ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ 49 3. จงหาคา่ ของ cos2 20° + cos2 40° + cos2 60° + … + cos2 160° 4. ขอ้ ใดตอ่ ไปนถี้ กู ตอ้ ง [PAT 1 (ต.ค. 55)/9] 1. cos 75° = (2 − √3) cos 15° 2. cos 10° + sin 40° = cos 20° 3. ถา้ ������ เป็นจานวนจรงิ ใดๆแลว้ tan 3������ = cos 2������+cos 4������ cot ������ cos 2������−cos 4������ 4. ถา้ ������ และ ������ เป็นจานวนจรงิ ใดๆแลว้ sin 2������ + cos 2������ = 2 sin(������ − ������) cos(������ + ������)
50 ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ 5. จงหาคา่ ของ 2 sin2 60° (tan 5° + tan 85°) − 12 sin 70° [PAT 1 (ม.ี ค. 55)/28] 6. sin 25° sin 85° sin 35° ตรงกบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ [PAT 1 (พ.ย. 57)/6] sin 75° 1. tan 15° 2. sin 15° sin 75° 3. cos 20° cos 40° cos 80° 4. sec 420°
ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ 51 7. กาหนดให้ ������ เป็นจานวนจรงิ ใดๆ ขอ้ ใดตอ่ ไปนีถ้ กู ตอ้ งบา้ ง [PAT 1 (มี.ค. 57)/11] 1. 16 sin3 ������ cos2 ������ = 2 sin ������ + sin 3������ − sin 5������ 2. sin 3������ = (sin 2������ + sin ������)(2 cos ������ − 1) 8. กาหนดให้ 8 cos(2������) + 8 sec(2������) = 65 เมื่อ 0 < ������ < 90° คา่ ของ 160 sin(������) sin(5������) เทา่ กบั เทา่ ใด 22 [PAT 1 (พ.ย. 57)/40]
52 ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ 9. คา่ ของ arctan (2 cos 10°−cos50°) เทา่ กบั กี่องศา [PAT 1 (ม.ี ค. 58)/8] sin 70°−cos 80° 10. จงหาคา่ ของ (cos2 70° + cos2 20°)(cos2 50° + cos2 10°) − sin 40° sin 80° 11. ถา้ ������ และ ������ เป็นจานวนจรงิ โดยที่ 0 < ������ < ������ < 90° และสอดคลอ้ งกบั สมการ tan(������ + ������) = 5 tan(������ − ������) แลว้ (sin 2������)(cosec 2������) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 58)/14]
ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ 53 12. จงหาคา่ ของ cos 72° + cos 144° 13. พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้ ขอ้ ใดตอ่ ไปนถี้ กู ตอ้ งบา้ ง [PAT 1 (ต.ค. 55)/8] 1. cos ������ + cos 3������ + cos ������ = 1 55 2 2. tan 7������ − tan 3������ = cosec ������ 16 8 8 14. จงหาคา่ ของ tan 20°+4sin 20° [PAT 1 (ธ.ค. 54)/31] sin 20° sin 40° sin 80°
54 ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ 15. คา่ ของ cos 36°−cos72° เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ม.ี ค. 53)/30] sin 36° tan 18°+cos 36° 16. คา่ ของ 44 44 เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ก.ค. 53)/29] cosn sinn n 1 − n 1 44 44 sinn cosn n1 n1
ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ 55 สมการตรโี กณมติ ิ # สมการตรโี กณมติ ิ คือ สมการทมี่ ฟี ังกช์ นั ตรโี กณมติ อิ ยใู่ นสมการ โดยปกติแลว้ สมการตรโี กณมิติ มกั จะมี “หลายคาตอบ” เน่ืองจาก sin (และ cosec) ใชค้ า่ จากแกน Y คี่������ − ������ ค���ู่ ��� + ������ ดงั นนั้ “มมุ สะทอ้ นแกน Y” จะมคี า่ sin เทา่ กนั เสมอ ������ เช่น sin 30° = sin 150° เป็นตน้ จากรูป สตู รหามมุ สะทอ้ นแกน Y ของ ������ คอื ค���ู่ ��� + ������ และ ค่ี������ − ������ cos (และ sec) ใชค้ า่ จากแกน X 2������������ + ������ ดงั นนั้ “มมุ สะทอ้ นแกน X” จะมคี า่ cos เทา่ กนั เสมอ ������ เชน่ cos 30° = cos(−30°) เป็นตน้ จากรูป สตู รหามมุ สะทอ้ นแกน X ของ ������ คอื 2������������ + ������ และ 2������������ − ������ 2������������ − ������ tan (และ cot) ใชค้ า่ จากแกน Y หาร แกน X ค���ู่ ��� + ������ ดงั นนั้ “มมุ สะทอ้ น 2 แกน” จะมคี า่ tan เทา่ กนั เสมอ เช่น tan 30° = tan 210° เป็นตน้ ������ จากรูป สตู รหามมุ สะทอ้ น 2 แกนของ ������ และ ������������ + ������ ������ ค่ี������ + ������ หมายเหต:ุ cosec คดิ เหมอื น sin , sec คิดเหมือน cos , cot คิดเหมือน tan ในการแกส้ มการตรโี กณ เราจะหา “คาตอบพนื้ ฐาน” ทตี่ วั เลขนอ้ ยๆ ออกมากอ่ น sin , tan , cosec → คาตอบพนื้ ฐานจะอยใู่ นช่วง −90° ถึง 90° cos , cot , sec → คาตอบพนื้ ฐานจะอยใู่ นชว่ ง 0° ถึง 180° จากนนั้ เราจะนาคาตอบพนื้ ฐานท่ีได้ มาสะทอ้ นหาคาตอบท่เี หลอื ในชว่ งมมุ ท่โี จทยต์ อ้ งการ ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ������ ∈ [0 , 2������] จงแกส้ มการ cos ������ = − √3 2 วธิ ีทา หา ������ เลขนอ้ ยๆซกั ตวั ทีท่ าให้ cos ������ = − √3 จะได้ ������ = 150° 2 จากนนั้ เราจะสะทอ้ นมมุ 150° เพ่ือหาคาตอบทเ่ี หลอื สมการ cos ตอ้ งสะทอ้ นแกน X โดยเอาเฉพาะชว่ ง [0 , 2������] จากรูป จะไดค้ าตอบคือ 150° และ 210° ในกรณีท่ีโจทย์ ไมร่ ะบชุ ว่ งคาตอบทตี่ อ้ งการ เรานิยมใชส้ ตู รสะทอ้ น ������ ดงั นี้ sin , cosec → มมุ สะทอ้ นแกน Y ของ ������ = ������������ + (−1)������������ เมอ่ื ������ เป็นจานวน cos , sec → มมุ สะทอ้ นแกน X ของ ������ = 2������������ ± ������ เตม็ อะไรก็ได้ tan , cot → มมุ สะทอ้ น 2 แกน ของ ������ = ������������ + ������
56 ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ ตวั อยา่ ง จงแกส้ มการ sin ������ = 1 2 วิธีทา หา ������ เลขนอ้ ยๆ ทท่ี าให้ sin ������ = 1 จะได้ ������ = 30° = ������ 26 สมการ sin ตอ้ งหามมุ สะทอ้ นแกน Y ของ ������ 6 จะไดค้ าตอบ คือ ������ = ������������ + (−1)������ (������) # 6 # ตวั อยา่ ง จงแกส้ มการ sin ������ + cos ������ = 1 เม่อื ������ ∈ [0, 2������] วิธีทา ใชส้ ตู รผลบวกผลตา่ งมมุ จดั รูป sin ������ + cos ������ ใหง้ า่ ยขนึ้ ไดด้ งั นี้ sin ������ + cos ������ =1 (√22) sin ������ + (√22) cos ������ = √2 2 cos 45° sin ������ + sin 45° cos ������ = √2 2 sin(������ + 45°) = √2 2 สมการ sin ������ = √2 จะมีคาตอบพนื้ ฐานคอื ������ = 45° ดงั นนั้ คาตอบท่วั ไป คอื ������������ + (−1)������(45°) 2 ดงั นนั้ ������ + 45° = ������������ + (−1)������(45°) จะได้ ������ = ������������ + (−1)������(45°) − 45° แทน ������ = … , −3 , −2 , −1 , 0 , 1 , 2 , 3 , … แลว้ เลอื กตอบเฉพาะ ������ ∈ [0, 2������] ������ = −1: ������ = −180° − 45° − 45° = −270° ใชไ้ มไ่ ด้ ������ = 0 : ������ = 0° + 45° − 45° = 0° ใชไ้ ด้ ������ = 1 : ������ = 180° − 45° − 45° = 90° ใชไ้ ด้ ������ = 2 : ������ = 360° + 45° − 45° = 360° ใชไ้ ด้ ������ = 3 : ������ = 540° − 45° − 45° = 450° ใชไ้ มไ่ ด้ ดงั นนั้ จะไดค้ าตอบคือ ������ = 0°, 90°, 360° เทคนิคทกุ อยา่ งจากเรอ่ื งสมการ สามารถนามาใชก้ บั การแกส้ มการตรโี กณมิติไดท้ งั้ หมด ไมว่ า่ จะเป็นเทคนิคการแยกตวั ประกอบแลว้ จบั แตล่ ะวงเลบ็ = 0 หรอื เทคนคิ การเปลย่ี นตวั แปร เช่น sin2 ������ + sin ������ − 2 → ������2 + ������ − 2 (ถา้ จะให้ ������ = sin ������ หรอื cos ������ ตอ้ งตดั คาตอบ ใหเ้ หลอื เฉพาะ −1 ≤ ������ ≤ 1 เทา่ นนั้ ) ตวั อยา่ ง จงแกส้ มการ cos 2������ = cos ������ วิธีทา ขอ้ นี้ ทาไดห้ ลายวธิ ี วิธีแรกคือ กระจาย cos 2������ แลว้ แยกตวั ประกอบ cos 2������ = cos ������ 2 cos2 ������ − 1 = cos ������ 2 cos2 ������ − cos ������ − 1 =0 =0 (2 cos ������ + 1)(cos ������ − 1) cos ������ = − 1 cos ������ = 1 2 ������ = 2������������ ± 0 = 2������������ ������ = 2������������ ± 2������ 3
ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ 57 อกี วธิ ี อาศยั หลกั วา่ cos 2������ กบั cos ������ จะเทา่ กนั ได้ เมือ่ 2������ และ ������ เป็นมมุ สะทอ้ นแกน X ซงึ่ กนั และกนั น่นั คอื 2������ = 2������������ ± ������ 2������ = 2������������ + ������ 2������ = 2������������ − ������ ������ = 2������������ 3������ = 2������������ ������ = 2������������ 3 โดยทงั้ สองวิธี เม่อื แจงคาตอบออกมา จะไดค้ าตอบชดุ เดยี วกนั # แบบฝึกหดั 1. กาหนดให้ ������ ∈ [0 , 2������] จงแกส้ มการตอ่ ไปนี้ 1. sin ������ = 1 2. cos ������ = 1 2 2 3. tan ������ = 1 4. cot ������ = −√3 2. จงแกส้ มการตอ่ ไปนี้ 2. sec ������ = −2 1. cosec ������ = √2 3. tan ������ = √3 4. sin ������ = − 1 5. sin 2������ = cos ������ 2
58 ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ 2. sin2 ������ + cos ������ + 1 = 0 3. กาหนดให้ ������ ∈ [0 , 32������] จงแกส้ มการตอ่ ไปนี้ 1. 4 sin2 ������ = 1 3. cos 3������ = cos ������ 4. กาหนดให้ sin ������ − sin 2������ + sin 3������ = 0 โดยที่ 0 < ������ < ������ 2 แลว้ tan ������ − tan 2������ + tan 3������ จะมีคา่ เทา่ ใด
ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ 59 5. พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้ เม่ือเอกภพสมั พทั ธ์ คอื เซตของจานวนจรงิ ขอ้ ใดถกู ตอ้ งบา้ ง 1. ∃������(cot 2������ − cot ������ = 0) 2. ∀������ (sin4 ������ + cos4 ������ = 1 − 1 sin2 2������) 2 6. สาหรบั 0 ≤ ������ ≤ 2������ กาหนดให้ ������ = { ������ | −3 cos ������ = 2 sin2 ������ และ cos ������ < 0 } และ ������ = { sec 3������ − cos 2������ | ������ ∈ ������ } จงหาคา่ ของผลบวกของสมาชิกทงั้ หมดทอ่ี ยใู่ น ������ 7. กาหนดให้ sin ������ − sin 2������ + sin 3������ = 0 โดยท่ี 0 < ������ < ������ 2 tan ������−tan 2������ sin 3������+sin 4������+sin 5������ cos ������−cos 2������ cos 3������+cos 4������+cos 5������ =ถา้ และ������ ������ = แลว้ คา่ ของ ������4 + ������4 เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ม.ี ค. 57)/36]
60 ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ 8. กาหนดให้ 180° < ������ < 270° ถา้ 3(2)sin ������ (4)cos2 ������ = 2(3)sin ������ แลว้ จงหาคา่ ของ 3 tan2 ������ − 2 sin 3������ [PAT 1 (ธ.ค. 54)/8] 9 9. ให้ ������ เป็นเซตคาตอบของ cos ������ = cos (������) จานวนสมาชกิ ในเซต ������ ∩ (0, 24������) เทา่ กบั เทา่ ใด 4 [PAT 1 (มี.ค. 54)/33]
ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ 61 10. กาหนดให้ ������ เป็นจานวนจรงิ และสอดคลอ้ งกบั สมการ 5(sin ������ + cos ������) + 2 sin ������ cos ������ = 0.04 คา่ ของ 125(sin3 ������ + cos3 ������) + 75 sin ������ cos ������ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 53)/33] 11. จงแกส้ มการ 4 sin ������ + 12 sin 3������ + 36 sin 9������ = 27 − 1 1+2 cos 2������ 1+2 cos 6������ 1+2 cos 18������ sin 27������
62 ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ ฟังกช์ นั อารค์ หวั ขอ้ นี้ จะเรยี นเก่ยี วกบั “อินเวอรส์ ” ของฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ ซง่ึ จะหมายถงึ ฟังกช์ นั ทใี่ หผ้ ลลพั ธก์ ลบั กนั กบั ฟังกช์ นั ปกติ เนือ่ งจาก sin, cos, tan จะเปลย่ี น “มมุ เป็นคา่ ” เช่น sin 30° = 1 sin 2 30° 1 ดงั นนั้ อนิ เวอรส์ จะเปลย่ี นกลบั จาก 1 เป็น 30° ดงั รูป 2 2 sin−1 เนื่องจากฟังกช์ นั ตรโี กณ เป็นแบบ many to one (เชน่ sin 30° กบั sin 150° ได้ 1 เทา่ กนั ) 2 ดงั นนั้ อนิ เวอรส์ จะมีผลลพั ธไ์ ดห้ ลายคา่ และจะไมใ่ ช่ฟังกช์ นั (เช่น sin−1 จะโยง 1 ไปที่ 30°, 150°, 390°, … เป็นตน้ ) 2 อยา่ งไรกต็ าม นกั คณิตศาสตรต์ อ้ งการอินเวอรส์ ท่ีไมก่ ากวม จงึ กาหนด “ฟังกช์ นั arc” ขนึ้ มา โดยถา้ อยากไดอ้ นิ เวอรส์ ของฟังกช์ นั ไหน เราจะเตมิ arc เขา้ ไปขา้ งหนา้ เชน่ arcsin , arccos , arctan เป็นตน้ หลกั ท่วั ๆไปในการหาอินเวอรส์ ดว้ ยฟังกช์ นั arc คอื ใหต้ อบมมุ ท่ี “เลขนอ้ ยทส่ี ดุ ” แคม่ มุ เดียว เชน่ sin 30° = sin 150° = 1 แตถ่ า้ ถาม arcsin 1 ใหต้ อบ 30° มมุ เดยี ว 2 2 sin (−30°) = sin 210° = − 1 แตถ่ า้ ถาม arcsin (− 1) ใหต้ อบ −30° มมุ เดียว เป็นตน้ 22 ดงั นนั้ arcsin √3 = 60° , 120° arccos √3 = 30° , 330° 2 2 arcsin(− √3) = −60° , 240° , 300° arctan(−1) = −45° , 135° , 315° 2 arccot √3 = 30° , 210° arcsec(−2) = 120°, 240° โดยเราจะตอ้ งจาวา่ arcsin , arctan , arccosec จะไดม้ มุ ในชว่ ง −90° ถงึ 90° arccos , arccot , arcsec จะไดม้ มุ ในชว่ ง 0° ถึง 180° หรอื ถา้ ตอบในหนว่ ยเรเดยี น เราจะสรุปโดเมน กบั เรนจ์ ของฟังกช์ นั อารค์ ไดด้ งั นี้ กลมุ่ −90° ถึง 90° กลมุ่ 0° ถึง 180° โดเมน เรนจ์ โดเมน เรนจ์ arcsin [−1, 1] [− ������ , ������] arccos [−1, 1] [0, ������] arctan R arccosec 22 arccot R (0, ������) (−∞,−1] ∪ [1, ∞) arcsec (−∞,−1] ∪ [1, ∞) [ 0, ������ ) ∪ ( ������ , ������ ] (− ������ , ������) 22 22 [− ������ , 0) ∪ (0, ������ ] 22 เนือ่ งจากฟังกช์ นั อารค์ เป็นการแปลงยอ้ นกลบั ดงั นนั้ arcsin(sin ������) = ������ และ sin(arcsin ������) = ������ แตต่ อ้ งอยา่ ลมื วา่ ประโยคดงั กลา่ ว จะเป็นจรงิ เฉพาะเม่อื ������ อยใู่ นขอบเขตของโดเมนกบั เรนจท์ รี่ ะบใุ นตารางเทา่ นนั้ กลา่ วคอื sin(arcsin ������) = ������ จรงิ เฉพาะเม่ือ ������ อยใู่ น “เรนจ”์ ของ sin น่นั คอื เมื่อ ������ ∈ [−1, 1] arcsin(sin ������) = ������ จรงิ เฉพาะเม่ือ ������ อยใู่ น “เรนจ”์ ของ arcsin น่นั คือ เมอื่ ������ ∈ [− ������ , ������] 22 ดงั จะเหน็ ไดจ้ าก arcsin (sin 150°) = arcsin (12) = 30° ≠ 150°
ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ 63 และเนอ่ื งจาก sin(arcsin ������) = ������ ดงั นนั้ arcsin ������ คือ “มมุ ที่ sin แลว้ ได้ ������” น่นั เอง # เราสามารถใชส้ ามเหลย่ี ม แสดง “มมุ ที่ sin แลว้ ได้ ������” ไดด้ งั รูป # 1 C arcsin ������ A ������ จากพที ากอรสั จะได้ AB = √12 − ������2 = √1 − ������2 B เมอ่ื รู้ AB เราจะสามารถหาฟังกช์ นั ตรโี กณมติ อิ นื่ ๆ ของมมุ arcsin ������ ได้ เชน่ cos(arcsin ������) = √1 − ������2 tan(arcsin ������) = ������ เป็นตน้ √1−������2 ในกรณีท่ีเป็นฟังกช์ นั อารค์ ของเลขติดลบ ใหแ้ ยกคิดเครอื่ งหมาย กบั ตวั เลข ตอนคิดเครอื่ งหมาย ใหพ้ ิจารณาจตภุ าคของฟังกช์ นั อารค์ เป็นหลกั โดยไมต่ อ้ งสนใจตวั เลข ตอนคิดตวั เลข ใหเ้ ปลยี่ นเลขตดิ ลบเป็นเลขบวก แลว้ คิดเป็นมมุ ในจตภุ าคท่ี 1 ไดเ้ ลย แลว้ จึงเอา เครอื่ งหมาย กบั ตวั เลข ทไี่ ด้ มาแปะตดิ กนั แลว้ ตอบ ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ของ sin (arcsec (− 45)) วิธีทา 1. คดิ เครอ่ื งหมาย ตามจตภุ าคกอ่ น arcsec (− 45) คือมมุ ที่ sec แลว้ ได้ − 5 → sec เป็นลบ แปลวา่ เป็นมมุ ใน Q2 หรอื Q3 4 ดงั นนั้ sin (arcsec (− 5)) = sin Q2 → ไดเ้ ครอ่ื งหมายเป็นบวก 4 2. คดิ ตวั เลข แบบไมต่ อ้ งสนใจเครอื่ งหมาย C B arcsec 5 คอื มมุ ที่ sec แลว้ ได้ 5 → วาดไดด้ งั รูป 5 44 จากพีทากอรสั จะได้ BC = 3 arcsec 5 ดงั นนั้ sin (arcsec (− 5)) = 3 4 45 A 4 รวมเครอื่ งหมายจาก 1. กบั ตวั เลขจาก 2. จะได้ sin (arcsec (− 5)) = 3 45 ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ของ cosec (arctan (− 4)) 3 วธิ ีทา 1. คิดเครอื่ งหมาย ตามจตภุ าคกอ่ น arctan (− 34) คือมมุ ท่ี tan แลว้ ได้ − 4 → tan เป็นลบ แปลวา่ เป็นมมุ ใน Q2 หรอื Q4 3 ดงั นนั้ cosec (arctan (− 4)) = cosec Q4 → ไดเ้ ครอื่ งหมายเป็นลบ 3 2. คดิ ตวั เลข แบบไมต่ อ้ งสนใจเครอื่ งหมาย C arctan (4) คือมมุ ท่ี tan แลว้ ได้ 4 → วาดไดด้ งั รูป 4 33 จากพที ากอรสั จะได้ AC = 5 B arctan 4 ดงั นนั้ cosec (arctan (4)) = 5 A 3 34 3 รวมเครอ่ื งหมายจาก 1. กบั ตวั เลขจาก 2. จะได้ cosec (arctan (− 4)) = − 5 34
64 ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ของ sin(2 arctan 2) วธิ ีทา จากสตู ร sin มมุ 2 เทา่ จะได้ = √22 + 12 C sin(2 arctan 2) = 2 sin(arctan 2) cos(arctan 2) = √5 2 =2× 2 × 1 arctan 2 A1 B √5 √5 # =4 5 อยา่ งไรกต็ าม มสี ตู รทน่ี ิยมทอ่ งกนั ดงั นี้ cosec(arccosec ������) = ������ 1. สตู รอินเวอรส์ sec(arcsec ������) = ������ cot(arccot ������) = ������ sin(arcsin ������) = ������ cos(arccos ������) = ������ tan(arctan ������) = ������ 2. สตู รสว่ นกลบั cosec(arcsin ������) = 1 sin(arccosec ������) = 1 ������ ������ sec(arccos ������) = 1 cos(arcsec ������) = 1 ������ ������ cot(arctan ������) = 1 tan(arccot ������) = 1 ������ ������ 3. สตู รคา่ ลบ arcsin(−������) = − arcsin ������ arccosec(−������) = − arccosec ������ arccos(−������) = ������ − arccos ������ arcsec(−������) = ������ − arcsec ������ arctan(−������) = − arctan ������ arccot(−������) = ������ − arccot ������ 4. สตู รโคฟังกช์ นั arcsin ������ + arccos ������ = 90° arctan ������ + arccot ������ = 90° arcsec ������ + arccosec ������ = 90° 5. สตู รพิทากอรสั sin(arccos ������) = √1 − ������2 cos(arcsin ������) = √1 − ������2 หมายเหตุ : สตู รเหลา่ นี้ จะเป็นจรงิ เมื่อ ������ อยใู่ นโดเมนของฟังกช์ นั arc ในสตู รเทา่ นนั้ โจทยอ์ กี ประเภท คอื การแกส้ มการอารค์ สว่ นใหญ่วธิ ีแก้ คอื ใหใ้ สฟ่ ังกช์ นั ตรโี กณมติ ิเขา้ ไปทงั้ สองขา้ ง เพือ่ ตดั ฟังกช์ นั อารค์ ใหห้ ายไป และกอ่ นตอบ ใหต้ รวจคาตอบดว้ ยเสมอ
ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ 65 ตวั อยา่ ง จงแกส้ มการ arcsin ������ = arccos ������ # วิธีทา arcsin ������ = arccos ������ sin(arcsin ������) = sin(arccos ������) C = √1 − ������2 ������ = √1 − ������2 1 B ������2 = 1 − ������2 arccos ������ 2������2 = 1 A ������ ������2 = 1 2 ������ = ±√1 = ±√2 22 ตรวจคาตอบ: แทน ������ = √2 จะได้ arcsin √2 = 45° = arccos √2 จรงิ 2 2 2 แทน ������ = − √2 จะได้ arcsin (− √2) = −45° 22 แต่ arccos (− √22) = 135° ดงั นนั้ − √2 ไมใ่ ช่คาตอบ 2 ดงั นนั้ คาตอบของขอ้ นี้ จงึ มเี พยี ง ������ = √2 2 แบบฝึกหดั 2. arccos 0 1. จงหาคา่ ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนี้ 1. arcsin √2 2 3. arctan(−√3) 4. arccosec(−1) 5. arccos (− √22) 6. arcsin (− √22) 2. จงหาคา่ ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนี้ 2. cos (arcsin 3) 1. sin (arcsin 1) 4 3 3. sin (arccos (− 23)) 4. sec (arctan − 43)
66 ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ 6. cot (arccot 2 − arccot 3) 5. sin (arcsin 1 + arccos 1) 32 7. tan (arctan 3 + arctan 2 + arccot 1) 3. จงแกส้ มการตอ่ ไปนี้ 2. sin (2arctan ������) = 3 1. arcsin ������ = − ������ 5 3 3. arccos 2������ + arccos ������ = ������ 2
ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ 67 4. ถา้ ������ เป็นจานวนจรงิ ท่มี ากทส่ี ดุ โดยท่ี 0 < ������ < 1 และสอดคลอ้ งกบั arctan(1 − ������) + arccot(21������) = 2arcsec√1 + 2������(1 − ������) แลว้ คา่ ของ cos ������������ เทา่ กบั เทา่ ไร 5. กาหนดให้ ������ เป็นจานวนจรงิ ถา้ arcsin ������ = ������ แลว้ คา่ ของ sin ( ������ + arccos(������2)) อยใู่ นชว่ งใด 4 15 [PAT 1 (ก.ค. 53)/6] 1. (0, 21) 2. (12 , √12) 3. (√12 , √23) 4. (√23 , 1) 6. sin(arctan 2 + arctan 3) เทา่ กบั เทา่ ใด [A-NET 49/1-7]
68 ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ 7. cot (arccos √2 − arccos 12+√√36) มีคา่ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 57)/12] 3 8. คา่ ของ sec2 (2 arctan 1 + arctan 71) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 55)/28] 3 9. คา่ ของ sec2(arctan 2) + cosec2(arccot 3) + cosec (2 arccot 2 + arccos 3) เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 5 [PAT 1 (ต.ค. 58)/6] 1. 335 2. 351 3. 375 4. 385 5. 399 24 24 24 24 24
ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ 69 10. ถา้ arcsec ������ = arcsin 1 − 2 arccos 2 แลว้ cot (������ + arcsec ������) เทา่ กบั เทา่ ใด √17 √5 2 [PAT 1 (ต.ค. 55)/10] 11. คา่ ของ cot(arccot 7 + arccot 13 + arccot 21 + arccot 31) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ม.ี ค. 54)/7] 12. คา่ ของ tan[arccot 1 − arccot 1 + arctan 97] เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 53)/31] 5 3 sin[arcsin 153+arcsin 1132]
70 ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ 13. กาหนดให้ ������ = arcsin (cos ������) และ 0 < ������ < ������ 32 sin2 ������ + sin2(������ + ������) + sin2(5������ + ������) ตรงกบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ [PAT 1 (ต.ค. 58)/7] 1. 0 2. 1 3. 3 − sin 2������ 4. 3 − cos 2������ 5. 3 − 2 cos 2������ 2 2 2 14. กาหนดให้ 0 < ������ < 15° คา่ ของ ������ = arctan ( 3 cos ������ ) − arccot ( cos ������ ) เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 1−3 sin ������ 3−sin ������ [PAT 1 (เม.ย. 57)/12] 1. arctan(cot ������) 2. arctan(tan ������) 3. arctan(sin ������) 4. arctan(cos ������) 15. ถา้ (sin ������ + cos ������)2 = 3 เม่ือ 0 ≤ ������ ≤ ������ แลว้ arccos(tan 3������) มคี า่ เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 52)/2-6] 24
ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ 71 16. ถา้ arcsin(5������) + arcsin(������) = ������ แลว้ คา่ ของ tan(arcsin ������) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ก.ค. 52)/13] 2 17. กาหนดให้ 0 < ������ < ������ โดยท่ี ������ = arctan (1√−������+√���1���) − arctan(√������) เมอื่ 0 < ������ < 1 2 คา่ ของ tan ������ + cot ������ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 56)/32] 18. ถา้ ������ เป็นจานวนจรงิ ท่มี ากสดุ โดยที่ 0 < ������ < 1 และสอดคลอ้ งกบั arctan(1 − ������) + arccot ( 1 ) = 2 arcsec √1 + 2������(1 − ������) แลว้ คา่ ของ cos ������������ เทา่ กบั เทา่ ใด 2������ [PAT 1 (ม.ี ค. 56)/10]
72 ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ 19. ให้ −1 ≤ ������ ≤ 1 เป็นจานวนจรงิ ซงึ่ arccos ������ − arcsin ������ = ������ 2552 แลว้ คา่ ของ sin (25������52) เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ [PAT 1 (มี.ค. 52)/13] 1. 2������ 2. 1 − 2������2 3. 2������2 − 1 4. −2������ 20. ขอ้ ใดถกู ตอ้ งบา้ ง [A-NET 50/1-12] 1. tan 14° + tan 76° = 2 cosec 28° 2. ถา้ ������ > 0 และ sin(2 arctan ������) = 4 แลว้ ������ ∈ (1 , 3) 53 21. ให้ ������ เป็นเซตคาตอบของสมการ arccos(������) = arccos(������√3) + arccos(√1 − ������2) และให้ ������ เป็นเซตคาตอบของสมการ arccos(������) = arcsin(������) + arcsin(1 − ������) จานวนสมาชกิ ของเซต ������(������ − ������) เทา่ กบั เทา่ ใด เมอ่ื ������(������) แทนเพาเวอรเ์ ซตของเซต ������ [PAT 1 (มี.ค. 55)/29]
ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ 73 22. กาหนดให้ ������ = arcsin 3 + arccot 5 − arctan 8 5 3 19 1 1 ถา้ ������ เป็นเซตคาตอบของสมการ arccot 2������ + arccot 3������ = ������ จงหาผลคณู ของสมาชิกใน ������ [PAT 1 (ธ.ค. 54)/16] 23. ให้ ������ และ ������ เป็นมมุ แหลมของรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก โดยที่ tan ������ = ������ ������ ถา้ cos (arcsin (√������2������+������2)) + sin (arccos (√������2������+������2)) = 1 แลว้ sin ������ มีคา่ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 53)/29]
74 ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ การนาไปใชก้ บั สามเหลย่ี ม ในเลขพนื้ ฐาน เราไดเ้ รยี นวธิ ีนาความรูใ้ นเรอ่ื งอตั ราสว่ นตรโี กณมติ ไิ ปใชห้ าความยาวดา้ นของสามเหลยี่ มมมุ ฉากมาแลว้ ในเรอ่ื งนี้ เราจะไดเ้ รยี นกฎเก่ียวกบั สามเหลย่ี มเพ่มิ อกี 2 กฎ คอื กฎของ cos และ กฎของ sin ซง่ึ 2 กฎนจี้ ะสามารถนาไปใชก้ บั สามเหลย่ี มอะไรก็ได้ ไมต่ อ้ งจาเป็นตอ้ งเป็นสามเหลย่ี มมมุ ฉากเหมอื นเมอื่ ก่อน กฎของ cos C ������2 = ������2 + ������2 − 2������������ cos A ������ ������2 = ������2 + ������2 − 2������������ cos B ������ ������2 = ������2 + ������2 − 2������������ cos C A ������ B กฎของ sin C ������ ������ ������ = ������ = ������ (= 2R) sin A sin B sin C ������ A ������ B ตวั อยา่ ง จากรูป จงหา AB C 5 60° 6 AB วธิ ีทา จากกฎของ cos จะได้ AB2 = 52 + 62 − 2(5)(6) cos 60° ดงั นนั้ AB = √31 = 25 + 36 − 2(5)(6) (1) = 31 2 # ตวั อยา่ ง สามเหลยี่ ม ABC มดี า้ นทงั้ สาม ยาว 3, 5 และ 7 หนว่ ย ตามลาดบั จงหาวา่ สามเหลยี่ ม ABC เป็นสามเหลยี่ ม มมุ แหลม, สามเหลยี่ มมมุ ฉาก หรอื สามเหลย่ี มมมุ ปา้ น วธิ ีทา ถา้ อยากจะรูว้ า่ เป็นสามเหลยี่ มแบบไหน ตอ้ งหาวา่ มมุ ทใี่ หญ่ทส่ี ดุ ของสามเหลย่ี ม 7 3 เป็นมมุ แหลม มมุ ฉาก หรอื มมุ ปา้ น ������ มมุ ทีใ่ หญ่ท่สี ดุ ของสามเหลยี่ ม ก็คอื มมุ ทอี่ ยตู่ รงขา้ มดา้ นท่ียาวท่ีสดุ น่นั เอง 5 เน่อื งจาก cos มมุ แหลมเป็นบวก cos มมุ ฉากเป็นศนู ย์ และ cos มมุ ปา้ นเป็นลบ เราจะใชก้ ฎของ cos เพ่ือหาเครอื่ งหมายของ cos ������ 72 = 52 + 32 − 2(3)(5) cos ������ # 2(3)(5) cos ������ = 25 + 9 − 49 cos ������ = − 15 = − 1 60 4 จะเหน็ วา่ cos ������ เป็นลบ ดงั นนั้ ������ เป็นมมุ ปา้ น น่นั คือสามเหลยี่ ม ABC เป็นสามเหลย่ี มมมุ ปา้ นน่นั เอง
ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ 75 ตวั อยา่ ง จากรูป ถา้ sin ������ = 1 และกาหนดให้ B เป็นมมุ ปา้ น จงหา cos B # 3 C 6 3 AB วธิ ีทา ขอ้ นี้ ไมร่ ูค้ วามยาว AB จะใชย้ งั ไมส่ ามารถใชก้ ฎของ cos เพ่อื หา cos B ได้ แตจ่ ะเหน็ วา่ ใชก้ ฎของ sin เพ่ือหา sin B ก่อนได้ ดงั นี้ 3 =6 sin A sin B sin B = 6 × sin A = 6 × 1 = 2 3 3 3 3 แตจ่ ากเอกลกั ษณ์ sin2 B + cos2 B = 1 จะได้ cos B = ±√1 − sin2 B = ±√1 − (2)2 = ±√1 − 4 = ± √5 3 93 แตโ่ จทยบ์ อกวา่ มมุ B เป็นมมุ ปา้ น ดงั นนั้ cos ตอ้ งเป็นลบ ดงั นนั้ cos B = − √5 3 แบบฝึกหดั 2. 1. จากรูป จงหาคา่ ������ 3 120° ������ 1. 7 4 60° 5 ������ 3. √39 4. 5 30° ������ ������ 7 45° 4 5. 45° ������ 3 75°
76 ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ 2. กาหนดสามเหลย่ี ม ABC มี  = 30° และ Ĉ = 105° จงหาคา่ ของ AC BC 3. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลยี่ มท่มี ีมมุ A เทา่ กบั 60°, BC = √6 และ AC = 1 คา่ ของ cos(2B) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 52)/12] 4. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลย่ี ม โดยมี ������, ������ และ ������ เป็นความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ A มมุ B และ มมุ C ตามลาดบั ถา้ มมุ C เทา่ กบั 60° ������ = 5 และ ������ − ������ = 2 แลว้ ความยาวของเสน้ รอบรูปสามเหลยี่ ม ABC เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ม.ี ค. 55)/6]
ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ 77 5. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลย่ี มใดๆ ถา้ ดา้ นตรงขา้ มมมุ A ยาว 14 หนว่ ย ความยาวของเสน้ รอบรูปสามเหลย่ี ม เทา่ กบั 30 หนว่ ยและ 3 sin ������ = 5 sin ������ แลว้ sin 2������ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ม.ี ค. 56)/16] 6. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลยี่ มทม่ี มี มุ B และมมุ C เป็นมมุ แหลม โดยที่ 25 cos B − 13 cos C = 15 , 65(cos B + cos C) = 77 และดา้ นตรงขา้ มมมุ C ยาว 20 หนว่ ย ความยาวของเสน้ รอบรูปสามเหลย่ี ม ABC เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (เม.ย. 57)/32]
78 ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ 7. กาหนดให้ ������������������ เป็นรูปสามเหลย่ี มโดยมคี วามยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ ������ มมุ ������ และมมุ ������ เทา่ กบั ������ หนว่ ย ������ หนว่ ย และ ������ หนว่ ย ตามลาดบั สมมตุ ิวา่ มมุ ������ มขี นาดเป็นสามเทา่ ของมมุ ������ และ ������ = 2������ ขอ้ ใดตอ่ ไปนถี้ กู ตอ้ งบา้ ง [PAT 1 (พ.ย. 57)/3] 1. ������������������ เป็นรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก 2. ถา้ ������ = ������������ แลว้ ������ สอดคลอ้ งกบั 3������3 − 9������2 − ������ + 3 = 0 8. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลยี่ มใดๆ โดยที่มีความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ A มมุ B และมมุ C เทา่ กบั ������ หนว่ ย ������ หนว่ ย และ ������ หนว่ ย ตามลาดบั ถา้ มมุ A มขี นาดมากกวา่ 90° มมุ B มีขนาด 45° และ √2������ = (√3 − 1)������ แลว้ cos2(A − B − C) + cos2 B + cos2 C เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ม.ี ค. 57)/33]
ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ 79 9. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลยี่ มใดๆ ถา้ ������, ������ และ ������ เป็นความยาวดา้ นของดา้ นตรงขา้ มมมุ A มมุ B และ มมุ C ตามลาดบั โดยท่ี 1 + 1 = 3 แลว้ sin C เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 55)/16] ������+������ ������+������ ������+������+������ 10. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลยี่ มซงึ่ มดี า้ นตรงขา้ มมมุ A, B, C ยาว 2������, 3������, 4������ ตามลาดบั ถา้ sin A = ������ แลว้ cot B + cot C มีคา่ เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ [A-NET 50/1-13] 1. 1 2. ������ 3. 1 4. ������ 6������ 6 3������ 3 11. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลยี่ ม ดงั รูป A B DE C ถา้ มมุ AB̂C = 30° BÂC = 135° และ AD และ AE แบง่ มมุ BÂC ออกเป็น 3 สว่ นเทา่ ๆกนั แลว้ EC มีคา่ เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 53)/7] BC
80 ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ 12. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลย่ี มและ D เป็นจดุ กงึ่ กลางดา้ น BC ถา้ AB = 4 หนว่ ย, AC = 3 หนว่ ย และ AD = 5 หนว่ ย แลว้ ดา้ น BC ยาวเทา่ กบั เทา่ ใด 2 [PAT 1 (ก.ค. 52)/12] 13. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลย่ี มทีม่ ดี า้ น AB ยาว √2 หนว่ ย ถา้ BC3 + AC3 = 2BC + 2AC แลว้ cot C มคี า่ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 52)/1-7]
ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ 81 14. ในรูปสามเหลยี่ ม ABC ใดๆ ถา้ ������, ������ และ ������ เป็นความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ A มมุ B และ มมุ C ตามลาดบั แลว้ 1 cos A + 1 cos B + 1 cos C เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ [PAT 1 (ก.ค. 53)/7] ������ ������ ������ 1. ������2+������2+������2 2. (������+������+������)2 3. (������+������+������)2 ������2+������2+������2 2������������������ ������������������ 2������������������ 4. ������������������ 15. ให้ A, B และ C เป็นจดุ ยอดของรูปสามเหลยี่ ม ABC และ  < B̂ < Ĉ โดยท่ี tan A tan B tan C = 3 + 2√3 และ tan B + tan C = 2 + 2√3 ขอ้ ใดถกู ตอ้ งบา้ ง [A-NET 51/1-16] 1. tan C = 2 + √3 2. Ĉ = 5������ 12
82 ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ 16. กาหนดใหร้ ูปสามเหลยี่ ม ABC มดี า้ นตรงขา้ มมมุ A, B, C ยาว ������, ������, ������ ตามลาดบั และ (sin A − sin B + sin C)(sin A + sin B + sin C) = 3 sin A sin C จงหาคา่ ของ √3 cosec2 B + 3 sec2 B [PAT 1 (ธ.ค. 54)/43] 17. กาหนดให้ ������������������ เป็นรูปสามเหลยี่ มใดๆ มคี วามยาวตรงขา้ มมมุ ������ , ������ และ ������ เป็น ������ , ������ และ ������ หนว่ ยตามลาดบั ถา้ ������2 + ������2 = 31������2 แลว้ คา่ ของ 3 tan ������ (cot ������ + cot ������) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 54)/32]
ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ 83 18. กาหนด ������������������ เป็นรูปสามเหลย่ี ม โดยท่ี จดุ ยอด ������ จดุ ยอด ������ และจดุ ยอด ������ อยบู่ นเสน้ รอบวงของวงกลมวงหนง่ึ มี รศั มีเทา่ กบั ������ หนว่ ย ถา้ ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ ������ และมมุ ������ เทา่ กบั ������ และ ������ หนว่ ยตามลาดบั มมุ ���������̂��������� เทา่ กบั 18° และมมุ ���������̂��������� เทา่ กบั 36° แลว้ คา่ ของ ������ − ������ เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ [PAT 1 (ม.ี ค. 58)/7] 1. ������ 2. 1 ������ 3. 1 ������ 4. 1 ������ 2 4 16 19. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลยี่ ม โดยท่มี ีความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ A มมุ B มมุ C เทา่ กบั ������ หนว่ ย ������ หนว่ ย และ ������ หนว่ ย ตามลาดบั และมมุ A มขี นาดเป็นสองเทา่ ของมมุ B ขอ้ ใดตอ่ ไปนถี้ กู ตอ้ ง [PAT 1 (เม.ย. 57)/11] 1. ������2 = ������2 + ������������ 2. ������2 = ������2 + ������������ 3. ������2 = ������2 + ������������ 4. ������2 = ������2 + ������������
84 ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ การวดั มมุ ในหนว่ ยเรเดยี น 1. 1. (0, 1) 2. (−1, 0) 3. (−1, 0) 4. ( 1 , √3 ) 5. (0, 1) 2 2 9. (0, −1) 13. ( 1 , − √3 ) 6. ( √2 , √2 ) 7. (− 1 , √3 ) 8. ( 1 , − √3 ) 22 22 22 22 10. (− √3 , − 1 ) 11. (− √2 , √2 ) 12. ( √3 , 1 ) ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ 2 2 2 2 2 2 14. (− √3 , − 1 ) 15. (0, −1) 16. ( 1 , − √3 ) 22 22 1. 1. 1 2. −1 3. √3 4. √2 5. 2 6. 1 8. 1 9. − 1 7. − 1 12. 1 √3 2 2 3 10. 4 11. หาไมไ่ ด้ การวดั มมุ ในหนว่ ยองศา 3 1. 1. 420° 2. 144° 3. 18180° 4. −450° 2. ������ 4. −15������ 2. 1. 5������ 2. − √3 3. 2������ 6 9 4. หาคา่ ไมไ่ ด้ 2 3. 1. 1 3. −√3 2 การแปลงมมุ เป็นรูปอยา่ งง่าย 1. 1. sin ������ 2. − cos ������ 3. tan ������ 4. − cos ������ 5. cosec ������ 6. cos ������ 7. − tan ������ 8. − sec ������ 9. − cosec ������ 10. − tan ������ 11. sec ������ 12. sec ������ 13. − cot ������ 14. cot ������ 15. sin ������ 16. − sin ������ 17. − cosec ������ 18. cos ������ 19. tan ������ 20. − cosec ������ 21. − sin ������ 22. − tan ������ 23. sin 80° 24. − cos 40° 25. − tan 15° 26. − sec 10° 27. − cosec 55° 28. − cot 70° 2. 0 2. 1. 0 3. 0 # สงั เกตวุ า่ cos 20° = − cos 160° ดงั นนั้ cos3 20° = − cos3 160° cos 40° = − cos 140° ดงั นนั้ cos3 40° = − cos3 140° cos 60° = − cos 120° ดงั นนั้ cos3 60° = − cos3 120° cos 80° = − cos 100° ดงั นนั้ cos3 80° = − cos3 100° จะเห็นวา่ ผลบวกทีโ่ จทยถ์ าม จะหกั กนั ไดเ้ ป็นคๆู่ ดงั นนั้ cos3 20° + cos3 40° + cos3 60° + … + cos3 160° = 0
ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ 85 ตาราง 2. 0.4643 3. 0.6009 4. 0.0904 6. 1.5052 7. −0.3719 8. −0.7623 1. 1. 0.1880 10. 1.9511 11. −68.7501 12. 1.5398 5. 2.77995 9. 0.3706 กราฟฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ 1. 1. 1 2. 1 3. 0.05 4. 3 2. 1. 2������ 2. 2������ 3. ������ 4 6. 1 5. 2������ 2 4. 1 3 600 3. ������ = 5 , ������ = ������ 4. ������ = −3 , ������ = ������, 3������ ทบทวนสตู รเกา่ 1. 1. 1 2. √3 3. 1 4. 1 5. 1 2 7. −1 √3 9. 1 6. 1 8. −1 2. LHS = 1+sin ������+1−sin ������ = 2 = 2(cos2 ������+sin2 ������) = 2 cos2 ������ + 2 sin2 ������ = RHS 1−sin2 ������ cos2 cos2 ������ cos2 ������ cos2 ������ ������ 3. 19 = 4(1 − cos2 ������) + 11 cos ������ − 1 → 0 = 4 cos2 ������ − 11 cos ������ − 3 = (4 cos ������ + 1)(cos ������ − 3) จะได้ cos ������ = − 1 , 3 → วาดสามเหลยี่ ม ได้ ชิด = −1, ฉาก = 4 → ขา้ ม = ±√15 4 ดงั นนั้ cot2 (������ + ���2���) + sec(������ − 3������) = tan2 ������ − sec ������ = (± √115)2 − (−4) = 19 4. 0 5. 181 6. 373 สตู รผลบวกผลตา่ งมมุ 1. 1. − 7 2. −1 3. 24 4. 0 25 2. 1 25 4. 18 4. √6+√2 2. 1. 17 18 3. 6 6 17 4 2. √6−√2 3. 1. √6−√2 4 3. √6+√2 4. sin ������ 4 4 5. −2 − √3 6. 2 + √3 4. 1 2. −cos ������ 3. sin ������ 2 4. 1. cos ������ 6. −tan ������ 5. −tan ������ 3. 1 8. 1 2. √2 2 5. 1. √2 2 2 7. √2 5. 1 6. √6 2 2
86 ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ 9. 1 10. 2 11. −2 12. 2 6. 125 7. 16 8. 2 9. 222 65 สตู รมมุ สองเทา่ สามเทา่ ครง่ึ เทา่ 1. 1. − 4 2. − 24 3. − 7 4. 336 5 25 25 4. 625 2. 1. 1 2. √2 3. 1 8. 1 2 4 4 4. 5. 1 4. 4 2 6. 4 7. 2 1 8. 3. 1. 4 3 4 12. 4 2 3 5 5 3 4 2. − 3. − 9 − 4. 1. 117 125 2. 44 3. 117 16. 4 44 125 5. √6−√2 44 117 4 6. 15 7. 9. 16 13. 2 − 2√2 10. 6 11. 2 17. 1 14. 2 15. 1 18. 681 19. 25 126 20. 1 > sec 2° − tan 2° สมมตใิ ห้ sec 1° − tan 1° 1 − sin 1° > 1 − sin 2° cos 1° cos 1° cos 2° cos 2° 1−sin 1° cos 1° > 1−sin 2° cos 2° − sin 1° cos 2° cos 2° > cos 1° − sin 2° cos 1° sin 2° cos 1° – sin 1° cos 2° > cos 1° − cos 2° sin (2 − 1)° > cos 1° − cos 2° cos 2° > cos 1° − sin 1° cos2 2° > cos2 1° + sin2 1° − 2 sin 1° cos 1° 1 − sin2 2° > 1 − sin 2° sin 2° > sin2 2° เน่ืองจาก sin 2° < 1 ยิง่ ยกกาลงั จะยิ่งนอ้ ย ดงั นนั้ sin 2° > sin2 2° จึงถกู ตอ้ ง ดงั นนั้ ������ > ������ ถดั มา เราจะตรวจสอบวา่ ������ มากกวา่ 1 หรอื ไม่ สมมติให้ sec 1° − tan 1° > 1 1−sin 1° >1 cos 1° 1 − sin 1° > cos 1° 1 > sin 1° + cos 1° 1 > sin2 1° + cos2 1° + 2 sin 1° cos 1° 0> 2 sin 1° cos 1° เนอื่ งจาก 0 < 2 sin 1° cos 1° ดงั นนั้ ทีส่ มมตไิ มถ่ กู ตอ้ ง ดงั นนั้ ������ < 1 ยิง่ ถอดรูทจะยง่ิ มาก ดงั นนั้ √������ > ������ และเน่ืองจาก ������ > ������ ดงั นนั้ √������ > √������ ดงั นนั้ √������ มากที่สดุ
ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ 87 21. 27.25 22. 3 23. 8 จาก sin2 ������ + cos2 ������ = 1 ได้ sin4 ������ + cos4 ������ = 1 − 2 sin2 ������ cos2 ������ จะได้ LHS = sin4 ������+cos4 ������+cos2 ������+sin2 ������ = 2−2 sin2 ������ cos2 ������ = 4−sin2 2������ = 7 sin2 ������ cos2 ������ sin2 ������ cos2 ������ sin2 2������ แกส้ มการ ได้ sin2 2������ = 8 ได้ cos2 2������ = 1 → tan2 2������ = 8 99 24. 178 25. 1, 2 สตู รแปลงผลคณู กบั ผลบวกลบ 1. 1. 1 2. 1 3. sin 2������+sin ������ 4. − 1 2 4 2 2 5. 1 8 6. √3 3. 0 4. 0 8 2. 1. √6 2 2. − √2 5. √3 2 6. 0 3. 3.5 สงั เกตวา่ cos 20° = − cos 160° ดงั นนั้ cos2 20° = cos2 160° cos 40° = − cos 140° ดงั นนั้ cos2 40° = cos2 140° cos 60° = − cos 120° ดงั นนั้ cos2 60° = cos2 120° cos 80° = − cos 100° ดงั นนั้ cos2 80° = cos2 100° ดงั นนั้ ผลบวก = 2(cos2 20° + cos2 40° + cos2 60° + cos2 80°) = 2(cos2 20° + cos2 40° + 1 + cos2 80°) 4 = 1 + 2(cos2 20° + cos2 40° + cos2 80°) 2 = 1 + 2 (1+cos 40° + 1+cos 80° + 1+cos 160°) 22 2 2 = 1 + 3 + cos 40° + cos 80° + cos 160° 2 = 1 + 3 + 2 cos 60° cos 20° + cos 160° 2 1 = 2 + 3 + cos 20° + cos 160° = 1+3 + 0 = 3.5 2 4. 1 5. 6 6. 2 7. 1, 2 11. 2 8. 55 9. 60 10. 3 4 3 12. − 1 2 = 2 cos 108° cos 36° = 2 sin 18° cos 36° = 2 sin 18° cos 18° cos 36° = sin 36° cos 36° = sin 72° = 1 cos 18° cos 18° 2 cos 18° 2 13. 2 14. 8 15. 1 16. 2 2
88 ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ สมการตรโี กณมติ ิ 1. 1. 30° , 150° 2. 60° , 300° 3. 45° , 225° 4. 150° , 330° 3. ������������ + ������ 4. ������������ + (−1)������ (− ������) 2. 1. ������������ + (−1)������ (������) 2. 2������������ ± 2������ 43 3 6 5. 2������������ ± ������ หรอื ������������ + (−1)������ (������) 26 3. 0°, 90°, 180°, 270° 3. 1. 30°, 150°, 210° 2. 180° 4. 2√3 sin ������ − sin 2������ + sin 3������ = (sin ������ + sin 3������) − sin 2������ = 2 sin 2������ cos ������ − sin 2������ = (2 cos ������ − 1)(sin 2������) = 0 → cos ������ = 1 หรอื sin 2������ = 0 → ������ = 60°, 0°, 90° 2 tan ������ − tan 2������ + tan 3������ = √3 − (−√3) + 0 = 2√3 5. 2 ตอ้ งแกส้ มการ cot 2������ = cot ������ จาก cot ������ = cot ������ เมอ่ื ������ = ������������ + ������ จะได้ 2������ = ������������ + ������ → ������ = ������������ แต่ cot ������������ จะหาคา่ ไมไ่ ด้ ดงั นนั้ ขอ้ 1 เท็จ sin4 ������ + cos4 ������ = (sin2 ������ + cos2 ������)2 − 2 sin2 ������ cos2 ������ = 1 − 1 (2 sin ������ cos ������)2 2 1 = 1 − 2 sin2 2������ → 2 จรงิ 6. 1.5 แกส้ มการได้ cos ������ = − 1 → ������ = 120°, 240° 2 ทงั้ สองมมุ จะได้ sec 3������ − cos 2������ = 1 − (− 1) = 3 เทา่ กนั ดงั นนี้ ������ = {3} → ผลบวกสมาชิก = 1.5 22 2 7. 153 8. 3 9. 20 10. 1 11. 2������������ + ������ = 4 sin2 ������ 12 sin2 3������ 36 sin2 9������ 2 sin 9������ sin 27������ sin 3������ 4 sin ������ = 4 sin ������ ������ ทาแบบเดยี วกนั ทีส่ องตวั ทเ่ี หลอื ได้ กบั 1+2 cos 2������ 3−4 sin2 ยา้ ย ไปลบกบั ทางขวา ได้36 sin2 9������ sin2 9(3−4 sin2 9������) 9 sin 27������ 27������ sin 27������ sin 9������ 27 27−36 9������ = = 9 sin 27������ = sin 27������ sin (sin 27������)(sin 9������) ยา้ ย 12 sin2 3������ ไปลบกบั 9 ที่เหลอื แบบเดียวกนั ได้ 3(3−4sin2 3������) = 3 sin 9������ sin 9������ sin 9������ sin 3������ ยา้ ย 4 sin2 ������ ไปลบกบั 3 ท่ีเหลอื แบบเดียวกนั ได้ 3−4 sin2 3������ = 1 sin 3������ sin 3������ sin 3������ sin ������ ดงั นนั้ สดุ ทา้ ยเหลอื 0 = 1 − 1 → sin ������ = 1 → ������ = 2������������ + ������ sin ������ 2 ฟังกช์ นั อารค์ 1. 1. 45° 2. 90° 3. −60° 4. −90° 5. 135° 6. −45° 3. √5 4. 5 2. 1. 1 2. √7 3 4 3 4
ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ 89 5. 1+2√6 6. 7 7. 0 6 2. 1 , 3 3. √5 3. 1. − √3 3 5 2 4. 1 2 วาดสามเหลยี่ มจะได้ tan(arccot ( 1 ) ) = 2������ และ tan(arcsec√1 + 2������(1 − ������)) = √2������(1 − ������) 2������ ใส่ tan ตลอด ได้ 1−������+2������ = 2√2������(1−������) ตดั สว่ นทงั้ สองขา้ ง เหลอื 1 + ������ = 2√2������(1 − ������) 1−(1−������)(2������) 1−2������(1−������) 1 1 ยกกาลงั สอง ได้ 1 + 2������ + ������2 = 8������ − 8������2 → 9������2 − 6������ + 1 = 0 → ������ = 3 → cos ������������ = 2 5. 4 6. 1 7. √3 8. 2 √2 9. 4 10. 13 11. 13 12. 1 16 4 16. 1 13. 4 14. 2 15. 0 5 17. 2 18. 1 19. 2 20. 1, 2 2 21. 1 22. 1 23. 0.5 6 การนาไปใชก้ บั สามเหลย่ี ม 1. 1. √21 2. 5 3. 60° 4. 4√2 5. 3√6 3. 3 4. 45 5. − √3 2 4 8. 2 2 12. 5 2. √2 7. 1 16. 4 9. √3 11. 1 2 6. 54 10. 3 √3 13. 1 14. 1 √3 18. 1 15. 1, 2 19. 3 17. 0.2 เครดติ ขอบคณุ คณุ Theerat Piyaanangul และ คณุ Hassatorn Thamkijjanon ทีช่ ว่ ยตรวจสอบความถกู ตอ้ งของเอกสารดว้ ยครบั
Search