บทที่ 2 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

บทท่ี 2 ความสัมพนั ธ์และฟังก์ชัน ในระนาบพิกดั ฉากซ่ึงประกอบดว้ ยแกนในแนวนอนเรียกวา่ แกน X และแกนในแนวต้งัเรียกวา่ แกน Y และเรียกตาแหน่งท่ีแกนY และแกน X ตดั กนั วา่ จุดกาเนิด การลงจุด(plot)หรือวาดกราฟของจุดใดจุดหน่ึงบนระนาบพิกดั ฉากน้ีเราตอ้ งระบุค่าสองค่าไดแ้ ก่ค่า x และค่า y เสมอเช่น กาหนดจุด A คือ ( 3 , 1 ) นนั่ คือการกาหนดตาแหน่งของจุด A บนระนาบพิกดั ฉากวา่ อยู่เหนือแกน X เป็นระยะ 1 หน่วย และห่างจากแกน Y ไปทางดา้ นขวามือของแกน Y เป็ นระยะ3 หน่วย เราจะเรียก A( 3 , 1 ) วา่ คูอ่ นั ดบั (ordered pair)2.1 คู่อนั ดับ คูอ่ นั ดบั a และ b เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ ( a , b ) และเรียก a วา่ สมาชิกตวั หนา้ ของคู่อนั ดบั เรียก b วา่ สมาชิกตวั หลงั ของคู่อนั ดบั ถา้ กาหนดคู่อนั ดบั B( 2 , -2 ) และ C ( -2 , 2 ) ข้ึนมาจะไดว้ า่ คู่อนั ดบั B มี 2 เป็ นสมาชิกตวั หนา้ มี -2 เป็ นสมาชิกตวั หลงั และคู่อนั ดบั C มี -2 เป็ นสมาชิกตวั หนา้ มี 2 เป็ นสมาชิกตวั หลงัคูอ่ นั ดบั B และ C จึงเป็นคูค่ นละคู่อนั ดบั กนั ดงั น้นั สาหรับคู่อนั ดบั แลว้ เราคานึงถึงลาดบั ก่อนหลงัของสมาชิกในคูอ่ นั ดบั เป็นสาคญับทนิยาม 2.1 ถา้ ( a , b ) และ ( c , d ) เป็ นสองคู่อนั ดบั ใดๆ แลว้ ( a , b )  ( c , d ) กต็ ่อเมื่อ a  c และ b  dตัวอย่าง 2.1 กาหนดให้ ( x , y )  ( 5 , -2 ) จงหาค่าของ x และ yวธิ ีทา เนื่องจาก ( x , y )  ( 5 , -2 ) กต็ ่อเมื่อ สมาชิกตวั หนา้ มีคา่ เทา่ กนั และสมาชิก ตวั หลงั มีค่าเท่ากนั ดงั น้นั จะไดว้ า่ x  5 และ y   2ตวั อย่าง 2.2 กาหนดให้ ( x  y , x  y )  ( 2 , 1 ) จงหาค่าของ x และ yวธิ ีทา จาก ( x  y , x  y )  ( 2 , 1 ) จะไดว้ า่ x  y  2 . . . . . . . . . .(1)

34 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์ และ x  y  1 . . . . . . . . . . ( 2 ) (1)  ( 2 ) จะได้ 2x  3 x  3 2 นาค่า x ไปแทนใน ( 1 ) จะได้ 3y  2 2 3 y  2  2 1 2 3, 1 ดงั น้นั จะไดว้ า่ x  2 y  22.2 ผลคูณคาร์ทเี ซียน กาหนดให้ A  { 1 , 2 } , B  {  1 ,  2 } และ C  { (1 , 1) , (1 ,  2) , (2 , 1) , (2 ,  2) } จะเห็นวา่ C เป็นเซตของคู่อนั ดบั ซ่ึงสมาชิกตวั หนา้ มาจากเซต A และสมาชิกตวั หลงั ของคู่อนั ดบั มาจากเซต B เราจะเรียกเซต C วา่ เป็ นผลคูณคาร์ทีเซียนของ A และ B ดงั บทนิยามตอ่ ไปน้ีบทนิยาม 2.2 ผลคูณคาร์ทีเซียน(cartesian product)ของเซต A และเซต B คือเซตของคู่อนั ดบั ท้งั หมดท่ีมีสมาชิกตวั หนา้ ของคู่อนั ดบั เป็ นสมาชิกของ A และสมาชิกตวั หลงั ของคู่ อนั ดบั เป็นสมาชิกของ B เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ A  B นนั่ คือ A  B  { (a , b ) | a  A และ b  B }ตัวอย่าง 2.3 กาหนดให้ A  { 1 , 2 } , B  { x , y , z } และ C  { 0 , 10 } จงหา 1) A  B 2) B  A 3) A  C 4) C  A

บทท่ี 2 ความสมั พนั ธ์และฟังกช์ นั 35 5) B  C 6) C  B 7) B  B 8) C  C 9) A  Aวธิ ีทา 1) A  B  { (a , b ) | a  A และ b  B }  { (1 , x) , (1 , y) , (1 , z) , (2 , x) , (2 , y) , (2 , z) } 2) B  A  { (a , b ) | a  B และ b  A }  { (x ,1) , (x , 2) , (y ,1) , (y , 2) , (z ,1) , (z , 2) } 3) A  C  { (a , b ) | a  A และ b  C }  { (1 , 0) , (1 , 10) , (2 , 0) , (2 , 10) } 4) C  A  { ( a , b ) | a  C และ b  A }  { (0 , 1) , (0 , 2) , (10 , 1) , (10 , 2) } 5) B  C  { (a , b ) | a  B และ b  C }  { (x , 0) , (x , 10) , ( y , 0) , ( y , 10) , (z , 0) , (z , 10) } 6) C  B  { (a , b ) | a  C และ b  B }  { (0 , x ) , (0 , y ) , (0 , z) , (10 , x ) , (10 , y ) , (10 , z) } 7) B  B  { ( a , b ) | a  B และ b  B }  { (x , x ) , (x , y ) , ( y , z ) , ( y , x ) , ( y , y ) , ( y , z ), (z ,x), (z , y), (z ,z)} 8) C  C  { (a , b ) | a  C และ b  C }  { (0 , 0) , (0 , 10) , (10 , 0) , (10 , 10) } 9) A  A  { (a , b ) | a  A และ b  A }  { (1 ,1) , (1 , 2) , (2 ,1) , (2 , 2) } การหาผลคูณคาร์ทีเซียนอาจใชแ้ ผนภาพตน้ ไม(้ tree diagram)ช่วย ดงั เช่นตวั อยา่ ง 2.3 ถา้ จะหา A  B และ B  A โดยใชแ้ ผนภาพตน้ ไมจ้ ะไดด้ งั น้ี

36 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์การหา A  B x (1,x) 1 y (1,y) z (1,z) x (2,x) 2 y (2,y) z (2,z)การหา B  A 1 (x,1) x 2 (x,2) 1 (y,1) y 2 (y,2) 1 (z,1) z 2 (z,2) ซ่ึงจากตัวอย่างจะเห็นว่า A  B  B  A และ A  C  C  A แต่จานวนสมาชิกของ A  B ซ่ึงเขียนแทนดว้ ย n ( A  B ) จะเท่ากบั จานวนสมาชิกของ B  A หรือn(B  A) การหาสมาชิกของ A  B หรือหา n ( A  B ) ถา้ A และ B เป็ นเซตจากดั และ A มีสมาชิก m ตวั B มีสมาชิก k ตวั แลว้ จานวนสมาชิกของ A  B จะเท่ากบั ผลคูณของจานวนสมาชิกของเซต A กบั จานวนสมาชิกของเซต B นนั่ คือ n(AB)  n(A)n(B)  mk  mk n(BA)  n(B)n(A)  km  mk

บทท่ี 2 ความสมั พนั ธ์และฟังกช์ นั 37 n(AA)  n(A)n(A)  mm  m2ตัวอย่าง 2.4 จากตวั อยา่ ง 2.3 จงหา 1) 2) n(A  B) 3) n(B  A) 4) n(A  C) 5) n(C  A) 6) n(B  C) 7) n(C  B) 8) n(B  B) 9) n(C  C) n(A  A)วธิ ีทา n(A)  2 , n(B)  3 , n(C)  2 1) n(A  B)  n(A)  n(B)  6 2) n(B  A)  n(B)  n(A)  6 3) n(A  C)  n(A)  n(C)  4 4) n(C  A)  n(C)  n(A)  4 5) n(B  C)  n(B)  n(C)  6 6) n(C  B)  n(C)  n(A)  6 7) n(B  B)  n(B)  n(B)  9 8) n(C  C)  n(C)  n(C)  4 9) n(A  A)  n(A)  n(A)  4ตวั อย่าง 2.5 ให้ A  { a , b , c } , B  { 1 , 2 } , C   จงหา 1) 2) AB BA

38 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ 3) BC 4) AC 5) n(A  B) 6) n(B  A) 7) n(B  C) 8) n(A  C)วธิ ีทา 1) A  B  { (a ,1) , (a , 2) , (b ,1) , (b , 2) , (c ,1) , (c , 2) } 2) A  B  { (1 , a) , (1 , b) , (1 , c) , (2 , a) , (2 , b) , (2 , c) } 3) BC   4) AC   5) n(A  B)  n(A)  n(B)  6 6) n(B  A)  n(B)  n(A)  6 7) n(B  C)  n(B)  n(C)  0 8) n(A  C)  n(A)  n(C)  02.3 ความสัมพนั ธ์ ในชีวิตประจาวนั เรามกั พบกบั ขอ้ ความที่แสดงความเก่ียวขอ้ งสัมพนั ธ์กนั ระหว่างส่ิง 2 ส่ิงเสมอ เช่น ดาเป็นพอ่ ของแดง สมชายเป็ นสามีของสมจิตร 5 มากกวา่ 3 วชิ ิตสูงกวา่ วชิ ยั จากประโยคตวั อยา่ งขา้ งตน้ ขอ้ ความ “ เป็ นพ่อของ ” “ เป็ นสามีของ ” “ มากกวา่ ”“ สูงกวา่ ” เป็ นขอ้ ความท่ีทาใหเ้ กิดความสัมพนั ธ์ของของสองสิ่งภายใตเ้ ง่ือนไขหรือกฏเกณฑ์อยา่ งใดอยา่ งหน่ึง ซ่ึงของสองสิ่งน้ีสามารถเขียนใหอ้ ยใู่ นรูปของคูอ่ นั ดบั ไดเ้ สมอบทนิยาม 2.3 สาหรับ A และ B ซ่ึงเป็ นเซตสองเซตใดๆ เราจะเรียก r วา่ เป็ นความสัมพนั ธ์ จาก A ไป B ( relation from A to B ) ก็ตอ่ เม่ือ r เป็นเซตยอ่ ยของ A  B

บทที่ 2 ความสมั พนั ธแ์ ละฟังกช์ นั 39ตัวอย่าง 2.6 ให้ A  { 1 , 2 , 3 } , B  { 1 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } และ r1  { (1 , 1) , (1 , 6) , (3 , 8) } r2  { (1 , 1) , ( 2 , 1) , (3 , 1) } r3  { ( 2 , 4 ) , ( 2 , 6) , ( 2 , 8) } r4  { ( 4 , 2 ) , ( 2 , 4 ) } r5  { (1 , 1) , (1 , 2 ) , (1 , 3) } จะเห็นวา่ r1 , r2 , r3 เป็นความสัมพนั ธ์จาก A ไป Bแต่ r4 , r5 ไมใ่ ช่ความสัมพนั ธ์จาก A ไป Bและ r5 เป็นความสัมพนั ธ์จาก B ไป Aตวั อย่าง 2.7 กาหนดให้ A  { 1 , 2 , 3 } และ B  { 2 , 4 , 6 , 8 } จงหาความสมั พนั ธ์จาก A ไป B ตอ่ ไปน้ี 1) ความสมั พนั ธ์ “ เทา่ กนั ” 2) ความสัมพนั ธ์ “ มากกวา่ ” 3) ความสมั พนั ธ์ “ นอ้ ยกวา่ ” 4) ความสมั พนั ธ์ “ หารลงตวั ” 5) ความสมั พนั ธ์ “ เป็นรากที่ 2 ”วธิ ีทา 1) ให้ r1 แทนความสัมพนั ธ์ “ เท่ากนั ” จาก A ไป B จะได้ r1  { ( 2 , 2 ) } 2) ให้ r2 แทนความสัมพนั ธ์ “ มากกวา่ ” จาก A ไป B จะได้ r2  { (3 , 2 ) } 3) ให้ r3 แทนความสัมพนั ธ์ “ นอ้ ยกวา่ ” จาก A ไป B จะได้ r3  { (1 , 2 ) , (1 , 4 ) , (1 , 6) , (1 , 8) , ( 2 , 4 ) , ( 2 , 6) , ( 2 , 8), (3 , 4) , (3 , 6) , (3 ,8)} 4) ให้ r4 แทนความสัมพนั ธ์ “ หารลงตวั ” จาก A ไป B จะได้ r4  { (1 , 2 ) , (1 , 4 ) , (1 , 6) , (1 , 8) , ( 2 , 2 ) , ( 2 , 4 ) , ( 2 , 6), (2 ,8) , (3 , 6)}

40 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ 5) ให้ r5 แทนความสมั พนั ธ์ “ เป็นรากที่ 2 ” จาก A ไป B จะได้ r5  { ( 2 , 4 ) }บทนิยาม 2.4 ถา้ r เป็นเซตยอ่ ยของ A  A แลว้ จะเรียก r วา่ เป็นความสมั พนั ธ์ใน Aตวั อย่าง 2.8 ให้ A  { 2 , 3 , 4 } จงเขียนเซตของความสัมพนั ธ์ใน A เมื่อกาหนดวธิ ีทา 1) r1 แทนความสมั พนั ธ์ “ มากกวา่ ” 2) r2 แทนความสมั พนั ธ์ “ นอ้ ยกวา่ ” 3) r3 แทนความสัมพนั ธ์ “ เป็นรากท่ีสอง ” 4) r4 แทนความสมั พนั ธ์ “ หารลงตวั ” 1) r1  { (3, 2 ) , ( 4 , 3) , ( 4 , 2 ) } 2) r2  { ( 2, 3) , ( 2, 4 ) , (3, 4 ) } 3) r3  { ( 2 , 4 ) } 4) r4  { (2,2), (3,3), (4,4), ( 2, 4 ) }2.4 โดเมนและเรนจ์ของความสัมพนั ธ์ กาหนดความสัมพนั ธ์ r  { (1, 2 ) , (  1, 3) , (0 ,  2 ),(5,3) } จะไดว้ ่า {1,  1,0 , 5 }คือเซตของสมาชิกตวั หนา้ ของคู่อนั ดบั ในความสัมพนั ธ์ r และ { 2 , 3 ,  2 ,  3 } ก็คือเซตของสมาชิกตวั หลงั ของคู่อนั ดบั ในความสัมพนั ธ์ r เราจะเรียกเซตของสมาชิกตวั หนา้ ของคู่อนั ดบั ใน rน้ีวา่ โดเมนของความสมั พนั ธ์ r และเรียกเซตของสมาชิกตวั หลงั ของคู่อนั ดบั ในความสัมพนั ธ์ rวา่ เรนจข์ องความสัมพนั ธ์ rบทนิยาม 2.5 ให้ r เป็นความสัมพนั ธ์จาก A ไป B โดเมน(domain) ของความสัมพนั ธ์ r เขียน แทนด้วย D r คือเซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน r และเรนจ์(range) ของความสัมพนั ธ์ r เขียนแทนดว้ ย R r คือเซตของสมาชิกตวั หลงั ของคู่อนั ดบั ใน r นนั่ คือ Dr  { x |(x , y)r } และ R r  { y | ( x , y )  r }

บทท่ี 2 ความสมั พนั ธแ์ ละฟังกช์ นั 41ตวั อย่าง 2.9 ให้ r  { (1, 3) , ( 2 , 6 ) , (3, 5) , ( 4 ,  2 ) } จงหาโดเมนและเรนจข์ อง rวธิ ีทา Dr  { 1 , 2 , 3 , 4 } และ Rr  {3, 6, 5, 2}ตัวอย่าง 2.10 ให้ A  { x | x  I ,  10  x  10 } และr  { ( x , y ) | ( x , y )  AA และ y  x2 }จงหาโดเมนและเรนจข์ อง rวธิ ีทา เนื่องจาก r  { ( x , y ) | ( x , y )  AA และ y  x 2 }ดงั น้นั r  { (  3 , 9 ) , (  2 , 4 ) , (  1 , 1) , (0 , 0 ) , (1 , 1) , ( 2 , 4 ) , (3 , 9 ) }ทาใหไ้ ดว้ า่ Dr  { 3, 2 , 1, 0 , 1, 2 , 3}และ Rr  {9, 4 , 1, 0} ในกรณีท่ีความสัมพนั ธ์ r เขียนอยูใ่ นรูปบอกเงื่อนไข เราสามารถหาโดเมนและเรนจข์ องความสมั พนั ธ์ r ไดด้ งั น้ี ถา้ ตอ้ งการหาโดเมนของ r ใหเ้ ขียน y ให้อยใู่ นรูปตวั แปร x จากน้นั หาค่า x ท้งั หมดท่ีทาใหห้ าคา่ y ไดโ้ ดยที่ ( x , y )  r ถา้ ตอ้ งการหาเรนจข์ อง r ให้เขียน x ให้อยใู่ นรูปตวั แปร y และหาค่า y ท้งั หมดท่ีทาให้หาค่า x ไดโ้ ดยท่ี ( x , y )  rตวั อย่าง 2.11 กาหนดให้ r  { ( x , y ) | ( x , y )  I  I และ y  2x  1 } จงหาโดเมนและเรนจข์ อง rวธิ ีทา จาก r  { ( x , y ) | ( x , y )  I  I และ y  2x  1 } ก ) หาโดเมนของ r จาก y  2x  1 จะเห็นวา่ x เป็นจานวนเตม็ ใดๆกส็ ามารถหาค่า y ท่ีเป็นจานวนเตม็ ได้ ดงั น้นั D r  I

42 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ ข) หาเรนจข์ อง r จดั รูป y  2x  1 ใหเ้ ป็ น x  y 1 2 จะเห็นวา่ คา่ y ที่ทาให้ x เป็นจานวนเตม็ ได้ y จะตอ้ งเป็นจานวนเตม็ ค่ีเสมอ ดงั น้นั R r  { y | y เป็นจานวนเตม็ คี่ }ตัวอย่าง 2.12 ให้ r  { (x, y) | y  1 } จงหาโดเมนและเรนจข์ องความสมั พนั ธ์ r x5วธิ ีทา จาก r  { (x, y) | y 1} x5 ก) หาโดเมนของ r จาก y  1 x5 จะไดว้ า่ y จะหาค่าได้ เมื่อ x เป็นจานวนจริงทุกค่ายกเวน้ -5 เน่ืองจากจะทาให้ y  1 ซ่ึงหาคา่ ไม่ได้ 0 ดงั น้นั Dr  { x | x   5 } ข) หาเรนจข์ อง r จาก y 1 เปลี่ยนใหอ้ ยใู่ นรูป x 1 5 x5 y จะไดว้ า่ y ตอ้ งไม่เท่ากบั 0 ทาใหไ้ ดว้ า่ R r  { y | y  0 }หมายเหตุ Dr  { x | x   5 } มีความหมายเหมือนกบั Dr  { x | x  R และ x   5 } ซ่ึงโดยปกติการไมไ่ ดร้ ะบุวา่ x เป็น สมาชิกของเซตไหนใหเ้ ขา้ ใจวา่ x เป็นสมาชิกของจานวนจริง ยกเวน้ ถา้ x เป็น สมาชิกในเซตอ่ืนๆ ตอ้ งระบุเช่น x  I , x  I , x  R  เป็ นตน้

บทที่ 2 ความสมั พนั ธแ์ ละฟังกช์ นั 43ตวั อย่าง 2.13 ให้ r  { ( x , y ) | y  x 2  9 } จงหาโดเมนและเรนจข์ อง rวธิ ีทา จาก r  { ( x , y ) | y  x 2  9 } ก) หาโดเมนของ r จาก y  x 2  9 เน่ืองจาก y จะหาคา่ ไดเ้ มื่อ x2  9  0 ทาใหไ้ ดว้ า่ x2  9 นน่ั คือ x  3 หรือ x   3 ดงั น้นั Dr  { x | x  3 หรือ x   3 }ข) หาเรนจข์ อง r จาก y  x 2  9 จะไดว้ า่ y2  x2  9 ทาให้ x2  y2  9 ดงั น้นั x  y 2  9 แสดงวา่ x จะหาคา่ ไดเ้ ม่ือ y2  9  0 เน่ืองจาก y2  0 ทุกค่าของ y ดงั น้นั y เป็นจานวนจริงทุกจานวน ทาใหไ้ ดว้ า่ R r  { y | y  R }2.5 ตวั ผกผนั ของความสัมพนั ธ์ กาหนดให้ r  { (1 , a ) , ( 2 , b ) , (3 , c ) , ( 4 , d ) } และ f  { (a ,1) , (b , 2) , (c , 3) , (d , 4) } จะเห็นวา่ สมาชิกของ f หรือคูอ่ นั ดบั แตล่ ะคู่อนั ดบั ของ f เกิดจากการสลบั ท่ีระหวา่ งสมาชิกตวั หนา้ กบั สมาชิกตวั หลงั ของคู่อนั ดบั ใน r เราจะเรียก f วา่ เป็นตวั ผกผนั ของความสัมพนั ธ์ r

44 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์บทนิยาม 2.6 ให้ r เป็นความสัมพนั ธ์จาก A ไป B แลว้ ตวั ผกผนั (inveres )ของ r เขียนแทนดว้ ย r1 โดยที่ r1  { ( y , x ) | ( x , y )  r }ตัวอย่าง 2.14 กาหนดความสัมพนั ธ์ r เป็นความสมั พนั ธ์จาก A ไป B ดงั แผนภาพ Ar B a4 b6 c8 จงหาตวั ผกผนั ของความสัมพนั ธ์ r พร้อมท้งั เขียนแผนภาพวธิ ีทา จากแผนภาพจะไดว้ า่ r  { (a , 4) , (b , 6) , (b ,8) , (c ,8) } ดงั น้นั r1  { ( 4 , a ) , (6 , b ) , (8 , b ) , (8 , c ) } ซ่ึงแสดงไดโ้ ดยแผนภาพต่อไปน้ี _A _B a_ r_-_1 4_ b_ _6 c_ _8จากตวั อยา่ งท่ี 2.14 จะไดว้ า่ถา้ r เป็นความสัมพนั ธ์จาก A ไป B แลว้ 1) r1 จะเป็นความสมั พนั ธ์จาก B ไป A 2) D r1  R r 3) R r1  D r

บทท่ี 2 ความสมั พนั ธ์และฟังกช์ นั 45 การหา r1 เม่ือ r เขียนอยใู่ นรูปแบบบอกเง่ือนไขคือr  { ( x , y ) | ( x , y ) A  B และ y  g( x ) } โดยที่ g(x) เป็ นฟังก์ชันของตัวแปร xสามารถหา r1 ได้ 2 วธิ ี คือวธิ ีท่ี 1 เขียนในรูปคู่อนั ดบั ( x , y ) เหมือนเดิม แต่เปล่ียน y  g ( x ) เป็น x  g ( y )วธิ ีที่ 2 เขียนในรูปคู่อนั ดบั ( y , x ) แต่ y  g ( x ) เขียนเหมือนเดิมตัวอย่าง 2.15 ให้ r  { ( x , y ) | ( x , y )  R  R  และ y  2x  1 } จงหา r 1วธิ ีทาวธิ ีที่ 1 จาก y  2x  1 เปล่ียนเป็น x  2y  1 ซ่ึงอาจจดั รูปใหม่ไดเ้ ป็ น 2y  x  1 x 1 y 2 ดงั น้นั r1  { ( x , y ) | ( x , y )  R   R และ x  2y  1 } หรือ r1  { ( x , y ) | ( x , y )  R   R และ y  x  1 } 2วธิ ีที่ 2 สลบั คูอ่ นั ดบั ( x , y ) เป็ น ( y , x ) ดงั น้นั r1  { ( y , x ) | ( y , x )  R  R และ y  2x  1 }2.6 กราฟของความสัมพนั ธ์ เน่ืองจากความสัมพนั ธ์คือเซตของคู่อนั ดบั ดงั น้นั กราฟของความสัมพนั ธ์ก็คือกราฟของคู่อนั ดบั นนั่ เองบทนิยาม 2.7 ให้ R แทนเซตของจานวนจริง ถ้า r เป็ นความสัมพนั ธ์ในเซต Rแลว้ กราฟของ ความสมั พนั ธ์ r คือ เซตของจุดในระนาบซ่ึงแทนแต่ละคู่อนั ดบั ใน r จากบทนิยาม 2.8 คู่อนั ดบั ( x , y ) ของความสัมพนั ธ์ r สามารถจบั คู่แบบหน่ึงต่อหน่ึงกบัจุดในระนาบพิกดั ฉาก เม่ือ x แทนพิกดั แรกและ y แทนพิกดั หลงั

46 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ตัวอย่าง 2.16 จงเขียนกราฟของความสมั พนั ธ์r  { (2 ,1) , (3 , 5) , (4 , 0) , (2 , 3) ,( 2 ,1) , (0 ,  2) }วธิ ีทาตัวอย่าง 2.17 จงเขียนกราฟของความสัมพนั ธ์ r เม่ือ 1 2 1 2 r  { (x , y ) | (x , y )  I I และ y  x }วธิ ีทา หาคูอ่ นั ดบั บางคู่อนั ดบั ท่ีเป็ นสมาชิกในความสัมพนั ธ์ r ดงั น้ี x -2 -1 0 y -2 -1 0กราฟของ r จะเป็นจุดไมต่ ่อเน่ืองแต่จะเรียงตวั ในแนวเส้นตรงทามุม 45 กบั แกน X

บทท่ี 2 ความสมั พนั ธ์และฟังกช์ นั 47ตวั อย่าง2.18 จงเขียนกราฟของความสัมพนั ธ์ r เมื่อวธิ ีทา r  { (x , y ) |(x , y )  R  R และ y  x 1 } กาหนดคา่ ( x , y ) บางคา่ ดงั น้ี x -3 -2 -1 0 1 2 3 y -4 -3 -2 -1 0 1 2 เนื่องจาก ( x , y )  R  R ดงั น้นั ทุกคูอ่ นั ดบั ที่อยแู่ นวเส้นตรงเดียวกนั กบั คู่อนั ดบั ( x , y )ที่ไดก้ าหนดไวก้ ็คือสมาชิกของ r กราฟของ r จึงเป็นเส้นตรง ดงั รูปตัวอย่าง 2.19 จงเขียนกราฟของความสัมพนั ธ์ r เม่ือ 1) r  { ( x , y ) | ( x , y )  R  R และ 2  x  5 } 2) r  { ( x , y ) |( x , y )  R  R และ  3  y  2 } 3) r  { ( x , y ) | ( x , y )  R  R และ y  | x | }วธิ ีทา ในกรณีที่เคร่ืองหมายของความสัมพนั ธ์ r เป็ นอสมการ ให้เขียนกราฟของสมการก่อนแลว้พิจารณาจุด ( x , y ) ท่ีอยู่เหนือหรือใตเ้ ส้นของสมการที่ได้ว่าเป็ นสมาชิกของ r หรือไม่ แล้วให้แรเงาทุกส่วนท่ีเป็นสมาชิกของ r ดงั น้นั จะไดก้ ราฟของ r ในแตล่ ะขอ้ ดงั น้ี

48 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์1) r  { ( x , y ) | ( x , y )  R  R และ 2  x  5 } จะไดแ้ นวเส้นตรงของสมการ 2 เส้นคือ x  2 และเส้นตรง x  5แต่เนื่องจากเครื่องหมายของอสมการเป็ น x  2 ดงั น้นั ท่ี x  2 จึงเป็นเส้นทึบ และเน่ืองจากเคร่ืองหมายของอสมการอีกอสมการคือ x  5 ดังน้ันที่ x  5 จึงเป็ นเส้นประ คือไม่รวมx  5 ดว้ ย จากน้นั ใหแ้ รเงาในพ้นื ที่ระหวา่ งเส้นท้งั 2 ก็จะไดก้ ราฟของ r ดงั รูป Y__O _2 5_ _X2) จาก r  { ( x , y ) |( x , y )  R  R และ  3  y  2 } จะไดแ้ นวเส้นตรง 2 เส้นคือ y   3 และ y  2และท่ี y   3 และ y  2 จะไดแ้ นวเส้นประคือไม่รวมคา่ y   3 และ y  2เมื่อแรเงาพ้นื ที่บริเวณระหวา่ ง 3  y  2 กจ็ ะไดก้ ราฟของ r ดงั รูป

บทท่ี 2 ความสมั พนั ธ์และฟังกช์ นั 493) r  { ( x , y ) | ( x , y )  R  R และ y  | x | }จะไดแ้ นวเส้นตรงทึบ 2 เส้นคือ y   x เม่ือ x  0 และ y  x เม่ือ x  0จากน้นั แรเงาพ้ืนที่ ที่ y  | x | จะไดก้ ราฟของ r ดงั รูปตัวอย่าง 2.30 ให้ r  { ( 2 , 5) , (  3 , 1) , ( 2 ,  2 ) , ( 4 , 0 ) } จงเขียนกราฟของ r 1วธิ ๊ทา จาก r1  { ( y , x ) | ( x , y )  r } จะได้ r1  { (5 , 2 ) , (1 ,  3) , (  2 , 2 ) , (0 , 4 ) } ถา้ เขียนกราฟของ r และ r1 ลงในระนาบพกิ ดั ฉากเดียวกนั จะไดด้ งั รูป

50 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ จากรูปจะเห็นวา่ คูอ่ นั ดบั ( x , y ) ใน r และ ( y , x ) ใน r1 เมื่อลงจุดในระนาบพิกดั ฉากเดียวกนั จะเป็นจุดท่ีอยตู่ รงขา้ มกนั ถา้ ใหแ้ กน x  y เป็นแกนสมมาตร2.7 ความสัมพนั ธ์สมมูล เราจะเรียกความสัมพนั ธ์ r วา่ เป็ นความสัมพนั ธ์สมมูลเม่ือ r มีสมบตั ิสะทอ้ น สมมาตรและถ่ายทอด ดงั บทนิยามตอ่ ไปน้ีบทนิยาม 2.8 ให้ r เป็นความสัมพนั ธ์ใน A จะเรียก r วา่ เป็นความสัมพนั ธ์สมมูล(equivalence relation) กต็ อ่ เมื่อ r มีสมบตั ิ 3 ขอ้ ต่อไปน้ี 1. มีสมบตั ิสะทอ้ น(reflecive property) ทุก a  A จะมี ( a , a )  r 2. มีสมบตั ิสมมาตร(symmetric property) ถา้ ( a , b )  r แลว้ ( b , a )  r ทุก a , b , c  A 3. มีสมบตั ิถ่ายทอด(transitive property) ถา้ ( a , b )  r และ ( b , c )  r แลว้ ( a , c )  r ทุก a , b , c  Aตัวอย่าง 2.21 ให้ A  { 1 , 2 , 3 } r1  { (1 , 1) , ( 2 , 2 ) , (3 , 3) } r2  { (1 , 1) , (1 , 2 ) , (1 , 3) } r3  { (1 , 1) , (1 , 2 ) , ( 2 , 2 ) , (3 , 3) } r4  { (1 , 1) , ( 2 , 2 ) , ( 2 , 3) , (3 , 2 ) } r5  { (1 , 1) , (1 , 2 ) , ( 2 , 3) , (1 , 3) , ( 2 , 2 ) , (3 , 2 ) , ( 2 , 1) , (3 , 3) , (3 , 1) } ความสัมพนั ธ์ใดเป็นความสัมพนั ธ์สมมูลวธิ ีทา r1 มีสมบตั ิสะทอ้ น สมมาตร และถ่ายทอด ดงั น้นั r1 จึงเป็นความสมั พนั ธ์สมมูล r2 มีสมบตั ิถ่ายทอด แต่ไมม่ ีสมบตั ิสมมาตรและสะทอ้ น เนื่องจาก (1 , 2 ) r2 แต่ ( 2 , 1) r2 r2 จึงไมม่ ีสมบตั ิสมมาตร หรือ 2 A แต่ (2,2) r2 r2 จึงไมม่ ีสมบตั ิสะทอ้ น ดงั น้นั r2 จึงไม่เป็นความสัมพนั ธ์สมมูล

บทที่ 2 ความสมั พนั ธ์และฟังกช์ นั 51 r3 ไมม่ ีสมบตั ิสมมาตร เนื่องจาก (1 , 2 )r3 แต่ (2,1)r3 ดงั น้นั r3 จึงไม่ใช่ความสมั พนั ธ์สมมูล r4 ไมม่ ีสมบตั ิสะทอ้ น เน่ืองจาก 3A แต่ (3,3) r4 ดงั น้นั r4 จึงไมใ่ ช่ความสัมพนั ธ์สมมูล r5 มีสมบตั ิสมมาตร สะทอ้ นและถ่ายทอดจึงเป็นความสัมพนั ธ์สมมูล2.8 ฟังก์ชัน พจิ ารณาความสมั พนั ธ์จาก A ไป B ต่อไปน้ี r1  { (1 , 2 ) , (3 , 4 ) , (5 , 6) } r2  { (1 , 1) , (1 , 2 ) , ( 2 , 3) } r3  { (1 , 1) , ( 2 , 1) , (3 , 1) } ถา้ แสดงแผนภาพการจบั คูก่ นั ของคู่อนั ดบั ใน r1 , r2 และ r3 จะไดด้ งั แผนภาพต่อไปน้ี AB r1 12 34 56AB1 r2 1 223

52 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์ A r3 B 1 21 3 จากแผนภาพจะเห็นไดว้ า่ การจบั คู่กนั ของสมาชิกตวั หน้าและสมาชิกตวั หลงั ของคู่อนั ดบั ในr1 , r2 และ r3 แตกต่างกนั โดยที่ r1 เป็นการจบั คูข่ องสมาชิกตวั หนา้ 1 ตวั กบั สมาชิกตวั หลงั 1 ตวั จะเห็นวา่ จะมีเส้นที่ลากจากสมาชิกตวั หนา้ แตล่ ะตวั ไปยงั สมาชิกตวั หลงั เพียงเส้นเดียว r2 น้นั จะมีสมาชิกตวั หนา้ บางตวั ไดแ้ ก่ 1 ท่ีจบั คู่กบั สมาชิกตวั หลงั มากกวา่ หน่ึงตวั คือ 1 และ2 จึงทาใหม้ ีเส้นท่ีลากจาก 1 ซ่ึงเป็นสมาชิกตวั หนา้ ไปยงั สมาชิกตวั หลงั ถึง 2 ตวั คือ 1 และ 2 r3 น้นั ถึงแมว้ า่ สมาชิกตวั หนา้ แต่ละตวั จะจบั คู่กบั สมาชิกตวั หลงั ตวั เดียวกนั แต่ถา้ พิจารณาเส้นท่ีลากจากสมาชิกตวั หนา้ จะพบวา่ มีเส้นท่ีลากจากสมาชิกตวั หนา้ แต่ละตวั เพียงเส้นเดียวเท่าน้นั เราจะเรียกความสัมพนั ธ์ที่สมาชิกตวั หนา้ ของแตล่ ะคูอ่ นั ดบั ไม่ซ้ากนั หรือมีเส้นท่ีลากออกจากสมาชิกตวั หนา้ แตล่ ะตวั เพยี งเส้นเดียววา่ ฟังกช์ นับทนิยาม 2.9 ฟังกช์ นั f จากเซต A ไปเซต B เขียนแทนดว้ ย f : A  B กค็ ือความสมั พนั ธ์จาก A ไป B โดยท่ี 1) Df  A และ 2) ถา้ ( x , y )  f และ ( x , z )  f แลว้ y  z การพิจารณาว่าความสัมพนั ธ์ f จะเป็ นความสัมพนั ธ์ท่ีเป็ นฟังก์ชนั หรือไม่อาจพิจารณาได้จากวธิ ีการต่อไปน้ี 1) พิจารณาจากคู่อนั ดบั ของ f ถา้ ไม่มีสมาชิกตวั หน้าซ้ากนั เลยหรือถา้ สมาชิกตวั หน้า ซ้ากนั สมาชิกตวั หลงั ตอ้ งเหมือนกนั ดว้ ยจะไดว้ า่ f เป็นฟังกช์ นั

บทที่ 2 ความสมั พนั ธ์และฟังกช์ นั 532) พิจารณาจากแผนภาพแสดงการจบั คู่กนั ของสมาชิกตวั หนา้ กบั สมาชิกตวั หลงั ของคู่ อนั ดบั ใน f ถา้ สมาชิกตวั หนา้ แต่ละตวั มีเส้นที่ลากออกจากมนั แค่ตวั ละ 1 เส้น f จะเป็นฟังกช์ นั3) พจิ ารณาจากกราฟของ f โดยการเขียนกราฟของ f จากน้นั ให้ลากเส้นตรงท่ีขนาน กบั แกน Y และใหต้ ดั กบั กราฟของ f ถา้ เส้นตรงที่ลากข้ึนมาตดั กบั กราฟของ f เพียง 1 จุด f จะเป็นฟังกช์ นั4) พิจารณาโดยการแทนค่า ในกรณีที่ f เขียนอยใู่ นรูปบอกเงื่อนไขของสมาชิก เช่น ถา้ กาหนดให้ x เป็นสมาชิกตวั หนา้ y เป็นสมาชิกตวั หลงั ใหแ้ ทนค่า x เพื่อหาค่า y ถา้ ทุกๆ x หน่ึงค่าจะได้ y เพียง 1 ค่าแสดงวา่ f เป็นฟังกช์ นัตัวอย่าง 2.21 ความสัมพนั ธ์ใดตอ่ ไปน้ีเป็นฟังกช์ นั f1  { ( 2 , 5) , (3 , 8) } f2  { (2 , 2 ) , (3 , 3) } f3  { (3 , 5) , ( 4 , 5) } f4  { (3 , 1) , (4 , 3) , (5 , 1) } f5  { ( 2 , 9) , ( 2 , 6) , (3 , 9) } f6  { (1 , a ) , (1 , b ) , (1 , c ) }วธิ ีทา ถา้ พิจารณาจากคูอ่ นั ดบั จะไดว้ า่ f1 , f2 , f3 และ f4 เป็นฟังกช์ นัแต่ f5 , f6 ไมเ่ ป็ นฟังกช์ นั ถา้ พิจารณาโดยการวาด แผนภาพการจบั คู่จะไดว้ า่ f1 ดงั น้นั f1 เป็นฟังกช์ นั2538

54 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ f2 f2 เป็ นฟังกช์ นั f3 f3 เป็ นฟังกช์ นั f4 f4 เป็ นฟังกช์ นั f5 f5 ไมเ่ ป็นฟังกช์ นั เพราะมีเส้นลากออกจาก 2 มากกวา่ 1 เส้น f6 f6 ไมเ่ ป็นฟังกช์ นั เพราะมีเส้นลากออกจาก 1 มากกวา่ 1 เส้น

บทท่ี 2 ความสมั พนั ธ์และฟังกช์ นั 55ตวั อย่าง 2.22 จงพิจารณาวา่ ความสมั พนั ธ์ต่อไปน้ีเป็นฟังกช์ นั หรือไม่ r1  { ( x , y ) |( x , y )  R  R และ y  2x } r2  { ( x , y ) |( x , y )  R  R และ y  x2  1 } r3  { ( x , y ) |( x , y )  R  R และ y2  x  1 }วธิ ีทา ถา้ พิจารณาความเป็นฟังกช์ นั โดยการแทนคา่ x ถา้ ทุก ๆคา่ ของ x สามารถหาคา่ yที่สอดคลอ้ งกบั ความสัมพนั ธ์ไดแ้ ละไดเ้ พยี งหน่ึงคา่ ความสมั พนั ธ์น้นั จะเป็นฟังกช์ นั จาก r1 กาหนดให้ y  2xแทนค่า x  1 จะได้ y  2แทนค่า x  0 จะได้ y  0แทนคา่ x  1 จะได้ y   2และทุกๆ x  R จะหาค่าของ y ไดแ้ ละไดเ้ พียงค่าเดียวเสมอ ดงั น้นั r1 เป็นฟังกช์ นั จาก r2 กาหนดให้ y  x2  1แทนคา่ x  2 จะได้ y  ( 2 )2  1  3แทนค่า x  0 จะได้ y  (0 )2  1   1แทนคา่ x   2 จะได้ y  (  2 )2  1  3และทุกๆ x  R จะหาค่าของ y ไดแ้ ละไดเ้ พยี งค่าเดียวเสมอ ดงั น้นั r2 เป็นฟังกช์ นั จาก r3 กาหนดให้ y2  x  1แทนค่า x  1 จะได้ y2  1  1  2หรือ y   2จะเห็นวา่ เม่ือแทนค่า x หน่ึงคา่ จะไดค้ ่า y มากกวา่ หน่ึงค่า ดงั น้นั r3 ไมเ่ ป็นฟังกช์ นั

56 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์ หรือถา้ เขียนกราฟของความสัมพนั ธ์ r1 , r2 และ r3 จะไดก้ ราฟดงั รูปต่อไปน้ี เส้นตรงที่ลากขนานกบั แกน y จะตดั กราฟของ r1 เพยี ง 1 จุด ดงั น้นั r1 เป็นฟังกช์ นั เส้นตรงท่ีลากขนานกบั แกน y ตดั กราฟ ของ r2 เพียง 1 จุด ดงั น้นั r2 เป็นฟังกช์ นั

บทท่ี 2 ความสมั พนั ธ์และฟังกช์ นั 57 เส้นตรงท่ีลากขนานกบั แกน y ตดั กราฟของ r3 ถึง 2 จุด แสดงวา่ ตอ้ งมีคู่อนั ดบั ใน r3อยา่ งนอ้ ย 2 คู่อนั ดบั ท่ีมีสมาชิกตวั หนา้ เหมือนกนั แตส่ มาชิกตวั หลงั ตา่ งกนั ดงั น้นั r3 จึงไม่เป็นฟังกช์ นัตัวอย่าง 2.23 จากกราฟของความสัมพนั ธ์ต่อไปน้ี จงพจิ ารณาวา่ ความสัมพนั ธ์ใดเป็นฟังกช์ นั 1) y M1 ox

58 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์2) y M2 ox 3) y x M3 o

บทท่ี 2 ความสมั พนั ธ์และฟังกช์ นั y 59 4) M4 x o5) y M5 ox y

60 y คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ 6) o M6 y x 7) M7 o xวธิ ีทา ถ้าลากเส้นตรงให้ขนานกับแกน Y และให้ตัดกราฟของความสัมพันธ์ จะได้ว่าM2 , M5 , M6 เป็ นฟังก์ชัน แต่ M1 , M3 , M 4 และ M7 ไม่เป็ นฟังก์ชนั เพราะเมื่อลากเส้นตรงบางเส้นใหข้ นานกบั แกน Y แลว้ เส้นตรงท่ีลากข้ึนมาจะตดั กราฟของความสัมพนั ธ์มากกวา่1 จุด ดงั ภาพต่อไปน้ี

บทท่ี 2 ความสมั พนั ธ์และฟังกช์ นั 61 y M1 ox y x M3 o y M4 ox

62 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์ y x M7 oบทนิยาม 2.10 ถา้ f เป็นฟังกช์ นั จากเซต A ไปยงั เซต B หรือ f : A  B และ ( x ,y )  f แลว้ จะเรียก y วา่ เป็นภาพ(image)ของ x หรือค่าของฟังกช์ นั f ที่ x เขียนแทนดว้ ย y  f ( x ) และเรียก x วา่ บุพภาพ(pre-image)ของ y จากบทนิยาม 2.10 และ 2.11 จะไดว้ า่ ทุก x ที่เป็ นสมาชิกในเซต A จะมีภาพหรือค่า yซ่ึงเป็นสมาชิกของ B และภาพของ x จะมีเพยี งตวั เดียวเท่าน้นัตวั อย่าง 2.24 กาหนดให้ f(x)  3x 1 จงหาค่าของฟังกช์ นั ของ f( x) ตอ่ ไปน้ี 1) 2 2) f (1) 3) 4) f(3) 5) 2 f (2a  1) f (a2  1) f ( 6)

บทที่ 2 ความสมั พนั ธ์และฟังกช์ นั 63วธิ ีทา จาก y  f(x)  3x  1 1) 2 2) f (1) 3) 4) f (1)  3 (1)  1 2 5 2 21  2 f(3) 2 f(3) 3(3) 2  22  1  9 1 4 13 4 31  4 f (2a  1) f (2a  1)  3(2a  1)  1 f (a2  1) 2  3a  3  1 2  3a  1 2 f (a2  1)  3 (a2  1)  1 2  3 a2  3  1 22 3a2  5 2

64 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ 5) f (  6 ) f(6)  3(6)  1 2  9  1  8บทนิยาม 2.11 ถ้า f เป็ นฟังก์ชันจากเซต A ไปยงั เซต B แล้วโดเมนของ f เขียนแทนด้วย สญั ลกั ษณ์ D f โดยที่ Df  A และเรนจข์ อง f เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ R f โดยท่ี Rf  { y | ( x , y )  f }บทนิยาม 2.12 ถา้ f และ g เป็นฟังกช์ นั ค่าจริงซ่ึงเป็นฟังกช์ นั ท่ีมีโดเมนและเรนจเ์ ป็ นเซตยอ่ ยของ จานวนจริง แลว้ f  g กต็ ่อเมื่อ 1. Df  Dg และ 2. f ( x )  g ( x ) ทุกๆ x  Df หรือ ทุก ๆ x  Dgตวั อย่าง 2.25 ให้ f  { (1 , 3) , ( 2 , 4 ) , (3 , 5) , ( 4 , 6 ) } และ g  { ( x , y ) | y  x  2 เมื่อ x เป็ นจานวนเตม็ และ 0  x  5 } จงแสดงวา่ f  gวธิ ีทา จาก f  { (1 , 3) , ( 2 , 4 ) , (3 , 5) , ( 4 , 6 ) }จะได้ Df  { 1 , 2 , 3 , 4 } และ R f  { 3 , 4 , 5 , 6 }โดยที่ f (1)  3 f(2)  4 f(3)  5 f(4)  6และจาก g  { ( x , y ) | y  x  2 เมื่อ x เป็ นจานวนเตม็ และ 0  x  5 }จะได้ Dg  { 1 , 2 , 3 , 4 }โดยที่ g (1)  1  2  3

บทท่ี 2 ความสมั พนั ธ์และฟังกช์ นั 65 g(2)  2  2  4 g(3)  3  2  5 g(4)  4  2  6ดงั น้นั f  g2.9 ชนิดของฟังก์ชัน จาก f : A  B จะไดว้ า่ Df  A และ Rf เป็นเซตยอ่ ยของ B ซ่ึงสมาชิกแต่ละตวัของ B อาจถูกใชเ้ พียงคร้ังเดียวหรือมากกวา่ ก็ได้ เราจึงแบ่งชนิดของฟังก์ชนั ตามลกั ษณะของการจบั คู่ของของสมาชิกใน A กบั B ไดห้ ลายแบบดงั น้ีบทนิยาม 2 .13 กาหนดให้ f : A  B เป็นฟังกช์ นั แลว้1) f จะเป็ นฟังก์ชนั หน่ึงต่อหน่ึง ( one to one function ) จาก A ไป B หรือเขียนแทน ด้วยสัญลักษณ์ f : A 11 B ก็ต่อเมื่อ ถ้า f ( x1 )  f ( x2 ) แล้ว x1  x22) f จะเป็นฟังกช์ นั จาก A ไปทว่ั ถึง ( onto function ) B หรือเขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์f : A onto B กต็ อ่ เมื่อ R f  Bถา้ f ไมเ่ ป็นฟังกช์ นั จาก A ไปทว่ั ถึง B จะเรียก f วา่ เป็นฟังกช์ นั จาก Aไป (into) B3) f จะเป็นฟังกช์ นั หน่ึงต่อหน่ึงจาก A ไปทวั่ ถึง B ( one to one correspondence ) หรือเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ f : A o1nt1o B ก็ต่อเมื่อ f เป็ นฟังก์ชันหน่ึงตอ่ หน่ึงและเป็นฟังกช์ นั จาก A ไปทวั่ ถึง B จากบทนิยาม 2.14 f : A  B จะเป็ นฟังกช์ นั หน่ึงต่อหน่ึงก็ต่อเม่ือ ทุก x  A จะจบั คูก่ บั y  B เพียงหน่ึงตวั และ f จะเป็นฟังกช์ นั จาก A ไปทว่ั ถึง B ก็ต่อเม่ือ Rf  B

66 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ตวั อย่าง 2.26 จากแผนภาพแสดงความสัมพนั ธ์ตอ่ ไปน้ี จงระบุวา่ ความสัมพนั ธ์ในแตล่ ะแผนภาพเป็นฟังกช์ นั หรือไม่ ถา้ เป็นฟังกช์ นั ใหร้ ะบุชนิดของฟังกช์ นั1) f 1 f 3 4 25 AB f ไมใ่ ช่ฟังกช์ นั จาก A ไป B2) g a 1f b 2 3 AB g เป็ นความสมั พนั ธ์ที่เป็ นฟังกช์ นั จาก A ไปทวั่ ถึง B หรือ g : A onto B3) h a b 1f 2 3 AB h ไม่เป็นฟังกช์ นั จาก A ไป B เนื่องจาก Dh  A

บทท่ี 2 ความสมั พนั ธ์และฟังกช์ นั 674) s3 1f 4 25 36 AB s เป็ นฟังกช์ นั หน่ึงต่อหน่ึง หรือ s : A 11 B5) j a 1f b 2 c 3 AB j เป็ นฟังกช์ นั หน่ึงตอ่ หน่ึงจาก A ไปทวั่ ถึง B หรือ j : A o1nt1o B6) a k 1 b f 5 7 c9 AB k เป็ นฟังกช์ นั จาก A ไป B หรือ k : A  B

68 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์2.10 พชี คณติ ของฟังก์ชัน ถา้ เรามีฟังก์ชนั สองฟังก์ชนั จะสามารถนาฟังก์ชนั ท้งั สองมาดาเนินการทางพีชคณิตไดแ้ ก่บวก ลบ คูณ และ หาร ซ่ึงจะมีผลทาให้ได้ความสัมพนั ธ์ใหม่จากการดาเนินการดังกล่าวความสัมพนั ธ์ใหม่ท่ีไดน้ ้ีอาจจะเป็นฟังกช์ นั หรือไม่เป็นฟังกช์ นั ก็ได้บทนิยาม 2.14 ถา้ f และ g เป็นฟังกช์ นั คา่ จริงท่ีมีโดเมนเป็น Df และ Dg แลว้ จะไดว้ า่ 1) ( f  g )( x )  f ( x )  g ( x ) 2) ( f  g )( x )  f ( x )  g ( x ) 3) ( f  g )( x )  f ( x )  g ( x ) 4) ( f )(x)  f(x) , g(x)  0 g g(x) โดยที่โดเมนของความสมั พนั ธ์ ( f  g ) ( x ) ,( f  g ) ( x ) และ ( f  g )( x ) คือ Df  Dg ส่วนโดเมนของ ( f )(x) คือ Df  Dg {x | g ( x )  0} gตัวอย่าง 2.27 กาหนดให้ f และ g เป็นฟังกช์ นั คา่ จริง โดยที่จงหา 1) f(x)  x  3 และ g ( x )  x2  2 x  3 จงหา 2) 2 3) 4) (f  g)(x) 5) 6) (f  g)(x) 7) (g  f )(x) (f  g)(x) (g  f )(x) ( f )(x) g ( g )(x) f

บทท่ี 2 ความสมั พนั ธแ์ ละฟังกช์ นั 69วธิ ีทา เนื่องจาก D f  R และ Dg  R ดงั น้นั Df  Dg  R 1) ( f  g )( x )  f ( x )  g ( x )  (x  3)  (x2   2x  3) 2 3x  x2   6 2โดยที่ D( f  g )( x )  R2) ( f  g )( x )  f ( x )  g ( x )  ( x  3)  (x2   2x  3) 2 5x   x2  2โดยที่ D( f  g )( x )  R3) ( g  f )( x )  g ( x )  f ( x )  (x2   2x  3)  ( x  3) 2 5x  x2 2โดยท่ี D( gf )( x )  R4) ( f  g )( x )  f ( x )  g ( x )  (x  3 )( x 2   2x  3) 2 x3 2x2  2 2  3x  3x2  6x  9 2 x3  2  4x2  9x  9 2โดยท่ี D( f  g )( x )  R

70 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์5) ( g  f )( x )  g ( x )  f ( x )  (x2   2x  3)( x  3) 2  x3  4x2  9x  9 22 โดยที่ D( gf )( x )  R6) f (x)  f(x) g g(x) (x  3) 2  (x2   2x  3) , x  1,3 โดยที่ D( f  R {1,3} g )(x)7) g (x)  g(x) f f(x)  (x2   2x  3) , x6 (x  3) 2 โดยท่ี D g  R {6} f ( )(x)

บทที่ 2 ความสมั พนั ธ์และฟังกช์ นั 712.11 ฟังก์ชันประกอบ ถา้ กาหนด f : A  B , g : B  C , x  A , y  B , z  C และ( x , y )  f , ( y , z )  g ดงั รูป A B CDf Dg Rg x f y = f (x) g z = g(y) = g ( f (x)) h ถา้ สร้างฟังกช์ นั ใหมค่ ือ h : A  C จะเรียก h วา่ ฟังกช์ นั ประกอบของ f และ gหรือ gof : A  Cบทนิยาม 2.15 กาหนดให้ f : A  B และ g : B  C ถา้ Rf  Dg แลว้ ฟังกช์ นั ประกอบ ( composite function ) ของ f และ g เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ g o f คือ ฟังกช์ นั gof : A  C โดยท่ี (g o f )(x)  g ( f ( x )) ทุกๆ x ที่ f ( x )  Dgตวั อย่าง 2.28 ให้ A  {1 , 2 , 3} , B  {a , b , c} , C  { x , y , z} และกาหนดf  { (1 , a ) , ( 2 , b ) , (3 , c ) } , g  { (a , z ) , ( b , x ) , ( c , y ) } จงหา g o fวธิ ีทา สร้างแผนภาพไดด้ งั น้ีA f B g C1 a x2b y3c zจากรูป Rf  Dg จึงหา g o f ไดด้ งั น้ี

72 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์ f (1)  a และ g(a )  z จะได้ (g o f )(1)  z f ( 2 )  b และ g( b )  x จะได้ (g o f )( 2 )  x f ( 3)  c และ g( c )  y จะได้ (g o f )(3)  yดงั น้นั g o f  {(1 , z ) , ( 2 , x ) , (3 , y )}ตวั อย่าง 2.29 กาหนดให้ A  {1 , 2 , 3} , B  { 4 , 5 , 6} , C  {7 , 8 , 9} และกาหนดf  { (1 , 4 ) , ( 2 , 5) , (3 , 4 ) } , g  { ( 4 , 9 ) , (5 , 8 ) , (6 , 7 ) } จงหา g o fวธิ ีทา สร้างแผนภาพไดด้ งั น้ี A f B g C 1 4 7 25 8 36 9จะไดว้ า่ R f  Dg จึงหา g o f ได้ จะได้ (g o f )(1)  9 f (1)  4 และ g( 4 )  9 จะได้ (g o f )( 2 )  8 f ( 2 )  5 และ g(5)  8 จะได้ (g o f )(3)  9 f (3)  4 และ g( 4 )  9ดงั น้นั g o f  {(1 , 9 ) , ( 2 , 8 ) , (3 , 9 )}ตัวอย่าง 2.30 กาหนดให้ f และ g เป็นฟังกช์ นั ค่าจริง โดยท่ีจงหา 1) f (x)  2x  1 , g(x)  x2  2x 2) gof 3) f og 4) (gof)( 2) 5) (gof )(1) 6) (f og)(1) (f og)(2)

บทที่ 2 ความสมั พนั ธแ์ ละฟังกช์ นั 73วธิ ีทา gof 1) (gof)(x)  g(f (x)) 2)  g(2x  1)  (2x  1)2  2(2x  1) 3) (g o f )(x)  (4x2  4x  1)  4x  2 4)  4x2  1 5) f og (f og)(x)  f (g(x))  f (x2  2x)  2(x2  2x)  1  2 x2  4x  1 (gof)( 2) (gof)(x)  4x2  1 (gof)(2)  4(2)2  1 เนื่องจาก ดงั น้นั  15 (g o f )(1) (gof)(x)  4x2  1 (g of )(1)  4(1)2  1 เนื่องจาก ดงั น้นั 3 (f og)(1) เน่ืองจาก (f og)(x)  2 x2  4x  1 ดงั น้นั (f o g)( 1)  2 ( 1)2  4( 1)  1 7

74 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์6) (f o g )( 2 )เน่ืองจาก (f o g )(x )  2 x2  4x  1ดงั น้นั (f o g )( 2 )  2 ( 2 )2  4( 2 )  1 1บทสรุป ความสมั พนั ธ์ระหวา่ งเซตสองเซตใดๆ คือเซตยอ่ ยของผลคูณคาร์ทีเชียนของสองเซตน้นั เราเรียกเซตของสมาชิกตวั หนา้ ของคู่อนั ดบั ของความสัมพนั ธ์ r วา่ โดเมนของความสัมพนั ธ์ r และเรียกเซตของสมาชิกตวั หลงั ของความสัมพนั ธ์ r วา่ เรนจข์ องความสมั พนั ธ์ r ความสัมพนั ธ์ f จากเซต A ไปเซต B ที่มีโดเมนคือ A และ ถา้ ( x , y )  f และ ( x , z )  f แลว้ y  z แลว้ เราจะเรียกวา่ f เป็ นฟังกช์ นั จาก A ไป B แทนดว้ ย f : A  B เราสามารถใช้การดาเนินการทางพีชคณิต ได้แก่การบวก ลบ คูณ และหาร ฟังก์ชันสองฟังกช์ นั ซ่ึงจะมีผลใหไ้ ดค้ วามสมั พนั ธ์ใหม่ ซ่ึงอาจเป็นฟังกช์ นั หรือไม่กไ็ ด้ ถา้ f เป็ นฟังก์ชนั จาก A ไป B และ g เป็ นฟังกช์ นั จาก B ไป C และเรนจข์ องฟังก์ชนั fเป็ นเซตยอ่ ยของโดเมนของ g แลว้ เราสามารถหาฟังก์ชนั ประกอบของฟังก์ชนั f และ g หรือเขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ g o f ซ่ึงจะเป็นฟังกช์ นั จาก A ไป C ได้

บทท่ี 2 ความสมั พนั ธ์และฟังกช์ นั 75 แบบฝึ กหดั บทที่ 21. จงหาค่า x , y เมื่อกาหนด1) ( x , 5)  ( 2 , y )2) (x ,y  3)  (7 , 4) 23) ( 2x  y , x  y )  (  6 , 3)2. จงหา AB , BA , A A , B B เม่ือกาหนดเซต A และ B ดงั น้ี 1) A  { a , b } , B  {  1 , 0 , 1 } 2) A  { 1 , 2 } , B  { m , n , o , p }3. ถา้ เซต A , B , C มีสมาชิก 3 , 4 , 5 ตวั ตามลาดบั จงหา 1) n ( A B ) 2) n ( B A ) 3) n ( AC ) 4) n (CA ) 5) n ( A A ) 6) n (CC )4. ให้ A   , B  {} จงหา 1) AB 2) A  A 3) B B 4) BA 5) n ( A B ) 6) n ( A A ) 7) n ( BB ) 8) n ( B A )

76 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์5. กาหนดให้ A  { 2 , 4 , 5} , B  { 4 , 6 , 8 , 9 , 16} จงหาเซตของความสมั พนั ธ์จาก A ไป B เม่ือ 1) r1 แทน ความสมั พนั ธ์ “ มากกวา่ ” 2) r2 แทน ความสมั พนั ธ์ “ เท่ากนั ” 3) r3 แทน ความสมั พนั ธ์ “ นอ้ ยกวา่ ” 4) r4 แทน ความสมั พนั ธ์ “ หารลงตวั ” 5) r5 แทน ความสัมพนั ธ์ “ เป็นรากที่ 2 ”6. จงหาโดเมนและเรนจข์ อง r เมื่อกาหนด 1) r  {(1,a ) , ( 2 , b ) , (3 , 1)} 2) r  { ( x , y ) | ( x , y )  A A และ x  y  10 } เม่ือ A  {x |x  Iและ x  9} 3) r  { ( x , y ) |( x , y )  BB และ x  y  15 } เม่ือ B  {x | x  Iและ x  8} 4) r  { ( x , y ) |( x , y )  AB และ y  x  3 } เม่ือ A  {  2 ,0 ,1,6} และ B  {0 ,1,2 ,3,4 }7. จงหาอินเวอร์สของความสมั พนั ธ์ r ตอ่ ไปน้ี 1) r  {( a ,x ),( b , y ),( c ,z ),( a ,z )} 2) r  {(  3,0 ),(  2,0 ),( 1,0 ),(0,3),(1,4 )} 3) r  { ( x , y )  AB | y  x } เม่ือ A  {1,2 ,3} และ B  {2,7} 4) r  { ( x , y ) |( x , y )  RR และ y  x 2  3 }8. กาหนดให้ A  {a , b ,c , d } , r1  {(a ,a ),(a ,c ),( b,b ),( c ,a ),( d ,d )} , r2  {(a ,b ),( c ,d ),( b,a ),( c ,c )} และ r3  {(a ,a ),( b,b ),( c ,c ),( d ,d )} แลว้ ความสมั พนั ธ์ใดเป็นความสมั พนั ธ์สมมูล

บทที่ 2 ความสมั พนั ธแ์ ละฟังกช์ นั 779. ความสมั พนั ธ์ใดต่อไปน้ีที่เป็ นฟังกช์ นัr1  {(1,3),( 2,2 ),( 1,2 ),(  2, 3)}r2  {(1,1),(  3,1),(  5,1)}r3  { ( x , y )  RR | y  0 }r4  { ( x , y )  RR | y  2x  1 }r5  { ( x , y )  RR | x   2 }r6  { ( x , y )  RR | y  | x  1 | }r7  { ( x , y )  RR | x  | y  1 | }r8  { ( x , y )  RR | y  2x 2  1 }r9  { (x , y)RR | x  1 y2 } 2r10  { ( x , y )  RR | y 2   x 2  4 }10. ให้ f เป็ นฟังกช์ นั คา่ จริง จงหา f (1) , f (  2 ) และ f ( 2x2 ) เม่ือกาหนด f ( x ) ดงั น้ี 1) f ( x )  | x  1 | 2) f ( x )  2x2  3 3) f ( x )  3(x  1)11. กาหนดให้ A  { x , y , z } , B  {1, 2 , 3 , 4 } จงพจิ ารณาวา่ ฟังกช์ นั ต่อไปน้ีเป็นฟังกช์ นั ชนิดใด 1) f  {( x ,1),( y ,2 ),( z ,3) } 2) g  {( y ,1),( z ,2 ),( z ,3)} 3) h  {( x ,1),( y ,4 ),( z ,1)} 4) k  {( x ,4 ),( x ,3),( z ,2 ),( y ,1)}12. จงหาโดเมนและเรนจข์ องฟังกช์ นั ตอ่ ไปน้ี1) f1 ( x )  x32) f2 (x )  3 2x 1

78 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์3) f3 ( x )  x2 x34) f4 ( x )  4  x 25) f5 ( x )   x26) f6 ( x )   27) f7 ( x )  | x |  28) f8 ( x )  x2  2x  313. กาหนดให้ f  {(1,a ),( 2 ,a ),( 3, b ),( 4 ,c ),( 5,c )} และ g  {( a ,8 ),( b ,8 ),( c ,10 )} จงหา g o f14. กาหนดให้ f และ g เป็ นฟังกช์ นั คา่ จริง โดยท่ี f ( x )  3x  1 , g ( x )  x2 จงหา 2 1) (g o f )( x ) 2) (f o g )( x ) 3) (g o g )( x ) 4) (f o f )( x ) 5) (g o f )( 0 ) 6) (f o g )( 2 ) 7) (g o g )(1) 8) (f o f )(  1)15. กาหนดให้ f และ g เป็นฟังกช์ นั ค่าจริง โดยท่ี f ( x )  x2  x  1 และ g ( x )   3x  2 จงหา 1) ( f  g )( x ) 2) ( f  g )( x ) 3) ( g  f )( x )

บทท่ี 2 ความสมั พนั ธ์และฟังกช์ นั 79 4) ( f  g )( x ) 5) f ( x ) g 6) g ( x ) f 7) ( f  g )(1) 8) ( g  f )(  2 ) 9) ( f  g )(0 ) 10) f (1) g