fisica oscilaciones ondas y optica

Notas de Clase: Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica (Versión 03) 2015de 1.5, (a) Hallar el espesor de la película de aceite, (b) Qué sucede si el índice de refracción delvidrio varía de 1.5 – 1.7.R. Con incidencia normal, , Como , la diferenciade fase del haz de luz es . Interferencia destructiva ocurre bajo la condición (tabla4.2): (*para la primera longitud de onda, y (*para la segunda longitud de onda. Como entre y no se observa ningún otro fenómeno deinterferencia destructiva, podemos concluir que estos mínimos son de órdenes consecutivos, ypor lo tanto: . Igualando las expresiones anteriores, obtenemos: ( *( * () || ̇4.81 Anillos de Newton. En la figura se muestra una lenteconvergente y otra plana entre cuyas superficies en contactose forma una delgada cuña de aire. Cuando se iluminanormalmente, con luz de longitud de onda , se observa unpatrón de interferencia en forma de anillos concéntricos concentro en el punto de contacto. Hallar el radio de los anillosbrillantes.http://isites.harvard.edu/fs/docs/icb.topic186204.files/images/NewtonsRings21-crop-rotated- 400x267.jpg 251

Notas de Clase: Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica (Versión 03) 2015R. La capa de aire entre las dos cuñas posee un índice de refracción menor que la del materialque las compone. La distancia d puede calcularse como: √Reflexión desde el hemisferio produce un cambio de fase . Reflexión desde el planoproduce un cambio de fase La diferencia de fase entre los rayos reflejados desde elplano y el hemisferio es por consiguiente ()Para d<< R, . Interferencia constructiva ocurre cuando:Igualando las expresiones anterioresmientras que los radios de los anillos brillantes están dados por la expresión: √( *En el centro del sistema aparecerá un anillo oscuro, dado que la diferencia de recorrido ópticoes4.82 Disco de Airy. Calcular el diámetro del disco central de Airy formado en una pantallaubicada a 1 m de una abertura circular de 0.1 mm de diámetro la cual es atravesada por un hazde luz de 550 nm.R. El patrón de difracción de Airy se forma cuando la luz http://en.wikipedia.org/wiki/airy_diskincidente atraviesa una abertura circular de radiocomparable con la longitud de onda . La expresión parael ángulo medido con respecto a un eje perpendicularque pasa por la abertura es:En donde D es el diámetro de la abertura. En laaproximación de pantalla lejana, , con Rcomo el radio del disco brillante central (o radio delprimer anillo oscuro)y L como la distancia a la pantalla. Numéricamente: 252

Notas de Clase: Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica (Versión 03) 20154.83 Las intensidades medias producidas en formaindependiente por las fuentes coherentes F1 y F2 en elpunto P son 36 W/m2 y 9 W/m2 respectivamente. Lasdistancias ̅̅̅̅̅ y ̅̅̅̅̅ son iguales. Determine laintensidad en P cuando estas fuentes actúansimultáneamente cuando una lámina de materialdieléctrico con índice de refracción 1.5 y 2000 nm delongitud está presente. Considere que la longitud deonda de las fuentes es 400 nm.R. Denotamos como e a las intensidades de las fuentes coherentes. La intensidadresultante en P obedece la relación: √ (*En el caso en el que la lámina dieléctrica está ausente, la diferencia de camino recorrido por laluz que proviene de las dos fuentes es cero, y la intensidad resultante es 81 W/m2. Cuando seinserta la lámina dieléctrica, la diferencia del camino óptico recorrido es ( )Reemplazando los datos, tendremos que la intensidad resultante en P es 9 W/m2. Nota: Lavelocidad de la onda en la placa dieléctrica es y la diferencia de fase es ( )Addendum: La velocidad de propagación de la onda en un medio dieléctrico homogéneo es .La diferencia temporal entre dos ondas que se propagan la misma distancia L, una en el vacío yotra en el dieléctrico es: ()Esto puede también interpretarse como si la onda que se propaga en el dieléctrico recorriese unadistancia con una velocidad igual a la velocidad de la luz en el vacío. La diferencia de faseasociada a la diferencia de recorrido es por consiguiente ( ) con k como el vector deonda en el vacío.4.84 Posición aparente del Sol. Cuando el solparece estar justo en el horizonte (al ponerse ocuando sale), el astro de hecho está por debajodel horizonte. La explicación de esta supuestaparadoja es que la luz proveniente del sol sedesvía ligeramente cuando entra en la atmósferade la tierra, como se ilustra en la figura. Puestoque nuestra percepción está basada en la idea deque la luz se desplaza en líneas rectas,percibimos la luz como proveniente de unaposición que se encuentra por encima de laposición real del sol en un ángulo .Suponiendo que la atmósfera tiene densidad uniforme y en consecuencia, un índice derefracción uniforme n, y se extiende hasta una altura h por encima de la superficie terrestre, encuyo punto termina de manera abrupta. (a) Hallar una relación para el ángulo  en términos 253

Notas de Clase: Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica (Versión 03) 2015del radio de curvatura de la Tierra R, y la altura h. (b) Estimar  para n = 1.0003, h =20 km y elradio de la Tierra R = 6,380 km.R. (a) En la aproximación de “índice de refracciónhomogéneo”, es posible resolver este problemautilizando la forma común de la ley de Snell. Conrespecto a la normal, ()Explícitamente: ()Según la relación trigonométrica: el ángulo de incidencia del haz de luzproveniente desde el astro es: (* (*(b) Numéricamente:4.85 Un arco iris se produce por la reflexión dela luz solar por las gotas esféricas de agua en elaire. En la figura se muestra un rayo que serefracta en una gota en el punto A, se refleja en lasuperficie posterior de la gota en el punto B, y serefracta de nuevo hacia el aire en C. Los ángulosde incidencia y reflexión se muestran enel punto B, y los ángulos de incidencia yrefracción y se muestran en los puntos A yC. Demostrar que el ángulo en radianes entre elrayo antes de penetrar en la gota en A y después de salir de ella en C (la desviación total delrayo) es Utilice la ley de Snell para escribir en términos del índice derefracción del agua de la gota n y . Un arco iris se formará cuando la desviación angularsea estacionaria con el ángulo de incidencia , esto es Si se satisface estarelación, todos los rayos con ángulos de incidencia cercanos a regresaránal aire en la misma dirección, produciendo una zona brillante en el cielo. Sea el valor depara el cual sucede lo anterior. Demostrar que ( ). El índice de refracciónpara la luz violeta en agua es 1.342 y para la luz roja es de 1.330. Utilizar los resultadosanteriores para hallar y para las luces violeta y roja. Cuál es el color más alto en elhorizonte al observar un arco iris?. 254

Notas de Clase: Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica (Versión 03) 2015R. La desviación angular en A es , en B es y en C corresponde a: .Relaciones geométricas simples conducen a: y por ley de Snell esfácil deducir La suma de la desviación total del rayo conduce a:En el punto B debe cumplirse la ley de Snell, en donde el ángulo de salida es igual a :Desde la última igualdad, y La desviación puede re-escribirsecomo (*La condición de desviación estacionaria conduce a la expresión:La igualdad corresponde al caso √iris, entonces: es el ángulo para el cual ocurre la formación del arco √Luz Violeta: . Luz Roja: El primercolor del arco iris (el más alto) es por consiguiente Rojo.Figura tomada de: http://www.yalosabes.com/images//arco-iris.jpg 255

Notas de Clase: Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica (Versión 03) 20154.86 Rayos de luz paralelos inciden en un prisma de vidrio como se ilustra en la figura.Demostrar que el ángulo formado entre los dos rayos reflejados es igual al doble del ángulo delprisma .R. En la figura adjunta se ilustra la construcción de los ángulos formados por los haces de luzcon respecto a la normal del prisma.El ángulo de reflexión con respecto a la normal es ( ) , y con respecto a la superficie essu complementario: . Por simetría, el haz reflejado en el lado opuesto del prisma tambiénformará un ángulo con respecto a la superficie. El ángulo entre los dos rayos incidentes espor consiguientei.e. el doble del ángulo del prisma.4.87 La forma Newtoniana de la ecuación delas lentes viene dada en función de las distanciasal objeto y a la imagen desde el primer y elsegundo puntos focales. Obtener la ecuación delos lentes en forma Newtoniana. (Ver figuraanexa.)R. En términos de las distancias a los focos, seobtiene: , . La formaGaussiana de la ecuación de lentes es:Reemplazando: 256

Notas de Clase: Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica (Versión 03) 2015el cual puede simplificarse como:4.88 Una jarra se llena de glicerina hasta un nivel de profundidad de 100.0 mm. A unobservador el fondo le parece estar elevado 32.5 mm. Encontrar el índice de refracción de laglicerina.R. La profundidad aparente del líquido (Ejercicio 4.43) es en donde n es el índice derefracción y d la profundidad real. Según los datos del problema,y el índice es4.89 Un objeto de altura 5 mm se sitúa a 250 mm frente a un espejo convexo de radio decurvatura R = 400 mm. (a) Calcular la distancia desde el espejo de la imagen formada. (b) Cuáles el tamaño de la imagen?R. (Ver Ejemplo 4.22). (a) La imagen formada por un espejo convexo es virtual no invertida(derecha), y su posición se obtiene de la fórmula:(b) El tamaño de la imagen es4.90 Un telescopio de Cassegrain utiliza dos espejos,como se muestra en la figura. Este telescopio estáconstruido con dos espejos separados d = 20 mm. Si elradio de curvatura del espejo grande es ydel espejo pequeño es , donde estará laimagen final de un objeto situado en el infinito?R. La distancia focal del espejo de mayor tamaño es a la derecha del mismo.La distancia focal del espejo pequeño es La distancia del “objeto” formado enel foco del espejo grande con respecto al espejo pequeño es por consiguiente igual a . La distancia imagen formada por éste último se obtiene desde la expresión: 4.91 Principio de Fermat para la reflexión. El principio de Fermat (sección 4.4) estableceque la trayectoria de un rayo de luz entre dos puntos es tal que el tiempo para que la luz viajeentre ellos es mínimo con respecto a las trayectorias más cercanas. En la figura se muestra latrayectoria que debería seguir un rayo de luz desde el punto P hasta el punto P’, en el caso derayos que se reflejan en una superficie. Sea  la longitud de la trayectoria desde P hasta P’, y x 257

Notas de Clase: Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica (Versión 03) 2015la posición donde el rayo intersecta al espejo.De acuerdo con el principio de Fermat, latrayectoria verdadera será aquella para la cualla derivada sea cero, y en la que eltiempo para que la luz viaje de P a P’ seamínimo. Hallar la longitud de la trayectoria ydemostrar que esta longitud es mínima (y porlo tanto el intervalo de tiempo) cuando x = L/2.R. La longitud de la trayectoria está dadapor: √ √( ) . Alminimizar esta cantidad, se obtiene la ecuación: √ √( )la cual tiene solución La longitud de la trayectoria de tiempo mínimo es porconsiguiente √( ) y el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexiónEl tiempo de recorrido de un haz de luz entre los puntos P, P’ en el vacío es , con cigual a la velocidad de la luz.4.92 Reflexiones en un espejo parabólico. Una parábola es el lugar geométrico de lospuntos de un plano que equidistan de un punto llamado foco y de una línea llamada directriz.(a) Para la parábola ( ), demostrar que la directriz es el eje y y el foco el punto( ) (b) Hallar la tangente de la parábola, y demostrar que la tangente del ángulo  en lafigura es ( ) en donde (x,y) corresponde a la posición en que el rayo intersecta a laparábola. (c) Demostrar que ( ) Esta condición significa que todos los rayosperpendiculares a la directriz se reflejanhacia el foco de la parábola.R. (a) La distancia al foco (localizado en(2p,0)) desde cualquier punto sobre laparábola es: √( )mientras que la distancia perpendicularde este punto a la directriz es Si estasdos distancias son equidistantes,entonces: √( )Resolviendo, obtenemos: ( ) (b) La tangente a la parábola se obtiene calculando laderivada: 258

Notas de Clase: Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica (Versión 03) 2015Mientras que la tangente del ángulo  es (el triángulo rectángulo que contiene el ángulo  tienelados rectos y y ):(c) Según la gráfica, ; La identidad trigonométrica conduce a: () () . /. /en donde se ha reemplazado . De este resultado es claro que si el ángulo deincidencia de un rayo perpendicular a la directriz con respecto a la tangente en un punto delespejo es , el rayo reflejado formará un ángulo con la línea tangente en ese punto.Para que esta condición se cumpla, el rayo reflejado debe pasar por el foco de la parábola.4.93 En una zona esférica convexa del espejo retrovisor de un camión, se observa que laparte de atrás del camión, alejada 20 m, tiene una imagen virtual de un veinteavo de su tamañoreal. (a) Cuál es el radio de curvatura del espejo? (b) Dónde está la imagen?.R. (a) La distancia objeto es 20 m, y la distancia imagen (virtual, no invertida y localizada detrásdel espejo, con una “magnificación” m de 1/20 estaría localizada a 1 m del espejo. La distanciafocal de este espejo es negativa, por lo tanto el radio de curvatura es: | | || . (b) La imagen estará localizada a 1 m (detrás) del espejo.4.94 Completar la siguiente tabla para espejos esféricos con rayos paraxiales. Todas lasunidades están en mm. TIPO RADIO DISTANCIA DISTANCIA DISTANCIA ¿IMAGEN ¿IMAGEN M -90 FOCAL OBJETO IMAGEN REAL? INVERTIDA? +0.75Convexa 120 -45 +15 -11.25 No Plana +300 No +400Cóncava 259

Notas de Clase: Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica (Versión 03) 2015 -480 -120 96 -36Convexa  0.5Cóncava +160 1.5 -48 +50 SiR. Tipo Radio Distancia Distancia Distancia ¿Imagen ¿Imagen M focal objeto imagen real? invertida?Convexa -90 -45 +15 -11.25 No No +0.75 Plana   +300 -300 No No +1Cóncava 120 +60 +400 +70.6 Si Si -1.18Convexa -480 -240 +240 -120 No No +0.5Cóncava* +192 +96 +26.2 -36 No No +1.37Convexa -320 -160 +160 -80 No No +0.5 Plana   +48 -48 No No +1Cóncava 40 20 33.3 +50 Si Si -1.5* Resolvemos este caso tomando el signo positivo. La distancia objeto es menor que la distanciafocal (positiva) asociada a un espejo cóncavo, y la imagen formada es virtual no invertida yaumentada.4.95 Una lente plano-convexa debe tener unadistancia focal de 240 mm y debe construirse con unvidrio de índice de refracción de 1.675. Qué radio decurvatura debería tener dicha lente?.R. Utilizamos la expresión general del constructor delentes en aire: ( )4 ( )5en donde es el índice del vidrio y d el espesor de la lente. Despreciando el espesor yconsiderando que el radio de curvatura del lado plano ( ) es infinito (el cual se toma conrespecto al puntomás cercano a la fuente de luz), mientras que el radio de curvatura de la lenteestá definido por: ()4.96* El índice de refracción de un líquido puede determinarse mediante el siguientemétodo: se adjunta una lente biconvexa, de distancia focal medida f y radios de curvatura R, a 260

Notas de Clase: Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica (Versión 03) 2015una placa de vidrio plana y se coloca una gota de líquido entre la lente y la placa. De este modoel líquido forma una lente plano cóncava de radio –R. Si se tiene que la distancia focal de lacombinación de estas dos lentes es , demostrar que el índice de refracción del líquido es: (*R. La distancia focal puede considerarse como el resultado de la combinación de dos lentescon longitudes focales y ; en donde es la distancia focal producida por una lente “líquida”de geometría plano-cóncava de índice de refracción . La ecuación para es por lo tanto:Utilizando la ecuación del constructor de lentes (Ver ejemplo 4.95), el inverso de la distanciafocal de la lente “líquida” de radio –R y plana sobre la segunda superficie es: ( )( *Combinando las dos expresiones anteriores: ( )( *despejando la expresión anterior se obtiene el índice de refracción del líquido: (*4.97 Estimar la distancia focal del espejo de la figura. Es virtual o real la imagen de la caradel hombre? (“Hand with reflecting sphere”, M. C. Escher, 1935). http://www.mcescher.com/R. El mundo de Escher, en esta intrigante pieza artística titulada “Mano con globo reflectante”pareciera estar atrapado por reflexión. La única pista de validez que el observador tiene en laesfera reflectora es la mano del artista, la cual incidentalmente combina simultáneamente larealidad y la imagen por reflexión. La luz, la cual proviene de la ventana detrás desde dondeEscher está sentado, ilumina cada pieza del inmobiliario, crea a su vez tonalidades y sombras 261

Notas de Clase: Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica (Versión 03) 2015debajo de la cara de Escher, y establece de esta formauna sensación de profundidad. El artista conduce alobservador a dar crédito a la realidad de la esfera en lacual éste está absorbido, contagiándolo al mismo tiempode su actitud contemplativa y segura de su reflexión. Elcontrol de Escher como artista es notorio, no sólo porcolocarse a sí mismo como pieza central, sino tambiénpor mantener (sostener) la imagen reflejada noinvertida, gesto simbólico que indica que tiene uncontrol firme sobre ambos mundos, capturando alobservador en la imagen que ha creado. Un estimativosimple de las dimensiones típicas de la anatomía de unhombre europeo adulto (36 años en enero de 1935),puede hacerse considerando que su mano pudiera haber tenido unos 22 cm entre el extremodel dedo pulgar y el extremo del dedo medio. Con este dato puede inferirse que la esfera puedetener unos 28 cm de diámetro, es decir unos 14 cm de radio y una distancia focal de unos 7 cm.La imagen es no invertida, disminuida y virtual. Si asumimos que la estatura promedio de unholandés es de 1.83 m (http://en.wikipedia.org/wiki/Human_height), y que ésta no ha variadosignificativamente en los últimos 80 años, la distancia desde el rostro hasta la esfera con elbrazo (casi completamente) estirado es alrededor de 92 cm (considerando una proporción deltamaño de la cabeza de 9 pulgadas). La imagen de su rostro se formará entonces a unos -6.50cm, con una magnificación de +0.070.4.98 Demostrar que la mínima distancia desde el objeto real a una imagen real para una lenteconvergente es 4f.R. La distancia entre el objeto y la imagen real en una lente convergente es Larelación entre las distancias y el foco es Combinando estas dos expresionesobtenemos: dMinimizando con respecto a : (* 262

Notas de Clase: Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica (Versión 03) 2015 ()cuya solución es Al reemplazar en la ecuación para , finalmente se obtiene4.99 Una esfera transparente en el aire de 200 mm de diámetro forma en su superficieposterior una imagen de rayos paraxiales de un objeto alejado 1000 mm. Cuál es el índice derefracción de la esfera?R. Las distancias al objeto y a la imagen en una esfera de radio R de un material con un índicede refracción desconocido n en aire (naire =1) están relacionadas por:Si la imagen se forma en la superficie posterior, i.e., , el índice de refracción se estimacomo: (*Para un objeto localizado en el infinito, la imagen se formará a 0.83 mm desde el centro de laesfera.4.100 Calcular el ángulo mínimo con respecto a la vertical en el cual un buzo bajo el agua deun lago tranquilo puede observar la puesta del Sol. Despreciar los efectos de los lentes debuceo.SOL  LAGO BUZOR. En este caso es suficiente con obtener el ángulo crítico de un rayo que se propaga rasante ala superficie del lago. Con los datos de la tabla 4.1: (* 4.101 Distancia focal de una esfera transparente. Hallar la distancia focal de una esferatransparente de vidrio de radio R en aire, en la aproximación paraxial. El índice de refracciónde la esfera es n. 263

Notas de Clase: Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica (Versión 03) 2015R. Un rayo paraxial incide en el punto P con un ángulo  con respecto a la normal desde laizquierda de la esfera. Este rayo experimenta una refracción con ángulo definido por:La longitud focal desde el centro C de la esfera es El valor de la distancia x está dadopor el ángulo  que forma el segmento ̅̅̅̅ con respecto al eje horizontal: Deltriángulo PCQ se deduce En el punto Q aplicamos nuevamente laley de Snell para deducir: ()o en forma equivalente, ( ) Del triángulo rectángulo SQF como la longitud del segmento ̅̅̅̅ Insertando todostenemos: conestos resultados en la expresión para la distancia focal, finalmente arribamos a: 6( )( ) ( ))7 (La distancia focal es por lo tanto función del índice de refracción y del ángulo de incidencia delrayo con respecto a la normal. En la aproximación de ángulo pequeño, y la distanciafocal se reduce a: ./ 264

Notas de Clase: Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica (Versión 03) 2015Para una gota de agua en el aire con la distancia focal es 2R. Si la esfera está inmersaen un medio con índice de , el análisis geométrico sigue siendo válido, excepto que ahora larelación entre los ángulos y es Análogamente la distancia focal semodifica como: (*4.102 Demostrar que la fórmula del problema anterior puede deducirse de la fórmula generaldel constructor de lentes gruesos (ver ejemplo 4.95), con , yR. Partimos de la expresión: ( )4 ( )5Reemplazando las condiciones anteriores, en efecto ( )4 ( )5 ( )4.103 Calcular la magnificación de un objeto de localizado a 6 mm del vértice de una canica devidrio de 12 mm de diámetro y con índice de refracción 3/2.R. Utilizando las fórmulas anteriores (Ej. 4.101), calculamos la distancia focal como 9 mm, y lamagnificación es:4.104 Refracción en un medio nohomogéneo. Un medio no homogéneoestratificado tiene un índice de refracción que ()varía según la dirección Y, esto esObtener la ecuación del camino óptico del rayo.R. A una distancia y desde un punto dereferencia, el rayo debe obedecer la condiciónde Snell: ( ) (Constante),siendo  el ángulo con respecto a la normal delrayo en un punto con coordenadas (x, y).Utilizando la relación √,obtenemos: √() 265

Notas de Clase: Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica (Versión 03) 2015Integrando a ambos lados, se obtiene la ecuación para la desviación lateral del camino óptico : ∫ √()4.105 Una lente delgada de potencia óptica forma una imagen de aumento M. Hallarla distancia de la lente al objeto y a la image}n.R. Combinando las expresiones:la distancia imagen es ( ) mientras que la distancia objeto se define como ()4.106 Una lente positiva, construida con un material de índice , y un espejo tienen lamisma distancia focal en el aire. Cuál tiene la menor distancia focal en el agua con ?.R. La relación de las distancias focales de una lente delgada en el aire y en el agua es:mientras que la distancia focal del espejo en agua disminuye según el índice de refracción:De esta forma: (*Se concluye por consiguiente que el espejo tiene menor distancia focal en el agua.4.107 Completar la tabla siguiente para superficies de refracción esféricas (tambiénconocidas como dioptrios). Todas las medidas están en mm. Tomar y ysuponer que todos los rayos son paraxiales. TIPO RADIO DISTANCIA DISTANCIA IMAGEN IMAGEN Convexa OBJETO IMAGEN REAL? INVERTIDA? -90 +15 -19 Plana +300 No No +120 +480R. -480 +120 +96 -96 266

Notas de Clase: Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica (Versión 03) 2015 TIPO RADIO DISTANCIA DISTANCIA IMAGEN IMAGEN OBJETO IMAGEN REAL? INVERTIDA? Convexa -90 +15 -19 Plana(i) + +300 -400 No NoCóncava(ii) +120 Si NoConvexa(iii) -480 + +480Convexa(iii) -96 +120 No No +96 -148 -96 No No No No(i) La distancia imagen se obtiene como y la magnificación(ii) La imagen se localiza justo en el punto focal.(iii) Una lente convexa forma una imagen virtual no invertida cuando la distancia objeto es menor que la distancia focal objeto.4.108 Un gradiente de temperatura vertical en el aire cambia el índice de refracción segúnla fórmula: () ( )en donde es el índice de la superficie, , y z está medido en metros. Siuna persona tiene los ojos ubicados a h =1.70 m sobre la superficie, cuál es la distanciahorizontal máxima en el cual la visión es posible bajo estas condiciones? (Ver Ejercicio 4.104). h XXR. La trayectoria del haz incidente (línea verde) es curvilínea y cóncava cuando el índice derefracción aumenta con la coordenada vertical. La ley de Snell en cualquier punto obedece: () ( )Para cualquier distancia horizontal , la tangente del ángulo puede escribirse como: √ √ ()Integrando: 267

Notas de Clase: Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica (Versión 03) 2015 ∫∫ ( * *√ + √ ()El cual proporciona la distancia horizontal X recorrida por el rayo justo antes de incidirparalelamente a la superficie. Numéricamente: Una forma alternativa deresolver este ejercicio consiste en considerar los ángulos de incidencia y el ángulo paralelo ala superficie ( ) en la ecuación: () ( )En √ Despejando √4.109 Un rayo incide perpendicularmente a la cara AB de un prisma de vidrio con índice 1.52.Si el prisma está rodeado de aire, hallar el valor máximo del ángulo  de tal forma que el rayose refleje totalmente en la cara AC. Repetir el problema si el prisma se sumerge en agua coníndice de refracción 4/3.R. AA B C 90-  C BSegún el diagrama de la derecha, el ángulo de incidencia con respecto a la normal esAplicando la fórmula para el ángulo crítico: ()En el caso en que el prisma esté rodeado de agua: () ()4.110 Microscopio simple. La figura muestra un microscopio simple de distancia focal f, conel ojo focalizado en un punto correspondiente a . (a) Demostrar que el ángulosubtendido en el ojo por el objeto, en el punto próximo, y sin la lente, es mm, y queel ángulo subtendido por la imagen cuando se sitúa la lente es , donde (b) Demostrar que ()http://www.mosquito.org/assets/Images/madult.jpg 268

Notas de Clase: Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica (Versión 03) 2015R. (a) Sin lente, el ángulo subtendidopor el objeto localizado en el puntopróximo de un ojo normal (250 mm)es:Cuando la lente se sitúa entre el ojo yel objeto, la imagen formada de altura se relaciona con el ángulosubtendido como:en donde la relación se ha utilizado. (b) Manipulación matemática simple conduce a:( ) (mm). (*4.111 (a) Cuál es la distancia focal de un microscopio simple de aumento 3X, donde dichoaumento se mide con el ojo focalizado en el infinito?. (b) Cuál es el máximo aumento que unapersona joven, con un poder de acomodación de 70 mm, podría obtener de este microscopio?.R. (a) En este caso se considera que la imagen se forma en el infinito (ojo relajado), y elobjeto se localiza en el foco de la lente. Para un ojo normal con un punto próximo a 250 mm, elaumento de la lente es:La distancia focal es por consiguiente (con ) igual a 83 mm. (b) Si la distancia deacomodación (la longitud mínima en la que un ojo puede capturar las imágenes sin queaparezcan borrosas), es la distancia en que el microscopio forma una imagen virtual a -70 mmde la lente, con un foco de 83 mm, el objeto se debería colocar en 37.97 mm. La magnificaciónen este caso es: M=70/37.97=1.84. Si el objeto se mantiene en el punto próximo, la imagenvirtual se formará a -447 mm de la lente con M = 6.38. El valor máximo posible demagnificación es por consiguiente M = 6.38.4.112 Suponer que las aberturas de las rendijas en el experimento de la doble rendija tienentamaños distintos, de manera tal que las componentes vectoriales del campo eléctrico debido alas ondas poseen amplitudes diferentes: 269

Notas de Clase: Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica (Versión 03) 2015 () ( ) (a) Demostrar que la componente vertical del campo resultante es: () en donde es la amplitud de la onda resultante y una constante de fase. (b) Hallar y la intensidad de la onda resultante.R. El diagrama de fasores se ilustra en la siguiente figura.(a) La componente vertical del fasor resultante es: ( )(b) Utilizando el teorema del coseno: √ ()La intensidad promedio de la onda resultante es proporcional a la amplitud del campoeléctrico: 〈 〉 de esta forma, desde la ecuación anterior: 〈 〉 〈 〉 〈 〉 √〈 〉〈 〉El ángulo de fase resultante puede obtenerse de la relación: () () () ()Cuando las amplitudes son iguales a la intensidad resultante es (cfr. 4.78 y 4.83): 〈 〉 〈〉 (* 270

Notas de Clase: Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica (Versión 03) 20154.113 Un haz de luz parcialmente polarizado puede ser considerado como dos hacesincoherentes con intensidades diferentes y con sus planos de polarización perpendiculares. Si〈 〉 es la intensidad del haz más intenso e 〈 〉 es la intensidad del haz menos intenso: (a)Calcular la intensidad transmitida cuando un haz parcialmente polarizado incide en unpolarizador ideal, siendo  el ángulo entre el eje de transmisión del polarizador y el plano depolarización del haz más intenso. (b) Demostrar que la intensidad transmitida por elpolarizador puede escribirse como: 〈〉 〈 〉 ()donde P es el grado de polarización del haz.R. (a) Utilizando la ley de Malus, la intensidad transmitida por el haz más intenso es: 〈 〉 ,mientras que la intensidad del haz menos intenso, cuyo plano de polarización forma un ánguloes: 〈 〉 La intensidad resultante es: 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 (〈 〉 〈 〉)(b) Utilizando la identidad , ( )- la ecuación anterior se puede escribircomo: 〈 〉 (〈 〉 〈 〉) (〈 〉 〈 〉) ( )Definiendo el grado de polarización como: 〈〉 〈〉 〈〉 〈〉 〈〉 〈〉Algebra simple conduce a: () 〈〉 〈 〉4.114 Película delgada. Sobre la superficie de un vidrio (n’ = 1.50) se coloca una películadelgada de un material transparente con n = 1.29. Cuál es el mínimo espesor de la película queminimiza la reflexión de la luz que incide normalmente con longitud de onda de 600 nm?.R. En este ejercicio nos referimos a la tabla 4.2. Si la onda viaja desde un medio de menoríndice (aire) hacia un medio con mayor índice de refracción (película transparente con n =1.29) sobre un sustrato n’ = 1.50, entonces se cumple la condición: . En este casola onda reflejada experimentará un cambio de fase total igual a cero y existirá interferenciadestructiva cuando su espesor mínimo cumpla la condición (m = 1 en la tabla 4.2): 271

Notas de Clase: Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica (Versión 03) 20154.115* Deducir la ecuación para las lentes delgadas (convergentes) utilizando el principio deFermat. P ������������ h ������������ I������������ C ������������ OX Y Y’ ������������ ������������R. El principio de Fermat establece que el tiempo de recorrido del rayo de luz entre el puntoobjeto y su imagen debe ser mínimo. Las trayectorias de los rayos que provienen del objetoson diferentes, pero el tiempo de recorrido debe ser el mismo. Seleccionamos dos de ellas, sinpérdida de generalidad: OPI y OCI. El tiempo de recorrido en la trayectoria OPI es: 0√( ) √( ) 1mientras que para la trayectoria OCI , ( )-en donde n es el índice de refracción del lente y c la velocidad de la luz en el vacío. Estostiempos deben ser iguales ( ), por lo tanto, es posible construir una ecuaciónque relacione el tiempo total de recorrido del haz en términos de la posición del objeto X (o suimagen Y, desde el segundo vértice de la lente). Después de cierta álgebra, obtenemos:() ( )( )( ( )) ) .( √( )/La posición del objeto que minimiza el tiempo de recorrido del haz se obtiene resolviendo: ( ) 6 ( )( ) ( ) 7 272

Notas de Clase: Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica (Versión 03) 2015Análogamente, en términos de la posición de la imagen Y: 6 ( )( ) ( ) 7Los radios de curvatura de la lente con respecto a los centros y pueden relacionarse conlas distancias y , y en la aproximación paraxial, √ (*Al reemplazar estos resultados en la expresión de la suma de los inversos de las distancias alobjeto y a la imagen desde el primer vértice: ( ), y efectuando la aproximaciónde primer orden, con , finalmente se obtiene: ( )( *En este caso no se tiene en cuenta la convención de los signos asociada a los radios de lasconcavidades de la lente.4.116 La ley de Brewster, proporciona el ángulo de incidencia (para un hazque incide desde el medio 1 sobre la superficie que separa los medios 1 y 2) tal que el hazreflejado está completamente polarizado. Supongamos que representa este ángulo depolarización y que representa el ángulo correspondiente del haz refractado. Supongamosahora que un haz incide desde el medio 2 sobre la superficie que separa los medios 1 y 2.Demostrar que el ángulo de polarización para este haz es .R. La ley de Brewster indica que la luz reflejada estará completamente polarizada siempre queel ángulo de incidencia (ángulo de polarización) se relacione con el ángulo refractado como:El ángulo refractado en el primer caso es: Si el haz de luz incide desde el medio 2entonces: Reemplazando en la condición de Brewster: . . / () / / () () .obtenemos la ecuación para el ángulo de polarización de un haz incidente desde el segundomedio (o de forma equivalente, que corresponde al haz refractado desde el primer medio): 273

Notas de Clase: Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica (Versión 03) 2015 ()4.117 Suponer que el ángulo crítico para la reflexión interna total de la luz que incide desdeun medio 2 sobre la superficie de separación entre los medios 1 y 2 es 0.68 rad. (a) Cuál es elángulo de polarización para la luz que incide desde el medio 2? (b) Cuál es el ángulo depolarización para la luz que incide desde el medio 1?R. El ángulo de incidencia que produce reflexión total es: ()(a) El ángulo de polarización para la luz incidente desde el medio 2 es:(* ()(b) El ángulo de polarización para la luz que incide desde el medio 1:(* (*4.118 Disco de Arago (o mancha de Poisson). Explicar cualitativamente la formación delpunto de Arago. En la figura se ilustran dos rayos que pasan por el borde del disco e inciden enla pantalla. Qué puede decirse sobre la diferencia de camino entre estos dos rayos?. Qué puededecirse sobre la diferencia de fase entre las ondas de luz que viajan a lo largo de estos rayos?Generalizar las conclusiones para incluir todas las ondas de luz que pasan por el borde deldisco.R. 274

Notas de Clase: Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica (Versión 03) 2015Los puntos del borde del disco actuarán como fuentes puntuales de ondas coherentes porprincipio de Huygens. Los rayos que alcanzan el borde del disco perpendicular al eje óptico yque provienen de una fuente puntual, son difractados hacia la pantalla. La diferencia derecorrido para cualquier par de rayos provenientes del perímetro del disco y que alcanzan elpunto P en la pantalla (sobre el eje óptico), es igual a cero, presentándose por consiguiente elfenómeno de interferencia constructiva en ese punto. La diferencia de fase es también igual acero. Este análisis simple puede repetirse para cualquier par de rayos que emergen del bordedel disco, incrementando la intensidad de la onda resultante sobre P, con un valor cercano alvalor de la intensidad de la fuente puntual, según la hipótesis inicial de Poisson. El análisismatemático de este fenómeno requiere fundamentos por fuera del alcance de este texto. Seremite al lector interesado a las siguientes referencias:http://www.accefyn.org.co/PubliAcad/Encuentro/Full_text/opt_fourier/Off-01-o.pdfGráfica tomada de http://aics-research.com/art/low-poissons-spot.jpg4.119 Cuál es el ángulo mínimo de resolución (cfr. Ejs. 4.72 y 4.82) de un telescopio cuyaabertura tiene un diámetro de 75 mm? La luz de los objetos observados tiene una longitud deonda de 500 nm.R. El límite de resolución de un instrumento óptico tiene un límite descrito por el criterio deRayleigh. El ángulo mínimo de resolución es: (*en donde d es el diámetro de abertura del instrumento, y la longitud de onda incidente.4.120 Poder de resolución del ojo humano. Estimar la distancia máxima a la que unapersona (con buena vista y sin ayuda de ningún instrumento) puede distinguir por separadolos dos faros encendidos de un automóvil. El diámetro de la pupila del ojo puede variar entre 2y 9 mm.R. Los límites de resolución angular del ojo humano pueden estimarse utilizando los valoresextremos de la abertura de la pupila con los valores límite de las longitudes de onda visiblesemitida por los faros del auto (~390 nm-750 nm): (*Los valores extremos están en el rango . Si los faros están separados unadistancia de arco aproximada de 1.5 m, éstos estarán resueltos a unas distancias: *+4.121 Dos estrellas, cada una de las cuales produce más o menos la misma intensidad de luzen la Tierra, tienen una separación angular de 7 rad. Si la luz de las estrellas tiene una 275

Notas de Clase: Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica (Versión 03) 2015longitud de onda promedio de 600 nm. Cuál es el diámetro de abertura mínimo necesario pararesolverlas?.R. Utilizando4.122 Una rendija se ilumina con luz cuyas longitudes de onda y se escogen de talmanera que el primer mínimo de difracción de coincida con el segundo mínimo de Cuáles la relación entre las dos longitudes de onda?R. En el experimento de difracción de Fraunhofer de una rendija, los mínimos estaránlocalizados según:Si el ángulo de incidencia es el mismo en ambos casos, entonces la condición del problemadebe cumplirEn general, los mínimos de diferentes órdenes coinciden bajo la condición:en donde ( ) es el orden del mínimo asociado a ( ).4.123 Una fuente luminosa que contiene una mezcla de átomos de Hidrógeno y Deuterio yemite un doblete rojo en 656.3 nm cuya separación es de 0.18 nm. Hallar el número mínimo derendijas que se necesitan en una red de difracción para separar estas líneas en el primer orden.R. El poder de resolución de una red de difracción de orden m puede calcularse como:siendo N el número de rejillas. En el primer orden, Adicionalmente:Las líneas de emisión del gas estarán resueltas en el primer orden para una red con un mínimode 3646 rejillas.4.124 Una red de difracción de 2 cm de ancho tiene 6000 surcos. A qué ángulos ocurrirán losmáximos de intensidad en los haces si la radiación incidente tiene una longitud de onda de 589nm?. 276

Notas de Clase: Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica (Versión 03) 2015R. La separación entre fuentes es:La posición de los máximos de intensidad pueden estimarse de la condición (Cfr. Ej. 4.50):Para el máximo de primer orden,Otros valores de los ángulos que maximizan la intensidad, según el orden m:En este caso sólo se podrán detectar máximos de intensidad de orden 5.4.125 Al cubrir una de las aberturas de un aparato de doble rendija con una películadieléctrica de índice n = 1.58, el punto central de la pantalla queda ahora ocupado por lo queanteriormente era la séptima franja brillante. Si la longitud de onda incidente es denm, calcular el espesor de la película.R. La distancia (sobre la pantalla) entre el máximo central de interferencia y la séptima franjabrillante sin película dieléctrica es:en donde D es la distancia desde el aparato hasta la pantalla y d corresponde a la distanciaentre las aberturas. Al insertar la película, la diferencia de fase debido al recorrido adicional deuno de los rayos emergentes de una de las aberturas se aproxima a: ()con t como el espesor de la película. Esta diferencia de recorrido debe ser igual aldesplazamiento de la franja brillante central: . Por consiguiente:El cálculo del espesor, en la aproximación de pantalla lejana, no involucra los parámetros D y d. 277

Notas de Clase: Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica (Versión 03) 20154.126 Interferómetro de Michelson I. Uninstrumento de gran utilidad que involucra elfenómeno de interferencia de ondas es elinterferómetro de Michelson. Luzmonocromática proveniente de una fuentepuntual alcanza un espejo semi-plateado MS.Este espejo divisor tiene una película delgada deplata que refleja únicamente la mitad de losrayos incidentes, de tal forma que una mitad delos rayos viajan hasta un espejo fijo M2, el cuallos refleja de nuevo. La otra mitad de los rayosalcanzan un espejo móvil acoplado a un sistemade tornillo fino, en donde también se reflejan de nuevo. En el retorno, parte del rayo 1 pasa através de MS y alcanza el ojo (o la pantalla), y parte del rayo 2 también alcanza el espejo MS ypor consiguiente el ojo (o la pantalla). Si los dos caminos son idénticos, los dos rayoscoherentes interfieren constructivamente observándose franjas brillantes. Si el espejoescualizable se mueve una distancia de /4, el rayo 1 viajará una distancia adicional igual a/2. En este caso, los dos rayos interferirán destructivamente y franjas oscuras seránobservadas. Si el espejo es nuevamente desplazado, aparecerán franjas brillantes (cuando ladiferencia de camino seaigual a ), y luego franjas oscuras, y así sucesivamente. Mediciones muy precisas hasta delorden de 0.1 µm pueden lograrse con este dispositivo en el límite del rango visible. Cuál es lalongitud de onda de la luz incidente en un interferómetro de Michelson si 644 franjas brillantesson contadas cuando el espejo móvil se mueve 0.225 mm?R. Si el desplazamiento del espejo móvil es de un cuarto de longitud de onda ( ), ésteproducirá una clara diferencia entre franjas brillantes y oscuras consecutivas en la pantalla.Existirán en total franjas alternadas o consecutivas en un desplazamiento de0.225 mm. Por lo tanto: (*La distancia entre una franja brillante y una oscura consecutiva es 174.75 nm ó ~0.175 µm.4.127 Interferómetro de Michelson II.Uno de los haces de un interferómetropasa a través de un pequeño contenedorde vidrio de 1.30 cm de longitud. Cuandoel contenedor es llenado lentamente conun gas, un total de 236 franjas oscuras soncontadas para ser movidas desde la líneade referencia. La longitud de onda de la luzutilizada es de 610 nm. Calcular el índice 278

Notas de Clase: Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica (Versión 03) 2015de refracción del gas, asumiendo que el interferómetro está en el vacío.R. En este caso el desplazamiento del recorrido óptico es modificado por el gas contenido en elrecipiente. En una sola trayectoria, el camino óptico varía como (i.e. el camino adicional querecorrería el haz de luz antes de reflejarse en M2): ()siendo la longitud del contenedor, y n el índice de refracción del gas. Cuandoaparece un patrón de interferencia de 236 franjas oscuras, debe cumplirse para el ajuste delespejo móvil M1, o en forma equivalente, para la diferencia de recorrido por haz: (*Despejando para el índice de refracción:4.128 Una lente plano-convexa de índice de refracción n = 1.5 y radio de curvatura de 12 cmse ilustra en la figura. Considere un rayo incidente paralelo al eje principal y a una altura hcomo se ilustra. Determine la distancia d desde la cara plana de la lente, en donde este rayocruza el eje principal si (a) h = 1 cm, (b) h = 6 cm. (c) Que tan alejados entre sí están estospuntos focales?.R. Utilizando la ley de Snell y criterios de geometría elemental, tendremos los siguientesresultados: ()Sobre la cara plana de la lente, () ) √(Despejando la distancia al foco F, finalmente se obtiene: 279

Notas de Clase: Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica (Versión 03) 2015 ( )√ ( )(a) Con h = 1 cm, d = 15.955 cm. (b) h = 6 cm, d= 14.275 cm. (c) En el caso en elcual el rayo incidente se propague a lo largo deleje óptico de la lente (i.e. h ~ 0), la distanciafocal desde la superficie plana se obtiene desdela expansión en series de potencia de la funciónd: ()La dependencia de la distancia focal con la altura h del rayo con respecto al eje de lente esilustrada en la figura adjunta. Se presenta aberración esférica cuando los rayos provenientes deun objeto no convergen un solo punto focal, cuya referencia se toma con respecto al rayo quepasa por el centro de la lente.4.129 Considere una variante del ejercicio 4.128, para el caso en el cual la luz incideparaxialmente sobre la superficie plana de la lente plano-convexa. Hallar la distancia focal d yaproximar la expresión resultante para el caso en que h ~ 0.R. Utilizando la ley de Snell y criterios de geometría elemental, tendremos los siguientesresultados:La distancia focal se determina desde la expresión: ) ( )( 280

Notas de Clase: Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica (Versión 03) 2015Cuando el haz de luz incide a lo largo del eje óptico, ( ), (cfr. ejercicio 4.95)4.130 Una vela encendida es situada a 33cm en frente de una lente convergente decm de distancia focal, la cual estáubicada a 55 cm de otra lente convergentede distancia focal cm. Calcular laposición y el tamaño relativo de la imagenresultante.R. La imagen producida por la primeralente estará localizada a 27.5 cm a laderecha de la misma. Esta imagen es a suvez el objeto de la segunda lente localizado a una distancia igual a (55-27.5) cm =27.5 cm yproducirá otra imagen de la vela localizada a 21.3 cm a la derecha de la segunda lente.Finalmente, la imagen resultante estará a una distancia de 109. 3 cm desde la vela. El aumentode la primera lente se calcula como:mientras que la para el segundo lente:La magnificación total es el producto de los dos aumentos:y la imagen resultante es disminuida y no invertida.4.131 En un experimento de Young de dos ranuras, una pieza de vidrio, con índice derefracción n y espesor L, está colocada enfrente de la ranura superior. (a) Deduzca unaexpresión para la intensidad promedio de la luz 〈 〉 en puntos sobre una pantalla como funciónde n, L y  . En este caso,  es el ángulo usual medido desde el centro de las dos ranuras. (b)Deducir una expresión para los valores de  que determinan la posición de los máximos de laconfiguración de interferencia. (Cfr. Ej. 4.125)R. (a) La diferencia de recorrido óptico entre dos haces de luz que emergen desde las ranurases: () 281

Notas de Clase: Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica (Versión 03) 2015en donde es la diferencia de recorrido SIN el obstáculo de vidrio. La diferencia de fase secalcula como: () ()en donde d es la distancia entre rendijas. La intensidad en un punto de la pantalla se definecomo: 〈 〉 . / (b) La posición de los máximos de interferencia están definidos por: ()4.132 Demuestre que para un patrón de Fraunhofer de doble rendija, si a=mb, (m entero) elnúmero de franjas brillantes (o parte de ellas) dentro del máximo central de difracción es iguala 2m. (Cfr. Ej. 4.77.)R. La expresión para la función de distribución de la intensidad producido por un sistema de Nrendijas idénticas, largas, angostas (de ancho b), paralelas y separadas entre sus centros unadistancia a, se puede escribir como (Óptica, E. Hecht, A. Zajac, Cap. 10. Ec. 10.31): ( ) ( * 4 ( )5en donde y Según la condición , (con los mínimos dedifracción de primer orden localizados en ), los máximos principales ocurren cuando: ()es decir, cuando El orden de los máximos de interferenciacorresponden al factor (sin considerar ). A cada lado del máximo de difraccióntendremos por consiguiente franjas de interferencia constructiva, contabilizando en totalfranjas brillantes en el intervalo . 282

Notas de Clase: Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica (Versión 03) 2015Patrón de intensidad de un sistema de doble rendija con diferentes relaciones m=a/b. Se observa la aparición franjasbrillantes (o máximos de intensidad) dentro del máximo central de difracción en una proporción igual a 2m, sinconsiderar el máximo central.4.133 Un haz de luz monocromática con =532.8 nm incide de manera normal en una red dedifracción con a = 2.16 µm. a) Cuáles son las posiciones angulares de los máximos deinterferencia de primer y segundo orden?. b) Si con este haz se iluminan 758 rendijas de la red,cuál es el semi-ancho angular de cada uno de estos máximos?.R. a) Utilizando la ecuación de la red, (* (*b) Semi-ancho angular: () () ()4.134 Supongamos que estamos en posesión de dos redes de difracción A y B. Elespaciamiento entre las rendijas de la red A es 1.86 µm, pero no se conoce el espaciamientoentre las rendijas de la red B. Una fuente monocromática produce una línea de primer orden a = 19.4° cuando la luz incide normalmente A, y la misma fuente produce una línea de primerorden a 22.1° al incidir esta misma luz en B. Cuál es el espaciamiento de las rendijas para la redB ?.R. Para un máximo de primer orden en la red A, debe cumplirse: Para la red B: Dividiendo estas dos expresiones:4.135 Una placa de vidrio de mm de espesor y con un índice de refracción , estácolocada entre una fuente puntual de luz de 450 nm de longitud de onda en el vacío y unapantalla. La distancia entre la fuente y la pantalla es D = 3 cm. Calcular el número de longitudesde onda entre la fuente y la pantalla.R. El número de longitudes de onda en una placa de vidrio de espesor es: en donde en el vacío, y el es la longitud de onda en el vidrio. La luz se propagará una distancianúmero de longitudes de onda en esta región es: 283

Notas de Clase: Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica (Versión 03) 2015El número total de longitudes de onda contenidas entre la fuente y la pantalla finalmente seobtiene sumando estas dos últimas expresiones: ()4.136 Un rayo de luz se propaga en un bloque de vidrio ( ) incide sobre la superficiesuperior con un ángulo de 51° con respecto a la normal. Si se coloca una capa de aceite sobre lasuperficie superior de vidrio, el rayo se reflejará totalmente. Cuál es el máximo índice derefracción del aceite?.R. En el caso de la configuración vidrio-aceite, el ángulo crítico corresponde al ángulo deincidencia: 51°. El índice de refracción de la película de aceite se obtiene desde:4.137 Un espejo convexo y uno cóncavo están colocados sobre el mismo eje óptico, separadosuna distancia L = 0.600 m. El radio de curvatura de cada espejo tiene una magnitud R = 0.360m. Una fuente de luz S está colocada a una distancia X del espejo cóncavo, como se ilustra en lafigura. (a) Qué distancia X tendrá como resultado que los rayos provenientes de la fuenteregresen a ésta después de reflejarse primero en el espejo convexo y luego en el cóncavo?. (b)Repetir el apartado (a), considerando ahora que los rayos se reflejan primero en el espejocóncavo y luego en el espejo convexo.R. La construcción geométrica de los rayos en el caso (a) se ilustra en la figura adjunta. 284

Notas de Clase: Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica (Versión 03) 2015(a) La imagen formada por el espejo convexo de un objeto localizado a una distancia seobtiene desde la ecuación:es decir: () ()hacia la izquierda del vértice del espejo convexo sobre el eje óptico. Esta imagen a su vez actúacomo objeto del espejo cóncavo localizado a una distancia y el cual formaría una imagenexactamente en el punto donde se ubica la fuente: ||Resolviendo para X: . √( )( )/Las soluciones matemáticas corresponden a (signo negativo) y (signopositivo). Este último resultado es omitido dado que la fuente no se localizaría entre losespejos. (b) Trazamos los rayos del caso (a) en sentido opuesto. En un procedimiento similar,se obtiene nuevamente4.138 Demostrar que los espectros de primer y segundo orden producidos por una rejilla dedifracción cuando sobre ésta incide luz blanca, siempre se superponen. Cuáles longitudes deonda se superponen, exactamente?. 285

Notas de Clase: Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica (Versión 03) 2015R. La luz blanca contiene un rango definido de longitudes de onda entre 390 nm y 700 nm en elvisible. Si el parámetro de red de la rejilla es d, entonces para cierta longitud de onda,tendremos que los espectros de segundo y tercer orden se superponen si:es decir, si las relaciones entre las longitudes de onda obedece:La región sombreada en la gráfica superior indica los intervalos de longitudes de onda quepueden superponerse para la luz blanca en el rango visible. Máximos de segundo orden desde585 nm a 700 nm se superponen a máximos de tercer orden desde 390 nm a 467 nm.4.139 Demostrar que en cualquier sistema centrado, las distancias focales y se relacionanmediante la ecuaciónen donde es el índice de refracción del espacio objeto, y , el del espacio imagen.R. Un sistema óptico recibe el nombre de centrado si éste es formado por varias superficiesesféricas o planas, que separan medios de diferentes índices de refracción y cuyos centrosestán situados sobre el mismo eje, normal a todas ellas. Analizaremos el caso particular de unalente esférica de radio R. Si un objeto se localiza en el foco del espacio con índice de , suimagen se formará en el infinito en el espacio con índice , y la ecuación que relaciona estasdos cantidades es (superficie cóncava según la convención de signos):con como el radio de curvatura del sistema centrado. Si la imagen se forma en el segundomedio con índice , los rayos del objeto provienen del infinito, de forma tal que (superficieconvexa): 286

Notas de Clase: Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica (Versión 03) 2015Igualando estas dos expresiones, obtenemos:4.140 Dos espejos planos son instalados formando un ángulo de 60° ( = π/3). Si un objeto(puntual) se coloca entre los espejos, calcular el número de imágenes formadas por estesistema.R. La posición de un objeto puntual puede determinarse mediante el ángulo  que el radiovector CO forma con la superficie del espejo horizontal. Las posiciones de las imágenes estándadas por la serie:el cual se define en el caso particular como: ⏟⏞Las reflexiones del objeto y las imágenes especulares son ilustradas en la figura adjunta. Todaslas imágenes se circunscriben en un círculo con radio CO, siendo C el vértice de unión de losdos espejos. La serie se interrumpe cuando la posición de la imagen coincida con el objeto quela produce. En general, si el ángulo entre los espejos es , con impar, el número deimágenes es igual a . Si es par, el número de imágenes será igual a El métodoexpuesto funciona también cuando no es entero. 287

Notas de Clase: Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica (Versión 03) 20154.141 Calcular el porcentaje de flujo luminoso que se pierde en la reflexión en unos prismasgemelos (doble Porro). El índice de refracción de los prismas es , y el esquema serepresenta en la figura.R. Consideremos que la intensidad del haz de luz incidente es . El haz transmitido en laprimera superficie tiene una intensidad , en donde es el coeficiente trasmisión en lasuperficie de separación del aire y el vidrio. El haz experimenta reflexión total interna dentrodel prisma, así que en la superficie 2 el haz de luz emerge con una intensidad . Alcompletar el recorrido sobre el segundo gemelo, la intensidad con que el haz emerge será:Utilizando la ecuación de Fresnel, la intensidad de la luz reflejada es: ()El coeficiente de transmisión para incidencia normal entre dos medios, uno con índice 1 (aire)y el otro con índice es: ()La intensidad de luz que se refleja es4.142 Biprisma de Fresnel*. El prisma doble de Fresnel o biprisma consiste en dos prismasunidos en las bases, como se ilustra en la figura. Un frente de onda alcanza ambos prismas, y laparte superior del frente de onda se refracta hacia abajo, mientras que la parte inferior serefracta hacia arriba. En la región de superposición ocurre la interferencia. Hallar la distancia Xdesde el centro del espectro de interferencia hasta la m-ésima franja brillante en elexperimento con un biprisma cuyo índice de refracción es n, la longitud de onda incidente iguala , y el ángulo del dispositivo . 288

Notas de Clase: Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica (Versión 03) 2015R. En la aproximación usual de prisma delgado, i.e. el ángulo se considera pequeño, y larelación entre el ángulo de incidencia y el de refracción es ( ):De la geometría ilustrada y aplicando la ley de Snell en el haz de salida:() () 289

Notas de Clase: Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica (Versión 03) 2015 ./ ( )( )siendo el espesor del prisma (ilustrada en una representación fuera de escala en la figuraanterior). De la última expresión tendremos:Finalmente: ()La distancia entre fuentes virtuales es proporcional al doble del ángulo del biprisma de Fresnel,a la distancia entre la fuente y el biprisma, y al índice de refracción del mismo, reducido en unaunidad. Ahora el problema puede reducirse al problema de dos fuentes puntuales cuyas ondasgeneradas interfieren constructivamente en la pantalla localizada a una distancia a + b. La m-ésima franja brillante, con respecto a la línea horizontal que conecta el eje óptico del prisma yla fuente real, estará ubicada en:() () ()4.143 De dos fuentes coherentes de luz S1 y S2 se obtiene un sistema de franjas deinterferencia sobre una pantalla AB alejada de las fuentes una distancia a = 2 m. Calcular lavariación del ancho de las franjas de interferencia, si entre las fuentes y la pantalla se sitúa unaconvergente de distancia focal f = 25 cm. Considerar dos casos 1) la distancia de la lente a lasfuentes es 2f; 2) las fuentes S1 y S2 se hallan en el plano focal de la lente.290

Notas de Clase: Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica (Versión 03) 2015R. Las imágenes de las fuentes se formarán a una distancia 2f a la derecha de la lente con unfactor de magnificación igual a la unidad. Las fuentes “virtuales” estarán separadas unadistancia desde la pantalla. La distancia entre franjas de interferencia consecutivas eneste caso es: ()Si la lente es removida, la distancia entre franjas de interferencia consecutivas es: Elancho de las franjas disminuye en un factor ()El tamaño de las franjas disminuye a la mitad.4.144 Tres fuentes en fase están situadas a lo largo de una recta como se muestra en la figura.La distancia entre las fuentes 1 y 2 es , y entre las fuentes 2 y 3, una vez y media mayor. Lasamplitudes de oscilación 1 y 2 son iguales. Cuál debe ser la amplitud del radiador 3 para que enel diagrama direccional del sistema existan mínimos de intensidad cero?. Hallar la dirección deestos mínimos.R. Del enunciado se deduce La diferencia de fase entre las fuentes 1 y 2 es:y entre diferencia de fase entre las fuentes 2 y 3:Utilizando el teorema del coseno en el diagrama fasorial adjunto: √ () ./ 291

Notas de Clase: Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica (Versión 03) 2015Ahora calcularemos el valor de la diferencia de fase utilizando la representación compleja:ó 45en donde . Simplificando: ./Igualando las partes imaginarias, obtenemos: ./ ( *cuya solución apropiada esLa amplitud de oscilación de la tercera fuente es por consiguiente √ y el ángulo polaren donde se localizaría un mínimo de intensidad igual a cero es 30°.4.145 Una burbuja de jabón aparece de color verde claro por efecto de la luz reflejada. Loshaces de luz entran en el ojo bajo un ángulo de (con respecto a la normal). Calcular elespesor de la burbuja. ¿Qué color se reflejará en la burbuja si se observa bajo un ángulo de 0°?El índice de refracción de la burbuja es de n = 1,33 y la longitud de onda de la luz verde es de5000 A.R. La diferencia de recorrido entre los haces reflejados ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ es: 292

Notas de Clase: Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica (Versión 03) 2015 √( )el cual aparece de obtener la diferencia entre las distancias ̅̅̅̅ ̅̅̅̅y ̅̅̅̅La relación entre los ángulos y se obtiene desde la ley de Snell: El cambio defase asociado al paso del haz de luz desde al aire a la burbuja y de nuevo al aire es . Según latabla 4.2, se presentará interferencia constructiva cuando la diferencia de recorrido tomavalores ; ; …El mínimo espesor de la burbuja que presenta interferenciaconstructiva es por consiguiente: √( )Numéricamente: d = 1014 A. Si la incidencia normal: (Verde-Amarillo).4.146 Obtener una expresión para la distancia focal máxima del biprisma de Fresnel, ejercicio(4.142).R. La distancia focal máxima se obtiene cuando rayos paraxiales inciden sobre el borde deldispositivo. De la geometría: ()En términos del índice de refracción n y con referencia a la construcción geométrica delejercicio 4.142, obtenemos una relación entre los ángulos del biprisma y el ángulo . () 293

Notas de Clase: Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica (Versión 03) 20154.147 Rejilla de Difracción. Una línea de primer orden de luz de 589 nm que incide sobre unarejilla de difracción se observa a un ángulo de 15.5°. Cuál es la distancia entre aberturas de larejilla?. Cuál es el ángulo de la línea de tercer orden?.R. La distancia entre aberturas consecutivas d puede calcularse desde la ecuación:Para la línea de tercer orden: (*4.148 Un rayo láser de He-Ne de luz roja ( = 630 nm) pasa a través de una abertura de 1 cm yapunta hacia la Luna, es cual está alejada aproximadamente a 380,000 km de la Tierra. Estimarel ancho del haz de luz cuando éste alcanza la Luna.R. En este caso es suficiente con calcular el ancho de difracción de Franhoufer ( ) del haz deluz cuando éste alcanza la Luna:4.149 Cuál es el mayor orden espectral que puede observarse si una rejilla de difracción con6000 líneas por centímetro es iluminada con luz láser de 633 nm? Asumir incidencia normal.R. El mayor orden espectral corresponde a la condición: en donde es el ánguloasociado a la línea de interferencia constructiva de orden m. En este caso:4.150 Sobre una rendija de ancho b se hacolocado un prisma de vidrio de índice derefracción n y ángulo . Sobre la cara AB delprisma incide normalmente una onda planamonocromática. Hallar las direcciones de losmáximos y mínimos en el espectro dedifracción de Franhoufer.R. Cfr. Ej. (4.70) La diferencia de recorridoóptico en el interior del prisma es: Dos rayos que emergen delprisma tendrán una diferencia de recorridoigual a . La diferencia neta derecorrido cuando el haz ingresa perpendicular a la cara AB y emerge desde la abertura de ( ) Se presentarán mínimos de difracción cuandoancho b es: ()y el máximo de difracción de orden cero está localizado en: 294

Notas de Clase: Física de Oscilaciones, Ondas y Óptica (Versión 03) 20154.151 La figura ilustra la diferencia entre el perfil del índice de refracción de una denominadafibra de índice de paso contra el perfil del índice de refracción de una denominada fibra deíndice graduado. Realizar un análisis acerca de la trayectoria seguida por un haz de luz queingresa a la fibra. R. El índice de refracción cambia con la distancia desde el centro de la fibra de radio a. En el centro toma su máximo valor mientras que en la superficie toma el valor del revestimiento Matemáticamente: ( ) ( )( . / *Cuando el haz de luz entra a la fibra en dirección paralela al eje de la misma, y si el índice derefracción es inhomogéneo, éste se desviará con respecto a la dirección original según laecuación: ( ) , en donde es el ángulo del haz con respecto al eje normal a ladirección de propagación (el cual podemos denotar como z). La desviación lateral está definidapor: √4 ( )5La fibra óptica maximiza su eficiencia cuando la luz que se propaga dentro de la fibraexperimenta reflexión total interna en la superficie fibra-revestimiento. En ese caso, yel ángulo con respecto al eje de propagación del haz está definido por: ./ Integrando sobre la variable r, se obtiene el ángulo de desviación con respecto al eje z. Este ángulo tiende a 90 grados cuando la relación entre el índice de refracción de la fibra y el revestimiento aumenta en una fibra de radio a.4.152 La forma de un espejo elíptico se describe mediante la curva 295