48 SOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS 10 5 10 5 5 5 101.5.a y2 = − 8 (x + 3 ) 9 81.5.b (y + 1)2 = 4(x + 2)1.5.c (x + 1)2 = 2(y − 2)1.5.d x2 = (y − 2)1.6 Como (h, k) = (−1, 1) y p = 1, entonces (x + 1)2 = 4(y − 1).1.7 La ecuación es (y − k)2 = 4p(x − h) y abre a la izquierda. El vértice es (h, k) = (5, 4) y p = −2. Entonces laecuación canónica es (y − 4)2 = −8(x − 5).1.8 (x − 2)2 = 2(y − 3).1.9.a (x + 4)2 + (y + 2)2 = 1 16 21.9.b (x + 2)2 + (y + 4)2 = 1 4 161.9.c x2 + (y − 2)2 = 1 21.10 La ecuación canónica la obtenemos completando cuadrados. Ecuación canónica: (y − 3)2 + (x − 2)2 = 1. 4 4 1 3 2 Centro: (h, k) = (2, 3) 1 √ 1234 a2 = 4, b2 = 1 y c = 3 √ Focos: (2, 3 ± 3) No hay intersección con ejes.
SOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS 491.11 Los datos los podemos representar en la figura de la derecha. 4Como el centro es (h, k) = (0, 0), entonces la ecuación es 2 x2 + y2 = 1 11 b2 a2 2Esto es así pues el vértice (0, 5) nos indica que el eje mayor está(en este caso) sobre el eje Y. 4Ahora, como (0, 5) es un vértice y el centro está en (0, 0) , se sigue que a = 5 y x2 + y2 = 1 b2 25Por otra parte, como (−1, 3) está en la elipse (−1)2 + 32 = 1 b2 25de aquí, despejando, obtenemos b2 = 25 . Finalmente, la ecuación canónica de la elipse es 16 x2 + y2 = 1 25 25 161.12 La elipse se puede ver en la figura de la derecha.Como la elipse es tangente a los ejes en el primer cuadrante, el 4 3otro vértice debe ser (0, 2) (su eje mayor no puede ser paralelo 2 1al eje Y pues su semieje menor sería de 8 unidades y el mayor 24de 1 unidad!). Luego, (h, k) = (4, 2), a = 4 y b = 2. La ecuacióncanónica es (x − 4)2 (y − 2)2 16 4 + = 1. 61.13 La elipse se puede ver en la figura de la derecha.Según los datos, (h, k) = (0, 0) y (4, 0) es el vértice de la derecha,entonces a = 4 y (3, 1) satisface la ecuación de la elipse:32 + 12 =1 =⇒ b2 = 16 . La ecuación canónica es 116 b2 7 42 x2 y2 1 24 16 + 16 = 1. 7 Centro: (h, k) = (0, 0), c= 96 , 7 focos: (0 ± 96 , 0), 7 vértices: (4, 0) y (−4, 0).
50 SOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS1.14 (x − 2)2 + (y − 1)2 = 1. 9 Centro: (h, k) = (2, 1), √ c = 8, √ focos: (2, 1 ± 8) vértices: (2, 1 ± 3).1.15 La elipse se puede ver en la figura de la derecha.La ecuación canónica de la parábola es y2 = −4(x − 8). De esta 4ecuación se obtiene el otro foco y un vértice derecho de la elipse. 2La ecuación canónica es 2468 (x − 3.5)2 + y2 = 1. 2 4.52 8 4 Centro: (h, k) = (3.5, 0), c = 3.5, focos: (0, 0) y (7, 0), vértices: (−1, 0) y (8, 0).1.16 La ecuación canónica es x2 + y2 = 1. 64 55 Centro: (h, k) = (0, 0), c = 3, focos: (±3, 0), vértices: (±8, 0).1.17 La ecuación canónica es (x − 2)2 + (y + 3)2 = 1. Por lo tanto es una elipse. 9 16 Centro: (h, k) = (2, −3), √ c = 7, √ focos: (2, −3 ± 7), vértices: (2, −3 ± 4).
SOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS 511.18 Si consideramos los lados del cuadrado como ejes coordenados, el círculo inscrito es un círculo con centro en(r, r) y (x, y) = (3, 4) es un punto en la circunferencia.Si consideramos los lados del cuadrado como ejes coorde-nados, el círculo inscrito es un círculo con centro en (r, r) y(x, y) = (3, 4) es un punto en la circunferencia. Por lo tanto, X (x − h)2 + (y − k)2 = r2, Y (3 − r)2 + (4 − r)2 = r2, √ r = 7 − 2√6 ≈ 2.1 r = 7 + 2 6 ≈ 11.8 √Como r < 4 entonces r = 7 − 2 6.1.20 La ecuación canónica es (y − 2)2 (x − 3)2 4 8 − = 1.1.21 La ecuación canónica es x2 y2 64 36 − = 1.Como c = 10, los focos son (±10, 0) y los vértices son (±8, 0). La ecuación de las asíntotas es 3x − 4y = 0 y3x + 4y = 0.1.22 La ecuación canónica es y2 − (x − 1)2 = 1. 9 71.23 El centro es (−4, 1). a=6 y b = 4. La ecuación canónica es (x + 4)2 − (y − 1)2 = 1. 36 161.24 La ecuación canónica es (x − 1)2 − (y + 2)2 = 1. Vértices en (−3, 2), 5, −2 y focos en (−4, −2), (6, −2). Las 16 9 3asíntotas son y = 4 (x − 1) − 2.1.25 La ecuación canónica es (x − 3)2 (y − 2)2 9 4 − = 1. √ √Como c = 13, los focos son (3 ± 13, 2) y los vértices son (3 ± 3, 2). √√1.26 Como 3 · 4 > 6, la asíntota y = 3 x va por arriba del punto (4, 6). Esto nos dice que la ecuación de lahipérbola es x2 − y2 = 1. Como (4, 6) está en la hipérbola y como b2 = 3a2, entonces 16 − 36 =1 =⇒ a = 4. a2 b2 a2 3a2Así, la ecuación canónica es x2 y2 4 − 12 = 1.1.27 La ecuación canónica es x2 − y2 = 1. 6 21.28 La parábola tiene ecuación canónica (y − 1)2 = −8(x + 2), por tanto el centro de la hipérbola es (−2, 1).Como un foco esta en (3, 1) y un vértice esta en (1, 1), el ejetransversal es paralelo al eje X, a = 3, c = 5 y b = 4. La ecuación 6canónica es (x + 2)2 (y − 1)2 4 9 16 2 − = 1.Sus focos son (3, 1), (−7, 1) y sus vértices (1, 1), (−5, 1). Las 642 24 2asíntotas son y = ± 4 (x + 2) + 1. La hipérbola interseca al eje X 3 4en x ≈ −5.093 y x ≈ 1.0933.
52 SOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS1.29.a Como k > 0 y k − 16 > 0, se trata de una elipse.1.29.b Como k > 0 y k − 16 < 0, se trata de una hipérbola.1.29.c Como k < 0 y k − 16 < 0, la ecuación no tiene solución, es decir, no es la ecuación de una curva.1.35.a x2+ y2 = 1. 4 3 2 1 321 1 1 √ 21.35.b Es una parábola. Aquí se debe tomar el ángulo θ = π/4. La ecuación canónica en X Y es x 2 = − 6 y. 0.5 0.5 0.5 1.0 1.5 0.5 1.0 1.51.35.c Es una hi√pérbola. Aquí A = C = 0, así que se debe tomar el ángulo θ = π/4. La ecuación canónica en X Y x2 − (y − 2/2)2es 5/2 5/2 = 1. 4 2 321 12 2 41.35.d Corresponde a la elipse x 2/2 + y 2/4 = 1. √1.35.e Corresponde a la parábola y 2 = 2x/ 5.
SOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS 531.36 El vértice en el sistema XY es (2, −4).1.37.a Es una parábola.1.37.b Es una elipse.1.37.c Es una hipérbola.1.38 Si es una hipérbola pues Φ = B2 > 0 y ∆ = BDE − FB2 = 0.1.47.a1.47.b1.47.c1.48 El vértice en el sistema XY es (2, −4).Secciones cónicas. Walter Mora F.Derechos Reservados © 2012 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/)
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