Important Announcement
PubHTML5 Scheduled Server Maintenance on (GMT) Sunday, June 26th, 2:00 am - 8:00 am.
PubHTML5 site will be inoperative during the times indicated!

Home Explore ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

Published by kitiya.su04, 2020-03-17 00:59:01

Description: ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

Search

Read the Text Version

ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ 49 3. จงหาคา่ ของ cos2 20° + cos2 40° + cos2 60° + … + cos2 160° 4. ขอ้ ใดตอ่ ไปนถี้ กู ตอ้ ง [PAT 1 (ต.ค. 55)/9] 1. cos 75° = (2 − √3) cos 15° 2. cos 10° + sin 40° = cos 20° 3. ถา้ ������ เป็นจานวนจรงิ ใดๆแลว้ tan 3������ = cos 2������+cos 4������ cot ������ cos 2������−cos 4������ 4. ถา้ ������ และ ������ เป็นจานวนจรงิ ใดๆแลว้ sin 2������ + cos 2������ = 2 sin(������ − ������) cos(������ + ������)

50 ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ 5. จงหาคา่ ของ 2 sin2 60° (tan 5° + tan 85°) − 12 sin 70° [PAT 1 (ม.ี ค. 55)/28] 6. sin 25° sin 85° sin 35° ตรงกบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ [PAT 1 (พ.ย. 57)/6] sin 75° 1. tan 15° 2. sin 15° sin 75° 3. cos 20° cos 40° cos 80° 4. sec 420°

ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ 51 7. กาหนดให้ ������ เป็นจานวนจรงิ ใดๆ ขอ้ ใดตอ่ ไปนีถ้ กู ตอ้ งบา้ ง [PAT 1 (มี.ค. 57)/11] 1. 16 sin3 ������ cos2 ������ = 2 sin ������ + sin 3������ − sin 5������ 2. sin 3������ = (sin 2������ + sin ������)(2 cos ������ − 1) 8. กาหนดให้ 8 cos(2������) + 8 sec(2������) = 65 เมื่อ 0 < ������ < 90° คา่ ของ 160 sin(������) sin(5������) เทา่ กบั เทา่ ใด 22 [PAT 1 (พ.ย. 57)/40]

52 ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ 9. คา่ ของ arctan (2 cos 10°−cos50°) เทา่ กบั กี่องศา [PAT 1 (ม.ี ค. 58)/8] sin 70°−cos 80° 10. จงหาคา่ ของ (cos2 70° + cos2 20°)(cos2 50° + cos2 10°) − sin 40° sin 80° 11. ถา้ ������ และ ������ เป็นจานวนจรงิ โดยที่ 0 < ������ < ������ < 90° และสอดคลอ้ งกบั สมการ tan(������ + ������) = 5 tan(������ − ������) แลว้ (sin 2������)(cosec 2������) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 58)/14]

ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ 53 12. จงหาคา่ ของ cos 72° + cos 144° 13. พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้ ขอ้ ใดตอ่ ไปนถี้ กู ตอ้ งบา้ ง [PAT 1 (ต.ค. 55)/8] 1. cos ������ + cos 3������ + cos ������ = 1 55 2 2. tan 7������ − tan 3������ = cosec ������ 16 8 8 14. จงหาคา่ ของ tan 20°+4sin 20° [PAT 1 (ธ.ค. 54)/31] sin 20° sin 40° sin 80°

54 ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ 15. คา่ ของ cos 36°−cos72° เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ม.ี ค. 53)/30] sin 36° tan 18°+cos 36° 16. คา่ ของ 44 44 เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ก.ค. 53)/29] cosn sinn n 1 − n 1 44 44 sinn cosn n1 n1

ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ 55 สมการตรโี กณมติ ิ # สมการตรโี กณมติ ิ คือ สมการทมี่ ฟี ังกช์ นั ตรโี กณมติ อิ ยใู่ นสมการ โดยปกติแลว้ สมการตรโี กณมิติ มกั จะมี “หลายคาตอบ” เน่ืองจาก  sin (และ cosec) ใชค้ า่ จากแกน Y คี่������ − ������ ค���ู่ ��� + ������ ดงั นนั้ “มมุ สะทอ้ นแกน Y” จะมคี า่ sin เทา่ กนั เสมอ ������ เช่น sin 30° = sin 150° เป็นตน้ จากรูป สตู รหามมุ สะทอ้ นแกน Y ของ ������ คอื ค���ู่ ��� + ������ และ ค่ี������ − ������  cos (และ sec) ใชค้ า่ จากแกน X 2������������ + ������ ดงั นนั้ “มมุ สะทอ้ นแกน X” จะมคี า่ cos เทา่ กนั เสมอ ������ เชน่ cos 30° = cos(−30°) เป็นตน้ จากรูป สตู รหามมุ สะทอ้ นแกน X ของ ������ คอื 2������������ + ������ และ 2������������ − ������ 2������������ − ������  tan (และ cot) ใชค้ า่ จากแกน Y หาร แกน X ค���ู่ ��� + ������ ดงั นนั้ “มมุ สะทอ้ น 2 แกน” จะมคี า่ tan เทา่ กนั เสมอ เช่น tan 30° = tan 210° เป็นตน้ ������ จากรูป สตู รหามมุ สะทอ้ น 2 แกนของ ������ และ ������������ + ������ ������ ค่ี������ + ������ หมายเหต:ุ cosec คดิ เหมอื น sin , sec คิดเหมือน cos , cot คิดเหมือน tan ในการแกส้ มการตรโี กณ เราจะหา “คาตอบพนื้ ฐาน” ทตี่ วั เลขนอ้ ยๆ ออกมากอ่ น sin , tan , cosec → คาตอบพนื้ ฐานจะอยใู่ นช่วง −90° ถึง 90° cos , cot , sec → คาตอบพนื้ ฐานจะอยใู่ นชว่ ง 0° ถึง 180° จากนนั้ เราจะนาคาตอบพนื้ ฐานท่ีได้ มาสะทอ้ นหาคาตอบท่เี หลอื ในชว่ งมมุ ท่โี จทยต์ อ้ งการ ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ������ ∈ [0 , 2������] จงแกส้ มการ cos ������ = − √3 2 วธิ ีทา หา ������ เลขนอ้ ยๆซกั ตวั ทีท่ าให้ cos ������ = − √3 จะได้ ������ = 150° 2 จากนนั้ เราจะสะทอ้ นมมุ 150° เพ่ือหาคาตอบทเ่ี หลอื สมการ cos ตอ้ งสะทอ้ นแกน X โดยเอาเฉพาะชว่ ง [0 , 2������] จากรูป จะไดค้ าตอบคือ 150° และ 210° ในกรณีท่ีโจทย์ ไมร่ ะบชุ ว่ งคาตอบทตี่ อ้ งการ เรานิยมใชส้ ตู รสะทอ้ น ������ ดงั นี้ sin , cosec → มมุ สะทอ้ นแกน Y ของ ������ = ������������ + (−1)������������ เมอ่ื ������ เป็นจานวน cos , sec → มมุ สะทอ้ นแกน X ของ ������ = 2������������ ± ������ เตม็ อะไรก็ได้ tan , cot → มมุ สะทอ้ น 2 แกน ของ ������ = ������������ + ������

56 ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ ตวั อยา่ ง จงแกส้ มการ sin ������ = 1 2 วิธีทา หา ������ เลขนอ้ ยๆ ทท่ี าให้ sin ������ = 1 จะได้ ������ = 30° = ������ 26 สมการ sin ตอ้ งหามมุ สะทอ้ นแกน Y ของ ������ 6 จะไดค้ าตอบ คือ ������ = ������������ + (−1)������ (������) # 6 # ตวั อยา่ ง จงแกส้ มการ sin ������ + cos ������ = 1 เม่อื ������ ∈ [0, 2������] วิธีทา ใชส้ ตู รผลบวกผลตา่ งมมุ จดั รูป sin ������ + cos ������ ใหง้ า่ ยขนึ้ ไดด้ งั นี้ sin ������ + cos ������ =1 (√22) sin ������ + (√22) cos ������ = √2 2 cos 45° sin ������ + sin 45° cos ������ = √2 2 sin(������ + 45°) = √2 2 สมการ sin ������ = √2 จะมีคาตอบพนื้ ฐานคอื ������ = 45° ดงั นนั้ คาตอบท่วั ไป คอื ������������ + (−1)������(45°) 2 ดงั นนั้ ������ + 45° = ������������ + (−1)������(45°) จะได้ ������ = ������������ + (−1)������(45°) − 45° แทน ������ = … , −3 , −2 , −1 , 0 , 1 , 2 , 3 , … แลว้ เลอื กตอบเฉพาะ ������ ∈ [0, 2������] ������ = −1: ������ = −180° − 45° − 45° = −270° ใชไ้ มไ่ ด้ ������ = 0 : ������ = 0° + 45° − 45° = 0° ใชไ้ ด้ ������ = 1 : ������ = 180° − 45° − 45° = 90° ใชไ้ ด้ ������ = 2 : ������ = 360° + 45° − 45° = 360° ใชไ้ ด้ ������ = 3 : ������ = 540° − 45° − 45° = 450° ใชไ้ มไ่ ด้ ดงั นนั้ จะไดค้ าตอบคือ ������ = 0°, 90°, 360° เทคนิคทกุ อยา่ งจากเรอ่ื งสมการ สามารถนามาใชก้ บั การแกส้ มการตรโี กณมิติไดท้ งั้ หมด ไมว่ า่ จะเป็นเทคนิคการแยกตวั ประกอบแลว้ จบั แตล่ ะวงเลบ็ = 0 หรอื เทคนคิ การเปลย่ี นตวั แปร เช่น sin2 ������ + sin ������ − 2 → ������2 + ������ − 2 (ถา้ จะให้ ������ = sin ������ หรอื cos ������ ตอ้ งตดั คาตอบ ใหเ้ หลอื เฉพาะ −1 ≤ ������ ≤ 1 เทา่ นนั้ ) ตวั อยา่ ง จงแกส้ มการ cos 2������ = cos ������ วิธีทา ขอ้ นี้ ทาไดห้ ลายวธิ ี วิธีแรกคือ กระจาย cos 2������ แลว้ แยกตวั ประกอบ cos 2������ = cos ������ 2 cos2 ������ − 1 = cos ������ 2 cos2 ������ − cos ������ − 1 =0 =0 (2 cos ������ + 1)(cos ������ − 1) cos ������ = − 1 cos ������ = 1 2 ������ = 2������������ ± 0 = 2������������ ������ = 2������������ ± 2������ 3

ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ 57 อกี วธิ ี อาศยั หลกั วา่ cos 2������ กบั cos ������ จะเทา่ กนั ได้ เมือ่ 2������ และ ������ เป็นมมุ สะทอ้ นแกน X ซงึ่ กนั และกนั น่นั คอื 2������ = 2������������ ± ������ 2������ = 2������������ + ������ 2������ = 2������������ − ������ ������ = 2������������ 3������ = 2������������ ������ = 2������������ 3 โดยทงั้ สองวิธี เม่อื แจงคาตอบออกมา จะไดค้ าตอบชดุ เดยี วกนั # แบบฝึกหดั 1. กาหนดให้ ������ ∈ [0 , 2������] จงแกส้ มการตอ่ ไปนี้ 1. sin ������ = 1 2. cos ������ = 1 2 2 3. tan ������ = 1 4. cot ������ = −√3 2. จงแกส้ มการตอ่ ไปนี้ 2. sec ������ = −2 1. cosec ������ = √2 3. tan ������ = √3 4. sin ������ = − 1 5. sin 2������ = cos ������ 2

58 ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ 2. sin2 ������ + cos ������ + 1 = 0 3. กาหนดให้ ������ ∈ [0 , 32������] จงแกส้ มการตอ่ ไปนี้ 1. 4 sin2 ������ = 1 3. cos 3������ = cos ������ 4. กาหนดให้ sin ������ − sin 2������ + sin 3������ = 0 โดยที่ 0 < ������ < ������ 2 แลว้ tan ������ − tan 2������ + tan 3������ จะมีคา่ เทา่ ใด

ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ 59 5. พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้ เม่ือเอกภพสมั พทั ธ์ คอื เซตของจานวนจรงิ ขอ้ ใดถกู ตอ้ งบา้ ง 1. ∃������(cot 2������ − cot ������ = 0) 2. ∀������ (sin4 ������ + cos4 ������ = 1 − 1 sin2 2������) 2 6. สาหรบั 0 ≤ ������ ≤ 2������ กาหนดให้ ������ = { ������ | −3 cos ������ = 2 sin2 ������ และ cos ������ < 0 } และ ������ = { sec 3������ − cos 2������ | ������ ∈ ������ } จงหาคา่ ของผลบวกของสมาชิกทงั้ หมดทอ่ี ยใู่ น ������ 7. กาหนดให้ sin ������ − sin 2������ + sin 3������ = 0 โดยท่ี 0 < ������ < ������ 2 tan ������−tan 2������ sin 3������+sin 4������+sin 5������ cos ������−cos 2������ cos 3������+cos 4������+cos 5������ =ถา้ และ������ ������ = แลว้ คา่ ของ ������4 + ������4 เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ม.ี ค. 57)/36]

60 ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ 8. กาหนดให้ 180° < ������ < 270° ถา้ 3(2)sin ������ (4)cos2 ������ = 2(3)sin ������ แลว้ จงหาคา่ ของ 3 tan2 ������ − 2 sin 3������ [PAT 1 (ธ.ค. 54)/8] 9 9. ให้ ������ เป็นเซตคาตอบของ cos ������ = cos (������) จานวนสมาชกิ ในเซต ������ ∩ (0, 24������) เทา่ กบั เทา่ ใด 4 [PAT 1 (มี.ค. 54)/33]

ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ 61 10. กาหนดให้ ������ เป็นจานวนจรงิ และสอดคลอ้ งกบั สมการ 5(sin ������ + cos ������) + 2 sin ������ cos ������ = 0.04 คา่ ของ 125(sin3 ������ + cos3 ������) + 75 sin ������ cos ������ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 53)/33] 11. จงแกส้ มการ 4 sin ������ + 12 sin 3������ + 36 sin 9������ = 27 − 1 1+2 cos 2������ 1+2 cos 6������ 1+2 cos 18������ sin 27������

62 ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ ฟังกช์ นั อารค์ หวั ขอ้ นี้ จะเรยี นเก่ยี วกบั “อินเวอรส์ ” ของฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ ซง่ึ จะหมายถงึ ฟังกช์ นั ทใี่ หผ้ ลลพั ธก์ ลบั กนั กบั ฟังกช์ นั ปกติ เนือ่ งจาก sin, cos, tan จะเปลย่ี น “มมุ เป็นคา่ ” เช่น sin 30° = 1 sin 2 30° 1 ดงั นนั้ อนิ เวอรส์ จะเปลย่ี นกลบั จาก 1 เป็น 30° ดงั รูป 2 2 sin−1 เนื่องจากฟังกช์ นั ตรโี กณ เป็นแบบ many to one (เชน่ sin 30° กบั sin 150° ได้ 1 เทา่ กนั ) 2 ดงั นนั้ อนิ เวอรส์ จะมีผลลพั ธไ์ ดห้ ลายคา่ และจะไมใ่ ช่ฟังกช์ นั (เช่น sin−1 จะโยง 1 ไปที่ 30°, 150°, 390°, … เป็นตน้ ) 2 อยา่ งไรกต็ าม นกั คณิตศาสตรต์ อ้ งการอินเวอรส์ ท่ีไมก่ ากวม จงึ กาหนด “ฟังกช์ นั arc” ขนึ้ มา โดยถา้ อยากไดอ้ นิ เวอรส์ ของฟังกช์ นั ไหน เราจะเตมิ arc เขา้ ไปขา้ งหนา้ เชน่ arcsin , arccos , arctan เป็นตน้ หลกั ท่วั ๆไปในการหาอินเวอรส์ ดว้ ยฟังกช์ นั arc คอื ใหต้ อบมมุ ท่ี “เลขนอ้ ยทส่ี ดุ ” แคม่ มุ เดียว เชน่ sin 30° = sin 150° = 1 แตถ่ า้ ถาม arcsin 1 ใหต้ อบ 30° มมุ เดยี ว 2 2 sin (−30°) = sin 210° = − 1 แตถ่ า้ ถาม arcsin (− 1) ใหต้ อบ −30° มมุ เดียว เป็นตน้ 22 ดงั นนั้ arcsin √3 = 60° , 120° arccos √3 = 30° , 330° 2 2 arcsin(− √3) = −60° , 240° , 300° arctan(−1) = −45° , 135° , 315° 2 arccot √3 = 30° , 210° arcsec(−2) = 120°, 240° โดยเราจะตอ้ งจาวา่ arcsin , arctan , arccosec จะไดม้ มุ ในชว่ ง −90° ถงึ 90° arccos , arccot , arcsec จะไดม้ มุ ในชว่ ง 0° ถึง 180° หรอื ถา้ ตอบในหนว่ ยเรเดยี น เราจะสรุปโดเมน กบั เรนจ์ ของฟังกช์ นั อารค์ ไดด้ งั นี้ กลมุ่ −90° ถึง 90° กลมุ่ 0° ถึง 180° โดเมน เรนจ์ โดเมน เรนจ์ arcsin [−1, 1] [− ������ , ������] arccos [−1, 1] [0, ������] arctan R arccosec 22 arccot R (0, ������) (−∞,−1] ∪ [1, ∞) arcsec (−∞,−1] ∪ [1, ∞) [ 0, ������ ) ∪ ( ������ , ������ ] (− ������ , ������) 22 22 [− ������ , 0) ∪ (0, ������ ] 22 เนือ่ งจากฟังกช์ นั อารค์ เป็นการแปลงยอ้ นกลบั ดงั นนั้ arcsin(sin ������) = ������ และ sin(arcsin ������) = ������ แตต่ อ้ งอยา่ ลมื วา่ ประโยคดงั กลา่ ว จะเป็นจรงิ เฉพาะเม่อื ������ อยใู่ นขอบเขตของโดเมนกบั เรนจท์ รี่ ะบใุ นตารางเทา่ นนั้ กลา่ วคอื sin(arcsin ������) = ������ จรงิ เฉพาะเม่ือ ������ อยใู่ น “เรนจ”์ ของ sin น่นั คอื เมื่อ ������ ∈ [−1, 1] arcsin(sin ������) = ������ จรงิ เฉพาะเม่ือ ������ อยใู่ น “เรนจ”์ ของ arcsin น่นั คือ เมอื่ ������ ∈ [− ������ , ������] 22 ดงั จะเหน็ ไดจ้ าก arcsin (sin 150°) = arcsin (12) = 30° ≠ 150°

ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ 63 และเนอ่ื งจาก sin(arcsin ������) = ������ ดงั นนั้ arcsin ������ คือ “มมุ ที่ sin แลว้ ได้ ������” น่นั เอง # เราสามารถใชส้ ามเหลย่ี ม แสดง “มมุ ที่ sin แลว้ ได้ ������” ไดด้ งั รูป # 1 C arcsin ������ A ������ จากพที ากอรสั จะได้ AB = √12 − ������2 = √1 − ������2 B เมอ่ื รู้ AB เราจะสามารถหาฟังกช์ นั ตรโี กณมติ อิ นื่ ๆ ของมมุ arcsin ������ ได้ เชน่ cos(arcsin ������) = √1 − ������2 tan(arcsin ������) = ������ เป็นตน้ √1−������2 ในกรณีท่ีเป็นฟังกช์ นั อารค์ ของเลขติดลบ ใหแ้ ยกคิดเครอื่ งหมาย กบั ตวั เลข  ตอนคิดเครอื่ งหมาย ใหพ้ ิจารณาจตภุ าคของฟังกช์ นั อารค์ เป็นหลกั โดยไมต่ อ้ งสนใจตวั เลข  ตอนคิดตวั เลข ใหเ้ ปลยี่ นเลขตดิ ลบเป็นเลขบวก แลว้ คิดเป็นมมุ ในจตภุ าคท่ี 1 ไดเ้ ลย แลว้ จึงเอา เครอื่ งหมาย กบั ตวั เลข ทไี่ ด้ มาแปะตดิ กนั แลว้ ตอบ ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ของ sin (arcsec (− 45)) วิธีทา 1. คดิ เครอ่ื งหมาย ตามจตภุ าคกอ่ น arcsec (− 45) คือมมุ ที่ sec แลว้ ได้ − 5 → sec เป็นลบ แปลวา่ เป็นมมุ ใน Q2 หรอื Q3 4 ดงั นนั้ sin (arcsec (− 5)) = sin Q2 → ไดเ้ ครอ่ื งหมายเป็นบวก 4 2. คดิ ตวั เลข แบบไมต่ อ้ งสนใจเครอื่ งหมาย C B arcsec 5 คอื มมุ ที่ sec แลว้ ได้ 5 → วาดไดด้ งั รูป 5 44 จากพีทากอรสั จะได้ BC = 3 arcsec 5 ดงั นนั้ sin (arcsec (− 5)) = 3 4 45 A 4 รวมเครอื่ งหมายจาก 1. กบั ตวั เลขจาก 2. จะได้ sin (arcsec (− 5)) = 3 45 ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ของ cosec (arctan (− 4)) 3 วธิ ีทา 1. คิดเครอื่ งหมาย ตามจตภุ าคกอ่ น arctan (− 34) คือมมุ ท่ี tan แลว้ ได้ − 4 → tan เป็นลบ แปลวา่ เป็นมมุ ใน Q2 หรอื Q4 3 ดงั นนั้ cosec (arctan (− 4)) = cosec Q4 → ไดเ้ ครอื่ งหมายเป็นลบ 3 2. คดิ ตวั เลข แบบไมต่ อ้ งสนใจเครอื่ งหมาย C arctan (4) คือมมุ ท่ี tan แลว้ ได้ 4 → วาดไดด้ งั รูป 4 33 จากพที ากอรสั จะได้ AC = 5 B arctan 4 ดงั นนั้ cosec (arctan (4)) = 5 A 3 34 3 รวมเครอ่ื งหมายจาก 1. กบั ตวั เลขจาก 2. จะได้ cosec (arctan (− 4)) = − 5 34

64 ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ของ sin(2 arctan 2) วธิ ีทา จากสตู ร sin มมุ 2 เทา่ จะได้ = √22 + 12 C sin(2 arctan 2) = 2 sin(arctan 2) cos(arctan 2) = √5 2 =2× 2 × 1 arctan 2 A1 B √5 √5 # =4 5 อยา่ งไรกต็ าม มสี ตู รทน่ี ิยมทอ่ งกนั ดงั นี้ cosec(arccosec ������) = ������ 1. สตู รอินเวอรส์ sec(arcsec ������) = ������ cot(arccot ������) = ������ sin(arcsin ������) = ������ cos(arccos ������) = ������ tan(arctan ������) = ������ 2. สตู รสว่ นกลบั cosec(arcsin ������) = 1 sin(arccosec ������) = 1 ������ ������ sec(arccos ������) = 1 cos(arcsec ������) = 1 ������ ������ cot(arctan ������) = 1 tan(arccot ������) = 1 ������ ������ 3. สตู รคา่ ลบ arcsin(−������) = − arcsin ������ arccosec(−������) = − arccosec ������ arccos(−������) = ������ − arccos ������ arcsec(−������) = ������ − arcsec ������ arctan(−������) = − arctan ������ arccot(−������) = ������ − arccot ������ 4. สตู รโคฟังกช์ นั arcsin ������ + arccos ������ = 90° arctan ������ + arccot ������ = 90° arcsec ������ + arccosec ������ = 90° 5. สตู รพิทากอรสั sin(arccos ������) = √1 − ������2 cos(arcsin ������) = √1 − ������2 หมายเหตุ : สตู รเหลา่ นี้ จะเป็นจรงิ เมื่อ ������ อยใู่ นโดเมนของฟังกช์ นั arc ในสตู รเทา่ นนั้ โจทยอ์ กี ประเภท คอื การแกส้ มการอารค์ สว่ นใหญ่วธิ ีแก้ คอื ใหใ้ สฟ่ ังกช์ นั ตรโี กณมติ ิเขา้ ไปทงั้ สองขา้ ง เพือ่ ตดั ฟังกช์ นั อารค์ ใหห้ ายไป และกอ่ นตอบ ใหต้ รวจคาตอบดว้ ยเสมอ

ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ 65 ตวั อยา่ ง จงแกส้ มการ arcsin ������ = arccos ������ # วิธีทา arcsin ������ = arccos ������ sin(arcsin ������) = sin(arccos ������) C = √1 − ������2 ������ = √1 − ������2 1 B ������2 = 1 − ������2 arccos ������ 2������2 = 1 A ������ ������2 = 1 2 ������ = ±√1 = ±√2 22 ตรวจคาตอบ: แทน ������ = √2 จะได้ arcsin √2 = 45° = arccos √2 จรงิ 2 2 2 แทน ������ = − √2 จะได้ arcsin (− √2) = −45° 22 แต่ arccos (− √22) = 135° ดงั นนั้ − √2 ไมใ่ ช่คาตอบ 2 ดงั นนั้ คาตอบของขอ้ นี้ จงึ มเี พยี ง ������ = √2 2 แบบฝึกหดั 2. arccos 0 1. จงหาคา่ ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนี้ 1. arcsin √2 2 3. arctan(−√3) 4. arccosec(−1) 5. arccos (− √22) 6. arcsin (− √22) 2. จงหาคา่ ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนี้ 2. cos (arcsin 3) 1. sin (arcsin 1) 4 3 3. sin (arccos (− 23)) 4. sec (arctan − 43)

66 ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ 6. cot (arccot 2 − arccot 3) 5. sin (arcsin 1 + arccos 1) 32 7. tan (arctan 3 + arctan 2 + arccot 1) 3. จงแกส้ มการตอ่ ไปนี้ 2. sin (2arctan ������) = 3 1. arcsin ������ = − ������ 5 3 3. arccos 2������ + arccos ������ = ������ 2

ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ 67 4. ถา้ ������ เป็นจานวนจรงิ ท่มี ากทส่ี ดุ โดยท่ี 0 < ������ < 1 และสอดคลอ้ งกบั arctan(1 − ������) + arccot(21������) = 2arcsec√1 + 2������(1 − ������) แลว้ คา่ ของ cos ������������ เทา่ กบั เทา่ ไร 5. กาหนดให้ ������ เป็นจานวนจรงิ ถา้ arcsin ������ = ������ แลว้ คา่ ของ sin ( ������ + arccos(������2)) อยใู่ นชว่ งใด 4 15 [PAT 1 (ก.ค. 53)/6] 1. (0, 21) 2. (12 , √12) 3. (√12 , √23) 4. (√23 , 1) 6. sin(arctan 2 + arctan 3) เทา่ กบั เทา่ ใด [A-NET 49/1-7]

68 ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ 7. cot (arccos √2 − arccos 12+√√36) มีคา่ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 57)/12] 3 8. คา่ ของ sec2 (2 arctan 1 + arctan 71) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 55)/28] 3 9. คา่ ของ sec2(arctan 2) + cosec2(arccot 3) + cosec (2 arccot 2 + arccos 3) เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 5 [PAT 1 (ต.ค. 58)/6] 1. 335 2. 351 3. 375 4. 385 5. 399 24 24 24 24 24

ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ 69 10. ถา้ arcsec ������ = arcsin 1 − 2 arccos 2 แลว้ cot (������ + arcsec ������) เทา่ กบั เทา่ ใด √17 √5 2 [PAT 1 (ต.ค. 55)/10] 11. คา่ ของ cot(arccot 7 + arccot 13 + arccot 21 + arccot 31) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ม.ี ค. 54)/7] 12. คา่ ของ tan[arccot 1 − arccot 1 + arctan 97] เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 53)/31] 5 3 sin[arcsin 153+arcsin 1132]

70 ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ 13. กาหนดให้ ������ = arcsin (cos ������) และ 0 < ������ < ������ 32 sin2 ������ + sin2(������ + ������) + sin2(5������ + ������) ตรงกบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ [PAT 1 (ต.ค. 58)/7] 1. 0 2. 1 3. 3 − sin 2������ 4. 3 − cos 2������ 5. 3 − 2 cos 2������ 2 2 2 14. กาหนดให้ 0 < ������ < 15° คา่ ของ ������ = arctan ( 3 cos ������ ) − arccot ( cos ������ ) เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ 1−3 sin ������ 3−sin ������ [PAT 1 (เม.ย. 57)/12] 1. arctan(cot ������) 2. arctan(tan ������) 3. arctan(sin ������) 4. arctan(cos ������) 15. ถา้ (sin ������ + cos ������)2 = 3 เม่ือ 0 ≤ ������ ≤ ������ แลว้ arccos(tan 3������) มคี า่ เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 52)/2-6] 24

ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ 71 16. ถา้ arcsin(5������) + arcsin(������) = ������ แลว้ คา่ ของ tan(arcsin ������) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ก.ค. 52)/13] 2 17. กาหนดให้ 0 < ������ < ������ โดยท่ี ������ = arctan (1√−������+√���1���) − arctan(√������) เมอื่ 0 < ������ < 1 2 คา่ ของ tan ������ + cot ������ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 56)/32] 18. ถา้ ������ เป็นจานวนจรงิ ท่มี ากสดุ โดยที่ 0 < ������ < 1 และสอดคลอ้ งกบั arctan(1 − ������) + arccot ( 1 ) = 2 arcsec √1 + 2������(1 − ������) แลว้ คา่ ของ cos ������������ เทา่ กบั เทา่ ใด 2������ [PAT 1 (ม.ี ค. 56)/10]

72 ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ 19. ให้ −1 ≤ ������ ≤ 1 เป็นจานวนจรงิ ซงึ่ arccos ������ − arcsin ������ = ������ 2552 แลว้ คา่ ของ sin (25������52) เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ [PAT 1 (มี.ค. 52)/13] 1. 2������ 2. 1 − 2������2 3. 2������2 − 1 4. −2������ 20. ขอ้ ใดถกู ตอ้ งบา้ ง [A-NET 50/1-12] 1. tan 14° + tan 76° = 2 cosec 28° 2. ถา้ ������ > 0 และ sin(2 arctan ������) = 4 แลว้ ������ ∈ (1 , 3) 53 21. ให้ ������ เป็นเซตคาตอบของสมการ arccos(������) = arccos(������√3) + arccos(√1 − ������2) และให้ ������ เป็นเซตคาตอบของสมการ arccos(������) = arcsin(������) + arcsin(1 − ������) จานวนสมาชกิ ของเซต ������(������ − ������) เทา่ กบั เทา่ ใด เมอ่ื ������(������) แทนเพาเวอรเ์ ซตของเซต ������ [PAT 1 (มี.ค. 55)/29]

ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ 73 22. กาหนดให้ ������ = arcsin 3 + arccot 5 − arctan 8 5 3 19 1 1 ถา้ ������ เป็นเซตคาตอบของสมการ arccot 2������ + arccot 3������ = ������ จงหาผลคณู ของสมาชิกใน ������ [PAT 1 (ธ.ค. 54)/16] 23. ให้ ������ และ ������ เป็นมมุ แหลมของรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก โดยที่ tan ������ = ������ ������ ถา้ cos (arcsin (√������2������+������2)) + sin (arccos (√������2������+������2)) = 1 แลว้ sin ������ มีคา่ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 53)/29]

74 ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ การนาไปใชก้ บั สามเหลย่ี ม ในเลขพนื้ ฐาน เราไดเ้ รยี นวธิ ีนาความรูใ้ นเรอ่ื งอตั ราสว่ นตรโี กณมติ ไิ ปใชห้ าความยาวดา้ นของสามเหลยี่ มมมุ ฉากมาแลว้ ในเรอ่ื งนี้ เราจะไดเ้ รยี นกฎเก่ียวกบั สามเหลย่ี มเพ่มิ อกี 2 กฎ คอื กฎของ cos และ กฎของ sin ซง่ึ 2 กฎนจี้ ะสามารถนาไปใชก้ บั สามเหลย่ี มอะไรก็ได้ ไมต่ อ้ งจาเป็นตอ้ งเป็นสามเหลย่ี มมมุ ฉากเหมอื นเมอื่ ก่อน กฎของ cos C ������2 = ������2 + ������2 − 2������������ cos A ������ ������2 = ������2 + ������2 − 2������������ cos B ������ ������2 = ������2 + ������2 − 2������������ cos C A ������ B กฎของ sin C ������ ������ ������ = ������ = ������ (= 2R) sin A sin B sin C ������ A ������ B ตวั อยา่ ง จากรูป จงหา AB C 5 60° 6 AB วธิ ีทา จากกฎของ cos จะได้ AB2 = 52 + 62 − 2(5)(6) cos 60° ดงั นนั้ AB = √31 = 25 + 36 − 2(5)(6) (1) = 31 2 # ตวั อยา่ ง สามเหลยี่ ม ABC มดี า้ นทงั้ สาม ยาว 3, 5 และ 7 หนว่ ย ตามลาดบั จงหาวา่ สามเหลยี่ ม ABC เป็นสามเหลยี่ ม มมุ แหลม, สามเหลยี่ มมมุ ฉาก หรอื สามเหลย่ี มมมุ ปา้ น วธิ ีทา ถา้ อยากจะรูว้ า่ เป็นสามเหลยี่ มแบบไหน ตอ้ งหาวา่ มมุ ทใี่ หญ่ทส่ี ดุ ของสามเหลย่ี ม 7 3 เป็นมมุ แหลม มมุ ฉาก หรอื มมุ ปา้ น ������ มมุ ทีใ่ หญ่ท่สี ดุ ของสามเหลยี่ ม ก็คอื มมุ ทอี่ ยตู่ รงขา้ มดา้ นท่ียาวท่ีสดุ น่นั เอง 5 เน่อื งจาก cos มมุ แหลมเป็นบวก cos มมุ ฉากเป็นศนู ย์ และ cos มมุ ปา้ นเป็นลบ เราจะใชก้ ฎของ cos เพ่ือหาเครอื่ งหมายของ cos ������ 72 = 52 + 32 − 2(3)(5) cos ������ # 2(3)(5) cos ������ = 25 + 9 − 49 cos ������ = − 15 = − 1 60 4 จะเหน็ วา่ cos ������ เป็นลบ ดงั นนั้ ������ เป็นมมุ ปา้ น น่นั คือสามเหลยี่ ม ABC เป็นสามเหลย่ี มมมุ ปา้ นน่นั เอง

ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ 75 ตวั อยา่ ง จากรูป ถา้ sin ������ = 1 และกาหนดให้ B เป็นมมุ ปา้ น จงหา cos B # 3 C 6 3 AB วธิ ีทา ขอ้ นี้ ไมร่ ูค้ วามยาว AB จะใชย้ งั ไมส่ ามารถใชก้ ฎของ cos เพ่อื หา cos B ได้ แตจ่ ะเหน็ วา่ ใชก้ ฎของ sin เพ่ือหา sin B ก่อนได้ ดงั นี้ 3 =6 sin A sin B sin B = 6 × sin A = 6 × 1 = 2 3 3 3 3 แตจ่ ากเอกลกั ษณ์ sin2 B + cos2 B = 1 จะได้ cos B = ±√1 − sin2 B = ±√1 − (2)2 = ±√1 − 4 = ± √5 3 93 แตโ่ จทยบ์ อกวา่ มมุ B เป็นมมุ ปา้ น ดงั นนั้ cos ตอ้ งเป็นลบ ดงั นนั้ cos B = − √5 3 แบบฝึกหดั 2. 1. จากรูป จงหาคา่ ������ 3 120° ������ 1. 7 4 60° 5 ������ 3. √39 4. 5 30° ������ ������ 7 45° 4 5. 45° ������ 3 75°

76 ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ 2. กาหนดสามเหลย่ี ม ABC มี  = 30° และ Ĉ = 105° จงหาคา่ ของ AC BC 3. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลยี่ มท่มี ีมมุ A เทา่ กบั 60°, BC = √6 และ AC = 1 คา่ ของ cos(2B) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 52)/12] 4. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลย่ี ม โดยมี ������, ������ และ ������ เป็นความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ A มมุ B และ มมุ C ตามลาดบั ถา้ มมุ C เทา่ กบั 60° ������ = 5 และ ������ − ������ = 2 แลว้ ความยาวของเสน้ รอบรูปสามเหลยี่ ม ABC เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ม.ี ค. 55)/6]

ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ 77 5. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลย่ี มใดๆ ถา้ ดา้ นตรงขา้ มมมุ A ยาว 14 หนว่ ย ความยาวของเสน้ รอบรูปสามเหลย่ี ม เทา่ กบั 30 หนว่ ยและ 3 sin ������ = 5 sin ������ แลว้ sin 2������ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ม.ี ค. 56)/16] 6. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลยี่ มทม่ี มี มุ B และมมุ C เป็นมมุ แหลม โดยที่ 25 cos B − 13 cos C = 15 , 65(cos B + cos C) = 77 และดา้ นตรงขา้ มมมุ C ยาว 20 หนว่ ย ความยาวของเสน้ รอบรูปสามเหลย่ี ม ABC เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (เม.ย. 57)/32]

78 ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ 7. กาหนดให้ ������������������ เป็นรูปสามเหลย่ี มโดยมคี วามยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ ������ มมุ ������ และมมุ ������ เทา่ กบั ������ หนว่ ย ������ หนว่ ย และ ������ หนว่ ย ตามลาดบั สมมตุ ิวา่ มมุ ������ มขี นาดเป็นสามเทา่ ของมมุ ������ และ ������ = 2������ ขอ้ ใดตอ่ ไปนถี้ กู ตอ้ งบา้ ง [PAT 1 (พ.ย. 57)/3] 1. ������������������ เป็นรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก 2. ถา้ ������ = ������������ แลว้ ������ สอดคลอ้ งกบั 3������3 − 9������2 − ������ + 3 = 0 8. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลยี่ มใดๆ โดยที่มีความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ A มมุ B และมมุ C เทา่ กบั ������ หนว่ ย ������ หนว่ ย และ ������ หนว่ ย ตามลาดบั ถา้ มมุ A มขี นาดมากกวา่ 90° มมุ B มีขนาด 45° และ √2������ = (√3 − 1)������ แลว้ cos2(A − B − C) + cos2 B + cos2 C เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ม.ี ค. 57)/33]

ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ 79 9. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลยี่ มใดๆ ถา้ ������, ������ และ ������ เป็นความยาวดา้ นของดา้ นตรงขา้ มมมุ A มมุ B และ มมุ C ตามลาดบั โดยท่ี 1 + 1 = 3 แลว้ sin C เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 55)/16] ������+������ ������+������ ������+������+������ 10. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลยี่ มซงึ่ มดี า้ นตรงขา้ มมมุ A, B, C ยาว 2������, 3������, 4������ ตามลาดบั ถา้ sin A = ������ แลว้ cot B + cot C มีคา่ เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ [A-NET 50/1-13] 1. 1 2. ������ 3. 1 4. ������ 6������ 6 3������ 3 11. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลยี่ ม ดงั รูป A B DE C ถา้ มมุ AB̂C = 30° BÂC = 135° และ AD และ AE แบง่ มมุ BÂC ออกเป็น 3 สว่ นเทา่ ๆกนั แลว้ EC มีคา่ เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 53)/7] BC

80 ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ 12. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลย่ี มและ D เป็นจดุ กงึ่ กลางดา้ น BC ถา้ AB = 4 หนว่ ย, AC = 3 หนว่ ย และ AD = 5 หนว่ ย แลว้ ดา้ น BC ยาวเทา่ กบั เทา่ ใด 2 [PAT 1 (ก.ค. 52)/12] 13. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลย่ี มทีม่ ดี า้ น AB ยาว √2 หนว่ ย ถา้ BC3 + AC3 = 2BC + 2AC แลว้ cot C มคี า่ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 52)/1-7]

ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ 81 14. ในรูปสามเหลยี่ ม ABC ใดๆ ถา้ ������, ������ และ ������ เป็นความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ A มมุ B และ มมุ C ตามลาดบั แลว้ 1 cos A + 1 cos B + 1 cos C เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ [PAT 1 (ก.ค. 53)/7] ������ ������ ������ 1. ������2+������2+������2 2. (������+������+������)2 3. (������+������+������)2 ������2+������2+������2 2������������������ ������������������ 2������������������ 4. ������������������ 15. ให้ A, B และ C เป็นจดุ ยอดของรูปสามเหลยี่ ม ABC และ  < B̂ < Ĉ โดยท่ี tan A tan B tan C = 3 + 2√3 และ tan B + tan C = 2 + 2√3 ขอ้ ใดถกู ตอ้ งบา้ ง [A-NET 51/1-16] 1. tan C = 2 + √3 2. Ĉ = 5������ 12

82 ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ 16. กาหนดใหร้ ูปสามเหลยี่ ม ABC มดี า้ นตรงขา้ มมมุ A, B, C ยาว ������, ������, ������ ตามลาดบั และ (sin A − sin B + sin C)(sin A + sin B + sin C) = 3 sin A sin C จงหาคา่ ของ √3 cosec2 B + 3 sec2 B [PAT 1 (ธ.ค. 54)/43] 17. กาหนดให้ ������������������ เป็นรูปสามเหลยี่ มใดๆ มคี วามยาวตรงขา้ มมมุ ������ , ������ และ ������ เป็น ������ , ������ และ ������ หนว่ ยตามลาดบั ถา้ ������2 + ������2 = 31������2 แลว้ คา่ ของ 3 tan ������ (cot ������ + cot ������) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 54)/32]

ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ 83 18. กาหนด ������������������ เป็นรูปสามเหลย่ี ม โดยท่ี จดุ ยอด ������ จดุ ยอด ������ และจดุ ยอด ������ อยบู่ นเสน้ รอบวงของวงกลมวงหนง่ึ มี รศั มีเทา่ กบั ������ หนว่ ย ถา้ ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ ������ และมมุ ������ เทา่ กบั ������ และ ������ หนว่ ยตามลาดบั มมุ ���������̂��������� เทา่ กบั 18° และมมุ ���������̂��������� เทา่ กบั 36° แลว้ คา่ ของ ������ − ������ เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ [PAT 1 (ม.ี ค. 58)/7] 1. ������ 2. 1 ������ 3. 1 ������ 4. 1 ������ 2 4 16 19. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลยี่ ม โดยท่มี ีความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ A มมุ B มมุ C เทา่ กบั ������ หนว่ ย ������ หนว่ ย และ ������ หนว่ ย ตามลาดบั และมมุ A มขี นาดเป็นสองเทา่ ของมมุ B ขอ้ ใดตอ่ ไปนถี้ กู ตอ้ ง [PAT 1 (เม.ย. 57)/11] 1. ������2 = ������2 + ������������ 2. ������2 = ������2 + ������������ 3. ������2 = ������2 + ������������ 4. ������2 = ������2 + ������������

84 ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ การวดั มมุ ในหนว่ ยเรเดยี น 1. 1. (0, 1) 2. (−1, 0) 3. (−1, 0) 4. ( 1 , √3 ) 5. (0, 1) 2 2 9. (0, −1) 13. ( 1 , − √3 ) 6. ( √2 , √2 ) 7. (− 1 , √3 ) 8. ( 1 , − √3 ) 22 22 22 22 10. (− √3 , − 1 ) 11. (− √2 , √2 ) 12. ( √3 , 1 ) ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ 2 2 2 2 2 2 14. (− √3 , − 1 ) 15. (0, −1) 16. ( 1 , − √3 ) 22 22 1. 1. 1 2. −1 3. √3 4. √2 5. 2 6. 1 8. 1 9. − 1 7. − 1 12. 1 √3 2 2 3 10. 4 11. หาไมไ่ ด้ การวดั มมุ ในหนว่ ยองศา 3 1. 1. 420° 2. 144° 3. 18180° 4. −450° 2. ������ 4. −15������ 2. 1. 5������ 2. − √3 3. 2������ 6 9 4. หาคา่ ไมไ่ ด้ 2 3. 1. 1 3. −√3 2 การแปลงมมุ เป็นรูปอยา่ งง่าย 1. 1. sin ������ 2. − cos ������ 3. tan ������ 4. − cos ������ 5. cosec ������ 6. cos ������ 7. − tan ������ 8. − sec ������ 9. − cosec ������ 10. − tan ������ 11. sec ������ 12. sec ������ 13. − cot ������ 14. cot ������ 15. sin ������ 16. − sin ������ 17. − cosec ������ 18. cos ������ 19. tan ������ 20. − cosec ������ 21. − sin ������ 22. − tan ������ 23. sin 80° 24. − cos 40° 25. − tan 15° 26. − sec 10° 27. − cosec 55° 28. − cot 70° 2. 0 2. 1. 0 3. 0 # สงั เกตวุ า่ cos 20° = − cos 160° ดงั นนั้ cos3 20° = − cos3 160° cos 40° = − cos 140° ดงั นนั้ cos3 40° = − cos3 140° cos 60° = − cos 120° ดงั นนั้ cos3 60° = − cos3 120° cos 80° = − cos 100° ดงั นนั้ cos3 80° = − cos3 100° จะเห็นวา่ ผลบวกทีโ่ จทยถ์ าม จะหกั กนั ไดเ้ ป็นคๆู่ ดงั นนั้ cos3 20° + cos3 40° + cos3 60° + … + cos3 160° = 0

ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ 85 ตาราง 2. 0.4643 3. 0.6009 4. 0.0904 6. 1.5052 7. −0.3719 8. −0.7623 1. 1. 0.1880 10. 1.9511 11. −68.7501 12. 1.5398 5. 2.77995 9. 0.3706 กราฟฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ 1. 1. 1 2. 1 3. 0.05 4. 3 2. 1. 2������ 2. 2������ 3. ������ 4 6. 1 5. 2������ 2 4. 1 3 600 3. ������ = 5 , ������ = ������ 4. ������ = −3 , ������ = ������, 3������ ทบทวนสตู รเกา่ 1. 1. 1 2. √3 3. 1 4. 1 5. 1 2 7. −1 √3 9. 1 6. 1 8. −1 2. LHS = 1+sin ������+1−sin ������ = 2 = 2(cos2 ������+sin2 ������) = 2 cos2 ������ + 2 sin2 ������ = RHS 1−sin2 ������ cos2 cos2 ������ cos2 ������ cos2 ������ ������ 3. 19 = 4(1 − cos2 ������) + 11 cos ������ − 1 → 0 = 4 cos2 ������ − 11 cos ������ − 3 = (4 cos ������ + 1)(cos ������ − 3) จะได้ cos ������ = − 1 , 3 → วาดสามเหลยี่ ม ได้ ชิด = −1, ฉาก = 4 → ขา้ ม = ±√15 4 ดงั นนั้ cot2 (������ + ���2���) + sec(������ − 3������) = tan2 ������ − sec ������ = (± √115)2 − (−4) = 19 4. 0 5. 181 6. 373 สตู รผลบวกผลตา่ งมมุ 1. 1. − 7 2. −1 3. 24 4. 0 25 2. 1 25 4. 18 4. √6+√2 2. 1. 17 18 3. 6 6 17 4 2. √6−√2 3. 1. √6−√2 4 3. √6+√2 4. sin ������ 4 4 5. −2 − √3 6. 2 + √3 4. 1 2. −cos ������ 3. sin ������ 2 4. 1. cos ������ 6. −tan ������ 5. −tan ������ 3. 1 8. 1 2. √2 2 5. 1. √2 2 2 7. √2 5. 1 6. √6 2 2

86 ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ 9. 1 10. 2 11. −2 12. 2 6. 125 7. 16 8. 2 9. 222 65 สตู รมมุ สองเทา่ สามเทา่ ครง่ึ เทา่ 1. 1. − 4 2. − 24 3. − 7 4. 336 5 25 25 4. 625 2. 1. 1 2. √2 3. 1 8. 1 2 4 4 4. 5. 1 4. 4 2 6. 4 7. 2 1 8. 3. 1. 4 3 4 12. 4 2 3 5 5 3 4 2. − 3. − 9 − 4. 1. 117 125 2. 44 3. 117 16. 4 44 125 5. √6−√2 44 117 4 6. 15 7. 9. 16 13. 2 − 2√2 10. 6 11. 2 17. 1 14. 2 15. 1 18. 681 19. 25 126 20. 1 > sec 2° − tan 2° สมมตใิ ห้ sec 1° − tan 1° 1 − sin 1° > 1 − sin 2° cos 1° cos 1° cos 2° cos 2° 1−sin 1° cos 1° > 1−sin 2° cos 2° − sin 1° cos 2° cos 2° > cos 1° − sin 2° cos 1° sin 2° cos 1° – sin 1° cos 2° > cos 1° − cos 2° sin (2 − 1)° > cos 1° − cos 2° cos 2° > cos 1° − sin 1° cos2 2° > cos2 1° + sin2 1° − 2 sin 1° cos 1° 1 − sin2 2° > 1 − sin 2° sin 2° > sin2 2° เน่ืองจาก sin 2° < 1 ยิง่ ยกกาลงั จะยิ่งนอ้ ย ดงั นนั้ sin 2° > sin2 2° จึงถกู ตอ้ ง ดงั นนั้ ������ > ������ ถดั มา เราจะตรวจสอบวา่ ������ มากกวา่ 1 หรอื ไม่ สมมติให้ sec 1° − tan 1° > 1 1−sin 1° >1 cos 1° 1 − sin 1° > cos 1° 1 > sin 1° + cos 1° 1 > sin2 1° + cos2 1° + 2 sin 1° cos 1° 0> 2 sin 1° cos 1° เนอื่ งจาก 0 < 2 sin 1° cos 1° ดงั นนั้ ทีส่ มมตไิ มถ่ กู ตอ้ ง ดงั นนั้ ������ < 1 ยิง่ ถอดรูทจะยง่ิ มาก ดงั นนั้ √������ > ������ และเน่ืองจาก ������ > ������ ดงั นนั้ √������ > √������ ดงั นนั้ √������ มากที่สดุ

ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ 87 21. 27.25 22. 3 23. 8 จาก sin2 ������ + cos2 ������ = 1 ได้ sin4 ������ + cos4 ������ = 1 − 2 sin2 ������ cos2 ������ จะได้ LHS = sin4 ������+cos4 ������+cos2 ������+sin2 ������ = 2−2 sin2 ������ cos2 ������ = 4−sin2 2������ = 7 sin2 ������ cos2 ������ sin2 ������ cos2 ������ sin2 2������ แกส้ มการ ได้ sin2 2������ = 8 ได้ cos2 2������ = 1 → tan2 2������ = 8 99 24. 178 25. 1, 2 สตู รแปลงผลคณู กบั ผลบวกลบ 1. 1. 1 2. 1 3. sin 2������+sin ������ 4. − 1 2 4 2 2 5. 1 8 6. √3 3. 0 4. 0 8 2. 1. √6 2 2. − √2 5. √3 2 6. 0 3. 3.5 สงั เกตวา่ cos 20° = − cos 160° ดงั นนั้ cos2 20° = cos2 160° cos 40° = − cos 140° ดงั นนั้ cos2 40° = cos2 140° cos 60° = − cos 120° ดงั นนั้ cos2 60° = cos2 120° cos 80° = − cos 100° ดงั นนั้ cos2 80° = cos2 100° ดงั นนั้ ผลบวก = 2(cos2 20° + cos2 40° + cos2 60° + cos2 80°) = 2(cos2 20° + cos2 40° + 1 + cos2 80°) 4 = 1 + 2(cos2 20° + cos2 40° + cos2 80°) 2 = 1 + 2 (1+cos 40° + 1+cos 80° + 1+cos 160°) 22 2 2 = 1 + 3 + cos 40° + cos 80° + cos 160° 2 = 1 + 3 + 2 cos 60° cos 20° + cos 160° 2 1 = 2 + 3 + cos 20° + cos 160° = 1+3 + 0 = 3.5 2 4. 1 5. 6 6. 2 7. 1, 2 11. 2 8. 55 9. 60 10. 3 4 3 12. − 1 2 = 2 cos 108° cos 36° = 2 sin 18° cos 36° = 2 sin 18° cos 18° cos 36° = sin 36° cos 36° = sin 72° = 1 cos 18° cos 18° 2 cos 18° 2 13. 2 14. 8 15. 1 16. 2 2

88 ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ สมการตรโี กณมติ ิ 1. 1. 30° , 150° 2. 60° , 300° 3. 45° , 225° 4. 150° , 330° 3. ������������ + ������ 4. ������������ + (−1)������ (− ������) 2. 1. ������������ + (−1)������ (������) 2. 2������������ ± 2������ 43 3 6 5. 2������������ ± ������ หรอื ������������ + (−1)������ (������) 26 3. 0°, 90°, 180°, 270° 3. 1. 30°, 150°, 210° 2. 180° 4. 2√3 sin ������ − sin 2������ + sin 3������ = (sin ������ + sin 3������) − sin 2������ = 2 sin 2������ cos ������ − sin 2������ = (2 cos ������ − 1)(sin 2������) = 0 → cos ������ = 1 หรอื sin 2������ = 0 → ������ = 60°, 0°, 90° 2 tan ������ − tan 2������ + tan 3������ = √3 − (−√3) + 0 = 2√3 5. 2 ตอ้ งแกส้ มการ cot 2������ = cot ������ จาก cot ������ = cot ������ เมอ่ื ������ = ������������ + ������ จะได้ 2������ = ������������ + ������ → ������ = ������������ แต่ cot ������������ จะหาคา่ ไมไ่ ด้ ดงั นนั้ ขอ้ 1 เท็จ sin4 ������ + cos4 ������ = (sin2 ������ + cos2 ������)2 − 2 sin2 ������ cos2 ������ = 1 − 1 (2 sin ������ cos ������)2 2 1 = 1 − 2 sin2 2������ → 2 จรงิ 6. 1.5 แกส้ มการได้ cos ������ = − 1 → ������ = 120°, 240° 2 ทงั้ สองมมุ จะได้ sec 3������ − cos 2������ = 1 − (− 1) = 3 เทา่ กนั ดงั นนี้ ������ = {3} → ผลบวกสมาชิก = 1.5 22 2 7. 153 8. 3 9. 20 10. 1 11. 2������������ + ������ = 4 sin2 ������ 12 sin2 3������ 36 sin2 9������ 2 sin 9������ sin 27������ sin 3������ 4 sin ������ = 4 sin ������ ������ ทาแบบเดยี วกนั ทีส่ องตวั ทเ่ี หลอื ได้ กบั 1+2 cos 2������ 3−4 sin2 ยา้ ย ไปลบกบั ทางขวา ได้36 sin2 9������ sin2 9(3−4 sin2 9������) 9 sin 27������ 27������ sin 27������ sin 9������ 27 27−36 9������ = = 9 sin 27������ = sin 27������ sin (sin 27������)(sin 9������) ยา้ ย 12 sin2 3������ ไปลบกบั 9 ที่เหลอื แบบเดียวกนั ได้ 3(3−4sin2 3������) = 3 sin 9������ sin 9������ sin 9������ sin 3������ ยา้ ย 4 sin2 ������ ไปลบกบั 3 ท่ีเหลอื แบบเดียวกนั ได้ 3−4 sin2 3������ = 1 sin 3������ sin 3������ sin 3������ sin ������ ดงั นนั้ สดุ ทา้ ยเหลอื 0 = 1 − 1 → sin ������ = 1 → ������ = 2������������ + ������ sin ������ 2 ฟังกช์ นั อารค์ 1. 1. 45° 2. 90° 3. −60° 4. −90° 5. 135° 6. −45° 3. √5 4. 5 2. 1. 1 2. √7 3 4 3 4

ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ 89 5. 1+2√6 6. 7 7. 0 6 2. 1 , 3 3. √5 3. 1. − √3 3 5 2 4. 1 2 วาดสามเหลยี่ มจะได้ tan(arccot ( 1 ) ) = 2������ และ tan(arcsec√1 + 2������(1 − ������)) = √2������(1 − ������) 2������ ใส่ tan ตลอด ได้ 1−������+2������ = 2√2������(1−������) ตดั สว่ นทงั้ สองขา้ ง เหลอื 1 + ������ = 2√2������(1 − ������) 1−(1−������)(2������) 1−2������(1−������) 1 1 ยกกาลงั สอง ได้ 1 + 2������ + ������2 = 8������ − 8������2 → 9������2 − 6������ + 1 = 0 → ������ = 3 → cos ������������ = 2 5. 4 6. 1 7. √3 8. 2 √2 9. 4 10. 13 11. 13 12. 1 16 4 16. 1 13. 4 14. 2 15. 0 5 17. 2 18. 1 19. 2 20. 1, 2 2 21. 1 22. 1 23. 0.5 6 การนาไปใชก้ บั สามเหลย่ี ม 1. 1. √21 2. 5 3. 60° 4. 4√2 5. 3√6 3. 3 4. 45 5. − √3 2 4 8. 2 2 12. 5 2. √2 7. 1 16. 4 9. √3 11. 1 2 6. 54 10. 3 √3 13. 1 14. 1 √3 18. 1 15. 1, 2 19. 3 17. 0.2 เครดติ ขอบคณุ คณุ Theerat Piyaanangul และ คณุ Hassatorn Thamkijjanon ทีช่ ว่ ยตรวจสอบความถกู ตอ้ งของเอกสารดว้ ยครบั


Like this book? You can publish your book online for free in a few minutes!
Create your own flipbook