บทที่ 6 เมทริกซ์และตัวกำหนด

บทท่ี 6 เมทริกซ์ และตวั กาหนด 255 det(B)  (5)(1)(1)(1) ( 14 ) 5  14หมายเหตุ R3   2R1  R3 แทนการดาเนินการท่ีนา (2)ไปคูณกบั แถวที่ 1 แลว้ นาไป บวกกบั แถวท่ี 3 R3  R2 แทนการดาเนินการสลบั ท่ีระหวา่ งแถวท่ี 3 กบั แถวที่ 2 1 R 3 แทนการดาเนินการโดยการนา 1 คูณเขา้ ในแถวที่ 3 5 5ตวั อย่าง 6.27 จงหาตวั กาหนดของเมทริกซ์ต่อไปน้ีโดยอาศยั สมบตั ิของตวั กาหนด 1) 2) 2 1 3 3) A  2 0 3  4)   5) 4 0 6 1 0 1 B  0 1 0   1 1 1   4 3 0 2 C 1 4 0 3   2 4 0 1  1 1 0 2    2 7 3 8 D 0 1 4 3   0 0 2 4  0 0 0 1     3 1 2 4  E  1 2 3 4    2 4 6 8  0 4 2 3   

256 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์วธิ ีทา det(A)  213 1) 203 4 0 6 det(A)  113 นา 1 คูณหลกั ที่ 1 103 2 2 0 6 2 det(A)  111 นา 1 คูณหลกั ท่ี 3 101 6 2 0 2 3 จะไดว้ า่ สมาชิกในหลกั ท่ี 1 และหลกั ที่ 3 มีค่าเหมือนกนั  det(A)  02) det(B)  1 0 1 01 0 1 1 1 1 1 1 R1  R3 R3  (1)R1  R3  () 0 1 0 R3  (1)R2  R3 1 0 1 1 1 1  () 0 1 0 1 1 2 1 1 1  () 0 1 0 0 0 2  (1)(1)(2) 2

บทท่ี 6 เมทริกซ์ และตวั กาหนด 257 4 3 023) det(C)  1 4 0 3 2 4 0 1 1 1 0 2 0 เนื่องจากสมาชิกในหลกั ที่ 3 ของเมทริกซ์ C เป็น 0 ท้งั หมด 2 7 3 84) det(D)  0 1 4 3 00 2 4 00 0 1 (2)(1)(2)(1) 4 เพราะเป็นเมทริกซ์สามเหล่ียมล่าง 3 1 2 45) det(E)  1 2 3 4 2 4 6 8 0423เน่ืองจากแถวที่ 3 มีคา่ เป็น 2 เท่าของแถวท่ี 2 det(E)  0ตัวอย่าง 6.28 จงหาค่า x จากสมการตอ่ ไปน้ี x 2 1) 7 7  x  26 6 2 3x 2) 0 x 9  36 0 0 x5

258 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์วธิ ีทา x 2  26 1) 7 7x x ( 7  x )  (2)(7)  26 7x  x2  14  26  0  x2  7x  12  0 x2  7x  12  4,3 x 6 2 3x 2) 0 x 9  36 0 0 x5 (6)(x)( x  5)  36 (x)( x  5)  6 x2  5x  6  0 ( x  1)( x  6 )  0  x  6 , 16.6 เมทริกซ์ผกู พนั เมทริกซ์ผกู พนั ของเมทริกซ์จตั ุรัสใดๆ สามารถหาโดยใชบ้ ทนิยามตอ่ ไปน้ีบทนิยาม 6.17 ถา้ A เป็ นเมทริกซ์จตั ุรัส เมทริกซ์ผูกพนั (adjoint matrix) ของ A เขียนแทนดว้ ย adj(A) โดยที่ adj(A) คือเมทริกซ์สลบั เปล่ียนของเมทริกซ์ท่ีมีสมาชิกประกอบด้วย โคแฟคเตอร์ของสมาชิกของ A นนั่ คือ ถา้ A  [aij ]nn และ A ij คือโคแฟคเตอร์ของสมาชิก A adj(A )  [ A ij ]Tnn  [A ji ]nn

บทท่ี 6 เมทริกซ์ และตวั กาหนด 259  2 4 3ตวั อย่าง 6.29 จงหา adj(A) เม่ือกาหนดให้ A  1 0 1    1 2 5 วธิ ีทา  2 4 3 A   1 0 1    1 2 5  T  01 11 1 0   2 5  1 5   1 2    4 3 2 3 2 4 adj(A )   1 5  2 5  1 2     4 3 2 3 2 4  1 1   0 1 1 0   2 6 2 T adj(A)   26 7 8     4 5 4  2 26 4   6 7 5     2 8 4 

260 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ตัวอย่าง 6.30 จงแสดงวา่ A adj(A)  (det(A))I เมื่อกาหนดให้ A  3 1 2   5 0 3     1 1 2 วธิ ีทา  3 1 2 จาก กาหนดให้ A   5 0 3     1 1 2  3 1 2 จะได้ det(A)  5 0 3 1 12  (1)(1)3 5 3  0  1(1)5 3 2 1 2 5 3  ( 10  3 )  ( 9  10)  32  03 5 3 5 0 T  1 2 1 2    1 1   1 2 32 3 1  adj(A )  1 2   1 2 1 1     1 2 3 2 3 1    5 3   0 3  5 0  3 13 5 T  4 4 4    3 19 5 

บทท่ี 6 เมทริกซ์ และตวั กาหนด 261 3 4 3 adj(A )   13 4 19    5 4 5   3 1 2 3 4 3Aadj(A )   5 0 3   13 4 19       1 1 2  5 4 5  32 0 0    0 32 0     0 0 32  1 0 0 32 0 1  0  0 0  นน่ั คือ A adj(A)  (det(A)) I 1  (det(A))I จากตวั อยา่ ง 2.30 จะไดส้ มบตั ิของเมทริกซ์ผกู พนั คือถา้ A เป็นเมทริกซ์จตั ุรัสใดๆ แลว้ A adj(A)  (det(A))I

262 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์6.7 การหาตัวผกผันของเมทริกซ์โดยใช้เมทริกซ์ผกู พนั นอกจากการหาตวั ผกผนั ของเมทริกซ์โดยใชบ้ ทนิยาม 6.12 ในหวั ขอ้ 6.4 แลว้ เรายงั หาตวัผกผนั ของเมทริกซ์โดยใชเ้ มทริกซ์ผกู พนั ไดด้ งั น้ีทฤษฎบี ท 6.4 ถา้ A เป็นเมทริกซ์จตั ุรัสใดๆ และ det(A) ≠ 0 แลว้ A 1 จะหาไดจ้ าก A1  1 adj(A) det( A )พสิ ูจน์ กาหนดให้ A เป็นเมทริกซ์จตั ุรัสใดๆจะไดว้ า่ A adj(A)  (det(A))Iถา้ A สามารถหา A 1 ได้ แลว้ A1A (adj(A))  A1(det(A))I I(adj(A)  A1(det(A))I adj(A)  A1(det(A))  A1  1 (adj(A )) ; det(A) ≠ 0 det ( A )ตัวอย่าง 6.31 จงหาตวั ผกผนั ของเมทริกซ์ต่อไปน้ีโดยใชเ้ มทริกซ์ผกู พนั 1) 2) A 3 2 3)  2 1    2 1 3 A  1 1 2   2 1 1   3 2 1 A   1 5 2    3 0 1 

บทท่ี 6 เมทริกซ์ และตวั กาหนด 263วธิ ีทา A 3 2 1)  2 1    det(A)  (3  4 ) 7 adj( A )  1 2 T  2 3    1 2  2 3   1 1 2 1 2 A1   7 7    2 3 7   2 3      7 7 2 1 32) A  1 1 2   2 1 1  1 2 1 2 1 1 det(A)  2 1 1 1 2 1 3 2 1  2( 1  2 )  ( 1  4 )  3( 1  2 )  6  3  9 6

264 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์  1 2 12 1 1  T  1 1 2 1 2 1    13  2 3 2 1adj(A)   1 1 2 1 2 1    adj(A)   13 2 3 2 1   1 A1   1 2 2 1 1    (1  2) (1  4) (1  2)  T   (1  3) (2  6) (2  2 )    (2  3) (4  3) (2 1) 3 3 3  T  2 4 0     5 1 3 3 2 5   3 4 1   3 0 3 1 3 2 5 6  3 4 1  3 0   3    1 1 5 2 3 1 2 6 1  3   2 6  1 0  1   2 2 

บทท่ี 6 เมทริกซ์ และตวั กาหนด 265  3 2 13) A   1 5 2    3 0 1  1 2 2 2 3 5 det(A)  3(1)4 5  0  1(1)6 1  3( 4  5 )  ( 15  2 )  adj(A)  14   52 1 2 1 5  T   0 1 3 1  3 0    21 3 1 3 2  0 1 31 3 0    2 13 1 3 2  2  1   5 2  1 5  (1  6)  (5) (0  15) T  (2) (3  3) (0  6 )    (4  5) (6  1) (15  2)   5 7 15 T  2 0 6     1 7 17   5 2 1   7 0 7    15 6 17 

266 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ 1  5 2 1 14A1   7 0 7    6    15 17  5 1  1   14 7 14  1 0 1    2 2 15 3 17    14 7 14 6.8 การใช้เมทริกซ์หาคาตอบของระบบสมการเชิงเส้น เราสามารถใชเ้ มทริกซ์ในการหาคาตอบของระบบสมการเชิงเส้นซ่ึงสามารถทาไดห้ ลายวิธีดงั จะกล่าวถึงต่อไปน้ีบทนิยาม 6.18 สมการเชิงเส้นของ n ตวั แปร คือสมการท่ีอยใู่ นรูป a1x1  a2x2  . . .  anxn  b โดย a1 , a2 , . . . , an , b เป็ นค่าคงที่ที่ไมเ่ ป็ นศูนยพ์ ร้อมกนั และ x1 , x2 , . . . , x n เป็ นตวั แปรบทนิยาม 6.19 คาตอบ(solution) ของระบบสมการคือ n ลาดับของจานวนจริ ง (S1 , S2 , . . . , Sn ) ซ่ึงเม่ือแทน x1 , x2 , . . . , x n ดว้ ย S1 , S2 , . . . , Sn แลว้ จะใหส้ มการที่เป็นจริง

บทท่ี 6 เมทริกซ์ และตวั กาหนด 267บทนิยาม 6.20 ระบบสมการเชิงเส้น คือ ชุดของสมการเชิงเส้น m สมการและมีตวั แปร n ตวั ซ่ึงมีรูปทว่ั ไปคือ a11x1  a12x2   a1nxn  b1 a21x1  a22x2   a2nxn  b2 am1x1  am2x2   amnxn  bm โดยมี aij , bi เป็ นคา่ คงตวั i  1 , 2 , , m และ j  1 , 2 , , n มีตวั แปรคือ x1 , x2 , . . . , x n ซ่ึงระบบสมการเชิงเส้นน้ีสามารถเขียนใหอ้ ยใู่ นรูป สมการเมทริกซ์ได้ เม่ือกาหนดให้ a11 a12 a1n   x1   b1  A  a 21 a22 a 2 n  , X  x 2  , B  b 2               a n1 an2 a nn   x n   b n        ซ่ึงจะไดส้ มการเมทริกซ์ที่สมมูลกบั ระบบสมการเชิงเส้น คือ AX  B เรียก A วา่ เมทริกซ์สัมประสิทธ์ของระบบสมการเชิงเส้น เรียก X วา่ เมทริกซ์ตวั แปรของระบบสมการเชิงเส้น เรียก B วา่ เมทริกซ์ค่าคงท่ีของระบบสมการเชิงเส้น การสมมูลกนั เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ “  ”ตัวอย่าง 6.32 จงเปล่ียนระบบสมการเชิงเส้นต่อไปน้ีเป็ นสมการเมทริ กซ์ 1) 2x  y 8 2) xy 2  0 3) 3x  2y  6 y  2  0 x  y  3z  5 2x  5y  z  0 x  3y  z  2

268 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ 4) 3x  4y  1 5 y  3x  6 x y  2วธิ ีทา 1) 2x  y 8 xy 2  0 จดั รูปใหม่ไดเ้ ป็น 2x  y  8 xy  2 เปลี่ยนเป็นสมการเมทริกซ์ คือ 2 1  x  8  1 1  y   2       2) 3x  2y  6 y  2  0 จดั รูปใหม่ จะได้ 3x  2y  8 2 0x  y  ดงั น้นั ไดส้ มการเมทริกซ์ คือ 3 2  x  6  0 1  y   2       3) x  y  3z  5 2x  5y  z  0 x  3y  z  2 จะไดส้ มการเมทริกซ์ คือ

บทท่ี 6 เมทริกซ์ และตวั กาหนด 269 1 1 3 x 5 2 5 1   y    0      1 3 1  z   2 4) 3x  4y  1 5 y  3x  6 x y  2 จดั รูปใหม่จะได้ 3x  4y  1 3x  5y  6 xy  2 ไดส้ มการเมทริกซ์ คือ3 4 x 1 3 5   y     6       1 1   2 

270 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์6.8.1 การแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยวธิ ีการกาจัดของเกาส์  จอร์แดน การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นดว้ ยวธิ ีการกาจดั ของเกาส์ – จอร์แดน(Gauss – Jordanelimination) มีวธิ ีการดงั น้ี 1) สร้างสมการเมทริกซ์ AX  B ท่ีสมมูลกบั ระบบสมการเชิงเส้น 2) สร้างเมทริกซ์แตง่ เติม(augmented matrix) [ A | B ] 3) ใชก้ ารดาเนินการตามแถวข้นั มูลฐาน(elementary row operation) ซ่ึง มีการดาเนินการ 3 ชนิดคือ 1. การสลบั ที่กนั ระหวา่ งแถวท่ี i และ j ของเมทริกซ์ 2. การคูณแถวใดแถวหน่ึงดว้ ยสเกลาร์ k ท่ีไมเ่ ทา่ กบั ศูนย์ 3. การบวกแถวใดแถวหน่ึงดว้ ยผลคูณของแถวอื่นกบั ค่าสเกลาร์ k การดาเนินการตามแถวข้นั มูลฐานท้งั 3 ชนิดจะทาให้ไดเ้ มทริกซ์ท่ีสมมูล กบั เมทริกซ์ [ A | B ] เดิม ใหใ้ ช้การดาเนินการตามแถวข้นั มูลฐานจนกวา่ จะได้ เมทริกซ์สามเหล่ียม(สามเหล่ียมบนหรือล่างก็ได)้ หรือเมทริกซ์ข้นั บนั ไดลดรูปตาม แถว(reduced row echelon) 4) ใชก้ ารแทนคา่ ยอ้ นกลบั ในระบบสมการเพ่ือหาคา่ ของตวั แปรตัวอย่าง 6.33 จงแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นต่อไปน้ีโดยใชว้ ธิ ีการกาจดั ของเกาส์ – จอร์แดน 2x  4y  3z  1 x  y  2z  9 3x  6y  5z  0วธิ ีทา จากระบบสมการเชิงเส้น เปล่ียนเป็นสมการเมทริกซ์ AX  B ไดด้ งั น้ี2 4 3 x 11 1 2   y    9     3 6 5  z  0 สร้างเมทริกซ์แต่งเติม [ A | B ] ได้  2 4 3 1   [A|B]   1 1 2 9   3 6 5 0   ใชก้ ารดาเนินการตามแถวข้นั มูลฐานเพอ่ื ใหไ้ ดเ้ มทริกซ์สามเหลี่ยมดงั น้ี

บทท่ี 6 เมทริกซ์ และตวั กาหนด 271 1 1 2 9  [A|B]   2 4 3 1  R1  R2  3 6 5 0    1 1 2 9      0 2 7 17  R2  (2)R1  R2  3 6 5 0    1 1 2 9      0 2 7 17  R3  (3)R1  R3  0 3 11 27    1 1 2 9    1 7 17  1 R 0 2   2 2  2   0 3 11 27   1 1 2 9    1 7  17  R3  (3)R2  R3 0 2 2    1 3 2 2  0 0   จากเมทริกซ์สามเหลี่ยมท่ีไดใ้ นข้นั สุดทา้ ย จะสมมูลกบั ระบบสมการ x  y  2z  9 ....................(1) y  7z   17 ……………(2) 2 ……………(3) 2 3  2  1zจากสมการ (3)  3 2 2  1z 2 z 3แทนคา่ z ใน (2)

272 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์จะได้ y  7 (2)  17 2 2 y 2แทนค่า y และ z ใน (1) จะได้ x  2  2(3)  9 x8  9 x 1 คาตอบของระบบสมการคือ x  1 , y  2 และ z  3 หรือ ได้คาตอบของระบบสมการคือ ( 1 , 2 , 3 )จากตวั อยา่ ง 6.33 จากเมทริกซ์สามเหล่ียมที่ได้ คือ  1 1 2 9   1 7  17  0 2 2    1 3    0 0   2 2 ถา้ ใชก้ ารดาเนินการตามแถวข้นั มูลฐานต่อ ดงั น้ี  1 0 11 35 1 1 2 9   2 2   0 1 7 17  1 7  17  R1   R2  R1 2 2   0 2 2  (2)R3 1 3  1 3 2  2  2 0 0  0 0  2    1 0 11 35   2 2   1 7  17   0  2 2 1 3  0 0 2 2   

บทที่ 6 เมทริกซ์ และตวั กาหนด 273 1 0 0 11 1 2 9  1 7 17   1 7 17  R1 ( 11 )R R10 2 2  2     2 3    0 2  1 3  3     0 0 1 0 0  2 2  1 0 0 1 7   2   0 1 0 2  R2  ( ) R 3  R2  0 0 1 3   ซ่ึงจะไดว้ า่ x  1 , y  2 , z  3 หรือ ( 1 , 2 , 3 ) เป็นคาตอบของระบบสมการ 1 0 0 1  เราเรียกเมทริกซ์  0 1 0 2  ว่าเป็ นเมทริกซ์ข้นั บนั ไดลดรูปตามแถว ซ่ึงอาจ  0 0 1 3   ทาใหห้ าคาตอบของระบบสมการไดง้ ่ายกวา่ การแทนค่ายอ้ นกลบั จากเมทริกซ์สามเหลี่ยมตัวอย่าง 6.34 จงแกร้ ะบบสมการต่อไปน้ีโดยใชว้ ธิ ีกาจดั ของเกาส์ – จอร์แดน ab  c  7 3b  c  d  5 a  2b  c  d  2 2a  b  c  2วธิ ีทา ระบบสมการน้ีประกอบดว้ ย 4 สมการ 4 ตวั แปร แปลงเป็นระบบสมการเมทริกซ์ท่ีสมมูลกบั ระบบสมการเชิงเส้นน้ีคือ AX  B เมื่อ 1 1 1 0 a  7A 0 3 1 1 b 5 ,    , X    B     1 2 1 1   c   2   2 1 1 0   d   2       สร้างเมทริกซ์แต่งเติม [ A | B ] แลว้ ใชก้ ารดาเนินการตามแถวข้นั มูลฐาน

274 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์  1 1 1 0 7   0 3 1 1 5 [A|B]    1 2 1 1 2  2 1 1 0 2     1 1 1 0 7   0 3 1 1 5    R3  (1)R1  R3  0 3 0 1 5   2 1 1 0 2     1 1 1 0 7   0 3 1 1 5    R3  R2  R3  0 0 1 0 0  2 1 1 0 2     1 1 1 0 7   1 1 1 5 1 0 3 3  3  3  R 2  0 0 1 0 0  2 1 1 0 2     1 1 1 0 7   1 1 1 5 0 3 3   3  R4  (2)R1  R4  0 0 1 0 0   0 3 1 0  12     1 1 1 0 7   1 1 1 5 0 3 3   3  R4  3R2  R4  0 0 1 0 0   0 0 0 1 7   ไดเ้ มทริกซ์สามเหล่ียมอาจจะใชว้ ธิ ีการแทนค่ายอ้ นกลบั ในระบบสมการที่สมมูลกบั เมทริกซ์

บทที่ 6 เมทริกซ์ และตวั กาหนด 275สามเหล่ียมท่ีไดห้ รือใชก้ ารดาเนินการตามแถวข้นั มูลฐานจนไดเ้ มทริกซ์ลดรูปแบบข้นั บนั ได  1 0 2 1 16   3 3 3  1 1 1 5 3 3  R1   R2  R1[A|B]   0 3   0 0 1 0 0   0 0 0 1 7     1 0 0 1 16   3 3 R1 ( 2 )R3 R1  1 0 1 5  3  0 3   3 1  0 0 1 0 0 R2  ( 3 )R 3  R2  0 0 0 1  7     1 0 0 1 16   3 3  1 0 1 5  ( 1)R 3 0   3 3 (1)R 4 0 0 1 0 0  0 0 0 1 7    1 0 0 0 3 R1 ( 1 )R R1 3 0 1 0 0 4   4    1 0 0 1 0 0 3 R2  ( ) R 4  R2  0 0 0 1 7   จะไดว้ า่ เมทริกซ์ลดรูปแบบข้นั บนั ไดตามแถวที่ไดส้ มมูลกบั ระบบสมการเชิงเส้น a 3 b 4 c 0 d 7ดงั น้นั คาตอบของระบบสมการน้ีคือ ( 3 , 4 , 0 , 7 )

276 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ตัวอย่าง 6.35 จงหาคาตอบของระบบสมการต่อไปน้ี 2x1  x2  x3  2x4  4 x1  2x3  x4 4 x1  3x4  4วธิ ีทา 2 1 1 2  x1   4 0 2ให้ A  1 0 1  , X   x 2  , B   4   0      x3   1  3  4   x 4    จะไดว้ า่ ระบบสมการสมมูลกบั AX  B สร้างเมทริกซ์แต่งเติม [ A | B ] แลว้ ใชก้ ารดาเนินการตามแถวข้นั มูลฐาน  2 1 1 2 4  [A|B]   1 0 2 1 4     1 0 0 3 4   1 0 0 3 4    1 0 2 1 4  R1  R3   R2   R1  R2 R3  2R1  R3  2 1 1 2 4  R2  R3  1 0 0 3 4    0 0 2 4 8     2 1 1 2 4   1 0 0 3 4    0 0 2 4 8     0 1 1 4 4   1 0 0 3 4    0 1 1 4 4     0 0 2 4 8 

บทที่ 6 เมทริกซ์ และตวั กาหนด 277  1 0 0 3 4  1 2[A|B]   0 1 1 4 4   R 3    0 0 1 2 4  1 0 0 3 4    0 1 0 6 8  R2  R3  R2    0 0 1 2 4 เมทริกซ์ลดรูปที่ไดส้ มมูลกบั ระบบสมการ x1  3x 4  4 x2  6x4  8 x3  2x4  4ถา้ ให้ x 4 เป็นคา่ คงท่ี k จะไดว้ า่ x 3  4  2k x 2  8  6k x1  4  3kดงั น้นั แสดงว่าคาตอบของระบบสมการน้ีมีมากกวา่ หน่ึงคาตอบโดยท่ี คาตอบของระบบสมการน้ีคือ ( 4  3k , 8  6k , 4  2k , k ) เม่ือ k เป็นจานวนจริงใดๆ

278 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์6.8.2 การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้กฎของคราเมอร์การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นโดยใชก้ ฎของคราเมอร์(Cramer’s rule) น้ีใชก้ บั ระบบสมการท่ีมี n ตวั แปร n สมการเท่าน้นัถา้ ระบบสมการที่ตอ้ งการคาตอบคือa11x1  a12x2   a1nxn  b1a21x1  a22x2   a2nxn  b2 an1x1  an2x2   annxn  bnโดยมี a ij แทนสัมประสิทธ์ของตวั แปรท่ี j ในสมการที่ i bi แทนค่าคงท่ีของสมการท่ี iการหาคาตอบของระบบสมการโดยใชก้ ฎของคราเมอร์มีวธิ ีการดงั น้ี1. หา  (อา่ นวา่ เดลตา้ ) จาก a11 a12 a1n a21 a22 a2n 0  an1 an2 a nnซ่ึงถา้   0 แลว้ ตอ้ งหาคาตอบของระบบสมการโดยวธิ ีการกาจดั ของเกาส์2. หา x1 , x2 , , x n จาก b1 a12 a1nx1  b2 a22 a2n bn an2 a nnซ่ึงกค็ ือการนาค่าคงท่ีของระบบสมการแทนสัมประสิทธ์ของตวั แปร x1 ใน  a11 b1 a1nx2  a21 b2 a2n an1 bn a nnซ่ึงกค็ ือการนาค่าคงท่ีของระบบสมการแทนสัมประสิทธ์ของตวั แปร x 2 ใน 

บทท่ี 6 เมทริกซ์ และตวั กาหนด 279 สาหรับ x3 , x4 , , xn กท็ าไดโ้ ดยการแทนท่ีสัมประสิทธ์ของ ตวั แปร xi ดว้ ยคา่ คงที่ของระบบสมการเช่นเดียวกนั 3. คาตอบของระบบสมการ คือ x1  x1  x2 x2   xn  xn ตัวอย่าง 6.36 จงหาคาตอบของระบบสมการต่อไปน้ีโดยใชก้ ฎของคราเมอร์ 1) 2x  4y  3z  1 x  y  2z  9 2) 3x  6y  5z  0 2x1  3x2  x3  x4  0วธิ ีทา 2x1  4x2  x3  x4  3 1) x1  2x2  2x3  2x4  5 x1  2x2  4x3  5x4  5 จากระบบสมการ 2x  4y  3z  1 x  y  2z  9 3x  6y  5z  0 จะได้ 2 4 3 1  11 2 , เมทริกซ์ค่าคงตวั คือ  9   3 6 5 0 

280 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์x  1 4 3 91 2y  0 6 5z  2 1 3 19 2 3 0 5   241  119  360x  2 4 3 11 2   3 6 5   12 4 3 4 3 2 6 5  1 6 5  3 1 2 2( 5  12 )  ( 20  18 )  3( 8  3 ) 34  2  33 1 1 4 3 91 2 0 6 5 12 4 3 1 6 5  9 6 5  0 ( 5  12 )  9 ( 20  18 ) 17  18 1

บทท่ี 6 เมทริกซ์ และตวั กาหนด 281 2 1 3y  19 2  3 0 5   12 2 3  1 3 5  9 3 5  0 ( 5  6 )  9 ( 10  9 ) 11  9 2 241z  119 360 11 24 1 3 6  9 3 6  0 ( 6  3 )  9 ( 12  12 ) 3 1หาคา่ ของ x , y , z จาก 2 3 x  x  1 (1 , 2 , 3) 1 y  y  2 1 z  z  3 1ดงั น้นั จะไดว้ า่ คาตอบของระบบสมการคือ

282 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์2) จากระบบสมการ 2x1  3x2  x3  x4  0 2x1  4x2  x3  x4  3 x1  2x2  2x3  2x4  5 x1  2x2  4x3  5x4  5จะได้   x1 , x2 , x3 , x4 และเมทริกซ์ค่าคงท่ีของระบบสมการคือ 2 3 1 1 2 4 1 1 1 2 2 2 1 2 4 5 4 1 1 3 1 1 3 1 1 2 2 2 2  2 2 2 2  1 4 1 1   2 4 5 2 4 5 2 4 5  3 1 1x1   1 4 1 1  2 2 2   2 (6)  2(8)  1(7)  1(0) 12  16  7 11 0 3 1 1 3 4 1 1 5 2 2 2 5 2 4 5 0 (6)  (3)(8)  5(7)  5(0) 24  35 11

บทท่ี 6 เมทริกซ์ และตวั กาหนด 283x2  2 3 1 1 2 4 1 1  1 2 2 2  1 2 4 5  2(1)  0  (1)(39)  1(26) 2  39  26 11x3  2 3 1 1 2 4 1 1  1 2 2 2  1 2 4 5 2(42)  3(39)  0  1(0) 33 2 3 1 1x4  2 4 1 1 1 2 2 2 1 2 4 5  2(28)  3(26)  (1)(0)  0  22x1  x1  11  1  11 x2  11x2  11  1  x3  33  3x3   11 x4  22  2x4   11ดงั น้นั คาตอบของระบบสมการน้ีคือ ( 1 , 1 , 3 , 2 )

284 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์บทสรุป เมทริกซ์เป็นการนาจานวนมาเขียนเรียงกนั ในลกั ษณะส่ีเหลี่ยมมุมฉากภายใตเ้ คร่ืองหมาย [ ]โดยใชส้ ญั ลกั ษณ์ตวั พิมพใ์ หญ่แทนเมทริกซ์ และตวั พิมพเ์ ล็กแทนสมาชิกแต่ละตวั ของเมทริกซ์ เช่นA  [aij ]mn โดย a ij แทนสมาชิกท่ีอยใู่ นตาแหน่งแถวที่ i หลกั ที่ j ของเมทริกซ์ Aเมื่อ i  1 , 2 , 3 , . . . , m และ j  1 , 2 , 3 , . . . , n จะเรียก A วา่ เป็ นเมทริกซ์ขนาด m  nเมทริกซ์ที่จะสามารถบวกหรือลบกนั ไดต้ อ้ งมีขนาดเท่ากนั ส่วนเมทริกซ์ที่จะสามารถหาผลคูณได้ก็ต่อเมื่อจานวนหลกั ของเมทริกซ์ตวั ต้งั เท่ากบั จานวนแถวของเมทริกซ์ตวั คูณ นอกจากน้ีเราสามารถใช้สมบตั ิตา่ ง ๆ ของเมทริกซ์ในการหาคาตอบของระบบสมการเชิงเส้นได้

บทที่ 6 เมทริกซ์ และตวั กาหนด 285 แบบฝึ กหัดบทที่ 61. กาหนดให้ x  y 2u  t  6 0  x  y t  u   2 3    2. จงบอกขนาดของเมทริกซ์ในขอ้ ต่อไปน้ี 1) 1 2 3 12)  2     3  1 0 03)  0 2 2    0 1 1 4)  1 5 10 10 5 1    1 105)  5 5    10 1 6)  1 

286 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์3. จงสร้างเมทริกซ์ขนาด 4  4 ตามเง่ือนไขที่กาหนดใหพ้ ร้อมท้งั บอก สมาชิกในตาแหน่ง เส้นทแยงมุมหลกั 0 ถา้ i  j ถา้ i  j1) a ij   1 ถา้ i  j  ถา้ i  j  1 ถา้ i  j  ถา้ i  j i2) a ij   1   j 3) aij  i  j4. กาหนดให้A  2 4 , B  1 0 , C  2 4  0  3 5  1   4 2      จงหา1) A  B2) B  C3) ( A  C )  4B5. จงหาค่าของ x , y , z จากสมการเมทริกซ์ท่ีกาหนดให้1) x 2   y 3  2 9  11  1   5     x 4 22) 2  y   2  2   2      3       6. กาหนดให้ A , B , C เป็นเมทริกซ์ขนาด 2  2 โดยA  a b , B  c f , C  q r  c d   g h   s t       และ k เป็นสเกลาร์ใด ๆ จงแสดงวา่ ทฤษฎีบท 6.2 เป็นจริง

บทท่ี 6 เมทริกซ์ และตวั กาหนด 2877. จงหาผลคูณของเมทริกซ์ต่อไปน้ี1) 1 3 2 1  2 1 1 2    32)  1   0 1 2    2  3 13) 1 1 1 2 2   1 34)   1 2   3 3 3  1 1  1  5) 2 4 6 1 1 1 1  5 2 0   0 1 1 0     8. กาหนดให้ 2 0 0 1 0 0A  0 2 0  , B   0 1 0     0 0 2  0 0 2 จงหา1) A 22) B33) A 2 B4) A 2 B2

288 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์9. กาหนดให้ A  3 1 , B  2 1 ,C  4 1   1 3   2 2  2   2     จงหา 1) A ( B  C ) 2) AB  AC 3) A ( B C ) 4) ( A B ) C10. กาหนดให้ 1 2 3  1 7 2 0 1 7 1 A  2 4 5  , B   7  5  ,C   4 2        3 0  5 1  จงหา 1) AT 2) BT 3) CT 4) ( A T )T11. จงหาเมทริกซ์ผกผนั ของ A เมื่อกาหนด 1) A  1 0  0 1    2) A  3 1   2 2    3) A  6 2  2 1    4) A  2 4  1 2   

บทที่ 6 เมทริกซ์ และตวั กาหนด 28912. จงหา det(A) ต่อไปน้ี1) A 5 2  1  3  2) A 1 1  0 0  3) A  6 2  3 0    1 0 34) A  4 1 0     2 3 2  2 3 05) A  4 1 2    1 0 5   3 2 26) A  1 3 3    2 4 1  2 7 513. กาหนดให้ A  7 4 3  จงหา    0 1 2 1) M 222) M 233) M 314) M 325) A 226) A 23

290 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ 7) A 31 8) A 3214. จงหาตวั กาหนดของเมทริกซ์ตอ่ ไปน้ี 1)  4 1   2 3   2) 1 0  0 1    3) 3 2  3 2    1 2 3 4)  4 5 4     3 2 1  1 3 2 1 5) 0 2 1 1     0 0 1 3   0 0 0 3     1 3 2 6 4  0 13 0 1 5   6)  2 1 2 3 3   1 1 4 5 9    2 6 4 12 8 

บทที่ 6 เมทริกซ์ และตวั กาหนด 291 1 1 2 17) 2 3 1 2   1 4 3 3   4 1 3 0    3 1 28)  2 2 1    1 10 2  7 2 39)  5 1 1     2 4 2  4 1 2 10)  0 2 3   3 2 1 15. จงหาค่า x จากสมการตอ่ ไปน้ี 20 3x 0 0 1) 2 1 0  4 2 2x x 2x2) 4 x  1  1816. จงหาตวั ผกผนั ของเมทริกซ์ต่อไปน้ี1)  4 2   1 0   

292 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ 2) 1 1 1 2   1 3 2 3)  2 1 3     4 2 1  4 1 3 4)  2 3 1   2 8 3  1 0 2 1 5)  2 3 1 2  1 1 0 2  3 2 2 4    2 4 2 6)  1 2 4    2 6 4   2 7 5 8 7)  7 1 2 5   1 0 4 2  3 6 1 2    3 1 1 2  8) 4 0 3 0   2 4 3 3  6 1 4 0   

บทท่ี 6 เมทริกซ์ และตวั กาหนด 293 1 0 0 19) 0 2 0 0  0 0 0 1  2 0 1 0    2 0 1 10)  0 3 2     1 2 1 17. จงหาคาตอบของระบบสมการต่อไปน้ี โดยใชว้ ธิ ีการกาจดั ของเกาส์  จอร์แดน1) 2x  2y  z  15 5x  3y  2z  0 3x  y  3z  11 6x  4y  2z  302) x  3y  6z  7 x  y  2z  1 2x  y  2z  03) x  5y  2z 5 3x  y  z 4 4x  y  z 34) 2x1  3x2  x3  x4  0 2x1  4x2  x3  x4  3 x1  2x2  2x3  2x4  5 x1  2x2  4x3  5x4  55) 2x  3y  4z  7 xy 1  x  y  2z  1

294 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์6) 3x  2y  3z  114x  z  6x  y  5z  37) 2x  4z 8x  2y  2 z  14x  y  2z  13x  y  z  08) 2x  3y  5z  w  1 x  2y  5 z  4w  2 y zw  4 x  4y  6z  2w  59) x  2y  z  2 3x  2y  z  3 10) x  3y  0 2x  2y  3 5x  y  118. จงหาคาตอบของระบบสมการต่อไปน้ี โดยใชก้ ฎของคราเมอร์ 1) 3x  2y  5 x y  6 2) 5x  2z  1 y  3z  2 2x  y  3

บทท่ี 6 เมทริกซ์ และตวั กาหนด 2953) x  2y  z  3w  1 3x  y  2 z  4w  6 x  y  3z  2 w  4 4x  3y  z  2w  54) 5x  2y  z  7 x  2y  2z  0 3y  z  175) 3x  3y  3z  1 3 x  5y  9z  2 5x  9y  17z  46) 2x  6y  4z  1x  3y  2z  42x  y  3z  7