= ‪ ������+ ������‬س‬ ‫‪������ ������−‬‬

‫ب ) اجعلي المتغير س موضوع القانون في المعادلة الاتية ‪-:‬‬ ‫‪ 10‬س ‪ 20 +‬ص ‪0 = 40+‬‬ ‫الحل ‪-:‬‬ ‫نعمل على نقل الحد الجبري ( ‪ 20‬ص ) والثابت ( ‪ ) 40‬الى الطرف الاخر‬ ‫نضيف العدد( ‪ ) 40-‬الى طرفي المعادلة‬ ‫‪ 10‬س ‪ 20 +‬ص ‪40- 0 = 40- 40+‬‬ ‫‪ 10‬س ‪ 20 +‬ص = ‪40 -‬‬ ‫نضيف العدد ( ‪ 20 -‬ص ) الى طرفي المعادلة‬ ‫‪ 10‬س ‪ 20 +‬ص – ‪ 20‬ص = ‪ 20 – 40 -‬ص‬ ‫‪ 10‬س = ‪ 20 – 40 -‬ص‬ ‫نقسم المعادلة على ( ‪) 10‬‬ ‫( ‪ 10‬س = ‪ 20 – 40-‬ص ) ‪10 /‬‬ ‫س=‪2–4-‬ص‬

‫الدرس الثاني ‪-:‬التمثيل البياني لمعادلة خطية‬ ‫بمتغيرين بياني‬ ‫خطوات تمثيل المعادلة بياني ‪-:‬‬ ‫‪ )1‬نجعل ص موضوع القانون في المعادلة ‪.‬‬ ‫‪ )2‬نختار قيمتين أو أكثر للمتغير ( س ) ‪ ,‬ثم نحسب قيمة ص‬ ‫المناظرة لهن‬ ‫‪ )3‬كتابة الأزواج المرتبة الناتجة‬ ‫‪ )4‬تعين الأزواج المرتبة في المستوى البياني ‪ ,‬ثم نصل خط بينها‬ ‫مجموعة حل المعادلة الخطية بمتغيرين‬ ‫أ س ‪ +‬ب ص ‪ +‬جـ = ‪ , 0‬حيث أ ‪ ,‬ب ‪ ,‬جـ ∋ ح ‪ ,‬بحيث أ ‪ ,‬ب لا‬ ‫تساوي صفرا ‪ ,‬هي مجموعة حل غير منتهية من الأزواج المرتبة‬ ‫على الصورة‬ ‫( س ‪ ,‬ص ) ‪ ,‬وتمثل بيانيا بمستقيم كل نقطة عليه تحقق المعادلة‬ ‫الخطية‬

‫مثال ‪1 -:‬‬ ‫مثل المعادلة الخطية آلاتية بياني‬ ‫‪ 4‬س – ‪ 2‬ص ‪7= 1 +‬‬ ‫الحل ‪-:‬‬ ‫‪ )1‬نجعل ( ص ) موضوع القانون‬ ‫‪ 4‬س – ‪ 2‬ص ‪ , 1 – 7 = 1 – 1 +‬نضيف لطرفي المعادلة العدد ( ‪) 1 -‬‬ ‫‪4‬س–‪2‬ص=‪6‬‬ ‫‪ 4‬س – ‪ 4‬س – ‪ 2‬ص = ‪4 – 6‬س نضيف لطرفي المعادلة العدد ‪ 4 -‬س‬ ‫نقسم طرفي المعادلة على – ‪2‬‬ ‫‪2 -‬ص=‪4–6‬س‬ ‫( ‪ 2-‬ص = ‪ 4 – 6‬س ) ‪2 - /‬‬ ‫ص=‪2+3-‬س‬

‫‪ )2‬نعمل على رسم جدول ونختار ثلاث قيم للمتغير ( س ) ونعوضها في معادلة‬ ‫موضوع القانون‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0 2-‬‬ ‫س‬ ‫ص ‪1 3- 7-‬‬ ‫زوج المرتب الاول ( ‪) 7 - , 2 -‬‬ ‫ص=‪2‬س–‪3‬‬ ‫ص=‪3–2-×2‬‬ ‫ص=‪3–4-‬‬ ‫ص=‪7-‬‬ ‫زوج المرتب الثاني ( ‪) 3 – . 0‬‬ ‫ص=‪3–0×2‬‬ ‫ص= ‪3–0‬‬ ‫ص=‪3-‬‬ ‫ص=‪3–2×2‬‬ ‫ص= ‪3 – 4‬‬

‫زوج المرتب الثالث ( ‪) 1 , 2‬‬ ‫ص=‪1‬‬ ‫‪ )3‬رسم مستوى البياني وتحديد الازواج المرتبة عليه ‪ ,‬ثم ايصال خط مستقيم‬ ‫بينهن‬ ‫قيم ‪8‬ص‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪5‬قيم ص ‪-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪-8‬‬

‫مثال ‪2 -:‬‬ ‫مثلي المعادلة الخطية بمتغرين الاتية بياني ‪-:‬‬ ‫ص ‪5+‬س=‪8‬‬ ‫الحل ‪-:‬‬ ‫‪ )1‬نجعل ص موضوع القانون‬ ‫ص‪5+‬س–‪5‬س=‪5–8‬س‬ ‫ص=‪5–8‬س‬ ‫‪ ) 2‬انشاء جدول واخذ اربعة قيم للمتغير ( س ) وتعويضها في المعادلة لايجاد‬ ‫قيمة المتغير ص‬ ‫‪10‬‬ ‫س ‪1- 2-‬‬ ‫‪38‬‬ ‫ص ‪13 18‬‬

‫ص=‪5–8‬س‬ ‫ص=‪2-×5–8‬‬ ‫ص = ‪10 + 8‬‬ ‫ص =‪18‬‬ ‫ص ‪1× 5 - 8‬‬ ‫ص=‪5-8‬‬ ‫ص=‪3‬‬ ‫ص=‪2×5–8‬‬ ‫ص = ‪10 – 8‬‬ ‫ص=‪2-‬‬ ‫ص=‪4×5–8‬‬ ‫ص = ‪20 – 8‬‬

‫ص = ‪12 -‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-6 -4 -2 0 2 4 6‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-10‬‬ ‫‪-15‬‬

‫الدرس الثالث ‪-:‬حل نظام مكون من معادلتين‬ ‫خطيتين بمتغيرين بياني‬ ‫لحل نظام مكوم من معادلتين خطيتين بمتغيرين بياني فإننا نتبع خطوات حل‬ ‫معادلة خطية بمتغير واحد لكل معادلة ‪ ,‬ولكن عند التمثيل فإننا نمثل على‬ ‫مستوى بياني واحد ‪ ,‬ونقطة تقاطع المستقيمين هي النقطة التي تمثل حل لهما‬ ‫ولكن اذا لم يتقاطع المستقيمين فان نظام المعادلات لا يحل ‪ ,‬أي لا يوجد أي زوج‬ ‫مرتب يكون حل للمعادلتين معا‬ ‫مثال ‪1 -:‬‬ ‫حل نظام المعادلات الخطية بمتغيرين بياني ؟‬ ‫‪ 3‬س ‪ +‬ص ‪0 = 2+‬‬ ‫‪ 2‬ص – ‪ 3‬س = ‪14‬‬

‫الحل ‪-:‬‬ ‫نمثل المعادلة الاولى على المستوى البياني ‪ ,‬ثم نمثل المعادلة الثانية على‬ ‫المستوى البياني‬ ‫خطوات تمثيل المعادلة على المستوى البياني‬ ‫‪ )1‬نجعل ص موضوع القانون في المعادلة ‪.‬‬ ‫‪ )2‬نختار قيمتين أو أكثر للمتغير ( س ) ‪ ,‬ثم نحسب قيمة ص المناظرة لهن‬ ‫‪ )3‬كتابة الأزواج المرتبة الناتجة‬ ‫‪ )4‬تعين الأزواج المرتبة في المستوى البياني ‪ ,‬ثم نصل خط بينها‬ ‫تمثيل المعادلة الاولى‬ ‫‪ 3‬س ‪ +‬ص ‪0 = 2+‬‬ ‫‪ )1‬نجعل ص موضوع القانون‬ ‫‪ 3‬س – ‪ 3‬س ‪ +‬ص ‪3 - 0 = 2 +‬س‬ ‫ص‪3-=2-2+‬س ‪2-‬‬ ‫ص=‪3-‬س–‪2‬‬ ‫س ‪2 1 0 2-‬‬ ‫‪8- 5- 2-‬‬ ‫ص‪4‬‬

‫ص = ‪2 – 2-×3 -‬‬ ‫ص=‪2–6‬‬ ‫ص=‪4‬‬ ‫ص=‪2–0×3-‬‬ ‫ص=‪2–0‬‬ ‫ص=‪2-‬‬ ‫ص=‪2–1×3-‬‬ ‫ص=‪2–3-‬‬ ‫ص=‪5-‬‬ ‫ص=‪2–2×3-‬‬ ‫ص=‪2–6-‬‬ ‫ص=‪8-‬‬ ‫تمثيل المعادلة الثانية ‪:‬‬

‫‪ 2‬ص – ‪ 3‬س = ‪14‬‬ ‫نجعل ص موضوع القانون‬ ‫‪ 2‬ص – ‪ 3‬س ‪ 3 +‬س = ‪3 + 14‬س‬ ‫‪ 2‬ص = ‪ 3 + 14‬س‬ ‫( ‪ 2‬ص = ‪ 3 + 14‬س ) ‪2 /‬‬ ‫ص = ‪ 2/3 + 7‬س‬ ‫‪21‬‬ ‫س ‪0 1- 2-‬‬ ‫‪10 8.5‬‬ ‫‪7 5.5‬‬ ‫ص‪4‬‬ ‫ص = ‪2- × 2 / 3 + 7‬‬ ‫ص=‪3–7‬‬ ‫ص=‪4‬‬ ‫×‪2‬‬ ‫‪������‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪7‬‬ ‫=‬ ‫ص‬ ‫‪������‬‬

3+7=‫ص‬ 10 = ‫ص‬ 0 × ������ + 7 = ‫ص‬ ������ 7=‫ص‬ 1 - × ������ + 7 = ‫ص‬ ������ ������ - 7 = ‫ص‬ ������ 6.5 1.5 – 7 = ‫ص‬ 1× ������+ 7 = ‫ص‬ ������ ������+ 7 = ‫ص‬ ������ 1.5 + 7 = ‫ص‬ 8.5 = ‫ص‬

‫عمود‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫عمود‪0 2‬‬ ‫‪-8 -6 -4 -2 -2 0 2 4 6 8‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪-8‬‬ ‫‪-10‬‬ ‫لاحظي عزيزتي الطالبة ان نقطة تقاطع المستقيمين هي ( ‪)4 , 2-‬‬ ‫مثال ‪2-:‬‬ ‫عددان صحيحان مختلفان ‪ ,‬مثلي العدد الاكبر طرح منه العدد الاصغر يساوي ( ‪, ) 6‬‬ ‫والعدد الاصغر مطروح منه العدد الاكبر يساوي ( ‪ , ) 3 -‬جدي العددين ؟‬

‫الحل ‪-:‬‬ ‫نترجم التعبير اللفظي الى تعبير جبري ( أي نكون معادلات بمتغرين )‬ ‫نفرض ان العدد الاكبر هو س‬ ‫نفرض ان العدد الاصغر هو ص‬ ‫‪2‬س–ص=‪6‬‬ ‫ص – س = ‪3-‬‬ ‫نمثل كل معادلة على المستوى البياني نفسه‬ ‫تمثيل المعادلة الاولى‬ ‫‪2‬س–ص=‪6‬‬ ‫نجعل ( ص ) موضوع القانون‬ ‫‪2‬س–ص‪+‬ص=‪+6‬ص‬ ‫‪2‬س=‪+6‬ص‬ ‫‪2‬س–‪+6–6=6‬ص‬ ‫ص = ‪ 2‬س ‪6-‬‬ ‫س ‪3 1 0 2-‬‬ ‫ص ‪0 4- 6- 10-‬‬

‫ص=‪2‬س–‪6‬‬ ‫ص=‪6–2-×2‬‬ ‫ص = ‪6- 4 -‬‬ ‫ص = ‪10 -‬‬ ‫ص=‪6–0×2‬‬ ‫ص=‪6-‬‬ ‫ص=‪6–1×2‬‬ ‫ص = ‪6- 2‬‬ ‫ص=‪4-‬‬ ‫ص=‪6–3×2‬‬ ‫ص=‪0=6–6‬‬ ‫تمثيل المعادلة الثانية‬ ‫نجعل ( ص ) موضوع القانون‬ ‫ص – س = ‪3-‬‬

‫ص–س‪+‬س=‪+3-‬س‬ ‫ص=س–‪3‬‬ ‫س ‪3 1 0 2-‬‬ ‫ص ‪0 2- 3- 5-‬‬ ‫ص = ‪3 – 2-‬‬ ‫ص=‪5-‬‬ ‫ص=‪3–0‬‬ ‫ص=‪3-‬‬ ‫ص = ‪3-1‬‬ ‫ص=‪2-‬‬ ‫ص= ‪3 – 3‬‬ ‫ص=‪0‬‬

‫‪10‬‬ ‫ص‬ ‫قيم‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-4 -3 -2 -1 -2 0 1 2 3 4‬‬ ‫قيم ص ‪-4‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪-8‬‬ ‫‪-10‬‬ ‫لاحظي عزيزتي الطالبة ان نقطة تقاطع المستقيمين هي ( ‪) 0 , 3‬‬ ‫اذن الزوج المرتب الذ يمثل حل للمعادلتين هو ( ‪) 0 , 3‬‬ ‫مثال ‪3-:‬‬ ‫حل نظام المعادلات الخطية بمتغرين بياني‬ ‫س‪-‬ص=‪6‬‬ ‫ص=‪+8‬س‬ ‫تمثيل المعادلة الاولى على المستوى البياني‬

‫‪ )1‬نجعل ص موضوع القانون في المعادلة الاولى‬ ‫س‪ -‬ص=‪6‬‬ ‫س –ص ‪ +‬ص = ‪+6‬ص‬ ‫س = ‪+ 6‬ص‬ ‫س–‪+6–6=6‬ص‬ ‫ص=س–‪6‬‬ ‫ص = س‪6-‬‬ ‫س ‪2 0 2-‬‬ ‫ص ‪4- 6- 8-‬‬ ‫ص = ‪6-2-‬‬ ‫ص =‪8 -‬‬ ‫ص = ‪6-0‬‬ ‫ص=‪6-‬‬ ‫ص =‪6-2‬‬ ‫ص =‪4 -‬‬

‫تمثيل المعادلة الثانية على المستوى البياني نفسه‬ ‫‪ )1‬نجعل ص موضوع القانون‬ ‫ص=‪+8‬س‬ ‫س ‪2 0 2-‬‬ ‫ص ‪10 8 6‬‬ ‫ص=‪2–8‬‬ ‫ص=‪6‬‬ ‫ص=‪0–8‬‬ ‫ص=‪8‬‬ ‫ص=‪2+8‬‬ ‫ص = ‪10‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-6 -4 -2 0 2 4 6‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-10‬‬ ‫لاحظي عزيزتي الطالبة ان المستقيمين لا يتقاطعان‬ ‫بهذه الحالة يسميان مستقيمان متوازيان‬ ‫لذلك لا يمكن حل نظام المعادلات‬ ‫لانه لم يتقاطعان بنقطة واحدة‬ ‫الدرس الرابع ‪-:‬حل نظام مكون من معادلتين‬ ‫خطيتين بمتغيرين بالتعويض‬

‫حل نظام مكون من معادلتين خطيتين بمتغيرين‬ ‫بطريقة التعويض ‪-:‬‬ ‫‪ )1‬نجعل احد المتغيرات موضوع القانون في احدى‬ ‫المعادلتين ‪ ,‬ونعوضه في المعادلة الثانية ‪.‬‬ ‫‪ )2‬نحل المعادلة الناتجة عن التعويض‬ ‫‪ )3‬نجد قيمة المتغير الاخر بتعويض القيمة العددية‬ ‫للمتغير الناتجة في الخطوة ( ‪ )2‬في احدى المعادلتين‬ ‫‪ )4‬نكتب مجموعة حل النظام‬ ‫مثال ‪1-:‬‬ ‫مجموع زاويتان = ‪ , 90‬تزيد الزاوية الاولى عن الزاوية الثانية بمقدار ‪34‬‬

‫جدي الزاويتان ؟‬ ‫الحل ‪-:‬‬ ‫نكون معادلتين خطيتين بمتغيرين ‪ ,‬أي نعمل على ترجمة التعبير اللفظي الى‬ ‫تعبير جبري‬ ‫نفرض ان الزاوية الاولى = س‬ ‫نفرض ان الزاوية الثانية = ص‬ ‫المعادلة الاولى‬ ‫س ‪ +‬ص = ‪90‬‬ ‫المعادلة الثانية‬ ‫س ‪ = 34+‬ص‬ ‫نعمل على حل النظام السابق عن طريق التعويض‬ ‫‪ )1‬نجعل ( ص ) موضوع القانون في المعادلة الثانية‬ ‫ص = س ‪34 +‬‬ ‫المعادلة الثالثة‬ ‫ص = ‪ +34‬س‬ ‫‪ )2‬نعوض المعادلة الثالثة في المعادلة الاولى ‪ ,‬لان المعادلة الثانية تم العمل‬ ‫على جعل ( ص ) موضوع القانون فيها‬ ‫س ‪ +‬ص = ‪90‬‬ ‫س ‪ +‬س ‪90 = 34 +‬‬

‫‪ 2‬س ‪90= 34+‬‬ ‫نعمل على حل المعادلة الخطية التي حصلنا عليها‬ ‫‪ 2‬س ‪34 – 90 = 34 – 34 +‬‬ ‫‪ 2‬س = ‪56‬‬ ‫( ‪ 2‬س = ‪2 / ) 56‬‬ ‫س = ‪28‬‬ ‫نعوض قيمة س في احدى المعادلات السابقة للحصول على قيمة ( ص )‬ ‫سوف اعوض قيمة ( س ) في المعادلة الثالثة‬ ‫ص = س ‪34 +‬‬ ‫ص = ‪34 + 28‬‬ ‫ص = ‪62‬‬ ‫للتاكد ان الحل صحيح نعوض قيمة س ‪ ,‬ص في المعادلتين ‪ ,‬اذا كان الجواب‬ ‫النهائي صحيح ‪ ,‬اذن الزوج المرتب حل للمعادلتين ‪ ,‬اذا لم يكن الجواب صحيح‬ ‫اذن الزوج المرتب ليس حلا‬ ‫( س ‪ ,‬ص ) = ( ‪) 62 , 28‬‬ ‫التعويض في المعادلة الاولى‬ ‫س ‪ +‬ص = ‪90‬‬ ‫‪90 = 62 + 28‬‬

‫‪90 = 90‬‬ ‫التعويض في المعادلة الثانية‬ ‫س ‪ = 34 +‬ص‬ ‫‪62 = 34 + 28‬‬ ‫‪62 = 62‬‬ ‫اذن الحل صحيح ‪ ,‬الزوج المرتب ( ‪ ) 62 , 28‬هو حل النظام السابق‬ ‫مثال ‪2-:‬‬ ‫حل نظام المعادلات الخطية بمتغرين الاتية بالتعويض‬ ‫ص–‪3‬س‪0=2+‬‬ ‫ص ‪3+‬س‪0=8+‬‬ ‫الحل ‪-:‬‬ ‫‪ )1‬نجعل ( ص ) موضوع القانون في المعادلة الاولى‬ ‫ص–‪3‬س‪3+‬س ‪3+0=2+‬س‬ ‫ص ‪3=2+‬س‬ ‫ص–‪3=2+2‬س–‪2‬‬

‫المعادلة الثالثة‬ ‫ص=‪3‬س–‪2‬‬ ‫‪ )2‬نعوض المعادلة الثالثة في المعادلة الثانية‬ ‫ص ‪3+‬س‪0=8+‬‬ ‫‪3‬س ‪3+2-‬س‪0=8+‬‬ ‫‪6‬س‪0=6+‬‬ ‫‪6‬س‪6–0=6–6+‬‬ ‫‪ 6‬س = ‪6-‬‬ ‫(‪6‬س=‪1-/)6-‬‬ ‫س = ‪1-‬‬ ‫نعوض قيمة س في المعادلة الثالثة‬ ‫ص = ‪2 – 1- × 3‬‬ ‫ص = ‪2 – 3-‬‬ ‫ص = ‪5-‬‬ ‫الزوج المرتب ( س ‪ ,‬ص )‬ ‫الزوج المرتب ( ‪) 5 - , 1-‬‬ ‫للتحقق نعوض الزوج المرتب في المعادلتين‬

‫مثال ‪3-:‬‬ ‫حل نظام المعادلات الخطية بالمتغرين بالتعويض‬ ‫‪2‬ص–س=‪4‬‬ ‫‪2–5‬ص=‪–1‬س‬ ‫الحل ‪-:‬‬ ‫‪ )1‬نجعل ( س ) موضوع القانون في المعادلة الثانية‬ ‫‪2–5‬ص–‪–1–1=1‬س‬ ‫‪2–4‬ص=‪1-‬س‬ ‫(‪2–4‬ص=‪1-‬س)‪1-/‬‬ ‫‪2+4 -‬ص=س‬ ‫المعادلة الثالثة‬ ‫س=‪2‬ص–‪4‬‬ ‫نعوض المعادلة الثالثة في المعادلة الاولى‬ ‫‪2‬ص–س=‪4‬‬

‫‪2‬ص–(‪2‬ص–‪4=)4‬‬ ‫‪2‬ص–‪2‬ص‪4=4+‬‬ ‫‪4=4‬‬ ‫اذن المعادلة لا تحل ‪ ,‬لانه لا يوجد متغيرات‬ ‫الدرس الخامس ‪-:‬حل نظام مكون من‬ ‫معادلتين خطيتين بمتغيرين بالحذف‬

‫لحل نظام المعادلات الخطية بمتغيرين بطريقة الحذف نتبع‬ ‫الخطوات الآتية‬ ‫‪ )1‬نرتب الحدود المتشابهة في المعادلتين أسفل بعضها‬ ‫‪ )2‬نحدد أي من المتغيرين يسهل حذفه ‪ ,‬ثم نجعل معامليه‬ ‫في المعادلتين متساويين في المقدار ومختلفين في الإشارة ‪,‬‬ ‫وبذلك بضرب طرفي إحدى المعادلتين أو كليهما في عدد أو‬ ‫بالقسمة على عدد‬ ‫‪ )3‬نجمع المعادلتين للتخلص من المتغير المراد حذفه‬ ‫‪ )4‬نعوض قيمة المتغير الناتجة في احدى المعادلتين ‪,‬‬ ‫لإيجاد قيمة المتغير الاخر‬ ‫مثال ‪1-:‬‬

‫حل نظام المعادلات الخطية الاتية بمتغيرين بالحذف‬ ‫‪6 -‬س ‪3 +‬ص =‪2-‬‬ ‫ص=‪2‬س–‪4‬‬ ‫الحل ‪-:‬‬ ‫‪ )1‬نحدد اسهل متغير للحذف ‪ .‬سوف اختار المتغير ( ص )‬ ‫بحيث نجعل المتغيرات نفس العدد ولكن باشارة مختلفة ‪ ,‬ولكن يجب ان‬ ‫ننقل المتغير س في المعادلة الثانية للطرف الاخر‬ ‫‪ 6 -‬س ‪ 3 +‬ص =‪2-‬‬ ‫ص–‪2‬س=‪4-‬‬ ‫نضرب المعادلة الثانية بالعدد ( ‪)3-‬‬ ‫معادلة الاولى‬ ‫‪ 6-‬س ‪ 3 +‬ص = ‪2-‬‬ ‫معادلة الثانية‬ ‫( ص ‪ 2-‬س = ‪3- × ) 4 -‬‬ ‫‪ 6-‬س ‪ 3 +‬ص = ‪2 -‬‬ ‫‪ 3-‬ص ‪ 6 +‬س = ‪12‬‬ ‫نجمع المعادلتين لبعض‬ ‫‪ 0‬س ‪0 +‬ص =‪10‬‬

‫‪10 = 0‬‬ ‫اذن المعادلة لا تحل ‪ ,‬لانه عند عملية الجمع ‪ ,‬لا يوجد متغيرات في الناتج ‪,‬‬ ‫مثال ‪2:‬‬ ‫حل نظام المعادلات الاتي المكون من معادلتين خطيتين بمتغيرين بالحذف‬ ‫س ‪ 3 +‬ص = ‪12‬‬ ‫ص–س=‪4-‬‬ ‫الحل ‪-:‬‬ ‫‪ )1‬نحدد المتغير المراد حذفه ‪ ,‬سوف اختار المتغير ( س )‬ ‫في هذه الحالة لا نحتاج الى ضرب أي معادلة باي رقم لان عامل المتغير (‬ ‫س ) في المعادلة الاولى ( ‪ , ) 1‬اما عامل المتغير ( س ) في المعادلة‬ ‫الثانية ( ‪, )1 -‬‬ ‫نجمع المعادلتين الى بعضهما البعض‬ ‫س ‪ 3 +‬ص = ‪12‬‬ ‫ص–س=‪4-‬‬

‫‪4‬ص=‪8‬‬ ‫نقسم المعادلة على معامل ص‬ ‫(‪4‬ص=‪4/)8‬‬ ‫ص=‪2‬‬ ‫نعوض قيمة ص في احدى المعادلات للحصول على قيمة المتغير ( س )‬ ‫ص – س = ‪4-‬‬ ‫‪–2‬س=‪4-‬‬ ‫‪–2–2‬س=‪2–4-‬‬ ‫س=‪6-‬‬ ‫(‪-‬س=‪1-/)6-‬‬ ‫س=‪6‬‬ ‫الزوج المرتب هو ( س ‪ ,‬ص ) = ( ‪) 2 , 6‬‬ ‫للتاكد من الحل نعوض الزوج المرتب في المعادلتين اذا اعطى نفس الناتج ‪,‬‬ ‫اذن الحل صحيح‬ ‫مثال ‪3-:‬‬

‫حل نظام المعادلات الخطية بالمتغيرين الاتي بالحذف‬ ‫ص‪2+‬س‪0=1+‬‬ ‫ص‪4+‬س–‪0=3‬‬ ‫الحل ‪-:‬‬ ‫نحدد المتغير المراد حذفه ‪ ,‬سوف اختار المتغير ( ص )‬ ‫نضرب المعادلة الاولى بالعدد ( ‪) 1 -‬‬ ‫(ص ‪2+‬س‪1-×) 0=1+‬‬ ‫ص‪4+‬س–‪0=3‬‬ ‫‪ 1-‬ص – ‪ 2‬س – ‪0 = 1‬‬ ‫ص‪4+‬س–‪0=3‬‬ ‫نجمع المعادلتين‬ ‫‪2‬س–‪0=4‬‬ ‫نحل المعادلة الخطية‬ ‫‪2‬س–‪4+0=4+4‬‬ ‫‪2‬س =‪4‬‬ ‫(‪2‬س=‪2/)4‬‬ ‫س=‪2‬‬

‫نعوض قيمة س في احدى المعادلات للحصول على المتغير ص‬ ‫ص‪2+‬س‪0=1+‬‬ ‫ص‪0=1+2×2+‬‬ ‫ص‪0=1+4+‬‬ ‫ص‪0=5+‬‬ ‫ص‪5–0=5–5+‬‬ ‫ص=‪5-‬‬ ‫الزوج المرتب هو ( س ‪ ,‬ص ) = ( ‪) 5 - , 2‬‬ ‫نعوض الزوج المرتب في المعادلتين للتاكد من ان الحل صحيح‬ ‫الزوج المرتب هو حل المعادلتين‬ ‫تم بحمد الله الانتهاء من تلخيص الوحدة‬