introduccion a la fisica cuantica

7.2. Ana´lisis cu´antico de los feno´menos de transicio´nFigura 7.5.: Figura comparativa entre niveles de energ´ıa bien definida, que emiten un foto´n de fre- cuencia definida y niveles que forman una banda borrosa, que dan lugar a una indeter- minacio´n en la frecuencia del fot´on emitido.¿Hay conservacio´n de la energ´ıa?Hasta ahora hemos supuesto que en una transici´on electromagn´etica la energ´ıa delfoto´n es ωfi = Ef − EiSin embargo de la ecuaci´on 7.1 se deduce que la frecuencia del fot´on puede ser distintade ωfi, lo cual parece estar en contra del principio de conservacio´n de la energ´ıa, puestoque en ese caso la energ´ıa que aporta el campo y la que se absorbe son diferentes ω = ωfi = Ef − EiPuesto que no se puede medir la energ´ıa de un estado con precisi´on arbitraria (en untiempo finito de medida), sino que la precisi´on depende de la relaci´on de incertidumbre ∆Et ≈la diferencia entre niveles de energ´ıa es un tanto borrosa. Se puede ver en la figura 7.4 quela probabilidad de transicio´n es razonable para frecuencias del campo (o de los fotonesque lo componen) tales que su diferencia ∆ω con ωif verifica ∆ωt ≤ πSi multiplicamos esta expresio´n por , ∆ωt ≤ πy tenemos en cuenta que a ∆ω le corresponde una diferencia de energ´ıa (entre Ef − Eiy la energ´ıa de los fotones que componen el campo) ∆E = ∆ω, se obtiene que ∆Et < π ≈La relaci´on es compatible con la obtenida anteriormente, por lo que no se viola el prin-cipio de conservacio´n de la energ´ıa. La vida media t´ıpica de un nivel ato´mico puedeser del orden del nanosegundo, o sea, t ≈ 10−9s, con lo cual la incertidumbre en lacaracterizacio´n de los niveles ato´micos es muy pequen˜a ∆E ≈ ≈ 10−7eV tDespu´es de haber hecho estos comentarios sera´ m´as f´acil comprender el cara´cter resonan-te que tienen los procesos de transici´on. El intervalo de frecuencias del campo alrededordel valor de ωif ≈ 1015Hz para el cual la probabilidad toma valores apreciables es∆ω ≈ π/t ≈ 109. Aparentemente es un valor enorme pero, en realidad, se trata de unacantidad rid´ıcula comparada con el valor de ωif , t´ıpicamente una millon´esima de suvalor. Dicho con otras palabras, a la escala natural de frecuencias asociadas a las transi-ciones en el o´ptico, la probabilidad de transici´on se comporta casi como la distribucio´nδ(ω − ωif ).http://alqua.org/libredoc/IFC2 191

7. Transiciones electromagn´eticas7.2.3. La aproximacio´n dipolar el´ectrica Empezaremos con una aproximaci´on grosera que justificar´a el ca´lculo posterior. eik·r = 1 + ik · r + . . . ≈ 2π 1 + λ a0 + . . . = 1 + o 10−3 − 10−4como a0 ≈ 0.5A y λ es una longitud de onda del espectro visible (del orden de 103−104A),se puede despreciar el t´ermino a0 . λ Supondremos adema´s que la luz incidente est´a polarizada en la direccio´n del eje z, conlo que u = (0, 0, 1). Se puede obtener el coeficiente de Einstein Bif = 8π2 | f | ePz |i |2 2m2ωf2iEl operador Pz puede escribirse im Pz = [H, Z]con lo que f |Pz| i = im f |[H, Z]| i = im f |HZ − ZH| i = im (Ef − Ei) f |Z| i = imωfi f |Z| ide lo que se obtiene Bif = 8π2 | f |eZ| i |2 2Gracias a la teor´ıa fenomenol´ogica de Einstein se puede dar la siguiente expresio´n parael coeficiente de la emisio´n esponta´nea: A = Af i = ωf3i Bf i = 8ωf3i | f |eZ| i |2 π2c3 c3Ahora podemos apreciar lo apropiado del calificativo “aproximaci´on dipolar el´ectrica”,puesto que el operador que gobierna la probabilidad de transicio´n es eZ, el dipolo el´ec-trico. Vamos a estimar el valor de los coeficientes para energ´ıas del orden de (1 ↔ 10) eV192 Introducci´on a la f´ısica cua´ntica - 1.1.0

7.2. An´alisis cu´antico de los fen´omenos de transici´on(el espectro o´ptico o regiones pro´ximas a ´el) A ≈ 8ω3 e2a20 c3 = 8ω3 e2 4 c3 m2e4 8 ( ω)3 1 = m2c3 e2 8 ( ω)3 c 1 = (mc2)2 e2 8 ( ω)3 1 = α (mc2)2 ≈ 107 ↔ 109 s−1Donde se ha preferido transformar las expresiones a evaluarlas directamente, utilizando,entre otros datos, el valor de la constante de estructura fina α = e2 = 1 (ver problemas), c 137la energ´ıa en reposo del electr´on mc2 = 0.5 × 106eV y = 6 × 10−16eV × erg−1. Comose puede demostrar fa´cilmente, si la probabilidad de transici´on por unidad de tiempoes A, la vida media es del orden de 1 (ver problemas). Por lo tanto estas transiciones Aespont´aneas se producen en tiempos de entre 10−7 y 10−9 segundos.7.2.4. Relacio´n entre las prediciones cu´anticas y las cl´asicas Consideremos un conjunto muy grande de sistemas aislados que experimentan tran-siciones espont´aneas. En la unidad de tiempo el nu´mero total de sistemas que sufretransici´on de f a i (espont´anea) es Nf A. y como la energ´ıa que pierde cada uno es ωfi,resulta que la potencia emitida por el conjunto es − dW = Nf A ωf i dty rescatando la expresi´on del coeficiente A − dW = 8ωf4i | f |eZ| i |2 dt c5Por otra parte, la radiacio´n que emite un oscilador cla´sico de frecuencia ω0 y amplitudx0 es porporcional a ω04 (ex0)2con lo que hay una coincidencia en la dependencia funcional de la potencia emitida enla frecuencia de radiacio´n (en el modelo cl´asico la radiacio´n emitida tiene la frecuenciade oscilacio´n del oscilador ω0).http://alqua.org/libredoc/IFC2 193

7. Transiciones electromagn´eticas7.3. Reglas de seleccio´n Son conjuntos de relaciones que deben satisfacer los nu´meros cua´nticos de los estadosinvolucrados en una transicio´n para que ´esta tenga una probabilidad no nula de suce-der. Dicho de otro modo, cuando los nu´meros cua´nticos asociados a los estados i, f nosatisfacen estas relaciones, Pif es cero. Recordemos que Pif ∝ | f |eZ| i |2 en la aproximaci´on en la que hemos trabajado. Porlo tanto, para que Pif sea cero, | f |eZ| i |2 = 0 e dr φ∗f zφi = 0La funcio´n de onda del estado a para el ´atomo de H se puede descomponer como yasabemos: φa (r) = Rnala (r) Ymlaa (Ω)Vamos a evaluar la integral para ver en qu´e condiciones la probabilidad es cero. Tenemosen cuenta que z = r cos θ ye dr r3Rnf lf (r) Rnili (r) dΩ Ymlff ∗ cos θYmlii = eIrad × IangDe las dos integrales la u´nica que se anula de forma sistem´atica, cuando se dan ciertascondiciones, es la angular por lo que vamos a centrar nuestra atenci´on en ella. Comocos θ no nos gusta, escribimos cos θ ∝ Y01 (Ω) y entonces Iang ∝ dΩ Ymlff ∗ Y01YmliiTenemos una integral que contiene el producto de tres armo´nicos esf´ericos (autofuncionesdel momento angular). Para evaluarla es inteligente valerse de los CG para poner elproducto de dos de ellos como una combinacio´n lineal de armo´nicos esf´ericos. Y01 (Ω) Ymlii (Ω) = 1+li C (1, 0, li, mi|L, mi) YmLi L=|1−li| = C (1, 0, li, mi|li − 1, mi) Ymlii−1 + C (1, 0, li, mi|li, mi) Ymlii + C (1, 0, li, mi|li + 1, mi) Ymlii+1 = αYmlii−1 + βYmlii+1La u´ltima igualdad se obtiene porque el CG intermedio es nulo (ver tablas). Hemospuesto un producto de arm´onicos como combinaci´on lineal de otros arm´onicos donde los194 Introducci´on a la f´ısica cua´ntica - 1.1.0