Cálculo varias variables 2015

5.4 Cambio de variable en una integral doble. 201Ejemplo 5.8 y −xCalcular e y+x d A usando el cambio de variable u = y − x y v = y + x. La región Rx y está limitada por las Rxyrectas x + y = 2, x = 0 y y = 0.Solución: . Primero debemos dibujar las región de integración Ruv para luego integrar.Nueva región de integración. El cambio de variable es invertible y la inversa es continua, entonces aplicamosel cambio de variable a la frontera de la región Rx y para calcular las curvas frontera de la región Ruv . Comov = y + x, el segmento de recta x + y = 2 corresponde a v = 2. Si x = 0 entonces u = v y si y = 0 entoncesu = −v. Y XEl cambio de variable es invertible: Resolviendo u = y −x 11 v = y +x obtenemos x = (v − u) y y = (v + u). 22Calculamos el Jacobiano. J (u, v ) = Det −1/2 1/2 1/2 1/2 = −1/2.Cálculo d ela integral. y −x = u e y+x d A e v |J (u, v)| d u d vRxy Ruv 1 2 vu = e v dudv 2 0 −v 1 = e− . e

202 Integral doble e integral triple.Ejemplo 5.9 Y 4Calcule (y2 − x2) e(x+y)2 d A, donde Rx y es la región mostrada en Rxyla figura. Utilice el cambio de variable u = y − x v =y+x XSolución: Si u = y −x Entonces x = 1 (v − u) 2 v =y+x y = 1 (u + v) 2Como la inversa es continua, aplicando el cambio de variablea la frontera de Rx y , obtenemos la frontera de la región Ruv . Ay = −x + 4 le corresponde, sustituyendo x e y, v = 4. A y = −x lecorresponde v = 0 y A y = x + 4 le corresponde u = 4. La nueva regiónes más simple. (y 2 − x2) e(x+y)2 d A = 4 4 uve v2 d v d u = 4 · e16 − 4. Rxy 0 0Como se ve en los ejemplos anteriores, en la práctica se usa el cambio de variable en la forma x = x(u, v), y = (u, v)tanto como u = u(x, y), v = v(x, y). Siempre hay que estar al tanto de que se cumplan las hipóstesis, en particular lainvertibilidad.5.5 Coordenadas Polares. Este cambio de variable es muy útil cuando la región de integración tiene fronteras a lo largo de las cuales r y θ son constantes (como en círculos centrados en el origen). Primero un pequeño repaso. (Ver apéndice 8.2).

5.5 Coordenadas Polares. 203Un punto P = (x, y) ∈ R2 se puede especificar en coordenadas Y Xpolares (r, θ) donde r es la distancia del origen a P y θ es elángulo medido desde el eje X contrareloj. La conversión decoordenadas polares a coordenadas cartesianas se hace con latransformación x = r cos(θ) (*) y = r sen(θ)Para efectos de cambio de variable, esta transformación es invertible si r > 0 y si θ ∈ [θ0, θ0 + 2π[. Podemos definir lainversa desde R+ × [0, 2π[ a R2 − {(0, 0)} con r = x2 + y2 y θ el único ángulo θ ∈ [0, 2π[ que satisface (∗), es decirθ = arctan(y/x) si x > 0 y θ = arctan(y/x) + π si x < 0 pues arctan(t ) está definida en ] − π/2, π/2[ (si r = 0, el cambiode variable aplica todo el eje θ en el origen (0, 0).) θ y θ = π/6 (3, π /6) r=3 r xPoniendo u = r y v = θ tenemos el cambio de variable,  Y  x = r cos(θ)   y = r sen(θ) En este caso,  ∂x ∂x   ∂r ∂θ    J (r, θ) =   =r  ∂y ∂y    ∂r ∂θ XComo ya indicamos, este cambio de variable es invertible si r > 0 y si θ ∈ [ θ0, θ0 + 2π [ (a veces es cómodo tomarángulos negativos).Si en R y R se cumplen las condiciones del teorema de cambio de variable, entonces f (x, y)d x d y = f ( r cos(θ), r sen(θ) )r d r d θ RR

204 Integral doble e integral triple. En el caso de coordenadas polares, la nueva región Rr θ se puede describir en el mismo sistema X Y .Si una región R se puede describir como una región en coordenadaspolares tal que0 < ϕ0(θ) ≤ r ≤ ϕ1(θ) si θ0 ≤ θ ≤ θ1 donde θ1 − t het a0 ≤ 2π Yentonces θ1 ϕ1(θ) X f (x, y)d x d y = f ( r cos(θ), r sen(θ) ) r d r d θR θ0 ϕ0(θ)Si una región R se puede describir como una región en coordenadaspolares tal que 0 ≤ r ≤ ϕ1(θ) si θ0 ≤ θ ≤ θ1 Yentonces θ1 ϕ1(θ) X f (x, y)d x d y = f ( r cos(θ), r sen(θ) ) r d r d θR θ0 0Nota. En este caso, el cambio de variable es invertible en el interior de la región ( r > 0 ) y además aquí el Jacobiano nose anula, así que no afecta que r = 0.Nota. Las fórmulas anteriores requieren conocer de manera correcta el intervalo de integración. En algunas curvasen coordenadas polares se requiere ser especialmente cuidadoso con este detalle, sobre todo las curvas que tienenlazos. Si una región está entre dos curvas, hay que tener el cuidado de que las dos curvas “barran” la región en el mismointervalo para el ángulo θ.

5.5 Coordenadas Polares. 205Ejemplo 5.10 XCalcular el área Ac del círculo de radio a. YSolución: Para este cálculo podemos usar un círcu-lo de radio a, centrado en el origen. La circunferenciadel círculo tiene ecuación cartesiana x2 + y2 = a2. Paraobtener la ecuación en polares, sustituimos x = r cos θ ey = r sen θ y despejamos r :x2 + y2 = a2 =⇒ (r cos θ)2 + (r sen θ)2 = a2 =⇒ r 2 = a2.Así, en coordenadas polares, la región de integración vadesde r = 0 hasta r = a y 0 ≤ θ ≤ 2π.Ac = 1· dA = 2π a 2π r 2 a 2π a2 a2 θ 2π = π a2 dθ = dθ = 20 r dr dθ = 0 20 02 R 00Ejemplo 5.11 Considere la región R de la figura. Para calcular el área AR de la región R, usando coordenadas polares, debemos hacer el cambio de variable x = r cos(θ) y y = r sen(θ). YY XXObserve que 1 11 . La recta y = se transforma en r sen θ = =⇒ r = 2 sen(θ) 22 La circunferencia x2 + y2 = 1 se transforma en r = 1.La recta y = x se transforma en θ = π/4. En efecto, y = x =⇒ cos θ = sen(θ) =⇒ θ = π/4. Esto, porsupuesto, también lo podemos establecer de manera geométrica.

206 Integral doble e integral triple. 3π 1 4AR = 1·dA = r dr dθ = π1 R 4 2 sen(θ) 3π r2 1 13π 1 1 3π 1 − 1 csc2(θ) d θ = θ 1 3π π−2 4 4 + cot(θ) 4 4 dθ = π 2 − 4 sen2(θ) d θ = = π2 1 π2 4 24 π4 4 2 sen(θ) 4 44Ejemplo 5.12 (Volumen) Q z yPlantear una integral, en polares, para calcular el volumen del sólido limitado por las superficies = , x2 +4x2 + y2 = 4 y z = 0 con x ≥ 0 y y ≥ 0.Solución: El sólido y su proyección sobre el plano X Y se ven en la figura. . Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet) Y Y X XPasando a coordenadas polares tenemos y π/2 2 r sen(θ) VQ = R x2 + 4 − 0 d A = 0 0 r 2 cos2(θ) + 4 r d r d θNota: Esta última integral se puede calcular observando que 1 −x + 1 + x2 arctan x , salvo constantes. x arctan(x) d x = 2π/2 2 2 π/2 f (r, θ) d r d θ = f (r, θ) d θ d r , pues estamos integrando sobre un rectángulo. 00 00Veamos,

5.5 Coordenadas Polares. 207VQ = y π/2 2 r 2 sen(θ) R x2 + 4 d A = 0 0 r 2 cos2(θ) + 4 d r d θ 2 π/2 r 2 sen(θ) 2 1 r2= 0 0 r 2 cos2(θ) + 4 d θ d r = 0 0 4 + r 2u2 d u d r , (haciendo u = cos θ). 2 1 r r /2 2 r 1 2r= 0 2 1 + (r u/2)2 d u d r = arctan(r u/2) d r = arctan(r /2) d r 2 0 02 0 0 11= 2 x arctan(x) d x = (π − 2). 02Ejemplo 5.13 (Volumen).Calcule el volumen del sólido Q limitado por las superficies z = 1 x2 + y2 = 1 y z = 0. 1+x2 + y2 , . Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet) ZXX Y YSolución: 1El sólido y su proyección sobre el plano X Y se ven en la figura. El sólido Q está limitado por z = 1 + x2 + y2 yz = 0. Aplicando coordenadas polares (y como no hay singularidades) tenemos

208 Integral doble e integral triple.VQ = 1 2π 1 1 2π 1 ln(1 + r 2) 1 d θ = 2π 1 R 1+x2 + y2 d A = 0 0 1+r2 r dr dθ = 02 ln(2) d θ = π ln(2) 0 02Ejemplo 5.14Calcule xy si R = {(x, y) ∈ R : x2 + y2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0}. R (1 + x2 + y2)2 d ASolución: La región R es la parte del círculo de radio 1, centrado en el origen, que está en el primer octante. Aquí bq bqusamos el hecho de que f (θ)g (r ) d r d θ = f (θ) d θ · g (r ) d r. ap ap xy π/2 1 r 3 cos θ sen θ R (1 + x2 + y2)2 d A = 0 0 (1 + r 2)2 d r d θ xy π/2 1 r 3 R (1 + x2 + y2)2 d A = 0 cos θ sen θ d θ · 0 (1 + r 2)2 d r 1 1 r3 = · (1 + r 2)2 d r 2 0 1 1 4r 3 + 4r 1 1 2r = 8 0 1 + 2r 2 + r 4 d r − 4 0 (1 + r 2)2 d r = 1 ln |1 + 2r 2 + r 4| 1 + 11 1 = 11 80 4 1+r2 0 ln 4 − . 88

5.5 Coordenadas Polares. 209Ejemplo 5.15Calcule, usando corrdenadas polares, el área de la región R tal ycomo se muestra en la figura.Solución: La ecuación de la curva es x2 + y2 + 2x = x2 + y2. Como r 2 = x2 + y2, haciendo la conversión acoordenadas polares obtenemos la ecuación r 2 + 2r cos θ = r, es decir, r = 1 − 2 cos θLa curva inicia cuando r = 0. Resolvemos r = 0 =⇒ 1 − 2 cos θ = 0 =⇒ θ = ±π/3 en [0, 2π]. Así, la región estáentre los rayos θ = π/3 y θ = π. Entonces,AR = 1· r drdθ R π 1−2 cos θ= 1· r drdθ π/3 0 1= 4 2π − 3 3

210 Integral doble e integral triple.Ejemplo 5.16 4 3Calcule, usando corrdenadas polares, el área de la región R tal y 2como se muestra en la figura. 1Solución: La ecuación de la curva es r = 4 + 4 sen 3θ. La curva 1234567iniciaπcuandπo r = 0. Resolvemos r = 0 =⇒ 4 + 4 sen 3θ = 0 =⇒ 1θ = − + 2k . 63Como tenemos la figura, podemos verificar que los límites de ππintegración adecuados son θ=−6 y θ= . . 2 π/2 4+4 sen θ 4 3AR = 1· r drdθ = 1 · r d r d θ = 8π 2 1 R −π/6 0 1234567 1

5.5 Coordenadas Polares. 211Ejemplo 5.17Calcule, usando corrdenadas polares, el área de la región R tal y 3.0como se muestra en la figura. 2.5 2.0Solución: La región está entre las curvas r = 2 y r = 4 sen 2θ. 1.5Esto nos da tres subregiones: desde el origen hasta la curva 1.0r = 4 sen 2θ y desde el origen hasta la curva r = 2. 0.5Como r = 0 =⇒ r = sen 2θ = 0 =⇒ θ = 0 y θ = π Podemos 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 . 2 3.0verificar con la figura que el dominio de la curva r = 4 sen 2θ es 2.5 2.0[0, π/2.] 1.5 1.0Para obtener los límites de integración de las tres su- 0.5bregiones,buscamos la intersección entre las curvas:r = 2 ∩ r = 4 sen 2θ, es decir, 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 π 5π 2 = 4 sen 2θ =⇒ θ = y θ = . 12 12 AR = 1· r drdθ R π/12 4 sen 2θ = 1· r drdθ 00 5π/12 2 + 1· r drdθ π/12 0 π/2 4 sen 2θ + 1 · r d r d θ ≈ 2.45674 5π/12 0

212 Integral doble e integral triple.Ejemplo 5.18 Calcular el área de la región limitada por la curva de ecuación (x2 + y2)2 − x2 + y2 = 0, x ≥ 0 (región celeste en la figura).Solución: Haciendo el cambio de variable x = r cos θ y y =r sen θ y sustituyendo en (x2 + y2)2 − x2 + y2 = 0, obtenemos r 2 cos(θ)2 + r 2 sin(θ)2 2 − r 2 cos(θ)2 + r 2 sen(θ)2 = 0Simplificando queda r 2 = cos(2θ), que es la ecuación de la lem-niscata. Como x ≥ 0 entonces la mitad de la lemniscata que nosinteresa es r = cos(2θ).Tangentes al Polo: r = 0 =⇒ cos(2θ) = 0 =⇒ θ = π Como tenemos la figura, podemos ver que estos rayos ±. 4corresponden a los límites integración. π/4 cos(2θ) π/4Luego, el área de la región es r d r d θ = 1/2 cos(2θ) d θ = 1/2. −π/4 0 −π/4

Ejercicios 5.5 Coordenadas Polares. 213 20 Y 5.9 Plantear la o las integrales necesarias para calcular R 1 d A. La región R es la región limitada por X Y R (x2 + y 2)3 los círculos x2 + y2 = 4, (x −2)2 + y2 = 4 y las rectas x + y = X 4, y = 0, como se muestra en la figura. Y 5.10 Plantear la o las integrales necesarias para calcular X el área de la región R limitada por las circunferencias x2 + y2 = 1 y (x − 1)2 + y2 = 1. 5.11 (*) Calcular el área de la región limitada por el lazo de la curva r = 1/2 + cos θ. Ayuda: Notar que el lazo in- terno va de θ = 2π/3 a θ = 4π/3.

214 Integral doble e integral triple. Y X 5.12 Utilizando coordenadas polares, plantear la o lasintegrales que permiten calcular el área de la región R(región sombreada) mostrada en la figura. 5.13 (*) Verifique, usando coordenadas polares, que 5el área de la región R (región sombreada mostrada en 4 3 11 3 14π 2la figura) es 2 + 3 ≈ 24.187. Debe ser cuidado- 1so con la escogencia correcta de los límites de integración. 321 123 1 2 5.14 (*) Verifique, usando coordenadas polares, queel área de la región R (región sombreada mostradaen la figura) es ≈ 1.0708. Debe ser cuidadoso con laescogencia correcta de los límites de integración. En laregión de integración, la circunferencia celeste va deθ = π/2 hasta θ = π que no es el mismo intervalo para lacircunferencia r = 1. 5.15 Calcular el área de las regiones sombreadas.

5.5 Coordenadas Polares. 215 1.5 1.0 0.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5 1.5 0.5 1.0 0.5 1.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 1.5 a) b) 3.0 2 2.5 1 2.0 1.5 321 123 1.0 1 0.5 2 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3 c) 45.16 Calcule, usando coordenadas polares, el volu-men del sólido Q limitado por el cono z2 = x2 + y2 d)y la esfera x2 + y2 + z2 = 1. Z 5.17 Calcule el volumen del sólido Q limitado por las Xsuperficies x2 + z2 = 4, x2 + (z − 1)2 = 1 y x = 4 − y, enel primer octante; como se muestra en la figura. Ayuda:Proyectar sobre X Z y usar coordenadas polares. Y

216 Integral doble e integral triple. 5.18 Considere el sólido Q limitado por el cilin-dro x2 + y2 = 1/4 , el cono 3z2 = x2 + y2, la esferax2 + y2 + z2 = 1 y los planos x = 0 y x = y; tal ycomo se muestra en la figuraCalcular el volumen del sólido Q5.19 Usando el cambio de variable x = u2 − v2, y = 2uv; calcular I = x y d A donde T es el rectángulo devértices (1, 1), (2, 1), (2, 3) y (1, 3). T5.20 Calcule e(x+y)/(x−y)d A usando el cambio de variable u = x + y, v = x − y; donde T es el trapecio de Tvértices (1, 0), (2, 0), (0, −2) y (0, −1). 5.21 Calcule cos y − x d A donde T es el trapecio de vértices (1, 0), (2, 0), (0, 2) y (0, 1). Ayuda: Usar T y+xcambio de variable u = y − x, v = y + x. 5.22 Calcule x y d A donde T es la región limitada por y = x, y = 3x, x y = 1 y x y = 3; en el primer Tcuadrante. Use el cambio de variable x = u/v y y = v.

5.6 Integral triple. 2175.6 Integral triple. YConsideremos un cubo Q como el de la figura a la derecha. XSu volumen es VQ = abc. Si la densidad ρ es constanteen todo el cubo, la masa viene dada por MQ = ρVQSi la densidad no es constante y ρ = ρ(x, y, z), entoncespara obtener una aproximación de la masa, dividimos Qen N cubos Qi de volumen ∆Vi = ∆xi ∆yi ∆zi .Así, la densidad en el punto Pi (xi , yi , zi ) es ∆Mi ≈ ρ(xi , yi , zi )∆xi ∆yi ∆zi .La masa total del cubo Q sería, NN M ≈ ∆Mi = ρ(xi , yi , zi )∆xi ∆yi ∆zi i =1 i =1Ahora, tomando el límite cuando N → ∞ (si existe), obtenemos N M = l´ım ρ(xi , yi , zi )∆xi ∆yi ∆zi N →∞ i =1Esto es muy parecido a la integral de Riemann que definimos al principio de este capítulo. En realidad podemosreemplazar la malla MR por MQ = {Q1,Q2, ...QN } y definir la integral triple de Riemann de una función f (x, y, z) sobreuna región tridimensional Q como C (MQ ) f (x, y, z)dV = l´ım f (xi , yi , zi )∆Vi Q ||MQ ||→∞ i =1Los teoremas para integral doble se extienden de manera natural a la inegral triple.(Integral Triple). Sea Q un sólido limitado por superficies suaves de ecuación z = F1(x, y) (abajo) y z = F2(x, y) ( F1, F2 con derivadas parciales continuas) y con su proyección Rx y limita- da por funciones con derivadas continuas. Si f (x, y, z) es continua sobre Q, entonces

218 Integral doble e integral triple. F2 (x ,y ) f (x, y, z)dV = f (x, y, z)d z d y d x Q Rxy F1(x,y) F2 (x ,y )En particular, VQ = 1dz d y dx Rxy F1(x,y)Ejemplo 5.19 Calcular x cos(y + z) dV con Q el sólido limitado por y + z = π, y = x, x = z = 0 Q . Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet) YY X X Solución: Para calcular esta integral triple vamos a necesitar la integral x cos x d x = cos x + x sen x + K (se calcula “por partes”.) El sólido Q está entre las superficies z = 0 y z = π − y.

5.6 Integral triple. 219 π π π−y x cos(y + z) dV = x cos(y + z) d z d y d xQ 0x 0 π π π−y ππ π2 0 x 0 = x sen(y + z) dy dx = −x sen(y) d y d x = 2 − 2 0xEjemplo 5.20Calcular, usando el orden “d x d z d y”, I = 2 x cos(y + z) dV con Q el sólido limitado por las superficies (verfigura) y + z = π, y = x, x = z = 0 Q. Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet)Solución: Por el orden de integración que se pide, debemos proyectar sobre el plano Y Z .Usaremos las integral y4 sen y d y = − 24 − 12 y2 + y4 cos y + 4 y −6 + y2 sin y + K , que se calcula “porpartes”. El sólido Q está entre x = 0 y x = y2.

220 Integral doble e integral triple. π π−y y2 2x cos(y + z) dV = 2x cos(y + z) d x d z d y Q 00 0 = π π−y x2 cos(y + z) y2 dzdy 0 0 0 = π π−y = y4 cos(y + z) d z d y = 00 π y4 sen(y + z) π−y dy 0 0 π −y4 sen(y) d y = −48 + 12 π2 − π4 0Ejemplo 5.21 . Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet) Considere el sólido Q limitado por z = 0, Z y + 2z = 2, x = 0 y y = 1 − x2 tal y como se muestra en la figura. Usando integral triple, Plantear la 1 integrales necesarias para calcular el volumen de Q proyectando en cada uno de los planos X Y , Y Z 1 2Y y XZ 1 XSolución:Proyectando sobre X Y . La región de integración Rx y está entre las curvas y = 1 − x2 y y = 2 − 2x2 y en estaregión el sólido está entre z = 0 y z = 1 − y/2. . Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet)

5.6 Integral triple. 221 11 2 1 2−2x2 1− y /2 VQ = 1dz dydx 0 1−x2 0Proyectando sobre Y Z . La región de integración es Ryz = R1 + R2. La región R1 está entre las rectas z = 0 yz = 1 − y/2 y el sólido está entre x = 1 − y y x = 1 − y/2.La región R2 está entre las rectas z = 0 y z = 1 − y/2 y en esta región el sólido está entre x = 0 y x = 1 − y/2. . Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet) 1 11 2 VQ = 1 1−y/2 1− y /2 00 1dx dzdy 1−y 2 1−y/2 1− y /2 + 1dx dzdy 10 0

222 Integral doble e integral triple. . Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet)Proyectando sobre X Z . Rxz = R1 + R2. La curva : 1 : 0.5C1 que divide ambas regiones es la cruva de inter-sección entre y = 2 − 2z y y = 2 − 2x2. Igualdando 1obtenemos C : z = x2. La curva C2 se obtienecomo la intersección de y = 1 − x2 y y = 2 − 2z.Entonces C2 : z = (1 + x2)/2. 1 x2 2−2x 2 1 00 VQ = 1dy dzdx 2 1−x 2 1 1 (1+x 2) 2−2z 2 + 1dy dzdx 0 x2 1−x 2Ejemplo 5.22 Considere el sólido Q limitado por z = 4 − x2, y + z = 6, y = x, y = 5, z = 0 y x = 0, como se muestra en la figura. Usando integral triple, plantear la integrales necesarias para calcular el volumen de Q proyectando en cada uno de los planos X Y , Y Z y X Z . Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet)Proyectando sobre el plano X Y . La región de integración es Rx y = R1 + R2 + R3.La curva C divide las regiones R1 y R2 y la recta x = 3 divide la región R1 y la región R3. La curva Ces la proyección de la curva de intersección entre las superficies z + y = 6 y z = 4 − x2, es decir, C : y = 2 + x2.

5.6 Integral triple. 223La región R1 está entre y = x y y = 2 + x2, la región R2 está entre y = 2 + x2 y y = 5 y la región R3 es-tá entre y = x y y = 5.VQ = dV + dV + dV = R1 R2 R3 3 2+x2 4−x 2 0x 1dz dydx 0 35 6−y+ 1dz dydx 0 2+x2 0 2 5 4−x2+ 1dz dydx 3x 0

224 Integral doble e integral triple. Proyectando sobre el plano Y Z . La curva C es la proyección de la curva de intersección entre las superficies y = x y z = 4 − x2, es decir, C : z = 4 − y2. VQ = 2 4−y2 y 00 1dx dzdy 0 24 4−z + 1dx dzdy 0 4−y2 0 5 6−y 4−z + 1dx dzdy 20 0 Proyectando sobre el plano X Z . 1 4−z 5 4 4−z 6−z VQ = 1dy dxdz + 1dy dxdz 00 x 10 x 68 12 3 VQ = 3 − 5 .21 . Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet)Ejercicios Z 2 5.23 Plantear la o las integrales triples necesarias para calcular el volumen del sólido Q si este sólido está limitado por x2 + y2 = 4; z + y = 2; y = 1; x = 0; y = 0 y z = 0, en el I octante 1 2 Y X

5.7 Cambio de variables en integral triple. 2255.24 Plantear la o las integrales triples necesarias para calcular el volumen Z 1 2Ydel sólido Q si este sólido está limitado por las superficies y = 2 − 2x2;y = 1 − x2; y + 2z = 2; x = 0 y z = 0; en el I octante. 1 1 X5.25 Plantear la o las integrales triples necesarias para calcular el volumen Zsólido Q si este sólido está limitado por la superficie y2 + z2 = 4 y los planos 32x − 2y + z = 2; x = 0 y z = 0. 2 2 3Y -1 1 2 3 X5.7 Cambio de variables en integral triple. La versión del teorema de cambio de variable para integrales triples es la siguiente,Teorema 5.4 (Cambio de variable).Sea Q una región acotada en R3 cuya frontera consiste de un número finito de superficies suaves. Suponga-mosque Q está contenido en un conjunto abierto U y sea L(u, v, w) = (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) un cambiode variable de U en R3 invertible en el interior de Q y con derivadas parciales continuas. Sea f una función  ∂x ∂x ∂x   ∂u ∂v ∂w   continua y acotada sobre L (Q ) y sea J (u, v, w) = Det  ∂ y ∂y ∂y  no nulo en el interior de Q, entonces      ∂u ∂v ∂w     ∂z ∂z ∂z    ∂u ∂v ∂w f (L(u, v, w))|J (u, v, u)|d u d v d w = f (x, y, z)dx d y dz Q L(Q)

226 Integral doble e integral triple.Ejemplo 5.23 (Volumen de un Paralelepípedo). Consideremos un paralelepípedo Q generado por los vectores A = (2, 0, 0), B = (0, 2, 2) y C = (0, 2, 0). Como se sabe del álgebra lineal, el volumen de Q es VQ = |Det(A B C )| = 8. Si L : R3 → R3 es una transformación lineal, entonces el paralelepípedo generado por L(A), L(B ) y L(C ), el cual denotamos con L(Q), tiene volumen VL(Q) = |Det(L)|VQ = |Det(L)| · 8. Verifiquemos en este caso el teorema de cambio de variable aplicando al sólido Q de la figura, la transformación lineal L(u, v, w) = (u/2, v/2 w/2). Z Y X 1 z+1 1 2 w+2 2 VL(Q) = 1 · d x d y d z = 1 y VQ = 1dudv dw = 8 0z 0 0w 0Ahora, com una verificación, calculamos VL(Q) aplicando un cambio de variable. Sea x = u/2, y = v/2, z = w/2sobre Q, obtenemos el nuevo sólido L(Q). En este caso, 1/2 0 0  1 J (u, v, w) =  0 1/2 0  = ,   8 0 0 1/2y entonces, por el teorema de cambio de variable,VL(Q) = 2 = 1 · |J (u, v, w)| d w d u d v Rvw 0 2 w+2 2 1 1 1 · d w d u d v = · 8 = 1. 08 8 0w

5.8 Coordenadas cilíndricas. 2275.8 Coordenadas cilíndricas.Las coordenadas cilíndricas se usan para describir regiones que son simétricas respecto a alguno de los ejes. Laposición de un punto P (x, y, z) en el espacio está determinada por los números r, θ, z donde (r, θ) son las coordenadaspolares del punto (x, y).Si integramos proyectando sobre el plano X Y , el cambio de variable es  x = r cos θ además cos θ −r sen θ 0  |J (r, θ, z)| = sin θ r cos θ 0 = r    0   0 1  r : y = r sen θ,      z = zComo J (r, θ, z) = r entonces el cambio de variable es invertible si r = 0. Entonces, si se cumplen las condiciones delteorema de cambio de variable,(Coordenadas Cilíndricas). f (x, y, z) dV = f (r cos θ, r sen θ, z) r d z d r d θ QQ

228 Integral doble e integral triple.Ejemplo 5.24 Y X Verifique que el volumen de un cilindro recto Q de radio a y altura h, es V = πa2h.Solución: Q es el cilindro x2 + y2 = a2 limitado por z = 0y z = h. La proyección sobre el plano X Y es el círculox2 + y2 = a2. V= dV = = Q = 2π a h dr dθ r dz 00 0 2π a rhdr dθ 00 2π a2 a2 2π hdθ = hθ 02 20 = πa2hEjemplo 5.25 Verifique que el volumen una esfera S de radio a tiene volumen V = 4 πa3. 3Solución: Podemos calcular el volumen de un octavo de esfera y multiplicar por 8 (ver figura). La esfera tieneecuación x2 + y2 + z2 = a2. Como la proyección es un círculo, usamos coordenadas cilíndricas: x = r cos θ,y = r sen θ y z = z. La esfera está entre las superficies z = 0 y z = a2 − x2 − y2 = a2 − r 2.

5.8 Coordenadas cilíndricas. 229 π/2 a a2−r 2 π/2 aV = 8· dV = 8· r dz dr dθ = 8· r a2 −r2 dr dθ Q 0 00 00 a2 −r2 3 a 8a3 θ π/2 = 4 a3π π/2 − dθ = 8· π/2 a3 30 3 = 8· dθ = 3 03 0 0Ejemplo 5.26Considere el sólido Q limitado por las superficies Yz2 = x2 + y2 (cono), y el plano z = 1. a.) Calcular 2z dV . Q b.) Calcular el volumen de Q. XSolución:a.) En coordenadas rectangulares tendríamos 1 2z dV = 2z d z d y d x Q R x2+y2 1 1−y2 1 = 2z d z d y d x 0 − 1−x2 x2+y2La región de integración se describe fácil si usamos coordenadas cilíndricas. La proyección R sobre el planoX Y es un círculo de radio 1. En coordenadas polares esta región se describe como R : 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 1.Usando el cambio de variable x = r cos θ, y = r sen θ, entonces el sólido está entre las superficies z = r yz = 1.

230 Integral doble e integral triple. 2z dV = 2π 1 1 Q 2z d z r dr dθ = 0 0r = 2π 1 z2 1 r dr dθ 0 0 r 2π 1 −r3dr dθ π r = 2 00 b.) Volumen de Q. dV = 2π 1 1 Q dz r dr dθ = 0 0r = 2π 1 z|1r r d r d θ 00 2π 1 π r −r2dr dθ = 3 00Ejemplo 5.27 El sólido Q de la figura esta limitado por el cilindro x2 + y2 = 4 y el plano y + z = 4. Calcular el volumen de Q.

5.8 Coordenadas cilíndricas. 231Solución: Usamos coordenadas cilíndricas: x = Yr cos θ, y = r sen θ y z = z. Observemos que Q estáentre las superficies z = 0 y z = 4 − y = 4 − r sen θ.La región de integración en el plano X Y es el círculox2 + y2 = 4, es decir el círculo r = 2 con 0 ≤ θ ≤ 2π. 2π 2 4−r sen θVQ = dV = r dz dr dθ = = Q 000 2π 2 r (4 − r sen θ) d r d θ 00 2π 8 sen θ X 8 − d θ = 16π. 03Ejemplo 5.28Calcule el volumen del sólido de la figura. Este sólido Q está limitado por la esfera x2 + y2 + z2 = 4 y el cilindrox2 + (y − 1)2 = 1, z ≥ 0. . Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet) YX X YXYSolución: El Sólido Q está entre las superficies z = 0 y z = 4 − x2 − y2 = 4 − r 2. La proyección del solido es elcírculo x2 + (y − 1)2 = 1. Este círculo se describe en coordenadas polares como 0 ≤ r ≤ 2 sen θ, − π ≤ θ ≤ π o también, 0 ≤ r ≤ 2 sen θ, 0 ≤ θ ≤ π 22El volumen de Q es,

232 Integral doble e integral triple. dV = π/2 2 sen θ 4−r 2 −π/2 0 Q dz r dr dθ 0 π/2 2 sen θ = zr |0 4−r 2 d r d θ −π/2 0 π/2 2 sen θ = r 4−r2dr dθ −π/2 0 = π/2 − 1 (4 − r 2)3/2 2senθ d θ −π/2 3 0 1 π/2 =− (4 − 4 sen2 θ)3/2 − 8 d θ 3 −π/2 1 π/2 8 cos3 θ − 8 d θ = − 8 (4/3 − π). =− 3 −π/2 3Aquí se usó la integral cos3 t d t = 3 sin(t ) + sin(3 t ) . 4 12Ejemplo 5.29 Calcule el volumen de sólido Q, mostrado en la figura, el cual está limitado por la esfera x2 + y2 + z2 = 32 y los cilindros x2 + z2 = 22, x2 + z2 = 12.

5.8 Coordenadas cilíndricas. 233Solución: La proyección sobre X Z es una región entre un par de segmentos de círculo. Usamos coordenadas  x = r cos θ  cilíndricas, el cambio de variable sería r : z = r sen θ y como antes, J (r, θ, y) = r.  y = y La proyección Rxz está entre las circunferencias r = 1 y r = 2 y el ángulo 0 ≤ θ ≤ π/2. El sólido Q está entrey = 0 y y = 32 − x2 − z2 = 32 − r 2.VQ = π/2 2 9−r 2 = 01 = 1· dy r dr dθ = 0 π/2 2 y 9−r 2 r dr dθ 01 0 π/2 2 r 9 − r 2 d r d θ, hacemos u = 9 − r 2, d u = −2r d r, 01 π/2 1 9−r2 3/2 9−22 = π 16 2−5 5. − 03 dθ 6 9−12Ejemplo 5.30 Calcule, usando coordenadas cilíndricas, el volumen del sólido Q, limitado por la porción de paraboloide z = 4 − x2 − y2, la porción de esfera x2 + y2 + z2 = 16 y el plano x = y; en el primer octante (figura). Y XSolución: La región e integración, proyectando sobre X Y , es R = R1 ∪ R2. R1 : 0 ≤ r ≤ 2, π/4 ≤ θ ≤ π/2, R2 : 2 ≤ r ≤ 4, π/4 ≤ θ ≤ π/2.

234 Integral doble e integral triple. En la región R1, el sólido está entre la porción de esfera x2 + y2 + z2 = 16 y la porción de paraboloide z = 4− x2 − y2. En la región R2, el sólido está entre la porción de esfera x2 + y2 + z2 = 16 y el plano z = 0. π/2 2 16−r 2 π/2 4 16−r 2VQ = dV = 4−r 2 r dz dr dθ + r dzdr dθ = = Q π/4 0 π/4 2 0 = = π/2 2 r 16 − r 2 − r (4 − r 2) d r d θ + π/2 4 r 16 − r 2 d r d θ π/4 0 π/4 2 π/2 − 1 (16 − r 2)3/2 − 2r 2 + r 4 2 + π/2 − 1 (16 − r 2)3/2 4 d θ π/4 3 dθ 4 0 π/4 3 2 π/2 − 1 (16 − r 2)3/2 − 2r 2 + r 4 2 + π/2 − 1 (16 − r 2)3/2 4 d θ dθ π/4 3 4 0 π/4 3 2 π/2 52 −8 3dθ + π/2 13 13π 8 3 d θ = − 2 3 π + 2π 3 = . π/4 3 π/4 3 3Ejemplo 5.31 El sólido Q de la figura es un casquete, de altura h, de una esfera de radio a. . Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet) Y XVamos a usar coordenadas cilíndricas. Para calcular su volumen proyectamos sobre el plano X Y . La proyeccióndel casquete es un círculo de radio 2ha − h2. Este radio se obtiene calculando la intersección de la curvaz2 + y2 = a2 y la recta z = a − h.El sólido Q está limitado arriba por la superficie z = a2 − x2 − y2 = a2 − r 2 y por abajo por la superficiez = a − h. Entonces

5.8 Coordenadas cilíndricas. 235 2π 2ha−h2 a2−r 2 VQ = r dzdr dθ 00 r (a−h) Como (usando “sustitución”) r a2 −r 2 dr = 1 a2 − r 2 3 salvo constantes, se sigue que − 3 VQ = 2π 2ha−h2 r a2 − r 2 − r (a − h)dr dθ 00 2π 1 a2 − r 2 3 − r 2(a − h) 2h a −h 2 =− 20 dθ 03 2π 1 − r )3 (2h a − h2)(a − h) 1 a3 dθ − = (a − + 03 23 = π h2(3a − h) 3Ejercicios22 5.26 Verifique, que el volumen del cono de base circular de πa2h radio a y altura h es VC = 3 . Ayuda: El cono se puede modelar con la ecuación x2 + y2 = a2(z − h)2 tal y como se muestra en la figura. Y h2 , X h El cono está entre z = 0 y z = h − x2 + y2 pues z ≤ h. a 5.27 Calcule el volumen del sólido Q limitado por el cono z2 = x2 + y2 y la esfera x2 + y2 + z2 = 1. 5.28 Calcule, usando coordenadas esféricas, el volumen del sólido Q limitado por un casquete de la esfera x2 + y2 + z2 = 4 y el cilindro x2 + y2 = 1, como se muestra en la figura.

236 Integral doble e integral triple. 2 4−x2 16−x2−y25.29 Sea I = x2 + y2dV = x2 + y2dzdydx Q 00 0a.) Dibuje el sólido Q. Observe que el sólido está entre las superficies z2 + x2 + y2 = 16, x2 + y2 = 4, x ∈ [0, 2].b.) Calcule I usando coordenadas cilíndricas.5.30 Sea Q el sólido limitado por y = 1, y = x2 + z2 y y = 4; como se muestra en la figura. Calcule 1 dV. Q x2 +z2 +1

5.9 (*)Coordenadas esféricas. 237 5.31 Calcule el volumen del sólido Q limitado por S1 : x2 + z2 = 4, S2 : y + x = 2, S3 : z = 4, S5 : y = 0, S6 : x = 0. Y X5.9 (*)Coordenadas esféricas. En el caso de coordenadas esféricas, la posición de un punto P = (x, y, z) en el espacio está determinada por los números ρ, θ, ϕ donde ρ es la distancia del punto al origen, θ es la medida del ángulo de la proyección del punto en el plano X Y con el eje X (llamado “longitud”) y ϕ es la medida del ángulo entre el vector P y el eje Z (llamado “latitud”). Est último ángulo se mide desde el eje Z . Los ángulos θ y ϕ se pueden tomar respecto a los otros ejes.5.9.1 Describiendo Superficies en Coordenadas Esféricas. En lo que sigue, ϕ lo tomaremos como aparece en la figura anterior. El cambo de variable de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas es  con ρ > 0, 0 ≤ θ < 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π.  x = ρ sen ϕ cos θ  y = ρ sen ϕ sen θ  z = ρ cos ϕ  Observe que hay una relación entre coordenadas polares y esféricas: x = ρ sen ϕ cos θ = r cos θ y = ρ sen ϕ sen θ = r sen θ A las coordenadas esféricas a veces se les llama “coordenada polares esféricas”.

238 Integral doble e integral triple.Ejemplo 5.32 (Semi-cono z2 = x2 + y2 con z ≥ 0) En la ecuación del cono z2 = x2 + y2 hacemos la sustitución x = ρ sen ϕ cos θ, y = ρ sen ϕ sen θ, z = ρ cos ϕ y obtenemos ρ2 cos2 ϕ = ρ2 sen2 ϕ cos2 θ + ρ2 sen2 ϕ sen2 θ =⇒ cos2(ϕ) = sen2(ϕ) π Podemos tomar la solución ϕ = . Así, esta rama del cono se describe (en coordenadas esféricas) como 4 π ϕ = , 0 ≤ θ ≤ 2π, ρ > 0. 4 π ππ Una parametrización de esta superficie es r (ρ, θ) = ρ sen cos θ, ρ sen sen θ, ρ cos , con 0 ≤ θ < 2π, ρ > 0. 4 44 Y YXX YEjemplo 5.33 X Consideremos el sólido limitado por la esfera x2 + y2 + z2 = 1 y el plano y = x, en el primer octante. La esfera de radio 1 se describe en coordenadas esféricas por ρ = 1 pues, haciendo la sustitución x = ρ sen ϕ cos θ, y = ρ sen ϕ sen θ, z = ρ cos ϕ en x2 + y2 + z2 = 1 obtenemos ρ = 1. Este sólido se puede describir en coordenadas esféricas con 0 ≤ ρ ≤ 1, π/4 ≤ θ ≤ π/2 y 0 ≤ ϕ ≤ π/2.

5.9 (*)Coordenadas esféricas. 239Ejemplo 5.34 (Superficie de la esfera x2 + y2 + z2 = a2).Haciendo el cambio de variable y simplificando queda Yρ = a. Luego, la esfera x2 + y2 + z2 = a2 se describe (encoordenadas esféricas) como ρ = a, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π XUna parametrización de esta superficie es r (ϕ, θ) = a sen ϕ a cos θ, a sen ϕ sen θ, cos ϕ , con 0 ≤ θ < 2π, 0 ≤ϕ ≤ π.Ejemplo 5.35 (Superficie de la esfera (x − 1)2 + y2 + z2 = 1). Para hacer la descripción de la esfera (x − 1)2 + y2 + z2 = 1 en coordenadas polares, hacemos el cambio de variable y, simplificando, queda ρ = 2 sen ϕ cos θ. Luego, la esfera se describe (en coordenadas esféricas) como ρ = 2 sen ϕ cos θ, − π ≤ θ ≤ π , 0 ≤ ϕ ≤ π 22 Una parametrización de esta esfera es ππ r (ρ, ϕ, θ) = 2 sen ϕ cos θ · sen ϕ cos θ, 2 sen ϕ cos θ · sen ϕ sen θ, 2 sen ϕ cos θ · cos ϕ con − ≤ θ ≤ , 0 ≤ ϕ ≤ π 22 . Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet) Y YXX

240 Integral doble e integral triple.Ejemplo 5.36 (Superficie S : (x2 + y2 + z2)3 = z4) . Para hacer la descripción de la superficie (x2 + y2 + z2)3 = z4 en coordenadas polares, hacemos el cambio de variable y simplificando queda ρ = cos2 ϕ. Luego, la superficie se describe (en coordenadas esféricas) como ρ = cos2 ϕ, 0 ≤ θ < 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π.ρ = cos2 ϕ, 0 ≤ θ < π/2, 0 ≤ ϕ ≤ π/2 . Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet) ρ = cos2 ϕ, 0 ≤ θ < 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π.5.9.2 Cambio de variable con coordenadas esféricas. En coordenadas esféricas ponemos u = r, v = θ y w = ϕ. Como dijimos antes, vamos a tomar el cambio de variable,  x = ρ sen ϕ cos θ en este caso |J (ρ, ϕ, θ)| = ρ2 sen ϕ.      r : y = ρ sen ϕ sen θ       z = ρ cos ϕcon ρ > 0, 0 ≤ θ < 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π. El interior de la región de integración requiere ρ > 0 y ϕ = kπ, k ∈ Z, para que eljacobiano no se anule. Si se cumplen las condiciones del teorema de cambio de variable, entonces

5.9 (*)Coordenadas esféricas. 241(Coordenadas Esféricas). f (x, y, z)dV = f (ρ cos ϕ cos θ, ρ cos ϕ sen θ, ρ sen ϕ) ρ2| sen ϕ| d ρ d θ d ϕ QQEjemplo 5.37Calcule, usando coordenadas esféricas, la integral z dV si Q es el sólido limitado por las superficies Qy = x y x2 + y2 + z2 = 1; en el primer octante. Y XSolución: Haciendo el cambio de variable, ρ = 1, π/4 ≤ θ ≤ π/2 y 0 ≤ ϕ ≤ π/2. Luego, zdV = π/2 π/2 1Q ρ cos(ϕ) · ρ2 sen(ϕ) d ρ d ϕ d θ π/4 0 0 π/2 π/2 ρ4 1 = cos(ϕ) · sen(ϕ) d ϕ d θ 4 π/4 0 0 π/2 π/2 1 = cos(ϕ) · sen(ϕ) d ϕ d θ π/4 0 4 π/2 1 sen2(ϕ) π/2 = dθ π/4 4 2 0 π/2 1 π = dθ = . π/4 8 32

242 Integral doble e integral triple.Ejemplo 5.38Calcular, usando coordenadas esféricas, el volumen de la Yesfera Q : x2 + y2 + z2 = 1.Solución: Vamos a calcular el volumen de un oc-tavo de esfera. Aplicando el cambio de variable,ρ = 1, π/4 ≤ θ ≤ π/2 y 0 ≤ ϕ ≤ π/2. Notemos que| sen ϕ| = sen ϕ en [ 0, π/2 ]. XVQ = 8 · dV Q π/2 π/2 1 ρ2| sen ϕ| d ρ d θ d ϕ = 8· 000 π/2 π/2 ρ3 1 = 8· 3 sen ϕ d θ d ϕ 00 0 = 8· π/2 π/2 sen ϕ dθdϕ = 8· − π cos ϕ π/2 4π = 3 60 3 00Ejemplo 5.39Calcular x2 + y2 d x d y d z donde Q es la esfera (x − 1)2 + y2 + z2 = 1. QSolución: Como ya vimos, esta esfera se puede describir, en coordenadas esféricas, como ππ ρ = 2 sen ϕ cos θ, − ≤ θ ≤ , 0 ≤ ϕ ≤ π 22Notemos además que | sen ϕ| = sen ϕ en [ 0, π ]. Luego

5.9 (*)Coordenadas esféricas. 243 (x2 + y2)dV = π π/2 2 sen ϕ cos θQ (ρ2 sen2 ϕ) ρ2 sen ϕ d ρ d θ d ϕ = 0 −π/2 0 = π π/2 32 cos5 θ sin8 ϕ d θ d ϕ 0 −π/2 5 π/2 32 cos5 θ d θ · π = 512 35π = 28π · . −π/2 5 sin8 ϕ d ϕ 75 128 15 0Aquí usamos las integralescos5 θ d θ = 5 sin(θ) + 5 sin(3 θ) + sin(5 θ) 8 48 80sin8 ϕ d ϕ = 840 ϕ − 672 sin(2 ϕ) + 168 sin(4 ϕ) − 32 sin(6 ϕ) + 3 sin(8 ϕ) . 3072Ejemplo 5.40 Calcular el volumen del sólido Q de ecuación (x2 + y2 + z2)3 = z4 (ver figura). Solución: Q se puede describir, en coordenadas esféricas, como r = cos2 ϕ, 0 ≤ θ < 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π Notemos además que | sen ϕ| = sen ϕ en [ 0, π ]. Luego, dxdydz = π 2π cos2 ϕQ r 2 sen ϕ d r d θ d ϕ = 00 0 = π 2π cos(ϕ)6 sin(ϕ) dθdϕ 00 3 π 2 π cos(ϕ)6 sin(ϕ) dϕ = − 2π cos(ϕ)7 π 4 π = 03 3 7 0 21

244 Integral doble e integral triple.Ejemplo 5.41 (Intercambio de ejes). . Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet)El sólidoQ está limitado por las superficies y = z yx2 + y2 + z2 = 1; en el primer octante.Vamos a calcular z dV, usando coordenadas es- Qféricas de tres maneras distintas (variando el orden deintegración d x d y d z ).La manera “complicada”. En este caso ϕ varía entre 0 y el plano y = z. Entonces, ρ sen ϕ sen θ = ρ cos ϕ =⇒ ϕ = arctan(csc(θ)). Luego, ϕ = π/2 si θ = 0 y 0 < ϕ ≤ arctan(csc(θ)) si 0 < θ ≤ π/2. El cambio de variable sería x = ρ sen ϕ cos θ, |J | = ρ2 sen(ϕ). y = ρ sen ϕ sen θ, z = ρ cos ϕ.Como tenemos ϕ = ϕ(θ), integramos en el orden d ϕ d θ. Debemos calcular (la integral impropia) π/2 arctan(csc(θ)) 1 I = ρ cos(ϕ) · ρ2 sen(ϕ) d ρ d ϕ d θ 00 0Aunque parece una integral complicada, en realidad no lo es. Solo debemos usar algunas identidades. φ = arctan(x) cos(arctan(x)) = 1 x2x+ 1 sen(arctan(x)) = x2 +1 1 cos2(arctan(csc θ)) = csc2 θ + 1 , θ ∈ D = R − {kπ : k ∈ Z}Esta última identidad se obtiene poniendo x = csc θ si csc θ > 0 (no debemos usar φ !). Si csc θ < 0 =⇒ − csc θ > 0y la identidad se obtiene usando las identidades arctan(−t ) = − arctan(t ) (pues tan(−t ) = − tan t ) ycos(−t ) = cos(t ).

5.9 (*)Coordenadas esféricas. 245 El cálculo de la integral es como sigue,π/2 arctan(csc(θ)) 1 π/2 ρ4 1 r cos(ϕ) · ρ2 sen(ϕ) d ρ d ϕ d θ = 04 cos(ϕ) · sen(ϕ) d ϕ d θ00 0 0 π/2 1 = cos(ϕ) · sen(ϕ) d ϕ d θ 04 π/2 1 cos2(ϕ) arctan(csc(θ)) − = 08 dϕdθ 0 1 π/2 1 =− csc2 θ + 1 − 1 d θ 80 1 π/2 1 = sen2 θ + 1 d θ 80 1 = 1Hacemos el cambio θ = arctan(t ), d θ = 1 + t 2 d t . 1 + 2t2 d t 11 t 2 · 1+t2 dt +1 t2 +1 = arctan( 2t ) arctan( 2 tan θ) +C +C = 22 Luego,π/2 arctan(csc(θ)) 1 θ r cos(ϕ) · r 2 sen(ϕ) d r d ϕ d θ = 1 arctan( 2 tan θ) l´ım θ→ π − 8 2000 0 2 1 π/2 π == 8 2 16 2La manera fácil: Simplificación con un intercambio de ejes. El cambio de variable sería z = ρ sen ϕ cos θ, |J | = ρ2 sen(ϕ). y = ρ sen ϕ sen θ, x = ρ cos ϕ.

246 Integral doble e integral triple. zdV = z π/4 π/2 1 Q [ρ sen(ϕ) cos(θ)] ·ρ2 sen(ϕ) d ρ d ϕ d θ = 00 0 = π/4 π/2 ρ4 sen2(ϕ) cos(θ) 1 d ϕ d θ = 00 4 0 π/4 π/2 1 sen2(ϕ) cos(θ) d ϕ d θ = π/4 θ 1 cos θ π/2 − sen(2θ) dθ 0 04 0 24 40 π/4 π cos θ dθ = π sen θ π/4 π 1 = , pues sen(π/4) = . 0 44 16 0 16 2 223 5.32 Sea S la esfera de radio 1 centrada en el origen. Verifique queEjercicios ( )x2+y2+z2 3 4 e dV = π(e − 1) S3 5.33 Calcule, usando coordenadas esféricas, el volumen del sólido Q limitado por el cono z2 = x2 + y2 y la esfera x2 + y2 + z2 = 1. 5.34 Verifique, usando coordenadas esféricas, que el volumen del cono de base circular de radio a y altura h es πa2h VC = 3 . Ayuda: El cono se puede modelar con la ecuación x2 + y2 = z2a2 , tal y como se muestra en la figura. h2 Y X

5.10 (*)Singularidades. 2475.35 Use coordenadas esféricas para evaluar la integral 2 4−y2 4−x2−y2 x2 + y2 +z2dz dx dy y2 − 4−x2−y2 −2 05.36 [Volumen de un casquete de esfera]. El sólido Q está limitado por la esfera x2 + y2 + z2 = a2 y el planoz = h con 0 < h < a (el caso h = a corresponde a media esfera). Usando coordenadas esféricas, verifique que el h2πvolumen de Q es VQ = 3 (3a − h).Ayuda: Esta es una integral sencilla (aunque asusta). Como sen(ψ) = a−h (ver figura), entonces ϕ = π − a 2arcsen a − h . La integral simplifica totalmente, pues el recorrido de ϕ sería evaluado con cos ϕ ya cos π/2 − arcsen a − h = sen arcsen a − h = a − h . a aa Y X5.10 (*)Singularidades. El método preferido para analizar el comportamiento de las funciones en sus singularidades es el paso al límite. Si f (x, y) es continua en una región R excepto en un punto (a, b) entonces definimos R = R − B donde B es un círculo de radio > 0 alrededor de (a, b). Si l´ım f (x, y) d x d y existe, entonces →0 R f (x, y) d x d y = l´ım f (x, y) d x d y R →0 R

248 Integral doble e integral triple.Ejemplo 5.42Calcular 11 x dy dx. 0 0 1− y2Solución: Tenemos una singularidad en y = 1. Entonces 11 x 1 1− x 00 d y d x = l´ım dy dx 1− y2 →0 0 0 1− y2 = l´ım 1 1− dx 0 →0 x arcseny 0 1 = l´ım x arcsen(1 − ) d x →0 0 x2 1 = l´ım arcsen(1 − ) →0 2 0 1π = l´ım arcsen(1 − ) = . →0 2 4Ejemplo 5.43Sea R el rectángulo [0, 1] × [0, 1]. Calcular 1 d x d y. R xySolución: Hay un problema en x = 0, y = 0. 1 111 d x d y = l´ım dy dx R xy →0 x y = l´ım 4(1 − )2 = 4. →0Integrales impropias y primitivas. El Teorema de Darboux dice que si una función P es primitiva de otra función,entonces P debe cumplir el Teorema del Valor Intermedio: La imagen de un intervalo es también un intervalo. Enparticular, las funciones que tienen una discontiniudad de salto en un intervalo, no pueden tener primitiva en esteintervalo. Por ejemplo, 11 11 111. dx = − +K pero −1 x2 d x = 0, en realidad −1 x2 d x es divergente x2 x

5.10 (*)Singularidades. 249 2. Variaciones de este ejemplo son 51 11 2 (x − 4)2 d x, dx −1 x 3. En varias variables, si calculamos sin tener en cuenta las singularidades podemos obtener cosas como 1 1 x2 − y2 dxdy = −π mientras que 1 1 x2 − y2 dxdy = π −1 −1 x2 + y2 2 −1 −1 x2 + y2 224 5.37 Verifique que 18Ejercicios d x d y = donde R es el rectángulo [0, 1] × [0, 1]. R x−y 3 5.38 Verifique que ln x d x d y = 2 − e donde R = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ e y , 0 ≤ y ≤ 1}. R 5.39 Sea a > 0. Calcular 1+ x2 + y2 dA si D es el disco x2 + y2 ≤ a. a −x2 − y2 D

250 Integral doble e integral triple. Versión actual de este libro: http://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/Libros/ Esta Versión: Abril, 2015.