Fundamentos matematicos de la Ingenieria

Fundamentos matemáticosde la ingenieríaPura Vindel Departament de Matemàtiques Codi assignatura 803Pura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4  Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI

Edita: Publicacions de la Universitat Jaume I. Servei de Comunicació i Publicacions Campus del Riu Sec. Edifici Rectorat i Serveis Centrals. 12071 Castelló de la Plana http://www.tenda.uji.es e-mail: [email protected]·lecció Sapientia, 10www.sapientia.uji.esISBN: 978-84-692-3983-4Aquest text està subjecte a una llicència Reconeixement-NoComercial-CompartirIgual deCreative Commons, que permet copiar, distribuir i comunicar públicament l’obra sempreque especifique l’autor i el nom de la publicació i sense objectius comercials, i també per-met crear obres derivades, sempre que siguin distribuïdes amb aquesta mateixa llicència.http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/es/deed.caPura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4  Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI

Índice generalI ÁLGEBRA LINEAL 761. MATRICES Y DETERMINANTES 87 1.1. DEFINICIÓN DE MATRIZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 1.2. ÁLGEBRA DE MATRICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 1.2.1. Suma de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 1.2.2. Multiplicación de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 1.3. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA. PROPIEDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 1.3.1. Desarrollo de un determinante por los cofactores de una fila o columna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1110 1.3.2. Propiedades de los determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . 11101 1.4. RANGO DE UNA MATRIZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1132 1.5. INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA. PROPIEDADES . . . 1132 1.6. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153 1.6.1. Resolución por el método de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 1154 1.6.2. Aplicación de la matriz inversa a la resolución de sistemas de ecuaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11652. LOS ESPACIOS R 2 Y R3 1187 1187 2.1. VECTORES EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO . . . . . . . . . . 1188 2.1.1. Interpretación geométrica de los vectores . . . . . . . . . . . 2119 2221 2.2. BASES CANÓNICAS. CAMBIO DE BASE . . . . . . . . . . . . . . 2231 2.3. PRODUCTO ESCALAR. MÓDULO DE UN VECTOR . . . . . . . 2232 2234 2.3.1. Trabajo realizado por una fuerza constante . . . . . . . . . . 2245 2.3.2. Vectores ortogonales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2256 2.4. PRODUCTO VECTORIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2256 2.4.1. El producto mixto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2276 2.5. APLICACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1. Rectas en el plano y en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2. Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Pura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4 2  Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI

3. DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES 29283.1. VALORES Y VECTORES PROPIOS DE UNA MATRIZ.PROPIEDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29283.2. DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES . . . . . . . . . . . . . . . . 30293.3. ORTOGONALIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3130 3.3.1. Aplicación: transformaciones ortogonales en dimensión 2 y 3 . 3231II CÁLCULO DIFERENCIAL 34334. FUNCIONES REALES DE VARIABLES REAL 35344.1. INTRODUCCIÓN. FUNCIONES DE UNA VARIABLE . . . . . . . 35344.1.1. Dominio e imagen de una función . . . . . . . . . . . . . . . . 35344.1.2. Gráficas de funciones de una variable . . . . . . . . . . . . . . 35344.1.3. Funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36354.1.4. Álgebra de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40394.1.5. Límite de una función en un punto . . . . . . . . . . . . . . . 4140 4.1.6. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43424.2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES . . . . . . . . . . . . . . . 4543 4.2.1. Gráficas de funciones de dos variables. Curvas de nivel . . . . 4644 4.2.2. Funciones de tres variables. Superficies de nivel . . . . . . . . 47465. CÁLCULO DIFERENCIAL 49485.1. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . 49485.2. CÁLCULO DE DERIVADAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5049 5.2.1. Derivadas de suma, producto y cociente de funciones . . . . . 5049 5.2.2. Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena . . . . 5049 5.2.3. Derivación implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51505.3. APLICACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5150 5.3.1. Crecimiento y decrecimiento de funciones . . . . . . . . . . . 5150 5.3.2. Cálculo de máximos y mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . 5251 5.3.3. Concavidad y puntos de inflexión . . . . . . . . . . . . . . . . 5352 5.3.4. Teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5453 5.3.5. Trazado de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54536. DERIVADAS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 6059 6.1. DERIVADAS PARCIALES: DEFINICIÓN E INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6059 6.1.1. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6261 6.2. DERIVADAS DIRECCIONALES. VECTOR GRADIENTE . . . . . 6261 6.2.1. Matriz jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6564 6.3. DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR . . . . . . . . 6564 6.4. APLICACIONES: CÁLCULO DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS . . . . . 6665 3Pura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4  Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI

6.4.1. Clasificación de puntos críticos. Criterio de la derivada segunda67666.4.2. Máximos y mínimos condicionados . . . . . . . . . . . . . . . 6687III CÁLCULO INTEGRAL 76097. INTEGRACIÓN EN UNA VARIABLE 77107.1. FUNCIONES PRIMITIVAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77107.1.1. Métodos del cálculo de primitivas. . . . . . . . . . . . . . . . 77107.2. LA INTEGRAL DE RIEMANN. PROPIEDADES . . . . . . . . . . 77437.3. INTEGRALES IMPROPIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77767.4. MÉTODOS NUMÉRICOS DE INTEGRACIÓN . . . . . . . . . . . 77987.4.1. Método de los trapecios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77987.4.2. Método de los rectángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87088. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE 88218.1. LA INTEGRAL DOBLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88218.1.1. Integrales dobles sobre rectángulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88218.1.2. Evaluación de la integral doble por medio de una integral iterada88328.1.3. Integrales sobre conjuntos más generales . . . . . . . . . . . . 88328.1.4. Las integrales dobles en coordenadas polares . . . . . . . . . 88548.2. INTEGRALES TRIPLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88658.2.1. Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas . . . . 88878.3. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88989. INTEGRAL DE LÍNEA 99109.1. FUNCIONES VECTORIALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99109.1.1. Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99219.1.2. Campos de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99329.2. LONGITUD DE UNA CURVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99439.3. INTEGRALES DE CAMINO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99769.4. INTEGRALES DE LÍNEA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99879.4.1. Campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99879.4.2. Integrales de línea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99989.5. CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOSE INDEPENDENCIA DEL CAMINO . . . . . . . . . . . . . . . . . 190909.6. EL TEOREMA DE GREEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10001IV ECUACIONES DIFERENCIALES 11002310. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 110034 10.1. INTRODUCCIÓN Y DEFINICIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . 10034 10.2. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER OR- ODREDNE.N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10034 4Pura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4  Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI

10.2.1. Ecuaciones separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110304 10.2.2. Ecuaciones exactas. Criterio de exactitud . . . . . . . . . . . 110405 10.2.3. Ecuaciones diferenciales lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 11040510.3. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DE SOLUCIONES . 11050610.4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE PRIMER ORDEN . 110607 10.4.1. Problemas de mezclas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110607 10.4.2. Problemas de llenado de tanques . . . . . . . . . . . . . . . . 110809 10.4.3. Desintegración radiactiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110809 10.4.4. Determinación de edades por el método del Carbono 14. . . . 11019 0 10.4.5. Crecimiento de poblaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11019 010.5. MÉTODOS NUMÉRICOS DE RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE PRIMER ORDEN . . . . . . . . . . . . 11111 211. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 11131411.1. DEFINICIÓN. NOTACIÓN MATRICIAL . . . . . . . . . . . . . . . 1113 411.2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEASCON COEFICIENTES CONSTANTES . . . . . . . . . . . . . . . . 11114511.2.1. Valores propios reales distintos . . . . . . . . . . . . . . . . . 111145 11.2.2. Valores propios complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111617 11.2.3. Valores propios con multiplicidad mayor que 1 . . . . . . . . 11171811.3. APLICACIONES DE LOS SISTEMAS LINEALES . . . . . . . . . . 11118 9 11.3.1. Resolución de ecuaciones diferenciales de orden q . . . . . . . 111819 11.3.2. Problemas de mezclas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111920A. PRIMITIVAS INMEDIATAS 112213B. CÓNICAS 112325B.1. INTRODUCCIÓN HISTÓRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112325B.2. CÓNICAS: CARACTERIZACIÓN Y ECUACIONES . . . . . . . . 112426B.2.1. Clasificación general de la cónicas . . . . . . . . . . . . . . . 112628B.3. APLICACIONES AFINES Y MOVIMIENTOS RÍGIDOS . . . . . . 112729B.3.1. Obtención de la ecuación reducida de una cónica . . . . . . . 112830B.3.2. Cálculo de los elementos geométricos de una cónica . . . . . . 112931B.3.3. Invariantes y ecuación reducida . . . . . . . . . . . . . . . . . 113032BIBLIOGRAFÍA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133Pura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4 5  Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI

I ÁLGEBRA LINEALPura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4  Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI

TEMA 1MATRICES Y DETERMINANTES1.1. DEFINICIÓN DE MATRIZ Una matriz es un rectángulo de números considerado como una entidad y de-limitado por paréntesis o corchetes. Una matriz con p filas y q columnas se diceque es una matriz p × q= Las matrices se suelen denotar por letras mayúsculas ylos números que las componen, denominados elementos, por letras minúsculas consubíndices que indican el lugar que ocupan en la matriz. D = (dlm) > l : índice de fila, m : índice de columna. Las matrices se usan en muchos contextos, en particular para organizar tablerosde datos, para la resolución de ecuaciones lineales, etc. µ 2 1 1 ¶ D= 3 7 0Ejemplo 1.1 es una matriz 2 × 3> d11 = 2> d12 = 1> etc. µ 2 ¶ 3Ejemplo 1.2 D = ¡ 1 2 1 ¢ es una matriz fila; E = es una matrizcolumna.Ejercicio 1.1 Construir la matriz D = (dlm)4×3 donde dlm = 2l  m=Ejercicio 1.2 Organizar los siguientes datos en forma de matriz: Una tienda tiene dos almacenes como proveedores de electrodomésticos; el primeralmacén tiene dos lavadoras, dos cocinas y tres neveras en existencia. El segundotiene cuatro cocinas, tres lavadoras y una nevera. ¿Cuál será el máximo número de unidades que puede solicitar la tienda?1.2. ÁLGEBRA DE MATRICES Para muchas de las aplicaciones de las matrices es interesante conocer qué ope-raciones se pueden realizar con ellas, es decir, conocer el álgebra de las matrices. Se dice que dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño y los elementoscorrespondientes son iguales.1.2.1. Suma de matricesDefinición 1 Se define la suma de dos matrices D y E que tienen el mismo tamañocomo la matriz que resulta de sumar los elementos correspondientes de D y E= NOse pueden sumar matrices de tamaño distinto.Pura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4  Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI

µ 2 1 1 ¶ µ 1 0 1 ¶ D= 3 7 0 > = 3 2 0Ejemplo 1.3 E , µ 1 1 2 ¶ 6 9 0 =D+E =Definición 2 Si D es una matriz y f un número, el producto fD es la matriz quese obtiene al multiplicar todos los elementos de D por f=Ejemplo 1.4 µ 2 1 ¶ f = 2> µ 4 2 ¶ D= 3 7 > , fD = 6 14Definición 3 Si D es una matriz D denota la matriz (1)D. Si D y E son dosmatrices del mismo tamaño D  E se define como la suma D + (E)=Ejemplo 1.5 µ 2 1 ¶ E µ 2 0¶ , DE µ 4 1¶ D= 3 0 > = 3 2 = 0 2Propiedades de la suma de matrices y multiplicación por un escalar Suponiendo adecuado el tamaño de las matrices, se cumplen las siguientes pro-piedades: 1. Asociativa: D + (E + F) = (D + E) + F 2. Conmutativa: D + E = E + D 3. Elemento neutro: D + 0 = 0 + D> donde 0 representa una matriz con todos sus elementos nulos. 4. Elemento opuesto: D + (D) = (D) + D = 0 5. Distributiva respecto de los escalares: ( + ) D = D + D 6. Distributiva respecto de las matrices:  (D + E) = D + E Por contra, la multiplicación de matrices sigue reglas más complejas.1.2.2. Multiplicación de matricesDefinición 4 Dadas las matrices D = (dlm)p×q y E = (elm)q×s el producto DEdefine la matriz F = (flm)p×s cuyo elemento lm se obtiene al multiplicar la fila l dela matriz D por la columna m de E de la forma: flm = dl1e1m + dl2e2m + === + dlqeqm 33 0 4 µ 4 1 ¶ 3 12 3 4Ejemplo 1.6 D = C 1 2 D> 0 2 DE = F = C 4 5 D. 1 E = , 1 41 NO es posible realizar el producto ED=Ejercicio 1.3 Demostrar que si están definidos los productos DE y ED> entoncesD es una matriz (p × q) y E es una matriz (q × p).Pura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4  Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI

Suponiendo adecuado el tamaño de las matrices, se cumplen las siguientes pro-piedades: 1. Asociativa: D (EF) = (DE) F 2. Distributiva a la derecha: (D + E) F = DF + EF 3. Distributiva a la izquierda: F (D + E) = FD + FE NO se cumple la propiedad conmutativa, en general DE 6= ED=Definición 5 Se define la transpuesta de una matriz como aquella matriz que seobtiene cambiando filas por columnas DW = D0 : matriz transpuesta de D=1.3. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA.PROPIEDADES Una matriz cuadrada es aquella que tiene el mismo número de filas que decolumnas. D = (dlm)q×q se dice que es una matriz de orden q= Los elementos lm talesque l = m determinan lo que se conoce como diagonal principal. Se llama matriz unidad, I> a una matriz cuadrada cuyos elementos son 1 en ladiagonal principal y 0 en el resto. Se conoce como matriz diagonal a una matrizcuadrada si todos sus elementos fuera de los de la diagonal principal son cero.Definición 6 (Potencia de una matriz) Si D es una matriz cuadrada la ley aso-ciativa del producto permite escribir D2 = DD> D3 = DDD> ===> Dq = q veces DD===D µ 1 1 ¶ D= 0 1Ejercicio 1.4 Dada calcular D2 y D3=Ejercicio 1.5 ¿Cuál sería la potencia qsima de una matriz unidad? ¿Y de unamatriz diagonal? Una matriz cuadrada tiene asociado un escalar, su determinante. Los determi-nantes se definen en términos de permutaciones sobre enteros positivos. La teoría escompleja pero una vez completa da lugar a métodos más simples del cálculo de losdeterminantes. Nos limitaremos a estudiar estos métodos de cálculo. Los determi-nantes se definen sólo para matrices cuadradas. Los determinantes de las matrices de orden 2 y 3 viene dados por las siguientesreglas.D = µ d11 d12 ¶ d21 d22 , |D| = d11d22  d12d21D = 3 d11 d12 d13 4 |D| = d11d22d33 + d12d23d31 + d21d32d13 C d21 d22 d23 D , d13d22d31  d23d32d11  d12d21d33 d32 d33 d31 Para matrices de orden mayor desarrollaremos un método basado en menores ycofactores y reduciremos el determinante de la matriz a una suma de determinantesde orden dos o tres.Pura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4 10 Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI

Definición 7 Un menor de una matriz D es el determinante de cualquier subma-triz cuadrada de D=Definición 8 El cofactor lm del elemento dlm de una matriz D es el escalarobtenido al multiplicar (1)l+m por el menor obtenido de D quitando la fila l y lacolumna m= También se conoce como adjunto del elemento dlm.1.3.1. Desarrollo de un determinante por los cofactores de una filao columna El determinante de D se calcula multiplicando los elementos de una fila (o unacolumna) por sus cofactores y sumando los productos resultantes, por ejemplo: q |D| = dl1l1 + dl2l2 + === + dlqlq = X dlolo o=1 q |D| = d1m1m + d2m2m + === + dqmqm = X domom o=1 Se puede elegir cualquier fila (o columna) para este desarrollo, es interesanteelegir aquella que tenga un mayor número de ceros. 3 3 1 04Ejemplo 1.7 Dada D = C 1 2 1 D ; calcular su determinante desarrollan- 2 1 2do en cofactores.Solución. Utilizando la primer fila para el desarrollo: ¯ 3 1 0 ¯ ¯ 2 1 ¯ ¯ 1 1 ¯¯ 1 2 ¯ ¯ 2 1 ¯ 1 2 ¯ 2 2 2 1 1 2 ¯ ¯|D| = ¯ 1 ¯ = 3 ¯ ¯  1 ¯ ¯ + 0 ¯ ¯ = 9 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 ¯ ¯ ¯¯ ¯ ¯ Si la matriz no tiene ceros es interesante utilizar las propiedades de los determi-nantes para conseguir el mayor número de ceros posible.1.3.2. Propiedades de los determinantes1. El determinante de una matriz diagonal es el producto de los elementos de su diagonal principal.2. Si una matriz cuadrada tiene una fila o una columna de ceros su determinante es cero.3. Si la matriz E se obtiene a partir de una matriz cuadrada D intercambiando la posición de dos filas (columnas) entonces |E| =  |D| Corolario 1 Si dos filas de una matriz son idénticas su determinante es nulo.Pura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4 11 Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI

4. Si la matriz E se obtiene a partir de una matriz cuadrada D multiplicando todos los elementos de una fila (columna) de D por un escalar  entonces |E| =  |D| Corolario 2 Si D es una matriz de orden q entonces |D| = q |D| =5. Si la matriz E se obtiene a partir de una matriz cuadrada D sumando a una fila (columna) de D otra fila (columna) de D multiplicada por un escalar  entonces |E| = |D| Las propiedades 3, 4 y 5 se conocen como operaciones elementales sobre filas(columnas) y resultan muy útiles para conseguir ceros en una fila (columna) de unamatriz. Se puede diseñar, pues, un algoritmo basado en estas operaciones que simplifiqueel cálculo de los determinantes. Trabajaremos con filas a menos que se indique locontrario. 3 0 1 2 4Ejemplo 1.8 Dada D = C 4 5 6 D > calcular su determinante utilizando las 2 1 4propiedades anteriores. ¯ 0 1 2 ¯ ¯ 4 5 6 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯Solución. |D| = ¯ 4 5 6 ¯ =  ¯ 0 1 2 ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 1 4 ¯ I2{<I1 ¯ 2 1 4 ¯ I3 <I3 + 1 I1 ¯ ¯ ¯ ¯ 2 ¯ 4 5 6 ¯ ¯ 1 2 ¯ ¯ 2 ¯ 7 1 ¯ 7=  ¯ 0 ¯ = 4 ¯ ¯ = 56 ¯ 7 ¯ ¯ 2 ¯ 0 7 ¯ ¯2 ¯ ¯ ¯ Una matriz en la que todos sus elementos por debajo (arriba) de la diagonalprincipal son cero se conoce como un matriz triangular superior (inferior).Es fácil demostrar que el determinante de dichas matrices es el producto de loselementos de su diagonal. Se pueden, pues, aplicar las operaciones elementales sobrefilas para transformar el determinante de una matriz cuadrada D en el determinantede una matriz triangular. 3 0 1 2 4Ejemplo 1.9 Dada D = C 4 5 6 D > calcular su determinante reduciéndolo 2 1 4al de una matriz triangular. ¯ 0 1 2 ¯ ¯ 4 5 6 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯Solución. |D| = ¯ 4 5 6 ¯ =  ¯ 0 1 2 ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 1 4 ¯ I2{<I1 ¯ 2 1 4 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 4 5 6 ¯ ¯ 4 5 6 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ =  ¯ 0 1 2 ¯ =  ¯ 0 1 2 ¯ = 56 ¯ ¯ ¯ ¯I3 <I3+ 1 I1 ¯ 0 7 7 ¯ I3<I3 + 7 I2 ¯ 0 0 14 ¯ 2 ¯ 2 ¯ 2 ¯ ¯Pura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4 12 Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI

Ejercicio 1.6 Calcular el determinante de la matriz 3 3 2 3 44 D = E 1 1 2 4F E 20 3 1 F C D 1 6 9 12Teorema 1 Si D es una matriz cuadrada |D| = ¯¯DW ¯ = ¯Teorema 2 Si D y E son matrices cuadradas entonces |DE| = |D| |E| =1.4. RANGO DE UNA MATRIZ Una matriz D de orden p ×q se puede considerar formada por q vectores colum-nas de tamaño p= Se dice que una columna es linealmente independiente de las otras si no se puedeobtener a partir de las otras columnas mediante sumas y multiplicaciones por es-calares, es decir, si no es una combinación lineal de las otras columnas. Se define el rango de una matriz como el número de columnas linealmenteindependientes que tiene.Teorema 3 uj(D) = uj(DW )= Una manera eficaz de encontrar el rango de una matriz es aplicar las operacioneselementales sobre las filas para ver cuales son linealmente independientes. 31 2 3 24 31 2 3 24Ejemplo 1.10 rg C 2 3 5 1 D = rg C 0 1 1 3 D = 1345 I2 <I2 32I2 0 1 1 3 I3<I3+I2 I3 <I3 3I2 31 2 3 24= rg C 0 1 1 3 D = 2 . 0 0 00 31 3 0 04Ejercicio 1.7 Calcular rg C 2 4 0 1 D 1 1 2 21.5. INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA. PROPIEDADESDefinición 9 La inversa de una matriz cuadrada D es aquella matriz E tal queDE = ED = L= Se denota por E = D31= D31 debe ser del mismo orden que D para que se puedan multiplicar. Una matriz que tiene inversa se dice que es invertible o regular. Si no tieneinversa se dice que es singular.Teorema 4 Toda matriz regular tiene determinante no nulo.Pura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4 13 Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI

Cálculo de la inversa Veremos un método que consiste en aplicar operaciones elementales sobre lasfilas hasta transformar la matriz D en la identidad. Estas operaciones elementalesse hacen simultáneamente sobre la matriz identidad, de forma que el resultado finalserá la inversa. Lo veremos con un ejemplo. 3 1 2 1 4Ejemplo 1.11 Calcular la matriz inversa de C 2 2 2 D = 3 4 3 3 1 2 1 ¯ 1 0 04 3 1 2 1 ¯ 1 0 04 ¯ ¯Solución. C 2 2 2 ¯ 0 1 0D  C0 6 0 ¯ 2 1 0D  ¯ ¯ 3 4 3 ¯ 0 0 1 I2<I232I1 0 2 6 ¯ 3 0 1 I2 < 1 I2 ¯ ¯ 6 I3 <I3 33I13 1 2 1 ¯ 1 0 04 3 1 2 1 ¯ 1 0 04 ¯ ¯C0 1 0 ¯ 32 1 0 D  C0 1 0 ¯ 32 1 0D  0 2 6 ¯ 6 6 1 0I3<I332I2 0 6 ¯ 367 361 ¯ ¯ 3 3 1 I3 < 31 I3 ¯ 3 0 ¯ 631 2 1 ¯ 1 0 04 31 1 0 ¯ 31 35 14 ¯ 1 0 ¯ 3181 118 1 0 1 ¯ 6C0 1 0 ¯ 32 16 0 D  C0 ¯ 37 61 0 0 1 ¯ 367 18 031 I1<I1+2I2+I3 ¯ 0D ¯ 18 ¯ 18 18 ¯ 6 31 6 3 31 35 1 4luego D31 = C 3181 118 6 37 61 0D 31 18 18 6Se comprueba que: 31 2 1 43 31 5 14 31 0 04DD31 = C 2 2 2 DC 3181 118 4 3 6 3 73 16 0 D=C 0 1 0 D 18 18 31 001 6Propiedades 1. La inversa de una matriz es única.2. Si D es una matriz regular¡D31¢31 = D> ¡D31¢W = ¡DW ¢31 > (D)31 = 1 (D)31 siendo  =6 0= 3. Si D y E son matrices regulares del mismo orden se cumple (DE)31 = E31D31=1.6. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: DISCUSIÓNY RESOLUCIÓNPura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4 14 Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI

3. Si D y E son matrices regulares del mismo orden se cumple (DE)31 = E31D31=1.6. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: DISCUSIÓNY RESOLUCIÓN Un conjunto de q igualdades del tipo d11{1 + d12{2 + d13{3 + === + d1p{p = e1 d21{1 + d22{2 + d23{3 + === + d2p{p = e2 === dq1{1 + dq2{2 + dq3{3 + === + dqp{p = eqse llama sistema de q ecuaciones lineales con p incógnitas. Una ptupla (1> 2> ===> p) se dice que es una solución del sistema si al sustituir{1 $ 1> {2 $ 2> ..., {p $ p se cumplen todas las ecuaciones del sistema. El conjunto de todas las soluciones del sistema se llama solución general ; unasolución cualquiera se conoce como solución particular. Estos sistemas se puedenescribir matricialmente D[ = E= Los sistemas se clasifican en función de las soluciones que tienen y se puedenestudiar en función del rango de las matrices D y la matriz ampliada D|E> que es lamatriz D a la que se le ha añadido la columna de los términos independientes: ; Determinado , rg D = n incógnitas (Solución única) Compatible ?AAAA rg D = rg D|E Indeterminado , rg D ? n incógnitas (Infinitas soluciones) AAAA= Incompatible (no tiene solución) , rg D =6 rg D|E Si e1 = e2 = === = eq = 0 se dice que son homogéneos. Si algún el 6= 0 se conocencomo sistemas inhomogéneos. Dos sistemas de ecuaciones lineales se dice que son equivalentes si tienen lamisma solución general.1.6.1. Resolución por el método de Gauss El método reductivo o de Gauss consiste en aplicar operaciones elementalessobre las ecuaciones para encontrar un sistema equivalente al dado de forma que laincógnita {1 aparezca sólo en la primera ecuación, la {2 en la segunda, etc. Es decir,se van eliminando incógnitas en las ecuaciones. Realizar este tipo de operaciones sobre las ecuaciones es equivalente a considerarla matriz ampliada del sistema y realizar operaciones elementales sobre las filas.Ejemplo 1.12 Resolver {1 + {2 + {3 = 6 ¯ ¯ {1 + {2 + {3 = 6 ¯ ¯ ¯ ¯Solución. {1 + {2  {3 = 0 ¯¯se elimina {1 ¯ 2{3 = 6 ¯ ¯ ¯ 2{1  {2 + {3 = 3 ¯ ¯ 3{2  {3 = 9 ¯ ¯ ¯ ¯{1 + {2 + {3 = 6 ¯ {1 = 1 ¯ ¯ ¯3{2  {3 = 9 ¯ , {2 = 2 ¯ ¯ ¯ 2{3 = 6 ¯ {3 = 3 ¯ ¯ ¯Pura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4 15 Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI

Ejercicio 1.8 Resolver{1 + 5{2  4{3 = 4 ¯ ¯2{1 + 2{2  3{3 = 2 ¯ ¯{1 + 7{2  7{3 = 7 ¯ ¯Ejercicio 1.9 Un platero dispone de tres aleaciones de plata, cobre y oro con lasiguiente composición: 1 aleación Ag Cu Au 2 aleación 5% 15 % 80 % 3 aleación 10 % 25 % 65 % 15 % 30 % 55 % ¿Cuántos gramos ha de tomar de cada una para que al fundirlos se obtengan 15gramos de una aleación que contenga el 12 % de plata, 26 % de cobre y 62 % de oro?1.6.2. Aplicación de la matriz inversa a la resolución de sistemasde ecuaciones. Un sistema de ecuaciones lineales puede escribirse de forma matricial como D[ = E Si la matriz D es una matriz cuadrada regular, existe su inversa y por tanto sepuede obtener el valor del vector columna [> que es el vector de las variables. D31D[ = D31E , [ = D31Elo que da lugar a la regla de Cramer.Ejemplo 1.13 Resolver el sistema {1 + 2{2  {3 = 5 2{1  {2 + {3 = 6 {1  {2  3{3 = 3Solución. Este sistema se puede escribir en forma matricial como:3 1 2 1 4 3 {1 4 3 5 4C 2 1 1 D C {2 D = C 6 D,1 1 3 {2 3y calcular la inversa de la matriz D comprobando primero que es regular. ¯ 1 2 1 ¯ ¯ ¯det D = ¯ 2 1 1 ¯ = 19= ¯ ¯ ¯ 1 1 3 ¯ ¯ ¯31 2 1 ¯ 1 0 04 31 2 1 ¯ 1 0 04 ¯ ¯C 2 1 1 ¯ 0 1 0D  C 0 5 3 ¯ 2 1 0D  ¯ ¯1 1 3 ¯ 0 0 1 I2 <I2 32I1 0 3 2 ¯ 1 0 1 I2 < 31 I2 ¯ ¯ 5 I3 <I3 3I1Pura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4 16 Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI

31 2 1 ¯ 1 0 04 31 2 1 ¯ 1 0 04 ¯ ¯C0 1 33 ¯ 2 31 0 D  C0 1 33 ¯ 2 31 0D  0 3 ¯ 5 1 0I3<I3+3I2 0 ¯ 353 5 ¯ 5 3519 ¯ 51 5 1 I3< 33 I3 ¯ 0 19 2 1 5 ¯531 2 1 ¯ 1 0 04 31 2 1 ¯ 1 0 04 ¯ ¯C0 1 33 ¯ 2 31 0 D  C0 1 0 ¯7 32 33 D 00 ¯ 95 0 033 I2<I2+I3 ¯ 199 3193 35 ¯ 353 5·19 3 ¯ 3193 5·19 19 I3 < 5 I3 19 3 5 ¯ 5·19 5 ¯ 5·1931 2 1 ¯ 1 0 04 31 0 0 ¯4 7 14 ¯ 1 0 ¯ 11195399 D = 32 0 1 ¯ 179 131929C0 1 0 ¯7 139 33 D  C0 00 1 ¯ 19 3195 ¯ 19 ¯ 3191 19 I1 <I1 32I2 +I3 0 ¯ 11919 ¯ ¯ 19Por tanto 3 {1 43 4 7 1 43 5 43 1 4[ =C {2 D=C 179 DC 6 D=C 2 D {2 131929 11193599 3 2 11919 19Pura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4 17 Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI

TEMA 2LOS ESPACIOS R 2 Y R32.1. VECTORES EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO Un conjunto ordenado de números se distingue no sólo por los elementos quecontiene sino también por el orden en que están los elementos y se conoce comovector, o q-tupla, y =(y1> y2> y3> ===> yq) . Los vectores coinciden con matrices fila(1 × q) o matrices columna (q × 1) y también son conocidos como vector fila y vectorcolumna. Usaremos la notación de vector fila. Los vectores se denotan en negrita o con flechas. Los números (y1> y2> y3> ===> yq)se llaman componentes o coordenadas del vector. El número de componentes dala dimensión del vector. El conjunto de todos los vectores de la misma dimensión,n, se conoce como espacio vectorial de dimensión. Así, R2 es un espacio vectorial dedimensión 2 y R3 es un espacio vectorial de dimensión 3. El término coordenadas proviene de la representación de los vectores respectode los ejes coordenados. Así, los vectores de dimensión 2 se pueden representar enel plano. Su primera componente coincide con la proyección del vector sobre el eje[ y se conoce también como coordenada {; su segunda componente o coordenada |coincide con la proyección del vector sobre el eje \= Esto se lleva a cabo utilizandola misma unidad de longitud en ambos ejes y usando vectores de longitud unidadsituados sobre los ejes, estos vectores básicos sirven para expresar los demás vectoresdel plano. El vector l = (1> 0) es el vector unitario en la dirección del eje { y el vectorm = (0> 1) es el vector unitario en la dirección del eje |= Así, el vector (3> 4) = 3l+4m= e2 v 1 0.8 0.6 0.4 0.2 e1 0.5 1 1.5 2 Componentes de un vector en el plano También pueden dibujarse los vectores de tres componentes en el espacio tridi-mensional, cada una de las componentes corresponde a la proyección del vector sobreuno de los ejes coordenados. En este caso los vectores unitarios son: l = (1> 0> 0) elvector unitario en la dirección del eje {,el vector m = (0> 1> 0) el vector unitario en ladirección del eje |; y n = (0> 0> 1) el vector unitario en la dirección del eje }=Pura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4 18 Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI 18

1.5 1.50 2 1 0.5 0.5 0 11 1.51.5 0.5 0 21 1.5 10.5 0.5 0 0 0 0.5 1 Vectores en R3Propiedad 1 Dos vectores son iguales si, y sólo si, son iguales componente a com-ponenteEjemplo 2.1 (2> 3) = (d> e) , d = 2> e = 3= Los vectores pueden sumarse algebraicamente sumando componente a compo-nente (recordad que son matrices) y multiplicarse por un escalar multiplicandocada una de sus componentes por dicho escalar:Ejemplo 2.2 (3> 4) + (1> 2) = (3 + 1> 4  2) = (4> 2) 2 (3> 3) = (2 · 3> 2 · (3)) = (6> 6)2.1.1. Interpretación geométrica de los vectores Muchas cantidades se caracterizan por un único número en una escala apropiada(por ejemplo, la temperatura, la masa, el tiempo, etc.), por lo que estas cantidadesse llaman magnitudes escalares. Pero muchas otras magnitudes, como por ejemplola fuerza y la velocidad, no se pueden caracterizar sólo por un número sino quenecesitan también una dirección, es por esto que se introducen los vectores. Lasmagnitudes que se caracterizan por un número y una dirección se conocen comomagnitudes vectoriales. Es habitual representar un vector como una flecha que queda determinada porsu dirección y longitud. Dos vectores se dice que son iguales o equivalentes si tienenla misma longitud y están sobre rectas paralelas con el mismo sentido. Vectores equivalentesPor tanto se suele tomar el origen de ordenadas como origen de vectores.Pura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4 19 Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI

Ejercicio 2.1 Representar el vector que une los puntos (2> 3) y (1> 1) = Un vectorequivalente a él cuyo origen sea el punto (1> 1) y un vector equivalente a ambos cuyoorigen sea el origen de coordenadas.Corolario 3 Dos vectores y y z tienen la misma dirección si y = nz , siendo n unnúmero real. Decimos que estos vectores son paralelos.Se define el módulo o norma de un vector como su longitud,y = (y1> y2> y3> ===> yq) , kyk = q + (y2)2 + (y3)2 + === + (yq)2= (y1)2Ejemplo 2.3 y = (3> 2) , kyk = p(3)2 + (2)2 = s 13=Un vector se dice que es unitario si su modulo es 1.Ejemplo 2.4 y = ( 3 > 4 ) , kyk = p(y1)2 + (y2)2 = q 3 ¢2 + ¡ 4 ¢2 = 1 5 5 ¡ 5 5Propiedad 2 Las propiedades de los modulos de los vectores se parecen mucho alas propiedades de los valores absolutos de los números reales:1. kyk  02. kyk = || kyk3. ky + z k  kyk + kz k La suma, diferencia y multiplicación de un vector por un escalar siguen las reglasde las matrices. En el caso de vectores de dos dimensiones es fácil ver gráficamenteel resultado de estas operaciones.Suma de vectores Resta de vectores Producto por un kesvcalar 4 4 3 3 v 3 2.5 u1 2 2 v u21u2u2 u2 u1 1.5 v 1 1 1 -1 123 0.5 -1 u2 0.5 1 1.5 2-1 1 2 3 Álgebra de vectoresEjercicio 2.2 Dados los vectores d = (2> 2) y e = (1> 2) = Calcular y dibujar: d +e>d  e> 3d> 2e> 2d  4e=Ejercicio 2.3 Dados los vectores d = (2> 1> 1) y e = (1> 1> 2) = Calcular y dibujar:d + e> d  e> 2d> 2e=2.2. BASES CANÓNICAS. CAMBIO DE BASEPura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4 20 Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI

Ejercicio 2.3 Dados los vectores d = (2> 1> 1) y e = (1> 1> 2) = Calcular y dibujar:d + e> d  e> 2d> 2e=2.2. BASES CANÓNICAS. CAMBIO DE BASE Tal y como se observa en el dibujo siguiente, un vector en el plano se puedeescribir como la suma de dos vectores, pero estos vectores no son únicos, sino que elmismo vector se puede descomponer como suma de distintos pares de vectores 4 3 v 2u2 e2 u1 1 e1 3-1 1 2 Cambio de base Esto nos indica que todos los vectores del plano se pueden escribir como una com-binación lineal de dos vectores que no sean paralelos, es decir, que sean linealmenteindependientes.1 Estos dos vectores forman una base del plano.Ejemplo 2.5 Base de R2 = h(1> 0) > (0> 1)i = Base de R3 = h(1> 0> 0) > (0> 1> 0) > (0> 0> 1)i En general las bases formadas por n-tuplas de la forma (1> 0> 0> ===> 0) > (0> 1> 0> ===> 0) >===> (0> 0> 0> ===> 0> 1) se conocen como bases canónicas. Las bases del ejemplo anteriorserían las bases canónicas del plano y del espacio. En la base canónica las compo-nentes del vector son las dadas. Pero al cambiar de base, cambian también lascomponentes del vector. De hecho, si E = {y1> y2> y3> ===> yq} es una base de un espacio vectorial Y entoncescualquier vector de Y será una combinación lineal de los vectores de esta base, esdecir y = 1y1 + 2y2 + === + qyq> ;y 5 YLos escalares (1> 2> ===> q) son únicos para cada vector y y se conocen como lascoordenadas o componentes del vector en la base E= Si se toma otra base E0 de Y>las coordenadas de los vectores cambian, serán los coeficientes de la combinaciónlineal de la nueva base.Ejemplo 2.6 Dado el vector y = (7> 3) 5 R2 encontrar sus coordenadas en la basecanónica y en las bases E = {(1> 1) > (1> 1)} y E0 = {(2> 1) > (1> 1)} =Solución. En la base canónica las componentes del vector son las dadas. Lascomponentes en la base E son:(7> 3) =  (1> 1) +  (1> 1) ½ 7 = + ½ =5 , 3 =  , =2 1 Un conjunto de vectores {y1> y2> ===> yq} se dice que son linealmente independientes si y sólosi 1y1 + 2y2 + === + qyq = 0 implica que 1 = 2 = === = q = 0=Pura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4 21 Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI

, (7> 3) = (5> 2)E = y en la base E0 : ½ 7 = 2   ½ =4 3= , =1 (7> 3) =  (2> 1) +  (1> 1) , , (7> 3) = (4> 1)E0Ejercicio 2.4 Encontrar las coordenadas del vector y = (2> 1> 3) 5 R3 en lasbases E = {(1> 0> 0) > (2> 2> 0) > (3> 3> 3)} y E0 = {(1> 0> 0) > (1> 1> 0) > (1> 1> 1)}2.3. PRODUCTO ESCALAR. MÓDULO DE UN VECTORDefinición 10 Se define el producto escalar de dos vectores de la misma dimen-sión d = (d1> d2> d3> ===> dq) y e = (e1> e2> e3> ===> eq) como el escalar que resulta dehacer las operaciones d · e = d1e1 + d2e2 + === + dqeqPropiedades1. d · e = e · d2. d · ³e + ´ = d · e + d · f f3. d · ³e´ = (d) · e =  ³ · e´ d4. d · d  0> d · d = 0 sí y sólo sí d = 0=Ejercicio 2.5 Pepe va a una frutería y compra 3 Kg de cerezas, 4 de peras, 3 denaranjas y 5 de manzanas. Luis compra 2 de cerezas, 2 de naranjas y 3 de manzanas.Se sabe que 1 Kg de cerezas vale 3.5 =C, 1 de peras 1.6 C=, 1 de naranjas 0.6 C= y unode manzanas 0.56 =C.1. ¿Cúal es el vector de compras de Pepe? ¿Y el de Luis?2. ¿Cúal es el vector de precios?3. ¿Cuánto gasta cada uno de ellos?4. Comprobar qué se satisfacen las propiedades anteriores. Teniendo en cuenta que al calcular el producto escalar de un vector consigomismo se obtiene el cuadrado de su modulo, se observa que el producto escalar dedos vectores está relacionado con sus modulos y el ángulo que forman. De hecho, elángulo que forman dos vectores puede calcularse como: cos  = d · e |d| ¯¯e¯¯ ¯¯2.3.1. Trabajo realizado por una fuerza constante El trabajo Z realizado por una fuerza I constante, al mover un objeto a lo largode una trayectoria rectilínea u se puede calcular como Z = I · uPura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4 22 Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI

Ejemplo 2.7 Un objeto es arrastrado bajo el efecto de una fuerza de 15 newtons,ejercida por una cuerda que forma un ángulo de 35r con el suelo. Calcular el trabajoefectuado por esa fuerza al desplazar 50 metros el objeto. Solución. Z = I · u = 15 · 50 · cos 35 = 614= 36 julios. 180Ejercicio 2.6 Una caja de madera es arrastrada por el suelo mediante una cuerdaque forma un ángulo de 40r con la horizontal. Si la fuerza de rozamiento, que actuaen sentido opuesto al movimiento, entre la base de la caja y el suelo es de 50 N.¿Cuál es la fuerza mínima necesaria para mover la caja?Ejercicio 2.7 Dos fuerzas del mismo módulo, I1 y I2 se aplican durante un des-plazamiento u> con ángulos 1 y 2, respectivamente. Comparar el trabajo efectuadopor ambas fuerzas si:1. 1 = 2=2. 1 =  y 2 =  = 3 62.3.2. Vectores ortogonales. Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es 0. En el plano y en elespacio de dimensión 3 es fácil comprobar que ésto significa que los vectores sonperpendiculares entre sí. d · e = 0 / cos  = 0 /  =  2Ejercicio 2.8 Estudiar que pares de vectores son ortogonales:1. d = (1> 2) y e = (2> 1) =2. d = (1> 1> 2) y e = (2> 0> 1) =Ejercicio 2.9 Calcular el valor de { para que los siguientes vectores sean ortogo-nales: d = ({> {  2> {) y e = ({> 1> {) =2.4. PRODUCTO VECTORIAL Mientras que lo visto hasta ahora sirve para vectores en espacios de cualquierdimensión, el producto vectorial de dos vectores sólo está definido para vectores detres componentes. Si los vectores d y e no son paralelos, determinan un plano. El vector productovectorial d ׁe es perpendicular a este plano y su sentido es tal que los vectores d> ey d × e forman una terna orientada positivamentePura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4 23 Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI

axb b ay su modulo viene dado por ° × e°° = kdk °°e°° sin  °d °° °°siendo 0 ?  ? > el ángulo formado por los vectores d | e= Una de las propiedades más interesantes del producto vectorial es que es anti-conmutativo, es decir: d × e = e × d Para calcular sus componentes recurrimos a los determinantes ¯ l m n ¯ ¯ ¯ d × e = ¯ d1 d2 d3 ¯ ¯ ¯ ¯ e1 e2 e3 ¯ ¯ ¯donde l> m> n son los vectores unitarios en las direcciones de los ejes coordenados.Ejemplo 2.8 Calcular el producto vectorial de los vectores d = (1> 1> 0) y e =(0> 1> 1) ¯ l m n ¯ ¯ ¯Solución. d × e = ¯ 1 1 0 ¯ = l + m + n = (1> 1> 1) ¯ ¯ ¯ 0 1 1 ¯ ¯ ¯Ejercicio 2.10 Hallar dos vectores unitarios que sean perpendiculares a los vectoresd = (1> 3> 1) y e = (2> 0> 1) =Ejercicio 2.11 Hallar un vector que sea perpendicular al plano determinado por lospuntos S (1> 2> 3) > T (1> 3> 2) y U (3> 1> 2) =2.4.1. El producto mixtoLa expresión ³ × e´ · f se conoce como producto mixto. Su valor absoluto (es dun número) da el volumen del paralelepípedo de aristas d> e y f y se puede calcularfácilmente a partir del determinante ¯ d1 d2 d3 ¯ e1 e2 ¯ ³ e´ ¯ d × · f = ¯ e3 ¯ ¯ ¯ ¯ f1 f2 f3 ¯ ¯ ¯Ejemplo 2.9 Hallar el volumen del paralelepípedo generado por R$S > R$T y R$U>donde R (0> 0> 0) > S (1> 2> 3), T (2> 1> 1) y U (1> 1> 2) =Pura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4 24 Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI

Solución. R$S = (1> 2> 3) > R$T = (2> 1> 1) y R$U = (1> 1> 2) > por lo que el volumen ¯ 1 2 3 ¯ ¯ ¯será el valor absoluto del determinante ¯ 2 1 1 ¯ = 2, es decir, el volumen será ¯ ¯ ¯ 1 1 2 ¯ ¯ ¯2 unidades de volumen.Ejercicio 2.12 Hallar el volumen del paralelepípedo generado por V$S > V$T y V$U>donde V (3> 5> 7) > S (1> 2> 3), T (2> 1> 1) y U (1> 1> 2) = Los productos escalar y vectorial aparecen constantemente en la ingeniería y enla física. El trabajo es un producto escalar. También lo es la potencia desarrolladapor una fuerza. El momento y el momento angular de una fuerza son productosvectoriales. Si se enciende el televisor y se observa el movimiento de los puntos enla pantalla, este movimiento está determinado por un producto vectorial. Cualquiermanual de electromagnetismo está basado en las cuatro ecuaciones de Maxwell: dosde ellas son productos escalares y las otras dos productos vectoriales.2.5. APLICACIONES Los vectores que se usan para caracterizar la posición de un punto se llamanvectores de posición. Los vectores de posición que parten del origen se conocen comoradio-vectores. Usaremos los radio vectores para caracterizar a las rectas2.5.1. Rectas en el plano y en el espacioPartimos de la idea de que dos puntos distintos S y T> determinan una recta u=Empezaremos preocrtaesetluedgiiamrolsaslorsevcteacstoerneseul 0p=lanRo$S. Pyarya=obSt$eTn=erCuuanlaqucaierracotterroizpaucniótnovectorial de laU de la recta, de coordenadas arbitrarias ({> |) > se puede escribir como una sumade los vectores anteriores R 5 4 Q v 3 P 2 r r0 R$U = R$S + wy, donde w es un número real. 1Es-1ta ecuación1 vect2orial3parametriza a la recta al variar w= Podemos escribir estosvectores en coordenadas; si las coordenadas del pRu$Unto=S({s>o|n) S ({0> |0) > entoncesR$S = ({0> |0), el vector R$U tiene componentes y las del vector y =(y1> y2) = Por tanto, la ecuación anterior se escribe ({> |) = ({0> |0) + w (y1> y2)Realizando las operaciones e igualando componentes se obtienen las ecuaciones { = {0 + wy1 | = |0 + wy2Pura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4 25 Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI

conocidas como ecuaciones paramétricas de la recta. Despejando w en ambas ecua-ciones e igualándolas: {  {0 |  |0 y1 y2 w = =se obtiene la ecuación cartesiana de la recta. Haciendo las operaciones y2 ({  {0) = y1 (|  |0) , D{ + E| + F = 0se obtiene la ecuación general de la recta, donde D = y2> E = y1 y F = y2{0 +y1|0=Finalmente, la ecuación explícita se obtiene de ésta, sin más que despejar la |> | = p{ + qcon p =  D > q =  F = E E Esto se traduce literalmente al caso de una recta en el espacio, ya que la ecuaciónvectorial de la recta es la misma, pero se ha de tener en cuenta que, ahora, los vectorestienen tres componentes. z r R$U = R$S + wy , Q ({> |> }) = ({0> |0> }0) + w (y1> y2> y3) , v { = {0 + wy1 < P @ , | = |0 + wy2 , r0 } = }0 + wy3 > {  {0 |  |0 }  }0 w = y1 = y2 = y3 , yx D1{ + E1| + F1} + G1 = 0 ) D2{ + E2| + F2} + G2 = 0Posición relativa de dos rectas La posición relativa de dos rectas se puede estudiar a partir del sistema formadopor sus ecuaciones generales. Veamos primero el caso de las rectas en el plano,donde hay dos ecuaciones y dos incógnitas. Si el sistema es incompatible (rg D = 1>rg D|E = 2) las dos rectas son paralelas. Si el sistema es compatible y determinado(rg D = 2) las rectas se cortan en un punto, que es la solución del sistema. Si elsistema es compatible pero indeterminado (rg D = rg D|E = 1) las dos rectas sesuperponen. En el caso de dos rectas en el espacio tendremos cuatro ecuaciones y tres in-cógnitas. Si el sistema es incompatible, las rectas también se cruzan sin cortarse sirg D = 3> rg D|E = 4; si el sistema es incompatible pero rg D = 2> entonces las dosrectas son paralelas. Si el sistema es compatible y determinado (rg D = rg D|E = 3)>las rectas se cortan en un punto, que es la solución del sistema. Si el sistema escompatible pero indeterminado (rg D = rg D|E = 2)> las dos rectas se superponen.Pura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4 26 Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI

Distancia de un punto a una recta Dada una recta u y un punto S ({0> |0) > exterior a ella, la distancia entre estepunto y la recta viene dada por P vl Q P0 vsiendo T ({> |) un punto cualquiera de la recta u= En el caso del plano R2 la distanciase calcula a partir del producto escalar del vector yz = (D> E) > perpendicular a larecta, y del vector T$S > el resultado se escribe ¯¯T$S · ¯ |D{s0 + E|0 + F| ¯ yz¯¯ D2 + E2 g (S> u) = = kyzk En el caso del espacio R3, la fórmula de la distancia se puede escribir en funcióndel vector director de la recta, y> utilizando el producto vectorial °°T$S × ° y° g (S> u) = ° kyk °siendo T un punto cualquiera de la recta u=2.5.2. Planos Tres puntos que no estén sobre la misma recta definen un plano. Para encontrarla ecuación del plano, consideremos un punto S ({0> |0> }0) del plano   D{ + E| +F} + G = 0> del que parte un vector Q = (D> E> F) perpendicular al plano, y unpunto cualquiera T ({> |> }) del espacio. El punto T pertenecerá al plano si y solo sise anula el producto escalar: Q · S$T = 0que, escribiéndolo en términos de las componentes de los vectores se lee: D ({  {0) + E (|  |0) + F (}  }0) = 0que da lugar a la ecuación general del plano: D{ + E| + F} + G = 0Posición relativa de dos planos Si tenemos dos planos en el espacio, de ecuaciones D1{ + E1| + F1} + G1 = 0 yD2{ + E2| + F2} + G2 = 0> se pueden estudiar sus posiciones relativas a partir delestudio de este sistema. Si el sistema es incompatible los planos son paralelos; si escompatible y el rango del sistema es 2 los planos se cortan en una recta dada porestas ecuaciones. Si es compatible pero de rango 1, los planos son el mismo.Pura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4 27 Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI

Posición relativa de una recta y un plano En este caso se tienen tres ecuaciones. Si el sistema es incompatible, la recta y elplano son paralelos (rg D = 2> rg D|E = 3). Si el sistema es compatible y determinado(rg D = rg D|E = 3)> la recta y el plano se cortan en un punto, que es la solucióndel sistema. Si el sistema es compatible pero indeterminado (rg D = rg D|E = 2) larecta y el plano se superponen.Distancia de un punto a un plano La distancia de un punto S ({0> |0> }0) exterior al plano  : D{+E| +F} +G = 0viene dada por la fórmula ¯¯T$S · Q ¯ |D{0s+ E|0 + F}0 + G| ¯ D2 + E2 + F2g (S> ) = ¯¯ = °°Q ° ° °°siendo T ({> |> }) un punto cualquiera del plano, y Q = (D> E> F) el vector perpen-dicular al plano =Distancia de una recta a un plano Considerando que la recta y el plano son paralelos, se coge un punto cualquierade la recta y se aplica la fórmula anterior.Ejercicio 2.13 Hallar un vector que sea perpendicular al plano determinado por lospuntos S (0> 1> 0) > T (1> 1> 2) y U (2> 1> 1) = Calcular también el área del triánguloS TU=Distancia entre dos rectas que se cruzan Cuando dos rectas, u1> u2> se cruzan su distancia se calcula a partir del productomixto, °°S$T · ($z × ° y)° g (u1> u2) = ° k$z × yk °donde S ({0> |0> }0) y T ({1> |1> }1) son puntos arbitrarios de las rectas u1 y u2; $zy y son los correspondientes vectores directores.Pura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4 28 Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI

TEMA 3 DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES3.1. VALORES Y VECTORES PROPIOS DE UNA MATRIZ.PROPIEDADES Consideraremos sólo matrices definidas en los números reales.Definición 11 Se dice que  es un valor propio de una matriz cuadrada D si <{ 5 Rq> { =6 0 @ D{ = {Los vectores { que satisfacen esta ecuación se conocen como vectores propios de Dasociados al valor propio = El conjunto de vectores propios asociados al mismo valorpropio genera un subespacio vectorial conocido como subespacio propio asociadoal valor propio = H= = n 5 Rq> { =6 0 @ o { D{ = {El conjunto de valores propios de D se denomina espectro de D=Definición 12 Dada un matriz D> de orden q> se llama polinomio característicode D al polinomio de grado q s() = |D  L| 3 3 2 0 4Ejemplo 3.1 Dada la matriz D = C 2 3 0 D. 0 05 Calcular sus valores y vectores propios, así como una base de cada uno de lossubespacios propios. ¯ 3 2 0 ¯ ¯ ¯Solución. det(D  L ) = ¯ 2 3 0 ¯ = (5  ) (  1) (  5) ¯ ¯ ¯ 0 0 5 ¯ ¯ ¯,  = 1> 5> 5 3 2 2 0 4 3 { 4 3 0 4 = 1 , (D  L){ = 0 , C 2 2 0 D C | D = C 0 D , 0 04 } 0 ½ 2{  2| = 0 ½ {=| 314 4} = 0 }=0, , , { = C 1 D , V=1 =? (1> 1> 0) A 0 29Pura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4 29 Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI

3 2 2 0 4 3 { 4 3 0 4 = 5 , (D  L){ = 0 , C 2 2 0 D C | D = C 0 D , 0 00 } 0 3 14 304, {2{  2| = 0 , {{ = | , { = C 1 D > { = C 0 D 01, V=5 =? (1> 1> 0)> (0> 0> 1) APropiedades Veremos algunas propiedades de los polinomios característicos 1. Teorema 5 (Cayley-Hamilton) Toda matriz D es raíz de su polinomio car- acterístico, es decir s(D) = 0 2. Si D es una raíz de s({)> es decir s(D) = 0> entonces también lo es de cualquier polinomio de la forma t({) = u({)s({)= 3. Si D y D0 son semejantes, es decir D0 = S 31DS , entonces s(D) y s(D0) también son matrices semejantes s(D0) = S 31s(D)S 4. Si s({) es el polinomio característico de la matriz D> se puede escribir como potencias de esta matriz: s(D) = (1)q Dq + === + d1D + d0L = 0 lo que permite despejar Dq en términos de un polinomio de grado (q  1).3.2. DIAGONALIZACIÓN DE MATRICESDefinición 13 Una matriz cuadrada D es diagonalizable si existe una matrizinvertible S tal que S 31DS es una matriz diagonal G. Se dice que la matriz Sdiagonaliza a D=Teorema 6 Una matriz (q × q) es diagonalizable si, y sólo si, tiene q vectorespropios linealmente independientes. La demostración de este teorema indica que la matriz S está formada por losvectores propios de D escritos en columna. La matriz S se conoce como matriz depaso. La matriz diagonal G = S 31DS es aquella que tiene los valores propios en ladiagonal. 3 3 2 0 4Ejemplo 3.2 Dada la matriz D = C 2 3 0 D = Calcular la matriz diagonal y 0 05la matriz de paso.Pura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4 30 Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI

Solución. La matriz de paso estará formada por los vectores propios encontra-dos en el ejemplo anterior, 31 1 0 43 1 1 04S =C 1 1 0 D , S 31 = C 0 D, 12  12 2 2 0 01 0 01 31 1 0 43 3 2 0 43 1 1 04 0 D C 2 3 0 DC 1 1 0 D=G = S 31DS =C 21  21 2 2 0 01 0 05 0 01 31 0 04=C 0 5 0 D 0053.3. ORTOGONALIDADDefinición 14 Se dice que una matriz T es ortogonal si T31 = TW =Definición 15 Se dice que una matriz D es diagonalizable ortogonalmente siexiste una matriz ortogonal T tal que la matriz T31DT es diagonal. La forma de encontrar esta matriz ortogonal es encontrando un conjunto devectores propios de D que sean ortogonales entre sí y además tengan modulo unidad.Estos vectores se llaman ortonormales. 3 3 2 0 4Ejemplo 3.3 Diagonalizar ortogonalmente la matriz D = C 2 3 0 D 0 05Solución. Ya sabemos que los vectores propios de esta matriz son: V=1 =? (1> 1> 0) A> V=5 =? (1> 1> 0)> (0> 0> 1) A = Vamos a comprobar si sonortogonales: (1> 1> 0) · (1> 1> 0) = 0 (1> 1> 0) · (0> 0> 1) = 0 (1> 1> 0) · (0> 0> 1) = 0= Por tanto buscaremos los vectores unitarios, dividiendo las componentes de cadavector por su módulo.( I1 > I1 > 0) < I1 I1 04 3 I1 I1 04 2 2 2 2 2 0 F, AAA@ 3 2( I1 > I31 > 0) ,T=E I1 I31 F , TW I1 I31 D 2 2 C 2 2 0 D =E 2 2 C (0> 0> 1) AA>A 0 01 0 01 3 I1 I1 0 43 3 2 0 43 I1 I1 04 2 2 2 2 I31 I31G = TW DT = E I1 2 I1 2 C 2 0 F 2 3 0 E 2 0 F= DC DC D 0 01 0 05 0 01Pura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4 31 Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI

31 0 04=C 0 5 0 D 005 34 2 24Ejercicio 3.1 Diagonaliza ortogonalmente la matriz D = C 2 4 2 D = 224 El interés de las matrices ortogonales es, entre otros, que representan giros enel espacio vectorial en el que están definidas. No obstante, hay que señalar que notodas las matrices admiten diagonalización ortogonal.3.3.1. Aplicación: transformaciones ortogonales en dimensión 2 y 3Consideraremos aquí las matrices ortogonales sobre espacios de dimensión 2 o 3.En el caso en el que el determinante de estas matrices sea +1 las matrices repre-sentan una rotación, si es 1 representan una simetría ortogonal, estudiaremos lasrotaciones.Consideremos una rotación en el plano i : R2 $ R2> la matriz asociada a estaaplicación i se escribe µ cos   sin  ¶ D= sin  cos donde 0     si se considera el giro positivo y     0 si el sentido de giro esnegativo. En cualquier otra base ortonormal con la misma orientación que {h1> h2},la matriz de i no cambia, sigue siendo la anterior.Ejemplo 3.4 Dada la transformación ortogonal i : R2 $ R2 con respecto de la µ cos   sin  ¶ sin  cos  =base ortonormal {h1> h2}> cuya matriz asociada es D = Obtenerlos vectores x, y 5 R2 tales que i (x) = x y i (y) = y= µ cos   sin  ¶µ x1 ¶µ x1 ¶ sin  cos  x2 = x2 ,Solución. u (x) = Dx = x , x1 cos   x2 sin  = x1 ¾ x1 (cos   1) = x2 sin  ¾ x1 sin  + x2 cos  = x2 , x2 (cos   1) = x1 sin  =Si (cos   1) = 0 ,  = 0 y cualquier vector cumple esta condición.Si  =6 0> dividiendo ambas ecuaciones , x1 =  x2 , x12 + x22 = 0= x2 x1 Luego, el único vector que permanece invariante bajo esta rotación es el vectornulo x = (0> 0) = µ cos   sin  ¶µ y1 ¶µ y1 ¶ sin  cos  y2 = y2 ,i (y) = Dy = y , y1 cos   y2 sin  = y1 ¾ y1 (cos  + 1) = y2 sin  ¾ y1 sin  + y2 cos  = y2 , y2 (cos  + 1) = y1 sin  =Pura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4 32 Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI

Si (cos  + 1) = 0 ,  =  y cualquier vector cumple esta condición.Si  6= > dividiendo ambas ecuaciones , y1 =  y2 , y12 + y22 = 0 y2 y1Luego, el único vector que cumple esta condición es el vector nulo y = (0> 0) = En el caso tridimensional, sea i : R3 $ R3> la matriz de i en una base ortonor-mal {h1> h2> h3} correspondiente a una rotación de ángulo  alrededor de la rectacuyo vector director es h1, se escribe 31 0 04 Di = C 0 cos   sin  D 0 sin  cos Pura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4 33 Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI

II CÁLCULO DIFERENCIALPura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4 34 Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI

TEMA 4FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL4.1. INTRODUCCIÓN. FUNCIONES DE UNA VARIABLEDefinición 16 Dados dos conjuntos de números reales, G y G0> una función i esuna regla que asigna a cada elemento de G un elemento de G0= Dado un elemento { de G> el elemento | de G0 que i asigna a { se conoce comoimagen de {> se suele leer | = i ({) > { 5 G> | 5 G0= Los números { e | se conocencomo variables, { es la variable independiente e | es la variable dependiente.4.1.1. Dominio e imagen de una función El conjunto G> donde está definida la función, se conoce como el dominio de lafunción i= El conjunto de los elementos de G0 que son imagen de algún elemento{ 5 G se conoce como conjunto imagen o recorrido de la función i=Ejemplo 4.1 La función i ({) = {2 asigna a cada número real su cuadrado, quesiempre es positivo, por lo que el dominio de la función son todos los números realesy su recorrido los reales positivos , dom (i ) = R> Im (i ) = [0> 4)=Ejemplo 4.2 i ({) = s tiene por dominio sólo aquellos números reales que {+2hacen que el radicando sea positivo, es decir, { + 2  0 , {  2> por tantodom (i ) = [2> 4)> mientras que sus imágenes siempre son positivas, por tantoIm (i ) = [0> 4)=A veces se necesita más de una regla para definir una función, por ejemplo ½ {2> {0 2{ + 1 {A0 i ({) =es una función definida a trozos. Su definición indica que el dominio son todos losnúmeros reales, pero el recorrido son los reales positivos.4.1.2. Gráficas de funciones de una variable Si i ({) es una función que tiene por dominio el conjunto G> la gráfica de i esel conjunto de los puntos del plano ({> |) tales que { 5 G e | = i ({) = En general,al dibujarlos se obtiene una curva. Las gráficas de las funciones anteriores sonPura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4 36 Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI 35

y 25 y 20 2.5 15 10 2 5 1.5 0 -5 -2.5 0 1 0.5 2.5 5 -1.25 0 1.25 2.5 3.75 5 x 0 x i ({) = {2 s i ({) = { + 2 8 6 4 2 -3 -2 -1 12 3 {2> ½ 2{ + 1 {0 {A0 i ({) = De la representación geométrica de una función surge la pregunta inversa. Dadauna curva en el plano, ¿cuándo es la gráfica de una función? Como a cada { deldominio de la función le corresponde una sóla imagen, se deduce que una rectavertical sólo puede cortar a la curva en un punto si la curva es la gráfica de unafunción, si la corta en más puntos ya no lo es. Una de las curvas siguientes es lagráfica de una función y la otra no, ¿cuál es cuál? y 2 5 1 2.5 -1 -2 0-2 -1 01 2 -2.5 x 1 23 4 -5 -7.5 Es interesante utilizar un programa de ordenador o una calculadora gráfica paradibujar las gráficas de funciones que aparecen en este tema y otros posteriores.4.1.3. Funciones elementales Los tipos básicos de funciones que utilizaremos a lo largo del curso serán fun-ciones polinómicas, racionales, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Estasfunciones se denominan funciones elementales. Las repasaremos brevemente.Funciones polinómicas Una función polinómica es aquella definida por un polinomio de grado q i ({) = d0 + d1{ + d2{2 + ==== + dq{qPura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4 36 Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI

donde los coeficientes d0> d1> d2> ===> dq son números reales. El dominio de una funciónpolinómica son todos los reales. Su recorrido depende del grado del polinomio y delvalor de los coeficientes.Funciones racionales Una función racional es el cociente de dos polinomios i ({) = S ({) T ({)Como la división por cero no está permitida, el dominio de una función racionalson todos los reales menos aquellos valores que anulen el denominador, es decir,dom (i ) = R  {raíces de T ({)}=Ejemplo 4.3 La función i ({) = 1 no está definida cuando {2  1 = 0 , {2  1{ = 1> 1= Luego dom (i ) = R  {1> 1}= Al dibujarla se obtienen dos asíntotasverticales en { = 1 y { = 1= 20 10 -2 -1 1 2 -10 -20 i ({) = 1 {231Funciones trigonométricas Para definir las funciones trigonométricas se ha de utilizar la circunferenciaunidad y la medida de los ángulos en radianes. Las funciones trigonométricas básicasson: seno, coseno, tangente y sus inversas respecto del producto: cosecante, secantey cotangente. Se recuerda que son funciones periódicas, es decir, se repiten cada vezque se da una vuelta entera a la circunferencia, por lo que se dice que tienen periodo2= Sus gráficas son: 11 0.5 0.5 -6 -4 -2 246 -6 -4 -2 246 -0.5 -0.5 -1 -1 i ({) = cos { i ({) = sen {Pura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4 37 Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI

30 20 10 -6 -4 -2 246 -10 -20 -30 i ({) = tan {y sus inversas: 15 15 10 10 55 -6 -4 -2 2 4 6 -6 -4 -2 246 -5 -5 -10 -10 -15 -15 i ({) = sec { = 1 i ({) = csc { = 1 cos { sen { 30 20 10 -6 -4 -2 246 -10 -20 -30 i ({) = cot { = 1 tan { Nótese que las funciones tangente y secante tienen asíntotas verticales en losvalores que anulan el coseno y las funciones cotangente y cosecante tienen asíntotasverticales en los valores que anulan el seno. Por tanto, el estudio de sus dominios y recorridos nos da:dom (cos {) = R> Im (cos {) = [1> 1]>dom (sen {) = R> Im (sen {) = [1> 1]>dom (tan {) = R  {± (2q+1) > q = 0> 1> 2> 3> ====}> Im (tan {) = R= 2 (2q+1)dom (sec {) = R  {± 2 > q = 0> 1> 2> 3> ====}> Im (sec {) = R=dom (csc {) = R  {±q> q = 0> 1> 2> 3> ====}> Im (csc {) = R=dom (cot {) = R  {±q> q = 0> 1> 2> 3> ====}> Im (cot {) = R=Funciones exponenciales La función exponencial es i ({) = h{> siendo h = 2= 718 3=== un número irracional.De su definición se observa que el dominio son todos los números reales, dom (i ) = R,pero que la imagen siempre es positiva, por lo que Im (i ) = (0> 4)= Su gráfica es:Pura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4 38 Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI

y 6.25 5 3.75 2.5 1.25 -2 -1 0 1 2 x i ({) = h{y las propiedades más importantes son las de las potencias:hd+e = hdheh3{ = 1 h{h{ A 0> { 5 RFunciones logarítmicas La función logarítmica es la inversa de la función exponencial. Utilizaremos sólologarítmos en base natural, es decir, tomando al número h como base log { = | / { = h|lo que nos indica que su dominio son sólo los números positivos, dom (i ) = (0> 4) >mientras que Im i = R= Su gráfica es: y0 0.5 1 x 0 1.5 2 -2.5 -5 -7.5 i ({) = log {Al deducir sus propiedades más importantes se observa que es una función quetransforma multiplicaciones y divisiones en sumas y restas:log (de) = log d + log elog d = log d  log e elog (d)e = e log dPura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4 39 Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI

4.1.4. Álgebra de funciones A menudo, las funciones que estudiaremos serán combinaciones de las funcionesanteriores. Las combinaciones algebraicas son la suma, diferencia, producto y co-ciente. Dadas dos funciones reales de variable real i y j> estas combinaciones sedefinen como: suma: [i + j] ({) = i ({) + j ({) diferencia: [i  j] ({) = i ({)  j ({) producto: [i · j] ({) = i ({) · j ({) ·i ¸ i ({) j j ({) cociente: ({) = = De estas definiciones se observa que el dominio es la intersección de los dominios, ies decir, el dominio de i + j> i  j> i · j y j es dom (i ) _ dom (j) = La definición dei exige además que j ({) 6= 0=jEjemplo 4.4 Estudia los dominios de las funciones siguientes: i ({) = sen { > i ({) = h{ + s + 1> i ({) = { log ({  1) {+1 { Solución. Los dominios y gráficas de las funciones son: 1.5 1 0.5 -7.5 -5 -2.5 2.5 5 -0.5 -1 i ({) = sen { {+1 ¯ dom sen ({) = R < ¯ @ ¯ dom{ 1 = R  {1} , dom i = R  {1} ¯ +1 ¯ > ¯ asíntota vertical en { = 1 8 6 4 2 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 Pura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4 40 Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI

i ({) = h{ + s + 1 { ¯ dom sh{ = R ¾ ¯ dom { + 1 = [1> 4) , dom i = [1> 4) ¯ ¯321 1.5 2 2.5 3-1-2 i ({) = { log ({  1) ¯ dom { = R ¾ ¯ , dom i = (1> 4) ¯ dom (log({  1)) = (1> 4) ¯ asíntota vertical en { = 1 composición de funiones: otra forma de combinar dos funciones es com- ponerlas, es decir, a un número { le hacemos corresponder un número j ({) y a j ({) le hacemos corresponder el número i (j ({)) > por lo que podemos decir que al número { le hacemos corresponder el número i (j ({)) = Esta nueva fun- ción se conoce como composición de i y j : [i  j] ({) = i (j ({)) = El dominio depende de la función que se obtiene.Ejemplo 4.5 Sean i ({) = {2 y j ({) = { + 3> estudia [i  j] y [j  i ]Solución. [i  j] ({) = i (j ({)) = i ({ + 3) = ({ + 3)2 > dom [i  j] = R=[j  i ] ({) = j (i ({)) = j ¡{2¢ = {2 + 3> dom [j  i ] = R=Ejemplo 4.6 Sean s y j ({) = 2{2 + 1> estudia [i  j] y [j  i ] i ({) = {  1s Solución. [i  j] ({) = i (j ({)) = i ¡2{2 + 1¢ = s = s = 2{2 + 1  1 2{22{>dom [i  j] = R= ({)) = j ¡s{  1¢ = 2 ¡s{  1¢2 + 1 = 2 ({  1) + 1 = 2{  1>[j  i ] ({) = j (idom [j  i ] = R4.1.5. Límite de una función en un punto Los límites no sólo son importantes en el cálculo, sino que sin límites el cálculono existiría. Cualquier noción de cálculo es un límite en uno u otro sentido. Dada una función i definida cerca de un número {0 (aunque no necesariamenteen {0)> decimos que O es el límite de i ({) cuando { se acerca a {0 ({ tiende a {0)>y lo denotamos como l´ım i ({) = O> {<{0si, y sólo si, los valores de i ({) se aproximan (tienden) a O a medida que los valoresde { se acercan (tienden) a {0=Pura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4 41 Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI

Ejemplo 4.7 l´ım ¡{2  { + 1¢ = 12  1 + 1 = 1 {<1Eesjteámenplcoua4l.q8uiSereavailo({r )ce=rc{a{2noa39 > aunque i ({) no está definida en { = 3> sí que lo 3, entonces:l´ım i ({) = l´ım ({ + 3) ({  3) = l´ım ({ + 3) = 6= {3{<3 {<3 {<3 Los números cercanos a {0 se dividen en dos clases, los que están a la izquierday los que están a la derecha, se definen los límites laterales como: l´ım i ({), límite por la izquierda, indicando que { se acerca a {0 con valoresmen{o<re{s03 que {0; y l´ım i ({), límite por la derecha, indicando que { se acerca a {0 con valoresmay{o<re{s0+ que {0=Corolario 4 l´ım i ({) = O si, y sólo si, los límites laterales coinciden y valen O> {<{0es decir, l´ım i ({) = l´ım i ({) = O {<{30 {<{+0La definición precisa de estos conceptos es:Definición 17 Sea i una función definida al menos en un intervalo de la forma({0  s> {0 + s) > con s A 0= Entonces l´ım i ({) = O {<{0si, y sólo si, para cada % A 0 existe un  A 0 tal que si |{  {0| ? , entonces|i ({)  O| ? %=Por ejemplo, se observa que la función a trozos definida anteriormente ½ {2> {0 2{ + 1 {A0 i ({) =no tiene límite en 0 ya que los límites laterales no coinciden:l´ım i ({) = l´ım {2 = 0,{<03 {<0l´ım i ({) = l´ım (2{ + 1) = 2 · 0 + 1 = 1={<0+ {<0El cálculo de límites nos permite dibujar las asíntotas verticales de una función.Por ejemplo, al dibujar la función i l(í{m)i=tes{d213e1lasefuonbcseiórnvaebnanesdtooss asíntotas verticalesen { = 1 y { = 1= Al calcular los puntos se obtiene: l´ım 1 1 = 1 = 4> l´ım 1 1 = 1 = 4> {2  0 {2  0 {<1 {<31estos límites no existen pero se suelen denotar como 4> lo que indica que la funciónse acerca a 4= Al calcular los límites laterales vemos el signo de este infinito: l´ım 1 1 = 4> l´ım 1 1 = 4> l´ım 1 1 = 4> l´ım 1 1 = 4 {2  {2  {2  {2 {<13 {<1+ {<313 {<31+lo que concuerda con la gráfica obtenida. (figura ??)Algunos resultados importantes sobre límites son:Pura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4 42 Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI

Teorema 7 El límite de una función en un punto, si existe, es único.Teorema 8 Si l´ım i ({) = O y l´ım j ({) = P entonces: {<{0 {<{01. l´ım [i ({) + j ({)] = O + P= {<{02. l´ım [d · i ({)] = dO> siendo d un número real cualquiera. {<{03. l´ım [i ({) j ({)] = OP= {<{04. l´ım · i ({) ¸ = O > si P 6= 0= {<{0 j ({) PComo se ha comentado, la noción de límite permite obtener las definiciones delcálculo. Si tenemos uns función i ({) definida en un intervalo L, una recta secantea ella es una recta que la corta en dos puntos; supongamos que la corta en lospuntos ({> i ({)) y ({0> i ({0)) > la pendiente de la recta secante viene dada porpsec = i a({l{)are{ic0(t{a0t)a= nSgi ehnatceem(aoqsuqelulae { se aproxime a {0 entonces la secante seaproxima que toca a la curva en un único punto), portanto, la pendiente de la recta tangente es: pwj = l´ım i ({)  i ({0) {  {0 {<{0si existe este límite.Ejemplo 4.9 Calcular la recta tangente a la curva i ({) = {2 + 4 en el punto{ = 1= Solución. Si { = 1 la recta tangente pasa por el punto ({0> i ({0)) = (1> 5);su pendiente se calcula como el límite y p = l´ım {2 + 4  5 = l´ım {2  1 = 12.5 {+1 {+1 {<31 {<31 10 ({ + 1) ({  1) = l´ım {+1 = 7.5 {<31 5 = l´ım ({  1) = 2> 2.5 0 {<31 -2.5 -1.25 0 1.25 2.5 recta tangente: |  5 = 2 ({ + 1) -2.5 x4.1.6. Continuidad Mientras que para calcular el límite de una función en un punto no es necesarioque la función esté definida en dicho punto para estudiar la continuidad de unafunción en un punto sí que es necesario que esté definida en ese punto.Definición 18 Sea i una función definida en un intervalo abierto ({0  k> {0 + k) >k A 0= Decimos que i es continua en {0 si y solo si l´ım i ({) = i ({0) {<{0Pura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4 43 Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI

Si i no es continua en un punto es discontinua en ese punto. Hay tres tipos dediscontinuidad:discontinuidad evitable. Si existe l´ım i ({) pero es distinto de i ({0) = {<{0discontinuidad de salto. No existe l´ım i ({), es decir, los límites por la {<{0derecha e izquierda no coinciden, pero son números reales.discontinuidad infinita. No existe l´ım i ({), y alguno de los límites laterales {<{0es infinito. 23 2.51.5 2 1 1.5 10.5 0.5 123 4 -1.5 -1 -0.5 0.5 1Discontinuidad evitable Discontinuidad de salto 4 3 2 1 -1 12 3 -1 -2 Discontinuidad infinita Si i es continua en todos los puntos de un intervalo, se dice que es continua enese intervalo. Intuitivamente, i es continua si se puede dibujar sin huecos ni saltos.Definición 19 Se dice que una función i ({) está acotada superiormente por unnúmero V si, y sólo si, i ({)  V para todo { del dominio de la función. Se dice queuna función i ({) está acotada inferiormente por un número v si, y sólo si, i ({)  vpara todo { del dominio de la función. Se dice que una función i ({) está acotadasi está acotada inferior y superiormente.Hay dos propiedades fundamentales de las funciones continuas:Teorema 9 (del valor intermedio) Si i es continua en un intervalo [d> e] > y n esun número entre i (d) y i (e) > existe al menos un número f 5 [d> e] tal que i (f) = n=Teorema 10 (de los valores extremos) Si i es continua en un intervalo [d> e] =Entonces:1. i está acotada en [d> e] =2. i alcanza un valor máximo P y un valor mínimo p en [d> e] =4.2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLESPura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4 44 Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI

1. i está acotada en [d> e] =2. i alcanza un valor máximo P y un valor mínimo p en [d> e] =4.2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Trabajaremos con funciones definidas en el plano y en el espacio y veremoscómo ampliar lo estudiado para funciones de una variable a funciones de dos y tresvariables. Empezaremos con funciones escalares. Si G es un conjunto no vacío del plano R2> una regla i que asigna un númeroreal i ({> |) a cada punto ({> |) de G se llama función real de dos variables. Al igualque en el caso de funciones de una variable, el conjunto G se conoce como dominiode i y el conjunto de los valores reales i ({> |) se conoce como imagen de i=Ejemplo 4.10 Sea G = {({> |) |{2 + |2  1}> el disco unidad. A cada punto de G le asignamos el número i ({> |) = p1  ({2 + |2)> Im i = [0> 1] = De forma análoga, si G es un conjunto no vacío del espacio R3, una regla i queasigna un número real i ({> |> }) a cada punto ({> |> }) de G se llama función realde tres variables. El conjunto G se conoce como dominio de i y el conjunto de losvalores reales i ({> |> }) se conoce como imagen de i=Ejemplo 4.11 Sea G = {({> |> }) |{2 + |2 + }2  1}> la esfera unidad. A cada punto de G le asignamos el número i ({> |> }) = p1  ({2 + |2 + }2)>Im i = [0> 1] = Las funciones de varias variables son esenciales en muchos problemas importantesde la ciencia, la ingeniería, la economía, etc., además de surgir de forma natural enmatemáticas. De hecho, la mayor parte de los problemas reales implican funcionesde varias variables:i ({> |) = p{2 + |2> distancia del punto ({> |) al origen.i ({> |) = {|> área del rectángulo de dimensiones { e |=i ({> |) = 2 ({ + |) > perímetro del rectángulo de dimensiones { e |=i ({> |> }) = p{2 + |2 + }2> distancia del punto ({> |> }) al origen.i ({> |> }) = {|}> volumen del paralelepípedo rectangular de dimensiones {, |,}=i ({> |> }) = 2 ({| + {} + |}) > superficie del paralelepípedo rectangular de di-mensiones {, |, }= El cálculo del dominio y la imagen de funciones de dos y tres variables puede serbastante complicado. No se suelen dar de forma explícita, se sobreentiende que es elconjunto de puntos en los cuales tiene sentido la definición de la función, se ha detener en cuenta las reglas ya conocidas para funciones de una variable.Ejemplo 4.12 El dominio de la función i ({> |) = 1 es todo el plano {| menos {|los puntos donde se anula el denominador, { = |> es decir, menos la recta | = {>dom (i ) = R2  {({> |) 5 R2> { = |}=Al igual que antes, se dice que una función está acotada si su imagen está acotada.4.2.1. Gráficas de funciones de dos variables. Curvas de nivelPura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4 45 Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI

los puntos donde se anula el denominador, { = |> es decir, menos la recta | = {>dom (i ) = R2  {({> |) 5 R2> { = |}= Al igual que antes, se dice que una función está acotada si su imagen está acotada.4.2.1. Gráficas de funciones de dos variables. Curvas de nivelDada un función de dos variables i ({> |) definida en un subconjunto G del plano{|> entendemos por gráfica de i a la gráfica de la ecuación } = i ({> |) = Por ejemplo,la gráfica de la función } = i ({> |) = {2 + |2, cuyo dominio es todo el plano, es unparaboloide: 2 -2 0 0 2 -2 8 6 4 2 0 } = i ({> |) = {2 + |2 En la práctica, una función de dos variables es difícil de dibujar y, a menudo,difícil de interpretar aunque consiga trazarse. Veremos, no obstante, un método quese utiliza para elaborar mapas. Para representar terrenos montañosos se dibujan cur-vas que unen los puntos de la misma altura. Una colección de tales curvas, rotuladasapropiadamente, da una buena idea de como varía la altitud de una región. Se puede hacer lo mismo para representar funciones de dos variables, es de-cir, dada una función i ({> |) dibujaremos las curvas para valores de } constante,i ({> |) = f; a estas curvas se le conocen como curvas de nivel de la función i= Cadauna de estas curvas está en el plano } = f> por lo que después se proyectan todas enel plano {|, tal y como se ve en la figura: 2 -2 0 -2 0 2 8 3 6 2 4 1 2 -3 -2 -1 123 0 -1 -2 -3Un ejemplo más complicado es la representación del ‹ ‹sombrero››,Pura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4 46 Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI

4 10 2 0 0 -2 -4 --1100 00 -10 1100 i ({> |) = sin p{2 + |2 104 10 5 5 102 0 -10 -5 0-2 -5-4 -10 0 -10 -10 10 curvas de nivel Curvas de nivel en el plano {| No obstante, se recomienda la utilización de los programas de ordenador paradibujar las superficies.4.2.2. Funciones de tres variables. Superficies de nivel Las funciones de tres variable, Y = i ({> |> }) > no se pueden dibujar, ya quese necesita un espacio de cuatro dimensiones. No obstante, se puede estudiar elcomportamiento de estas funciones y también dibujar las superficies de nivel, es deciraquellas superficies para las que la función toma un valor constante> i ({> |> }) = f. Eldibujo de estas superficies es, en general, difícil; veremos algunos ejemplos sencillos.Ejemplo 4.13 Para la función i ({> |> }) = D{ + E| + F} las superficies de nivelson los planos D{ + E| + F} = fPura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4 47 Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI

Superficies de nivel 2{ + | + } = fEjemplo 4.14 Para la función i ({> |> }) = p{2 + |2 + }2> la superficies de nivelson las ésferas concéntricas {2 + |2 + }2 = f2Superficies de nivel {2 + |2 + }2 = f2> para } A 0=Pura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4 48 Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI

TEMA 5CÁLCULO DIFERENCIAL5.1. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICADefinición 20 Sea | = i ({) una función. Si existe el límite y es finito i 0 ({0) = g| ¯ = l´ım i ({0 + k)  i ({0) ¯ k k<0 g{ ¯ ¯{={0se conoce como la derivada de la función en el punto {0. Del tema anterior se observa que coincide con la pendiente de la recta tangentea la función en el punto { = {0= Por tanto, la ecuación de la recta tangente a unafunción en un punto { = {0 se escribe |  i ({0) = i 0 ({0) ({  {0)En general, la derivada de una función es: i0 ({) = g| = l´ım i ({ + k)  i ({) g{ k k<0Recordemos las derivadas de las funciones elementales:La derivada de una constante es cero.Si i ({) = {q entonces i 0 ({) = q{q31> siendo q un número real no nulo.Si i ({) = sen { entonces i 0 ({) = cos {=Si i ({) = cos { entonces i 0 ({) =  sen {=Si i ({) = tan { entonces i0 ({) = 1 cos2 {Si i ({) = h{ entonces i 0 ({) = h{=Si i ({) = log { entonces i0 ({) = 1 = {Veamos qué sucede al combinar estas funciones.Pura Vindel - ISBN: 978-84-692-3983-4 50 Fundamentos matemáticos de la ingeniería - UJI 49