บรรณานุกรมและเฉลยแบบฝึกหัด1

บรรณานุกรมกมล เอกไทยเจริญ. 2520. คณิตศาสตร์แผนใหม่ 1. กรุงเทพฯ: กราฟฟิ คอาร์ต.ชะเอม สายทอง. 2534. คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์. กรุงเทพฯ: โอเดียนสโตร์.ณรงค์ ป้ันน่ิม. 2536. พีชคณิตระดบั มหาวทิ ยาลยั . กรุงเทพฯ: สุวรี ิยาสาส์น.พีระพล ศิริวงศ.์ 2540. คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์. กรุงเทพฯ: ฟิ สิกส์เซ็นเตอร์.มงคล ทองสงคราม. 2542. คณิตศาสตร์พ้ืนฐาน. พิมพค์ ร้ังที่ 2. กรุงเทพฯ: รามาการพิมพ.์มนสั ประสงค.์ 2541. แคลคูลสั และเรขาคณิตวเิ คราะห์ 1. กรุงเทพฯ: ศูนยส์ ่งเสริมวชิ าการ.มูลนิธิส่งเสริมโอลิมปิ ควชิ าการและพฒั นามาตรฐานวทิ ยาศาสตร์ศึกษา. 2547. คณิตศาสตร์พ้นื ฐานสาหรับคอมพิวเตอร์. กรุงเทพฯ: จุฬาลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั .ราชบณั ฑิตยสถาน. 2545. ศพั ทค์ ณิตศาสตร์. พมิ พค์ ร้ังที่ 8. กรุงเทพฯ: อรุณการพมิ พ.์ราพรรณ จนั ทววิ ฒั น.์ 2543. คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์. กรุงเทพฯ: โอเดียนสโตร์.เลิศ สิทธิโกศล. 2540. คณิตศาสตร์พ้นื ฐาน. กรุงเทพฯ: สกายบุก๊ ส์.Arthur G. and Lewis H. 1994. Precalculus. U S A:Prentice Hall.Combe H.S. 1970. Set and Symbolic Logic. London: Ginn.Edward C.H. and Penney David E. Calculus and Analytic Geometry 2 nd ed. 1986.New Jersy: Pretice Hall International.

Simmon G. F. 1985. Calculus and Analytic Geometry. New York: McCraw Hill.Stoll R. 1963. Set Theory and Logic. San Francisco: W.H. Freeman.Wilder L. 1965. The Foundation of Mathematics. New York:Wiley.

ภาคผนวก

คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์ 301 เฉลยแบบฝึ กหัดเฉลยแบบฝึ กหดั บทที่ 11. 1) A  { 2 , 4 , 6, 8, . . . } 2) B  {0 , 1, 4 , 9} 3) C  { P , r , o , b , a , i, l, t , y } 4) D  { ม.ค. , มี.ค. , พ.ค. , ก.ค. , ส.ค. , ต.ค. , ธ.ค. } 5) E  {  3,  2 ,  1, 0 , 1, 2 , 3}2. 1) A  {x | x  5n เมื่อ n  0 , 1 , 2 , . . . } 2) B  {x | x2  1 ; x  I} 3) C  { x | x  I และ x  0} 4) D  { x | 4  x  10 และ x  I} 5) E  {x | x คือสีของธงชาติไทย }3. 1) ไม่ถูกตอ้ ง 2) ถูกตอ้ ง 3) ไมถ่ ูกตอ้ ง 4) ไม่ถูกตอ้ ง 5) ถูกตอ้ ง 6) ถูกตอ้ ง 7) ไม่ถูกตอ้ ง 8) ไมถ่ ูกตอ้ ง 9) ไมถ่ ูกตอ้ ง เพราะ I   10) ถูกตอ้ ง4. 1) ผดิ 2) ถูก

302 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์ 3) ผดิ 4) ผดิ 5) ถูก 6) ถูก 7) ถูก 8) ถูก 9) ถูก 10) ถูก 11) ผดิ 12) ถูก 13) ถูก 14) ถูก 15) ถูก 16) ถูก5. 1) A  {  } n ( A )  1 จึงมีเซตยอ่ ยเทา่ กบั  21  2 เซต ไดแ้ ก่  และตวั มนั เอง ดงั น้นั P(A )  {  , {  } }2) B  { 1 , { 0 ,  } }n ( B )  2 จึงมีเซตยอ่ ยเทา่ กบั  22  4 เซตไดแ้ ก่, B, {1}, {{0, }}ดงั น้นั P(B)  { { 1 } , { { 0 ,  } } ,  , { 1 , { 0 ,  } } }3) C  { a , bc }n (C )  2 จึงมีเซตยอ่ ยเท่ากบั 4 เซตไดแ้ ก่ , C , { a } , { bc }ดงั น้นั P(C)  {  , { a } , { bc } , { a , bc } }

คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์ 3036. 1) { 2 , 6 } 2) { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } 3) { 6 } 4) { 2 , 3 , 5 , 6 , 9 } 5) { 3 , 5 , 9 , 10 } 6) { 2 , 3 , 5 , 6 , 9 , 10} 7) { 2 , 9 } 8) { 2 , 6 } 9) { 9 } 10 { 1 , 3 , 4 , 5 , 7 , 8 , 9 , 10 } 11) { 1 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 10 } 12) { 3 , 5 }7. 12 คน8. 1) 36 คน 2) 6 คน 3) 42 คน 4) 100 คน สกั (60 ) 6 กลว้ ย( 72 ) 27 7 สะเดา ( 52 ) 20 15 10 159. 1) 22 คน 2) 28 คน 3) 18 คน

304 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์เฉลยแบบฝึ กหดั บทท่ี 21. 1.1 x  2 , y  5 1.2 x  14 , y   1 1.3 x   1 , y   42. 1) 1) AB  {(a ,  1) , (a ,0 ) , (a , 1) , ( b , 1) , ( b , 0 ) , ( b , 1)} 2) BA  {(  1 , a ) , (  1, b ) , ( 0 , a ) , ( 0 , b ) , (1 , a ) , (1 , b )} 3) A A  {(a , a ) , (a , b ) , ( b , a ) , ( b , b )} 4) BB  {(  1,1),( 1,0 ),( 1,1),(0,1),(0,0 ),(1,1) ,(1, 1),(1,0),(1,1)} 2) 1) AB  {(1,m ),(1, n ),(1,o ),(1, p ),( 2 ,m ),( 2 , n ) ,( 2 ,0 ),( 2 , p )} 2) BA  {( m ,1),( m ,2 ),( n ,1),( n ,2 ),( o ,1),( o ,2 ) ,( p ,1),( p ,2 )} 3) AA  {(1,1),(1,2 ),( 2 ,1) ,( 2 ,2 )} 4) BB  {( m ,m ),( m , n ),( m ,o ),( m , p ),( n ,m ),( n , n ) ,( n ,0 ),( n , p ) , (o,m ),(o,n),(o,o),(o,p),(p,m ),(p,n) ,(p,0),(p,p)}3. 1) n ( AB )  12 2) n ( BA )  20 3) n ( AC )  15 4) n ( C A )  15 5) n ( AA )  16 6) n (CC )  254. 1) AB   2) AA   3) BB  {( ,  )} 4) BA  

คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์ 305 5) n ( AB )  0 6) n ( AA )  0 7) n ( B B )  1 8) n ( BA )  05. 1) r1  {(5 , 4 )} 2) r2  {( 4 , 4 )} 3) r3  {( 2,4 ),( 2,6),( 2,8),( 2,9),( 2,16),( 4 ,6) ,( 4 ,8),( 4 ,9),( 4 ,16),(5,6), ( 5 ,8 ) , ( 5 , 9 ) , ( 5 ,16 ) } 4) r4  {( 2,4 ),( 2,6),( 2,8),( 2,16),( 4 ,4 ),( 4 ,8) ,( 4 ,16)} 5) r5  {( 2,4 ) , ( 4 ,16)}6. 1) D r  {1 , 2 , 3} Rr  {a , b , 1} 2) Dr  A Rr  A 3) r2  {(8 , 8)} Dr  {8} Rr  {8} 4) Dr  { 2 , 1 , 6} Rr  {1 , 2 , 3}7. 1) r1  {( x ,a ),( y ,b ),( z ,c ),( z ,a )} 2) r41  {(0, 3),(0, 2 ),(0,1),(3,0 ),( 4 ,1)} 3) r1  { ( y , x )  BA | y  x } หรือ r1  { ( x , y )  BA | y  x } 4) r1  { ( y , x )  RR | y  x 2  3 } หรือ r1  { ( x , y )  RR | y 2  x  3 }8. r3

306 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์9. r1 เป็ นฟังกช์ นั r2 เป็ นฟังกช์ นั r3 เป็นฟังกช์ นั r4 เป็ นฟังกช์ นั r5 ไมเ่ ป็นฟังกช์ นั r6 เป็ นฟังกช์ นั r7 ไมเ่ ป็นฟังกช์ นั r8 เป็ นฟังกช์ นั r9 ไม่เป็นฟังกช์ นั r10 ไม่เป็ นฟังกช์ นั10. 1) f (1)  0 f (1)  3 f (2x2 )  | 2x2 1| 2) f (1)   1 f (1)  5 f (2x2 )  8x4  3 3) f (1)  0 f (1)  9 f (2x2 )  6x2  311. 1) f : A 11 B 2) g : A  B 3) h : A  B 4) i : A onto B

คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ 30712. 1) Df1  R , Rf1  R 1 2) D f2  R  { 2 } , R f2  R 3) Df3  R  { 3} , Rf3  R 4) Df4  {x  R |  2  x  2} , Rf4  { y  R | y  0 } 5) Df5  R , Rf5  { y | y  0} 6) Df6  R , Rf6  {  2 } 7) Df7  R , Rf7  { y | y  2 } 8) Df8  R , Rf8  { 1 , 3 }13. {(1,8 ),( 2 ,8 ),( 3,8 ),( 4 ,10 ),( 5,10 )}14. gof (x)  1 (9x2  6x  1) 1) 2 2) fog(x)  3x2  1 3) 2 4) gog(x)  x4 8 f of (x)  9x  4 5) g of (0)  1 2 6) f o g ( 2 )  7 7) g o g (1)  1 7 8) f o f (  1)   515. (f  g)(x)  x2  4x  1 1) 2) ( f  g )( x )  x 2  2x  3 3) ( g  f )( x )   x 2  2x  3 4) ( f  g )( x )   3x3  5x 2  x  2

308 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์5) f ( x )  x2  x  1 ; x  2 g 3x  2 36) g (x)  3x  2 ; x2  x 1  0 f x2  x  17) ( f  g )(1)   28) ( g  f )(  2 )  39) ( f  g )(0 )   210) f (1)  2 gเฉลยแบบฝึ กหดั บทท่ี 31. เป็ นจริ ง 1) ไม่เป็นประพจน์ 2) เป็นประพจน์ เป็ นจริ ง 3) ไม่เป็นประพจน์ เป็ นจริ ง 4) ไม่เป็นประพจน์ เป็ นเทจ็ 5) เป็นประพจน์ เป็ นเทจ็ 6) เป็นประพจน์ เป็ นเทจ็ 7) เป็นประพจน์ เป็ นเทจ็ 8) ไมเ่ ป็นประพจน์ 9) เป็นประพจน์ 10) ไมเ่ ป็นประพจน์2. 1) 2  1  3 2) 3  3  32 3) 3  4 4) 3  4 5) 0  1  1 6) -1 ไมเ่ ป็นจานวนเตม็ 7) -1 เป็นจานวนนบั

คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ 309 8) 0 เป็นจานวนธรรมชาติ เป็นเทจ็ 9) 3 + 5 มากกวา่ 8 เป็ นเทจ็ 10) 3  2  2  1 เป็ นเทจ็3. 1) T 2) F 3) F 4) F 5) F 6) T 7) T 8) F 9) T 10) F4. 1) ถา้  เป็นจานวนอตรรกยะ แลว้  เป็นจานวนจริง มีค่าความจริ งเป็ นจริ ง 2) ถา้  เป็นจานวนอตรรกยะ แลว้  ไมเ่ ป็นจานวนจริง มีคา่ ความจริงเป็นเทจ็ 3) ถา้  ไมเ่ ป็นจานวนอตรรกยะ แลว้  ไมเ่ ป็นจานวนจริง มีคา่ ความจริงเป็นจริง 4) ถา้  เป็นจานวนจริง แลว้  ไมเ่ ป็นจานวนอตตรกยะ มีคา่ ความจริงเป็นเท็จ 5) ถา้  ไมเ่ ป็นจานวนจริง แลว้  เป็นจานวนตรรกยะ มีค่าความจริ งเป็ นจริ ง 6)  เป็นจานวนอตรรกยะ กต็ อ่ เม่ือ  เป็นจานวนจริง มีค่าความจริ งเป็ นจริ ง 7)  ไมเ่ ป็นจานวนอตรรกยะ กต็ ่อเม่ือ  เป็นจานวนจริง มีค่าความจริ งเป็ นเท็จ 8)  ไม่เป็นจานวนตรรกยะ ก็ต่อเม่ือ  ไมเ่ ป็นจานวนจริง มีคา่ ความจริงเป็นจริง

310 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์ 9)  เป็นจานวนจริง กต็ ่อเม่ือ  เป็นจานวนอตรรกยะ มีคา่ ความจริงเป็นจริง 10)  เป็นจานวนตรรกยะ กต็ ่อเมื่อ  เป็นจานวนจริง มีค่าความจริ งเป็ นจริ ง5. 1) T 2) F 3) F 4) T 5) T 6) T 7) T 8) T 9) T 10) T6. 1) จริง ((Q  P)  ( R  P))  R T T 2) จริง A  (B  ( C  A)) F T

คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ 311 3) จริง (A  B)  ( B  C) TT TT4) จริง T Q  ((P  R)  ( R  S)) F T เน่ืองจาก P  Q เป็นเทจ็ ดงั น้นั P เป็นจริง Q เป็นเท็จ 5) P เป็นเทจ็ Q เป็นจริง R เป็นจริง S เป็นเทจ็7. 1) ถา้ P หรือ Q แลว้ R หรือ ( P  Q )  R โดยที่ P เป็นจริง , Q เป็นเทจ็ , R เป็นเท็จ ดงั น้นั ( P  Q )  R เป็ นจริง2) ถา้ P แลว้ Q และ R หรือ P  ( Q  R ) โดยที่ P , Q และ R เป็นเทจ็ ดงั น้นั P  ( Q  R ) เป็ นจริง3) ถา้ P และ Q แลว้ R หรือ ( P  Q )  R โดยท่ี P , Q และ R เป็นเทจ็ ดงั น้นั ( P  Q )  R เป็ นจริง

312 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ 4) ถา้ P แลว้ Q หรือ R หรือ P  ( Q  R ) โดยที่ P , Q และ R เป็นเทจ็ ดงั น้นั P  ( Q  R ) เป็ นจริง5) ถา้ P แลว้ Q กต็ อ่ เม่ือ R หรือ ( P  Q )  R โดยที่ P , Q และ R เป็นจริง ดงั น้นั ( P  Q )  R เป็ นจริง6) P  ( Q  R ) โดยที่ P , Q และ R เป็นจริง ดงั น้นั P  ( Q  R ) เป็ นจริง7)  ( P Q ) เมื่อ P เป็นจริงและ Q เป็นเทจ็ ดงั น้นั  ( P Q ) เป็นจริง8)  [ ( P  Q )  R ] เม่ือ P เป็นจริง Q และ R เป็นเทจ็ ดงั น้นั  [ ( P  Q )  R ] เป็ นเทจ็ 9) ( P  Q )  R เม่ือ P , Q และ R เป็นเทจ็ ดงั น้นั ( P  Q )  R เป็นจริง8. 1) เป็นจริง 2) เป็นเทจ็ 3) เป็นเทจ็ 4) เป็นจริง 5) เป็นเทจ็

คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์ 3139. 1) P  Q P Q PQ TTT TFF FTF FFT2) ( P  P)  PP P P  P ( P  P )  PTFTTFTTF3) ( P  Q )  P PQ PQ (P  Q )  P T TTT F FTF T FFT T FFF4) ( P  Q )  ( Q  P )P Q P Q P  Q Q  (P  Q )  (Q  P ) PTT F F T T TTF F T F F TFT T F T T TFF T T T T T

314 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ 5) (PQ)  R PQR PQ (P  Q)  R T T TTT T T TTF T T TFT T T TFF T T FTT T T FTF F T FFT F F FFF6) ( P  R )  ( P  Q ) PQR PR PQ (PR)  (PQ) T TT TTT T TT TTF T TT TFT T TT TFF T TT FTT F TF FTF T FF FFT F FF FFF

คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์ 315 7) [ ( P  Q )  P ]  ( P  R )P Q R PQ (P  Q) P  R [ (P  Q)P ]  (P  R )TTT T P TTTTF T T FFTFT F T TTTFF F T FFFTT F T TTFTF F T TTFFT F T TTFFF F T TT T8) [ ( P  Q )  ( Q  R ) ]  ( P  R )P Q R PQ QR (PQ) PR [(PQ)( QR)] ( QR) (PR)TTT T T T T TTTF T F F F TTFT F T F T TTFF F T F F TFTT F T F T TFTF F F F T TFFT F T F T TFFF F T F T T

316 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์10. 1) ( P  Q )  P  ( P  Q )  P  ( Q  P )  P  Q  (P  P ) T 2) ( P  Q )  P  [ (P  Q)  (P  Q) ]  P  (P  Q)  [ (Q  P)  P ]  (P  Q)  [P  (Q  P)]  (P  Q)  P  P  (P  Q)  (P  P)  (P  Q)  T  (P  Q)  P  Q 3) [ ( P  Q )  ( ( P  Q )  Q ) ]  P  A A  [ ( P  Q )  ( ( P  Q )  Q ) ]  P  [ ( P  Q )  (  (P  Q )  Q ) ]  P  [ ( ( P  Q )  Q )   (P  Q ) ]  P  [ ( Q  ( P  Q ) )   (P  Q ) ]  P  [ Q   (P  Q ) ]  P  [ Q  ( P  Q ) ]  P  [ ( Q  P )  ( Q  Q ) ]  P  [ ( Q  P )  T ]  P  [ ( Q  P )  T ]  P  [ ( Q  P )  T ]  P  [ ( Q  P ) ]  P  P  ( Q  P )  ( P  Q )  ( P  P )  (P Q) F  P Q

คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์ 31711. Q  [ (P Q)  P ] 1) Q  [ (P Q)  P ]  Q  [ (P  Q)  P ]  Q  [ P  (P  Q)]  Q  [ (P  P )  (P  Q)]  Q  [ (P  P )  (P  Q)]  Q  [ F  (P  Q) ]  Q  [ T  (P  Q) ]  Q  (P  Q)  Q  (Q  P)  ( Q  Q )  P  T  P T ดงั น้นั Q  [ (P Q)  P ] เป็นสัจนิรันดร์2) [ (P  Q)  P ]  Q [ (P  Q)  P ]  Q  [ (P  Q)  P ]  Q [ (P  Q)  P ]  Q  [ (P  Q)  P ]  Q  [ ( P  Q)  P ]  Q  [ P  ( P  Q) ]  Q  [ (P   P)  (P  Q) ]  Q  [ T  (P  Q) ]  Q  (P  Q)  Q  P  ( Q  Q )  PT T ดงั น้นั [ (P  Q)  P ]  Q เป็นสจั นิรันดร์

318 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ 3) [(P  Q)  R ]  [ (P R)  (Q  R) ]  A A  [(P  Q)  R ]  [ (P R)  (Q  R) ]  [(P  Q)  R ]  [ (P  R)  (Q R) ]  [(P  Q)  R ]  [ (R  P)  (RQ)]  [ R  (P  Q) ]  [ R  (P  Q)] T ดงั น้นั [(P  Q)  R ]  [ (P R)  (Q  R) ] เป็นสัจนิรันดร์4) [ (P Q)  Q ]  P  [ (P Q)  Q ]  P  [ (P Q)  Q ]  P  [ (P  Q)  Q ]  P  [(P  Q)  Q ]  P  [Q  (P  Q)]  P  [ (Q  P )  (Q  Q)]  P  [ (Q  P )  T ]  P  (Q  P )  P  Q(P  P)  Q P ดงั น้นั ประพจน์ [ (P Q)  Q ]  P ไมเ่ ป็นสัจนิรันดร์12. P  Q เป็นเงื่อนไข ก , ข , ค , ง แตไ่ มเ่ ป็ นเง่ือนไขของขอ้ จ13. P  Q เป็นเงื่อนไขของ P  ( Q  R)14. 2) เป็นจริง 1) เป็นจริง15. P  Q , P  Q ไม่สมเหตุสมผล ไม่สมเหตุสมผล 1) P  Q , Q  P สมเหตุสมผล สมเหตุสมผล 2) ( P  Q ) , (Q  R)  (P  R) 3) ( P  Q ) , (Q  R) , R  P 5)

คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ 31916. สมเหตุสมผล 1) สมเหตุสมผล 2) สมเหตุสมผล 3) ไม่สมเหตุสมผล 4) สมเหตุสมผล 5) สมเหตุสมผล 6) สมเหตุสมผล 7) สมเหตุสมผล 8) เป็นประโยคเปิ ด17. ไม่เป็นประโยคเปิ ด 1) เป็นประโยคเปิ ด 2) เป็นประโยคเปิ ด 3) เป็นประโยคเปิ ด 4) 5) จริง จริง18. เทจ็ 1) จริง 2) จริง 3) เทจ็ 4) 5) จริง 6) เทจ็ เทจ็19. จริง 1) จริง 2) เทจ็ 3) 4) 5) 6)

320 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์เฉลยแบบฝึ กหัดบทท่ี 41. 1) (4  8 4)  (6  8 3)  (5  8)  3  16,384  3,072  43  19,499 2) (4  5 5)  (3  5 4)  (2  52)  5  1  12,500  1,875  50  6  14,431 3) (10  16 2)  (1  16)  13  2,560  16  13  2,589 4) (5  9 3)  (7  9 2)  (1  9)  6  3,645  567  9  6  4,227 5) 2 7  2 6  2 4  2 2  2  1  128  64  16  4  2  1  2152. 143,11453. 415 84. 110001.00125. 4BD166. 0.33 57. 641 88. 230,3256

คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ 3219. 6273 8 1) E1F 16 2) 100,1101,1110,0011 2 3) 51CC 16 4) 13111 8 5) 1,100,010,000 210. 111,011,001 2 1) 80,865 9 2) 42,030 5 3) 10,111,010 4 4) 5) 1,0012 10,001,110 211. 4,134 5 1) 37,666 8 2) 31,030 4 3) 4) 5)12. 511,452 6 1) 20,012,311 5 2) 100,010,100 2 3)

322 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์ 4) 101,101,000 213. 10 ,001 2 1) 11 2 111 2 2) 1,365,635 3) 73,336 44,02114. 36,606 1) 2) 99,929,357 3) 99,994,319 4) 99,502,34715. 99,929,356 1) 99,994,318 2) 99,502,346 3) 11,001,100 216. 11,000,011 2 1) 10,001,111 2 2) 3) 11,000,100 2 10,110,011 217. 1) 2) 3)18. 1) 2)

คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์ 323 3) 10,000,111 2 4) 11,011,110 219.  00,101,1112 1) 00,010,011 2 2)  00 ,010,1102 3) 00,010,110 2 4)เฉลยแบบฝึ กหัดบทที่ 51. เน่ืองจากไมม่ ีสมบตั ิปิ ด 1)  เป็นการดาเนินการทวภิ าคบน A 2)  เป็นการดาเนินการทวภิ าคบน B 3) O ไม่ใช่การดาเนินการทวภิ าคบน C2. 1) ไม่เป็นกรุ๊ปเพราะไม่มีเอกลกั ษณ์ของระบบ 2) เป็นกรุ๊ป 3) ไมเ่ ป็นกรุ๊ปเพราะมีเอกลกั ษณ์มากกวา่ 1 ตวั3. เป็ นอะบีเลียนกรุ๊ป 1) (I , ) เป็นการดาเนินการทวภิ าคบน I 2) (I , ) เป็ นอะบีเลียนกรุ๊ป 3) (S , O) เป็นไดเ้ พียงก่ึงกรุ๊ปเพราะ 0 ไมม่ ีตวั ผกผนั 4) (A , ) เป็ นอะบีเลียนกรุ๊ป 5) (B ,  )

324 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์4. กบั การดาเนินการ  ,  ไดผ้ ล 1) P(A)  {  , {a} , {b} , {a , b} }การดาเนินการดงั น้ี   { a } { b } {a , b}   { a } { b } {a , b}{ a } { a } { a } {a , b} {a , b}{ b } { b } {a , b} { b } {a , b}{a , b} {a , b} {a , b} {a , b} {a , b}  { a } { b } {a , b}  {a}  {a}  {a}{b}   {b} {b} { a } { b } {a , b}{a , b}  และ { a }  ( { b }   )  { a }     ({a}{b})      2) มีสมบตั ิการสลบั ที่ของการดาเนินการท้งั 2 อยา่ ง เช่น { a }  { a , b }  { a , b } {a,b} {a}  {a,b} และ { a }  { a , b }  { a } {a,b} {a}  {a}3) มีสมบตั ิการแจกแจง เช่น {b}  ({a}  )  {b}    {b} ({b}  {a} )  ({b}  )  { a , b }  {b}  {b} และ   ({b}  {a})    { a , b }   (   {a})  (   {b})      

คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์ 325 4) เอกลกั ษณ์ของการดาเนินการ  คือ  เอกลกั ษณ์ของการดาเนินการ  คือ { a , b } 5) มีตวั ผกผนั ของ  คือ { a , b } เพราะ   { a , b }  { a , b }   {a,b}   มีตวั ผกผนั ของ { a } คือ { b } เพราะ { a }  { b }  { a , b } {a}{b}   มีตวั ผกผนั ของ { b } คือ { a } เพราะ { b }  { a }  { a , b } {b}{a}   มีตวั ผกผนั ของ { a , b } คือ  เพราะ { a , b }    { a , b } {a,b}     ดงั น้นั (P(A) ,  ,  ) เป็นพีชคณิตบูลีน7. 1) a (b c)  (a b) c a b c bc a(bc) ab (ab)c 1111111 1100010 1010000 1000000 0111000 0100000 0010000 0000000 ดงั น้นั a (b c)  (a b) c

326 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์2) a  (b  c)  (a  b)  ca b c b  c a  (b c) a  b (a  b)  c1111 1 1 11101 1 1 11011 1 1 11000 1 1 10111 1 1 10101 1 1 10011 1 1 10000 0 0 0ดงั น้นั a  (b  c)  (a  b)  c3) a b  a b  a ab b ab ab a b  ab 01 11 0 1 11 10 1 0 00 01 0 0 00 00 1 0ดงั น้นั a b  a b  a4) a b  ab  ( a  b) (a  b)a b a b a b a b a b ab a  ab (a  b)(ab) b 0 11100 0 0 0 10 1 01001 1 0 1 110110 0 1 1 110011 0 0 0 01ดงั นนั้ a b  ab  ( a  b) (a  b)

คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์ 3278. 1) a 0 2) a a a 3) aa  a 4) a a a b 5) a a ab9. 1) a ( a b  a ) a b 2) a( a  ( bc  b )  bc ) c 3) ( (a  b)(a  b)  abc ) ( b  c )10. ab 1) b a 2) c b a a c ab a ab a c b

328 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ 3) a b b a c a ab c aเฉลยแบบฝึ กหัดบทท่ี 61. x  6 , y  2 , u  3 , t  62. 1) 1  3 2) 3  1 3) 3  3 4) 2  3 5) 3  2 6) 1  13.  0 1 1 1 1) A  1 0 1 1      1 1 0 1   1 1 1 0    1 2 3 4 2) A 2 1 3 4   3 3 1 4  4 4 4 1   

คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ 329 2 3 4 5 3) A 3 4 5 6     4 5 6 7   5 6 7 8   4. 1) 3 4  3 6     3 4 2)  4 1  4 0 3)  7 3   5.  12 , y = 2 1) x  6 ,y = 1 2) x6. 1) A(BC)  (AB)C AB  ae  bg af  bh BC  A(BC)   ce  dg cf  dh  A(BC)    (AB)C   eq  fs er  f t   gq  hs gr  ht    a(eq  fs)  b(gq  hs) a(er  f t)  b(gr  ht)   c(eq  fs)  d(gq  hs ) c (er  f t)  d ( gr  ht)    aeq  afs  bgq  bhs aer  af t  bgr  bht   ceq  cfs  dgq  dhs cer  cf t  dgr  dht    (ae  bg)q  (af  bh)s (ae  bg)r  (af  bh)t  ( ce  dg )q  (cf  dh )s (ce  dg ) r  ( cf  dh )t   

330 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์ (AB)C  aeq  bgq  afs  bhs aer  bgr  af t  bht ดงั น้นั A(BC)   ceq  dgq  cfs  dhs cer  dgr  cf t  dht    (AB)C7. 1) 5 7  3 0    0 3 6 2) 0 1 2   0 2 4  3) 6 6 4) 1 1 1 5) ไม่สามารถหาผลคูณไดเ้ นื่องจากจานวนหลกั ของเมทริกซ์แรกไมเ่ ทา่ กบั จานวนแถวของเมทริกซ์หลงั8. 4 0 0 1)  0 4 0    0 0 4  1 0 0 2) 0 1 0   0 0 8  4 0 0 3)  0 4 0    0 0 8  4 0 0  4)  0 4 0    0 0 16

คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ 3319. 1)  19 7   10 2     19 7  2)  10 2     22 8  3)  36  24     22 8  4)  36  24   10.  1 2 3 1) 2)  2 1 4  3)   4) 3 5 0  1 7 5  7 5 1     2 4  0 1    1 2  1 2 3  2 1 5    3 4 0 11. 1 0 1)  0 1  2)     1  1  4 8   1 1    4 8 

332 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์ 3)  1 1 4)  8 4  1 312.    1)  4 4  2) ไม่สามารถหา A 1 ได้ 3) 4) 17 5) 0 6) 6 3213. 56 1) 32 2) 3) 4 4) 2 5) 41 6) 29 7) 4 8) 2 4114. 29 1) 2) 14 3) 1 4) 12 5) 6) 8 7) 6 8) 0 0 21

คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ 3339) 8410) 515. x  2 , 5 1) x  3 ,6 2)16. 0 1 1) 2) 1   2 3)  2 4)  5)  2 1  3 3  1 1     3 3    1 1 1   10 9   7 1 7  8 10   7 7 1    17 90 7 30 1 9   4 45 1 15 1 9     1 9 1 3 1 9  0 2 4 1   11 11 11   2 1 1  26  11   9 99 33   4 7 1 1   9 99 33 11     1 4 10 1   9 99 33 11 

334 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์ 4 1 1 3 3  1 1 1 6)   3   3 2   1 1 0  6 3   106 62 3  134   45  45 45   109 68 3  131     7)  45 45  45  46 32 1 59   45  45 45      29 19 4 37  9 9 9  9 41 6  33  5 5 5 5   6 34 4 27    5 5   5 5  8)  12 53 8 44    5 5 5 5     14 71 11 58  5 5 5  1 0 1 0 5  9)  1 0  0 2 0   2 0 2 1  0 0 1 0    1 2 3 10)  2 3 4    3 4 6 

คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ 33517. 1) ( 4 , 2 , 7 , 0 ) 2) ( 1 , 0 , 3 ) 3) ( 1 , 1 , 1 , 2 ) 4) ( 1 , 1 , 1 , 2 ) 5) ( 14 , 5 , 5 ) 9 99 19 29 59 6) (  32 , 8 , 32 ) 7) ( 2 , 5 , 1 , 0 ) 8) ( 13  10k , 3  3k , 1  4k , k ) เม่ือ k เป็นจานวนจริงใดๆ 9) ( 4 , 3 1k , k ) เมื่อ k เป็นจานวนจริงใดๆ 5 8 2 10) ระบบสมการไม่มีคาตอบ18. 1) ( 7 , 23 ) 55 2) 3) ( 1 , 31 , 3 ) 4) 11 11 11 5) ( 1 , 3 , 1 , 2 ) 6) ( 2 , 4 , 5 ) ( 25 ,  5 , 17 ) 36 6 36 151 5 71 (  12 , 12 ,  12 )