บทที่ 3 ตรรกศาสตร์

บทท่ี 3 ตรรกศาสตร์ ตรรกศาสตร์(Logics) หรือตรรกวิทยา เป็ นศาสตร์ทางปรัชญาท่ีว่าด้วยเร่ืองของเหตุผลการอา้ งเหตุผลและการสรุปวา่ การอา้ งเหตุผลมีความสมเหตุสมผลหรือไม่ ซ่ึงเป็ นหลกั การสาคญัของวชิ าคณิตศาสตร์ ดงั น้นั การศึกษาวธิ ีการอา้ งเหตุผลทางตรรกศาสตร์จึงมีความจาเป็ นอยา่ งยงิ่3.1 ประพจน์ ประโยคท่ีเราใช้ในชีวิตประจาวนั จะมีท้งั ประโยคที่มีค่าความจริงเป็ นจริง ประโยคที่มีค่าความจริงเป็นเทจ็ หรือบางประโยคไม่สามารถบอกคา่ ความจริงของประโยคน้นั ไดเ้ ช่น - จงั หวดั ลาปางมีเหมืองแร่ถ่านหินลิกไนทท์ ่ีใหญ่ท่ีสุดในประเทศไทย เป็ นประโยคที่มีค่าความจริ งเป็ นจริ ง - 0 เป็ นจานวนนบั ท่ีน้อยที่สุด เป็ นประโยคที่มีค่าความจริงเป็ นเท็จ เนื่องจาก 0 ไม่ใช่จานวนนบั - ใครเป็นคนไปซ้ืออาหารม้ือเยน็ ? เป็นประโยคคาถามท่ีไมส่ ามารถบอกไดว้ า่ มีค่าความจริงเป็ นจริ งหรื อเทจ็บทนิยาม 3.1 ประพจน์ (statements or proposition ) หมายถึงประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธ ท่ีสามารถบอก คา่ ความจริง (truth value) ของประโยคไดว้ า่ เป็นจริงหรือเป็นเทจ็ เพยี งอยา่ งใดอยา่ งหน่ึงตวั อย่าง 3.1 ประโยคหรือขอ้ ความใดต่อไปน้ีเป็ นประพจน์หรือไม่ พร้อมท้งั บอกค่าความจริงของประโยคที่เป็ นประพจน์ 1) เชียงรายเป็นจงั หวดั ที่อยใู่ ตส้ ุดของประเทศไทย 2) พระอาทิตยข์ ้ึนทางทิศตะวนั ตก 3) ทานอาหารเชา้ 4) 1 ไมใ่ ช่จานวนเตม็ ท่ีนอ้ ยที่สุด 5) ส่ีเหล่ียมผนื ผา้ จะมีเส้นทแยงมุมอยู่ 2 เส้น 6) อยา่ เดินลดั สนาม 7) ปลอดภยั ไวก้ ่อน

82 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ 8) จานวนไหน มีคา่ มากกวา่ 4 อยู่ 3 9) อาคือนอ้ งของพอ่ 10) จานวนนบั คือจานวนเตม็ บวกใช่หรือไม่ 11) พระเจา้ ช่วย 12) กรุณาอยา่ เสียงดงั 13) ฉนั อยากเรียนหนงั สือเก่งๆวธิ ีทา หลักในการพิจารณาว่าประโยคหรือข้อความใดเป็ นประพจน์หรือไม่ คือ ประโยคหรือขอ้ ความน้นั ตอ้ งเป็ นประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธเท่าน้นั และตอ้ งบอกไดว้ า่ ค่าความจริงของประโยคน้นั เป็นจริงหรือเป็นเทจ็ ดงั น้นั จะไดว้ า่ 1) เป็นประพจน์ ที่มีคา่ ความจริงเป็นเทจ็ 2) เป็นประพจน์ ท่ีมีคา่ ความจริงเป็นเทจ็ 3) ไมเ่ ป็นประพจน์ เพราะไมใ่ ช่ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธ 4) เป็นประพจน์ ท่ีมีคา่ ความจริงเป็นจริง 5) เป็นประพจน์ ที่มีค่าความจริงเป็นจริง 6) ไมเ่ ป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคคาสัง่ 7) ไมเ่ ป็นประพจน์ เพราะไม่เป็ นประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธ 8) ไมเ่ ป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคคาถาม 9) เป็นประพจน์ ที่มีค่าความจริงเป็นจริง 10) ไม่เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคคาถาม 11) ไมเ่ ป็นประพจน์ เพราะเป็นคาอุทาน 12) ไม่เป็นประพจน์ เพราะเป็นคาขอร้อง 13) ไมเ่ ป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคท่ีไมส่ ามารถบอกค่าความจริงได้3.2 ตัวเชื่อมประพจน์ พิจารณาประโยค 2 - 3 = 1 หรือ 2 - 3 = -1 จะเห็นว่าประโยคขา้ งตน้ เกิดจากการรวมประพจนส์ องประพจนค์ ือ 2 - 3 = 1 กบั 2 - 3 = -1 ดว้ ยการเช่ือมท้งั สองประพจนด์ ว้ ยคาวา่ หรือ ประโยคท่ีเราพบเห็นโดยทวั่ ไปอาจเป็ นประโยคท่ีเป็ นประพจน์เพียงประพจน์เดียวหรือประกอบดว้ ยประพจนม์ ากกวา่ หน่ึงประพจน์ท่ีเช่ือมกนั ดว้ ยตวั เชื่อมก็ได้ ตวั เชื่อมในทางตรรกศาสตร์มี 5 ตวั เช่ือม ไดแ้ ก่ 1) “นิเสธ” เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ ~ 2) “และ” เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ 

บทที่ 3 ตรรกศาสตร์ 83 3) “หรือ” เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์  4) “ถา้ ….แลว้ ….” เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ ....  ..... 5) “….ก็ต่อเมื่อ…” เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ ....  .....บทนิยาม 3.2 ประพจนเ์ ชิงเดียว(simple proposition) คือ ประพจน์ท่ีไม่มีตวั เชื่อมบทนิยาม 3.3 ประพจน์เชิงประกอบ(compound proposition) คือประพจน์ท่ีประกอบด้วย ประพจน์เชิงเด่ียวมากกวา่ 1 ประพจน์ โดยใชต้ วั เชื่อมในการเชื่อมแต่ละประพจน์ เขา้ ดว้ ยกนัตัวอย่าง 3.2 ประโยคต่อไปน้ีเป็ นประพจนเ์ ชิงเดียว 1) อภิชญาเป็นเดก็ ขยนั 2) 23 3) 10  5  5 4) 5) จานวนเตม็ บวกทุกจานวนมีค่ามากกวา่ 0 วนั น้ีฝนตกตวั อย่าง 3.3 ประโยคต่อไปน้ีเป็ นประพจน์เชิงประกอบ 1) 23 5 2) 3) ถา้ วนั น้ีฝนตกแลว้ ฉนั จะไม่ไปตกปลา 4) อาทิตยจ์ ะสอบผา่ นกต็ อ่ เมื่อเขาขยนั เรียนมากข้ึน 5) กาลงั สองของจานวนเตม็ บวกและจานวนเตม็ ลบมีค่ามากกวา่ ศูนย์ ไม่เป็นจริงที่วา่ ถา้ ปลูกตน้ ไมค้ นละตน้ แลว้ อากาศจะเยน็ ลง โดยปกติเพ่ือความสะดวกเราจะแทนประพจนเ์ ชิงเดียวแต่ละประพจน์ดว้ ยอกั ษรภาษาองั กฤษตวั พิมพใ์ หญ่ เช่น ให้ P แทน 3  2  5 หรือ ให้ Q แทน 3  2  5 ซ่ึงเราสามารถบอกคา่ ความจริงไดด้ งั น้ี P มีค่าความจริงเป็นเท็จ หรือ แทนค่าความจริงของ P ดว้ ย F Q มีค่าความจริงเป็นจริง หรือ แทนค่าความจริงของ Q ดว้ ย T

84 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ แต่ถ้านาประพจน์ P และประพจน์ Q มาเชื่อมด้วยตัวเช่ือมทางตรรกศาสตร์ แล้วคา่ ความจริงของประพจนเ์ ชิงประกอบที่ไดใ้ หม่จะข้ึนอยกู่ บั ตวั เช่ือมที่ใช้ ดงั จะกล่าวถึงต่อไปน้ีบทนิยาม 3.4 ถา้ P เป็นประพจนใ์ ดๆ นิเสธ(negation)ของประพจน์ P หมายถึง ประพจน์ที่เกิด จากการใส่ตวั เช่ือม “ ไม่ ” หนา้ ประพจน์ P หรือ แทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ ~ P คา่ ความจริงของ P และ ~ P เป็นดงั ตาราง 3.1 P P TF FT ตาราง 3.1 แสดงค่าความจริงของประพจน์ P จากตาราง 3.1 จะพบวา่ ถา้ P เป็นจริง P จะเป็นเทจ็ และ ถา้ P เป็นเทจ็ P จะเป็นจริงตวั อย่าง 3.4 ถา้ a แทนประพจน์ตอ่ ไปน้ี จงหา ~a 1) a แทน 3  3  0 2) a แทน สมศรีเป็ นคนขยนั 3) a แทน 4  (3)  1 4) a แทน 5  3 5) a แทน ( 1)2  12วธิ ีทา หาคา่ ความจริงของ a และนิเสธของ a ไดด้ งั น้ี 1) a แทน 3  3  0 มีคา่ ความจริงเป็ น T a แทน 3  3  0 มีค่าความจริงเป็น F 2) a แทน สมศรีเป็ นคนขยนั a แทน สมศรีไม่เป็ นคนขยนั หรือ ไมจ่ ริงท่ีวา่ สมศรีเป็นคนขยนั ซ่ึงจะมีค่า ความจริงตรงขา้ มกบั a นน่ั คือ ถา้ a เป็นจริง ~ a จะเป็นเทจ็ ถา้ a เป็นเทจ็ ~ a จะเป็นจริง

บทที่ 3 ตรรกศาสตร์ 853) a แทน 4  (3)  1 มีคา่ ความจริงเป็ นจริง a แทน ไม่จริงที่ 4  (3)  1 หรือ 4  (3)  1 ซ่ึงมีคา่ ความจริงเป็ น เทจ็4) a แทน 5  3 ซ่ึงมีค่าความจริงเป็นจริง a แทน ไมจ่ ริงที่ 5  3 หรือ 5  3 ซ่ึงมีค่าความจริงเป็ นเทจ็5) a แทน ( 1)2  12 ซ่ึงมีค่าความจริงเป็นเทจ็ a แทน ( 1)2  12 ซ่ึงมีคา่ ความจริงเป็นจริงบทนิยาม 3.5 ถ้า P และ Q เป็ นประพจน์ใดๆ ประพจน์เช่ือม(conjunction statement , conjunction proposition ) ของ P กบั Q หมายถึง ประพจน์ที่ได้จากการนา ประพจน์ P กบั Q มาเช่ือมกนั ดว้ ยตวั เชื่อม “ และ ” เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ PQ คา่ ความจริงของประพจน์ P  Q เป็นดงั ตาราง 3.2 PQ PQ TT T TF F FT F FF F ตาราง 3.2 แสดงค่าความจริงของประพจน์ P  Q จากตาราง 3.2 คา่ ความจริงของประพจน์ P  Q เป็นจริงเพียงกรณีเดียว คือ ท้งัP และ Q ตอ้ งเป็นจริงท้งั คู่ ประพจน์ P  Q ถึงจะเป็นจริง

86 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ตงั อย่าง 3.5 กาหนดให้ R แทน 1 เป็นจานวนเตม็ คู่ S แทน 2 เป็นจานวนเตม็ คู่ จะไดว้ า่ R  S แทน 1 และ 2 เป็นจานวนเตม็ คู่เน่ืองจาก R เป็นเท็จ ส่วน S เป็นจริง ดงั น้นั R  S จึงมีค่าความจริงเป็นเทจ็บทนิยาม 3.6 ถ้า P และ Q เป็ นประพจน์ใดๆ ประพจน์เลือก (disjunction statement , disjunction proposition )ของ P กบั Q หมายถึง ประพจน์ท่ีเกิดจากการเชื่อม ประพจน์ P กบั Q ดว้ ยตวั เช่ือม “ หรือ ” แทนดว้ ย สัญลกั ษณ์ P  Qค่าความจริงของประพจน์ P  Q เป็นดงั ตาราง 3.3PQ PQ TTT TTF TFT FFFตาราง 3.3 แสดงค่าความจริงของประพจน์ P  Q จากตาราง 3.3 คา่ ความจริงของประพจน์ P  Q เป็นเทจ็ เพยี งกรณีเดียวคือท้งัP และ Q ตอ้ งเป็นเท็จท้งั คู่ P  Q ถึงจะเป็นเทจ็ตัวอย่าง 3.7 กาหนดให้ P แทน 1  2  3 Q แทน 1  2   1 จะไดว้ า่ P  Q แทน 1  2  3 หรือ 1  2   1 เนื่องจาก 1  2  3 หรือ P เป็นจริง 1  2   1 หรือ Q เป็ นเท็จ ดงั น้นั P  Q มีค่าความจริงเป็นจริง

บทท่ี 3 ตรรกศาสตร์ 87ตัวอย่าง 3.8 จากตวั อยา่ ง 3.7 จงหาค่าความจริงของ 1) P  (Q) 2) ( P )  (Q) 3) (P)  Qวธิ ีทา เนื่องจาก P เป็นจริง ดงั น้นั ( ~P) เป็นเทจ็ และ Q เป็นเทจ็ ดงั น้นั ( ~Q) เป็นจริง หาคา่ ความจริงของประพจนเ์ ลือกแต่ละขอ้ ไดด้ งั น้ี 1) P  (Q) P  ~Q T ~( F ) T Tดงั น้นั คา่ ความจริงของประพจน์ P  (Q) เป็นจริง2) ( P )  (Q)  ~Q ~( F ) ~P ~( T ) FT Tดงั น้นั ค่าความจริงของประพจน์ ( ~ P )  ( ~ Q ) เป็นจริง3) (P)  Q ~P Q ~( T )  F F Fดงั น้นั คา่ ความจริงของประพจน์ (P)  Q เป็นเทจ็

88 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์บทนิยาม 3.6 ถา้ P และ Q เป็นประพจน์ใดๆ ประพจน์มเี ง่ือนไข (conditional statement , conditional proposition ) ของ P กบั Q หมายถึง ประพจนท์ ี่ไดจ้ ากการเชื่อม ประพจน์ P กบั Q ดว้ ยตวั เชื่อม “ ถา้ ….แลว้ …. ” แทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ P  Q และเรียก P วา่ เหตุ (antecedent) เรียก Q วา่ ผล (consequence) ค่าความจริงของประพจน์ P  Q เป็นดงั ตาราง 3.4 PQ P Q TT TF T FT F FF T T ตาราง 3.4 แสดงค่าความจริงของประพจน์ P  Q จากตาราง 3.4 ค่าความจริงของ P  Q เป็ นเท็จเพียงกรณีเดียวคือเมื่อเหตุ P เป็ นจริงแต่ผล Q เป็นเทจ็ตัวอย่าง 3.9 กาหนดให้ P แทน 2 เป็นจานวนอตรรกยะ Q แทน  เป็นจานวนจริง ดงั น้นั P เป็นจริง และ Q เป็นจริง P  Q แทน ถา้ 2 เป็นจานวนอตรรกยะ แลว้  เป็นจานวนจริง มีคา่ ความจริงเป็ นจริ ง Q  P แทน ถา้  เป็นจานวนจริง แลว้ 2 เป็นจานวนอตรรกยะ มีค่าความจริงเป็ นจริง สาหรับ ประพจน์ P , Q ใดๆ แลว้ ประพจน์ Q  P เรียกไดว้ า่ เป็นบทกลบั (converse)ของ ประพจน์มีเง่ือนไข P  Q

บทท่ี 3 ตรรกศาสตร์ 89 P  ~ Q แทน ถา้ 2 เป็นจานวนอตรรกยะ แลว้  ไมเ่ ป็นจานวนจริง มีค่าความจริงเป็ นเทจ็ ~ P  Q แทน ถา้ 2 ไม่เป็นจานวนอตรรกยะ แลว้  เป็นจานวนจริงมีค่าความจริงเป็ นจริ ง ~ P  ~ Q แทน ถา้ 2 ไมเ่ ป็นจานวนอตรรกยะ แลว้  ไม่เป็นจานวนจริง มีคา่ ความจริงเป็นจริง ~ Q  ~ P จะเรียกวา่ เป็นประพจน์แยง้ สลบั ท่ี( contrapositive proposition ) ของP Qตวั อย่าง 3.10 กาหนดให้R แทน 1 เป็นจานวนเตม็ ค่ีS แทน 0 เป็นจานวนเตม็ คู่จงหาค่าความจริงของประพจน์ เงื่อนไขต่อไปน้ี1) R  S2) R  ~S3) ~ R  S4) S  R5) S  ~R6) ~S  R7) ~S  ~ Rวธิ ีทา คา่ ความจริงของ R เป็นจริง และ S เป็นเทจ็1) R  S  S R T T Tดงั น้นั คา่ ความจริงของประพจน์ R  S เป็นจริง

90 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์2) R  ~S R  ~S T ~(T) F F ดงั น้นั ค่าความจริงของประพจน์ R  ~S เป็นเทจ็3) ~ R  S~R  S~(T) T F Tดงั น้นั คา่ ความจริงของประพจน์ ~ R  S เป็นจริง4) S  R R T S T Tดงั น้นั ค่าความจริงของประพจน์ S  R เป็นจริง

บทท่ี 3 ตรรกศาสตร์ 915) S  ~R S  ~R T ~(T) F Fดงั น้นั ค่าความจริงของประพจน์ S  ~R เป็นเทจ็6) ~S  R ~R  S ~(T) T F Tดงั น้นั คา่ ความจริงของประพจน์ ~S  R เป็นจริง7) ~S  ~ R S  R ~(T) ~(T) FF T ดงั น้นั คา่ ความจริงของประพจน์ ~S  ~ R เป็นจริง

92 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์บทนิยาม 3.7 ถ้า P และ Q เป็ นประพจน์ใดๆ ประพจน์เง่ือนไขสองทาง ( biconditional proposition , biconditional statement ) ของ P กบั Q หมายถึงประพจน์ท่ีได้ จากการเชื่อมประพจน์ P กบั Q ดว้ ยตวั เช่ือม “ ….ก็ต่อเม่ือ …. ” แทนดว้ ย สัญลกั ษณ์ P  Q ค่าความจริงของประพจน์ P  Q เป็นดงั ตาราง 3.5 PQ PQ TT T TF F FT F FF T ตาราง 3.5 แสดงค่าความจริงของประพจน์ P  Q จากตาราง 3.5 ค่าความจริงของ P  Q เป็ นจริงเมื่อ P และ Q มีค่าความจริงตรงกนัคือ จริงท้งั คู่ หรือ เทจ็ ท้งั คู่ แต่ P  Q จะเป็นเทจ็ เมื่อค่าความจริงของ P และ Q ไม่ตรงกนั ประพจน์ P  Q น้ีจะมีความหมายเหมือนกบั ( P  Q )  ( Q  P )ตัวอย่าง 3.11 ให้ P แทน สามเหลี่ยมสองรูปมีมุมเทา่ กนั สามมุม Q แทน สามเหลี่ยมสองรูปเทา่ กนั ทุกประการ ดงั น้นั P  Q แทน สามเหล่ียมสองรูปมีมุมเทา่ กนั สามมุม กต็ อ่ เม่ือ สามเหลี่ยมสองรูปเท่ากนั ทุกประการ ซ่ึงมีความหมายเหมือนกบั ( P  Q )  ( Q  P ) หรือถา้ สามเหลี่ยมสองรูปมีมุมเท่ากนั สามมุมแลว้ สามเหลี่ยมสองรูปเท่ากนั ทุกประการ และ ถา้ สามเหลี่ยมสองรูปเท่ากนั ทุกประการแลว้ สามเหลี่ยมสองรูปมีมุมเท่ากนั สามมุม

บทท่ี 3 ตรรกศาสตร์ 93ตวั อย่าง 3.12 ให้ P แทน 2  3  5 2) Q  P Q แทน 2  3  5 Q Tจงหาคา่ ความจริงของประพจนเ์ ง่ือนไขสองทางต่อไปน้ี 1) P  Q 2) Q  P 3) P  Q 4) Q  P 5) Q  P 6) Q  Pวธิ ีทา เนื่องจาก P เป็นเทจ็ และ Q เป็นจริง 1) P  QP Q PF T F FFP  Q เป็นเทจ็ Q  P เป็นเทจ็3) P  Q Q 4) Q  ~P ~P T ~(F) ~P  Q ~(F) T T T T TP  Q เป็นจริง Q  ~P เป็นจริง

94 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์5) Q  P P 6) Q  P ~P ~Q  F ~(F) ~(T) ~Q  ~(T) T F F T FQ  P เป็นจริง Q  P เป็นเทจ็3.3 การวเิ คราะห์ค่าความจริงของประพจน์ บางคร้ังประพจน์เชิงประกอบอาจเกิดจากประพจน์เชิงเดียวหลายๆประพจน์เชื่อมกนั ด้วยตวั เช่ือมเพียงหน่ึงตวั หรือหลายตวั เช่ือม เราจึงตอ้ งใส่วงเล็บเพ่ือแสดงลาดบั ความสัมพนั ธ์ เน่ืองจากบางคร้ังถา้ เราลาดบั ความสมั พนั ธ์ของตวั เช่ือมแต่ละตวั ในประพจน์เชิงประกอบแตกต่างกนั อาจมีผลทาใหค้ า่ ความจริงของประพจนเ์ ชิงประกอบน้นั แตกต่างกนั เช่น ถา้ 1  2  3 และ 1  2  3 แลว้ 1  2  3 ถา้ ให้ P แทน 1  2  3 Q แทน 1  2  3 และ R แทน 1  2  3 จากประพจนเ์ ชิงประกอบ เปลี่ยนเป็นสัญลกั ษณ์ คือ ถา้ P และ Q แลว้ R หรือเขียนเป็ น P  Q  R ซ่ึงตอ้ งใส่วงเล็บท่ี P  Q จะได้( P  Q )  R เนื่องจาก P เป็ นเท็จ Q เป็ นจริง และ R เป็ นจริง ดงั น้นั ค่าความจริงของ( P  Q )  R เป็ นจริง แต่ถา้ ใส่วงเลบ็ ที่ Q  R จะได้ P  (Q  R ) ค่าความจริงของ P  (Q  R ) จะเป็นเทจ็ ซ่ึงแตกต่างจากคา่ ความจริงของ ( P  Q )  R โดยทวั่ ไปการใส่วงเล็บในประพจนเ์ ชิงประกอบมีวธิ ีการดงั น้ี 1. ถา้ ประพจน์เชิงประกอบใช้ตวั เชื่อมที่เหมือนกนั การใส่วงเล็บจะใส่จากซา้ ยไปขวาดงั น้ี A  B  C  D เขียนเป็ น ( (A  B )  C )  D x  y  z  o เขียนเป็ น ((x  y)  z)  o

บทที่ 3 ตรรกศาสตร์ 95 2. ถา้ ประพจน์เชิงประกอบใช้ตวั เชื่อมที่แตกต่างกนั เราจะใส่วงเล็บตามลาดับพลงัสมั พทั ธ์(relative dominal) โดยใส่เรียงลาดบั พลงั สมั พทั ธ์จากแรงสุด ดงั น้ี ,  ,  ,  และ ~เช่น 1) P  Q  R  R  ~S ใหใ้ ส่วงเลบ็ เพือ่ แยกประพจน์เชิงประกอบท่ีเชื่อมดว้ ยตวั เชื่อม  จะได้ ( P  Q  R ) ( R  ~S ) และต่อไปคือ ( P  (Q  R )) ( R  ( ~S ) ) 2) ~ P  Q  R  ~S จะได้ ( ~ P ) ( Q  R  ~S ) ( ~ P ) ( Q  ( R  ~S ) ) 3) P  Q  R  ~P  R  ~S จะได้ (P  Q  R ) ( ~P  R  ~S ) ( (P  Q ) R )  ( (~P  R ) ~S ) 4) A  R  A  R  R  A จะได้ (A  R  A  R ) (R  A ) ((A  R) (A  R))  (R  A ) แ ต่ ถ้า ป ร ะ พ จ น์ เ ชิ ง ป ระ ก อ บ ที่ ก า ห น ด ใ ห้ไ ด้ใ ส่ ว ง เ ล็ บ ไ ว ้ก่ อ น แ ล้ว ก็ จ ะ ถื อ ล า ดับ ต า ม ท่ีกาหนดให้ การวเิ คราะห์ค่าความจริงของประพจน์เชิงประกอบ แบง่ เป็น 2 กรณี ดงั น้ีกรณที ี่ 1 ถา้ กาหนดคา่ ความจริงของประพจน์เชิงเดียวแต่ละประพจน์มาให้ จะหาค่าความจริงของ ประพจน์เชิงประกอบโดยการใชแ้ ผนภาพตน้ ไม้ และแทนคา่ ความจริงของประพจนเ์ ชิงเดียว แลว้ พจิ ารณาผลจากการใชต้ วั เช่ือมแต่ละตวั เหมือนดงั ตวั อยา่ งท่ี 3.10 และ 3.12

96 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์กรณที ี่ 2 ถา้ ไมท่ ราบค่าความจริงของประพจนเ์ ชิงเดียวแตล่ ะประพจน์ เราจะหาค่าความจริงของ ประพจน์เชิงประกอบไดโ้ ดยการ สร้างตารางวเิ คราะห์ค่าความจริงซ่ึงตอ้ งครอบคลุม ทุกกรณีที่เป็นไปไดท้ ้งั หมด 3.3.1 การหาค่าความจริงของประพจน์เชิงประกอบ เม่ือทราบค่าความจริงของประพจน์เชิงเดียว การหาค่าความจริงของประพจน์เชิงประกอบเม่ือทราบค่าความจริงของประพจน์เชิงเดียว มีวธิ ีการวเิ คราะห์ค่าความจริงดงั ตวั อยา่ งต่อไปน้ีตัวอย่าง 3.13 จงหาคา่ ความจริงของประพจน์ ตอ่ ไปน้ี เม่ือกาหนดให้ P และ Q เป็นจริงR เป็นเทจ็ (P  Q)  R 1) ( P  R )  (Q  P) 2) 3) ((PQ)  (QR))  (QR)วธิ ีทา เน่ืองจาก P และ Q เป็นจริง และ R เป็นเทจ็ R 1) ( P  Q )  R F (P  Q)  TT T F ดงั น้นั ( P  Q )  R เป็ นเทจ็

บทท่ี 3 ตรรกศาสตร์ 972) ( P  R )  (Q  P)  ~(Q  P ) TT (P  R) T TF F F F ดงั น้นั ( P  R )  (Q  P) เป็นเทจ็3) ( ( P  Q )  ( Q  R ) )  ( Q  R )(P  Q)  (Q  R)  (Q  R)T TT F TF TF T F T ดงั น้นั (( P  Q )  ( Q  R ))  ( Q  R ) เป็ นจริง ในบางคร้ังโจทยอ์ าจไม่ไดก้ าหนดค่าความจริงของประพจน์เชิงเดียวมาให้ แต่บอกค่าความจริงของประพจน์เชิงประกอบมาให้ เราก็อาจนามาหาค่าความจริงของประพจน์เชิงเดียวไดเ้ ช่นกนัหรือบางคร้ังอาจไม่จาเป็ นตอ้ งทราบค่าความจริงของประพจน์เชิงเดียวบางประพจน์เราก็สามารถวเิ คราะห์ค่าความจริงของประพจนเ์ ชิงประกอบได้ ดงั ตวั อยา่ งต่อไปน้ีตวั อย่าง 3.14 จงวเิ คราะห์คา่ ความจริงของประพจน์ ( P  R )  ( Q  ( R  P ) ) เมื่อกาหนดให้ P  R เป็นเทจ็ และ Q เป็นจริงวธิ ีทา เน่ืองจากโจทยก์ าหนดให้ Q เป็ นจริง และ P  R เป็ นเทจ็ จะเห็นวา่ P  R จะเป็ นเทจ็ เมื่อ P เป็นจริง และ R เป็นเทจ็ เราจึงไดว้ า่

98 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์P เป็นจริง , Q เป็นจริง และ R เป็นเทจ็( ~P  R)  ( Q  ( R  ~ P)) ~T F T F ~TFFFF F Tดงั น้นั ( P  R )  ( Q  ( R  P ) ) เป็นจริงตัวอย่าง 3.15 จงหาค่าความจริงของ ( P  Q )  ( Q  R ) เม่ือทราบวา่ P เป็นเทจ็วธิ ีทา เน่ืองจากโจทยบ์ อกค่าความจริงของ P เป็นเทจ็ และบอกคา่ ความจริงเพยี งประพจน์เดียว พิจารณา P  Qจะเห็นวา่ ถา้ P เป็ นเท็จ แลว้ P  Q จะตอ้ งมีค่าความจริงเป็ นจริงไม่วา่ Q จะมีค่าความจริงเป็นจริงหรือเทจ็ ก็ตาม ดงั น้นั P  Q เป็นจริง พิจารณา ( P  Q )  . . . เนื่องจาก ( P  Q ) เป็ นจริง ไม่ว่า ( P  Q ) จะเชื่อมกับประพจน์ไหนก็ตามด้วยตวั เช่ือม “ หรือ ” ประพจน์เชิงประกอบท่ีไดจ้ ะตอ้ งมีค่าความจริงเป็ นจริง ดงั น้นั ไม่วา่ ( Q  R )จะมีค่าความจริงเป็ นจริงหรือเทจ็ ก็ตามจะไดว้ ่า ( P  Q )  ( Q  R ) เป็ นจริง หรือ อาจแสดงไดด้ งั แผนภาพ (P  Q )  ( Q  R ) F T T

บทท่ี 3 ตรรกศาสตร์ 99ตัวอย่าง 3.16 กาหนดให้ ( P  Q ) เป็นจริง ( Q  R ) เป็นเทจ็ จงหาคา่ ความจริงของประพจนต์ ่อไปน้ี 1) R  ( Q  P ) 2) ( R  P)  ( P  Q )วธิ ีทา ท้งั 2 ขอ้ อาจหาค่าความจริงของ P , Q , R ก่อนดงั น้ี ( P  Q ) เป็นจริง ดงั น้นั P เป็นจริง , Q เป็นจริง ( Q  R ) เป็นเทจ็ ดงั น้นั Q เป็นจริง และ R เป็นเท็จ 1) R  ( Q  P ) R  (~Q  ~P ) F ~( T )  ~( T ) FF T Tหรือ หาค่าไดโ้ ดยไม่ตอ้ งพิจารณาค่าความจริงของ ~ Q  ~ P เลยดงั น้ี R  ( ~Q~P ) F ( ~Q~P ) Tดงั น้นั R  ( Q  P ) เป็นจริง

100 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์2) ( R  P)  ( P  Q ) ( R  ~P )  ( P  Q ) F ~( T ) TT FT F Fหรือ ( R  ~P )  (P  Q) F  ~P (P  Q) F F เน่ืองจาก R เป็นเท็จ ดงั น้นั R  P เป็นเทจ็เม่ือ R  P เป็นเทจ็ ดงั น้นั ( R  P )  ( P  Q ) เป็นเทจ็ตวั อย่าง 3.17 จงหาคา่ ความจริงของประพจน์ P , Q , R และ S เม่ือกาหนด ให้( R  S )  ( P  Q ) เป็ นเทจ็วธิ ีทา โจทยก์ าหนดให้ ( R  S )  ( P  Q ) เป็ นเทจ็แสดงวา่ R  S เป็นจริง และ P  Q เป็นเทจ็และจาก R  S เป็น จริงดงั น้นั R เป็นจริง และ S เป็นจริงและจาก P  Q เป็น เทจ็ดงั น้นั P เป็นจริง และ Q เป็นเทจ็จะไดค้ า่ ความจริงของแตล่ ะประพจน์ดงั น้ีP เป็นจริง , Q เป็นเทจ็ , R เป็นจริง และ S เป็นจริง

บทที่ 3 ตรรกศาสตร์ 101 3.3.2 การวิเคราะห์ค่าความจริงของประพจน์เชิงประกอบ เม่ือไม่ทราบค่าความจริงของประพจน์เชิงเดียว ถา้ เราไม่ทราบค่าความจริงของประพจน์เชิงเดียวน้ัน การที่จะวิเคราะห์ค่าความจริงของประพจน์เชิงประกอบน้ันเราจะทาโดยการสร้างตารางวิเคราะห์ค่าความจริงทุกกรณีที่เป็ นไปได้จานวนกรณีในการวเิ คราะห์คา่ ความจริงจะข้ึนอยกู่ บั จานวนประพจน์เชิงเดียวที่ใช้ ประพจน์ใดๆก็ตามจะมีค่าความจริงเป็ นได้เพียง 2 กรณี คือไม่จริงก็เท็จ ถ้าประพจน์เชิงประกอบน้นั ประกอบดว้ ยประพจน์เชิงเดียว 2 ประพจน์ สมมุติเป็ น P และ Q การหาค่าความจริงของประพจนเ์ ชิงประกอบน้ีจะมีกรณีต่างๆที่เป็ นไปไดอ้ ยู่ 4 กรณี ถา้ ประพจน์เชิงประกอบน้นัประกอบดว้ ยประพจน์เชิงเดียว n ประพจน์ การหาค่าความจริงของประพจน์เชิงประกอบน้ีจะมีกรณีต่างๆ ที่เป็นไปไดอ้ ยู่ 2 n กรณีดงั ตวั อยา่ งตอ่ ไปน้ีตวั อย่าง 3.18 จงวเิ คราะห์ค่าความจริงของประพจน์ ( P  ~P )  Pวธิ ีทา เนื่องจากประพจน์เชิงประกอบน้ี ประกอบดว้ ยประพจน์เชิงเดียวเพียงประพจน์เดียว คือ Pดงั น้นั ตารางวิเคราะห์ค่าความจริงจึงมีเพียง 2 กรณี คือกรณีท่ี P เป็ นจริง หรือกรณีที่ P เป็ นเทจ็ซ่ึงสามารถแสดงโดยใชต้ ารางวเิ คราะห์คา่ ความจริง ซ่ึงจะทาใหก้ ารพจิ ารณาค่าความจริงของประพจน์เชิงประกอบ ง่ายตอ่ การทาความเขา้ ใจ ดงั น้ีP P P  P (P  P )  PTF F TFT T T จากตารางขา้ งตน้ ค่าความจริงของประพจน์ ( P  ~P )  P จะเป็ นได้ 2 กรณีคือถา้ ประพจน์ P เป็นจริงแลว้ ประพจน์ ( P  ~P )  P จะเป็นจริง หรือ ถา้ ประพจน์ P เป็ นเทจ็ แลว้ ประพจน์ ( P  ~P )  P จะเป็นจริงตวั อย่าง 3.19 จงหาคา่ ความจริงของประพจน์ P  ( Q  ~Q )วธิ ีทา P  ( Q  ~Q ) ประกอบดว้ ยประพจนเ์ ชิงเดียว 2 ประพจน์ คือ P และ Q ดงั น้นัการวเิ คราะห์คา่ ความจริงจึงแบ่งเป็น 4 กรณีที่เป็นไปไดด้ งั ตาราง

102 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์PQ Q Q  Q P  ( Q  Q )TT F T TTF T T TFT F T TFF T T T จากท้งั สองตวั อยา่ งท่ีผา่ นมา ผลปรากฏวา่ ทุกกรณีท่ีเป็ นไปไดข้ องการวิเคราะห์ค่าความจริงของประพจน์เชิงประกอบมีค่าความจริ งเป็ นจริงทุกกรณี เราเรียกประพจน์เชิงประกอบที่มีคา่ ความจริงเป็นจริงทุกกรณีวา่ เป็น สจั นิรันดร์ตัวอย่าง 3.20 จงหาคา่ ความจริงของประพจน์ตอ่ ไปน้ี 1) ( (P  Q )  Q ) 2) ( P  Q )  (Q  R ) 3) ((P  Q)  (Q  R) ) (P  R)วธิ ีทา 1) ( (P  Q )  Q ) ประกอบดว้ ยประพจน์เชิงเดียว 2 ประพจน์ คือ P และ Q จึงมี กรณีท่ีเป็ นไปได้ 4 กรณี ดงั ตารางP Q Q P  Q (P  Q )  Q ( (P  Q )  Q )TTF T T FTFT F T FFTF T T FFFT T T F

บทท่ี 3 ตรรกศาสตร์ 1032) ( P  Q )  (Q  R ) ประกอบดว้ ยประพจน์เชิงเดียวคือ P , Q และ R จึงมีกรณีท่ีเป็ นไปได้ 8 กรณีดงั น้ีP Q R P  Q ( P  Q ) Q  R ( P  Q ) (Q  R )T TT T F T TT TF T F F FT FT F TT TT FF F TT TF TT F TT TF TF F TF TF FT F TT TF FF F TT T3) ((P  Q)  (Q  R))  (P  R)P Q R PQ QR (PQ) PR ((P  Q)  (Q R)) ( QR)  (P R)TTT T T T T TTTF T F F F TTFT F T F T FTFF F T F F TFTT T T T T TFTF T F F T FFFT T T T T TFFF T T T T T

104 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์3.4 สัจนิรันดร์ ประพจนเ์ ชิงประกอบใดท่ีมีคา่ ความจริงเป็นจริงทุกกรณี เราจะเรียกประพจนน์ ้นั วา่ เป็นสัจนิรันดร์บทนิยาม 3.8 ประพจนเ์ ชิงประกอบท่ีมีคา่ ความจริงเป็นจริงทุกกรณี เรียกวา่ สจั นิรันดร์(tautology) เราสามารถตรวจสอบไดว้ า่ ประพจนเ์ ชิงประกอบใดเป็นสจั นิรันดร์หรือไม่โดยการสร้างตารางวิเคราะห์คา่ ความจริงทุกกรณีท่ีเป็นไปได้ตัวอย่าง 3.21 จงแสดงวา่ ( P  Q )  ( P  Q ) เป็นสัจนิรันดร์วธิ ีทา สร้างตารางวเิ คราะห์ค่าความจริง ได้ 4 กรณีดงั ตารางP Q PQ PQ (P  Q )  (P  Q ) TTT T T T TTF F F TFT F FFF F Tดงั น้นั ( P  Q )  ( P  Q ) เป็ นสัจนิรันดร์ตัวอย่าง 3.22 จงตรวจสอบวา่ ประพจน์เชิงประกอบต่อไปน้ีเป็ นสจั นิรันดร์หรือไม่ 1) P  (Q  Q) 2) P  (P  Q) 3) ( (P  Q)  (Q  R) )  (P  R) 4) P Qวธิ ีทา สร้างตารางวเิ คราะห์คา่ ความจริงของประพจน์เชิงประกอบแตล่ ะขอ้ ดงั น้ี

บทท่ี 3 ตรรกศาสตร์ 1051) P  (Q  Q)P Q Q Q  Q ( Q  Q ) P  ( Q  Q ) FTTF T F F FTFT T F FFTF T FFFT T FP  (Q  Q) ไม่เป็นสจั นิรันดร์2) P  (P  Q)PQ PQ P  (P  Q) T TTT T TTF T TFT F TFFP  (P  Q) เป็นสัจนิรันดร์3) ( (P  Q)  (Q  R) )  (P  R)P Q R PQ QR (PQ) PR [(PQ)( QR)] ( QR)  (PR)TTT T T T T TTTF T F F F TTFT F T F T TTFF F T F F TFTT T T T T TFTF T F F T TFFT T T T T TFFF T T T T Tดงั น้นั ( (P  Q)  (Q  R) )  (P  R) เป็นสัจนิรันดร์

106 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์4) P QPQ P P  Q F TTT F TTF T TFT T FFFดงั น้นั P Q ไม่เป็นสัจนิรันดร์ นอกจากประพจนเ์ ชิงประกอบบางประพจน์จากตวั อยา่ ง 3.22 แลว้ ยงั มีประพจนเ์ ชิงประกอบอีกหลายประพจนท์ ี่เป็ นสจั นิรันดร์ เช่น [(PQ)  P]  P [(PQ) ~P]  ~ P (PQ)  P (PQ)  Q (PQ)  (PQ) [(PQ)  (QR)]  (PR) [P (Q~ Q)]  ~ P P  (PQ) [(PQ) ~ P)]  Q [(PQ) ~ Q)]  P P  ~(~P) ~ (PQ)  (~P  ~ Q) ~ (PQ)  (~P  ~ Q) ~(PQ)  (P  ~ Q) (PQ)  (~ P  Q) (PQ)  (~ Q  ~ P) [(PQ)  (PR)]  [P(Q R)] นกั ศึกษาสามารถตรวจสอบวา่ ประพจน์เชิงประกอบขา้ งตน้ เป็ นสัจนิรันดร์หรือไม่ โดยการสร้างตารางวเิ คราะห์ค่าความจริงดงั ท่ีไดก้ ล่าวมาแลว้

บทที่ 3 ตรรกศาสตร์ 1073.5 การสมมูลและความเป็ นเงื่อนไข ในหวั ขอ้ น้ีจะกล่าวถึงการสมมูลและความเป็นเงื่อนไขของประพจนส์ องประพจน์ใด ๆบทนิยาม 3.9 ประพจน์ A จะสมมูล(equivalent) กบั ประพจน์ B กต็ ่อเม่ือ ประพจน์ A กบั ประพจน์ B มีคา่ ความจริงเหมือนกนั ทุกกรณี กรณีต่อกรณี เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ A  B หรือ A  B การตรวจสอบว่าประพจน์ที่กาหนดให้สมมูลกนั หรือไม่ ทาโดยการสร้างตารางวิเคราะห์ค่าความจริง แลว้ ดูว่าท้งั สองประพจน์มีค่าความจริงในแต่ละกรณีตรงกนั กรณีต่อกรณีหรือไม่ ดงัตวั อยา่ งต่อไปน้ีตวั อย่าง 3.23 จงแสดงวา่ ~ (PQ)  (~P  ~ Q)วธิ ีทา PQ P  Q (P  Q) P TT T FF Q P  Q TF T FF FF FT T FT TF FF F TT FF TT ดงั น้นั ~ ( P  Q )  (~ P  ~ Q ) P  Qตัวอย่าง 3.24 จงแสดงวา่ ( P  Q )  ( ~ P  Q ) Tวธิ ีทา F T P Q PQ P T F TT T F T TF F T FT T FF T ดงั น้นั ( P  Q )  ( ~ P  Q )

108 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ตัวอย่าง 3.25 จงตรวจสอบวา่ ประพจนค์ ูใ่ ดสมมูลกนั 1) (PQ)  (QP) , P  Q 2) P(QR) , (P  Q) Rวธิ ีทา (PQ)  (QP) , P  Q 1) P Q P  Q Q  P (P  Q )  (Q  P ) P  Q TT T T T T TF F T F F FT T F F F FF T T T T ดงั น้นั ( P  Q )  ( Q  P )  P  Q2) P  (Q  R ) , (P  Q)  RP Q R P  Q Q  R P  ( Q  R ) (P  Q) RTT T T T T TTT F T F F FTF T F T T TTF F F T T TFT T T T T TFT F T F T FFF T T T T TFF F T T T F ดงั น้นั P  (Q  R ) , (P  Q)  R ไมส่ มมูลกนั ถา้ ประพจน์ A และประพจน์ B สมมูลกนั หรือ A  B แลว้ เราสามารถแทน A ดว้ ย Bหรือ แทน B ดว้ ย A โดยใชก้ ฎการแทนที่ตอ่ ไปน้ี

บทท่ี 3 ตรรกศาสตร์ 109กฎการแทนท่ี1. กฎของเดอมอร์แกน( De Morgan’s laws ) ~ (PQ)  (~P  ~ Q) ~ (PQ)  (~P  ~ Q)2. กฎการสลบั ท่ี (commutative laws) PQ  Q  P PQ  Q  P3. กฎการเปล่ียนหมู่ (associative laws) P (QR)  (P Q)R P (QR)  (P Q)R4. กฎการแจกแจง (distributive laws) P (QR)  (P Q)(P R) P (QR)  (P Q)(P R)5. กฎนิเสธซอ้ น (laws of double negation) ~(~P)  P6. กฎการแยง้ สลบั ท่ี ( contrapositive laws) PQ  ~ Q~ P7. กฎเปล่ียนรูปเง่ือนไข (equivalence form for implication) PQ  ~ P Q8. กฎเปลี่ยนรูปสมมูล (material equivalence) P  Q  (PQ)  (QP) P  Q  (PQ) (~ P~ Q)9. กฎส่งเหตุไปสู่ผล (exportation)(PQ) R  P(Q R)10. กฎเนน้ เงื่อนไข (absorption) P Q  P(P Q)11. ประพจน์สัจนิรันดร์11.1 P  P  P 11.6 P  F  F11.2 P  P  P 11.7 P ~ P  T

110 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์11.3 P  T  T 11.8 P ~ P  F11.4 P  T  P 11.9 P  ( P  Q)  P11.5 P  F  P 11.10 P  ( P  Q)  Pหมายเหตุ T ในกฏขอ้ 11. หมายถึงประพจน์ที่เป็นสจั นิรันดร์ F ในกฏขอ้ 11. หมายถึงประพจน์ท่ีมีคา่ ความจริงเป็นเทจ็ ทุกกรณี สาหรับประพจน์ที่สมมูลกนั ถา้ นาท้งั สองประพจน์มาเชื่อมกนั ดว้ ยตวั เชื่อม“  ” จะได้ประพจนท์ ่ีเป็นสจั นิรันดร์ ประโยชน์ของกฎการแทนที่ เราสามารถใชก้ ฎการแทนท่ีหลายๆคร้ังซ่ึงจะเรียกวธิ ีการน้ีวา่ วธิ ีการโซ่สมมูล (chain ofequivalence method)เพือ่ เปลี่ยนรูปประพจนเ์ ชิงประกอบใหอ้ ยใู่ นรูปท่ีพจิ ารณาค่าความจริงไดง้ ่ายข้ึนหรือ เพอ่ื เปลี่ยนรูปประพจน์ไปสู่รูปท่ีตอ้ งการได้ ดงั ตวั อยา่ งต่อไปน้ีตวั อย่าง 3.26 จงเปล่ียนรูปประพจน์ต่อไปน้ีใหง้ ่ายข้ึน 1. P  (Q  ~P) 2. (P  Q)  ~Pวธิ ีทา P  (Q  ~P)  (P  Q)  (P ~P) 1)  (P  Q)  T  PQ ดงั น้นั สามารถเปลี่ยนประพจน์ P  ( Q  ~ P ) เป็น P  Q ได้2) ( P  Q )  ~ P  ( ~ P  Q )  ~ P  (Q  ~P)  ~P  Q  (~P  ~P)  Q ~P ดงั น้นั สามารถเปล่ียนประพจน์ ( P  Q )  ~ P เป็ น Q  ~ P ได้

บทที่ 3 ตรรกศาสตร์ 111ตัวอย่าง 3.27 ประพจน์ต่อไปน้ีเป็นประพจน์สจั นิรันดร์หรือไม่ 1) ~ (~ P)  [P(PR)] 2) P(Q~ P)วธิ ีทา 1) ~ (~ P)  [P(PR)] ~ (~ P)  [P(PR)]  P  [P(PR)]  PP  ~P  P เน่ืองจาก ~P  P  T ดงั น้นั ~ ( ~ P )  [P  ( P  R )] เป็ นสจั นิรันดร์ 2) P(Q~ P)เทจ็ ทุกกรณี P(Q~P)  P(~PQ)  (P~ P)Q  FQ เนื่องจาก F  Q  F ดงั น้นั P  ( Q  ~ P ) ไม่เป็ นสัจนิรันดร์ แต่เป็ นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็ นบทนิยาม 3.10 ประพจน์ A จะเป็นเงื่อนไขของประพจน์ B ก็ตอ่ เม่ือ A  B เป็นสจั นิรันดร์ตวั อย่าง 3.28 จงแสดงวา่ P เป็นเง่ือนไข ของ P  Qวธิ ีทา แสดงไดด้ งั ตาราง PQ PQ P  (P  Q ) T T TT T T TF T T FT F T FF เนื่องจาก P  ( P  Q ) เป็นสจั นิรันดร์ ดงั น้นั P เป็นเงื่อนไขของ P  Q

112 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ตัวอย่าง 3.29 ( P  Q )  ~ P เป็นเงื่อนไข ของ P หรือไม่วธิ ีทาP Q PQ P (P  Q )   P [(P  Q )   P]  PTT T F F TTF T F F TFT T T T FFF F T F T เน่ืองจาก [( P  Q )  ~ P ] P ไม่เป็ นสัจนิรันดร์ ดงั น้นั ( P  Q )  ~ P จึงไม่เป็ นเง่ือนไขของ P3.6 การอ้างเหตุผล การอา้ งเหตุผลคือการตรวจสอบวา่ ประพจน์ชุดหน่ึงที่กาหนดให้ซ่ึงเราเรียกวา่ เหตุจะเป็ นตวักาหนดให้ไดป้ ระพจน์ใหม่ท่ีเป็ นขอ้ สรุปได้หรือไม่ การอา้ งเหตุผลน้ีอาจจะสมเหตุสมผลหรือไมส่ มเหตุสมผลก็ได้บทนิยาม 3.11 การอา้ งเหตุผล(argument)หมายถึง การยืนยนั วา่ ชุดของประพจน์ P1 , P2 , . . . , Pn ชุดหน่ึงท่ีกาหนดใหซ้ ่ึงจะเรียกวา่ เหตุ (permises) จะทาใหไ้ ดป้ ระพจน์ Q ซ่ึงเรียกวา่ ขอ้ สรุป(conclusion) การอา้ งเหตุผลน้ีเขียนแทนไดด้ ว้ ยสญั ลกั ษณ์ P1 , P2 , . . . , Pn  Qบทนิยาม 3.12 เราจะเรียกการอา้ งเหตุผล P1 , P2 , . . . , Pn  Q วา่ สมเหตุสมผล(valid) ก็ต่อเม่ือ ประพจน์ ( P1  P2  . . .  Pn )  Q เป็ นสจั นิรันดร์ จากบทนิยาม 3.12 ถา้ ตอ้ งการทราบวา่ การอา้ งเหตุผลน้นั สมเหตุสมผลหรือไม่ ให้ตรวจสอบโดยการหาค่าความจริงของ (P1  P2  . . .  Pn )  Q ถา้ ค่าความจริงเป็ นจริงทุกกรณีหรือเป็นสัจนิรันดร์ แสดงวา่ การอา้ งเหตุผลน้นั สมเหตุสมผล แตถ่ า้ คา่ ความจริงไม่ใช่สจั นิรันดร์ แสดงวา่การอา้ งเหตุผลน้นั ไมส่ มเหตุสมผล(invalid)

บทท่ี 3 ตรรกศาสตร์ 113ตัวอย่าง 3.30 จงพจิ ารณาวา่ การอา้ งเหตุผลต่อไปน้ีสมเหตุสมผลหรือไม่เหตุ (1) P  Q (2) Pขอ้ สรุป Qวธิ ีทา สร้างตารางวเิ คราะห์ค่าความจริงของ [( P  Q )  P ]  Q วา่ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่P Q P  Q (P  Q)P [(P  Q)P]  QTT T T TTF T T FFT T F TFF F F Tแสดงวา่ การอา้ งเหตุผลขอ้ น้ีไมส่ มเหตุสมผลตวั อย่าง 3.31 “ถา้ พ่ีร่ารวยแลว้ พี่จะไปขอน้องแต่งงาน แต่พี่ยงั ไม่รวยเสียที ดงั น้นั พี่ยงั ไม่ไปขอนอ้ งแตง่ งาน”การอา้ งเหตุผลขา้ งตน้ สมเหตุสมผลหรือไม่วธิ ีทา ให้ P แทน พ่รี ่ารวย Q แทน พจ่ี ะไปขอนอ้ งแต่งงาน ~ P แทน พ่ียงั ไมร่ วยเสียที ~ Q แทน พยี่ งั ไม่ไดไ้ ปขอนอ้ งแตง่ งานการอา้ งเหตุผลน้ีประกอบดว้ ยเหตุ และขอ้ สรุปคือ เหตุ (1) P  Q (2) ~ P ขอ้ สรุป ~Qหรือเขียนไดเ้ ป็ น (P  Q ) , ~ P  ~ Qตรวจสอบความสมเหตุสมผลโดยการสร้างตารางวเิ คราะห์คา่ ความจริงของ[( P  Q )  ~ P ]  ~ Q ดงั น้ี

114 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์P Q P Q P  Q ( P  Q)  P [ ( P  Q)  P ] QTT F F T F TTF F T F F TFT T F T T FFF T T T T T [( P  Q )  ~ P ]  ~ Q ไมเ่ ป็ นสัจนิรันดร์ดงั น้นั แสดงวา่ การอา้ งเหตุผลน้ี ไม่สมเหตุสมผลตัวอย่าง 3.32 จงตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการอา้ งเหตุผล “ถา้ พี่ร่ารวยแลว้ พี่จะไปขอนอ้ งแต่งงาน แต่พไ่ี ม่ไดไ้ ปขอนอ้ งแตง่ งาน กเ็ พราะพีย่ งั ไม่รวยเสียที”การอา้ งเหตุผลขา้ งตน้ สมเหตุสมผลหรือไม่วธิ ีทา ให้ P แทน พ่รี ่ารวยQ แทน พีไ่ ปขอนอ้ งแต่งงาน~ P แทน พ่ไี ม่ร่ารวย~ Q แทน พยี่ งั ไมไ่ ปขอนอ้ งแตง่ งานการอา้ งเหตุผลน้ีประกอบดว้ ยเหตุและขอ้ สรุป คือเหตุ (1) P  Q (2) ~ Qขอ้ สรุป ~Pหรือ (P  Q ) , ~ Q  ~ Pตรวจสอบความสมเหตุสมผลโดยการสร้างตารางวิเคราะห์คา่ ความจริงของ[( P  Q )  ~ Q ]  ~ P ดงั น้ีP Q P Q P  Q (P  Q )  Q [(P  Q )  Q ]  PTT F F T F TTF F T F F TFT T F T F TFF T T T T Tคา่ ความจริงของประพจน์ [( P  Q )  ~ Q ]  ~ P เป็ นสัจนิรันดร์ดงั น้นั แสดงวา่ การอา้ งเหตุผลน้ี สมเหตุสมผล

บทท่ี 3 ตรรกศาสตร์ 115 ในการตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการอา้ งเหตุผลในแต่ละขอ้ ถา้ ใชว้ ิธีการสร้างตารางวเิ คราะห์ความสมเหตุสมผลดงั กล่าววา่ เป็นสจั นิรันดร์หรือไม่ เป็ นเร่ืองยุง่ ยากไม่สะดวก จึงนิยมอาศยัรูปแบบการอ้างเหตุผลที่สมเหตุสมผลแล้วมาประกอบการพิสูจน์เป็ นข้นั ๆไป โดยรูปแบบการอา้ งเหตุผลท่ีสมเหตุสมผลแลว้ น้ีเรียกวา่ กฎการอา้ งอิง กฏอา้ งอิงท่ีมกั ใชก้ นั โดยทว่ั ไปมีดงั ต่อไปน้ี กฏการอ้างองิ1. กฎยนื ยนั เหตุ (P  Q), P  Q2. กฎปฏิเสธผล (P  Q), ~Q  ~P3. ตรรกบทแบบสมมุติฐาน (P  Q) ,(Q R)  (P  R)4. ตรรกบทแบบคดั ออก (P  Q) , ~ P  Q5. กฎเลือกเง่ือนไข (PQ)  (RS) , (P  R)  (Q  S)6. กฎเลือกปฏิเสธผล (PQ)  (RS) , Q  S  P  R7. กฎเปล่ียนใหง้ ่าย PQ  P8. กฎรวม P , Q  PQ9. กฎเพิ่ม P  PQ

116 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์10. กฎแยง้ สลบั ที่ P  Q  QP นอกจากน้ีประพจนท์ ่ีสมมูลกนั กอ็ าจถูกนามาใชแ้ ทนที่ในการอา้ งเหตุผลดว้ ยเช่นกนัตวั อย่าง 3.33 จงพสิ ูจน์วา่ การให้เหตุผลต่อไปน้ีสมเหตุสมผลหรือไม่เหตุ (1) A  B (2) B  ~ C (3) Aขอ้ สรุป ~Cวธิ ีทา 1. A  B (จากเหตุขอ้ 1)2. B  ~ C (จากเหตุขอ้ 2)3. A  ~ C (ตรรกบทแบบสมมุติฐาน)4. A (จากเหตุขอ้ 3)5. ~ C (กฎยนื ยนั เหตุ )ดงั น้นั การอา้ งเหตุผลขอ้ น้ีสมเหตุสมผลตัวอย่าง 3.34 จงตรวจสอบวา่ (P  ~ Q) , (R  Q) , R  ~ P สมเหตุสมผลหรือไม่วธิ ีทา 1. P  ~ Q (จากเหตุ)2. R  Q (จากเหตุ)3. ~ Q  ~ R (จาก กฏแยง้ สลบั ท่ีของ 2 )4. P  ~ R (จาก 1 , 3 และตรรกบทแบบสมมุติฐาน)5. R (จากเหตุ)6. ~ P (จาก 4 , 5 และตรรกบทแบบสมมุติฐาน)ดงั น้นั การอา้ งเหตุผลน้ีสมเหตุสมผลตัวอย่าง 3.35 จงหาขอ้ สรุปท่ีสมเหตุสมผลจากเหตุตอ่ ไปน้ี เหตุ 1. ( A  B )  (C  D ) 2. ~ C  ~ D

บทที่ 3 ตรรกศาสตร์ 117วธิ ีทา 1. ~ C  ~ D (จากเหตุ 2) 2. ~ (C  D ) (ประพจน์สมมูลกบั 1) 3. ( A  B )  ( C  D ) (จากเหตุ 1) 4. ~ ( A  B ) (กฎปฏิเสธผล ) ดงั น้นั ขอ้ สรุปที่สมเหตุสมผลคือ ~ ( A  B )3.7 ประโยคเปิ ดและวลบี ่งปริมาณ ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่บอกค่าความจริงได้ เราเรียกว่าประพจน์ แต่ยงั มีประโยคบอกเล่า หรือประโยคปฏิเสธบางประโยคที่เราไม่สามารถบอกค่าความจริงของประโยคได้เนื่องจากมีตวั แปร หรือตวั ไม่ทราบค่าอยูใ่ นประโยคดว้ ย เช่น “ เขาเป็ นนกั เรียนดีเด่น ” เน่ืองจากเราไม่ทราบวา่ “ เขา ” คือใครจึงทาให้ไม่สามารถบอกค่าความจริงได้ แต่ถา้ แทน “ เขา ” ดว้ ยนกั เรียนคนใดคนหน่ึง แลว้ กจ็ ะสามารถบอกไดว้ า่ ประโยคน้ีมีคา่ ความจริงเป็นจริงหรือเทจ็ ประโยค x  3  5 ก็เช่นกนั เราไม่สามารถบอกค่าความจริงของประโยคได้ แต่ถา้แทนค่าตวั แปร x ดว้ ย 1 กจ็ ะทาใหป้ ระโยค x  3  5 มีคา่ ความจริงเป็นจริง จากตวั อย่างขา้ งตน้ เราจะเรียกประโยคท่ีมีตวั ไม่ทราบค่า หรือตวั แปร(variables) อยู่ในประโยควา่ ประโยคเปิ ด(open sentence) ซ่ึงนิยมใชส้ ัญลกั ษณ์ P( x ) , P( y ) แทนประโยคเปิ ดท่ีมีตวั แปร x , y ตามลาดบับทนิยาม 3.13 ถา้ P( x ) เป็นประโยคเปิ ด และ U เป็นเอกภพสัมพทั ธ์ แลว้ คาตอบ (solution) ของประโยคเปิ ด P( x ) คือ ค่า x ใน U ท่ีทาให้ P( x ) เป็ นจริง และเรียกเซต ของ x วา่ เซตคาตอบของประโยคเปิ ด P( x )ตวั อย่าง 3.36 ให้ U  { 1, 2 , 3 , . . . , 10 } และ P( x ) แทน x  3  8จะไดว้ า่ P(x) : x  3  8 P(1) : 1  3  8 เป็ นจริ ง เป็ นจริ ง P(2) : 2  3  8 เป็ นจริ ง เป็ นจริ ง P(3) : 3  3  8 P(4) : 4  3  8

118 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์P(5) : 5  3  8 เป็ นเทจ็P(6) : 6  3  8 เป็ นเทจ็P(7) : 7  3  8 เป็ นเทจ็P(8) : 8  3  8 เป็ นเทจ็P(9) : 9  3  8 เป็ นเทจ็P(10) : 10  3  8 เป็ นเทจ็คา่ x ท่ีทาให้ P( x ) เป็นจริงไดแ้ ก่ 1 , 2 , 3 , 4ดงั น้นั เซตคาตอบของ P( x ) คือ { 1 , 2 , 3 , 4 } โดยปกติแลว้ เราไม่สามารถบอกค่าความจริงของประโยคเปิ ด P( x ) ได้ จนกวา่ จะแทนค่าตวั แปร x แต่ในบางคร้ังถ้าประโยคเปิ ดน้ันมีวลีบอกปริมาณ(quantifiers) อยู่ในประโยค เราสามารถบอกไดว้ ่าประโยคเปิ ดน้นั มีค่าความจริงเป็ นจริงหรือเท็จได้ จึงมีผลทาใหป้ ระโยคเปิ ดที่มีตวั บง่ ปริมาณกลายเป็นประพจน์ ในวชิ าตรรกศาสตร์เราแบง่ วลีบอกปริมาณเป็ น 2 ชนิดไดแ้ ก่ 1) วลีบอกปริมาณท่ีแสดงถึงปริมาณท้งั หมด(universal quantifiers) ซ่ึงจะมีคาวา่“ ท้งั หมด ” “ ทุกๆ ” “ ใดๆ ” หรือ “ แต่ละ ” ซ่ึงคาเหล่าน้ีจะหมายถึงทุกส่ิงทุกอยา่ งในเซตที่กล่าวถึง ใชส้ ญั ลกั ษณ์แทนดว้ ย “  ” วลีบอกปริมาณจะใชค้ วบคู่กบั ประโยคเปิ ดเสมอ ดงั ตวั อยา่ ง “ สาหรับ x ทุกตวั ถา้ xเป็ นจานวนนับ แล้ว x จะเป็ นจานวนเต็มเสมอ ” ถ้าให้ P( x ) แทนประโยคเปิ ดx  N  x  I เขียนแทนดว้ ย (x ) P(x ) หรือ (x ) [x  N  x  I] “ คนทุกคนตอ้ งตาย ” ถา้ ให้ Q ( x ) แทนประโยคเปิ ด “ คนทุกคนตอ้ งตาย ” ดงั น้นั “ คนทุกคนตอ้ งตาย ” เขียนเป็นสญั ลกั ษณ์ที่มีวลีบอกปริมาณ ไดเ้ ป็น (x ) Q(x ) หรือ(x ) [ x ตอ้ งตาย ] 2) วลีบอกปริมาณที่แสดงปริมาณเพียงบางส่วน(Existential Quantifier) ซ่ึงจะมีคาวา่“ บางตวั ” “ อยา่ งนอ้ ยหน่ึง ” ซ่ึงเขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ “  ” ตวั อยา่ งเช่น “ มีจานวนเตม็ x บางตวั ที่มากกวา่ 0 ” ถ้าแทนประโยคเปิ ด “ x เป็ นจานวนเต็ม ที่มากกว่า 0 ” ดว้ ย P ( x ) จะได้ว่า(x ) P(x ) แทนประโยคเปิ ด มีจานวนเตม็ x บางตวั ที่มากกวา่ 0 หรือ( x ) [x  I  x  0]

บทที่ 3 ตรรกศาสตร์ 119 เราแบง่ ประโยคท่ีมีวลีบอกปริมาณเป็ น 4 ประเภท คือ 1) ( x ) [P( x )] 2) (x )[P(x )] 3) ( x ) [ ~ P( x )] 4) ( x )[ ~ P( x )]ตัวอย่าง 3.37 กาหนดให้ P ( x ) แทน x เป็นคนดี และ U  { คน }จงเขียนแต่ละขอ้ ต่อไปน้ี เป็ นภาษาเขียน 1) ( x ) [P( x )] 2) ( x ) [ ~ P( x )] 3) ~ ( x ) [P( x )] 4) (x ) [P(x )] 5) (x ) [~ P(x )] 6) ~ (x ) [P(x )]วธิ ีทา 1) (x ) [P(x )] แทน คนทุกคนเป็นคนดี 2) (x ) [~ P(x )] แทน คนทุกคนไมไ่ ดเ้ ป็ นคนดี 3) ~ (x ) [P(x )] แทน ไมใ่ ช่ทุกคนที่เป็ นคนดี 4) (x ) [P(x )] แทน คนบางคนเป็นคนดี 5) (x ) [~ P(x )] แทน คนบางคนไมไ่ ดเ้ ป็ นคนดี 6) ~ (x ) [P(x )] แทน ไมใ่ ช่คนบางคนท่ีเป็ นคนดี จากตวั อยา่ ง 3.37 พิจารณาประโยค 2 ประโยค คือ ~ (x ) [P(x )] กบั (x ) [~ P(x )] ~ (x ) [P(x )] แทน ไม่ใช่ทุกคนท่ีเป็ นคนดี ซ่ึงมีความหมายเหมือน คนบางคนไม่ได้เป็ นคนดี หรือ (x ) [~ P(x )] นนั่ คือ ~ ( x ) [P( x )] สมมูลกบั (x ) [~ P(x )] และพิจารณาประโยค ~ (x ) [P(x )] กับ ( x ) [ ~ P( x )] โดยที่ ~ (x ) [P(x )]แทน ไม่ใช่คนบางคนท่ีเป็ นคนดี ถา้ มีคนแค่เพียงคนเดียวที่เป็ นคนดี ก็จะทาให้ประโยคคนบางคน

120 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์เป็ นคนดีเป็ นจริง ดงั น้นั “ ถา้ ไม่ใช่คนบางคนท่ีเป็ นคนดี ” จึงมีความหมายวา่ ไม่มีใครเลยท่ีเป็ นคนดี ซ่ึงมีความหมายเหมือนกบั คนทุกคนไม่เป็นคนดี ดงั น้นั จะไดว้ า่ ~ (x ) [P(x )] สมมูลกบั (x ) [~ P(x )]ส่วนการหาคา่ ความจริงของประพจนท์ ี่วลีบอกปริมาณเป็นดงั บทนิยามต่อไปน้ีบทนิยาม 3.14 ประพจน์ (x ) [P(x )] จะมีค่าความจริงเป็นจริง เม่ือ นาทุกค่าในเอกภพสัมพทั ธ์ มาแทนคา่ ในตวั แปร x ของประโยคเปิ ด P ( x ) แลว้ ทาให้ P ( x ) เป็นจริง และ (x ) [P(x )] จะเป็ นเท็จเม่ือมี x บางค่าในเอกภพสมั พทั ธ์ที่ทาให้ P ( x ) เป็ นเทจ็บทนิยาม 3.15 ประพจน์ (x ) [P(x )] จะมีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ มีคา่ x อยา่ งนอ้ ยหน่ึงคา่ ใน เอกภพสัมพทั ธ์ที่ทาให้ P ( x ) เป็ นจริง และ (x ) [P(x )] จะเป็นเทจ็ เมื่อทุก x ในเอกภพสมั พทั ธ์ทาให้ P ( x ) เป็นเทจ็ตวั อย่าง 3.38 กาหนด P ( x ) แทน x  3  5 และ U  { 0 , 1 ,2 , 3 }จงพจิ ารณาค่าความจริงของประโยค 1) ( x ) [P( x )] 2) (x ) [P(x )]วธิ ีทา แทนค่า x { 0 , 1 ,2 , 3 } ใน P ( x ) P (0 ) : 0  3  5 เป็ นจริง P (1) : 1  3  5 เป็ นจริง P ( 2 ) : 2  3  5 เป็ นเทจ็ P ( 3) : 3  3  5 เป็ นเทจ็ จะเห็นวา่ ถา้ x  2 หรือ x  3 จะทาให้ P ( x ) เป็นเท็จ นน่ั คือ (x ) [P(x )] เป็ นเทจ็ และเนื่องจากถา้ x  0 หรือ x  1 จะทาให้ P ( x ) เป็นจริง นน่ั คือ (x ) [P(x )] เป็ นจริง

บทที่ 3 ตรรกศาสตร์ 121ตัวอย่าง 3.39 กาหนดให้ P ( x ) แทน x  3  5 และ U  {  2 ,  1 , 0 , 1}จงหาคา่ ความจริงของ (x ) [P(x )] และ (x ) [P(x )]วธิ ีทา แทนค่า x ดว้ ยจานวนทุกจานวนใน U จะได้ P (  2 ) :  2  3  5 เป็ นจริง P (  1) :  1  3  5 เป็ นจริง P (0 ) : 0  3  5 เป็ นจริง P ( 1 ) : 1  3  5 เป็ นจริง เม่ือแทนค่า x ดว้ ยทุกจานวนแลว้ ทาให้ P ( x ) เป็นจริง ดงั น้นั (x ) [P(x )] เป็ นจริง และเนื่องจากถา้ มี x บางตวั ใน U ที่ทาให้ P ( x ) เป็นจริง ดงั น้นั (x ) [P(x )] เป็ นจริงตัวอย่าง 3.40 ให้ P ( x ) แทน x2  0 และ U  Iจงหาคา่ ความจริงของ (x ) [P(x )]วธิ ีทา จาก P( x ) : x 2  0 และ U  Iจะไดว้ า่ ถา้ แทน x ท่ีเป็นจานวนเตม็ ลบใน P ( x ) แลว้ มีผลทาให้ x2  0 ทุก xนนั่ คือ ไม่มี x ตวั ใดที่ทาให้ P ( x ) เป็นจริง ดงั น้นั (x ) [P(x )] มีคา่ ความจริงเป็ นเทจ็นิเสธของประพจน์ท่ีมีวลีบอกปริมาณเป็นดงั น้ี1) ~ ( x ) [P( x )] คือ ( x ) [ ~ P( x )]2) ~ (x ) [~ P(x )] คือ (x ) [P(x )]3) ~ ( x ) [P( x )] คือ ( x ) [ ~ P( x )]4) ~ ( x ) [ ~ P( x )] คือ ( x ) [P( x )]

122 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์ตวั อย่าง 3.39 จงหานิเสธของประพจน์ต่อไปน้ี 1) สาหรับจานวนเตม็ ทุกตวั เม่ือยกกาลงั สองจะมากกวา่ 0 เสมอ 2) (x ) [P(x )  Q(x )] 3) 4) มีจานวนเตม็ บางจานวนที่ 2 หารลงตวั 5) (x ) [P(x )  ~ Q(x )] ( x ) [P( x )  Q( x )] 6) ( x ) [P( x )  ~ Q( x )]วธิ ีทา มีจานวนเตม็ บางจานวนที่ยกกาลงั สองแลว้ มีค่านอ้ ยกวา่ หรือเทา่ กบั 0 1) 2) ( x ) [ ~ P( x )  ~ Q( x )] 3) สาหรับจานวนเตม็ ทุกจานวน 2 หารจานวนน้นั ไมล่ งตวั 4) ( x ) [ ~ P( x )  Q( x )] 5) (x ) [~ P(x )  ~Q(x )] (x ) [~ P(x )  Q(x )] 6)

บทท่ี 3 ตรรกศาสตร์ 123บทสรุป ตรรกศาสตร์เป็นวชิ าที่วา่ ดว้ ยเหตุผลและการตรวจสอบความสมเหตุสมผล ประพจน์ทางตรรกวทิ ยาตอ้ งเป็นประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่บอกค่าความจริงไดว้ า่ เป็ นจริงหรือเป็ นเท็จเพยี งอยา่ งใดอยา่ งหน่ึงเท่าน้นั ประพจน์ท่ีประกอบดว้ ยประพจน์เชิงเดียวมากกวา่ หน่ึงประพจน์เช่ือมกนั ดว้ ยตวั เชื่อมทางตรรกวทิ ยาเรียกวา่ เป็นประพจน์เชิงประกอบ ซ่ึงเราสามารถหาค่าความจริงไดโ้ ดยการแทนค่าความจริงของประพจน์เชิงเดียว หรือในกรณีท่ีไม่ทราบค่าความจริงของประพจน์เชิงเดียวตอ้ งสร้างตารางวเิ คราะห์ค่าความจริงในทุกกรณีที่เป็ นไปได้ ถา้ ประพจน์ไหนมีค่าความจริงเป็ นจริงทุกกรณีประพจน์น้นั เป็ นสัจนิรันดร์ ส่วนประพจน์คู่ไหนมีค่าความจริงเหมือนกนั ทุกกรณีกรณีต่อกรณีแลว้ ประพจน์คู่น้นั สมมูลกนั และสามารถแทนท่ีกนั และกนั ได้ สมบตั ิของสัจนิรันดร์และการสมมูลกนั จะนามาใชป้ ระโยชน์ในการตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการอา้ งเหตุผล

124 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ แบบฝึ กหดั บทท่ี 31. ขอ้ ใดต่อไปน้ีเป็ นประพจน์ 1) x  3  1 2) x  3  0 เมื่อ x เป็นจานวนเตม็ บวก 3) เธอเป็นนกั แสดง 4) จงเลือกคาตอบที่ถูกตอ้ งเพยี งหน่ึงขอ้ 5) คนเราตอ้ งตาย 6) มีจานวนเตม็ บวกบางจานวนที่นอ้ ยกวา่ 0 7) นายกรัฐมนตรีคนแรกของเราไมใ่ ช่พระยามโนปกรนิติธาดา 8) อยา่ เสียงดงั รบกวนคนอื่น 9) ยะลาอยทู่ างใตข้ องประเทศไทย 10) สมชายตอ้ งทางานน้ีใหเ้ สร็จ2. จงหานิเสธของประพจน์ต่อไปน้ี พร้อมท้งั บอกค่าความจริง 1) 2  1  3 2) 3  3  32 3) 3  4 4) 3  4 5) 0  1  1 6) -1 เป็นจานวนเตม็ 7) -1 ไมเ่ ป็นจานวนนบั 8) 0 ไมเ่ ป็นจานวนธรรมชาติ 9) 3 + 5 ไมม่ ากกวา่ 8 10) 3  2  2  13. กาหนดให้ P แทน 1  2  3 Q แทน 1  2  3 จงหาคา่ ความจริงของประพจนต์ ่อไปน้ี

บทที่ 3 ตรรกศาสตร์ 125 1) P  Q 2) P  ( ~ Q ) 3) ( ~ P )  Q 4) ( ~ P )  ( ~ Q ) 5) ~ (P  Q ) 6) P  Q 7) P  ( ~ Q ) 8) ( ~ P )  Q 9) ( ~ P )  ( ~ Q ) 10) ~ (P  Q )4. กาหนดให้ P แทน  เป็นจานวนอตรรกยะ Q แทน  เป็นจานวนจริงจงเปล่ียนประพจน์ตอ่ ไปน้ีเป็ นขอ้ ความและบอกค่าความจริงของประพจน์ 1) P  Q 2) P  ~ Q 3) ~ P  ~ Q 4) Q  ~ P 5) ~ Q  ~ P 6) P  Q 7) ~ P  Q 8) ~ P  ~ Q 9) Q  P 10) ~ Q  ~ P5. จงหาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปน้ี 1) 3 เป็นจานวนเตม็ คู่ หรือ จานวนเตม็ คี่ 2) 5  0  5 และ 0  0  0

126 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์3) 1 เป็นจานวนเฉพาะ และ เป็นจานวนค่ี4) ถา้ 3 หาร 9 ลงตวั แลว้ 9 เป็นจานวนคี่5) ถา้ 1  1 แลว้ 1  1  06) 4 เป็นจานวนคู่ ก็ต่อเม่ือ 2 หาร 4 ลงตวั7) ถา้ 3 เป็นจานวนคู่ แลว้ 3  1 เป็นจานวนค่ี8) ถา้ 3 เป็นจานวนคู่ กต็ ่อเมื่อ 3  1 เป็นจานวนค่ี9) ถา้ 5  8 แลว้ 6  810) 5  8 หรือ 5  86. จงหาคา่ ความจริงของประพจนต์ ่อไปน้ี1) (( Q  P )  ( R  P ))  R เม่ือ R เป็นจริง2) A  ( B  ( C  A ) ) เม่ือ A เป็นเทจ็3) ( A  B )  ( B  C ) เม่ือ A และ C เป็นจริง4) Q  (( P  R )  ( R  S )) เม่ือ P  Q เป็นเทจ็5) ถา้ ( Q  P )  ( R  S ) เป็ นจริง และ P  S เป็ นเท็จจงหาค่าความจริงของ P , Q , R และ S7. จงเปลี่ยนเป็นประโยคสญั ลกั ษณ์ และหาค่าความจริงของประพจน์ตอ่ ไปน้ี 1) ถา้ 1  1  3 หรือ 1  3  5 แลว้ 1  4  5 2) ถา้ 1  1  3 แลว้ 1  3  5 และ 1  4  5 3) ถา้ 1  1  3 และ 1  3  5 แลว้ 1  4  5 4) ถา้ 1  1  3 แลว้ 1  3  5 หรือ 1  4  5 5) ถา้ 1  1  2 หรือ 2  2  4 ก็ต่อเมื่อ 2  3 6) 3  4 กต็ อ่ เม่ือ 1  2 หรือ 2  3 7) ไมจ่ ริงที่วา่ ถา้ 3  4 แลว้ 1  0 8) ไมจ่ ริงที่วา่ 1  1  2 และ 2  2  4 กต็ ่อเม่ือ งูบินได้ 9) 3  2  4 และ 3  2  4 ก็ตอ่ เมื่อ งูมีขา

บทที่ 3 ตรรกศาสตร์ 1278. จงหาค่าความจริงของประพจน์เชิงประกอบตอ่ ไปน้ี เมื่อกาหนดให้ A เป็นจริง B เป็น เทจ็ และ C เป็นเทจ็ 1) [ (  A  B )  C ]   A 2) ( A  B )  ( C  A ) 3) ( A  B )  ( C  A ) 4) ( A  B )   ( C  A ) 5) [ ( A  B )  C ]9. จงวเิ คราะห์คา่ ความจริงของประพจนต์ ่อไปน้ี 1) P  Q 2) ( P  P)  P 3) ( P  Q )  P 4) ( P  Q )  ( Q  P ) 5) ( P  Q )  R 6) ( P  R )  ( P  Q ) 7) [ ( P  Q )  P ]  ( P  R ) 8) [ ( P  Q )  ( Q  R ) ]  ( P  R )10. จงเปลี่ยนรูปประพจนต์ ่อไปน้ีใหง้ ่ายข้ึน 1) ( P  Q )  P 2) ( P  Q )  P 3) [ ( P  Q )  ( ( P  Q )  Q ) ]  P 4) [ P  ( Q  R ) ] 5) P  [ P  (Q  Q) ] 6) [ ( R  S)  (R  S) ]  (R  S) 7) [ P  (Q  S) ]  [ P  (Q  S) ] 8) (P  Q)  (P  Q)

128 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์11. จงใชว้ ธิ ีโซ่สมมูลเพ่ือแสดงวา่ ประพจน์ต่อไปน้ีเป็นสจั นิรันดร์หรือไม่ 1) Q  [ (P Q)  P ] 2) [ (P  Q)  P ]  Q 3) [(P  Q)  R ]  [ (P R)  (Q  R) ] 4) [ (P Q)  Q ]  P 5) P  (Q  Q)  P 6) (P  Q)  (P  Q) 7) [ P  (Q  R) ]  [ R  (P Q) ] 8) [ P  (P  R) ]  [ (P  Q)  (P  R) ] 9) [ P  (P  Q) ]  Q 10) [ P  (P  Q) ]  Q12. P  Q เป็นประพจนเ์ ง่ือนไขของประพจน์ต่อไปน้ีหรือไม่ ก. P ข. Q ค. P  Q ง. Q  P จ. P  Q13. P  Q เป็นเงื่อนไขของ P  ( Q  R) หรือไม่14. ขอ้ ความต่อไปน้ีเป็นจริงหรือเทจ็ 1) ประพจนข์ ดั แยง้ เป็นเงื่อนไขของทุกประพจน์ 2) ประพจนใ์ ดๆ ต่างก็เป็ นเงื่อนไขของประพจน์สจั นิรันดร์15. จงแสดงวา่ การอา้ งเหตุผลต่อไปน้ีสมเหตุสมผลหรือไม่ โดยเปลี่ยนการอา้ งเหตุผลใหเ้ ป็นประโยคสญั ลกั ษณ์ 1) ถา้ ฝนตกแลว้ กบร้อง แตฝ่ นไม่ตก ดงั น้นั กบจึงไม่ร้อง 2) ถา้ ฝนตกแลว้ กบร้อง ขณะน้ีกบร้อง แสดงวา่ ฝนกาลงั ตก

บทที่ 3 ตรรกศาสตร์ 129 3) ถา้ พ่อคา้ กกั ตุนสินค้าแลว้ ราคาสินคา้ ย่อมสูงข้ึน และถ้าราคาสินคา้ ไม่สูงข้ึนแล้ว ชาวบา้ นยอ่ มดีใจ ดงั น้นั ถา้ พอ่ คา้ ไมก่ กั ตุนสินคา้ แลว้ ชาวบา้ นยอ่ มดีใจ 4) ถา้ ฝนตกแลว้ น้าทว่ มมหาวทิ ยาลยั และถา้ น้าท่วมมหาวทิ ยาลยั แลว้ กต็ อ้ งหยดุ การเรียน การสอน แต่น่ีไม่มีการหยดุ การเรียนการสอนแสดงวา่ ฝนไมต่ ก16. จงตรวจสอบวา่ การอา้ งเหตุผลต่อไปน้ีสมเหตุสมผลหรือไม่ 1) P  Q , Q  R  P  R 2) P , R  R  P 3) P  Q , R  Q  ( P  R )  Q 4) P  Q , R  Q  P  R 5) P  Q , R  Q , R  P 6) P  Q , P  R  R  Q 7) P  Q , P  R  Q  R 8) P  Q , R  Q  R  P17. ประโยคใดต่อไปน้ีเป็นประโยคเปิ ด 1) เขาเป็นครู 2) เขาจะไปไหน 3) x  0  x 4) เขาไม่ไดท้ า 5) 5  y18. ให้ U เป็นเซตของจานวนจริง จงพิจารณาวา่ ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีเป็นจริง หรือเทจ็ 1) ( x ) [ x  x  2x ] 2) ( x ) [ x  x  2x ] 3) ( x ) [ x  2  x ] 4) ( x ) [ x2  0 ] 5) ( x ) [ x2  0 ] 6) ( x ) [ x  x2 ]

130 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์19. จงหาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปน้ีเม่ือกาหนด U 1) ( x ) [ x 2  1  0 ] , U  { -1 , 0 , 1 } 2) ( x ) [ x  1  5 ] , U  { 2 , 3 , 4 } 3) ( x ) [ x  1  2 ] , U  { 1 , 2 , 3 } 4) ( x ) [ 7  x  4 ] , U  { 1 , 2 , 3 } 5) ( x ) [ x  1  0 ] , U  { 3 , 4 } 6) ( x ) [ x  2  0 ] , U  { 3 , 4 }