Fisica del laser

libro abierto / serie apuntes Jos´e Manuel Guerra P´erezVolumen 1: fundamentos F´ısica del l´aser ¬¬¬¬ 1.0.0 30 n2 > n1 20 g2 g1 I (0) 10 n2 < n1 g2 g1 Iν (x) 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 xUn libro libre de Alqua



FdL 535.13 ALQF´ısica del la´ser † lomo para ediciones impresas



http://alqua.org/documents/FdLJos´e Manuel Guerra P´erez jmguerra@fis.ucm.es http://alqua.org/people/jmguerra F´ısica del l´aser versi´on 1.0.0 15 de abril de 2004alqua,madeincommunity

c copyleft Copyright (c) 2004 Jos´e Manuel Guerra P´erez. Este trabajo cae bajo las provisiones de la licencia Atribuci´on-No Comercial-Comparte Igual de Creative Commons. Para ver una copia de esta licencia visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/1.0/ o escriba una carta a Creative Commons, 559 Nathan Abbott Way, Stanford, California 94305, USA.Serie apuntesA´rea ´opticaCDU 535.13Editores A´ lvaro Tejero Cantero alvaro@alqua.org Notas de producci´on Plantilla latex-book-es-b.tex, v. 0.1 (C) A´ lvaro Tejero Cantero. compuesto con software libre

´Indice generalPortada ICopyleft VI´Indice general VII1. El campo electromagn´etico 1 1.1. Descomposici´on en modos del campo cl´asico . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Densidad de modos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42. Cuantificaci´on de la radiacio´n 7 2.1. Cuantificaci´on de los operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2. Estados Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2.1. Autoestados del operador hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2.2. Car´acter de los estados Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3. Estados coherentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3.1. Autoestados del operador destrucci´on . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3.2. Nu´mero de fotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3.3. Evolucio´n temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.4. La radiacio´n isotro´pica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143. La cuantificaci´on de la materia 173.1. A´tomos hidrogenoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2. Sistemas poliat´omicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194. La evolucio´n temporal de los estados 234.1. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2. Evoluci´on temporal en presencia de una perturbacio´n . . . . . . . . . . . 234.3. El desarrollo perturbativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245. Absorcio´n y emisi´on de radiaci´on 27 5.1. Hamiltoniano del sistema radiacio´n-materia . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5.1.1. Probabilidad de transici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5.2. Resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5.3. Los coeficientes de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.3.1. Probabilidades de los procesos de absorcio´n . . . . . . . . . . . . . 33 5.3.2. Probabilidades de los procesos de emisi´on . . . . . . . . . . . . . . 36 vii

´INDICE GENERAL 5.3.3. Efecto de la polarizacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.3.4. Efecto de la degeneracio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5.3.5. Tiempo de vida radiativo y ensanchamiento natural . . . . . . . . 385.4. Sistemas moleculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.4.1. Principio de Franck-Condon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.4.2. Reparto frecuencial de la intensidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 436. Transiciones no radiativas 47 6.1. Definici´on y clasificacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6.2. Probabilidades de transicio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6.3. Transiciones no radiativas en gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 6.3.1. Probabilidad de transicio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 6.3.2. Ensanchamiento homog´eneo. Anchura colisional. . . . . . . . . . . 51 6.3.3. Ensanchamiento inhomog´eneo. Anchura Doppler. . . . . . . . . . . 53 6.4. Ensanchamiento combinado. Anchura total. . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6.4.1. Convoluci´on de dos perfiles de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6.5. T´ecnicas de enfriamiento de a´tomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6.5.1. Haces at´omicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6.5.2. Confinamiento por presio´n de radiacio´n . . . . . . . . . . . . . . . 587. El modelo probabil´ıstico 617.1. La evolucio´n de la poblacio´n de los niveles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617.2. Tiempo de vida radiativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628. El campo electromagn´etico paraxial 65 8.1. La ecuaci´on de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 8.2. Introduccio´n a la aproximacio´n paraxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 8.3. Ondas esf´ericas en la aproximacio´n paraxial . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 8.4. Modos gaussianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 8.5. Propiedades de los haces gaussianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 8.5.1. Forma del haz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 8.5.2. Distribucio´n transversal de la energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . 76 8.6. Estabilidad de un resonador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 799. Resonadores 83 9.1. La funcio´n de transferencia de un resonador o´ptico . . . . . . . . . . . . . 83 9.2. Frecuencias resonantes de los modos gaussianos . . . . . . . . . . . . . . . 85 9.2.1. Batido de modos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 9.3. El perfil de los modos en un resonador Fabry-Perot . . . . . . . . . . . . . 8910.Amplificadores de propagaci´on de radiaci´on 9310.1. Ecuacio´n de transporte de los fotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9310.1.1. P´erdidas en la propagaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99viii F´ısica del la´ser - 1.0.0

´INDICE GENERAL11.Pequen˜a sen˜al y saturacio´n 10111.1. Balance de poblaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10111.2. Esquema a tres niveles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10311.3. Esquema a cuatro niveles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10411.4. Evoluci´on comparada de la inversio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10411.5. Reg´ımenes de trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10511.6. Nivel de ruido del amplificador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10811.7. Caracterizaci´on de un amplificaci´on de radiaci´on . . . . . . . . . . . . . . 11011.7.1. M´etodo de Silfvast y Deech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11111.7.2. M´etodo “de la amplificaci´on relativa” . . . . . . . . . . . . . . . . . 11112.L´aseres de avalancha 11512.1. Fundamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11512.2. Generacio´n de la onda de bombeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11612.2.1. L´ınea de Blusalein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11612.2.2. L´ıneas coaxiales formadoras de pulso . . . . . . . . . . . . . . . . . 11713.Amplificadores resonantes regenerativos 11913.1. Medios con ensanchamiento inhomog´eneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12213.2. Medios con ensanchamiento homog´eneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12414.El oscilador l´aser saturado por la emisi´on espont´anea 12715.Optimizacio´n de la salida de un l´aser 13315.1. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13315.2. Ecuacio´n de propagaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13315.3. Soluci´on num´erica y estimaci´on de las p´erdidas . . . . . . . . . . . . . . . 13716.El l´aser de r´egimen de bombeo pulsado cuasiestacionario 14117.Din´amica del l´aser 14517.1. Ecuacio´n de balance para la radiaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14517.2. Escalamiento de las ecuaciones de balance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14717.3. Estabilidad de la solucio´n estacionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14717.4. La condicio´n umbral en las oscilaciones de relajacio´n . . . . . . . . . . . . 15217.5. El l´aser de amplificador resonante en r´egimen de pulso gigante . . . . . . 15317.6. Evolucio´n temporal del pulso gigante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15817.7. Bloqueo de modos (mode locking) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15918.M´etodos de bombeo 16318.1. Bombeo ´optico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16318.1.1. Esquema a tres niveles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16318.1.2. Esquema a cuatro niveles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16518.1.3. Probabilidad de absorcio´n del bombeo . . . . . . . . . . . . . . . . 16718.1.4. Espectro estrecho: bombeo l´aser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168http://alqua.org/documents/FdL ix

´INDICE GENERAL18.2. Bombeo con l´amparas en r´egimen de destello . . . . . . . . . . . . . . . . 169 18.2.1. Fundamento de las la´mparas de descarga . . . . . . . . . . . . . . 169 18.2.2. Estudio en aproximaci´on de R = cte . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 18.2.3. La la´mpara como elemento no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 17418.3. Bombeo en uniones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17718.4. Bombeo en descargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 18.4.1. Procesos colisionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 18.4.2. Difusi´on y deriva de los iones en un campo . . . . . . . . . . . . . 182 18.4.3. Campos intermedios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18518.5. Bombeo electro´nico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185Historia 189Creative Commons Deed 191Manifiesto de Alqua 193El proyecto libros abiertos de Alqua 197Otros documentos libres 201x F´ısica del l´aser - 1.0.0

1 El campo electromagn´etico1.1. Descomposicio´n en modos del campo cl´asico La electrodin´amica cl´asica parte de las ecuaciones de Maxwell, que en ausencia defuentes (ρ = 0, j = 0) se escriben del siguiente modo: ∂B div B = 0 (B = µ0H) rot E + = 0 div D = 0 (D = 0E) ∂t rot H − ∂D = 0 ∂tLas fuerzas del campo derivan de los potenciales vector A y escalar φ a trav´es de B = rot A (1.1) E = − ∂A − grad φ. (1.2) ∂tIntroduciendo en las ecuaciones de Maxwell estos potenciales, y teniendo en cuentaque en ausencia de fuentes pr´oximas φ cte, se obtiene una ecuaci´on de ondas cla´sicapara el potencial vector: 1 ∂2 − c2 ∂t2 A = 0En las manipulaciones se ha usado rot rot = grad div − y que en el vac´ıo c−1 = √ 0µ0.Ecuaciones an´alogas pueden obtenerse para E y para B; todas ellas admiten solucionesde onda plana del tipo A(r, t) = e b cos(k · r − ωt − ϕ) (1.3) = 2ω 0V b e−iϕei(k · r−ωt) + eiϕe−i(k · r−ωt) e 2ω 0V 2En estas soluciones, e es un vector unitario que es conocido como vector de polariza-cio´n; la ra´ız es un factor de la amplitud que se ha expresado en esta forma por razonesde notacio´n que permitira´n simplificar la interpretacio´n de los resultados. En ´el aparecela magnitud V , que es el volumen en que podemos considerar confinada la energ´ıa dela perturbacio´n. El valor inicial de los fasores del campo es el de los nu´meros complejosconjugados a(0) = b e−iϕ, a∗(0) = b eiϕ 2 2 1

1 El campo electromagn´eticoAs´ı, A(r, t) = 2ω 0V e a(0) ei(k · r−ωt) + a∗(0) e−i(k · r−ωt) Si esta expresio´n ha de ser soluci´on de la ecuacio´n de ondas se ha de verificar la relaci´onde dispersi´on k2 = ω2/c2. Adema´s, dado que div D = 0 y siendo φ cte, tenemos queE = −∂A/∂t por lo cual div ∂A/∂t = 0. Esto en la soluci´on de onda plana que estamosconsiderando obliga a e·k = 0(condicio´n de transversalidad del campo: los vectores A, E e incluso B son ortogonalesa la direcci´on de propagaci´on, que es la del vector k). Con estas soluciones, e imponiendo unas condiciones de contorno en la superficie del volumen V podemos construir una base del espacio funcional para el campo electromagn´etico. Considerando, para simplificar, un recinto de forma cu´bica con lado L (V = L3) y situando el origen en una esquina del cubo se pueden establecer las siguientes condiciones de contorno perio´dicas (Von Neumann): A(0, t) = A(Lu1, t) = A(Lu2, t) = A(Lu3, t) En la onda plana se traducen en la siguiente condici´on sobre k, 2π kl ≡ kl1l2l3 = L (l1u1 + l2u2 + l3u3) donde l representa la terna de ´ındices l1, l2, l3, cada uno de los cuales puede asumir cualquier valor entero. A cada una de estas ternas corresponden dos soluciones, con polarizaciones e1 y e2 ortogonales. Estas soluciones se denominan modos libres del campo electromagn´etico en la cavidad. Para abreviar la notacio´n utilizaremos so´lo dos ´ındices: l, que es una abreviatura de l1, l2, l3 y σ = 1, 2 para la polarizaci´on.En el instante t los fasores del campo de un modo son alσ(t) = alσ(0)e−iωlt = (al∗σ(t))∗y llamando a la parte espacial ulσ(r) ≡ elσ e√ikl · r , |elσ| = 1 (1.4) Vel campo del modo se escribira´ abreviadamente as´ı Alσ(r, t) = 2ωl 0 [alσ(t)ulσ(r) + a∗lσu∗lσ(r)] . (1.5)A veces se denomina parte de frecuencia positiva al primer t´ermino y parte de frecuencianegativa al segundo.2 F´ısica del la´ser - 1.0.0

1.1 Descomposici´on en modos del campo cla´sico Es fa´cil comprobar que los modos est´an ortonormalizados, u∗lσ(r) · ul σ (r) d3r = δll δσσ V ul∗σ(r) · ul∗ σ (r) d3r = 0 V ulσ(r) · ul σ (r) d3r = 0 Vas´ı que un campo electromagn´etico cualquiera confinado dentro del volumen V se puedeexpresar mediante una superposicio´n de modos de onda plana en la forma A(r, t) = 2ωl 0 [alσ(t)ulσ(r) + a∗lσul∗σ(r)] l,σEmpleando las relaciones 1.1 y 1.2 tenemos los campos de fuerza:E(r, t) = i ωl2 [alσ(t)ulσ(r) − al∗σu∗lσ(r)] 2ωl 0 l,σB(r, t) = 1 kl ∧ i ωl2 [alσ(t)ulσ(r) − al∗σul∗σ(r)] c |kl| 2ωl 0 l,σ Podemos ahora formalmente introducir dos variables can´onicamente conjugadas, ql ypl como ciertas combinaciones lineales de los fasores:qlσ ≡ 2ωl (a∗lσ + alσ) = 2ωl blσ cos(ωlt + ϕlσ) (1.6)plσ ≡ i ωl (al∗σ − alσ ) = − ωl blσ sin(ωlt + ϕlσ) (1.7) 2 2No´tese que plσ = dqlσ/dt: estas dos variables se comportan respectivamente como laposicio´n y el momento en la solucio´n de la ecuaci´on de un oscilador armo´nico meca´nicode masa unidad. En efecto, puede comprobarse que d2qlσ + ωl2qlσ = 0. dt2 Utilizando las nuevas variables en las expresiones de los campos E y B as´ı como lascondiciones de ortonormalidad de las distribuciones espaciales, la energ´ıa total del campodentro del volumen V tiene la siguiente forma: 1 0E2 + 1 B2 dV H= µ0 2V 1 pl2σ + ωl2ql2σ = l,σ 2http://alqua.org/documents/FdL 3

1 El campo electromagn´etico l3 l (l1,l2,l3) ll l2 l1Figura 1.1: En el espacio de momentos, asociamos un volumen unidad a cada dos modos (con polarizaciones σ = 1, 2).Vemos pues que cada modo da al campo su energ´ıa como un oscilador armo´nico. As´ıpues desde el punto de vista energ´etico el campo aparece como una superposicio´n deosciladores arm´onicos. En este punto es conveniente apuntar que las condiciones de contorno empleadas paragenerar la base del espacio funcional pueden ser muy diversas. Pueden utilizarse condi-ciones que modelan situaciones f´ısicamente realizables o condiciones de naturaleza pu-ramente matema´tica como las que hemos usado anteriormente. No obstante la densidadde modos de la cavidad en el espacio de fases posicio´n-momento (r, k) es independientede las condiciones de contorno. Esto es importante porque como acabamos de ver elhamiltoniano del campo es la suma de los hamiltonianos asociados a los modos de labase, Hlσ = plσ + ωl2qlσ.1.2. Densidad de modos Como hemos visto el momento kl de un modo esta´ determinado por los tres nu´merosenteros l1, l2, l3 y por su polarizacio´n σ = 1, 2. Un punto de un espacio tridimensional, cuyo sistema de referencia lo constituyen losejes l1, l2, l3, con coordenadas enteras representa un valor kl, es decir, dos modos con laspolarizaciones σ = 1, 2. Se puede imaginar una malla de cubos de lado unidad centradosen las coordenadas enteras (l1, l2, l3) como el de la figura 1.1, con dos modos por cubo,o unidad de volumen. Entonces el nu´mero de modos en un volumen dl1dl2dl3 ser´a dN = 2 dl1dl2dl3. Cam-biando de variables a ki = 2πli/L se tiene, en coordenadas cartesianas del espacio demomentos:d3N = 2 L3 L 3 2π dk1dk2dk3 = 2 2π d3Vk4 F´ısica del l´aser - 1.0.0

1.2 Densidad de modosEmpleando coordenadas esf´ericas (k, θ, ϕ): k1 = k sin θ cos ϕ k2 = k sin θ sin ϕ k3 = k cos θ,se obtiene la dependencia del volumen del espacio de momentos en el m´odulo del vectorde ondas, k: d3Vk = dk1dk2dk3 = k2dk sin θ dθ dϕ = k2 dk d2Ω,que se puede escribir en t´erminos de la frecuencia utilizando la relacio´n de dispersio´n.Concretamente, suponiendo la relaci´on lineal k = ω/c, dk = dω/c se tiene 1 d3Vk = ω2 dω d2Ω. c3Finalmente, el nu´mero de modos cuyas frecuencias angulares est´an comprendidas entreω y ω + dω en la cavidad que encierra la radiacio´n y cuyas direcciones de propagaci´onesta´n dentro del a´ngulo s´olido d2Ω depende cuadra´ticamente de la frecuencia angular: L 3 ω2 2π c3 d3N = 2 dω d2Ω Dado que el volumen de la cavidad es V = L3 el nu´mero de modos con cualquierdireccio´n de propagacio´n ser´a (ω = 2π ν): dN = π 2π d3N = V ω2 dω = 8πν2 V dν, 0 0 π2 c3 c3y por lo tanto, la densidad de modos en la cavidad por unidad de volumen e intervalode frecuencia resulta dN 8πν2 ρν(ν) = V dν = c3 (1.8)N´otese que es una densidad v´alida para el volumen total, pero no necesariamentepara subvolu´menes. Tambi´en es interesante apuntar que aunque esta densidad ha sidodeducida para el caso de las soluciones con simetr´ıa cu´bica en la cavidad, la mismaexpresio´n se puede obtener con cualquier otra geometr´ıa en la cavidad que encierra a laradiaci´on y con cualquier clase de condiciones de contorno en la superficie de la cavidadsiempre que el volumen sea finito. Ejemplo Para hacernos una idea de los o´rdenes de magnitud en la ec. 1.8 en el caso de la radiacio´n en frecuencias o´pticas, supongamos que la longitud de onda fuese λ = 0.6 µm, es decir ν = c/λ = 5 × 1014 Hz. Entonces ρν (ν) = 0.23 Hz−1cm−3. As´ı el nu´mero de modos que en un intervalo de frecuencias ∆ν = ν/1010 5×104 Hz (mil veces menor que el m´ınimo actualmente alcanzado), en un volumen relativamente pequen˜o de 1 cm−3 ser´ıa N = ρν (ν) ∆ν 104 cm−3.1En lo que sigue, c es la velocidad de la luz en el interior del volumen V . S´olo cuando el ´ındice de refracci´on del medio es µ = 1 coincide con el valor en el vac´ıo, que denotamos c0.http://alqua.org/documents/FdL 5

1 El campo electromagn´eticoComo se puede apreciar en el ejemplo anterior, incluso en cavidades pequen˜as y enintervalos de frecuencia reducidos, el nu´mero de modos es tan elevado que podemosconsiderar que forman una distribuci´on cont´ınua, como se ha supuesto al deducir 1.8.S´olo en cavidades microsc´opicas podr´ıa no ser aplicable dicha expresi´on, y entoncesdeber´ıan considerarse individualizados los modos.6 F´ısica del l´aser - 1.0.0

2 Cuantificacio´n de la radiaci´on2.1. Cuantificacio´n de los operadoresHemos visto que la energ´ıa de una configuraci´on arbitraria de radiaci´on electromagn´e-tica puede ser obtenida como la suma de las energ´ıas de osciladores asociados a modoso configuraciones espaciales del campo. El hamiltoniano de uno de estos osciladores, defrecuencia ω, es 1 p2 + ω2q2 (2.1) H= 2En ´el p y q son magnitudes oscilantes con la frecuencia ω y proporcionales a la amplitudb del campo. Podemos pues interpretar que el oscilador est´a asociado a la oscilaci´on dela amplitud del campo electromagn´etico de la onda que constituye el modo.Si los modos de radiaci´on son formalmente osciladores, la cuantificacio´n del campo deradiaci´on se podra´ realizar mediante la cuantificacio´n habitual de un oscilador arm´onicoen meca´nica cua´ntica: asociando a los fasores a y a∗ los operadores de creaci´on y aniqui-lacio´n a y a† de cuantos de energ´ıa en el oscilador. Estos nuevos operadores se expresanen funcio´n de los operadores posici´on y momento como los fasores a y a∗ en funci´onde las variables oscilantes can´onicamente conjugadas q y p (ecs. 1.6, 1.7). Por medio dedicha expresio´n expl´ıcita se puede probar la usual relaci´on de conmutacio´n, a, a† = 1y utilizando 2.1 se puede escribir 1 ω a†a + aa† H= 2En virtud del valor del conmutador, aa† = 1 − a†a, con lo que se obtiene otra expresio´n,ma´s habitual, del hamiltoniano: H = ω a†a + 1/2 . (2.2)2.2. Estados Fock2.2.1. Autoestados del operador hamiltoniano Los autoestados de la energ´ıa son las autofunciones |n que cumplen ω a†a + 1/2 |n = En |n 7

2 Cuantificaci´on de la radiaci´ontambi´en son autoestados del operador nu´mero, N ≡ a†a, aunque con distinto autovalor: N |n = a†a |n = n |n (2.3)y esta´n ortonormalizados: n|m = δnm. La relacio´n entre H y operadores a y a† nosconduce a interesarnos por las propiedades de estos u´ltimos. Del conmutador de a y a† podemos obtener f´acilmente [a, N ] = a a†a − a†a a = (1 + a†a)a − a†a a = a a†, N = a† a†a − a†a a† = a† a†a − a†(1 + a†a) = −a†Entonces N a|n = (aN − a)|n = (n − 1)a|n N a†|n = (a†N + a†)|n = (n + 1)a|nPor tanto a|n ∝ |n − 1 → a|n = A|n − 1 a†|n ∝ |n + 1 → a†|n = B|n + 1Si asumimos que |n − 1 y |n + 1 est´an normalizados, las normas de a|n y de a†|nser´an n| a†a |n =n = |A|2 √ √ → A= n → B = n+1 n| aa† |n = n| (1 + a†a) |n = n + 1 = |B|2Las ecuaciones de autovalores completas para los operadores destruccio´n y creaci´onson pues: √ a|n = √n|n − 1 (2.4) a†|n = n + 1|n + 1 (2.5)con a |0 = 0 y n ≥ 0, lo cual se justifica por el car´acter positivo de la norma al cuadradode a |n , n| a† (a |n ). Para que n sea siempre positivo deber´a ser entero, pues en caso contrario podr´ıamosencontrar un nu´mero k lo suficientemente grande como para que ak |n = n(n − 1) · · · (n − k + 1)|n − k (n − k < 0),sin pasar por el vector |0 , y eso ser´ıa absurdo. Si n es entero cuando k = n se genera elvector |0 y ya no se puede obtener n − k < 0 pues a|0 = 0. Por lo tanto, n = 0, 1, 2 . . .y los autovalores de la energ´ıa son 1 En = ω n+ 28 F´ısica del l´aser - 1.0.0

2.2 Estados FockLos estados |n , autoestados de la energ´ıa en el modo, se denominan estados de Fock .Los elementos de matriz de a y a† son n | a |n √ (2.6) n | a† |n = √n δn ,n−1 (2.7) = n + 1 δn ,n+1Los autoestados de la base de Fock los podemos representar en su propia base: 1 0 0 0 1 .  .   .   .  .  .  1n|0 =   |1 =   ... |n =   . . .              . . 0 . ..as´ı como los operadores destruccio´n, creacio´n y nu´mero: √   √0 0 0   0 1 √0 1 √0 0 0 0 2 0 2 0 a=  a† =        0 0 0   ...   ...  0 0 0  a†a =  0 1 0   0 0 2     ...  En el conjunto de la radiaci´on los modos son independientes, pues el hamiltonianototal Hr es la suma de los hamiltonianos de todos los modos y en cada uno de estos ha-miltonianos los operadores actu´an en el espacio de Hilbert asociado al modo en cuesti´on. Hr = Hlσ = ωl al†σ alσ + 1 2 l,σ l,σLos autovectores de Hr son los vectores |φ que cumplen Hr |φ = Eφ |φ , lo que implica |φ ≡ |nl σ ⊗ |nl σ ⊗ · · · = |nl σ nl σ · · · Eφ = Enl σ + Enl σ + · · · = 1 ωl nlσ + 2 lσEs decir el espacio de Hilbert de la radiaci´on sera´ el producto tensorial de los espaciosde Hilbert asociados a todos los modos. EntoncesI ⊗ · · · ⊗ I ⊗ · · · ⊗ al†σ ⊗ I · · · | · · · nlσ · · · √I ⊗ · · · ⊗ I ⊗ · · · ⊗ alσ ⊗ I · · · | · · · nlσ · · · = √nlσ + 1 | · · · nlσ + 1 · · · = nlσ | . . . nlσ − 1 . . .I ⊗ · · · ⊗ I ⊗ · · · ⊗ Nlσ ⊗ I · · · | · · · nlσ · · · = nlσ | . . . nlσ . . .http://alqua.org/documents/FdL 9

2 Cuantificaci´on de la radiaci´on E´ste es entonces el espacio de Fock de la radiaci´on si la base es la formada por losvectores |nl σ nl σ . . . . Finalmente y como es lo´gico se tiene que verificar la relaci´on decierre en esta base · · · (|nl σ nl σ · · · nl σ nl σ · · · |) = I. lσ l σ2.2.2. Car´acter de los estados Fock Hemos comprobado que al cuantificar la radiacio´n de un modo aparecen los autoes-tados de la energ´ıa o estados Fock |n . Pero ¿como ser´ıa el campo el´ectrico en el modocuando la radiacio´n que contiene esta´ en uno de estos estados?. Para determinarlo, cal-culamos el valor esperado del campo E: n|E(r, t)|n = i ω n|a|n u(r) − n| a† |n u∗(r) 20En virtud de las propiedades de los operadores creaci´on y destrucci´on y de la ortonor-malidad de la base, n| E(r, t) |n = 0 Este campo tiene pues un valor esperado nulo y por tanto tiene bien poco que vercon el campo cla´sico de la radiacio´n que en cada punto y en cada instante es en generaldistinto de cero. Como el campo oscilante de la onda electromagn´etica cl´asica es unbuen modelo del campo emitido por los emisores naturales, debemos concluir que losestados Fock no son f´aciles de generar y tienen un car´acter muy poco cla´sico. En efecto,en estados Fock el nu´mero de fotones esta´ bien determinado (ec. 2.3). Al determinarperfectamente la part´ıcula, perdemos conocimiento de su dimensi´on ondulatoria. N´otese que hemos cuantificado la energ´ıa de una onda extendida a toda la cavidad: enesta cuantificaci´on no se puede definir la posici´on del foto´n, porque no la tiene. El fot´onno tiene funcio´n de onda; es una part´ıcula no local.2.3. Estados coherentes2.3.1. Autoestados del operador destruccio´n Tratando de encontrar estados de la radiacio´n en el modo que tengan una imagenm´as pro´xima a la cla´sica vamos a estudiar los autoestados del operador a, es decir, unosestados |α tales que a |α = α |α , α ∈ C. Siendo a un operador no herm´ıtico, es de esperar que sus autovalores puedan sercomplejos. Como ya conocemos el a´lgebra que permite calcular con los estados Fock,vamos a tratar de escribir el estado |α en base Fock utilizando la relacio´n de cierre ∞∞|α = n|α |n = cn(α) |nn=0 n=010 F´ısica del l´aser - 1.0.0

2.3 Estados coherentesPara conocer este desarrollo debemos calcular expl´ıcitamente los coeficientes cn(α): ∞ ∞√ a |α = cn(α) a |n = cn(α) n |n − 1 n=0 n=1 ∞√ = cn+1(α) n + 1 |n n=0 ∞ = α cn(α) |n = α |α n=0la igualaci´on de los coeficientes entre ambos desarrollos da lugar a una relacio´n de recu-rrencia √ cn+1(α) n + 1 = α cn(α)que se utiliza para calcular todos los coeficientes a partir del primero: c1 = √α c0, c2 = √α c1 = √ α2 1 c0, ... cn = √αn c0 1 2 2× n!La expresi´on de un estado coherente en base de estados Fock es: |α = ∞ c0 √αn |n . n=0 n!El valor hasta ahora indeterminado del primer coeficiente c0 se puede calcular de modoque los estados |α est´en normalizados. As´ı 1= α|α ∞ ∞ √αnαm m|n ∞ |α|2n = |c0|2e|α|2 , n! = |c0|2 = |c0|2 n=0 m=0 n! m! n=0es decir, |c0|2 = e−|α|2y con la adecuada eleccio´n de la fase inicial: c0 = e− 1 |α|2 2Por tanto ∞ |α = e− 1 |α|2 √αn |n . 2 n=0 n!2.3.2. Nu´mero de fotonesLa probabilidad de obtener en una medida de la energ´ıa n cuantos hν en el modo ser´a |cn(α)|2 = | n|α |2 = e−|α|2 |α|2n . n!http://alqua.org/documents/FdL 11

2 Cuantificaci´on de la radiaci´on 1000 |cn(α)|2 = exp −|α|2 |α|2n , α=2 800 n! |cn(α)|2 600 400 200 0 2 4 6 8 10 12 14 nFigura 2.1: La distribucio´n de probabilidad sobre el nu´mero de cuantos es la distribuci´on de Poisson.Vemos pues que en estos estados el nu´mero de cuantos de energ´ıa hν no esta´ determinado.El nu´mero medio de cuantos en el modo es: n = α|a†a|α = α∗α α|α = |α|2escribiendo el autovalor en forma m´odulo-argumental: α = |α| e−iϕ = n 1/2 e−iϕy nn . |cn( n )|2 = e− n n!2.3.3. Evoluci´on temporal El operador unitario de evolucio´n temporal para un modo (hamiltoniano 2.2) es: U (t) = exp − i Ht = exp −iω a†a + 1 t 2Haciendo evolucionar |α (0) mediante U (t) obtenemos |α (t) : ∞ √αn |α (t) = e− 1 |α|2 e−iω(a†a+ 1 )t |n 2 2 n=0 n! ∞ √αn = e− 1 |α|2 e−iω(n+ 1 )t |n 2 2 n=0 n!12 F´ısica del la´ser - 1.0.0

2.3 Estados coherentesEste estado sigue siendo un estado coherente pues ∞ √αn a|α (t) = e− 1 |α|2 e−iω(n+ 1 )t α |n 2 2 n=0 n! ∞ √αn √ n|n = αe− 1 |α|2 e−iω(n+ 1 )t − 1 2 2 n=1 n! ∞ αn = αe− 1 |α|2 e−iωt e−iω(n+ 1 )t |n − 1 2 2 n=1 (n − 1)! = αe−iωt|α (t)Entonces llamando 1 2 α(t) = α e−iωt = n e−i(ωt+ϕ)se tiene a|α(t) = α(t)|α(t) ,es decir, que en el transcurso del tiempo el estado cambia an˜adiendo a la fase inicial delautovalor la fase ωt. Es fa´cil ver que aunque los estados coherentes no son ortogonales, con ellos se tiene unconjunto de generadores del espacio de Hilbert y del modo con una apropiada relaci´on decierre en el plano complejo de los autovalores α.1 Se dice que es un conjunto de vectoressobrecompleto, pues no es linealmente independiente. En consecuencia, por ejemplo, lafo´rmula usual de la traza no es v´alida para ellos. Si en un estado |α(t) calculamos el valor esperado de campo E, empleando la definicio´n1.4 y sin x = eix − e−ix /2i, α(t) |E| α(t) = i ω α (t) |a| α (t) u(r) − α (t) a† α (t) u∗(r) 20 = i ω [α(t) u(r) − α∗(t) u∗(r)] 20 =i ω1 ei(k · r−ωt−ϕ) − e−i(k · r−ωt−ϕ) en2 2 0V =− ω e n 1 2 sin (k · r − ωt − ϕ) 2 2 0VEs decir, que en el estado coherente el valor esperado del campo es el de una ondaplana cla´sica; la fase del autovalor α(t) es la fase del campo cl´asico y su m´odulo guardarelacio´n con el valor esperado del nu´mero de fotones. E´ste es indeterminado en los estadoscoherentes, mientras que la onda queda perfectamente definida, al rev´es que en los estadosFock.1La relaci´on de cierre es π−1 R |α α| d2α = I, como se puede comprobar a partir de la expresio´n expl´ıcita para |α en t´erminos de |n integrando en polares.http://alqua.org/documents/FdL 13

2 Cuantificaci´on de la radiacio´n pz dΩ p p+dp py pxFigura 2.2: Pequen˜o volumen en el espacio de momentos correspondiente a un intervalo de momento dp y a un intervalo de ´angulo s´olido d2Ω. Por tanto, cuando consideramos la radiacio´n producida por fuentes naturales, el estadocoherente puede representarla de una forma tan precisa como pueda hacerlo la ondamonocrom´atica cla´sica (aunque la energ´ıa tendr´a oscilaciones cu´anticas alrededor de E ). A este respecto conviene resaltar que el estado del campo es independiente de lageometr´ıa de la distribuci´on espacial del modo de la radiaci´on, que esencialmente est´adeterminada por las condiciones de contorno que se le imponen a la ecuacio´n de ondasespacial.2.4. La radiacio´n isotro´pica Imaginemos una configuraci´on del campo de radiacio´n en la que su energ´ıa pueda serconsiderada uniformemente distribu´ıda en promedio en todos los puntos del volumen Vque ocupa. Supongamos adema´s que todas las orientaciones de la polarizaci´on y de ladirecci´on de propagaci´on, en cada punto del espacio y en cada instante de tiempo sonequiprobables. Dicho de otro modo, que cambian con tal rapidez que sus cambios nopueden ser seguidos por los aparatos de medida, para los cuales todas las orientacionesest´an presentes en cada instante. Teniendo en cuenta la relaci´on entre la frecuencia de laradiacio´n y el momento lineal de sus part´ıculas, p = hν/c, tendremos que la composici´onespectral de la radiaci´on implica una distribucio´n de ´esta en el espacio de momentos. Seleccionemos ahora los fotones cuyos momentos esta´n orientados dentro de un ´angulos´olido d2Ω y con su momento entre p y p + dp, como se ilustra en la figura 2.2.El volumen que estos fotones ocupan en el espacio de fases es, considerando solamenteuna polarizaci´on: d3Vf = V p2 dp d2Ω = 2V h3 ν 2 dν d2Ω. c3En la teor´ıa cu´antica, segu´n el principio de incertidumbre de Heisenberg, el volumen queocupa en el espacio de las fases el estado de una part´ıcula es ∆Vf = h3. As´ı es que elnu´mero de distribuciones en posiciones y momentos que caben en el volumen del espacio14 F´ısica del la´ser - 1.0.0

2.4 La radiacio´n isotro´picade fases d6Vf sera´ el nu´mero de modos en el volumen V que se propagan dentro de d2Ωcon sus frecuencias comprendidas entre ν y ν + dν: d3Vf = ν2 dν d2Ω ∆Vf c3 VPero la part´ıcula por cada distribucio´n espacial puede tener dos polarizaciones, por loque el nu´mero de modos que se propagan en todas las direcciones ( d2 Ω = 4π) con susfrecuencias entre ν y ν + dν es: dN = d3N = 8π ν2 dν c3 VY la densidad de modos por unidad del volumen V y de intervalo de frecuencia es dN 8πν2 ρν(ν) = V dν = c3exactamente la misma que hemos deducido en el caso de la cavidad de simetr´ıa cu´bicapara los modos de onda plana. Este razonamiento confirma la universalidad de estadistribucio´n. Los modos de la radiaci´on obedecen a la din´amica de los osciladores, y en una situaci´onde equilibrio t´ermico el operador densidad que describe la estad´ıstica de un colectivo desistemas cuyo hamiltoniano individual es H se escribe as´ı2: ρˆ = exp (−H/kBT ) . tr exp (−H/kBT )Este operador permite calcular la energ´ıa media de un modo: H = tr ρˆH, con H dadopor 2.2.La energ´ıa media de un modo es, pues, en t´erminos de la variable x = ω/kBT : ∞ n|e−x(a∗a+1/2) ω a†a + 1/2 |n H = n=0 ∞ n|e−x(a†a+1/2)|n n=0 ∞ ω (n + 1/2) e−x(n+1/2) = n=0 ∞ e−x(n+1/2) n=0 ∞ ω n e−xn = n=0 1 ∞ +ω e−xn 2 n=02La ignorancia que tenemos acerca de colectivos estad´ısticos es de naturaleza cl´asica, es decir no es estructural como la incertidumbre cua´ntica, sino fruto de las limitaciones experimentales y/o de co´mputo.http://alqua.org/documents/FdL 15

2 Cuantificacio´n de la radiaci´onpasando al primer miembro la energ´ıa del punto cero, que est´a presente incluso habiendocero fotones, es decir, en el vac´ıo: ∞ ω n e−xn H −1 ω = ω n=0 2 ∞ e−x n n=0 d ∞ dx e−xn ∞ −1 = −ω n=0 = d e−xn , ∞ ω ln n=0 e−xn dx n=0pero ∞ −1 1 − e−x −1 −1 1 − e−x e−x n = = n=0Por tanto, deshaciendo el cambio de variable, H −1 ω= d 1 − e−x = e−x 2 ω ln ω 1 − e−x dx ω hν = exp ( ω/kBT ) − 1 = exp (hν/kBT ) − 1Si ´esta es la energ´ıa media de un modo en equilibrio t´ermico, la densidad de energ´ıa dela radiacio´n por unidad de volumen e intervalo de frecuencia ser´a el producto de estamagnitud y la densidad frecuencial de modos dada por 1.8: 8πhν3 1 1 (2.8) uν (ν) = H ρν (ν) = c3 exp (hν/kBT ) − 1 + 2 hν ρν(ν) El primer t´ermino es la distribuci´on de Planck para la radiaci´on de equilibrio t´ermicoy el segundo la energ´ıa electromagn´etica del vac´ıo. Si hubi´esemos utilizado el teorema deequiparticio´n, H = kBT habr´ıamos obtenido la ley cla´sica del cuerpo negro (Rayleigh–Jeans).16 F´ısica del la´ser - 1.0.0

3 La cuantificacio´n de la materia3.1. A´tomos hidrogenoides Los ´atomos m´as simples, del tipo del hidr´ogeno (un s´olo electro´n), considerados en elsistema del centro de gravedad con masa reducida µ y prescindiendo del esp´ın se reducenal estudio una part´ıcula en un potencial coulombiano. Su ecuacio´n de Schro¨dinger es: H ψ(r) = E ψ(r), H =− 2 Z e2 (3.1) ∆− 2µ 4π 0rLas soluciones de esta ecuacio´n como en todos los casos de potenciales centrales esta´nseparadas en parte angular (los armo´nicos esf´ericos Ylm(θ, ϕ)) y parte radial, Rnl(r): ψnlm = Rnl(r) Ylm(θ, ϕ)La parte radial depende del potencial central; para el Hidr´ogeno ha de verificar 2 d2 (rR) + − e2 + l(l + 1) (rR) = En(rR) dr2 4π 0r 2µ r2− 2µdonde el t´ermino dependiente del nu´mero cu´antico angular se denomina centr´ıfugo. Laresolucio´n de esta ecuacio´n permite obtener el espectro de energ´ıas En de forma exacta: 1 2 µe2 En = − 4π 0 2n2 2 . En el caso de un ´atomo multielectro´nico se emplea normalmente la aproximaci´onde un electr´on. Como punto de partida para esta aproximacio´n podemos separar elhamiltoniano ato´mico en una suma de hamiltonianos de a´tomo de Hidro´geno, cada unocorrespondiente a la energ´ıa de un electr´on individual frente al nu´cleo de carga Ze, y lasenerg´ıas entre los electrones estimadas separadamente. As´ı escribiremos H = H0 + VeeCon la notaci´on ri para las coordenadas del i-´esimo electro´n tenemos nH0(r1 . . . rn) = H01(r1) + H02(r2) + · · · + H0n(rn) = H0i (ri) i=1donde cada H0i es del tipo 3.1: H0i = 2 − Z e2 4π 0 ri − 2µ ∆i 17

3 La cuantificaci´on de la materia e dVj |ψj0|2 rj e riFigura 3.1: La carga en un pequen˜o recinto es el producto de la densidad de carga e |ϕj0|2 por el volumen del recinto, d3Vj.Los autoestados de estos hamiltonianos hidrogenoides son esencialmente los conocidosdel ´atomo de Hidr´ogeno. Su ecuacio´n de autovalores es H0i(ri) ϕi0(ri) = Ei0 ϕi0(ri)y la del sistema total sin considerar la perturbacio´n debida a la interaccio´n interelectr´o-nica Vee es: H0 ψ0 = E0 ψ0 En t´erminos de las funciones de onda y energ´ıas del problema individual, la funci´onde onda y la energ´ıa totales se escriben as´ı:ψ0 = ϕ10(r1) ⊗ · · · ⊗ ϕn0(rn)E0 = E10 + · · · + En0Asumiendo la carga del electr´on repartida en el espacio en proporci´on a la onda deprobabilidad podemos calcular con estas funciones el potencial que produce sobre unelectro´n i el conjunto de electrones j = 1 . . . n, j = i del siguiente modo (figura 3.1):Vi0(ri) = e2 |ϕj0 (rj )|2 d3Vj 4π 0 |rj − ri| i=jdonde ϕj0 viene de la ecuacio´n de autovalores de un electr´on. Con este potencial podemos escribir la ecuacio´n del electr´on i. En efecto, en este ordende aproximaci´on, 2 − Z e2 + Vi0(ri) ϕi1(ri) = Ei1ϕi1(ri) 4π 0 ri− 2m ∆iEn esto consiste la aproximaci´on de un electr´on: sustituir Vee por el efecto promediode todos los electrones. La soluci´on (generalmente num´erica) de estas ecuaciones nos18 F´ısica del la´ser - 1.0.0

3.2 Sistemas poliato´micospermite calcular un nuevo grupo de autofunciones ϕi1 que ya tiene en cuenta el potencialmutuo entre los electrones. Con estas autofunciones se puede volver a calcular el potencialsobre i debido a los otros electrones: Vi1(ri) = e2 |ϕj1 (rj )|2 d3Vj 4π 0 |rj − ri| i=jQue ahora sera´ ma´s exacto que el Vi0 que produc´ıan las funciones ϕi0. El proceso se puederepetir iterativamente hasta que las autofunciones y los potenciales se reproduzcan y seanautoconsistentes (m´etodo de Hartree). Es importante apuntar que el conjunto de funciones hidrogenoideas ϕi0(ri) tomadaspara formar ϕ0 debe ser tal que al estar ocupados por los electrones respeten el principiode exclusi´on de Pauli; es decir, que no haya m´as de dos electrones (con espines opuestos)en cada estado ϕi0. Cuando se considera esta restricci´on, el m´etodo autoconsistente pasaa denominarse m´etodo de Hartree-Fock.3.2. Sistemas poliat´omicos Los ´atomos que en u´ltimo t´ermino constituyen la materia se agrupan formando agre-gados de complejidad variable: van desde unos pocos (mol´eculas), hasta del orden de1023 o ma´s (s´olidos), a veces con estructuras ordenadas (cristales). En los sistemas polielectr´onicos se asume que el coraz´on at´omico formado por el nu´cleoy los electrones de las capas internas (core), permanece inalterado dentro del conjunto. Esen este sentido en el que los a´tomos que lo forman conservan una cierta individualidad. Elconjunto de los corazones at´omicos forma una estructura de iones positivos, que genera unpotencial en el que se mueven los electrones de la u´ltima capa de los a´tomos originales.Estos son los que mantendr´an unidos a los iones positivos. Consideremos entonces elsistema poliat´omico como formado por los corazones ato´micos. Si llamamos xi a las coordenadas de los electrones corticales y qi a las de los corazonesat´omicos el hamiltoniano del sistema se puede escribir como una suma, H = Te + Tn + UdondeTe(x) ≡ 2 (energ´ıa cin´etica e−)Tn(q) ≡ (energ´ıa cin´etica corazones) i − 2m ∆xi (interacci´on corazones-corteza) 2 j − 2Mj ∆qiU (x, q) ≡ U (x1, x2, ..., q1, q2, ...)Y la ecuacio´n de Schro¨dinger del sistema poliat´omico se puede escribir (Te + Tn + U ) ψ(x, q) = E ψ(x, q). En un sistema poliato´mico en equilibrio todos los componentes deben estar en unm´ınimo de potencial. Si se apartan del fondo del pozo de potencial, la fuerza que actu´ahttp://alqua.org/documents/FdL 19

3 La cuantificacio´n de la materiaen pequen˜os desplazamientos desde la posici´on de equilibrio es Fe = − mωe2∆x Fn = − M ωn2 ∆qPero como los potenciales que afectan a los electrones exteriores y corazones son deorigen coulombiano y del mismo orden (misma curvatura)Fe Fn =⇒ ωe M 102∆x ∆q ωn mEs decir que en el tiempo en el que el ion positivo realiza una oscilaci´on el electro´nrealiza del orden de 100. Las grandes masas de los iones positivos no pueden seguir elmovimiento de las pequen˜as masas electro´nicas. Sus funciones de onda no pueden puesdepender de las posiciones instanta´neas de los electrones. Los nu´cleos s´olo perciben elefecto promedio del electr´on en su orbital. Por el contrario los orbitales electro´nicos cambian en funcio´n de las posiciones de losiones positivos en cada momento. Resulta as´ı razonable separar en la funci´on de onda laparte de los iones positivos de la parte electro´nica: ψ(x, q) = ψe(x, q) ψn(q)Y proceder igualmente con los operadores, H = He + Hn con He ≡ Te + U (x, q) Hn ≡ Tn La ecuacio´n de Schro¨dinger con esta separaci´on resultaHe [ψe(x, q)ψn(q)] + Hn [ψe(x, q)ψn(q)] = E ψe(x, q)ψn(q)Como las deformaciones que sufren los orbitales electro´nicos al cambiar las posicionesde los nu´cleos son mucho menores que las dependencias que tienen en las propias va-riables electro´nicas, podemos despreciar algunas derivadas. Es a esto a lo que se llamaaproximaci´on adiaba´tica:∂ψn ∂ψe   ∂2ψn ∂2ψe ∂q2 ∂q2∂q ∂q   ∂2ψe ψe , ψn ∂q2ψn   Estas suposiciones permiten simplificar la ecuacio´n de autovalores ψnHeψe + ψeHnψn = E ψeψncon lo que podemos efectuar una semiseparaci´on de variables−Ee(q) ≡ − 1 Heψe = 1 − E ψe ψn Hnψn20 F´ısica del l´aser - 1.0.0

3.2 Sistemas poliat´omicos Ee3(q)Ee3(q03) Exxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxjxxxxxxxxxxxxxxxxx v ij Ee2(q) q01 q02 q03 Ee1(q)Ee2(q02) E qEe1(q01) Figura 3.2: Esquema de niveles electr´onicos de un sistema molecular en funcio´n de una coordenada q de los corazones. Las l´ıneas paralelas en el nivel electro´nico m´as bajo, Ee1 representan subniveles vibracionales Ev1j. E representa la energ´ıa total del nivel i = 1, j = 6. dando lugar a las siguientes dos ecuaciones He ψe(x; q) = Ee(q) ψe(x; q) [Hn + Ee(q)] ψn(q) = E ψn(q) La primera de estas ecuaciones ha de ser resuelta en las variables electro´nicas y pa- ra unas posiciones fijas q de los iones positivos, que funcionan como constantes en la integraci´on de la primera ecuacio´n (para´metros adiab´aticos). Los autovalores Ee(q) ob- tenidos al efectuar esta integracio´n son la energ´ıa potencial en que se mueven los nu´cleos en la segunda ecuaci´on. Por lo tanto en principio el orden lo´gico consiste en resolver previamente la primera ecuaci´on para poder abordar despu´es el problema de la segunda, que es la que da las energ´ıas E del sistema poliato´mico. Hasta ahora hemos supuesto impl´ıcitamente que el centro de gravedad de la mol´ecula esta´ en reposo. Vamos a suponer adem´as ahora que la mol´ecula tampoco rota. De este modo so´lo le quedan al sistema los grados de libertad internos. Podemos representar en un diagrama simple (figura 3.2) las coordenadas configura- cionales de los estados de la mol´ecula. Las soluciones de la ecuaci´on electro´nica son los pozos de potencial Eei(q) en los que se mueven los iones positivos. El fondo de cada uno de estos pozos corresponde a una posici´on de equilibrio de los iones. En estas posiciones de equilibrio los iones no vibran y la energ´ıa Eei(q0i) es puramente electr´onica. En cada uno de estos pozos vibran los nu´cleos de manera que al resolver la segunda ecuaci´on se obtienen los niveles de energ´ıa E del sistema. En estos niveles desde la energ´ıa Eei(q0i) hasta E podemos asumir una contribuci´on de energ´ıa de vibracio´n Evij de modo que E = Eei (q0i) + Evij Frecuentemente las vibraciones son de poca amplitud1 y entonces el desarrollo de1Si las oscilaciones de los iones positivos no pueden considerarse pequen˜as se pueden utilizar potencialeshttp://alqua.org/documents/FdL 21

3 La cuantificaci´on de la materiaEei(q) alrededor del m´ınimo hasta orden cuadra´tico (parab´olico) es suficiente: Eei (q) = Eei (qi0) + ∂Eei (q − qi0) + 1 ∂2Eei (q − qi0)2 + · · · ∂q 2 ∂q2 qi0 qi0y como la primera derivada se anula, si llamamos K al valor de la segunda tenemos laforma arm´onica de los pozos vibracionales: Evi(q) = Eei(q) − Eei(q0i) K (q − q0i)2. 2Si la mol´ecula gira alrededor de un eje que pasa por su centro de gravedad, su energ´ıade rotaci´on es (r + 1)r ERir = 2Idonde I es el momento de inercia respecto al eje de rotaci´on. La degeneraci´on de estosniveles, que se superponen a los vibracionales, es 2r + 1.Finalmente, vemos que los nu´meros cu´anticos que caracterizar´an a los autoestadoselectro´nicos sonun nu´mero cua´ntico gen´erico, e, que caracteriza a la parte electro´nica ψe(x, y) de lafuncio´n de ondas y que es una abreviatura que puede contener m´as de un nu´merocu´antico,un nu´mero cua´ntico vibracional, v, que tambi´en puede ser una abreviatura devarios nu´meros correspondientes a los diversos modos normales de vibracio´n de lamol´ecula, yun nu´mero cua´ntico de rotaci´on, r, que puede ser tambi´en mu´ltiple al tener lamol´ecula varios ejes de rotaci´on no equivalentes.Es decir, que la funci´on de ondas molecular se puede escribir abreviadamente con lanotacio´n: ψevr = ψe(x, q)ψev(q)ψr(θ, ϕ). (3.2)fenomenol´ogicos ma´s parecidos al real, como el de Morse: Ee(q) = D » − e−β (q−q0 ) ”2 − – “ 1 1En esta expresi´on D representa la energ´ıa de disociaci´on.22 F´ısica del l´aser - 1.0.0

4 La evoluci´on temporal de los estados4.1. Introduccio´nSea un sistema f´ısico representado por un hamiltoniano H0 cuyo problema espectral H0 |n = En0 |nesta´ resuelto, de forma que los estados {|n } forman una base ortonormalizada del espaciode Hilbert de los estados del sistema, m|n = δmn. Su evoluci´on obedecer´a a la ecuaci´onde Schr¨odinger, i ∂ |n (t) = H0 |n (t) . ∂tPodemos describir tambi´en esta evolucio´n utilizando un operador U (t) unitario (U †U =U U † = I): |n (t) = U (t) |n (0) = U (t) |nde modo que i ∂ U (t)|n = H0U (t)|n → ∂ ∂t i ∂t U (t) = H0U (t).Si H0 no depende expl´ıcitamente del tiempo, la soluci´on formal de esta ecuaci´on es U (t) = exp − i H0to sea ii |n(t) = exp − H0t |n = (1 − H0t + · · · )|n = (1 − i E0 t + · · · )|n = exp −i E0 t |n . Es f´acil ver que la ortonormalidad de los autoestados |n(t) se conserva en el transcursodel tiempo y por tanto siguen formando una base del espacio.4.2. Evolucio´n temporal en presencia de una perturbaci´on Supongamos ahora que nuestro sistema esta´ representado por un hamiltoniano H quedifiere de H0 en el hamiltoniano V que actu´a sobre los estados del mismo espacio deHilbert H = H0 + V 23

4 La evolucio´n temporal de los estadosUn vector estado del sistema sera´ ahora |ψ(t) , soluci´on de la ecuacio´n de Schro¨dinger i ∂ |ψ(t) = (H0 + V )|ψ(t) . (4.1) ∂tEste vector estado se puede expandir como una combinacio´n lineal de los vectores de labase |n(t) de soluciones no perturbadas, |ψ(t) = Cn(t)e− i En0 t|n nLlevando este desarrollo a la ecuacio´n de evolucio´n 4.1 i dCn (t) e− i En0 t|n + En0Cn(t)e− i En0 t|n = Cn(t)e− i En0 t(En0 + V )|n dt nn nCancelando los t´erminos en En0 y multiplicando escalarmente por el autoestado m|obtenemos dCm = 1 dt i e− i (En0 −Em0 )tCn(t) m|V |n (4.2) n Resolver este conjunto de ecuaciones diferenciales acopladas es equivalente a resolverla ecuacio´n de Schr¨odinger 4.1. En la pr´actica frecuentemente se trata de un conjuntoinfinito de ecuaciones y por tanto su resolucio´n exacta puede resultar imposible.4.3. El desarrollo perturbativoLas ecuaciones 4.2 se pueden escribir de una forma m´as compacta introduciendo lafrecuencia de transici´on entre los niveles m y n y el elemento de matriz del potencialentre ambos: ωmn ≡ Em0 − En0 , Vmn ≡ m|V |n .As´ı: dCm (t) = 1 dt i eiωmntVmnCn(t) (4.3) n Vamos ahora a escribir los coeficientes Cn(t) en la forma de un desarrollo en serie depotencias del elemento o elementos de matriz del hamiltoniano V : Cn(t) = Cn(0)(t) + Cn(1)(t) + Cn(2)(t) + · · · con Cn(l)(t) ∝ V t l (4.4)El orden cero de perturbaci´on corresponder´a a la situacio´n en que V = 0. En este casolos coeficientes Cn(t) se mantendr´ıan en los valores iniciales: Cn(0)(t) = Cn(0), dCn(0)(t) = 0 dt24 F´ısica del l´aser - 1.0.0

4.3 El desarrollo perturbativoEl desarrollo 4.4 debe cumplir la ecuaci´on de evoluci´on (4.3), dCm(1) + dCm(2) + · · · = 1 (Cn(0) + Cn(1)(t) + · · · ) eiωmntVmn dt dt i nAqu´ı V es arbitrario, por lo que se debera´n anular individualmente los t´erminos en lasdiversas potencias de V t/ . Tenemos as´ı el sistema de ecuaciones dCm(1) = 1 Cn(0)eiωmntVmn dt i n dCm(2) = 1 Cn(1)eiωmntVmn dt i n ... = ... (4.5)que puede en principio ser resuelto iterativamente a partir de las condiciones inicialesCn(0). Para fijar ideas, imaginemos que el hamiltoniano V comienza a actuar en el instantet = 0 y que el sistema ha sido preparado en este instante inicial en el autoestado |j deH0, de modo que Cn(0) = δnj. Las ecuaciones 4.5 para el primer orden de perturbaci´onen V sera´n ahora dCn(1) dt = 1 eiωnj tVnj iPor tanto t Cn(1)(t) = 1 Vnj eiωnjt1 dt1 (4.6) i 0que cumple con lo estipulado en 4.4 para l = 1: Cn(1) ∝ V t .Si llevamos la solucio´n a primer orden 4.6 a la ecuacio´n del segundo orden obtenemos dCm(2) = 1 2t dt i eiωmntVmn eiωnjt1 Vnj (t1) dt1 n0que al integrar proporciona Cm(2)(t) = 12 t t2 i eiωmnt2 Vmn(t2) eiωnjt1 Vnj (t1) dt1 dt2 n 0 0Y por tanto Cm(2) ∝ V 2t2 e inducimos que Cm(l) ∝ Vt l 2, .http://alqua.org/documents/FdL 25

4 La evolucio´n temporal de los estadosEntonces, si los elementos de matriz cumplen Vmnt/ 1 (o equivalentemente el tiempoes tan pequen˜o que t /Vmn), el desarrollo perturbativo 4.4 converge r´apidamente ylo aproximamos reteniendo solamente el primer orden de perturbaci´on: Cm(t) Cm(1)(t) Un estado inicial general es una combinaci´on lineal de elementos |n de la base,|ψ(0) = Cn(0)|n . nSegu´n 4.5 el primer orden de perturbaci´on esdCm = 1 Cn(0)eiωmntVmn dt i nque se puede integrar formalmente 1 tCm(t) = i Cn(0) eiωmnt1 Vmn dt1 n0De manera que si V no depende expl´ıcitamente del tiempo se tieneCm(t) = i 1 eiωmnt − 1 . (4.7) Cn(0)Vmn iωmn n26 F´ısica del l´aser - 1.0.0

5 Absorcio´n y emisio´n de radiaci´on5.1. Hamiltoniano del sistema radiacio´n-materiaEn los temas anteriores hemos estudiado los estados del campo de radiacio´n y tambi´enel espectro de autoestados de los sistemas moleculares. Por otra parte, hemos comprobadoco´mo se puede hacer el estudio de un sistema sometido a una pequen˜a perturbaci´on. Esel momento de aprovechar estas herramientas para afrontar la descripci´on del sistemaacoplado radiaci´on-materia, como un sistema aislado.Si el sistema material es tratado en la aproximaci´on de una part´ıcula, obedece alhamiltoniano ato´mico Ha, p2 Ha = 2m + eV (r)El hamiltoniano de un modo de radiacio´n es, por su parte Hr = ω a†a + 1/2Como es sabido, en la formulaci´on del hamiltoniano de un sistema cu´antico el operador demomento lineal est´a asociado al momento hamiltoniano de la part´ıcula (la variable cano´-nicamente conjugada de las coordenadas generalizadas). Este momento frecuentementecoincide en los sistemas conservativos con el momento mec´anico, π = mv o cantidadde movimiento de la part´ıcula. No obstante, si la part´ıcula esta´ en interacci´on con uncampo electromagn´etico esto no es as´ı. En este caso el momento meca´nico de la part´ıculaes π = p − eAdonde p es el momento hamiltoniano y por tanto es el que tiene asociado el operador p =−i grad y A es el potencial vector del campo electromagn´etico. Esto es consecuencia delcar´acter no conservativo del campo electromagn´etico, pues la fuerza de Lorentz F = qE+qv ∧ B depende de la velocidad. Entonces el hamiltoniano total del sistema, incluyendola interaccio´n radiaci´on materia es (p − eA)2H= 2m + eV (r) + Hr= p2 + eV (r) + Hr + e (−p · A − A · p) + e2 A2 2m 2m 2mAqu´ı A(r) en principio no conmuta con p, pero s´ı cumple1 piAi − Aipi = −i ∂Ai ∂xi1El lector puede comprobar que una funci´on arbitraria F (qi) cumple [pi, F (qi)] = −i ∂F . ∂qi 27

5 Absorcio´n y emisio´n de radiacio´nque se da la circunstancia de que utilizando la condici´on de Coulomb o gauge de radiacio´n(∇ · A = 0) se transforma en: p · A − A · p = −i ∇ · A = 0Entonces, como p · A = A · p el t´ermino lineal en A se simplifica: H = p2 + eV (r) + Hr − e A·p + e2 A2 2m m 2m En esta expresi´on p es el momento hamiltoniano y no el momento meca´nico de lapart´ıcula pero aun as´ı |eA| |p| consideraremos como hamiltoniano no perturbado p2 H0 = 2m + eV (r) + HrY como perturbaci´on debida a la interacci´on el hamiltoniano Hi = −eA · p + e2 A2. m 2mUsualmente, incluso para grandes intensidades de radiaci´on, e A·p e2 A2 m 2mas´ı que despreciamos el t´ermino en A2, cuyas contribuciones m´as importantes se produ-cen a los procesos a dos fotones: Hi − e A·p (5.1) m Escribimos las ecuaciones de autovalores de la radiaci´on y del a´tomo con la siguientenotaci´on, respectivamente: a†a|n = n|n (radiaci´on) Ha|s = Σs|s (materia)Las autofunciones y autovalores de H0 (es decir, sin considerar la interacci´on radiacio´n–materia) tienen la siguiente forma: |s, n = |s ⊗ |n Esn = Σs + ω (n + 1/2)Entonces el coeficiente de probabilidad del estado |s , n es, suponiendo la perturbaci´onV ≡ Hi independiente del tiempo (ec. 4.7): Cs n (t) = i 1 eiωs n snt − 1 Csn(0) Hi,s n sn iωs n sn sndonde ωs n sn = (Σs − Σs) / + ω(n − n) = ωs s + ω(n − n)con ω la energ´ıa del cuanto de radiaci´on en el modo, Hi,s n sn = s , n |Hi|s, n elelemento de matriz de la transicio´n y ωs s = (Σs − Σs) / la frecuencia de Bohr.28 F´ısica del l´aser - 1.0.0

5.1 Hamiltoniano del sistema radiaci´on-materia5.1.1. Probabilidad de transici´on En la onda electromagn´etica (ec. 1.5): A(r) = 2ωε0 au(r) + a†u∗(r)usando que u(r) = e u (r) el operador de interaccio´n 5.1 se expresa Hi = −e a u(r) + a† u∗(r) e · p m 2ωε0y el elemento de matriz de Hi para la transici´on resultaHi,s n sn = −e 2ωε0 n |a| n s |u (r) p| s + n |a†|n s |u∗ (r) p| s · e. mLas funciones de onda de los estados |s y |s s´olo toman valores apreciables en lasproximidades de la posicio´n ra del sistema acoplado al campo. Es decir, en regionesde taman˜o at´omico, del orden de 10−10 metros. Sin embargo, la distribuci´on espacialu(r) del campo tiene sus variaciones ma´s r´apidas en distancias del orden de la longitudde onda λ. En las regiones del espectro electromagn´etico que nos interesan λ 10−10metros: la distribucio´n espacial es mucho ma´s uniforme. Por lo tanto en el c´alculo de loselementos de matriz se puede considerar u constante con el valor que toma en la posicio´nra. As´ı: s |u (r) p|s u(ra) s |p|sQueremos reepresar el operador momento. Para ello, nos valemos de la expresi´on2 ∂F [xi, F (pi)] = i ∂pique permite escribir [r, Ha] = p2 =i p = r Ha − Ha r r, m 2my entonces, llamando rs s ≡ s |r|s s |p|s = − i m s |rHa|s − s |Har|s = i s |r|s (Σs − Σs) = i m ωs s rs s m Designamos por Ds s al elemento de matriz del momento dipolar de la carga acopladaal campo, s |er|s = Ds s. Entonces: Hi,s n sn = −i 2ωε0 ωs s u(ra) n |a|n + u∗(ra) n |a†|n e · Ds s (5.2)2Esta ecuacio´n se cumple cuando se puede desarrollar F en serie de potencias y se obtiene a partir de [x, p] = ihttp://alqua.org/documents/FdL 29

5 Absorcio´n y emisi´on de radiaci´on s' Σs' s hω Σs hω s Σs s' Σs' (a) Absorci´on (b) Emisi´onFigura 5.1: Procesos de absorci´on (izquierda) y emisi´on (derecha) entre dos estados de la materia |s y |s .Los elementos de matriz de la radiaci´on se calculan empleando las ecuaciones 2.7 y 2.6;podemos abreviar el factor dependiente de la materia como, Hi,s s = −i 2ωε0 ωs s e · Ds scon lo que finalmente el elemento de matriz de la transici´on esHi,s n sn = Hi,s s √ δn ,n−1 + u∗(ra)√n + 1 δn ,n+1 u(ra) ncon ´el la amplitud de probabilidad del estado al que se efectu´a la transici´on ser´a 1 Csn(0)Hi,s s √ ,n−1 + u∗(ra)√n + 1δn ,n+1Cs n (t) = i u(ra) nδn sn (5.3) ei[ωs s+ω(n −n)]t − 1 .× i[ωs s + ω(n − n)]5.2. Resonancia Supongamos que so´lo dos niveles de la materia (el |s y el |s ) cumplen la condici´on|ωs s| ∼ ω y por tanto so´lo ´estos pueden hacer resonante el denominador de la expresio´n5.3. Entonces los t´erminos de la suma correspondientes a los dem´as estados ser´an siempremuy pequen˜os y se podr´an ignorar. Adema´s teniendo en cuenta las deltas que contienela expresio´n so´lo son posibles las transiciones en que el nu´mero de cuantos del modocambie en una unidad, |n − n | = 1. Tenemos as´ı dos coeficientes correspondientes a dos procesos resonantes:Absorci´on de radiacio´n por la materia (figura 5.1(a)), con coeficiente Cs n−1(t) = Hi,s s Csn √ u(ra ) ei(ωs s−ω)t − 1 i (0) n i (ωs s − ω)30 F´ısica del la´ser - 1.0.0

5.2 ResonanciaEs resonante si ωs s > 0 cuando ωs s − ω 0.En este proceso el campo pasa de tener n fotones a tener n−1 y la materia aumentasu energ´ıa de Σs a Σs . Obs´ervese que cuanto mayor sea el nu´mero de fotones enel modo, mayor es la amplitud de probabilidad de absorci´on.Emisio´n de radiacio´n por la materia (figura 5.1(b)). Su amplitud de probabilidades Cs n+1(t) = Hi,s s Csn √ + 1 u∗(ra) ei(ωs s+ω)t − 1 i (0) n i(ωs s + ω)Hay resonancia si ωs s < 0 cuando ωs s + ω 0.En este proceso el campo pasa de tener n fotones a tener n + 1. La materia, al serahora Σs > Σs , pierde la energ´ıa que se lleva el fot´on incorporado al modo. Laamplitud de probabilidad tambi´en crece con el nu´mero n de fotones preexistentesen el modo. Pero en este caso es no nula au´n en ausencia de fotones en el modo.Absorci´on La probabilidad de la transicio´n de absorcio´n cuando se considera la resonancia con nfotones es |Cs n−1(t)|2 = |Hi,s s|2 |Csn(0)|2 n |u(ra)|2 4 sin2 1 (ωs s − ω)t 2 2 (ωs s − ω)2Es evidente que la resonancia se produce con cualquier nu´mero de fotones que haya enlos estados que forman parte del estado inicial (pi´ensese en estados que no son Fock).Por tanto la probabilidad total de paso del estado |s al |s es una suma, ∞ |Cs |2a = |Csn−1(t)|2 n=1 = |Hi,s s|2 4 sin2 1 (ωs s − ω)t |u(ra)|2 ∞ 2 2 |Csn(0)|2 n (ωs s − ω)2 n=1Supongamos ahora que en el estado inicial radiacio´n-materia, |ψ (0) la radiacio´n est´aen un estado coherente ∞ √αn |n |ψ(0) = |s ⊗ |α = |s ⊗ e− 1 |α|2 2 n=0 n! ∞ = Csn(0)|s ⊗ |n n=0Entonces √αn Csn(0) = e− 1 |α|2 2 n!http://alqua.org/documents/FdL 31

5 Absorcio´n y emisi´on de radiaci´ony as´ı la suma en |Cs |a2 se puede concretar: ∞ ∞ e−|α|2 |α|2n n n! |Csn(0)|2 n = n=1 n=1 = e−|α|2 ∞ |α|2(n−1) |α|2 = |α|2 = n . (n − 1)! n=1Por lo tanto s|2 sin2 1 2 |Cs (t)|a2 = |Hi,s |u(ra)|2 4 (ωs s− ω)t n. (5.4) s− ω)2 2 (ωsEmisio´nEn el proceso de emisio´n, |Cs n+1(t)|2 = |Hi,s s|2 |Csn(0)|2 (n + 1) |u (ra) |2 4 sin2 1 (ω − ωss )t 2 2 (ω − ωss )2La probabilidad total queda ∞ |Cs |e2 = |Csn+1(t)|2 n=0 = |Hi,s s|2 |u(ra)|2 4 sin2 1 (ω − ωss )t ∞ 2 2 |Csn(0)|2 (n + 1) (ω − ωss )2 n=0Si la radiacio´n est´a inicialmente en un estado coherente ∞ |α|2n (n + 1) |Csn(0)|2 (n + 1) = e−|α|2 n! n=0 n=0 = e−|α|2 ∞ |α|2n ∞ |α|2n (n − 1)! + n=1 n=0 n! = |α|2 + 1 = n + 1Y la probabilidad de emisio´n es |Cs |2e = |Hi,s s|2 |u (ra) |2 4 sin2 1 (ω − ωss )t n +1). (5.5) 2 )2 ( 2 (ω − ωssOnda coherente planaSi la radiaci´on fuera una onda plana normalizada en el volumen V que confina a laradiaci´on, se tendr´ıa (ec. 1.4): u(r) = e√ik · r V32 F´ısica del la´ser - 1.0.0

5.3 Los coeficientes de EinsteinY en este caso 1 V |u(ra)|2 = . De modo que la probabilidad no depender´ıa de la posici´on del centro acoplado a laradiaci´on. No obstante en general esto no es as´ı, y en particular no lo es siempre quela distribuci´on de la radiacio´n sea inhomog´enea. Como veremos, la distribucio´n de laradiaci´on en un modo gaussiano (de inter´es en los resonadores empleados en los la´ser)es inhomog´enea.Emisio´n espont´anea y emisi´on estimulada En 5.5 vemos que, como hab´ıamos apuntado, la emisi´on se puede producir inclusocuando n = 0. El estado coherente, en que el valor esperado n = 0 coincide con elestado Fock |0 , cl´asicamente ser´ıa un estado sin radiaci´on, pero cu´anticamente sabemosque la energ´ıa residual en el modo es 1 ω. Esta energ´ıa puede inducir la emisio´n en 2ausencia de cuantos. As´ı, las transiciones inducidas por la presencia de cuantos se llamantransiciones estimuladas y las inducidas por el campo residual se llaman transicionesesponta´neas . En el caso de que la radiacio´n del modo se hubiera preparado en un estado de Fock|n en lugar de en un estado coherente |α el valor esperado ser´ıa n = n y por tantolas expresiones de |Cs |2 ser´ıan las mismas sustituyendo n por n. El resultado 5.5 indica que la probabilidad |Cs |2 es la misma a trav´es de la emisi´onestimulada, cuando hay un valor esperado n = 1, que a trav´es de la emisi´on esponta´nea. En lo que sigue vamos a utilizar el promedio espacial de los coeficientes de probabilidadcon el objeto de obtener resultados que no dependan de la posicio´n ra del centro y seanal mismo tiempo realistas. Es decir, sustituiremos |u(ra)|2 por |u(r)|2 = 1 |u (r)|2 d3V = 1 pues |u (r)|2 d3V = 1 VVsiendo V el volumen del resonador en que esta´ confinada la radiacio´n. Tambi´en recorda-remos que |Hi,s s|2 = ωs2 s |e · Ds s|2. 2ω ε05.3. Los coeficientes de Einstein5.3.1. Probabilidades de los procesos de absorci´on El coeficiente de probabilidad de la absorci´on, usando la expresi´on expl´ıcita de Hi,s ses ωs2 s 4 sin2 1 ε0V 2 |Cs (t)|2 = ω |e · Ds s|2 n (ωs s − ω)t 2 (ωs s − ω)2Esta expresio´n corresponde al caso en que una sola frecuencia (la del modo de radiacio´n)interacciona con la materia. Su comportamiento cerca de la resonancia es cuadr´atico enhttp://alqua.org/documents/FdL 33

5 Absorci´on y emisi´on de radiacio´n dΩ eσ Ds's θ ϕFigura 5.2: La probabilidad total de absorcio´n depende de la orientaci´on relativa de los momentos dipolares de la materia Ds s y la polarizaci´on de la radiaci´on eσ.el tiempo3: l´ım |Cs (t)|2 = 2 ωs2 s ω |e · Ds s|2 n t2 ε0V ω→ωs sSin embargo, el comportamiento proporcional a t2 es poco usual, siendo en general laprobabilidad proporcional a t. La razo´n esencial de esta discrepancia se encuentra en laship´otesis simplificadoras que asumen una sola frecuencia en la radiaci´on y niveles de lamateria infinitamente estrechos. En la pr´actica ni los niveles ato´micos ni la radiaci´on loson.Como en el caso estudiado se ha supuesto la interacci´on de los niveles de la materiacon una sola frecuencia de la radiaci´on, para tener la probabilidad inducida por todas lasfrecuencias presentes se habra´n de sumar las probabilidades sobre ellas. Si tambi´en haydiferentes direcciones de propagacio´n y polarizaciones se deben sumar de igual modo.Imaginemos por ejemplo que (como en el caso de la radiaci´on de equilibrio t´ermico)tenemos la energ´ıa distribuida en todos los modos: en todas las frecuencias angulares ω,direcciones de propagaci´on kˆ = k/ |k| y polarizaciones σ: n = n ω, kˆ, σ . Segu´n hemos estudiado, el nu´mero de modos con frecuencia angular ω en un intervalodω, vector de ondas k dentro del a´ngulo s´olido d2Ω y polarizacio´n σ viene dado por d3Nσ = V ω2 dω d2Ω. (2πc)3Entonces la probabilidad de que un cuanto de esta radiacio´n sea absorbido sera´ el pro-ducto de la probabilidad de absorcio´n |Cs (t)|2 de un cuanto en una frecuencia por elnu´mero de modos o´ frecuencias disponibles,3Si x 1, sin x x.34 F´ısica del la´ser - 1.0.0

5.3 Los coeficientes de Einstein t2 4 n(ω) 2π ω tFigura 5.3: Para tiempos suficientemente largos la variacio´n r´apida de la funci´on g (ω) permite con- siderar solamente el valor en el m´aximo n (ωs s) de la funci´on lentamente variable n (ω) . d3Pσ,a = |Cs (t)|2 V ω2 dω d2Ω (2πc)3Y la probabilidad total de absorcio´n sera´ Pa = 2 ωs2 s ∞ ω 4 sin2 1 (ωs s− ω)t |eσ · Ds s|2 nσ d2Ω dω ε0(2πc)3 σ=1,2 0 2 s− ω)2 (ωsComo se aprecia en esta expresi´on lo que cuenta en la integral geom´etrica es c´omoesta´n orientados los momentos dipolares de la materia Ds s respecto a la polarizacio´nde la radiacio´n eσ. Dejando fija la polarizaci´on eσ, si las orientaciones at´omicas est´andistribuidas isotr´opicamente respecto a eσ podemos tomar el ´angulo so´lido d2Ω alrededorde la direcci´on de Ds s (figura 5.2): π 2π |eσ · Ds s|2 nσ dΩ = nσ |Ds s|2 cos2 θ sin θ dθ dϕ σ=1,2 σ=1,2 0 0 4π 4π n (5.6) 3 3 = |Ds s|2 nσ = |Ds s|2 σ=1,2( n es el valor esperado del nu´mero total de cuantos en las dos polarizaciones). Con locual ωs2 s|Ds s|2 ∞ sin2 1 ε0(2πc)3 2 Pa = 8π ω n(ω) (ωs s − ω)t dω 3 0 (ωs s − ω)2La funcio´n subintegral contiene el factor r´apidamente variable g (ω) = sin2 1 (ωs s − ω)t , 2 (ωs s − ω)2que representamos en la figura 5.3. La anchura del pico central, estimada como la dis-tancia del ma´ximo al primer m´ınimo, vale 2π/t. Si el tiempo transcurrido es lo suficien-temente largo como para que ´esta sea mucho menor que la anchura ω de n(ω) , esdecir, si se cumple 2π ω thttp://alqua.org/documents/FdL 35

5 Absorcio´n y emisi´on de radiacio´nentonces se puede considerar n (ω) n (ωs s) y por lo tanto aproximar as´ı la integral Pa(t) 8π ωs3 s|Ds s|2 n(ωs s) ∞ sin2 1 (ωs s − ω)t dω 3 ε0(2πc)3 0 2 (ωs s − ω)2Con el cambio x = ωs s − ω ∞ sin2 1 (ωs s − ω)t dω ∞ sin2 (xt/2) π 0 2 dx = t 2 (ωs s − ω)2 −∞ x2y queda Pa(t) = 1 ωs3 s|Ds s|2 n(ωs s) t. 6π ε0c3Finalmente, la probabilidad de absorcio´n estimulada por la radiaci´on sera´, por unidadde tiempo Waest ≡ Pa (t) /t o, Waest = 1 ωs3 s|Ds s|2 n(ωs s) . 6π ε0c35.3.2. Probabilidades de los procesos de emisi´on Si comparamos las expresiones 5.4 y 5.5 para la absorci´on y para la emisi´on vemos queesencialmente so´lo se diferencian en el factor del nu´mero de fotones, nσ en un caso y nσ + 1 en el otro. Al sumar sobre las dos polarizaciones el factor para la emisio´n ser´a n(ωs s) + 2, por lo tanto, la probabilidad total de emisi´on sera´ We = 1 ωs3 s|Ds s|2 ( n(ωs s) + 2) (5.7) 6π ε0c3Las emisiones estimuladas, correspondientes al primer t´ermino, se producen con unaprobabilidad igual que la de absorci´on estimulada, Weest = 1 ωs3 s|Ds s|2 n(ωs s) . 6π ε0c3Si la radiacio´n tiene su energ´ıa isotr´opicamente distribuida, n(ωs s) = 2 nσ(ωs s) ,donde nσ(ωs s) es el nu´mero de cuantos por modo en la frecuencia de la transicio´n.Entonces 1 ωs3 s|Ds s|2 3π ε0c3 Waest = Weest = nσ(ωs s) (5.8) Por otra parte, si uν(ν) es la densidad de energ´ıa de radiaci´on por unidad de volumeny de intervalo de frecuencia, como nσ hν es la energ´ıa por modo 8πν2 2 ω3 nσ → nσ πc3 uν(ν) = ρ(ν) nσ hν = c3 hν nσ = πc3 = 2 ω3 uν(ν)se pueden poner las probabilidades de los procesos estimulados en funcio´n de la densidadde energ´ıa de la radiaci´on: Waest = Weest = Bs suν (νs s)36 F´ısica del la´ser - 1.0.0

5.3 Los coeficientes de Einsteindonde los coeficientes B se conocen como coeficientes de Einstein de las transicionesestimuladas y valen: Bs s = |Ds s|2 = Bss (5.9) 6 2ε0El segundo t´ermino de 5.7 nos indica que puede haber emisio´n de un cuanto aunqueno haya cuantos en la radiaci´on ( nσ = 0). Por ello este t´ermino se conoce como laprobabilidad de emisio´n espont´anea. Su expresio´n ser´a la 5.8 pero tomando en ella nσ =1, ya que como se desprende de la expresio´n para We el campo de cero fotones producela misma emisio´n que el de un foto´n: As s = 1 ωs3 s|Ds s|2 3π ε0c3 El cociente entre el coeficiente de emisio´n esponta´nea y el coeficiente de uno cualquie-ra de los procesos estimulados (de emisi´on o de absorcio´n) depende u´nicamente de lalongitud de onda de la radiacio´n (en el medio, ya que c est´a referida al medio): As s = 8πhν3 = 8πh (5.10) Bs s c3 λ3La f´ormula es de aplicabilidad general a toda radiacio´n electromagn´etica. As´ı, sabemosahora que la radiacio´n estimulada, que es la de inter´es en el la´ser, predominara´ con mayorfacilidad cuanto mayor sea la longitud de onda. En efecto, una emisora de radio emiteestimuladamente, y por lo tanto con muy poco ruido cu´antico (emisi´on espont´anea),mientras que los a´tomos y mol´eculas representan una situaci´on intermedia; en los nu´cleos,dada la cort´ısima longitud de onda en la que emiten (rayos γ), la radiaci´on estimuladaest´a en proporcio´n despreciable. El uso de radiaciones de onda muy corta en los resonadores la´ser plantea adem´asnumerosos problemas tecnolo´gicos; a pesar de ello, se ha conseguido disen˜ar sistemasl´aser que trabajan en el dominio de los rayos X.5.3.3. Efecto de la polarizaci´on En el caso en que la radiaci´on esta´ planopolarizada, los momentos dipolares Ds sinducidos en el sistema material se alinean r´apidamente con el campo el´ectrico de laradiaci´on (e Ds s), y tenemos que la integral geom´etrica en la ec. 5.6 vale π 2π |eσ · Ds s|2 nσ d2Ω = |Ds s|2 d2Ω nσ = 4π|Ds s|2 nσ=1,2 00 σ=1,2Comparando esta expresi´on con la correspondiente a una orientaci´on is´otropa, 5.6 vemosque ambas difieren en un factor 1/3. Resulta que los coeficientes estimulados pueden tenerun valor entre estos dos extremos, segu´n sea la polarizacio´n de la radiaci´on estimulante: |Ds s|2 ≤ Bs s ≤ |Ds s|2 6 2ε0 2 2ε0http://alqua.org/documents/FdL 37

5 Absorci´on y emisi´on de radiacio´n λ g1 = 51 g2 = 3 ω2µ2µFigura 5.4: Desde cada estado λ del nivel 1 podemos transitar a cualquiera de los estados µ del nivel 2. El nu´mero de estados con energ´ıa E1 es la degeneraci´on del nivel 1 y se denota por g1; an´alogamente para el nivel 2.El valor m´as pequen˜o del coeficiente B es el correspondiente a la radiacio´n isotr´opicao a la desorientacio´n ato´mica isotr´opica, y fue el calculado por Einstein. La radiaci´onpolarizada da lugar a mayor eficiencia en los procesos estimulados.5.3.4. Efecto de la degeneraci´on Los valores calculados de los coeficientes corresponden a transiciones entre distintosestados de diferente energ´ıa. Se pueden encontrar tambi´en f´acilmente los coeficientescorrespondientes a transiciones entre niveles de energ´ıa que comprenden varios estados,es decir, niveles degenerados. En efecto, asignemos los sub´ındices λ y µ a los estados degenerados de los niveles 1 y2 del sistema (figura 5.4). La probabilidad de transicio´n desde un estado λ a un estadoµ es Wλµ = Bλµuν(ν12) y la probabilidad desde el estado λ, que es la probabilidad desdeel nivel 1, a todos los estados del nivel 2 ser´a la suma W12 = µ Wλµ. Pero usualmentelos elementos de matriz Dλµ (los armo´nicos esf´ericos) son iguales cualesquiera que seanlos valores de λ y µ, por lo que W12 = g2Wλµ = g2Bλµuν (ν12) = B12uν (ν12) W21 = g1Wµλ = g1Bµλuν (ν12) = B21uν (ν12)Hemos demostrado con anterioridad que Bµλ = Bλµ, as´ı que B12 = g2 . B21 g15.3.5. Tiempo de vida radiativo y ensanchamiento natural El coeficiente espont´aneo As s representa la probabilidad de que el sistema se desexciteradiativamente una vez por unidad de tiempo de forma esponta´nea. Es claro que suinverso ser´a el tiempo de vida radiativo del estado excitado |s , 1 τs s = As s38 F´ısica del l´aser - 1.0.0

5.3 Los coeficientes de EinsteinEl cambio por unidad de tiempo del nu´mero Ns de ´atomos excitados debido a la emisi´onespont´anea ser´a, omitiendo los sub´ındices s y s , dN = −AN dtIntegrando con la condicio´n inicial N (0) = N0 a´tomos inicialmente excitados en |s seobtiene N = N0e−At = N0e−t/τLos procesos de desexcitaci´on esponta´nea provocan un decrecimiento exponencial de lapoblaci´on del nivel. Como por cada desexcitaci´on se produce un cuanto de radiaci´on, el cambio por unidadde tiempo en el nu´mero de cuantos en la frecuencia de la transicio´n sera´ d n(ωs s) = − dN = −AN0e−t/τ dt dtEsta magnitud es evidentemente proporcional a la potencia emitida, que a su vez esproporcional al mo´dulo al cuadrado del campo E de la radiacio´n emitida |E|2 ∝ e−t/τPor lo tanto podemos escribir el campo cla´sico emitido como E = E0 e−t/2τs s e−iωs st (5.11)Cuando τs s ωs−s1 este campo es muy aproximadamente el del estado coherente, porqueel amortiguamiento es muy lento comparado con el per´ıodo (la emisio´n de los fotones vasustrayendo energ´ıa, figura 5.5). La no monocromaticidad estricta se pone de manifiestoen su espectro de Fourier,E˜(ω) = √E0 ∞ eiωs st dt = √E0 1 2π 0 e−iωt e−t/2τ 2π 1/2τ + i(ω − ωs s)El cuadrado del m´odulo de E˜(ω) es proporcional a la intensidad en la frecuencia ω, I˜(ω)por lo cual el espectro de la intensidad sera´ |E˜(ω)|2 ∝ E02 (1/2τ )2 1 − ωs s)2 2π + (ωLa anchura de este espectro a mitad de altura (Full Width at Half Maximum, FWHM);se obtiene de E02(2τ )2 E02 4π 2π = (1/2τ )2 1 ωn/2)2 +(y resulta ser ωn = τ −1. Por lo tanto, la intensidad de la radiaci´on emitida esponta´nea-mente se reparte sobre las frecuencias angulares con un perfil 4 de Lorentz: ∆ω 1 ∆ωn 2 , gL(ωs s, ω) dω = 1gL(ωs s, ω) = 2π (ω − ωs s)2 + 24Una distribucio´n se denomina perfil cuando est´a normalizada a la unidad.http://alqua.org/documents/FdL 39

5 Absorci´on y emisi´on de radiacio´n Figura 5.5: Arriba, evolucio´n temporal del campo. Abajo, espectro de Fourier de la intensidad.cuya anchura es el inverso del tiempo de vida radiativo del estado excitado. Este ensan-chamiento ∆ωn, que es inherente al proceso de emisio´n esponta´nea se denomina anchuranatural (de ah´ı el sub´ındice n) y como es el mismo para todos los sistemas emisores dela misma naturaleza se dice que es un ensanchamiento homog´eneo. Como los tiempos devida de los niveles ato´micos son t´ıpicamente de orden de τ ∼ 10−8 s, ωn = 108 s−1 y νn = 1.6 × 107 Hz. Dado que la intensidad total emitida espont´aneamente es proporcional al coeficientede Einstein A, esto es equivalente a considerar que el coeficiente A est´a repartido sobreel perfil, de manera que la probabilidad de emisio´n espont´anea en un intervalo dω sea dA = A gL(ωs s, ω) dωAl ser los otros coeficientes de Einstein proporcionales a A tambi´en se los puede consi-derar repartidos sobre el perfil gL.5.4. Sistemas moleculares5.4.1. Principio de Franck-Condon Hemos visto que la funci´on de ondas se puede escribir, en virtud de la aproximaci´onadiaba´tica como un producto de funcio´n electro´nica, vibracional y rotacional (ec. 3.2).40 F´ısica del l´aser - 1.0.0