บทที่ 4 การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง

บทท่ี 4การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเน่ือง ก า ร แ จ ก แ จ ง ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น ข อ งตัว แ ป ร สุ่ ม น้ัน อ า จ แ ส ด ง ไ ด้ด้ว ย ก ร า ฟตาราง หรื อการใช้ฟั งก์ชัน เพื่อบ่งบอกลักษณะหรื อพฤติกรรมของตัวแปรสุ่ มน้ันๆตวั แปรสุ่มแต่ละตวั ก็จะมีลกั ษณะการแจกแจงความน่าจะเป็ นท่ีแตกต่างกนั ไปแลว้ แต่เง่ือนไขหรื อข้อจากัดของตัวแปรสุ่มแต่ละตวั การคานวณค่าความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่มแต่ละตัวจึงจาเป็ นตอ้ งแยกลกั ษณะของการแจกแจงของตวั แปรสุ่มแต่ละตวั ใหถ้ ูกตอ้ ง ในบทน้ีจะกล่าวถึงการแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่องท่ีสาคญั บางชนิด ไดแ้ ก่ การแจกแจงความน่าจะเป็ นแบบเอกรูป การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบเบอร์นูลี การแจกแจงความน่าจะเป็ นแบบปัวซง การแจกแจงความน่าจะเป็ นแบบทวินาม และการแจกแจงความน่าจะเป็ นแบบไฮเพอร์จีออเมตริก เป็นตน้ นอกจากน้ียงั จะกล่าวถึงการหาค่าความแปรปรวน V(X) หรือ 2 และการหาค่าคาดหมาย E(X) ซ่ึงกค็ ือค่าเฉลี่ย () ของตวั แปรสุ่ม4.1 การแจกแจงความน่าจะเป็ นแบบเอกรูป การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเน่ืองท่ีทุกค่าของตวั แปรสุ่มมีความน่าจะเป็ นท่ีจะเกิดเท่าๆกันน้ันเรี ยกการแจกแจงในลักษณะแบบน้ีว่าการแจกแจงความน่าจะเป็ นแบบเอกรูปบทนยิ าม 4.1.1 ถา้ ตวั แปรสุ่ม X มีค่าเป็น x1 , x2 , x3 , … , xn ที่แต่ละค่ามคี วามน่าจะเป็น เท่าๆ กนั จะเรียกตวั แปรสุ่ม X วา่ ตวั แปรสุ่มแบบเอกรูป (uniform distribution) และเรียก f (x) วา่ ฟังกช์ นั ความน่าจะเป็นหรือ การแจกแจงความน่าจะเป็นเอกรูป โดยที่ f (x)  1 เม่ือ X = x1 , x2 , x3 , … , xn nทฤษฎีบท 4.1.1 ค่าเฉลี่ย () และความแปรปรวน (2) ของการแจกแจงแบบเอกรูปคือ nn  และxi   E( X )  i1 (xi  )2 2  V ( X )  i1 nn

152 ความน่าจะเป็นและสถิติเบ้อื งตน้พสิ ูจน์ ถา้ X เป็นตวั แปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบเอกรูป จากบทนิยาม 4.1.1 จะไดว้ า่ f (x)  1 เมื่อ X = x1 , x2 , x3 , … , xn nจากบทนิยาม 3.6.1 E(X )  x f (x) X n 1 n  xi i1 n  xi  i1 n n นน่ั คือ xi i1   E(X )  nและจากบทนิยาม 3.7.1 V (X )  E[(X  )2 ] n  (xi  )2 f (xi ) i1  n ( xi  )2 1 i1 n n  (xi  )2  i1 n nนนั่ คือ ( xi  )2 2 V(X)  i1 n nn ดงั น้นั   E(X )  xi และ (xi  )2 2  V ( X )  i1 i1 nnตวั อย่าง 4.1 ในการโยนเหรียญ 1 เหรียญ 1 คร้ัง ถา้ ให้ x = 1 แทนการข้ึนหวั และ x = 0 แทนการข้ึนกอ้ ย จะไดว้ ่าความน่าจะเป็นของการข้ึนหวั และข้ึนกอ้ ยเป็น 0.5 เท่ากนั ดงั น้นั X เป็นตวั แปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบเอกรูป เน่ืองจาก f (x)  0.5 เมื่อ x = 0 , 1

บทที่ 4 การแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่องบางชนิด 153ตวั อย่าง 4.2 ในการโยนลกู เต๋า 1 ลกู 1 คร้ัง ให้ X แทนแตม้ ของลกู เต๋าที่หงาย จงหา 1. ฟังกช์ นั ความน่าจะเป็นของ X 2. ค่าเฉลี่ยของ X 3. ความแปรปรวนของ Xวธิ ีทา 1. ฟังกช์ นั ความน่าจะเป็นของ X X เป็นตวั แปรสุ่มแทนแตม้ ของลูกเต๋าที่หงาย นน่ั คือ X = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 X จึงเป็นตวั แปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่องที่มีการแจกแจงแบบเอกรูป ดงั น้นั f (x)  1 62. ค่าเฉล่ียของ Xเนื่องจาก n  xi   i1 n  1 23 456 6  21 6  3.5ดงั น้นั ค่าเฉลี่ยของ X เท่ากบั 3.53. ความแปรปรวนของ Xเน่ืองจาก n (xi  )2 2  V ( X )  i1 n  (1 3.5)2  (2  3.5)2 ...  (6  3.5)2 6 = 2.917ความแปรปรวนของ X เท่ากบั 2.917ตวั อย่าง 4.3 จงหาค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของการสุ่มหยิบสลาก 1 ใบจากสลากหมายเลข 1 ถึง 10วธิ ีทา ให้ X เป็นตวั แปรสุ่มแทนหมายเลขสลากท่ีหยบิ ได้ X = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 จะไดว้ า่ f (x)  1 ทุกค่าของ x 10

154 ความน่าจะเป็นและสถติ ิเบ้อื งตน้ n  xi  i1 n 1 2  3  ... 10 10 55 10 5.5nและ (xi  )22  i1 n (1 5.5)2  (2  5.5)2  (3  5.5)2  ...  (10  5.5)2 10 82.5 10 8.25 ดงั น้นั ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของการสุ่มหยิบสลากท่ีหยบิ ไดม้ คี ่า5.5 และ 8.25 ตามลาดบั4.2 การแจกแจงความน่าจะเป็ นแบบเบอร์นูลี การทดลองท่ีผลลพั ธ์ของการทดลองเป็ นไดเ้ พียงสองแบบ คือ ความสาเร็จกบั ความไม่สาเร็จ และความน่าจะเป็ นของการไดผ้ ลลพั ธ์เป็ นความสาเร็จหรือความไม่สาเร็จจะคงที่ทุกคร้ังจะเรียกการทดลองในลกั ษณะน้ีวา่ การทดลองแบบเบอร์นูลี (Bernoulli experiment)บทนิยาม 4.2.1 ถา้ X เป็นตวั แปรสุ่มที่มคี ่าเป็น 1 หรือ 0 เมอื่ 1 แทนเหตุการณ์ ท่ีไดผ้ ลลพั ธเ์ ป็นความสาเร็จ และ 0 แทนเหตุการณ์ที่ไดผ้ ลลพั ธ์ เป็นความไมส่ าเร็จ จะเรียก X วา่ เป็นตวั แปรสุ่มแบบแบบเบอร์นูลี และเรียก f (x) วา่ ฟังกช์ นั ความน่าจะเป็นแบบเบอร์นูลี (Bernoulli probability distribution) โดยท่ี f (x)  p qx nx ; x = 0, 1 และ p + q = 1 เม่ือ p คือความน่าจะเป็นของผลลพั ธ์ท่ีเป็ นความสาเร็จจากการทดลอง q คือความน่าจะเป็นของผลลพั ธ์ที่เป็ นความไมส่ าเร็จจากการทดลอง

บทท่ี 4 การแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุ่มชนิดไม่ต่อเน่ืองบางชนิด 155ทฤษฎบี ท 4.2.1 ค่าเฉลี่ยของตวั แปรสุ่มแบบเบอร์นูลี คือ E(X) =  = p ความแปรปรวนของตวั แปรสุ่มแบบเบอร์นูลี คือ V(X) = 2 = pqพสิ ูจน์ เนื่องจาก X เป็นตวั แปรสุ่มแบบเบอร์นูลี ; x = 0,1 จากบทนิยาม 3.6.1 E(X )  x f (x) X และจากบทนิยาม 4.2.1 f (x)  pxqnx จะไดว้ ่า E(X )  x f (x) X  xpxqnx = 0 p0q  1pq0 =p นนั่ คือ E(X )    pจากบทนิยาม 3.7.1 V (X )  E((X  )2 ) = n (xi )2 f (x) i 1เน่ืองจาก x = 0 , 1 ,   p และ p + q = 1จะไดว้ า่ V (X )  2 = (0  p)2 p0q  (1 p)2 pq0 = p2q  q2 p = pq( p  q) = pqนนั่ คือ V(X) = 2 = pqดงั น้นั E(X) =  = p และ V(X) = 2 = pqตวั อย่าง 4.4 ในการสุ่มเลือกตวั แทนกลุ่มจานวน 2 คน จากสมาชิกท้งั หมด 7 คน ถา้ ให้ x = 1แทนการไดเ้ ป็นตวั แทนกลุ่ม จงหา 1. ความน่าจะเป็นของการไดเ้ ป็นตวั แทนกลุ่ม 2. ค่าเฉล่ียของ X 3. ความแปรปรวนของ X

156 ความน่าจะเป็นและสถิติเบ้อื งตน้วธิ ีทา 1. ความน่าจะเป็นของการไดเ้ ป็นตวั แทนกลุ่ม ให้ x = 1 แทนการไดเ้ ป็นตวั แทนกลุ่ม x = 0 แทนการไมไ่ ดเ้ ป็นตวั แทนกลุ่มX จะเป็นตวั แปรสุ่มแบบเบอร์นูลี ที่มีค่า p = 2 และ q = 5 77ดงั น้นั มีการแจกแจงความน่าจะเป็น คือ f (x) โดยท่ี f (x) = pxqnx ; x = 0,1 =  2 x  5 1x ; x = 0,1  7   7 การไดเ้ ป็นตวั แทนกล่มุ คือ x = 1จะได้ f (1) =  2 1  5 0  7   7  =2 7ดงั น้นั ความน่าจะเป็นของการไดเ้ ป็นตวั แทนกลุ่มคือ 2 72. ค่าเฉลย่ี ของ X จากทฤษฎีบท 4.2.1   p  2 7 ดงั น้นั ค่าเฉลี่ยของ X คือ 2 73. ความแปรปรวนของ Xจากทฤษฎีบท 4.2.1 2  pq  ( 2)( 5 ) 77  10 49ดงั น้นั ความแปรปรวนของ X คือ 10 49ตวั อย่าง 4.5 ในการสอบวชิ าความน่าจะเป็นและสถิติเบ้ืองตน้ ถา้ ความน่าจะเป็นที่สมพรจะสอบผา่ นเป็น 0.75 จงหาความน่าจะเป็นท่ีสมพรจะสอบตกในวิชาน้ี รวมท้งั หาค่าเฉล่ียวธิ ีทา ให้ x = 1 แทนการสอบตกในวิชาสถิติธุรกิจ x = 0 แทนการสอบผา่ นในวชิ าสถิติธุรกิจ จะไดว้ า่ ความน่าจะเป็นที่สมพรจะสอบผา่ นคือ q โดยโจทยก์ าหนด q = 0.75

บทที่ 4 การแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุ่มชนิดไม่ต่อเน่ืองบางชนิด 157เนื่องจาก p + q = 1 ดงั น้นั p = 0.25 ; x = 0,1จาก f (x) = pxqnx ; x = 0,1 = (0.25)x (0.75)1x และค่าเฉล่ียของการสอบ f (1) = (0.25)1(0.75)11 = 0.25ดงั น้นั ความน่าจะเป็นที่สมพรจะสอบตกในวิชาน้ี คือ 0.25จากทฤษฎีบท 4.2.1  = p = 0.25ดงั น้นั ค่าเฉล่ีย = 0.25 นนั่ คือความน่าจะเป็นที่สมพรจะสอบตก คือ 0.25รายวิชาน้ีของสมพร คือ 0.254.3 การแจกแจงความน่าจะเป็ นแบบปัวซง ในการทดลองท่ีตัวแปรสุ่ม X แสดงจานวนคร้ังของความสาเร็จในช่วงเวลาหน่ึงที่กาหนดใหห้ รือในบริเวณท่ีกาหนดให้ โดยลกั ษณะของการทดลองเป็นดงั น้ี 1. จานวนคร้ังของความสาเร็จท่ีเกิดข้ึนในช่วงเวลาใดเวลาหน่ึงหรือบริเวณใดบริเวณหน่ึงเป็นอิสระกบั จานวนคร้ังของความสาเร็จท่ีเกิดข้ึนในช่วงเวลาอ่ืนหรือในบริเวณอื่น 2. ความน่าจะเป็ นของการไดค้ วามสาเร็จในช่วงเวลาหน่ึงหรือบริเวณหน่ึง ซ่ึงไดแ้ บ่งออกเป็ นช่วงเวลาส้ันๆ หรือแบ่งบริเวณเลก็ ลง จะเป็ นสัดส่วนโดยตรงกบั ความยาวของช่วงเวลาหรือขนาดของบริเวณน้นั และไม่ข้ึนอยู่กบั จานวนคร้ังของความสาเร็จที่เกิดข้ึนนอกช่วงเวลาหรือนอกบริเวณที่กาหนด 3. ความน่าจะเป็นท่ีจะเกิดความสาเร็จมากกวา่ หน่ึงคร้ังในช่วงเวลาอนั ส้นั หรือนอกบริเวณเลก็ ๆ น้นั มีค่านอ้ ยมากจนสามารถตดั ทิ้งไปได้ เรี ยกการทดลองที่มีลักษณะดังท่ีกล่าวมาน้ีว่า การทดลองแบบปัวซง (Poissonexperiment ) และเรียก X ว่าเป็ นตวั แปรสุ่มแบบปัวซง ยกตวั อย่างเช่น จานวนเงินฝากท่ีลูกคา้ของธนาคารเขา้ มาใชบ้ ริการในช่วง 9.00 – 10.00 น. จานวนคาผิดในหนา้ ใดหนา้ หน่ึงของหนงั สือเล่มหน่ึง จานวนเพล้ียกระโดดในบริเวณนาขา้ วพ้ืนที่ 1 ตารางวา จานวนอุบตั ิเหตุทางรถยนต์ที่เกิดข้ึนในช่วงเวลา 23.00 – 24.00 น. ของวนั ท่ี 31 ธนั วาคม

158 ความน่าจะเป็นและสถิติเบ้อื งตน้ บทนิยาม 4.3.1 ถา้ X เป็นตวั แปรสุ่มที่แทนจานวนคร้ังของความสาเร็จท่ีเกิดข้ึน ในช่วงเวลาหรือบริเวณที่กาหนดใหจ้ ากการทดลองแบบปัวซง จะเรียก X วา่ ตวั แปรสุ่มแบบปัวซง การแจกแจงแบบปัวซงของ X เขียนแทนดว้ ย X ~ p( x;)และเรียก f (x) ฟังกช์ นั ความน่าจะเป็ น หรือการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบปัวซง (Poisson probability distribution) โดยที่ f (x) = e x เม่ือ x = 0 , 1 , 2 , . . . x! เม่ือ  แทนค่าเฉลย่ี ของจานวนคร้ังของความสาเร็จที่เกิดข้ึน ในช่วงเวลาหรือในบริเวณที่กาหนด e แทนค่าลอการิทึมธรรมชาติ (natural logarithm) ซ่ึงมีค่าประมาณ 2.71828ฟังกช์ นั ความน่าจะเป็น f (x) ของการแจกแจงแบบปัวซงจะมีสมบตั ิดงั น้ี1. f (x) = e x  0 ; x = 0 , 1 , 2 , . . . x! เนื่องจากทุกคา่ ของ x เม่ือ  > 0 จะไดว้ า่ f (x)  02.  f (x)   e x 1  x0 x0 x! เน่ืองจาก   e x  e  x x0 x! x0 x!  e (1   2  3  ...) 2! 3!  ee =1 ดงั น้นั  f (x) 1  x0 การคานวณค่าความน่าจะเป็ นของการแจกแจงแบบปัวซงโดยตรงค่อนขา้ งจะยุง่ ยาก โดยส่วนใหญจ่ ะหาโดยอาศยั ตารางที่ 1 ของภาคผนวก ซ่ึงเป็นตารางแสดงความน่าจะเป็นสะสมของการแจกแจงปัวซงสาหรับค่า ต้งั แต่ 0.1 ถึง 18.0

บทที่ 4 การแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุ่มชนิดไม่ต่อเน่ืองบางชนิด 159ทฤษฎีบท 4.3.1 ค่าเฉลี่ย (  ) และความแปรปรวน ( 2 ) ของการแจกแจงปัวซง คือ  = E(X) =  2 = V(X) = พสิ ูจน์ ให้ X เป็นตวั แปรสุ่มแบบปัวซงจากบทนิยาม 3.6.1 E(X) =  xf (x) Xและจากบทนิยาม 4.3.1 f (x) = e x ; x= 0,1, 2,... x!จะไดว้ า่ E(X) =  xf (x) X =  e x x x0 x! =  xex 0 x1 x(x 1)! =  ex x1 (x 1)!ให้ y = x  1 จะได้ E(X) =  e y1 y0 y! =  e y  y0 y!แต่เน่ืองจาก  e  y = 1 y0 y!ดงั น้นั E(X) =  (1) = จาก V(X) = E(X2)  (E(X))2 หาค่า E(X 2) ก่อน ไดด้ งั น้ี E(X2) =  x2 e x = = x0 x! 0   x2 e x x1 x(x 1)!  x e x x1 (x 1)!

160 ความน่าจะเป็นและสถิติเบ้อื งตน้ ให้ y = x  1 หรือ x = y + 1 จะได้ E(X2) =  ( y 1) e y1 = = y0 y! =  ( y 1) e y  y0 y!   ( y 1) e y y0 y! y e y   e y    y0 y! y0 y! เน่ืองจาก  y e y =  และ  e y = 1 y0 y! y0 y! ดงั น้นั E(X 2) = ()   (1) = 2  จาก V(X) = E(X 2)  (E(X))2 = 2    2 =ดงั น้นั การแจกแจงแบบปัวซงจะมีค่าเฉลย่ี E(X) =  และความแปรปรวน V(X) = ตวั อย่าง 4.6 จากการตรวจสอบคาผิดในหน่ึงหนา้ ของหนงั สือเล่มหน่ึง พบวา่ ค่าเฉลี่ยของจานวนจุดที่ผดิ พลาดต่อหน่ึงหนา้ คือ 1.5 จุด จงหาความน่าจะเป็ นที่ 1. ตรวจสอบพบคาผดิ จานวน 4 จุดในหน่ึงหนา้ 2. ตรวจสอบพบคาผิดเกิน 6 จุดในหน่ึงหนา้ 3. ตรวจสอบพบคาผดิ ต้งั แต่ 2 จุดถึง 7 จุดในหน่ึงหนา้วธิ ีทา ให้ X เป็นจานวนจุดท่ีพบคาผดิ ในหน่ึงหนา้ ของหนงั สือเล่มหน่ึง X เป็นตวั แปรสุ่มปัวซงท่ีมีค่า  = 1.5 และ X = 0,1,2,…1. ตรวจสอบพบคาผิดจานวน 4 จุดในหน่ึงหนา้ จะไดค้ ่า X = 4จากบทนิยาม 4.3.1 จะไดว้ า่ f(x)  e1.5 (1.5)x ; x = 0,1,2,... x!ดงั น้นั f(4)  e1.5(1.5)4 =   2.718 1.5 (1.5)4 =0.0470 4! 4!

บทท่ี 4 การแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุ่มชนิดไม่ต่อเน่ืองบางชนิด 161หรือใชต้ ารางท่ี 1 ในภาคผนวก หาค่าไดด้ งั น้ีเ นื่ อ ง จ า ก สั ญ ลัก ษ ณ์  ex ของตารางที่ 1 ผลรวมความน่าจะเป็ น x0 x!แบบปัวซง จากภาคผนวกเป็ นค่าความน่าจะเป็ นของการแจกแจงแบบปัวซงที่มีค่าเฉล่ีย และมคี ่า x ต้งั แต่ 0 ถึง  ซ่ึง กค็ ือ P(X  x) นนั่ เองดงั น้นั เม่อื อาศยั การเปิ ดค่าจากตารางท่ี 1 จะไดว้ า่f(4) = P(X=4) =  4 ex  3 ex x0 x! x0 x! = 0.9814  0.9344 = 0.0470ดงั น้นั ความน่าจะเป็นที่ตรวจสอบพบคาผดิ จานวน 4 จุดในหน่ึงหนา้ คือ 0.04702. ตรวจสอบพบคาผดิ เกิน 6 จุดในหน่ึงหนา้ จะได้ X  6ดงั น้นั เมอ่ื อาศยั การเปิ ดค่าจากตารางท่ี 1 จะไดว้ า่ P( X  6 ) = 1  P( X  6 ) = 1 6 ex  x0 x! = 1  0.9991 = 0.0009 ดงั น้นั ความน่าจะเป็นท่ีตรวจสอบพบคาผดิ เกิน 6 จุดในหน่ึงหนา้ คือ 0.00093. ตรวจสอบพบคาผิดต้งั แต่ 2 จุดถึง 7 จุดในหน่ึงหนา้ จะได้ 2  X  7ดงั น้นั เมือ่ อาศยั การเปิ ดค่าจากตารางที่ 1 จะไดว้ ่า P(2  X  7 ) = P(X ≤ 7 )  P(X < 2 ) =  7 ex  1 ex x0 x! x0 x! = 0.9998  0.5578 = 0.4420 ดงั น้นั ความน่าจะเป็นที่ตรวจสอบพบคาผดิ ต้งั แต่ 2 จุดถึง 7 จุดในหน่ึงหนา้ คือ 0.4420

162 ความน่าจะเป็นและสถติ ิเบ้อื งตน้ตัวอย่าง 4.7 จากสถิติของธนาคารแห่งหน่ึงพบว่าจานวนลูกค้าโดยเฉล่ียที่เข้ามารับบริ การในช่วงเวลา 15.00 – 15.30 น. คือ 12 คน จงหาความน่าจะเป็นท่ี1. จานวนลกู คา้ ที่มาใชบ้ ริการในช่วงเวลาดงั กลา่ วจะนอ้ ยกวา่ 5 คน2. จานวนลกู คา้ ที่มาใชบ้ ริการในช่วงเวลาดงั กลา่ วเกิน 20 คนวธิ ีทา ให้ X เป็นจานวนลกู คา้ ที่มาใชบ้ ริการในช่วงเวลา 15.00 – 15.30 น. X เป็นตวั แปรสุ่มปัวซงท่ีมีค่า  = 12อาศยั ตารางท่ี 11. จานวนลกู คา้ ที่มาใชบ้ ริการในช่วงเวลาดงั กล่าวจะนอ้ ยกวา่ 5 คน P( X  5 ) = 4 ex x0 x! = 0.0076ดงั น้นั ความน่าจะเป็นท่ีจานวนลูกคา้ ท่ีมาใชบ้ ริการในช่วงเวลา 15.00 – 15.30 น. นอ้ ยกวา่5 คน คือ 0.00762. จานวนลกู คา้ ท่ีมาใชบ้ ริการในช่วงเวลาดงั กล่าวเกิน 20 คน P( X  20 ) = 1  20 ex x0 x! = 1  0.9884 = 0.0116 ดงั น้นั ความน่าจะเป็นที่จานวนลูกคา้ ท่ีมาใชบ้ ริการในช่วงเวลา 15.00 – 15.30 น.เกินกวา่ 20 คน คือ 0.01164.4 การแจกแจงความน่าจะเป็ นแบบทวนิ าม จากหวั ขอ้ 4.2 ในการสุ่มหยิบสินคา้ จานวน 1 ชิ้น และหาค่าความน่าจะเป็นที่จะไดส้ ินคา้ที่มีตาหนิหรือไม่มีตาหนิ ถา้ ให้ 1 แทนการหยิบไดส้ ินคา้ ท่ีมีตาหนิ และให้ 0 แทนการหยิบได้สินคา้ ท่ีไม่มีตาหนิ จะเป็ นการทดลองแบบเบอร์นูลี แต่ถา้ หากทาการทดลองซ้าหลายๆ คร้ัง โดยหยิบสินคา้ คร้ังละ 1 ชิ้น แลว้ ใส่คืน ถา้ ส่ิงที่สนใจคือจานวนสินคา้ ท่ีมีตาหนิ เรียกการทาซ้าลกั ษณะน้ีวา่ การทดลองแบบทวินาม (binomial experiment) ซ่ึงมีลกั ษณะดงั น้ี 1. เป็นการทดลองแบบเบอร์นูลีท่ีทาซ้าๆ กนั n คร้ัง ภายใตเ้ ง่ือนไขเดียวกนั 2. การทดลองแต่ละคร้ังเป็นอิสระต่อกนั 3. การทดลองแต่ละคร้ังไดผ้ ลลพั ธ์เพียง 2 อยา่ งคือ ความสาเร็จหรือมีลกั ษณะท่ีสนใจและความไมส่ าเร็จหรือมีลกั ษณะท่ีไมส่ นใจ

บทที่ 4 การแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุ่มชนิดไม่ต่อเน่ืองบางชนิด 163 4. การทดลองแต่ละคร้ังมีความน่าจะเป็นท่ีจะเกิดความสาเร็จเป็น p และความน่าจะเป็ นท่ีจะเกิดความไมส่ าเร็จเป็น q ซ่ึงท้งั p และ q มีค่าคงท่ีทุกคร้ังท่ีทดลอง โดย p + q = 1 5. ตวั แปรสุ่ม X จะเป็ นจานวนคร้ังของความสาเร็จจากการทดลอง n คร้ัง ดงั น้ันX =0,1,2,...,nบทนยิ าม 4.4.1 ถา้ X แทนจานวนคร้ังของการเกิดความสาเร็จของการทดลองแบบทวินาม จะเรียก X วา่ เป็นตวั แปรสุ่มแบบทวินาม การแจกแจงแบบทวนิ ามของ X เขียนแทนดว้ ย X b(x;n, p) และเรียก f (x) วา่ ฟังกช์ นั ความน่าจะเป็ น หรือการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบทวินาม โดยท่ี f (x) = nCx pxqnx ; x = 0 , 1 , 2 , . . . , nทฤษฎีบท 4.4.1 ค่าเฉลี่ย ( ) และความแปรปรวน ( 2 ) ของการแจกแจงแบบทวินาม คือ  = E(X) = np 2 = V(X) = npqพสิ ูจน์ ให้ Xi เป็นผลลพั ธท์ ี่ไดจ้ ากการทดลองคร้ังที่ i จะไดว้ า่ Xi ไดผ้ ลออกมาเพียง 2 อยา่ งคือ p แทนความน่าจะเป็นของการท่ี Xi = 1 q แทนความน่าจะเป็นของการที่ Xi = 0 โดย p + q = 1 จะไดว้ า่ Xi เป็นตวั แปรสุ่มแบบเบอร์นูลี แต่หากทาการทดลองในลกั ษณะน้ี n คร้ัง กจ็ ะเป็ นการทดลองแบบทวินาม ให้ X แทนจานวนคร้ังของการเกิดผลสาเร็จจากการทดลอง n คร้ัง X กจ็ ะเป็ นตวั แปรสุ่มแบบทวินาม ซ่ึงสามารถเขียนอยใู่ นรูปผลบวกของตวั แปรสุ่มแบบเบอร์นูลีท่ีอิสระกนั n คร้ัง ดงั น้นั X = X1 + X2 + X3 + ... + Xn และ E(X ) = E(X1) + E(X2) + E(X3) + … + E(Xn) เน่ืองจาก Xi เป็นตวั แปรสุ่มแบบเบอร์นูลี จากทฤษฎีบท 4.2.1 จะไดว้ า่ E(Xi ) = p และ V(Xi ) = pq

164 ความน่าจะเป็นและสถิติเบ้อื งตน้นน่ั คือ E(X ) = p + p + p + ... + p ( n พจน์ )= npและเนื่องจาก V(X ) = V(X1) + V(X2) + V(X3) + … + V(Xn)= pq + pq + pq + ... + pq ( n พจน์ )= npqดงั น้นั ค่าเฉล่ียของการแจกแจงแบบทวินามคือ E(X) = npและความแปรปรวนของการแจกแจงแบบทวนิ าม คือ V(X) = npq การคานวณค่าความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่มทวินาม นอกจากจะคานวณหาจากฟังกช์ ันความน่าจะเป็ น f (x) = nCx pxqnx โดยตรงแลว้ อาจใชต้ ารางท่ี 2 จากภาคผนวก ซ่ึงเป็ นตารางแสดงค่าความน่าจะเป็ นของการแจกแจงทวินาม b( x;n, p) โดยกาหนดว่า x , n , p ที่ตอ้ งการซ่ึงจะสามารถหาค่าความน่าจะเป็นไดอ้ ยา่ งสะดวกและรวดเร็วข้ึนตวั อย่าง 4.8 ความน่าจะเป็นที่โทรศพั ทย์ ่ีหอ้ หน่ึง จะมีอายกุ ารใชง้ านนอ้ ยกวา่ 3 ปี คือ 0.4ถา้ สุ่มโทรศพั ทย์ ี่หอ้ น้ีมาจานวน 8 เครื่องจงหา 1. ความน่าจะเป็นที่จะโทรศพั ท์ 3 เคร่ือง จะมีอายุการใชง้ านนอ้ ยกวา่ 3 ปี 2. ความน่าจะเป็นท่ีจะพบโทรศพั ทท์ ่ีอายกุ ารใชง้ านนอ้ ยกว่า 3 ปี เกิน 5 เคร่ือง 3. ค่าเฉล่ียของจานวนโทรศพั ทท์ ี่อายกุ ารใชง้ านนอ้ ยกวา่ 3 ปี 4. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของจานวนโทรศพั ทท์ ่ีอายกุ ารใชง้ านนอ้ ยกวา่ 3 ปีวธิ ีทา ให้ X แทนจานวนโทรศพั ทท์ ี่อายกุ ารใชง้ านนอ้ ยกวา่ 3 ปี จะไดว้ ่า X เป็นตวั แปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบทวนิ ามโดย X ~b( x;8,0.4) จากบทนิยาม 4.4.1 P( X = x) = f (x) = nCx pxqnx ; x = 0 , 1 , 2 , … , n 1. ความน่าจะเป็นที่จะโทรศพั ท์ 3 เครื่อง จะมีอายุการใชง้ านนอ้ ยกวา่ 3 ปี คือ P(X = 3) P(X = 3) = f (3) = 8C3 p3q5 = 8! (0.4)3(0.6)5 3!5! = 0.2787 ดงั น้นั ความน่าจะเป็นที่จะโทรศพั ท์ 3 เครื่อง จะมีอายกุ ารใชง้ านนอ้ ยกวา่ 3 ปี คือ 0.2787

บทท่ี 4 การแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุ่มชนิดไม่ต่อเน่ืองบางชนิด 165 2. ความน่าจะเป็นที่จะพบโทรศพั ทท์ ่ีอายกุ ารใชง้ านนอ้ ยกว่า 3 ปี เกิน 5 เคร่ือง คือ P(X  5) P(X  5) = P( X = 6 ) + P( X = 7 ) + P( X = 8 ) = + +8C6 p6q2 8C7 p7q1 8C8 p8q0 = 0.0413 + 0.0679 + 0.0007  0.0499 ดงั น้ันความน่าจะเป็นที่จะพบโทรศพั ท์ที่อายุการใชง้ านนอ้ ยกว่า 3 ปี เกิน 5 เครื่องคือ 0.04993. ค่าเฉลี่ยของจานวนโทรศพั ทท์ ่ีอายุการใชง้ านนอ้ ยกวา่ 3 ปี คือ E(X) E(X) = np (โดยทฤษฎีบท 4.4.1) = 8(0.4) = 3.2ดงั น้นั ค่าเฉลี่ยของจานวนโทรศพั ทท์ ่ีอายกุ ารใชง้ านนอ้ ยกวา่ 3 ปี คือ 3.2 เคร่ือง4. ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของจานวนโทรศพั ทท์ ่ีอายกุ ารใชง้ านนอ้ ยกวา่ 3 ปี คือ V(X) V(X) = npq (โดยทฤษฎีบท 4.4.1) = 8(0.4)(0.6) = 1.92 V(X) = 2 = 1.92  = 1.3856ดงั น้นั ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของจานวนโทรศพั ทท์ ่ีอายกุ ารใชง้ านนอ้ ยกวา่ 3 ปี คือ1.3856 เครื่องตวั อย่าง 4.9 ในการโยนลกู เต๋า 4 ลูกพร้อมกนั ถา้ สนใจการข้ึนแตม้ 1 จงหา 1. ความน่าจะเป็นท่ีลกู เต๋าจะข้ึนแตม้ 1 นอ้ ยกวา่ 2 ลกู 2. ค่าเฉล่ียและส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของลกู เต๋าจะข้ึนแตม้ 1วธิ ีทา ให้ X แทนจานวนลกู เต๋าท่ีข้ึนแตม้ 1 จะไดว้ า่ X = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ความน่าจะเป็ น (p) ท่ีลกู เต๋าจะข้ึนแตม้ 1 1 และ q  5 66

166 ความน่าจะเป็นและสถิติเบ้อื งตน้1. ความน่าจะเป็นที่ลกู เต๋าจะข้ึนแตม้ 1 นอ้ ยกว่า 2 ลกู คือ P(X  2)P(X  2) = P(X = 0) + P(X = 1) = +4C0 p0q4 4C1 p1q3 =  5 4 +  1 1  5 3  6  4  6   6  = 0.4822 + 0.3858 = 0.8680ดงั น้นั ความน่าจะเป็นที่ลกู เต๋าจะข้ึนแตม้ 1 นอ้ ยกว่า 2 ลกู คือ 0.86802. ค่าเฉล่ียและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของลกู เต๋าจะข้ึนแตม้ 1 คือ E(X) และ E(X ) = np (โดยทฤษฎีบท 4.4.1) = 4  1  6 = 0.67V(X) = npq = 4  1   5  6 6V(X) = 2 = 0.56  = 0.745ดงั น้นั ค่าเฉล่ียของลูกเต๋าจะข้ึนแตม้ 1 คือ 0.67 และส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของลกู เต๋าจะข้ึนแตม้ 1 คือ 0.745ตวั อย่าง 4.10 จากขอ้ มลู ที่ผา่ นมาพบวา่ 85% ของผปู้ กครองในเขตกรุงเทพมหานคร จะส่งลกู เขา้เรียนต้งั แต่อายกุ ่อน 3 ปี ถา้ สุ่มผปู้ กครองในเขตกรุงเทพมหานครมา 12 คน จงหา 1. ความน่าจะเป็นที่จะมีผปู้ กครองท่ีส่งลูกเขา้ เรียนก่อนอายุ 3 ปี ไม่นอ้ ยกว่า 10 คน 2. ความน่าจะเป็นท่ีจะมีผปู้ กครองท่ีส่งลกู เขา้ เรียนก่อนอายุ 3 ปี จานวน 8 ถึง 10 คน 3. ค่าเฉลี่ยของจานวนผปู้ กครองท่ีส่งลกู เขา้ เรียนก่อนอายุ 3 ปีวธิ ีทา ให้ X แทนจานวนผปู้ กครองที่ส่งลกู เขา้ เรียนก่อนอายุ 3 ปี ซ่ึงมีความน่าจะเป็น p = 0.85 และ q = 0.15 1. ความน่าจะเป็ นท่ีจะมีผปู้ กครองที่ส่งลูกเขา้ เรียนก่อนอายุ 3 ปี ไม่นอ้ ยกว่า 10 คน คือP(X  10)

บทท่ี 4 การแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุ่มชนิดไม่ต่อเน่ืองบางชนิด 167 P(X  10) = P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) = + +C12 10 p10q2 C12 p11q1 C12 p12 q 0 11 12 = 0.2924 + 0.3012 + 0.1422 = 0.7358 ดงั น้นั ความน่าจะเป็นท่ีจะมีผปู้ กครองท่ีส่งลกู เขา้ เรียนก่อนอายุ 3 ปี ไมน่ อ้ ยกวา่ 10 คนคือ 0.73582. ความน่าจะเป็นที่จะมีผปู้ กครองที่ส่งลูกเขา้ เรียนก่อนอายุ 3 ปี จานวน 8 ถึง 10 คน คือP(8  X  10) P(8  X  10) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) = + +12C8 p8q4 12C9 p9q3 C12 p10q2 10 = 0.0683 + 0.1720 + 0.2924 = 0.5327 ดงั น้นั ความน่าจะเป็ นที่จะมีผูป้ กครองท่ีส่งลูกเขา้ เรียนก่อนอายุ 3 ปี จานวน 8 ถึง10 คน คือ 0.5327 3. ค่าเฉลีย่ ของจานวนผปู้ กครองที่ส่งลกู เขา้ เรียนก่อนอายุ 3 ปี คือ E(X) E(X) = np = 12(0.85) = 10.2 ดงั น้นั ค่าเฉล่ียของจานวนผปู้ กครองที่ส่งลกู เขา้ เรียนก่อนอายุ 3 ปี คือ 10.2 คน 4.4.1 การประมาณค่าการแจกแจงทวนิ ามด้วยการแจกแจงแบบปัวซง ในการทดลองแบบทวินามที่ จานวนคร้ัง n ของการทดลองมีค่ามาก(หรือแทนดว้ ย n  ) และความน่าจะเป็ น p มีค่านอ้ ยๆ หรือเขา้ ใกลศ้ ูนย์ (หรือแทนดว้ ยp  0) และ np มีค่าคงท่ี แลว้ ค่าความน่าจะเป็ นของการแจกแจงแบบทวินามจะมีค่าใกลเ้ คียงกบั ค่าความน่าจะเป็ นของการแจกแจงแบบปัวซง จึงใช้การแจกแจงแบบปัวซงประมาณค่าการแจกแจงแบบทวินามในกรณีดงั กลา่ ว

168 ความน่าจะเป็นและสถติ ิเบ้อื งตน้ทฤษฎีบท 4.4.2 X เป็นตวั แปรสุ่มทวินามที่มีการแจกแจงความน่าจะเป็ น nCx pxqnx ถา้ n  , p  0 โดย np มีค่าคงที่แลว้ จะสามารถประมาณการแจกแจงความน่าจะเป็ น แบบทวินามไดด้ ว้ ยการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบปัวซง ex ที่มี   np x!พสิ ูจน์ จากบทนิยาม 4.4.1 ถา้ X b( x;n, p) แลว้ f (x) = nCx pxqnxf (x) = nCx pxqnx ; x=0,1,2,…,n = n! px (1 p)nx x!(n  x)! = n(n 1)(n  2)...(n  x 1) px (1 p)nx x!เน่ืองจาก   np หรือ p =  nดงั น้นั nCx pxqnx = n(n  1)(n  2)...(n  x  1)    x 1  n x x!    n  n = n(n  1)(n  2)...(n  x  1)   x  1  n x nx     x !   n = 11 1  1  2 ...1 x 1 x  1  n 1  x n n      n  x!  n nเมื่อ n  ขณะที่ X และ  ยงั มีค่าคงที่ ดงั น้นัlim 1 1  1  2 ...1 x 1 1 n n n n  lim 1  x 1  n  n lim 1  n  e  n  nจะไดว้ ่า  lim 11  1  1 2  ... 1  x 1 x  1   n 1   x  n  n  n x! n  n   nCx pxqnx  lim  n     n  = x  (e )(1) x!  1   = ex x!ดงั น้นั สามารถประมาณค่าการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบทวนิ ามโดยใชก้ ารแจกแจงความน่าจะเป็ นแบบปัวซง เมื่อ n   และ p  0 และ np มีค่าคงที่

บทท่ี 4 การแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่องบางชนิด 169 โดยปกติจะใชท้ ฤษฎีบท 4.4.2 ประมาณค่าของการแจกแจงแบบทวินามเม่ือ n มีค่ามากและ p มีค่าน้อย โดยท่ี   np และการแจกแจงแบบปัวซงจะเป็ นตัวประมาณค่าที่ดีของการแจกแจงแบบทวินาม เม่ือ p  0.1 และ n  30ตวั อย่าง 4.11 ถา้ ความน่าจะเป็นของผทู้ ี่ป่ วยดว้ ยโรคมะเร็งตบั จะหายเป็ น 0.002 ศูนยม์ ะเร็งลาปางมีผูป้ ่ วยดว้ ยโรคมะเร็งตบั มารับการรักษาจานวน 500 คน จงหาความน่าจะเป็ นที่จะมีผูป้ ่ วยโรคมะเร็งที่รักษาโรคมะเร็งตบั หายจานวน 7 คนวธิ ีทา ให้ X เป็นตวั แปรสุ่มทวินาม แทนจานวนผปู้ ่ วยโรคมะเร็งตบั ท่ีสามารถรักษาหายได้p = 0.002n = 500X=7เน่ืองจาก n มีค่ามาก และ p มีค่านอ้ ย ดงั น้นั จะใชก้ ารแจกแจงแบบปัวซงประมาณค่าการแจกแจงแบบทวนิ ามดงั กล่าวจะได้   np = 500(0.002) = 1ดงั น้นั P(X = 7) = ex x! = e117 7! = 0.0001หรืออาศยั ค่าจากตารางที่ 1 ภาคผนวกจะไดว้ ่า P(X = 7) =  7 ex  6 ex x0 x! x0 x! = 1  0.9999 = 0.0001 ดงั น้ันความน่าจะเป็ นท่ีจะมีผูป้ ่ วยโรคมะเร็งท่ีรักษาโรคมะเร็งตบั หายจานวน7 คน คือ 0.0001ตัวอย่าง 4.12 จากขอ้ มูลโรงพยาบาลแห่งหน่ึง พบว่า มีโอกาสที่ทางโรงพยาบาลจะจ่ายยาผิดใหแ้ ก่ผปู้ ่ วย 2 ราย จาก 1,000 ราย ถา้ สุ่มผปู้ ่ วยในโรงพยาบาลจานวน 3,000 ราย จงหาความน่าจะเป็นท่ีผปู้ ่ วยจะไดร้ ับยาผดิ จานวน 8 รายวธิ ีทา ให้ X แทนจานวนผปู้ ่ วยท่ีจะไดร้ ับยาผดิ และ X เป็นตวั แปรสุ่มทวนิ าม p = 2 = 0.002 1, 000

170 ความน่าจะเป็นและสถติ ิเบ้อื งตน้n = 3,000X=8เนื่องจาก n มีค่ามาก และ p มีค่านอ้ ย ดงั น้นั จะใชก้ ารแจกแจงแบบปัวซงประมาณค่าการแจกแจงแบบทวนิ ามดงั กล่าว โดยท่ี   np = 3,000(0.002) = 6จะไดว้ า่ P( X = 8 ) = ex x!  e6 68 8! = 0.1032หรืออาศยั ค่าจากตารางท่ี 1 ภาคผนวกจะไดว้ ่า P( X = 8 ) =  8 ex  7 ex x0 x! x0 x! = 0.8472  0.7440 = 0.1032ดงั น้นั ความน่าจะเป็นท่ีผปู้ ่ วยจะไดร้ ับยาผิดจานวน 8 ราย คือ 0.10324.5 การแจกแจงความน่าจะเป็ นแบบไฮเพอร์จีออเมตริก ในการทดลองแบบทวินามน้ัน การทดลองแต่ละคร้ังจะเป็ นการสุ่มแบบใส่คืนดงั น้นั การทดลองแต่ละคร้ังจึงอิสระกนั และมีความน่าจะเป็ นของการเกิดความสาเร็จดว้ ยค่าคงที่p ทุกคร้ังท่ีทดลอง แต่ถา้ ในการทดลองแต่ละคร้ังเป็นการสุ่มแลว้ ไม่ใส่คืน จะมีผลทาให้การทดลองแต่ละคร้ังไม่อิสระกนั ความน่าจะเป็ นของการเกิดความสาเร็จในแต่ละคร้ังจะมีผลทาให้ความน่ าจะเป็ นในการเกิ ดความสาเร็ จของการทดลองคร้ั งต่อไปเปล่ียนแปลงไปเรียกการทดลองในลกั ษณะน้ีว่า การทดลองแบบไฮเพอร์จีออเมตริก (hypergeometric experiment)ซ่ึงมีลกั ษณะการทดลองโดยสรุปดงั น้ี 1. เป็นการสุ่มของ n สิ่ง จากประชากร N ส่ิง 2. ในจานวนประชากร N ส่ิง แบ่งเป็น 2 ประเภท คือ ประเภทความสาเร็จ k สิ่ง และประเภทความไมส่ าเร็จ N  k สิ่ง ในการทดลองสุ่ม n สิ่ง จากประชากร N ส่ิง จานวนวิธีที่จะไดค้ วามสาเร็จ x ส่ิง จากk ส่ิง เป็ น kCx วิธี และจานวนวิธีที่จะไดค้ วามไม่สาเร็จ n  k สิ่ง จากท่ีมีอยู่ N  k สิ่งจะทาได้NkCnx วิธี

บทท่ี 4 การแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่องบางชนิด 171บทนยิ าม 4.5.1 การทดลองแบบไฮเพอร์จีออเมตริก n คร้ัง ซ่ึงมีผลสาเร็จ x คร้ัง ผลไม่สาเร็จ n  x คร้ัง X จะเป็ นตัวแปรสุ่มแบบไฮเพอร์จีออเมตริก เรียกการแจกแจง ของ X วา่ การแจกแจงแบบไฮเพอร์จีออเมตริก (hypergeometric distribution) เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ X ~ h( N,n,k) และเรียกฟังกช์ นั ความน่าจะเป็ น f (x) วา่ การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไฮเพอร์จีออเมตริก (hypergeometric probability distribution) โดยที่ f (x) = P(X  x)  C Ck N k ; X = 0 , 1 , 2 , ... , k x nx N Cnการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไฮเพอร์จีออเมตริกจะมสี มบตั ิดงั น้ี1. f (x) = C Ck N k ≥0 x nx N Cn เนื่องจากประชากรมขี นาด N จึงไดว้ า่ N k ≥ 0 , n x ≥0 และ N Cn ≥ 0 ดงั น้นั f (x) = C Ck N k ≥0 x nx N Cn2.  n n C Ck N k 1 x0 x0 x nx f (x)  N Cn เนื่องจาก  n n C Ck N k x0 x0 x nx f (x)  N Cn พิจารณา (1+a)k (1+a)N – k= (1+a)N ใชก้ ารกระจายทวินามจะได้  k C0 k C1a k C2a2  ... k Ck ak   N k C0 N k C1a N k C2a2  ... N k CNk aN k  =  NC0 N C1a N C2a2  ... N Cnan  ... N CN aN  เมื่อเทียบสัมประสิทธ์ิ an จะได้  k C0N kCn k C1N kCn1  ... k CxN kCnx  ... k CnN kC0   NCn จะได้  C Ck N k  N Cn x nx นนั่ คือ  n n C Ck N k x nx f (x)  CN x0 x1 n  NCn N Cn =1 ดงั น้นั k f (x) 1  x0

172 ความน่าจะเป็นและสถติ ิเบ้อื งตน้ตวั อย่าง 4.13 จากการสุ่มหยิบลูกบอล 3 ลูกออกจากกล่องที่บรรจุบอลสีแดง 5 ลูก สีขาว 4 ลูกโดยการหยิบทีละลกู แบบไมใ่ ส่คืน จงหาความน่าจะเป็นที่จะไดล้ กู บอลสีขาวท้งั 3 ลกูวธิ ีทา ให้ X แทนจานวนบอลสีขาวที่หยิบได้นนั่ คือ X = 0 , 1 , 2 , 3จากโจทย์ N = 9 , n = 3 , k = 4 , x = 3 จะไดว้ า่ X ~ h( x ; N ,n,k)จาก f (x)  C Ck N k x nx N Cnจะได้ =f (3) 4 C35C0 9 C3 =4 84 =1 21ดงั น้นั ความน่าจะเป็นท่ีจะไดล้ กู บอลสีขาวท้งั 3 ลกู คือ 1 21ทฤษฎีบท 4.6.1 ค่าเฉล่ีย (  ) และความแปรปรวน ( 2 ) ของการแจกแจงแบบ ไฮเพอร์จีออเมตริก คือ  = E(X) = nk N 2 = V(X) =  N n  nk  1  k   N 1   N N พสิ ูจน์ เน่ืองจาก X เป็นตวั แปรสุ่มแบบไฮเพอร์จีออเมตริกจากบทนิยาม 3.6.1 n E(X )   x f (x) x0และจากบทนิยาม 4.6.1 f (x)  C Ck N k จะไดว้ า่ x nx N Cn E(X) = n  x f (x) x0 = n C Ck N k x nx x N Cn x1 = n k! CN k nx x x!(k  x)! N Cn x1

บทท่ี 4 การแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุ่มชนิดไม่ต่อเน่ืองบางชนิด 173E(X) = n k(k 1)! CN k x nx x1 x(x 1)!(k  x)! N Cn= k n (x (k 1)! x)! N k Cn  x x1 1)!(k  N Cn= n C k 1 N k Cn  x k x1 x1 N Cnให้ y  x 1 จะได้E(X) = n1 k1 N k k C Cy n1 y CN y0 n= n1 k1 N k k C Cy n1 y y0 N CN 1 n n1= kn C Cn1 k1 N k y n1 y N y0 CN 1 n1= kn C Cn1 k 1 (N 1(k 1)) y n1 y N y0 CN 1 n1= kn n1 เป็ นไฮเพอร์จีออเมตริ ก f (x) N y0ดงั น้นั E(X) = kn (1) = kn NNการหาค่า 2 ก่อนอ่ืนพิจารณาค่า E(X( X 1)) ดงั น้ีE(X( X 1)) = n k Cx N kCnx x0 N Cn x(x 1) = n k! CN k nx x2 (x  2)!(k  x)! N Cn = n (k  2)! CN k nx k(k 1) x2 (x  2)!(k  x)! N Cn = k(k 1) n C Ck 2 N kให้ y  x  2 จะได้ x2 x2 nx N Cn n2 Ck 2 CN kE(X( X 1)) = k(k 1)n(n 1) y n2 y = = N (N 1) y0 CN 2 = n2 k(k 1)n(n 1) n2 เป็ นไฮเพอร์จีออเมตริ ก f (x) N (N 1) y0 k(k 1)n(n 1) (1) N (N 1) k(k 1)n(n 1) N (N 1)

174 ความน่าจะเป็นและสถติ ิเบ้อื งตน้จาก  2 = E(X 2)   2 = E( X( X 1)  X )   2 = E( X( X 1))  E(X )   2= k(k 1)n(n 1)  kn  k 2n2 N(N 1) N N2= nk(N  k)(N  n) N 2 (N 1)=  N n  nk  1  k   N 1   N  N ดงั น้นั จะไดว้ า่  = E(X) = nk N2 = V(X) =  N n  nk  1  k   N 1   N  N ตวั อย่าง 4.14 หยิบไพ่ 5 ใบ จากสารับโดยหยบิ ทีละใบแบบไม่ใส่คืน จงหาความน่าจะเป็นที่1. หยิบไดไ้ พ่สีแดงอยา่ งนอ้ ย 3 ใบ2. หยิบไดไ้ พ่ขา้ วหลามตดั 2 ใบวธิ ีทา 1. หยิบไดไ้ พ่สีแดงอยา่ งนอ้ ย 3 ใบให้ X แทนจานวนไพส่ ีแดงท่ีหยิบได้X = 0, 1, 2, 3, 4, 5 , N = 52 , n = 5 , k = 26 , N  k = 26P( X  3 ) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = + +26C3 26C2 26C4 26C1 26C5 26C0 52C5 52C5 52C5 = 26!   26!    26!   26!    26!   3!23!   2!24!   4!22!   1!25!  5!21! 52! 5!47! = 0.3251 + 0.1496 + 0.0253 = 0.5ดงั น้นั ความน่าจะเป็นที่หยิบไดไ้ พ่สีแดงอยา่ งนอ้ ย 3 ใบ คือ 0.52. หยิบไดไ้ พ่ขา้ วหลามตดั 2 ใบ ให้ X เป็นตวั แปรสุ่มแทนจานวนไพข่ า้ วหลามตดั ที่หยบิ ได้ จะได้ N = 52 , n = 5 , k = 13 , N  k = 39

บทท่ี 4 การแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่องบางชนิด 175 P(X = 2) = 13C2 39C3 52C5  13!  39!  =  2!11! 3!36! 52! 5!47! = 0.2743ดงั น้นั ความน่าจะเป็นท่ีหยิบไดไ้ พ่ขา้ วหลามตดั 2 ใบ คือ 0.27434.5.1 การประมาณค่าการแจกแจงแบบไฮเพอร์จีออเมตริกด้วยการแจกแจงแบบทวนิ ามการทดลองแบบไฮเพอร์จีออเมตริกท่ีมีการสุ่มตวั อย่าง n ที่มีค่านอ้ ยเมื่อเทียบกบั ขนาดของ N น้นั ผลของการทดลองในแต่ละคร้ังไม่มีผลกระทบต่อผลการทดลองในคร้ังต่อๆ ไป นน่ัคือ การสุ่มตวั อย่างแบบใส่คืนกบั การสุ่มตวั อยา่ งแบบไม่ใส่คืนจะไดผ้ ลใกลเ้ คียงกนัถา้ การสุ่มตวั อย่างที่ค่า n  0.05N ให้ p = k และ q = 1  p หรือ 1 k NNค่าความน่าจะเป็ นท่ีได้จากการทดลองแบบไฮเพอร์จีออเมตริกกับค่าความน่าจะเป็ นท่ีไดจ้ ากการทดลองแบบทวนิ ามจะมีค่าใกลเ้ คียงกนั จึงใชก้ ารแจกแจงแบบทวินามประมาณค่าการแจกแจงแบบไฮเพอร์จีออเมตริกไดโ้ ดยให้ p = k และ q = 1  p หรือ 1  k N Nจากทฤษฎีบท 4.6.1  = nk Nเม่ือ k = p ดงั น้นั  = npNและจาก  2 =  N n  nk  1  k   N 1   N  N แต่เม่ือ n นอ้ ย เม่ือเทียบกบั Nจะไดว้ ่า N  n มีค่าใกล้ 1 N 1ดงั น้นั = 2 n k 1  k  N N  = npqตวั อย่าง 4.15 โรงงานผลิตรองเทา้ แห่งหน่ึง สามารถผลิตรองเทา้ ไดว้ นั ละ 1,000 คู่ ซ่ึงในจานวนน้ีจะมีรองเท้าที่ไม่ได้มาตรฐานอยู่ 100 คู่ ถ้าสุ่มรองเท้ามาตรวจสอบคุณภาพจานวน 10 คู่จงหาความน่าจะเป็ นที่จะไดร้ องเทา้ ท่ีผลิตไม่ไดม้ าตรฐาน 4 คู่ และหาค่าเฉล่ียที่ไดร้ องเทา้ ที่ผลิตไมไ่ ดม้ าตรฐาน

176 ความน่าจะเป็นและสถิติเบ้อื งตน้วธิ ีทา ให้ X เป็นจานวนรองเทา้ ที่ผลิตไมไ่ ดม้ าตรฐาน จะไดว้ า่ X เป็นตวั แปรสุ่มแบบไฮเพอร์จีออเมตริก N = 1,000 , n = 10 , k = 100 , N  k = 900 นนั่ คือ X ~ h( 4 ;1000,10,100 ) P(X = 4) = C C100 900 46 C1000 10 แต่เน่ืองจาก 10  0.05(1,000)=50 หรือ n  0.05N ดังน้ันจะ ใช้การ แจกแจงแบบทวิ นามในการ ประ มาณค่ าการแจกแจงแบบ ไฮเพอร์จีออเมตริก ดงั น้ี p = k = 100 = 0.1 N 1000 จะได้ P( X = 4 ) = 10C4(0.1)4(0.9)6 = 0.0112 และ E(X ) = nk N = 10(0.1) =1 ดงั น้นั ความน่าจะเป็นที่จะไดร้ องเทา้ ที่ผลิตไม่ไดม้ าตรฐาน 4 คู่ คือ 0.0112 และค่าเฉลี่ยที่ไดร้ องเทา้ ท่ีผลิตไม่ไดม้ าตรฐาน คือ 1 คู่ตวั อย่าง 4.16 บริษทั เปิ ดใหมแ่ ห่งหน่ึง ประกาศรับสมคั รพนกั งาน มีผสู้ มคั รท้งั สิ้น 130 คน เป็ นชาย 52 คน หญิง 78 คน ถา้ บริษทั มีตาแหน่งบรรจุเพียง 5 ตาแหน่ง จงหา 1. ความน่าจะเป็นท่ีจะไดพ้ นกั งานขายชายมากกวา่ 3 คน 2. ความน่าจะเป็นท่ีไม่ไดพ้ นกั งานขายชายเลย 3. ค่าเฉล่ียของจานวนพนกั งานชายท่ีไดบ้ รรจุวธิ ีทา ให้ X เป็นตวั แปรสุ่ม แทนจานวนพนกั งานชายที่ไดร้ ับการบรรจุ โดยที่ X มีการแจกแจงแบบไฮเพอร์จีออเมตริก เพราะการเลือกพนกั งานไปลงตาแหน่งตอ้ งไมซ่ ้าคนเดิม (สุ่มแบบไมใ่ ส่คืน) โดยที่ N = 130 , n = 5 , k = 52 , N  k = 78 เน่ืองจาก n  0.05N ดงั น้นั จะใชก้ ารแจกแจงแบบทวินามในการหาความน่าจะเป็น

บทท่ี 4 การแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุ่มชนิดไม่ต่อเน่ืองบางชนิด 1771. ความน่าจะเป็นที่จะไดพ้ นกั งานขายชายมากกวา่ 3 คน หรือ P(X  3) P(X  3) = P(X = 4) + P(X = 5) = 5C4 p4q1  5C5 p5q0 โดยท่ี p = k = 52 = 0.4 และ q = 0.6 N 130  P(X  3) = 5C4 0.44 0.61  5C5 0.45 0.60 = 0.0768 + 0.0102 = 0.087 ดงั น้นั ความน่าจะเป็นที่จะไดพ้ นกั งานขายชายมากกวา่ 3 คน คือ 0.0872. ความน่าจะเป็นท่ีไมไ่ ดพ้ นกั งานขายชายเลยหรือ P(X = 0)P(X = 0) = 5C0 (0.4)0 (0.6)5 = (0.6)5 = 0.0778ดงั น้นั ความน่าจะเป็นที่ไมไ่ ดพ้ นกั งานขายเป็นชายเลย คือ 0.07783. ค่าเฉลี่ยของจานวนพนกั งานชายท่ีไดบ้ รรจุหรือ E(X ) E(X ) = np = 5(0.4) =2ดงั น้นั จานวนพนกั งานชายเฉล่ียท่ีไดบ้ รรจุ คือ 2 คน

178 ความน่าจะเป็นและสถติ ิเบ้อื งตน้ แบบฝึ กหัดบทท่ี 41. แกว้ ใบหน่ึงบรรจุสลากท่ีเขียนหมายเลขต้งั แต่ 0 ถึง 9 ถา้ สุ่มหยิบสลากข้ึนมา 1ใบ และให้ Xแทนหมายเลขของสลากท่ีได้ จงหา 1.1 การแจกแจงความน่าจะเป็นของ X 1.2 ค่าเฉลี่ยและส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของ X 1.3 ความน่าจะเป็นท่ีจะหยบิ ไดห้ มายเลขท่ีมากกวา่ 52. ในลงั ส้ม 1 ลงั บรรจุสม้ 100 ลูก ถา้ มีส้มเสียอยู่ 8 ลกู สุ่มหยบิ ส้มมา 1 ลูก จงหา 2.1 ความน่าจะเป็นที่จะหยบิ ไดส้ ม้ ท่ีเสีย 2.2 ค่าเฉล่ียของตวั แปรสุ่ม X 2.3 ความแปรปรวนของตวั แปรสุ่ม X3. จากการสงั เกตการณ์ซอ้ มยิงลูกโทษของนกั เรียนหอ้ งหน่ึง พบวา่ ความน่าจะเป็นในการที่นกั เรียนจะยงิ ลกู โทษแลว้ ทาประตไู ด้ คือ 1 ถา้ สุ่มนกั เรียนกลุ่มน้ีมา 5 คน จงหา 4 3.1 ความน่าจะเป็นที่จะไม่มีใครทาประตูได้ 3.2 ความน่าจะเป็นที่มีนกั เรียนไม่นอ้ ยกวา่ 3 คน สามารถทาประตไู ด้ 3.3 ค่าเฉล่ียและความแปรปรวนของจานวนนกั เรียนที่ทาประตไู ด้4. ในการสอบคัดเลือกเข้าเป็ นพนักงานของมหาวิทยาลัยราชภัฏลาปาง การสอบรอบแรกจะเป็ นการสอบขอ้ เขียนจานวน 10 ขอ้ ถา้ ผสู้ มคั รทาขอ้ สอบขอ้ เขียนผิดเกิน 3 ขอ้ จะไม่มีสิทธ์ิเข้าสอบในรอบสอง จงหาความน่าจะเป็ นท่ีผู้เข้าสอบคัดเลือกจะสอบไม่ผ่านในรอบแรกถา้ กาหนดให้ความน่าจะเป็ นที่ผูเ้ ข้าสอบจะตอบคาถามแต่ละข้อผิดเป็ น 0.4 และหาค่าเฉลี่ยของจานวนขอ้ สอบที่ผเู้ ขา้ สอบทาผดิ5. กลอ่ งใบหน่ึงบรรจุปากกาสีแดง 153 แท่ง ปากกาสีน้าเงิน 187 แท่ง สุ่มหยิบปากกาข้ึนมา 10 แท่งจงหา 5.1 ความน่าจะเป็นท่ีจะไดป้ ากกาสีน้าเงินมากกวา่ 8 แท่ง 5.2 ความน่าจะเป็นที่จะไดป้ ากกาสีน้าเงินนอ้ ยกวา่ 3 แท่ง 5.3 จานวนปากกาสีน้าเงินโดยเฉลี่ยท่ีหยบิ ได้6. อาจารยค์ ณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลยั ราชภฏั ลาปาง จานวน 42 คน เป็นชาย 18 คน หญิง 24 คนถา้ สุ่มเลือกตวั แทนคณาจารยค์ ณะวิทยาศาสตร์ จานวน 2 คน จงหาความน่าจะเป็นที่จะไดอ้ าจารยช์ าย 2 คน

บทท่ี 4 การแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุ่มชนิดไม่ต่อเน่ืองบางชนิด 1797. จากการสารวจจานวนเพล้ียกระโดดเฉลี่ยต่อพ้ืนที่นา 1 ตารางฟุต มีค่า 8 ตวั จงหาความน่าจะเป็ นที่ 7.1 พบเพล้ียกระโดดต้งั แต่ 3 ถึง 5 ตวั 7.2 พบเพล้ียกระโดดนอ้ ยกวา่ 6 ตวั 7.3 พบเพล้ียกระโดดมากกวา่ 15 ตวั8. จากขอ้ มูลของบริษทั รับเหมาก่อสร้างบา้ นแห่งหน่ึง พบว่า จานวนจุดเฉลี่ยท่ีพบร้อยร้าวของซีเมนตใ์ นบา้ นแต่ละหลงั ที่สร้างคือ 5.5 จุด จงหาความน่าจะเป็นท่ี 8.1 พบวา่ บา้ นหลงั ล่าสุดท่ีสร้างจะเกิดร้อยร้าวเกินกวา่ 9 จุด 8.2 พบวา่ บา้ นหลงั ลา่ สุดท่ีสร้างจะเกิดร้อยร้าวไม่เกิน 3 จุด9. โรงงานผลิตแกว้ แห่งหน่ึง พบวา่ เครื่องจกั รจะผลิตแกว้ ท่ีความหนาไม่ไดม้ าตรฐานโดยเฉล่ียจานวน 4 ใบ ต่อการผลิต 800 ใบ ถา้ สุ่มแกว้ ท่ีผลิตมาจานวน 2000 ใบ จงหาความน่าจะเป็นที่จะพบแกว้ ที่มีความหนาไมไ่ ดม้ าตรฐานจานวน 15 ใบ10. ถา้ ความน่าจะเป็นที่คนแต่ละคนจะตาบอดสีเท่ากบั 0.015 จงหาความน่าจะเป็นท่ีจะสุ่มคนมา500 คน แลว้ พบคนท่ีตาบอดสีมากกว่า 3 คน