บทที่ 8 การทดสอบสมมุติฐาน

บทท่ี 8 การทดสอบสมมุตฐิ าน การหาขอ้ สรุปค่าพารามิเตอร์ของประชากรท่ีไม่ทราบค่า โดยอาศยั ค่าสถิติของขอ้ มูลตวั อย่างอาจกระทาได้สองลกั ษณะไดแ้ ก่ โดยวิธีการประมาณค่าพารามิเตอร์ และการทดสอบสมมุติฐาน ซ่ึงวิธีการประมาณค่าพารามิเตอร์ ไดก้ ล่าวไปแลว้ ในบทท่ี 7 สาหรับบทน้ีจะกล่าวถึงการสรุปค่าพารามิเตอร์โดยการทดสอบสมมุติฐานซ่ึงเป็นการอนุมานเชิงสถิติอีกวธิ ีหน่ึงท่ีนาไปใช้ในการแกป้ ัญหาที่ตอ้ งการตดั สินใจวา่ จะยอมรับหรือปฏิเสธความเชื่อหรือสมมติฐาน (hypotheses)เกี่ยวกบั ลกั ษณะบางอย่างของประชากรหรือพารามิเตอร์ โดยใชค้ ่าสถิติท่ีไดจ้ ากการสุ่มตวั อยา่ งจากประชากรที่ตอ้ งการศึกษา ความเชื่อหรือสมมติฐานอาจต้งั ข้ึนโดยใช้ประสบการณ์ ความรู้ทฤษฎี หรือหลกั เกณฑ์ต่างๆ ซ่ึงอาจเป็ นจริงหรือไม่เป็ นจริงก็ได้ จึงตอ้ งมีการทดสอบ เรียกว่าการทดสอบสมมติฐาน ตัวอย่างของสมมุติฐาน เช่น อาจารย์ผู้สอนเช่ือว่าวิธีการสอนแบบใหม่ท่ีคิดข้ึนทาให้ผลการเรี ยนของนักศึกษาสูงข้ึนกว่าวิธีการสอนแบบเดิม ผู้จัดการโรงงานเชื่อว่าความแปรปรวนของจานวนสินคา้ ที่ผลิตจากเครื่องจกั ร 2 เคร่ืองไม่แตกต่างกนั หรือบริษทั ป๋ ุยแห่งหน่ึงโฆษณาว่าป๋ ุยของตนสามารถทาให้ผลผลิตต่อไร่ของขา้ วเพ่ิมข้ึน ซ่ึงความเช่ือเหล่าน้ีจาเป็ นต้องได้รับการทดสอบว่าเป็ นจริ งหรื อไม่ ถ้าเป็ นจริ งก็ต้องยอมรับสมมุติฐานน้ันแต่ถา้ ไม่เป็ นจริงก็ตอ้ งปฏิเสธสมมุติฐานน้นั แลว้ ไปยอมรับสมมุติฐานซ่ึงจะตอ้ งต้งั ไวร้ องรับอีกสมมุติฐานหน่ึงเสมอ8.1 ความหมายและประเภทของสมมุตฐิ านบทนิยาม 8.1.1 สมมุติฐาน (hypotheses) คือ ความเช่ือหรือขอ้ คาดหมายเกี่ยวกบั ค่าพารามิเตอร์ ของประชากรที่ตอ้ งการทดสอบวา่ เป็นจริงหรือไม่ การกาหนดสมมุติฐานอาจกาหนดได้ 2 ลกั ษณะ ดงั น้ี 1. สมมุติฐานอย่างง่าย (simple hypothesis) คือ สมมุติฐานที่กาหนดค่าแน่นอนเพียงค่าเดียว เช่น สมมุติฐานวา่ ผลการเรียนเฉล่ียของนกั ศึกษาชายและนกั ศึกษาหญิงเท่ากนั หรือ คาดวา่สัดส่วนของบณั ฑิตชายที่เขา้ รับพระราชทานปริญญาบตั รในปี พ.ศ. 2556 มีค่า 40%

310 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ 2. สมมุติฐานผสม (composite hypothesis) คือ สมมุติฐานท่ีกาหนดค่าเป็ นช่วง เช่นสมมุติฐานวา่ ผลการเรียนเฉลี่ยของนกั ศึกษาชายนอ้ ยกว่าผลการเรียนเฉลี่ยของนกั ศึกษาหญิง มากกวา่0.2 หรือคาดวา่ สัดส่วนของบณั ฑิตชายท่ีเขา้ รับพระราชทานปริญญาบตั รในปี พ.ศ. 2556 จะมากกวา่40% สมมุติฐานแบ่งไดเ้ ป็น 2 ประเภท ดงั น้ี 1. สมมุติฐานของการวจิ ยั (research hypothesis) คือสมมุติฐานท่ีกาหนดข้ึนมาเพื่อแทนคาตอบสาหรับการวจิ ยั โดยปกติอยใู่ นลกั ษณะขอ้ ความประโยคบอกเล่า เช่น ผวู้ ิจยั เช่ือวา่ ยอดขายเฉลี่ยตอ่ เดือนของโรงงานเซรามิคท่ีเป็นผปู้ ระกอบการขนาดเล็กของจงั หวดั ลาปาง จะมีค่านอ้ ยกวา่สามแสนบาท หรือคาดวา่ สดั ส่วนของผทู้ ่ีช่ืนชอบพรรคการเมืองพรรคหน่ึงจะมีคา่ สูงกวา่ 60% 2. สมมุตฐานทางสถิติ (statistical hypothesis) คือสมมุติฐานท่ีกาหนดข้ึนเพ่ือใชท้ ดสอบทางสถิติ มกั เขียนอย่ใู นรูปประโยคสัญลกั ษณ์ทางสถิติ สมมุติฐานทางสถิติจะถูกเปลี่ยนมาจากสมมติฐานทางการวจิ ยั8.2 หลกั การต้งั สมมุติฐานทางสถิติ สมมุติฐานทางการวิจยั จะถูกเปลี่ยนเป็ นสมมุติฐานทางสถิติซ่ึงเป็ นสมมุติฐานท่ีใชใ้ นการทดสอบ ประกอบดว้ ยสมมุติฐาน 2 สมมุติฐาน ไดแ้ ก่ 1. สมมุติฐานว่าง (null hypothesis) หรือสมมุติฐานหลกั เป็ นสมมุติฐานที่ต้งั ไวเ้ พื่อการทดสอบ ใชส้ ญั ลกั ษณ์แทนดว้ ย H0 โดยจะกาหนดในลกั ษณะที่แสดงวา่ ค่าพารามิเตอร์ไม่มีความแตกตา่ งกบั คา่ ที่กาหนด 2. สมมุติฐานทางเลือก (alternative hypothesis) เป็นสมมุติฐานท่ีกาหนดข้ึนมาเพ่ือแยง้ กบัสมมุติฐานหลกั ใชส้ ัญลกั ษณ์แทนดว้ ย H1 ท้ังสองสมมุติฐานน้ีจะต้องต้งั ในลักษณะท่ีแยง้ กันเสมอ โดยจะเลือกสมมุติฐานที่มีเคร่ืองหมายเท่ากบั รวมอยู่ด้วยให้เป็ นสมมุติฐานว่าง และโดยปกติจะกาหนดสมมุติฐานท้งั 2ไวค้ ูก่ นั เสมอตวั อย่าง 8.1 สมมุติฐานในการวจิ ยั เช่ือวา่ ผชู้ ายที่สาเร็จการศึกษาระดบั ปริญญาตรีและผหู้ ญิงที่สาเร็จการศึกษาระดบั ปริญญาตรีจะไดร้ ับเงินเดือนในเดือนแรกไมแ่ ตกตา่ งกนั ตอ้ งสร้างสมมุติฐานทางสถิติ 2 สมมุติฐานที่แยง้ กนั ถา้ ให้ 1 แทนเงินเดือนเฉลี่ยเดือนแรกของผชู้ ายที่สาเร็จการศึกษาระดบั ปริญญาตรี 2 แทนเงินเดือนเฉลี่ยเดือนแรกของผหู้ ญิงที่สาเร็จการศึกษาระดบั ปริญญาตรี จากความเช่ือจะไดส้ มมุติฐานคือ 1  2

บทท่ี 8 การทดสอบสมมุติฐาน 311 สร้างอีกสมมุติฐานที่ขดั แยง้ คือ 1  2 ดงั น้นั จะไดส้ มมุติฐานทางสถิติคือ H0 :1  2 H1 : 1  2ตวั อย่าง 8.2 สมมุติฐานในการวจิ ยั เช่ือวา่ สัดส่วนของคนไทยท่ีสูบบุหร่ีมีเกิน 2% ให้ p แทนสดั ส่วนของคนไทยที่สูบบุหร่ี จากความเชื่อจะไดส้ มมุติฐานคือ p  0.02 สร้างอีกสมมุติฐานที่ขดั แยง้ คือ p  0.02 ดงั น้นั จะไดส้ มมุติฐานทางสถิติคือ H0 : p  0.02 H1 : p  0.02ตัวอย่าง 8.3 สมมุติฐานในการวิจัยคาดว่ารายได้เฉล่ียต่อเดือนต่อคนของคนไทยจะน้อยกว่า20,000 บาท ให้  แทนรายไดเ้ ฉล่ียต่อเดือนตอ่ คนของคนไทย จากความเช่ือจะไดส้ มมุติฐานคือ   20,000 สร้างอีกสมมุติฐานท่ีขดั แยง้ คือ   20,000 ดงั น้นั จะไดส้ มมุติฐานทางสถิติคือ H0 :   20,000 H1 :   20,000ตวั อย่าง 8.4 สมมุติฐานในการวิจยั เชื่อว่าสัดส่วนของนกั ศึกษาชายที่เรียนต่อในระดบั ปริญญาเอกจะสูงกวา่ หญิงไม่ถึง 1% ให้ p1 , p2 แทนสัดส่วนของนกั ศึกษาชายและหญิงที่เรียนต่อในระดบั ปริญญาเอกตามลาดบั จากความเชื่อจะไดส้ มมุติฐานคือ p1 – p2  0.01 สร้างอีกสมมุติฐานที่ขดั แยง้ คือ p1 – p2  0.01 ดงั น้นั จะไดส้ มมุติฐานทางสถิติคือ H0 : p1 – p2  0.01 H1 : p1 – p2  0.01 จาก 4 ตวั อยา่ งท่ีผา่ นมาจะเห็นไดว้ า่ สมมุติฐานของการวิจยั เมื่อถูกเปล่ียนเป็ นสมมุติฐานทางสถิติ สมมุติฐานของการวจิ ยั อาจเป็นสมมุติฐานวา่ ง ( H0 ) หรือสมมุติฐานทางเลือก ( H1 ) ก็ได้

312 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้แต่การทดสอบสมมุติฐานจะเป็ นการทดสอบสมมุติฐานวา่ งว่าเป็ นจริงหรือไม่ ถา้ ผลการทดสอบยอมรับ H0 ก็แสดงว่า H0 เป็ นจริง แต่ถา้ ผลการทดสอบปฏิเสธ H0 แสดงวา่ H0 ไม่เป็ นจริงตอ้ งยอมรับสมมุติฐานทางเลือกหรือ H1 แทน8.3 ความผดิ พลาดในการทดสอบสมมุติฐาน ความผดิ พลาดในการทดสอบสมมุติฐานแบง่ เป็น 2 ประเภท ไดแ้ ก่ 1. ความผดิ พลาดประเภทท่ี 1 (type I error) เป็ นความผิดพลาดท่ีเกิดจากการปฏิเสธ H0โดยท่ี H0 เป็ นจริง ความผิดพลาดชนิดน้ีเรียกวา่ ระดบั นยั สาคญั (level of significance) ของการทดสอบ เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์  2. ความผดิ พลาดประเภทท่ี 2 (type II error) เป็ นความผิดพลาดที่เกิดจากการยอมรับ H0โดยท่ี H0 ไม่เป็ นจริง เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์  ในการทดสอบสมมุติฐานอาจมีความถูกตอ้ งหรือเกิดความผดิ พลาดได้ 4 สถานการณ์ดงั ตารางท่ี 8.1ตารางที่ 8.1 แสดงสถานการณ์ 4 สถานการณ์ท่ีเกิดข้ึนไดจ้ ากการทดสอบสมมุติฐานผลการทดสอบ สภาพทเ่ี ป็ นจริงยอมรับ H0 H0 เป็ นจริง H0 ไม่เป็ นจริง ปฏิเสธ H0 การตดั สินใจถูกตอ้ ง ความผดิ พลาดประเภทที่ 2 ( ) ความผดิ พลาดประเภทท่ี 1 (  ) การตดั สินใจถูกตอ้ ง ในการทดสอบสมมุติฐานผูท้ ดสอบตอ้ งพยายามให้เกิดความผิดพลาดท้งั 2 ประเภทนอ้ ยที่สุด นนั่ คือตอ้ งควบคุมความผิดพลาดที่เกิดข้ึนให้อยใู่ นระดบั ที่ยอมรับได้ แต่ในทางปฏิบตั ิถา้ ควบคุมให้ความผิดพลาดประเภทท่ี 1 (  ) มีค่าน้อยจะทาให้โอกาสที่จะเกิดความผิดพลาดประเภทที่ 2 ( ) มีค่ามากข้ึน หรื อถ้าควบคุมให้ความผิดพลาดประเภทท่ี 2 เกิดข้ึนน้อยความผดิ พลาดประเภทท่ี 1 ก็จะมีโอกาสเกิดข้ึนไดม้ าก ความผิดพลาดท้งั สองประเภทน้ี ความผิดพลาดประเภทที่ 1 ถือเป็ นความผิดพลาดที่ร้ายแรงมากกวา่ ดงั น้นั โดยทว่ั ไปจึงมกั จะควบคุมความผิดพลาดประเภทท่ี 1 (  ) ใหม้ ีค่านอ้ ยๆโดยการกาหนดค่า  หรือระดบั นยั สาคญั ของการทดสอบ ซ่ึงทาให้ความน่าจะเป็ นท่ีจะยอมรับH0 โดยที่ H0 เป็ นจริง มีคา่ เท่ากบั 1 – 

บทท่ี 8 การทดสอบสมมุติฐาน 313บทนิยาม 8.3.1 ค่าวกิ ฤติ (critical value) หมายถึง ค่าสถิติที่ใชแ้ บ่งพ้ืนท่ีของการทดสอบออกเป็ น 2 บริเวณ คือ บริเวณวกิ ฤติ (critical region) หรือเรียกอีกอยา่ งวา่ บริเวณปฏิเสธ H0 (reject hypotheses region) และบริเวณยอมรับ H0 (accept hypotheses region) บริเวณวิกฤติหรือบริเวณปฏิเสธ H0 น้ัน จะมีพ้ืนที่หรือความน่าจะเป็ นเท่ากับระดับนยั สาคญั  ซ่ึงอาจจะแบ่งเป็นส่วนเดียวหรือสองส่วนกไ็ ด้ ข้ึนอยกู่ บั ชนิดของการทดสอบ ส่วนพ้นื ที่ของการยอมรับ H0 จะมีค่าเท่ากบั 1 – 8.4 ชนิดของการทดสอบสมมุติฐาน การทดสอบสมมุติฐานแบ่งเป็ น 2 ชนิด โดยพิจารณาจากรูปแบบของการต้งั สมมุติฐานทางเลือก H1 ดงั น้ี 8.4.1 การทดสอบทางเดยี ว การทดสอบทางเดียว(one – sided test) จะมีเครื่องหมายของ H1 เป็ นเคร่ืองหมายมากกวา่หรือนอ้ ยกวา่ เพยี งอยา่ งใดอยา่ งหน่ึง และจะมีค่าวิกฤตเพียงค่าเดียว พ้ืนที่ของการปฏิเสธ H0 หรือบริเวณวกิ ฤตจึงมีเพียงบริเวณเดียว ซ่ึงอาจอยบู่ ริเวณดา้ นขวาของค่าวกิ ฤตหรือบริเวณดา้ นซา้ ยของค่าวกิ ฤต ดงั น้ี 1. การทดสอบทางเดียวด้านขวา หรื อเรี ยกส้ันๆ ว่าการทดสอบด้านขวาเป็นการทดสอบท่ีสมมุติฐานทางเลือก H1 มีเคร่ืองหมายเป็ นมากกวา่ (  ) บริเวณวิกฤตคือบริเวณที่อยดู่ า้ นขวาของคา่ วกิ ฤต ตวั อยา่ งของการทดสอบดา้ นขวา เช่น ถา้ เชื่อวา่ คา่ เฉลี่ย  จะมีค่ามากกวา่ ค่าคงท่ีค่าหน่ึง คือ 0 ถา้ ตอ้ งการทดสอบสมมุติฐานท่ีระดบั นยั สาคญั  และใชก้ ลุ่มตวั อยา่ งขนาดใหญ่จะไดส้ มมุติฐานทางสถิติ คือ H0 :   0 H1 :   0 เคร่ืองหมายของ H1 เป็ นเครื่องหมายมากกวา่ การทดสอบน้ีจึงเป็ นการทดสอบดา้ นขวา มีค่าวกิ ฤต คือ Z และบริเวณวกิ ฤตคือบริเวณท่ี Z มากกวา่ Z ซ่ึงแสดงไดด้ งั รูปท่ี 8.1

314 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ บริเวณยอมรับ H0 บริเวณวกิ ฤตหรือ บริเวณปฏิเสธ H0 1–  Z Zรูปที่ 8.1 แสดงบริเวณวกิ ฤตของการทดสอบดา้ นขวา 2. การทดสอบทางเดียวด้านซ้าย หรือเรียกส้ันๆ ว่าการทดสอบด้านซ้ายเป็ นการทดสอบท่ีสมมุติฐานทางเลือก H1 มีเครื่องหมายเป็ นน้อยกว่า (  ) บริเวณวิกฤตของการทดสอบคือบริเวณที่อยดู่ า้ นซา้ ยของค่าวกิ ฤต ตวั อย่างของการทดสอบดา้ นซ้าย เช่น ถา้ เชื่อวา่ รายไดเ้ ฉล่ียต่อเดือนของผสู้ าเร็จการศึกษาระดบั ปริญญาตรีจะไม่น้อยกว่า 15,000 บาท ถา้ สุ่มตวั อย่างขนาด 100 และระดบันยั สาคญั ของการทดสอบคือ  จะไดส้ มมุติฐานทางสถิติดงั น้ี H0 :  15,000 H1 :  15,000 เคร่ืองหมายของ H1 คือเคร่ืองหมายนอ้ ยกวา่ จึงเป็นการทดสอบดา้ นซ้ายโดยมีค่าวกิ ฤตคือ Z บริเวณวกิ ฤตคือบริเวณท่ี Z นอ้ ยกวา่ Z หรือบริเวณดา้ นซ้ายของค่าวิกฤต Zซ่ึงแสดงไดด้ งั รูปท่ี 8.2บริเวณวกิ ฤตหรือ บริเวณยอมรับ H0บริเวณปฏิเสธ H0 1– Z Zรูปที่ 8.2 แสดงบริเวณวกิ ฤตของการทดสอบดา้ นซา้ ย

บทท่ี 8 การทดสอบสมมุติฐาน 3158.4.2 การทดสอบสองทาง การทดสอบสองทาง(two – sided test) จะมีเครื่ องหมายของสมมุติฐาน H1 เป็ นเคร่ืองหมายไม่เท่ากบั () การทดสอบสองทางน้ีจะมีคา่ วกิ ฤต 2 คา่ บริเวณวกิ ฤตหรือบริเวณของการปฏิเสธ H0 กจ็ ะมี 2 บริเวณ ตวั อยา่ งของการทดสอบสองทาง เช่น บริษทั แห่งหน่ึงเช่ือวา่ ยอดขายเฉลี่ยต่อเดือนของ2 สาขาท่ีบริษัทเปิ ดมีค่าไม่แตกต่างกัน จึงทาการทดสอบโดยสุ่มยอดขายเฉลี่ยต่อเดือนของแต่ละสาขามา 12 เดือน แลว้ ทาการทดสอบผลต่างของยอดขายเฉลี่ยของ 2 สาขา ท่ีระดบันยั สาคญั  จะไดส้ มมุติฐานทางสถิติ คือH0 : 1  2  0 หรือ H0 : 1  2 H1 : 1  2H1 : 1  2  0 หรือเน่ืองจาก ขนาดตวั อยา่ ง n  30 จึงใชค้ ่าสถิติ Tระดบั นยั สาคญั ของการทดสอบคือ  แต่เนื่องจากเป็ นการทดสอบ 2 ทาง จึงแบ่ง ออกเป็น 2 ส่วน ดงั น้นั ค่าวกิ ฤตของการทดสอบ 2 ทาง ในตวั อยา่ งขอ้ น้ี คือ t และ t 22 บริเวณวิกฤตคือบริเวณท่ีค่าสถิติ T มีค่ามากกว่า t หรือบริเวณที่อยูท่ างดา้ นขวาของ 2t และบริเวณท่ีค่าสถิติ T มีค่านอ้ ยกวา่ t หรือบริเวณท่ีอยดู่ า้ นซา้ ยของ t ซ่ึงแสดงไดด้ งั รูป 2 22ที่ 8.3บริเวณวกิ ฤตหรือ บริเวณยอมรับ H0 บริเวณวกิ ฤตหรือบริเวณปฏิเสธ H0 บริเวณปฏิเสธ H0  1–  T 22 t t 22รูปที่ 8.3 แสดงบริเวณวกิ ฤตของการทดสอบสองทาง

316 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้8.5 ข้นั ตอนในการทดสอบสมมุติฐานการทดสอบสมมุติฐานประกอบดว้ ย 6 ข้นั ตอน ดงั น้ีข้นั ตอนที่ 1 ต้งั สมมุติฐานทางสถิติเพื่อการทดสอบคือ H0 และ H1ข้นั ตอนที่ 2 กาหนดระดบั นยั สาคญั  หรือระดบั ความเช่ือมนั่ (1 )100%ข้นั ตอนท่ี 3 กาหนดสถิติทดสอบท่ีเหมาะสม ดงั น้ี การทดสอบสมมุตฐิ านเกยี่ วกบั ค่าเฉลย่ี ประชากร - ใชส้ ถิติทดสอบ Z เมื่อประชากรมีการแจกแจงแบบปกติ และทราบค่าความแปรปรวน 2 หรือไมท่ ราบการแจกแจงของประชากร และไมท่ ราบความแปรปรวน 2 แตส่ ุ่มตวั อยา่ งขนาดใหญ่ (n  30) - ใชส้ ถิติทดสอบ T เม่ือประชากรมีการแจกแจงแบบปกติ ไม่ทราบความแปรปรวน 2 แตส่ ุ่มตวั อยา่ งขนาดเลก็ (n  30) การทดสอบสมมุติฐานเกยี่ วกบั สัดส่วนของประชากร จะใชส้ ถิติทดสอบ Z การทดสอบสมมุติฐานเกยี่ วกบั ความแปรปรวนของประชากร - ใชส้ ถิติทดสอบ 2 สาหรับประชากร 1 กลุ่ม - ใชส้ ถิติทดสอบ F สาหรับประชากร 2 กลุ่มข้นั ตอนที่ 4 สร้างบริเวณปฏิเสธ H0 หรือบริเวณวกิ ฤต ซ่ึงส่วนใหญ่จะแสดงบริเวณยอมรับ H0 และบริเวณปฏิเสธ H0 โดยสร้างตามระดบั นัยสาคญั  ท่ีกาหนดใน ข้นั ตอนที่ 2 และหาค่าวิกฤตท่ีสอดคล้องกบั สถิติทดสอบและชนิดของการ ทดสอบสมมุติฐานข้นั ตอนท่ี 5 คานวณค่าสถิติทดสอบจากข้อมูลตวั อย่างที่สุ่มมา แล้วนาไปเปรียบเทียบกับ บริเวณวกิ ฤตท่ีสร้างไวใ้ นข้นั ตอนที่ 4 และตดั สินใจข้นั ตอนที่ 6 สรุปผลการทดสอบ โดยผลการทดสอบอาจเป็นได้ 2 แบบ คือ 1. ผลการทดสอบยอมรับ H0 เม่ือค่าสถิติทดสอบตกอยใู่ นบริเวณยอมรับ H0 หรือเรียกวา่ การทดสอบไม่มีนยั สาคญั ทางสถิติ (nonsignificant) 2. ผลการทดสอบปฏิเสธ H0 จึงตอ้ งยอมรับ H1 เม่ือค่าสถิติทดสอบตกอยู่ ในบริเวณวกิ ฤต หรือเรียกวา่ การทดสอบมีนยั สาคญั ทางสถิติ (significant)

บทท่ี 8 การทดสอบสมมตุ ิฐาน 3178.6 การทดสอบสมมุติฐานเกย่ี วกบั ค่าเฉลยี่ ประชากร 1 กล่มุ การทดสอบสมมุติฐานเก่ียวกบั ค่าเฉล่ียของประชากรหรือการทดสอบค่า  แบ่งออกเป็ น3 กรณี ไดแ้ ก่ กรณที ี่ 1 การทดสอบสมมุติฐานเกยี่ วกบั ค่าเฉลยี่ ของประชากรเมื่อประชากรมีการแจกแจงแบบปกติ ทราบค่าความแปรปรวนของประชากร ถา้ ประชากรมีการแจกแจงแบบปกติ และทราบค่า 2 จะไดว้ ่าตวั แปรสุ่ม X ก็จะมีการแจกแจงแบบปกติดว้ ย การทดสอบในกรณีน้ีจึงใชค้ า่ สถิติทดสอบ Zบทนิยาม 8.6.1 การทดสอบสมมุติฐานเกี่ยวกบั ค่าเฉล่ียของประชากรท่ีมีการแจกแจงแบบปกติ มีความแปรปรวน 2 สุ่มตวั อยา่ งขนาด n ท่ีระดบั นยั สาคญั ของการทดสอบเป็ น  จะใชส้ ถิติทดสอบคือ Z ( Z - test)โดยที่ Z  X   nสมมุติฐานและบริเวณวกิ ฤตของการทดสอบในกรณีน้ีเป็ นดงั ตารางที่ 8.2ตารางที่ 8.2 แสดงค่าวกิ ฤตและบริเวณวกิ ฤตของการทดสอบคา่  เมื่อทราบคา่ 2สมมุตฐิ าน ค่าวกิ ฤต บริเวณวกิ ฤตสองทาง H0 :   0 Z Z  Z หรือ Z  Zดา้ นขวา H1 :   0ดา้ นซา้ ย 2 22 H0 :   0 H1 :   0 Z Z  Z H0 :   0 Z Z  Z H1 :   0เมื่อ 0 เป็นค่าคงท่ีแทนของค่าเฉลี่ยประชากรตามสมมุติฐาน

318 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้กรณีท่ี 2 การทดสอบค่าเฉล่ยี ของประชากร เม่ือไม่ทราบว่าประชากรมีการแจกแจงแบบปกตหิ รือไม่และไม่ทราบค่าความแปรปรวนของประชากร แต่สุ่มตวั อย่างขนาดใหญ่ถา้ ไม่ทราบวา่ ประชากรมีการแจกแจงแบบปกติหรือไม่และไม่ทราบค่าความแปรปรวนของประชากร แต่สุ่มตวั อย่างขนาดใหญ่ (n  30) โดยทฤษฎีลิมิตสู่ส่วนกลาง จะไดว้ ่า X จะมีการแจกแจงใกลเ้ คียงแบบปกติ จึงใชค้ า่ S2 ประมาณคา่ 2 ดงั น้นั การทดสอบค่าเฉล่ียในกรณีน้ียงั ใชค้ า่ สถิติทดสอบ Z โดยที่Z  X  S nสมมุติฐานของการทดสอบและบริเวณวกิ ฤตกจ็ ะเหมือนกบั การทดสอบในกรณีท่ี 1 กรณที ี่ 3 การทดสอบค่าเฉลยี่ ของประชากรเมอื่ ประชากรมีการแจกแจงแบบปกติไม่ทราบค่าความแปรปรวนของประชากร และสุ่มตวั อย่างขนาดเลก็ ในกรณีท่ีประชากรมีการแจกแจงแบบปกติ ไม่ทราบค่าความแปรปรวนของประชากรและสุ่มตวั อย่างขนาดเล็ก (n  30) จะได้ว่า X จะมีการแจกแจงแบบที ดงั น้นั จึงใช้ค่าสถิติทดสอบคือ Tบทนิยาม 8.6.2 การทดสอบสมมุติฐานเก่ียวกบั ค่าเฉล่ียของประชากรท่ีมีการแจกแจงแบบปกติไมท่ ราบคา่ 2 และสุ่มตวั อยา่ งขนาดเลก็ (n  30) ท่ีระดบั นยั สาคญัของการทดสอบ  จะใชส้ ถิติทดสอบ T (T – test)โดยที่ T  X  S nสมมุติฐานและบริเวณวกิ ฤตของการทดสอบโดยใชค้ า่ สถิติทดสอบทีเป็นดงั ตารางท่ี 8.3

บทที่ 8 การทดสอบสมมุติฐาน 319ตารางที่ 8.3 แสดงบริเวณวกิ ฤตของการทดสอบค่า  เมื่อไม่ทราบคา่ 2 และ n  30สมมุตฐิ าน ค่าวกิ ฤต บริเวณวกิ ฤตสองทาง H0 :   0 t T  t หรือ T  tดา้ นขวา H1 :   0ดา้ นซา้ ย 2 22 H0 :   0 H1 :   0 t T  t H0 :   0 t T  t H1 :   0เมื่อ 0 เป็นค่าคงที่แทนค่าเฉล่ียของประชากรตามสมมุติฐานตัวอย่าง 8.5 โรงงานผลิตสารเคมีแห่งหน่ึง มีค่าความแปรปรวนของการผลิตสารเคมี 24 กิโลกรัม2ถ้าโรงงานแห่งน้ีต้งั เป้ าหมายการผลิตไวว้ ่า โรงงานจะผลิตสารเคมีเฉลี่ย 100 กิโลกรัมต่อวนัจากการบนั ทึกขอ้ มูลเก่ียวกบั การผลิตสารเคมีดงั กล่าวเป็ นเวลา 40 วนั พบวา่ โรงงานผลิตสารเคมีเฉล่ียเทา่ กบั 97.5 กิโลกรัมตอ่ วนั จงทดสอบวา่ โรงงานแห่งน้ีผลิตสารเคมีไดน้ อ้ ยกวา่ เป้ าหมายท่ีต้งัไวห้ รือไม่ ที่ระดบั นยั สาคญั 0.05วธิ ีทา ให้  แทนปริมาณสารเคมีเฉล่ียท่ีโรงงานแห่งน้ีผลิตไดต้ ่อวนัจากกาหนดให้ 2 = 24 , n = 40 , X = 97.5 ,  = 0.05เน่ืองจากทราบค่า 2 ดงั น้นั จึงเป็นการทดสอบคา่  ในกรณีท่ี 1ตอ้ งการทราบวา่   100 (สมมุติฐานของการวิจยั )1. ต้งั สมมุติฐาน H0 :  1002. กาหนด  = 0.05 H1 :  1003. กาหนดคา่ สถิติทดสอบคือ Z -test เนื่องจากทราบคา่ 2 และ n  30โดยที่ Z  X   n4. สร้างบริเวณวกิ ฤตหรือบริเวณปฏิเสธ H0 เน่ืองจากเป็นการทดสอบทางเดียวดา้ นซา้ ยดงั น้นั ค่าวกิ ฤตคือ Z = Z0.05 =  1.645

320 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ บริเวณปฏิเสธ H0 บริเวณยอมรับ H0  = 0.05 0.95 – 1.645 Z5. คานวณค่าสถิติทดสอบจากตวั อยา่ งจาก Z  X   n  97.5  100 24 40  2.5 0.7746 = – 3.2276. สรุปผลการทดสอบ ที่ระดบั นยั สาคญั 0.05 การทดสอบปฏิเสธ H0 (หรือยอมรับ H1 )เนื่องจากคา่ สถิติทดสอบ Z = –3.227 ตกอยใู่ นบริเวณปฏิเสธ H0 นนั่ คือโรงงานแห่งน้ีสามารถผลิตสารเคมีโดยเฉลี่ยนอ้ ยกวา่ 100กิโลกรัมต่อวนั ดงั น้นั โรงงานจึงผลิตสารเคมีเฉลี่ยต่อวนั ไดน้ อ้ ยกวา่ เป้ าหมายที่ต้งั ไว้ตัวอย่าง 8.6 ผจู้ ดั การบริษทั แห่งหน่ึงมีความเชื่อวา่ จานวนสินคา้ ท่ีผลิตไดต้ ่อชวั่ โมงจากเครื่องจกั รทุกเคร่ืองของบริษทั จะมากกว่า 100 ชิ้น เขาตอ้ งการพิสูจน์ความเช่ือดงั กล่าวจึงสุ่มเคร่ืองจกั รมา15 เคร่ือง ปรากฏวา่ จานวนสินคา้ ท่ีผลิตไดเ้ ฉลี่ยต่อชวั่ โมงจากเครื่องจกั รที่สุ่มมาเท่ากบั 106 ชิ้นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากบั 10 ชิ้น ถา้ การแจกแจงของจานวนสินคา้ ท่ีผลิตไดต้ ่อชว่ั โมงเป็ นแบบปกติ จงทดสอบวา่ ความเชื่อของผจู้ ดั การถูกตอ้ งหรือไม่ ท่ีระดบั นยั สาคญั 0.01วธิ ีทา ให้  แทนจานวนสินคา้ เฉลี่ยที่ผลิตไดต้ อ่ ชวั่ โมงจากเคร่ืองจกั รทุกเครื่องของบริษทั จากกาหนดให้ n = 15 , X = 106 , S = 10 ,  = 0.01 เน่ืองจากประชากรมีการแจกแจงแบบปกติ ไมท่ ราบค่า 2 และ n  30 ดงั น้นั เป็นการทดสอบกรณีที่ 3 ใชค้ า่ สถิติทดสอบ T โดยผจู้ ดั การมีความเชื่อวา่  100 (สมมุติฐานของการวิจยั )

บทท่ี 8 การทดสอบสมมตุ ิฐาน 3211. ต้งั สมมุติฐาน H0 :  1002. กาหนด  = 0.01 H1 :  1003. กาหนดค่าสถิติทดสอบคือ T – test เนื่องจากไมท่ ราบคา่ 2 และ n  30โดยท่ี T  X   S n4. สร้างบริเวณวกิ ฤตหรือบริเวณปฏิเสธ H0 เนื่องจากเป็นการทดสอบทางเดียวดา้ นขวาดงั น้นั ค่าวกิ ฤตคือ t มี  = 15 – 1 = 14จะได้ t(0.01,14) = 2.624 บริเวณยอมรับ H0 บริเวณปฏิเสธ H0 0.99  = 0.01 2.624 T5. คานวณคา่ สถิติทดสอบจากขอ้ มลู ตวั อยา่ งจาก T  X  S n  106  100 10 15 = 2.3246. สรุปผลการทดสอบ ท่ีระดบั นยั สาคญั 0.01 การทดสอบยอมรับ H0 เนื่องจากค่าสถิติทดสอบ T = 2.324 ตกอยใู่ นบริเวณยอมรับ H0 นน่ั คือ จานวนสินคา้ เฉล่ียที่ผลิตไดต้ ่อชวั่ โมงของเครื่องจกั รทุกเครื่อง ของบริษัทแห่งน้ีน้อยกว่าหรือเท่ากับ 100 ชิ้น ดังน้ันความเชื่อของผูจ้ ัดการจึง ไมถ่ ูกตอ้ ง

322 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้ตัวอย่าง 8.7 โรงงานผลิตถ่านไฟฉายแห่งหน่ึงโฆษณาว่า ถ่านไฟฉายที่ผลิตโดยบริษทั มีอายุการใชง้ านเฉล่ียเท่ากบั 400 ชว่ั โมง ตวั แทนจาหน่ายถ่านไฟฉายชนิดน้ีตอ้ งการพิสูจน์คาโฆษณาดงั กล่าวว่าเป็ นจริงหรือไม่ จึงสุ่มถ่านไฟฉายยี่ห้อน้ีมา 100 ก้อน และหาอายุการใช้งานเฉล่ียปรากฏว่ามีอายุการใช้งานเฉล่ีย 405 ชั่วโมง และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็ น 20 ชว่ั โมงจงทดสอบวา่ คาโฆษณาของบริษทั น้ีเป็นจริงหรือไมท่ ่ีระดบั นยั สาคญั 0.01วธิ ีทา ให้  แทนอายกุ ารใชง้ านเฉลี่ยของถ่านไฟฉายที่ผลิตโดยบริษทั แห่งน้ีจากกาหนด n = 100, X = 405, S = 20 ,  = 0.01เน่ืองจากไม่ทราบคา่ 2 แตส่ ุ่มตวั อยา่ งขนาดใหญ่ ดงั น้นั จึงเป็นการทดสอบคา่  ในกรณีท่ี 2 ใชค้ ่าสถิติทดสอบ Zโดยโรงงานแห่งน้ีเชื่อวา่  = 400 (สมมุติฐานของการวิจยั )1. ต้งั สมมุติฐาน H0 :  4002. กาหนด  = 0.01 H1 :  4003. กาหนดคา่ สถิติทดสอบคือ Z - test เนื่องจากไมท่ ราบค่า 2 แตส่ ุ่มตวั อยา่ งขนาดใหญ่โดยท่ี Z  X  S n4. สร้างบริเวณวกิ ฤตหรือบริเวณปฏิเสธ H0 เนื่องจากเป็ นการทดสอบสองทาง ดงั น้นั คา่ วกิ ฤตคือ Z = – 2.575 และ Z = 2.575 22บริเวณปฏิเสธ H0 บริเวณยอมรับ H0 บริเวณปฏิเสธ H0   2 2 –2.575 2.575 Z

บทที่ 8 การทดสอบสมมุติฐาน 323 5. คานวณค่าสถิติจากขอ้ มูลตวั อยา่ ง จาก Z  X   S n  405  400 20 100 = 2.5 6. สรุปผลการทดสอบ ที่ระดบั นยั สาคญั 0.01 การทดสอบยอมรับ H0 เนื่องจากคา่ สถิติทดสอบ Z = 2.5 ตกอยใู่ นบริเวณยอมรับ H0 นนั่ คือ อายกุ ารใชง้ านเฉล่ียของถ่านไฟฉายท่ีผลิตโดยบริษทั แห่งน้ีเทา่ กบั 400 ชวั่ โมง ดงั น้นั คาโฆษณาของบริษทั น้ีจึงเป็ นจริง8.7 การทดสอบสมมุติฐานทเี่ กย่ี วกบั ผลต่างของค่าเฉลยี่ ประชากร 2 กล่มุ การทดสอบสมมุติฐานที่เกี่ยวกบั ผลต่างของค่าเฉลี่ยประชากร 2 กลุ่ม หรือการทดสอบค่า1  2 น้นั แบง่ ไดเ้ ป็ น 2 กรณี คือ กรณที ่ี 1 ประชากร 2 กลุ่มอสิ ระกนั แบง่ ไดเ้ ป็น 2 แบบ ไดแ้ ก่ 1. ประชากร 2 กลุ่ม มีการแจกแจงแบบปกติ ทราบค่าความแปรปรวน ( 12 , 22 )ของท้งั 2 กลุ่ม หรือไม่ทราบความแปรปรวนของประชากร ( 12 , 22 ) แต่สุ่มตวั อยา่ งขนาดใหญ่( n1 , n2  30 ) จะใช้สถิติทดสอบคือ Z บางคร้ังเราเรียกการทดสอบท่ีใช้ค่าสถิติทดสอบ Zวา่ การทดสอบแบบ Z ( Z – test) 2. ประชากร 2 กลุ่ม มีการแจกแจงแบบปกติ ไม่ทราบค่าความแปรปรวนของประชากร ท้งั 2 กลุ่ม และสุ่มตวั อย่างขนาดเล็ก ( n1 , n2  30 ) ซ่ึงตอ้ งพิจารณาอีกว่าค่าความแปรปรวนของประชากรท้งั 2 กลุ่ม แตกต่างกนั หรือไม่ จะใชส้ ถิติทดสอบคือ T หรือเรียกว่าการทดสอบแบบ T (T – test) กรณที ี่ 2 ประชากร 2 กลุ่มไม่อสิ ระกนั การทดสอบสมมุติฐานท่ีเกี่ยวกบั ผลต่างของค่าเฉลี่ยประชรการ 2 กลุ่มน้นั แมว้ ่าสถิติทดสอบในแต่ละกรณีจะแตกต่างกนั ออกไป แต่ข้นั ตอนการทดสอบสมมุติฐานยงั คงใช้ 6 ข้นั ตอนเช่นเดียวกบั การทดสอบค่าเฉล่ียของประชากร 1 กลุ่ม

324 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ 8.7.1 การทดสอบผลต่างของค่าเฉลย่ี ประชากร 2 กล่มุ ทอี่ สิ ระกนั 1. การทดสอบผลต่างของค่าเฉลี่ยประชากร เมื่อทราบค่าความแปรปรวนของประชากรท้งั 2 กล่มุ ในการทดสอบผลต่างของเฉลี่ยประชากร เม่ือทราบค่าความแปรปรวนของประชากรท้งั 2 กลุ่มจะใชส้ ถิติทดสอบ Z ดงั บทนิยาม 8.7.1บทนิยาม 8.7.1 ถา้ X1 , X2 เป็นค่าเฉล่ียของตวั อยา่ งกลุ่มที่ 1 และ 2 ซ่ึงสุ่มมาจากประชากร 2 กลุ่ม ท่ีอิสระกนั และทราบค่า 12 , 22 แลว้ X1– X2 จะมีการแจกแจงแบบปกติมีค่าเฉล่ีย 1  2 มีความแปรปรวน 12  22 การทดสอบผลต่างของค่าเฉล่ีย n1 n2ประชากร 2 กลุ่ม ที่ระดบั นยั สาคญั  จะใชส้ ถิติทดสอบ Z โดย Z  ( X1  X2 )  1  2  12  22 n1 n2 ค่าวกิ ฤตและบริเวณวกิ ฤตการทดสอบคา่ 1  2 เม่ือทราบค่า ,12 22 ที่ระดบั นยั สาคญั ของการทดสอบ  เป็นดงั ตารางที่ 8.4ตารางที่ 8.4 แสดงค่าวกิ ฤตและบริเวณวกิ ฤตของการทดสอบคา่ 1  2 เม่ือทราบคา่ 12 , 22สมมุติฐาน ค่าวกิ ฤต บริเวณวกิ ฤตสองทาง H0 :1  2  d0 Z Z  Z หรือ Z  Z H1 : 1  2  d0 2 22ดา้ นขวา H0 :1  2  d0 Z Z  Z H1 : 1  2  d0ดา้ นซา้ ย H0 :1  2  d0 Z Z  Z H1 : 1  2  d0เมื่อ d0 เป็ นค่าคงที่แทนผลต่างของ 1  2 ตามสมมุติฐาน

บทที่ 8 การทดสอบสมมตุ ิฐาน 325 2. การทดสอบผลต่างของค่าเฉล่ียประชากร 2 กลุ่ม เมื่อไม่ทราบความแปรปรวนของประชากรท้งั สองกล่มุ แต่สุ่มตัวอย่างขนาดใหญ่ สาหรับการทดสอบผลต่างของค่าเฉล่ียประชากร 2 กลุ่ม เม่ือไม่ทราบความแปรปรวนของประชากรท้งั สองกลุ่ม แตส่ ุ่มตวั อยา่ งขนาดใหญ่ ใชส้ ถิติทดสอบ Z ดงั บทนิยาม 8.7.2บทนิยาม 8.7.2 ถา้ X1 , X2 เป็นคา่ เฉลี่ยของตวั อยา่ งกลุ่มท่ี 1 และ 2 ซ่ึงสุ่มมาจากประชากร 2 กลุ่ม ที่อิสระกนั และทราบค่า 12 , 22 แต่สุ่มตวั อย่างขนาดใหญ่ ( n1 , n2  30 ) โดย ทฤษฏีลิมิตสู่ส่วนกลางจะไดว้ ่า X1– X2 จะมีการแจกแจงใกลเ้ คียงแบบปกติ จึงใชค้ ่า ,S12 S22 ประมาณค่า ,12 22 การทดสอบผลต่างของค่าเฉลี่ยประชากร 2 กลุ่มจะใชส้ ถิติทดสอบ Z โดย Z  ( X1  X2 )  1  2  S12  S22 n1 n2 ค่าวิกฤตและบริเวณวิกฤตของการทดสอบค่า 1  2 เมื่อไม่ทราบค่า ,12 22 แต่n1 , n2  30 ท่ีระดบั นยั สาคญั  เป็ นเช่นเดียวกบั การทดสอบค่า 1  2 เมื่อทราบค่า ,12 22(เหมือนตารางท่ี 8.4)ตัวอย่าง 8.8 เจา้ ของโรงงานผลิตสินคา้ แห่งหน่ึง มีแผนว่าจะเปล่ียนไปใชเ้ คร่ืองจกั รชนิดใหม่ท้งั หมด ถ้าจานวนสินค้าเฉล่ียที่เคร่ืองจกั รชนิดใหม่ผลิตได้ต่อวนั มากกว่าเครื่องจกั รชนิดเก่าเกินกวา่ 500 ชิ้น จึงสุ่มสารวจจานวนสินคา้ ท่ีเครื่องจกั รชนิดใหม่ผลิตมา 45 วนั พบว่ามีค่าเฉลี่ย2,860 ชิ้น มีส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 420 ชิ้น สุ่มสารวจจานวนสินคา้ ที่ผลิตจากเคร่ืองจกั รแบบเก่ามา 35 วนั พบวา่ มีค่าเฉลี่ย 2,400 ชิ้น มีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 360 ชิ้น ถา้ ทาการทดสอบผลต่างของค่าเฉล่ียประชากรท่ีระดบั นยั สาคญั 0.01โรงงานแห่งน้ีจะตอ้ งเปล่ียนไปใชเ้ คร่ืองจกั รแบบใหม่ท้งั หมดหรือไม่วธิ ีทา ให้ 1 , 2 แทนจานวนผลิตสินคา้ เฉลี่ยท่ีผลิตไดต้ ่อวนั จากเครื่องจกั รแบบใหม่และแบบเก่าตามลาดบั จากกาหนดให้ n1 = 45 , X1 = 2,860 , S1 = 420 , n2 = 35 , X2 = 2,400 , S2 = 360 ,  = 0.01

326 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ตอ้ งการทดสอบวา่ 1  2  500 หรือไม่1. ต้งั สมมุติฐาน H0 : 1  2  500 H1 : 1  2  5002. กาหนดระดบั นยั สาคญั  = 0.013. กาหนดสถิติทดสอบคือ Z - test เน่ืองจากไมท่ ราบคา่ 12 , 22 และ n1 , n2  30 โดยท่ี Z  ( X1  X2 )  1  2  S12  S22 n1 n24. สร้างบริเวณวกิ ฤตหรือบริเวณปฏิเสธ H0 เนื่องจากเป็นการทดสอบทางเดียวดา้ นขวา ค่าวกิ ฤตคือ Z = Z0.01 = 2.33 บริเวณยอมรับ H0 บริเวณปฏิเสธ H0  = 0.015. คานวณคา่ สถิติจากตวั อยา่ ง 2.33 Z จาก Z  (X1  X2 )  1  2  S12  S22 n1 n2  (2,860  2, 400)  500 4202  3602 45 35  40 87.3090 = –0.458

บทท่ี 8 การทดสอบสมมตุ ิฐาน 3276. สรุปผลการทดสอบ ท่ีระดบั นยั สาคญั 0.01 การทดสอบยอมรับ H0 เนื่องจาก Z = –0.458 ตกอยใู่ นบริเวณบริเวณยอมรับ H0 นน่ั คือ จานวนสินคา้ เฉล่ียที่เคร่ืองชนิดใหม่ผลิตไดต้ ่อวนั มากกว่าเครื่องชนิดเก่าไมเ่ กิน 500 ชิ้น ดงั น้นั โรงงานจึงไม่จาเป็นตอ้ งเปล่ียนไปใชเ้ ครื่องจกั รชนิดใหม่3. การทดสอบผลต่างของค่าเฉลย่ี ประชากร 2 กล่มุ ทไี่ ม่ทราบค่าความแปรปรวนของประชากรและสุ่มตวั อย่างขนาดเลก็ ถ้า X1 , X2 เป็ นค่าเฉลี่ยของตวั อย่างท่ีสุ่มมาจากประชากร 2 กลุ่มที่อิสระกันและไมท่ ราบค่า 12 , 22 ถา้ n1 , n2  30 แลว้ X1– X2 จะมีการแจกแจงแบบที มีค่าเฉลี่ย 1  2ความแปรปรวน 12  22 การทดสอบค่า 1 2 จึงใชส้ ถิติทดสอบ T โดยค่าสถิติทดสอบ T n1 n2หาไดแ้ ตกตา่ งกนั โดยอาศยั บทนิยามต่อไปน้ีบทนิยาม 8.7.3 การทดสอบผลต่างของคา่ เฉล่ียประชากร 2 กลุ่ม ที่ไมท่ ราบคา่ ,12 22 และ n1 , n2  30 ถา้ ทราบวา่ 12 = 22 จะใชส้ ถิติทดสอบ T โดยท่ี T  ( X1  X2 )  1  2  11 Sp n1 n2 เมื่อ Sp เป็ นส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานร่วมที่ไดจ้ าก S1 , S2 หาไดจ้ าก Sp  (n1 1)S12  (n2 1)S22 n1  n2  2 มีองศาเสรีของการทดสอบคือ   n1  n2  2 ค่าวิกฤตและบริ เวณวิกฤตของการทดสอบค่า 1  2 เม่ือไม่ทราบค่า ,12 22แต่ทราบวา่ 12 = 22 และ n1 , n2  30 เป็ นดงั ตารางที่ 8.5

328 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ตารางท่ี 8.5 แสดงคา่ วกิ ฤตและบริเวณวกิ ฤตของการทดสอบคา่ 1 2 เม่ือไม่ทราบค่า 12 , 22 แต่ทราบวา่ =12 22 และ n1 , n2  30สมมุตฐิ าน ค่าวกิ ฤต บริเวณวกิ ฤตสองทาง H0 :1  2  d0 t  ,) หรือT t  T  t  ,) ,) H1 : 1  2  d0 ( 2 ( (ดา้ นขวา H0 :1  2  d0 22 H1 : 1  2  d0 t(,) T  t(,)ดา้ นซา้ ย H0 :1  2  d0 t(,) T  t(,) H1 : 1  2  d0d0 เป็ นค่าคงท่ีแทนผลตา่ งของ 1  2 ตามสมมุติฐานบทนิยาม 8.7.4 การทดสอบผลต่างของค่าเฉลี่ยประชากร 2 กลุ่ม ที่ไมท่ ราบคา่ ,12 22 และ n1 , n2  30 ถา้ ทราบวา่ 12  22 จะใชส้ ถิติทดสอบ T โดยที่ T  ( X1  X2 )  1  2  S12  S22 n1 n2  S12  S22 2  โดยมีองศาเสรี  คือ    n1 n2   S12 2  S22 2  n1    n2      n1 1 n2 1 คา่ วกิ ฤตและบริเวณวกิ ฤตของการทดสอบ 1 2 ในกรณีน้ีเหมือนดงั ตารางที่ 8.5เพยี งแต่ตอ้ งหาคา่  ใหม่ตามบทนิยาม 8.7.4

บทที่ 8 การทดสอบสมมุติฐาน 329ตวั อย่าง 8.9 บริษทั ผลิตหลอดไฟชนิดหลอดไส้ธรรมดาแห่งหน่ึงโฆษณาวา่ หลอดไฟของบริษทั มีอายุการใช้งานนานกว่าหลอดไฟของบริษทั อ่ืน ถึง 100 ชวั่ โมง ถา้ ตอ้ งการทดสอบคาโฆษณาน้ีว่าเกินจริ งหรื อไม่ จึงสุ่มหลอดไฟของบริ ษัทน้ีมา 16 หลอด พบว่ามีอายุการใช้งานเฉลี่ย945 ชว่ั โมง มีส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 65 ชวั่ โมง และสุ่มหลอดไฟชนิดเดียวกนั ของบริษทั อ่ืนมา20 หลอด พบวา่ มีอายุการใชง้ านเฉลี่ย 898 ชวั่ โมง ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 80 ชว่ั โมง จงทดสอบวา่ คาโฆษณาน้ี ถา้ สมมุติวา่ 1. ความแปรปรวนของอายุการใช้งานของหลอดไฟของท้งั สองบริษทั ไม่แตกต่างกันระดบั นยั สาคญั ของการทดสอบเป็น 0.05 2. ความแปรปรวนของอายุการใช้งานของหลอดไฟของท้ังสองบริษัทแตกต่างกันระดบั นยั สาคญั ของการทดสอบเป็น 0.01วธิ ีทา ให้ 1 , 2 แทนอายกุ ารใชง้ านเฉลี่ยของหลอดไฟชนิดหลอดไส้ธรรมดาท่ีผลิตโดยบริษทั น้ีและบริษทั อื่นตามลาดบั จากกาหนดใด้ n1 = 16 , X1 = 945 , S1 = 65 , n2 = 20 , X2 = 898 , S2 = 80 ,  = 0.05 ตอ้ งการทดสอบวา่ 1 2 = 100 ตามที่บริษทั น้ีโฆษณาหรือไม่ ถา้ กาหนดเง่ือนไข1. ความแปรปรวนของอายุการใช้งานของหลอดไฟของท้งั สองบริษทั ไม่แตกต่างกัน หรือ12  22 ระดบั นยั สาคญั ของการทดสอบเป็ น 0.051. ต้งั สมมุติฐาน H0 :1  2 = 100 H1 : 1  2  1002. กาหนด  = 0.053. กาหนดสถิติทดสอบ T-test เนื่องจากไม่ทราบค่า 12 , 22 แต่ n1 , n2  30 และ 12  22 โดยที่ T  ( X1  X2 )  1  2  11 Sp n1 n24. สร้างบริเวณปฏิเสธ H0เนื่องจากเป็นการทดสอบสองทาง ดงั น้นั คา่ วกิ ฤตคือ = =t (  , t(0.025,34) 2.0336 2 )

330 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้บริเวณปฏิเสธ H0 บริเวณยอมรับ H0 บริเวณปฏิเสธ H0   2 2 –2.0336 2.0336 T5. คานวณคา่ สถิติจากตวั อยา่ งจาก T  ( X1  X2 )  1  2 เน่ืองจาก 11 Sp n1 n2 S 2  (n1 1)S12  (n2 1)S22 p n1  n2  2 (16 1)652  (20 1)802  16  20  2  184,975 34 = 5,440.44 Sp  73.76ดงั น้นั T  ( X1  X2 )  1  2  11 Sp n1 n2  (945  898)  100 73.76 1  1 16 20  53 24.74 = 2.1426. สรุปผลการทดสอบ ท่ีระดบั นยั สาคญั 0.05 การทดสอบปฏิเสธ H0 เน่ืองจากค่าสถิติทดสอบT = 2.142 ตกอยใู่ นบริเวณปฏิเสธ H0 จึงตอ้ งยอมรับ H1 นนั่ คืออายกุ ารใชง้ านของหลอดไฟชนิดไส้ธรรมดาท่ีผลิตจากบริษทั น้ีไม่ไดม้ ีอายุการใชง้ านนานกวา่ หลอดไฟของบริษทั อื่นถึง 100 ชว่ั โมง ดงั น้นั ส่ิงที่บริษทั น้ีโฆษณาจึงไม่เป็ นจริ ง

บทที่ 8 การทดสอบสมมตุ ิฐาน 3312. ความแปรปรวนของอายกุ ารใชง้ านของหลอดไฟของท้งั สองบริษทั แตกต่างกนั หรือ 12  22ระดบั นยั สาคญั ของการทดสอบเป็น 0.01 1. ต้งั สมมุติฐาน H0 :1  2 = 100 H1 : 1  2  100 2. กาหนดระดบั นยั สาคญั  = 0.01 3. เนื่องจาก n1 , n2  30 และไม่ทราบค่า ,12 22 แตท่ ราบวา่ 12  22 และ n1  n2 ดงั น้นั ใชส้ ถิติทดสอบ T โดยที่ T  ( X1  X 2 )  1  2  S12  S22 n1 n2  S12  S22 2  และหาค่า  ใหมจ่ าก    n1 n2  2 2  S12   S22     n1    n2  n1 1 n2 1  652  802 2     16 20   652 2 802 2   16    20  16 1 20 1 = 33.98  344. สร้างบริเวณวกิ ฤตหรือบริเวณปฏิเสธ H0 เนื่องจากเป็ นการทดสอบสองทาง ดงั น้นั คา่ วกิ ฤตคือ t(0.005,34)  2.7316บริเวณปฏิเสธ H0 บริเวณยอมรับ H0 บริเวณปฏิเสธ H0   2 2 –2.7316 2.7316 T

332 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้5. คานวณค่าสถิติจากตวั อยา่ งจาก T  (X1  X2 )  1  2  S12  S22 n1 n2  (945  898) 100 652 802  16 20  53 24.167 = – 2.146. สรุปผลการทดสอบ ระดบั นยั สาคญั 0.01 การทดสอบยอมรับ H0 เนื่องจากค่าสถิติทดสอบ T  2.14 ตกอยใู่ นบริเวณยอมรับ H0 นั่นคือหลอดไฟชนิดหลอดไส้ธรรมดาที่ผลิตโดยบริษทั น้ี มีอายุการ ใช้งานมากกว่าหลอดไฟที่ผลิตจากของบริ ษัทอ่ืนถึง 100 ช่ัวโมง แสดงว่า คาโฆษณา ของบริษทั น้ีเป็นจริงตวั อย่าง 8.10 ค่ายเพลงแห่งหน่ึงทาการสารวจยอดขายซีดีเพลงลูกทุ่งของนกั ร้องคนหน่ึงในสังกดัโดยทาการสุ่มสารวจยอดขายในจงั หวดั ทางภาคตะวนั ออกเฉียงเหนือมา 8 จงั หวดั พบวา่ มียอดขายเฉลี่ยต่อสัปดาห์ 2,784 แผน่ มีส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 60 แผน่ และสุ่มยอดขายจากจงั หวดัทางภาคเหนืออีก 8 จงั หวดั พบวา่ มียอดขายเฉลี่ยต่อสัปดาห์ 2,480 แผน่ ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน47 แผ่น ค่ายเพลงแห่งน้ีคาดว่าจานวนยอดขายแผ่นซีดีเฉลี่ยต่อสัปดาห์ของจงั หวดั ทางภาคตะวนั ออกเฉียงเหนือจะสูงกว่าภาคเหนือเกิน 250 แผ่น จงทดสอบว่าความคาดหมายของคา่ ยเพลงแห่ง น้ีเป็นจริงหรือไม่ ที่ระดบั นยั สาคญั 0.01วธิ ีทา ให้ 1 , 2 แทนยอดขายแผน่ ซีดีเพลงลูกทุง่ เฉล่ียตอ่ สัปดาห์ของภาตะวนั ออกเฉียงเหนือและภาคเหนือตามลาดบั จากกาหนดให้ n1 = 8 , X1 = 2,784 , S1 = 60 , n2 = 8 , X2 = 2480 , S2 = 47 ,  = 0.01 เน่ืองจากไม่ทราบคา่ 12 , 22 แต่ทราบวา่ 12  22 จึงเป็ นการทดสอบที่ใชส้ ถิติทดสอบ t บริษทั เช่ือวา่ 1  2  2501. ต้งั สมมุติฐาน H0 : 1  2  250 H1 : 1  2  250

บทท่ี 8 การทดสอบสมมตุ ิฐาน 3332. กาหนด  = 0.013. เนื่องจาก n1 , n2  30 และไม่ทราบค่า ,12 22 แตท่ ราบวา่ 12  22 ดงั น้นั สถิติ ทดสอบคือ T โดยที่T  ( X1  X2 )  1  2  S12  S22 n1 n2  S12  S22 2  และหาค่า  ใหม่จาก    n1 n2  2 2  S12   S22      n1    n2  n1 1 n2 1   602   47 2 2     8 8    2  2   2 2     60 47  8    8  77  134. สร้างบริเวณวกิ ฤตหรือบริเวณปฏิเสธ H0 คา่ วกิ ฤต คือ t(0.01,13) = 2.65 บริเวณยอมรับ H0 บริเวณปฏิเสธ H0  = 0.01 2.65 T5. คานวณคา่ สถิติจากตวั อยา่ ง จาก T  ( X1  X2 )  1  2  S12  S22 n1 n2

334 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้ T  (2, 784  2, 480)  250 602  472 88 = 2.004 6. สรุปผลการทดสอบ ท่ีระดบั นยั สาคญั 0.01 การทดสอบปฏิเสธ H0 เน่ืองจากคา่ สถิติ ทดสอบ T = 2.004 ตกอยใู่ นบริเวณบริเวณยอมรับ H0 นน่ั คือยอดขายแผน่ ซีดีเพลงลูกทุ่งเฉล่ียต่อสัปดาห์ในภาคตะวนั ออกเฉียงเหนือ สูงกวา่ ภาคเหนือไม่เกิน 250 แผน่ ดงั น้นั ความคาดหมายของคา่ ยเพลงแห่งน้ีเป็นจริง 8.7.2 การทดสอบผลต่างของค่าเฉลยี่ ของประชากร 2 กล่มุ ทไ่ี ม่อสิ ระกนั การทดสอบผลต่างของค่าเฉลี่ยประชากร 2 กลุ่มที่ไม่อิสระกัน จะใช้กับกรณีการเก็บขอ้ มูลท่ีมีการจบั คู่ระหว่าง 2 กลุ่ม โดยที่สมาชิกแต่ละคู่มีความแตกต่างกนั น้อยท่ีสุดเช่นการจับคู่นักศึกษาที่สาเร็จการศึกษาในสาขาวิชาเดียวกัน ผลการเรี ยนเฉลี่ยเท่ากันและเรียนสถาบนั เดียวกนั หรือการเกบ็ รวบรวมขอ้ มูลจากคนเดียวกนั 2 คร้ัง เช่นการเก็บขอ้ มูลก่อนและหลงั การทดลอง การทดสอบผลต่างของค่าเฉลี่ยของประชากร ในกรณีน้ีทาไดโ้ ดยอาศยัผลตา่ งของขอ้ มลู แตล่ ะคู่ โดยใชค้ า่ สถิติ T ตามบทนิยามตอ่ ไปน้ีบทนิยาม 8.7.6 การทดสอบผลต่างค่าเฉล่ียประชากร 2 กลุ่มท่ีไม่อิสระกัน โดยประชากรท้งั สองมีการแจกแจงแบบปกติและไม่ทราบค่าความแปรปรวน 12 , 22 โดยการสุ่มตวั อยา่ ง n1 , n2 <30 ( n1  n2  n ) ที่ระดบั นยั สาคญั  จะใชส้ ถิติทดสอบ Tโดยท่ี T  d  1  2  Sd n n  diเม่ือ โดย di  X1i  X2i หรือผลต่างของตวั อยา่ งคูท่ ่ี i d  i1 n n แทนจานวนคูข่ องตวั อยา่ ง  Sd2n di2   n di 2  i1   n i1 n(n 1) โดยองศาเสรีของการทดสอบคือ   n 1

บทท่ี 8 การทดสอบสมมุติฐาน 335 ค่าวิกฤตและบริเวณวิกฤตของการทดสอบผลต่างของค่าเฉลี่ย กรณีประชากร 2 กลุ่มไม่อิสระกนั กจ็ ะเหมือนกบั การทดสอบที (T – test) ในกรณีอื่นๆ โดยมีองศาเสรี   n1ตัวอย่าง 8.11 คลินิกเสริมความงามแห่งหน่ึงข้ึนป้ ายโฆษณาวา่ โปรแกรมลดน้าหนกั ของคลินิกจะทาให้ลูกคา้ ลดน้าหนกั ไดม้ ากกวา่ 10 กิโลกรัม ภายในระยะเวลา 2 เดือน จึงทาการทดสอบโดยสุ่มลูกคา้ จานวน 12 คน มาวดั น้าหนกั ก่อนใชโ้ ปรแกรมลดน้าหนกั และวดั น้าหนกั หลงั เขา้ ร่วมโปรแกรมลดน้าหนกั เป็นระยะเวลาครบ 2 เดือน ดงั ขอ้ มูลต่อไปน้ี คนที่ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 นา้ หนักก่อน 98 108 76 121 95 86 79 88 105 102 90 82 นา้ หนักหลงั 85 100 65 105 88 80 70 75 88 92 84 73 จงทดสอบวา่ โปรแกรมลดน้าหนกั ของคลินิกเสริมความงามแห่งน้ีทาให้ลูกคา้ ลดน้าหนกัไดม้ ากกวา่ 10 กิโลกรัมเป็นจริงหรือไม่ ที่ระดบั นยั สาคญั 0.01วธิ ีทา ให้ X1i , X2i แทนน้าหนกั ของลูกคา้ ก่อนและหลงั ใชโ้ ปรแกรมลดน้าหนกั จากขอ้ มูลจะไดค้ ่า di และ di2 ดงั ตารางคนท่ี X1i X2i di di2 1 98 85 2 108 100 13 169 3 76 65 8 64 4 121 105 11 121 5 95 88 16 256 6 86 80 7 49 7 79 70 6 36 8 88 75 9 81 9 105 88 13 169 10 102 92 17 289 11 90 84 10 100 12 82 73 6 36 9 81 12 12  di  125  di2  1451 i 1 i 1

336 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้ 12  diจะได้ d   125  10.42 i 1 n 12 Sd2 12 di2   12 di 2  12(1451) 1252  i1  12(12 1) n  13.54 i1 n(n 1) ดงั น้นั Sd  3.68ตอ้ งการทดสอบวา่ 1  2 101. ต้งั สมมุติฐาน H0 : 1  2 10 H1 : 1  2 102. กาหนดระดบั นยั สาคญั  = 0.013. กาหนค่าสถิติทดสอบคือ T-test เนื่องจากประชากรท้งั 2 กลุ่มไม่อิสระกนั และ n1  n2 12  30 โดยท่ี T  d  1  2  Sd n4. สร้างบริเวณวกิ ฤตหรือบริเวณปฏิเสธ H0 เน่ืองจากเป็นการทดสอบทางเดียวดา้ นขวา ดงั น้นั คา่ วกิ ฤตคือ = 2.718t(,)  t(0.01,11) บริเวณยอมรับ H0 บริเวณปฏิเสธ H05. คานวณค่าสถิติจากตวั อยา่ ง โดยท่ี  = 0.01 2.718 T T  d  1  2  Sd n

บทที่ 8 การทดสอบสมมตุ ิฐาน 337 T  10.42 10 3.68 12  0.42 1.06 = 0.3966. สรุปผลการทดสอบ ที่ระดบั นยั สาคญั 0.01 การทดสอบยอมรับ H0 เนื่องจากคา่ สถิติทดสอบT = 0.396 ตกอยใู่ นบริเวณบริเวณยอมรับ H0 น่ัน คื อผ ล ต่า ง ขอ ง น้ า ห นักเ ฉ ล่ี ย ก่ อน แ ละ ห ลัง ก า รใ ช้โป ร แก ร มล ด น้ า ห นักไมม่ ากกวา่ 10 กิโลกรัม ดงั น้นั ท่ีคลินิกข้ึนป้ ายโฆษณาจึงไม่เป็นจริงตวั อย่าง 8.12 บริษทั แห่งหน่ึงตอ้ งการทดสอบประสิทธิภาพการทางานของพนกั งานขายวา่ หลงั เขา้รับการอบรมเพื่อพฒั นาศกั ยภาพของพนกั งานแลว้ พนกั งานมีประสิทธิภาพการทางานสูงข้ึนโดยพจิ ารณาจากยอดขายสินคา้ ก่อนและหลงั เขา้ รับการอบรม ไดข้ อ้ มูลดงั ตาราง (หน่วยเป็นพนั บาท)คนที่ ยอดขายก่อนรับการอบรม ยอดขายหลงั เขา้ รับการอบรม1 85 822 92 943 76 794 81 945 79 656 86 817 72 768 88 879 74 8310 94 10111 98 11212 96 8513 99 9414 83 7715 95 96

338 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้ จากขอ้ มูลจงทดสอบว่าประสิทธิภาพในการทางานของพนกั งานขายก่อนและหลงั เขา้ รับการอบรมวา่ แตกตา่ งกนั หรือไม่ ที่ระดบั นยั สาคญั 0.1วธิ ีทา ให้ X1i , X2i แทนยอดขายสินคา้ ก่อนและหลงั เขา้ รับการอบรมของพนกั งานคนที่ i จากขอ้ มลู ที่ได้ ถา้ ให้ di  X2i  X1i จะไดผ้ ลตา่ งของขอ้ มูลแตล่ ะคู่ดงั น้ีคนท่ี di  X2i  X1i di2 1 –3 22 9 33 4 4 13 9 5 –14 169 6 –5 196 74 25 8 –1 16 99 1 8110 7 4911 14 19612 –11 12113 –5 2514 –6 3615 1 1 15 15 di  8  di2  938 i 1 i 1จะได้ d  8103  533.33 15 Sd2  15(938106 )  (8103)2  66.695106 15(15 1)ดงั น้นั Sd  8166.72ตอ้ งการทดสอบ 1  2 ท่ีระดบั นยั สาคญั 0.01

บทท่ี 8 การทดสอบสมมตุ ิฐาน 3391. ต้งั สมมุติฐาน H0 : 1  2  0 หรือ H0 :1  2 หรือ H1 :1  2 H1 : 1  2  02. กาหนดระดบั นยั สาคญั  = 0.13. กาหนค่าสถิติทดสอบคือ T-test เนื่องจากประชากรท้งั 2 กลุ่มไม่อิสระกนัและ n1  n2 15  30 โดยท่ี T  d  1  2  Sd n4. สร้างบริเวณปฏิเสธ H0 เนื่องจากเป็ นการทดสอบสองทางดงั น้นั ค่าวกิ ฤต คือ =t t(0.05,14) =  1.761 ( 2 ,n1)บริเวณปฏิเสธ H0 บริเวณยอมรับ H0 บริเวณปฏิเสธ H02 2 –1.761 1.761 T5. คานวณค่าสถิติจากตวั อยา่ ง จาก T  d  1  2  Sd n  533.33  0 8166.72 15 = 0.25296. สรุปผลการทดสอบ ที่ระดบั นยั สาคญั 0.1 การทดสอบยอมรับ H0 เนื่องจากคา่ สถิติทดสอบT= 0.2529 ตกอยใู่ นบริเวณยอมรับ H0 นนั่ คือ ประสิทธิภาพในการทางานของพนกั งานก่อนและหลงั เขา้ รับการอบรมไมแ่ ตกต่างกนั

340 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้8.8 การทดสอบสมมุตฐิ านเกย่ี วกบั สัดส่วนของประชากร การทดสอบสมมุติฐานเกี่ยวกบั สัดส่วนของประชากรหรือการทดสอบค่า p เม่ือประชากรมีการแจกแจงแบบปกติและสุ่มตวั อย่างขนาดใหญ่ แลว้ pˆ จะมีการแจกแจงใกลเ้ คียงแบบปกติจึงใชส้ ถิติทดสอบคือ Zบทนิยาม 8.8.1 การทดสอบสมมุติฐานเก่ียวกบั สัดส่วนของประชากรที่มีการแจกแจงแบบปกติ มีค่าเฉลี่ย np และความแปรปรวน npq ถ้าสุ่มตัวอย่างขนาดใหญ่ ( np  5 หรือ nq  5 ) การทดสอบสมมุติฐานเกี่ยวกบั สัดส่วนของประชากร ที่ระดบั นยั สาคญั  จะใชส้ ถิติทดสอบคือ Z โดย Z  pˆ  p pq n เมื่อ pˆ เป็นสัดส่วนของตวั อยา่ งท่ีมีลกั ษณะที่สนใจสมมุติฐานและบริเวณวกิ ฤตของการทดสอบ p เป็นดงั ตารางที่ 8.6ตารางท่ี 8.6 แสดงค่าวกิ ฤตและบริเวณวกิ ฤตของการทดสอบคา่ pสมมุติฐาน ค่าวกิ ฤต บริเวณวกิ ฤตสองทาง H0 : p  p0 Z Z  Z หรือ Z  Z H1 : p  p0 2 22ดา้ นขวา H0 : p  p0 Z Z  Zดา้ นซา้ ย H1 : p  p0 Z Z  Z H0 : p  p0 H1 : p  p0p0 คือค่าคงที่ท่ีเป็ นสดั ส่วนประชากรตามสมมุติฐานและ q0 1 p0

บทท่ี 8 การทดสอบสมมตุ ิฐาน 341ตัวอย่าง 8.13 บริษทั ผลิตผงซักฟอก “โอโห” เช่ือวา่ สัดส่วนของครัวเรือนท่ีอาศยั อยูใ่ นเขตกรุงเทพมหานครซ่ึงใชผ้ งซกั ฟอก “โอโห” จะมากกวา่ 0.30 ถา้ จากการสอบถามครัวเรือนจานวน1,000 ครัวเรือนที่อาศยั อยู่ในกรุงเทพมหานคร ปรากฏวา่ มี 334 ครัวเรือนท่ีใชผ้ งซักฟอกยี่ห้อน้ีจงทดสอบว่าความเชื่อของบริษทั ผูผ้ ลิตถูกตอ้ งหรือไม่ท่ีระดับนัยสาคญั 0.01 ถา้ การแจกแจงของจานวนผใู้ ชผ้ งซกั ฟอกยหี่ อ้ น้ีเป็นแบบปกติวธิ ีทา ให้ p แทนสัดส่วนของครัวเรือนที่อาศยั อยใู่ นเขตกรุงเทพมหานครซ่ึงใชผ้ งซกั ฟอกยหี่ อ้ “โอโห” จากกาหนดให้ n = 1,000 , pˆ  334 = 0.334 1, 000 บริษทั แห่งน้ีเชื่อวา่ p  0.31. ต้งั สมมุติฐาน H0 : p  0.3 H1 : p  0.32. กาหนดระดบั นยั สาคญั  0.013. กาหนดค่าสถิติทดสอบคือ Z -test โดยที่Z  pˆ  p pq n4. สร้างบริเวณวกิ ฤตหรือบริเวณปฏิเสธ H0 เนื่องจากเป็นการทดสอบทางเดียวดา้ นขวา ดงั น้นั ค่าวกิ ฤตคือ Z  Z0.01  2.33 บริเวณยอมรับ H0 บริเวณปฏิเสธ H0   0.01 2.33 Z

342 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้5. คานวณคา่ สถิติจากตวั อยา่ ง จาก Z  pˆ  p pq n  0.334  0.30 (0.30)(0.70) 1, 000 = 2.3466. สรุปผลการทดสอบ ท่ีระดบั นยั สาคญั 0.01 การทดสอบปฏิเสธ H0 เนื่องจากค่าสถิติทดสอบZ  2.346 ตกอยใู่ นบริเวณบริเวณปฏิเสธ H0 นนั่ คือสัดส่วนของครัวเรือนที่อาศยั อย่ใู นกรุงเทพมหานครซ่ึงใชผ้ งซกั ฟอกย่หี ้อ“โอโห” มากกวา่ 0.3 ดงั น้นั ความเช่ือของบริษทั แห่งน้ีจึงถูกตอ้ ง8.9 การทดสอบสมมตุ ฐิ านเกย่ี วกบั ผลต่างของสัดส่วนประชากร 2 กล่มุ การทดสอบผลต่างสัดส่วนประชากร 2 กลุ่ม หรือการทดสอบ p1  p2 ถา้ สุ่มตวั อย่างn1 , n2 ขนาดใหญ่จะได้ว่าการแจกแจงของ pˆ1  pˆ2 เป็ นแบบปกติ มีค่าเฉล่ีย p1  p2มีความแปรปรวน p1q1 , p2q2 แต่เนื่องจากไม่ทราบค่า p1 , q1 , p2 , q2 ดงั น้นั จึงใช้ n2 n1( pˆ1 pˆ2 )  pˆ1qˆ1  pˆ 2 qˆ2 แ ทน กา รท ดส อบ สม มุ ติ ฐา น เ ก่ี ย วกับผ ลต่ าง ขอ งสั ดส่ วน ปร ะช าก ร n1 n2จึงใชก้ ารทดสอบ Z ดงั บทนิยามต่อไปน้ีบทนิยาม 8.9.1 การทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับผลต่างของสัดส่วนของประชากร 2 กลุ่ม เม่ือ n1 , n2 มีขนาดใหญ่ หรือ n1pˆ1 , n1qˆ1 , n2 pˆ2 , n2qˆ2  5 ที่ระดบั นยั สาคญั  ใชส้ ถิติทดสอบคือ Z โดย Z  ( pˆ1  pˆ2 )  p1  p2  pˆ1qˆ1 pˆ 2 qˆ2  n1 n2สมมุติฐานค่าวกิ ฤตและบริเวณวกิ ฤตของการทดสอบ p1  p2 เป็นดงั ตารางที่ 8.7

บทท่ี 8 การทดสอบสมมตุ ิฐาน 343ตารางท่ี 8.7 แสดงค่าวกิ ฤตและบริเวณวกิ ฤตของการทดสอบ p1  p2 สมมุติฐาน ค่าวกิ ฤต บริเวณวกิ ฤตสองทาง H0 : p1  p2  d0 Z Z  Z หรือ Z  Z H1 : p1  p2  d0 2 22ดา้ นขวา H0 : p1  p2  d0 Z Z  Z H1 : p1  p2  d0 Z Z  Zดา้ นซา้ ย H0 : p1  p2  d0 H1 : p1  p2  d0 เม่ือ d0 แทนคา่ คงท่ีเป็ นผลต่างของ p1  p2 ตามสมมุติฐานท่ีต้งั ไว้ ในการทดสอบ p1  p2 โดยที่ d0 = 0 จะเป็ นการทดสอบวา่ p1  p2 สถิติท่ีใชใ้ นการทดสอบคือ Z-test โดยที่ Z  ( pˆ1  pˆ2 ) pˆ qˆ  1  1   n1 n2   เม่ือ pˆ เป็ นคา่ ประมาณรวมของสดั ส่วน (pooled estimated of p  pˆ ) โดย pˆ  X1  X 2 n1  n2 qˆ 1 pˆตัวอย่าง 8.14 บริษทั ผลิตกระเบ้ืองดินเผาแห่งหน่ึง ผลิตกระเบ้ืองปูพ้ืนดว้ ยวิธีที่แตกต่างกนั 2 วิธีจากการสุ่มตวั อย่างกระเบ้ือง 200 แผ่น ที่ผลิตโดยวิธีท่ี 1 พบวา่ มี 20 แผ่น แตกระหว่างการเขา้ เตาเผา และจากการสุ่มตวั อย่างกระเบ้ือง 300 แผ่น ที่ผลิตโดยวิธีที่ 2 พบว่ามี 45 แผ่นแตกระหวา่ งการเขา้ เตาเผา อยากทราบวา่ สัดส่วนของการแตกระหวา่ งการเขา้ เตาเผาของการผลิตกระเบ้ืองท้งั สองวธิ ีน้ีแตกต่างกนั หรือไม่ ที่ระดบั นยั สาคญั 0.02วธิ ีทา ให้ p1 , p2 แทนสัดส่วนของกระเบ้ืองท่ีแตกระหวา่ งการเขา้ เตาเผาจากการผลิตวธิ ีท่ี 1และวธิ ีท่ี 2 ตามลาดบัจากกาหนดให้ pˆ1  20  0.1 , qˆ1 = 0.9 , n1 = 200 200 pˆ 2  45  0.15 , qˆ2 = 0.85 , n2 = 300 ,  = 0.02 300

344 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้บริษทั ตอ้ งการทดสอบวา่ p1  p2 หรือไม่1. ต้งั สมมุติฐาน H0 : p1  p2  0 หรือ p1  p2 หรือ p1  p2 H1 : p1  p2  02. กาหนดระดบั นยั สาคญั  = 0.023. ค่าสถิติทดสอบคือ Z -test ในกรณีที่ d0 = 0โดย Z  ( pˆ1  pˆ2 )    pˆ qˆ  1  1  n1 n2 4. สร้างบริเวณวกิ ฤตหรือบริเวณปฏิเสธ H0 เน่ืองจากเป็ นการทดสอบสองทาง ดงั น้นั ค่าวกิ ฤตคือ Z0.01   2.33บริเวณปฏิเสธ H0 บริเวณยอมรับ H0 บริเวณปฏิเสธ H0   2 2 –2.33 2.33 Z5. คานวณคา่ สถิติจากตวั อยา่ งจาก Z  ( pˆ1  pˆ2 )   pˆ qˆ  1  1  n1 n2  โดยที่ pˆ  X1  X 2 n1  n2  20  45 200  300 = 0.13และจะได้ qˆ = 0.87จะไดว้ า่ Z  ( pˆ1  pˆ2 ) pˆ qˆ  1  1   n1 n2     (0.1  0.15) = –1.629 (0.13)(0.87)  1  1   200 300 

บทท่ี 8 การทดสอบสมมตุ ิฐาน 3456. สรุปผลการทดสอบ ที่ระดบั นยั สาคญั 0.02 การทดสอบยอมรับ H0 เนื่องจากคา่ สถิติทดสอบZ = –1.629 ตกอยใู่ นบริเวณยอมรับ H0 นนั่ คือสัดส่วนของการแตกระหวา่ งการเขา้ เตาเผาของกระเบ้ืองท่ีผลิตท้งั สองวธิ ีน้ีไม่แตกต่างกนัตัวอย่าง 8.15 เพ่ือตรวจสอบอาการตาบอดสีในชายและหญิง โดยการสุ่มชายและหญิงมา 400 และ420 คน ตามลาดบั พบวา่ มีชายและหญิงท่ีตาบอดสี 15 คนเทา่ กนั จะสรุปไดห้ รือไมว่ า่ สัดส่วนของชายที่ตาบอดสีมากกวา่ หญิงไมเ่ กิน 0.0001 ที่ระดบั นยั สาคญั 0.1วธิ ีทา ให้ p1 , p2 แทนสัดส่วนของชายและหญิงท่ีตาบอดสีตามลาดบัจากกาหนดให้ pˆ1  15  0.0375 , qˆ1 = 0.9625 , n1 = 400 400 pˆ 2  15  0.0357 , qˆ2 = 0.9643 , n2 = 420 ,  = 0.1 420ตอ้ งการทดสอบวา่ p1  p2  0.00011. ต้งั สมมุติฐาน H0 : p1  p2  0.0001 H1 : p1  p2  0.00012. กาหนดระดบั นยั สาคญั  = 0.13. กาหนดคา่ สถิติทดสอบคือ Z -testโดยที่ Z  ( pˆ1  pˆ2 )   p1  p2  pˆ1qˆ1  pˆ2qˆ2 n1 n24. สร้างบริเวณวกิ ฤตหรือบริเวณปฏิเสธ H0เนื่องจากเป็นการทดสอบทางเดียวดา้ นขวาดงั น้นั คา่ วกิ ฤตคือ Z  Z0.1  1.28 บริเวณยอมรับ H0 บริเวณปฏิเสธ H0 1 –   = 0.1 1.28 Z

346 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้5. คานวณค่าสถิติจากตวั อยา่ งจาก Z  ( pˆ1  pˆ2 )   p1  p2  pˆ1qˆ1  pˆ2qˆ2 n1 n2  (0.0375  0.0357)  0.0001 (0.0375)(0.9625)  (0.0357)(0.9643) 400 420 = 0.12966. สรุปผลการทดสอบ ที่ระดบั นยั สาคญั 0.1 การทดสอบยอมรับ H0 เนื่องจากคา่ สถิติทดสอบZ = 0.1296 ตกอยใู่ นบริเวณยอมรับ H0 นนั่ คือ สรุปไดว้ า่ สดั ส่วนของชายท่ีตาบอดสีมากกวา่ หญิงอยไู่ มเ่ กิน 0.00018.10 การทดสอบสมมุติฐานเกยี่ วกบั ความแปรปรวนของประชากร ก า ร ท ด ส อ บ ส ม มุ ติ ฐ า น เ ก่ี ย ว กับ ค ว า ม แ ป ร ป ร ว น ข อ ง ป ร ะ ช า ก ร คื อ ก า ร ท ด ส อ บ ว่ าความแปรปรวนของประชากร 2 เป็ นไปตามท่ีคาดหมายหรือไม่ แต่เน่ืองจากการทดสอบค่า 2ต้องใช้สถิติทดสอบ 2 ซ่ึงมีลักษณะแตกต่างจากค่าสถิติ Z และ T ดังน้ันการหาค่าวิกฤตจะมีความแตกต่างจากการทดสอบเก่ียวกบั คา่ เฉลี่ยและการทดสอบสัดส่วนที่ผา่ นมาบทนิยาม 8.10.1 การทดสอบสมมุติฐานเก่ียวกบั ความแปรปรวนของประชากร 2 โดยการสุ่ม ตวั อยา่ งขนาด n จากประชากรที่มีการแจกแจงแบบปกติ ท่ีระดบั นยั สาคญั  สถิติที่ใชท้ ดสอบคือ 2 โดยที่ 2  (n 1)S 2 2 เม่ือ S2 แทนความแปรปรวนของตวั อยา่ ง และองศาเสรีของการทดสอบ   n 1 คา่ วกิ ฤตและบริเวณวกิ ฤตของการทดสอบค่า 2 เป็นดงั ตารางที่ 8.8

บทที่ 8 การทดสอบสมมตุ ิฐาน 347ตารางท่ี 8.8 แสดงคา่ วกิ ฤตและบริเวณวกิ ฤตของการทดสอบค่า 2สมมุตฐิ าน ค่าวกิ ฤต บริเวณวกิ ฤตสองทาง H0 : 2  02 ,(2 ,) 2  ,) หรือ2  (2,) 2  2  ,)ดา้ นขวา H1 : 2  02ดา้ นซา้ ย (1 (1 H0 : 2  02 22 22 H1 : 2  02 (2,) 2  (2,) H0 : 2  02 H1 : 2  02 (21,) 2  (21,)เมื่อ 02 เป็นค่าคงที่ที่แทนความแปรปรวนของประชากรตามสมมุติฐานตัวอย่าง 8.16 จากการสารวจผลการเรียนของนักศึกษาช้ันปี ที่ 3 สาขาวิชาคณิตศาสตร์มหาวิทยาลัยราชภฏั ลาปาง จานวน 30 คน พบว่าส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของผลการเรียนเฉลี่ยเป็ น 0.82 จงทดสอบวา่ ความแปรปรวนของผลการเรียนเฉล่ียของนกั ศึกษาช้นั ปี ท่ี 3 สาขาวิชาคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลยั ราชภฏั ลาปาง จะนอ้ ยกวา่ 0.65 ท่ีระดบั นยั สาคญั 0.05วธิ ีทา ให้ 2 แทนความแปรปรวนของผลการเรียนเฉลี่ยของนกั ศึกษาช้นั ปี ที่ 3สาขาวิชาคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลยั ราชภฏั ลาปางจากกาหนดให้ n  30 , S  0.82ตอ้ งการทดสอบวา่ 2 < 0.65 หรือไม่ ที่ระดบั นยั สาคญั  = 0.051. ต้งั สมมุติฐาน H0 : 2  0.65 H1 : 2 < 0.652. กาหนดระดบั นยั สาคญั  = 0.053. กาหนดค่าสถิติทดสอบคือ 2โดยที่ 2  (n 1)S 2 024. สร้างบริเวณวกิ ฤตเนื่องจากเป็นการทดสองทางเดียวดา้ นซา้ ยคา่ วกิ ฤตคือ (21,) และ  = 30 – 1จะไดว้ า่ คา่ วกิ ฤตคือ (20.95,29) =17.71

348 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้บริเวณปฏิเสธ H0 บริเวณยอมรับ H0 2  = 0.05 17.715. คานวณค่าสถิติจากตวั อยา่ งจาก 2  (n 1)S 2 02  (30 1)(0.822 ) 0.65  306. สรุปผลการทดสอบ ท่ีระดบั นยั สาคญั 0.05 ผลการทดสอบยอมรับ H0 เน่ืองจากค่าสถิติทดสอบ2 = 30.00 ตกอยใู่ นบริเวณยอมรับ H0 นนั่ คือความแปรปรวนของประชากรมีค่ามากกวา่ หรือเท่ากบั 0.65 ดงั น้นั ท่ีเชื่อวา่ความแปรปรวนของผลการเรียนเฉลี่ยของนกั ศึกษาช้นั ปี ที่ 3 สาขาวิชาคณิตศาสตร์มหาวิทยาลยั ราชภฏั ลาปาง จะนอ้ ยกวา่ 0.65 จึงไมเ่ ป็นจริง8.11 การทดสอบสมมตุ ิฐานเกยี่ วกบั อตั ราส่วนของความแปรปรวนของประชากร 2 กล่มุในการทดสอบผลต่างของค่าเฉลี่ยของประชากร 2 กลุ่มท่ีอิสระกนั ในกรณีที่ไม่ทราบค่า12 , 22 และสุ่มตวั อยา่ งขนาดเล็กน้นั ตอ้ งทราบก่อนวา่ ค่าความแปรปรวนของประชากร 2 กลุ่มเท่ากนั หรือต่างกนั เสียก่อน โดยใชก้ ารทดสอบอตั ราส่วนของความแปรปรวนก่อน จากน้นั ถึงจะทาการทดสอบผลต่างของค่าเฉลี่ยของประชากร 2 กลุ่มน้นั ได้การทดสอบอตั ราส่วนของความแปรปรวน 12 น้ัน สมมุติฐานท่ีต้องการทดสอบ2  2อาจต้งั ได้ 3 ลกั ษณะ ดงั น้ี

บทที่ 8 การทดสอบสมมุติฐาน 349การทดสอบสองทาง 1H0 : 12  หรือ 12 = 22 22 1H1 : 12  หรือ 12  22 22การทดสอบดา้ นขวา 1H0 : 12  หรือ 12  22 22 1H1 : 12  หรือ 12  22 22การทดสอบดา้ นซา้ ย 1H0 : 12  หรือ 12  22 22 1H1 : 12  หรือ 12  22 22ค่าวกิ ฤตและบริเวณวกิ ฤตของการทดสอบค่า 12 เป็นดงั ตารางท่ี 8.9 2  2ตารางท่ี 8.9 แสดงคา่ วกิ ฤตและบริเวณวกิ ฤตของการทดสอบค่า 12 22สมมุตฐิ าน ค่าวกิ ฤต บริเวณวกิ ฤตสองทาง ,F F  หรือF  F  F  F  (2 2 2 2 ,1 ,2 ) (1 ,1,2 ) ( ,1 ,2 ) (1 ,1,2 )ดา้ นขวา F(,1,2 ) F  F(,1,2 )ดา้ นซา้ ย F(1,1,2 ) F  F(1,1,2 ) โดยท่ี ,1  n1 1 2  n2 1 ในหัวข้อน้ีจะขอเน้นเฉพาะการทดสอบ 2 ทาง เพื่อทดสอบว่าความแปรปรวนของประชากรท้งั 2 กลุ่มวา่ แตกต่างกนั หรือไม่ เพื่อนาไปใชใ้ นการทดสอบสมมุติฐานเก่ียวกบั ผลต่างของค่าเฉลี่ยของประชากร 2 กลุ่มท่ีอิสระกนั

350 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้บทนิยาม 8.11.1 การทดสอบสมมุติฐานเก่ียวกบั อตั ราส่วนของความแปรปรวนของ ประชากร 2 กลุ่ม ท่ีมีการแจกแจงปกติ โดยสุ่มตวั อยา่ งขนาด n1 , n2 ที่ระดบั นยั สาคญั  คา่ สถิติท่ีใชท้ ดสอบคือ F โดยที่ F  Si2 ; Si  S j และ i , j = 1 , 2 S 2 j คา่ วกิ ฤตของการทดสอบ 12 สาหรับการทดสอบ 2 ทาง2  2 คือ F และ F  เม่ือ ,1  ni 1 2  n j 1 1 22ตัวอย่าง 8.17 เพื่อศึกษาเปรียบเทียบระยะเวลาที่ใชใ้ นการประกอบสินคา้ แต่ละชิ้นของคนงานชายและหญิง จึงได้สุ่มตวั อย่างคนงานชายมา 11 คน พบว่า เวลาเฉลี่ยที่ใช้ในการประกอบสินคา้แต่ละชิ้นเป็ น 105 วนิ าที ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็ น 6.1 วินาที และสุ่มตวั อยา่ งคนงานหญิงมา13 คน พบว่าเวลาเฉลี่ยที่ใช้ในการประกอบสินคา้ แต่ละชิ้นเป็ น 112 วินาที ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของเวลาประกอบสินคา้ เป็ น 5.3 วินาที จงทดสอบว่าเวลาเฉลี่ยท่ีใช้ในการประกอบสินคา้ แต่ละชิ้นของคนงานชายและหญิงแตกต่างกนั หรือไม่ ท่ีระดบั นยั สาคญั 0.05วธิ ีทา การทดสอบ 1  2 ในกรณีที่ไม่ทราบค่า 12 , 22 และ n1 , n2 < 30 และเน่ืองจาก ไม่ทราบวา่ 12  22 หรือไม่ จึงตอ้ งทาการทดสอบอตั ราส่วนความแปนปรวนก่อนจึงจะ สามารถทดสอบ 1  2 ได้ ให้ 12 , 22 แทนความแปรปรวนของเวลาท่ีใชใ้ นการประกอบสินคา้ ของคนงานชาย และหญิงตามลาดบั (เลือกประชากรกลุ่มที่มีคา่ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานมากกวา่ เป็ นประชากร กลุ่มท่ี 1) จากโจทย์ n1 = 11 , S1 = 6.1 , X1 = 105 , n2 = 13 , S2 = 5.3 , X2 = 1121. ตอ้ งทดสอบวา่ 12  22 ท่ี  = 0.05 หรือไม่ 1. ต้งั สมมุติฐาน H0 : 12  22 H1 : 12  222. กาหนดระดบั นยั สาคญั  = 0.053. กาหนดค่าสถิติทดสอบคือ Fโดย F  S12 S22

บทท่ี 8 การทดสอบสมมุติฐาน 351 และ 1  n1 1= 11 – 1 = 10 , 2  n2 1 = 13 – 1 =124. สร้างบริเวณวกิ ฤตหรือบริเวณปฏิเสธ H0 เน่ืองจากเป็ นการทดสอบสองทางดงั น้นั ค่าวกิ ฤตคือ =F F(0.025,10,12) = 3.37 2 ( ,1,2 )และ =F  F(0.975,10,12)  1 1  0.28 (12 F(0.025,12,10) 3.62 ,1 ,2 )บริเวณปฏิเสธ H0 บริเวณยอมรับ H0 บริเวณปฏิเสธ H0 0.28 3.37 F5. คานวณค่าสถิติจากตวั อยา่ ง จาก F  S12 S22 6.12  5.32 = 1.3256. สรุปผลการทดสอบ ท่ีระดบั นยั สาคญั 0.05 การทดสอบยอมรับ H0 เนื่องจากคา่ สถิติทดสอบF = 1.325 ตกอยใู่ นบริเวณยอมรับ H0 นน่ั คือความแปรปรวนของเวลาที่ใชใ้ นการประกอบสินคา้ ของพนกั งานชายและหญิงไม่แตกตา่ งกนั2. ทดสอบวา่ 1  2 หรือไม่ ถา้ ทดสอบแลว้ า่ 12  22 1. ต้งั สมมุติฐาน H0 : 1  2 H1 : 1  2 2. กาหนดระดบั นยั สาคญั  = 0.05

352 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้3. กาหนดสถิติทดสอบ เนื่องจากไมท่ ราบค่า 12 , 22 แต่ n1 , n2  30 และ 12  22ดงั น้นั สถิติทดสอบคือ T โดยที่ T  ( X1  X2 )  1  2  11 Sp n1 n24. สร้างบริเวณวกิ ฤตหรือบริเวณปฏิเสธ H0เนื่องจากเป็ นการทดสอบสองทาง และ   n1  n2  2 = 22ดงั น้นั ค่าวกิ ฤตคือ t  ,)  t(0.025,22)  2.074 ( 2 บริเวณปฏิเสธ H0 บริเวณยอมรับ H0 บริเวณปฏิเสธ H0  2 2 –2.074 2.074 T5. คานวณค่าสถิติจากตวั อยา่ งจาก T  (X1  X2 )  1  2  11 Sp n1 n2และ S 2  (n1 1)S12  (n2 1)S22 p n1  n2  2 (11 1)6.12  (13 1)5.32  11  13  2 = 32.235 Sp  5.68นน่ั คือ T  ( X1  X2 )  1  2  11 Sp n1 n2  (105 112) = –3.01 5.68 1  1 11 13

บทท่ี 8 การทดสอบสมมตุ ิฐาน 3536. สรุปผลการทดสอบ ท่ีระดบั นยั สาคญั 0.05 การทดสอบปฏิเสธ H0 ค่าสถิติทดสอบ T = – 3.01ตกอยใู่ นบริเวณปฏิเสธ H0 นน่ั คือเวลาเฉลี่ยท่ีคนงานชายและคนงานหญิงใชใ้ นการประกอบสินคา้ แต่ละชิ้นแตกตา่ งกนั

354 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้ แบบฝึ กหดั บทท่ี 81. จาการสารวจจานวนเกษตรกรท่ีมีโทรทศั น์ใช้ใน 2 ตาบล พบว่าในตาบล ก. สุ่มตวั อย่างเกษตรกรมา 1,000 ครอบครัว มีโทรทศั น์ใช้ 240 ครอบครัว ส่วนในตาบล ข. สุ่มตัวอย่างเกษตรกรมา 800 ครอบครัว มีโทรทศั น์ใช้ 240 ครอบครัว จงทดสอบเกษตรกรในตาบล ข. มีโทรทศั น์ใชม้ ากกวา่ ตาบล ก. เกินกวา่ 5% จริงหรือไม่ ท่ีระดบั นยั สาคญั 0.052. โรงงานผลิตสินคา้ ชนิดหน่ึง อา้ งว่า สินค้าท่ีผลิตจากโรงงานมีคุณสมบตั ิตามมาตรฐานที่กาหนดไวม้ ากกวา่ 96% แต่จากการสุ่มตวั อยา่ งสินคา้ ที่โรงงานน้ีผลิตจานวน 400 ชิ้น ปรากฏวา่ มี20 ชิ้นที่คุณภาพไม่ไดร้ ับมาตรฐาน จะสามารถสรุปไดห้ รือไม่ว่าคากล่าวอา้ งของโรงงานน้ีเป็ นความจริงท่ีระดบั นยั สาคญั 0.053. ยอดขายเฉลี่ยต่อวนั ของร้านขายยาที่ต้งั อยใู่ นชุมชนแห่งหน่ึงเท่ากบั 10,000 บาท และมีการแจกแจงแบบปกติ ถา้ ในรอบเดือนที่ผา่ นมาร้านขายยาแห่งหน่ึงในชุมชนมียอดขายเฉลี่ยเท่ากบั 9,500บาท และความแปรปรวนเท่ากบั 5,625 บาท2 อยากทราบวา่ ร้านขายน้ีมียอดขายเฉลี่ยต่ากวา่ ยอดเฉล่ียของร้านขายยาท้งั หมดในชุมชนน้ี ท่ีระดบั นยั สาคญั 0.024. จากการเลือกตวั อยา่ งลูกคา้ จานวน 20 คน จากลูกคา้ ที่เขา้ มาซ้ือสินคา้ ในร้านเจริญภณั ฑ์ พบว่าจานวนเงินที่จ่ายเป็ นค่าซ้ือสินคา้ โดยเฉล่ียเท่ากบั 71 บาท และความแปรปรวนเท่ากบั 9 บาท2 จงทดสอบวา่ ค่าเฉลี่ยของจานวนเงินท่ีจ่ายเป็ นค่าสินคา้ จากร้านคา้ น้ีมากกวา่ 67 บาท หรือไม่ ที่ระดบันยั สาคญั 0.055. โรงงานบรรจุน้าตาลทรายอา้ งวา่ ปริมาณน้าตาลทรายที่บรรจุลงในถุงมีปริมาณเฉล่ีย เท่ากบั 1กิโลกรัม และความเบ่ียงเบนมาตรฐานของการบรรจุน้าตาลทราย เท่ากบั 0.05 กิโลกรัม เพ่ือเป็ นการพิสูจน์ขอ้ กล่าวอา้ งน้ี จึงได้ทาการสุ่มตวั อย่างน้าตาลทรายมา 20 ถุง ปรากฏว่า ปริมาณของน้าตาลทรายเฉลี่ยเท่ากบั 1.02 กิโลกรัม จงทดสอบขอ้ กล่าวอา้ งของโรงงานน้ี ที่ระดบั นยั สาคญั0.056. สุ่มอาหารกระป๋ องมา 10 กระป๋ อง นามาชง่ั น้าหนกั ไดข้ อ้ มูลดงั น้ี 10.2 , 9.7 , 10.1 , 10.3 ,10.3 , 10.1 , 9.8 , 9.9 , 10.4 , 9.8 ถา้ น้าหนกั ของอาหารกระป๋ องมีการแจกแจงปกติ จงทดสอบวา่ อาหารกระป๋ องชนิดน้ีมีน้าหนกั เฉลี่ยเป็น 10 ใช่หรือไม่ กาหนด นยั สาคญั 0.1

บทท่ี 8 การทดสอบสมมุติฐาน 3557. การเปรียบเทียบอายุการใชง้ านของถ่านไฟฉายย่หี อ้ ก. และยหี่ ้อ ข. ไดส้ ุ่มตวั อยา่ งถ่านไฟฉายยี่ห้อ ก. มา 9 กอ้ น หาอายุการใชง้ านเฉล่ียได้ 42 ชว่ั โมง ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 3 ชวั่ โมงและสุ่มตวั อยา่ งถ่านไฟฉายชนิด ข. มา 12 กอ้ น พบวา่ มีอายุการใชง้ านเฉล่ีย 50 ชวั่ โมง ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 1 ชวั่ โมง จงทดสอบวา่ ถ่านไฟฉายชนิด ก. มีอายุการใชง้ านต่ากว่าชนิด ข.หรือไม่ ที่ระดบั นยั สาคญั 0.01 ถา้ ทราบวา่ อายกุ ารใชง้ านของถ่านไฟฉายท้งั สองชนิดมีการแจกแจงปกติ มีความแปรปรวนเท่ากนั8. จากสุ่มตวั อยา่ งภาพยนตร์จาก 2 บริษทั โดยสุ่มภาพยนตร์ของบริษทั A 8 เร่ือง ใชเ้ วลาฉายเฉล่ีย 97.4 นาที ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 8.88 นาที สุ่มภาพยนตร์จากบริษทั B 7 เร่ือง ใช้เวลาฉายเฉล่ีย 110 นาที ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 30.22 นาที จงทดสอบวา่ 10 0.059. จากการสารวจสภาพท่ีอยอู่ าศยั ของขา้ ราชการพบวา่ ในจงั หวดั ลาปาง 34 ครอบครัวจาก 125ครอบครัวเช่าบา้ นอยู่ ส่วนจงั หวดั แพร่ 52 ครอบครัวจาก 100 ครอบครัวเช่าบา้ นอยู่ อยากทราบวา่สัดส่วนของประชากรที่เช่าบา้ นอยขู่ องจงั หวดั ลาปางมากกวา่ สัดส่วนของขา้ ราชการที่เช่าบา้ นอยู่ของจงั หวดั แพร่ต่ากวา่ 20 % จริงหรือไม่ ที่ระดบั นยั สาคญั 0.0110. ยอดขายในแต่ละปี ของบริษทั 9 แห่ง ไดบ้ นั ทึกไวก้ ่อนและหลงั ดงั น้ีบริษทั ยอดขาย (ลา้ นบาท) ก่อนโฆษณา หลงั โฆษณา1 44 502 29 333 31 404 37 365 38 436 23 257 35 318 38 459 41 38จงทดสอบท่ีระดบั นยั สาคญั 0.05 วา่ การโฆษณามีผลทาใหย้ อดขายเฉลี่ยสูงข้ึนหรือไม่

356 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้11. ในการศึกษาระดบั เงินเดือนของพนกั งานในบริษทั เอกชนกบั รัฐวสิ าหกิจ ไดส้ ุ่มพนกั งานจากบริษทั เอกชนมา 11 คน พบว่ามีเงินเดือนเฉลี่ย 22,500 บาท ความแปรปรวน 40,000 บาท2 และสุ่มพนักงานจากรัฐวิสาหกิจมา 9 คน พบว่าได้เงินเดือนเฉล่ีย 20,300 บาท ความแปรปรวน32,400 บาท2 1. จงทดสอบค่าความแปรปรวนของประชากรเท่ากนั หรือไม่ 2. จากการทดสอบขอ้ 1. จงทดสอบวา่ เงินเดือนเฉลี่ยของพนกั งานในบริษทั เอกชนกบัรัฐวสิ าหกิจเท่ากนั หรือไม่ ท่ีระดบั นยั สาคญั 0.0112. ในการผลิตไหมพรมโดยเครื่องจกั ร 2 ชนิด เพ่ือศึกษาน้าหนกั ของไหมพรมที่ผลิตจากการแต่ละเคร่ือง โดยใช้ไหมพรมท่ีมีความยาวชิ้นละ 100 หลา และวดั น้าหนกั ของไหมพรม โดยสุ่มไหมพรมจากเครื่องจกั รแรกมา 13 ชิ้น และเครื่องจกั รที่ 2 มา 10 ชิ้น มีค่าส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานเท่ากบั 2.3 และ 1.5 ตามลาดบั อยากทราบว่าค่าความแปรปรวนของท้งั สองประชากรเท่ากนัหรือไม่ ท่ีระดบั นยั สาคญั 0.10