บทที่ 1 เซต

บทที่ 1 เซต ในทางคณิตศาสตร์ถือวา่ เซต(set)เป็ นคาอนิยามท่ีใช้เรียกกลุ่มของสิ่งท่ีมีคุณสมบตั ิหรือลกั ษณะใดลกั ษณะหน่ึงร่วมกนั วา่ เป็ นเซตเดียวกนั และเรียกส่ิงท่ีอยใู่ นเซตวา่ สมาชิกของเซตซ่ึงตอ้ งสามารถบอกไดต้ รงกนั วา่ อะไรเป็นสมาชิกในเซตหรือไมเ่ ป็นสมาชิกของเซตน้นั บา้ ง ตวั อยา่ งเช่น เซตของพยญั ชนะภาษาไทย เซตของสระในภาษาองั กฤษ เซตของเดือนในรอบ 1 ปี เซตของนกั ศึกษามหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ลาปาง เซตของจานวนเตม็ เซตของจานวนคี่ที่ 3 หารลงตวั จากตวั อยา่ งขา้ งตน้ เราสามารถระบุไดว้ า่ ในแต่ละเซตประกอบดว้ ยสมาชิกคืออะไรบา้ งแตเ่ ราจะไมใ่ ชเ้ ซตกบั กลุ่มของสิ่งที่ไม่สามารถระบุไดว้ า่ มีอะไรเป็นสมาชิกบา้ ง เช่น เซตของคนสวย เซตของคนรวย เซตของคนดี เนื่องจากความ “สวย” , “รวย” หรือ “ดี” ของแต่ละคนแตกต่างกนั ดงั น้นั จึงไม่สามารถระบุไดว้ า่ สมาชิกของคนสวย คนรวย หรือ คนดี เป็นใครบา้ ง เราจึงไมใ่ ชค้ าวา่ เซตกบั กลุ่มเหล่าน้ี1.1 วธิ ีการเขียนเซต การเขียนเซตน้นั ชื่อของเซตนิยมแทนดว้ ยอกั ษรตวั พมิ พใ์ หญ่และใชอ้ กั ษรตวั พมิ พเ์ ล็กแทนสมาชิกของเซต ส่วนวธิ ีการเขียนเซตแบง่ ได้ 2 วธิ ี ไดแ้ ก่ 1.1.1 การเขียนเซตโดยวิธีแจกแจงสมาชิก จะเขียนสมาชิกท้งั หมดของเซตในเคร่ืองหมายวงเล็บปี กกา { } โดยใชเ้ คร่ืองหมายจุลภาค (,) คนั่ ระหวา่ งสมาชิกแตล่ ะตวั ของเซต เช่น(1) A  { a , e , i , o , u }(2) B  { ก , ข , ฃ , . . . , ฮ }(3) C  { 1 , 2 , 3 , . . . , 100 }

4 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์(4) D  { 1 , 3 , 5 , 7 , . . . }(5) E  { จนั ทร์, องั คาร, พธุ , . . . , อาทิตย์ } จากตวั อยา่ งเซต A มีสมาชิก 5 ตวั ไดแ้ ก่ a, e, i, o, u เราอาจใชส้ ัญลกั ษณ์ “  ” แทนการเป็นสมาชิกของเซต และใชส้ ญั ลกั ษณ์ “  ” แทนการไมเ่ ป็นสมาชิกของเซต เช่น aA แทน a เป็นสมาชิกของเซต A mA แทน m ไม่เป็นสมาชิกของเซต Aและใช้ n(A) แทนจานวนสมาชิกของท้งั หมดของเซต A ดงั น้นั n( A )  5 การเขียนเซตโดยวธิ ีการแจกแจงสมาชิกน้นั บางคร้ังเราอาจไม่สะดวกท่ีจะเขียนสมาชิกทุกตวัของเซตลงในวงเล็บปี กา เราอาจใชเ้ ครื่องหมายจุดสามจุด ( . . . ) เพื่อละสมาชิกของเซตไว้ แต่การละสมาชิกไว้น้ีทุกคนต้องเข้าใจตรงกันว่าสมาชิกของเซตที่ละไว้น้ันมีอะไรบ้าง ดังตัวอย่างB  { ก, ข, ฃ, . . . , ฮ } เราทุกคนเขา้ ใจไดต้ รงกนั วา่ สมาชิกของเซต B ที่ต่อจาก ฃ คือ ค, ฅ,ฆ ไปเร่ือยๆจนถึง ฮ หรือ C  { 1 , 2 , 3 , . . . , 100 } ทุกคนทราบวา่ สมาชิกของ C ที่ต่อจาก3 คือ 4, 5, 6 ไปจนถึง 100 แต่ถา้ ในกรณีท่ีสมาชิกของเซตยงั มีอีกเร่ือยๆไม่สิ้นสุดและไม่ทราบวา่ สมาชิกตวั สุดทา้ ยคืออะไร เราสามารถเขียนเซตน้ันแบบแจกแจงสมาชิกโดยใช้หมายเคร่ืองจุดสามจุดน้ีได้เช่นกนั ดงัตวั อยา่ ง D  { 1 , 3 , 5 , 7 , . . . } สมาชิกตวั ท่ีต่อจาก 7 คือ 9, 11, 13 ซ่ึงคือจานวนคี่บวก และสมาชิกของเซต D ก็มีต่อไปเร่ือยๆโดยไมส่ ามารถบอกไดว้ า่ จะสิ้นสุดท่ีจานวนค่ีตวั ไหน หรือ ถา้ กาหนดให้ F  { ... ,3 ,  2 ,  1} สมาชิกตวั ก่อนหนา้ -3 ก็คือ - 4 , - 5 , - 6ไปเรื่อย ๆ ดงั น้นั เซต F คือเซตของจานวนเต็มลบ ซ่ึงเซตของจานวนเต็มลบอาจแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ Iหมายเหตุ ในเร่ืองของจานวนมีสญั ลกั ษณ์หลายตวั ท่ีนกั ศึกษาควรตอ้ งจาวา่ สัญลกั ษณ์น้นั แทนเซตอะไรบา้ ง สัญลกั ษณ์แทนเซตที่สาคญั และใชบ้ ่อยๆ ไดแ้ ก่ I แทนเซตของจานวนเตม็ I แทนเซตของจานวนเตม็ บวก I แทนเซตของจานวนเตม็ ลบ N แทนเซตของจานวนนบั หรือจานวนเตม็ บวก Q แทนเซตของจานวนตรรกยะ R แทนเซตของจานวนจริง

บทท่ี 1 เซต 5 1.1.2 การเขียนเซตโดยวธิ ีบอกเง่ือนไขของสมาชิก การเขียนเซตโดยวธิ ีการน้ีทาไดโ้ ดยการเขียนสมาชิกของเซตในรูปของตวั แปรโดยการบอกเง่ือนไขของสมาชิกไวใ้ นวงเลบ็ ปี กกา เช่น A  { x | x เป็นสระในภาษาองั กฤษ }อ่านวา่ เซต A เทา่ กบั เซตของ x โดยท่ี x เป็นสระในภาษาองั กฤษ (สญั ลกั ษณ์ “ | ” ซ่ึงคน่ั ระหวา่ งตวั แปรและเงื่อนไขของตวั แปรน้ี อ่านว่า โดยที่ ) ซ่ึงก็คือ A  { a , e , i , o , u } สาหรับการเขียนแบบแจกแจงสมาชิกนนั่ เอง C  { y | y เป็นจานวนเตม็ บวกท่ีมีคา่ ไม่เกิน 100 }อา่ นวา่ เซต C เท่ากบั เซตของ y โดยที่ y เป็ นจานวนเตม็ บวกท่ีมีค่าไม่เกิน 100 หรืออาจเขียนเป็น C  { y | yI และ y  100 } เมื่อ I เป็นสญั ลกั ษณ์แทนเซตของจานวนเตม็ บวกหรือ C  { 1 , 2 , 3 , . . . , 100 } สาหรับการเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกตวั อย่าง 1.1 จงเขียนเซตตอ่ ไปน้ีแบบแจกแจงสมาชิก 1) เซตของเดือนที่มี 30 วนั 2) เซตของจานวนเตม็ บวกที่ 5 หารลงตวั 3) เซตของพยญั ชนะในคาวา่ “คอมพิวเตอร์” 4) เซตของจานวนนบั ที่นอ้ ยกวา่ 20 5) เซตของนางงามจกั รวาลที่เป็ นคนไทย 6) เซตของจานวนเตม็ ท่ีนอ้ ยกวา่ 10วธิ ีทา 1) { เมษายน, มิถุนายน, กนั ยายน, พฤศจิกายน } 2) { 5, 10, 15, 20, 25, . . . } 3) { ค, อ, ม, พ, ว, ต, ร } 4) { 1, 2, 3, . . . , 19 } 5) { อาภสั รา หงสกุล, พรทิพย์ นาคหิรัญกนก } 6) { . . . , 6, 7, 8, 9 }ตวั อย่าง 1.2 จงเขียนเซตตอ่ ไปน้ีแบบบอกเง่ือนไขของสมาชิก 1) เซตของจานวนเตม็ ท่ีนอ้ ยกวา่ 100 2) เซตของจานวนเตม็ บวกท่ี 5 หารลงตวั 3) { 1, 4, 9, 16, . . . }

6 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์4) {1, 1 , 1 , 1 , . . . } 2345) { . . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . . }วธิ ีทา1) { x | x I และ x  100 }2) { x | xI และ x  I } 53) { y | y  x 2 เม่ือ x I และ x  0 }4) { y | y  1 และ x I } x5) { y | y  I }1.2 เซตว่าง เซตจากดั และเซตอนันต์ กาหนดให้ A แทนเซตของจานวนเต็มบวกที่มีค่านอ้ ยกวา่ 0 จะไดว้ า่ A เป็ นเซตท่ีไม่มีสมาชิกเลย เราจะเรียก A วา่ เป็นเซตวา่ งบทนิยาม 1.1 เซตวา่ งหมายถึงเซตท่ีไมม่ ีสมาชิก เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์  หรือ { }ตัวอย่าง 1.3 เซตต่อไปน้ีเซตใดเป็นเซตวา่ ง 1) A  { x | x 2  0 และ x I } 2) B  { x | x 2  0 และ x  I } 3) C  { x | x เป็นเดือนที่มี 25 วนั } 4) D  { x | x คือประธานาธิบดีของไทย } 5) E  { x | x คือจานวนนบั ท่ีนอ้ ยกวา่ 1 }

บทที่ 1 เซต 7วธิ ีทา 1) A   เน่ืองจากไม่มีจานวนเตม็ ที่ยกกาลงั สองแลว้ มีคา่ เป็นลบ 2) B   เน่ืองจากมีจานวนเตม็ คือ 0 ที่ 02  0 ดงั น้นั B  {0} จึงไมใ่ ช่เซตวา่ ง 3) C   4) D   5) E   เพราะจานวนนบั คือ 1 , 2 , 3 , . . . จึงไม่มีจานวนนบั ใดท่ีนอ้ ยกวา่ 1บทนิยาม 1.2 เซตจากดั ( finite sets ) หมายถึง เซตที่สามารถบอกจานวนสมาชิกท่ีแน่นอนได้บทนิยาม 1.3 เซตอนนั ต์ (infinite sets ) หมายถึง เซตท่ีไมใ่ ช่เซตจากดั หรือเซตที่ไม่สามารถ บอกจานวนสมาชิกท่ีแน่นอนได้ ถา้ แทนจานวนสมาชิกของเซต A ดว้ ย n(A) แลว้ เซต A จะเป็ นเซตจากดั เม่ือบอกไดว้ า่เซต A มีจานวนสมาชิกเท่าใด แต่ถา้ ไมส่ ามารถบอกไดว้ า่ เซต A มีสมาชิกเท่าใดแลว้ เซต A จะเป็ นเซตอนนั ต์ จากบทนิยาม 1.2 เราถือว่าเซตว่างเป็ นเซตจากดั เนื่องจากจานวนสมาชิกของเซตว่างคือ 0หรือ n( )  0 ถา้ A เป็ นเซตท่ีเขียนในลกั ษณะของการแจกแจงสมาชิกซ่ึงมีจุดสามจุด ( . . . ) และเราทราบวา่ สมาชิกตวั แรกและตวั สุดทา้ ยของ A คือสมาชิกตวั ใด ก็แสดงวา่ หาจานวนสมาชิกของ Aได้ ดงั น้นั A จะเป็ นเซตจากดั แต่ถา้ เราทราบเพียงสมาชิกบางตวั ของ A และ A ก็มีสมาชิกได้เรื่อยๆจึงไม่สามารถบอกไดว้ า่ n(A) เท่ากบั ค่าใด แสดงวา่ A เป็นเซตอนนั ต์ เช่น A  { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , . . . , 100 }A จะเป็นเซตจากดั B  {0, 1, 2, 3, ...}B จะเป็นเซตอนนั ต์

8 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ตัวอย่าง 1.4 เซตต่อไปน้ีเป็นเซตจากดั หรือ เซตอนนั ต์ 1. X1  { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , . . . } 2. X2  { a , b , c , d , . . . , y , z } 3. X3  { x | x 2  0 และ x  I } 4. X4  { x | x 2  3 และ x  I } 5. X5  { x | x  2m และ m  I }วธิ ีทา 1. X1 เป็นเซตอนนั ตเ์ พราะบอกไมไ่ ดว้ า่ n ( X1 ) มีค่าเทา่ ใด 2. X2 เป็ นเซตจากดั เพราะ n ( X 2 )  46 ตวั 3. X3 เป็ นเซตจากดั เพราะ X3  {0} ซ่ึงมีสมาชิก 1 ตวั 4. X4 เป็นเซตจากดั เพราะ X4   ซ่ึงมีสมาชิก 0 ตวั 5. X5 เป็ นเซตอนนั ตเ์ พราะ X5  { . . . , -2 , 0 , 2 , 4 , . . . } ซ่ึงบอกไม่ไดว้ า่ n(X5) มี จานวนเท่าใด1.3 การเท่ากันและการเทยี บเท่ากนั ของเซต เซตสองเซตใด ๆ จะเป็นเซตที่เทา่ กนั หรือเทียบเทา่ กนั ตามบทนิยามต่อไปน้ีบทนิยาม 1.4 เซต A กบั เซต B จะเป็นเซตท่ีเทียบเท่ากนั ( equivalence sets ) กต็ อ่ เมื่อ มีการ จบั คูแ่ บบหน่ึงตอ่ หน่ึงระหวา่ งสมาชิกของเซต A กบั เซต B เขียนแทน A เป็นเซต ท่ีเทียบเท่า B ดว้ ย A ~ B จากบทนิยาม 1.4 ถา้ เซต A กบั เซต B เป็ นเซตจากดั และเป็ นเซตที่เทียบเท่ากนั แลว้ เซต Aและเซต B จะมีจานวนสมาชิกเทา่ กนัตวั อย่าง 1.5 1) กาหนดให้ A  { 1 , 2 , 3 } , B  { a , b , c }จะไดว้ า่ n( A )  3 และ n( B )  3ดงั น้นั A และเซต B เป็นเซตที่เทียบเท่ากนั

บทท่ี 1 เซต 9 2) กาหนดให้ C  { 0 ,  , { 1 } } , D  { { 0 } ,  , 1 }จะไดว้ า่ n(C )  n ( D )  3ดงั น้นั C และ D เป็นเซตท่ีเทียบเท่ากนั 3) กาหนดให้ E  { 0 ,  , { 1 } } , F  { { 0 ,  }, { 1 } }จะไดว้ า่ n( E )  3 และ n( F )  2ดงั น้นั E และ F ไมใ่ ช่เซตที่เทียบเท่ากนับทนิยาม 1.5 เซต A และเซต B จะเป็นเซตท่ีเทา่ กนั (equal sets) ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตวั ของ เซต A เป็นสมาชิกของเซต B และสมาชิกทุกตวั ของเซต B เป็นสมาชิกของเซต A เขียนแทนเซต A เท่ากบั เซต B ดว้ ย A  Bตัวอย่าง 1.6 1) กาหนดให้ A  { 1, 2, 3 } และ B  { x | x  I และ 1  x  3 }จะไดว้ า่ A  B 2) กาหนดให้ C  { a, b, c, d } และ D  { c, d, b, a }จะไดว้ า่ C  D 3) กาหนดให้ E  {1, 2, 3, . . . , 10} และ F  { x | x  I และ x  10 }จะไดว้ า่ F  { . . . , 8 , 9 , 10 } ดงั น้นั เซต E ไม่เทา่ กนั กบั เซต F หรือแทนดว้ ย E ≠ F1. 4 เซตย่อยและเซตกาลงั กาหนดให้ A  { 1, 2, 3 } และ B  { 1 , 2 , 3 ,จะเ4ห็น,วา่ . .A. } มีสมาชิกท้งั หมด 3 ตวั และสมาชิกท้งั หมดของ A เป็ นสมาชิกของเซต B ดว้ ย เราจะเรียกเซต A วา่ เป็ นเซตยอ่ ยของ Bบทนิยาม 1. 6 เซต A จะเป็ นเซตยอ่ ย( sub sets ) ของเซต B ก็ต่อเม่ือ สมาชิกทุกตวั ของ A เป็นสมาชิกของ B เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ A  B

10 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ ถา้ สมาชิกทุกตวั ของเซต A เป็ นสมาชิกของเซต B เราจะเรียกวา่ เซต A วา่ เป็ นเซตยอ่ ยของเซต B แทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ A  B แต่ถา้ มีสมาชิกอยา่ งนอ้ ยหน่ึงตวั ของ A ท่ีไมใ่ ช่สมาชิกของเซต Bแลว้ เซต A จะไมใ่ ช่เซตยอ่ ยของเซต B จะแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ A  B จากบทนิยาม 1.6 ถา้ A เป็นเซตใดๆแลว้ A จะเป็นเซตยอ่ ยของตวั มนั เองเสมอตวั อย่าง 1.7 ให้ A  { 1, 2 } , B  { 1, 2 , 3 , 4 , 5 } , C  { 1, 2 , 3 } และD = { 5, 4, 1, 2, 3 }จะไดว้ า่ A B A C A D C B C D B D และ D  B ดว้ ย แต่ B  A , C  A , D  A , B  C และ D  Cตัวอย่าง 1.8 ให้ A  {1 , 2 , 3 } และ B  { 3 , 2 , 1 }จะไดว้ า่ A  B , B  A และ A  Bทฤษฎบี ท 1.1 ถา้ A  B และ B  A แลว้ A  Bพสิ ูจน์ จากบทนิยาม 1.6 ถา้ A  B แลว้ สมาชิกทุกตวั ของ A เป็นสมาชิกของ B และถา้ B  A แลว้ สมาชิกทุกตวั ของ B เป็นสมาชิกของ A ดงั น้นั A และ B ตอ้ งมีสมาชิกเหมือนกนั ทุกตวั นนั่ คือ A  B ( โดยบทนิยาม 1.5 )

บทที่ 1 เซต 11ทฤษฎบี ท 1.2 เซตวา่ งเป็นเซตยอ่ ยของทุกเซตพสิ ูจน์ ถา้ A เป็นเซตใดๆ จะไดว้ า่   A หรือ   A ถา้   A แสดงวา่ ตอ้ งมีสมาชิกของ  อยา่ งนอ้ ย 1 ตวั ท่ีไมเ่ ป็นสมาชิกของ A แต่  เป็นเซตที่ไมม่ ีสมาชิก ดงั น้นั   A จึงเป็นไปไมไ่ ด้ ทาใหไ้ ดว้ า่   A การพิจารณาจานวนเซตยอ่ ยท้งั หมดของเซต A ถา้ เซต A มีสมาชิก n ตวั จานวนเซตยอ่ ยของ A จะเท่ากบั 2n เซตตัวอย่าง 1.9 จงหาเซตยอ่ ยของเซตต่อไปน้ี 1) A  วธิ ีทา n(A )  0ดงั น้นั จานวนเซตยอ่ ยของ A  20  1 เซตทาใหไ้ ดว้ า่ เซตยอ่ ยของ A ก็คือตวั มนั เอง หรือ  2) B  { a }วธิ ีทา n(B)  1จานวนเซตยอ่ ยของ B  21  2 เซตเซตยอ่ ยของ B คือ B,  3) C  { 1, {2} }วธิ ีทา n(C)  2จานวนเซตยอ่ ยของ C  22  4 เซตเซตยอ่ ยของ C คือ C ,  , {1} และ {{2}} 4) D  { 0 , 1 , { 0 ,  } }วธิ ีทา n(D)  3 ไดแ้ ก่ 0 , 1 และ { 0 ,  }จานวนเซตยอ่ ยของ D  23  8 เซต

12 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์เซตยอ่ ยของ D คือ D ,  , {0} , {1} , {{ 0 , }} , { 0 , 1} , { 0 , { 0 , } }และ { 1 , { 0 , } }บทนิยาม 1.7 เซตกาลงั ( power sets ) ของเซต A คือ เซตของเซตย่อยท้งั หมดของเซต A เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ P(A)ตัวอย่าง 1.10 จากตวั อยา่ ง 1.9 จะไดว้ า่ เซตกาลงั ของเซต A , B , C , D ดงั น้ี 1) P(A)  { } 2) P(B)  {  , {a} } 3) P(C)  { C ,  , {1} , {{2}} } 4) P(D)  { D ,  , {0} , {1} , {{ 0 , }} , { 0 , 1} , { 0 , { 0 , } } ,{ 1 , { 0 , }} }1.5 การดาเนินการของเซต ถา้ กาหนดเซตสองเซตใดๆแลว้ เราสามารถใชก้ ารดาเนินการของเซต(operations of sets) เพ่ือสร้างเซตใหม่ข้ึน การดาเนินการของเซตน้ีทาได้หลายวิธีได้แก่ การยูเนียน การอินเตอร์เซกชันผลต่างและส่วนเติมเตม็บทนิยาม 1.8 เอกภพสมั พทั ธ์ ( universe ) หมายถึงเซตที่มีเซตที่กล่าวถึงท้งั หมดเป็นเซตยอ่ ย แทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ “ U ”ตัวอย่าง 1.11 1) ให้ U  { 1 , 2 , 3 , . . . } A  { x | x2  x  6  0 } และ A เป็ นเซตยอ่ ยของ U จะไดว้ า่ A  { 3 } 2) ให้ U  {. . . ,  2 ,  1 , 0 , 1 , 2 , . . . } A  { x | x2  x  6  0 } และ A เป็ นเซตยอ่ ยของ U จะไดว้ า่ A  {  2 , 3 }

บทที่ 1 เซต 13 จากตวั อย่าง1.11 จะเห็นว่า ถา้ กาหนดเอกภพสัมพทั ธ์ท่ีต่างกนั เซตของ A ที่เขียนแบบบอกเง่ือนไขในลกั ษณะเดียวกนั จะเป็นเซตท่ีมีสมาชิกตา่ งกนั หรือเป็นคนละเซตหมายเหตุ โดยทวั่ ไปการกล่าวถึงเซตของจานวนใดๆควรตอ้ งกาหนดเอกภพสัมพทั ธ์ก่อนเสมอแต่ถา้ ไมไ่ ดก้ าหนดเอกภพสัมพทั ธ์ใหโ้ ดยส่วนใหญ่จะถือวา่ เอกภพสมั พทั ธ์คือเซตของจานวนจริง (R) เพื่อให้ง่ายต่อการทาความเขา้ ใจในเร่ืองการดาเนินการของเซต เราจะใช้แผนภาพเวนน์(Venn diagram ) โดยใชร้ ูปสี่เหล่ียมแทนเซตของเอกภพสมั พทั ธ์ และรูปวงกลม วงรี หรือรูปปิ ดอื่นแทนเซตตา่ ง ๆ ที่เป็นเซตยอ่ ยของเอกภพสมั พทั ธ์ ถา้ A และ B เป็ นเซตที่ไม่มีสมาชิกร่วมกนั เลยหรือ A และ B เป็ นเซตท่ีไม่มีสมาชิกตวั ใดเหมือนกนั เลย เราจะใชแ้ ผนภาพเวนน์ เพือ่ แสดงเซต 2 เซตน้ี ดงั รูปท่ี 1.1 U AB รูปที่ 1.1 แสดงเซต A และ B ซ่ึงไม่มสี มาชิกตัวใดเหมือนกนั ถา้ A และ B เป็ นเซตท่ีมีสมาชิกบางตวั ร่วมกนั หรือ A และ B เป็ นเซตท่ีมีสมาชิกบางตวัเหมือนกนั เราจะใชแ้ ผนภาพเวนน์ เพอ่ื แสดงเซต 2 เซตน้ี ดงั รูปท่ี 1.2 U AB รูปท่ี 1.2 แสดงเซต A และ B ซึ่งมสี มาชิกบางตัวเหมือนกนั ถา้ A เป็นเซตยอ่ ยของ B หรือสมาชิกทุกตวั ของ A เป็นสมาชิกของเซต B เราจะใช้แผนภาพเวนน์ เพ่ือแสดงเซต 2 เซตน้ี ดงั รูปที่ 1.3

14 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ U B A รูปที่ 1.3 แสดงเซต A และ B โดยที่ A  Bบทนิยาม 1.9 ยูเนียน ( union )ของเซต A และเซต B คือการดาเนินการเพอื่ ใหไ้ ดเ้ ซตใหมซ่ ่ึง ประกอบดว้ ยสมาชิกของเซต A หรือสมาชิกของเซต B เขียนแทนดว้ ย A  B นนั่ คือ A  B  { x | x  A หรือ x  B } จากบทนิยาม A  B จะไดเ้ ซตใหม่ซ่ึงรวมสมาชิกของท้งั A และ B แสดงไดโ้ ดยแผนภาพเวนน์ ดงั รูปท่ี 1.4 ส่วนที่แรเงาคือ A  B U AB รูปท่ี 1.4 แสดง A  Bตวั อย่าง 1.12 จงหา A  B เมื่อกาหนด A , B ดงั น้ี 1) A  {1, 2, 3} , B  {4, 5} 2) A  {1, 2, 3} , B  {3, 4} 3) A  {1, 2, 3} , B  {3, 2, 1} 4) A  { } , B  {a, b} 5) A {}, B  6) A U , B

บทที่ 1 เซต 15วธิ ีทา A  B  {1,2, 3, 4, 5} 1) A  B  {1,2, 3,4} 2) A  B  {1,2, 3} 3) A B  {a,b} 4) A B   5) A B  U 6)บทนิยาม 1.10 อนิ เตอร์เซกชัน( intersection )ของเซต A และเซต B คือการดาเนินการเพ่อื ใหไ้ ด้ เซตใหม่ซ่ึงประกอบดว้ ยสมาชิกที่เป็ นสมาชิกของเซต A และเป็ นสมาชิกของเซต B เขียนแทนดว้ ย A  B นน่ั คือ A  B  { x | x  A และ x  B } จากบทนิยาม A  B จะไดเ้ ซตใหมท่ ี่ประกอบดว้ ยสมาชิกตวั ที่เหมือนกนั ของเซต A และเซต B ซ่ึงแสดงไดโ้ ดยแผนภาพเวนน์ ดงั รูปท่ี 1.5 ส่วนที่แรเงาคือ A  B รูปที่ 1.5 แสดง A  Bตวั อย่าง 1.13 จงหา A  B เมื่อกาหนด A, B ดงั น้ี 1) A  { 1 , 2 , 3 } , B  { 4 , 5 } 2) A  { 1 , 2 , 3 } , B  { 3 , 4 } 3) A  { 1 , 2 , 3 } , B  { 3 , 2 , 1 } 4) A   , B  { a , b }

16 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ 5) A, B U 6) A  {1, 2, 3}, B  Uวธิ ีทา A B  { } 1) A B  {3} 2) A  B  {1,2, 3} 3) A B   4) A B   5) A  B  A  {1, 2, 3} 6)บทนิยาม 1.11 ผลต่าง ( difference )ของเซต A และเซต B คือการดาเนินการเพอ่ื ใหไ้ ดเ้ ซตใหม่ ซ่ึงประกอบดว้ ยสมาชิกท่ีเป็นสมาชิกของเซต A แตไ่ มเ่ ป็นสมาชิกของเซต B เขียนแทนดว้ ย A  B นนั่ คือ A  B  { x | x  A และ x B } ซ่ึงแสดงไดโ้ ดยแผนภาพเวนน์ ดงั รูปที่ 1.6 ส่วนที่แรเงาคือ A  B รูปที่ 1.6 แสดง A  Bตวั อย่าง 1.14 จงหา A  B เม่ือกาหนด A, B ดงั น้ี 1) A  { 1 , 2 , 3 } , B  { 4 , 5 } 2) A  { 1 , 2 , 3 } , B  { 3 , 4 } 3) A  { 1 , 2 , 3 } , B  { 3 , 2 , 1 }

บทที่ 1 เซต 17 4) A   , B  {a, b} , B A  {4, 5} 5) A, B U , B A  {4} 6) A  {1, 2, 3}, B  U , B A  วธิ ีทา , B A  {a, b} 1) A  B  {1, 2, 3} , B A  U 2) A  B  {1, 2} , B A  U  {1, 2, 3} 3) AB   4) A B   5) A B   6) A B   จากตวั อยา่ งจะเห็นวา่ ถา้ A , B ไม่ใช่เซตท่ีเทา่ กนั แลว้ A  B และ B  A จะไดเ้ ซตใหมท่ ่ีตา่ งกนับทนิยาม 1.12 ส่วนเติมเต็ม( complement )ของเซต A คือเซตใหม่ท่ีประกอบดว้ ยสมาชิกท้งั หมด ของ U ซ่ึงไมใ่ ช่สมาชิกของ A แทนดว้ ย A หรือ AC นน่ั คือ A  { x | x  U และ x  A } แสดงแทนไดโ้ ดยแผนภาพเวนน์ ดงั รูปที่ 1.7 ส่วนที่แรเงาคือ A รูปที่ 1.7 แสดง A

18 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ตวั อย่าง 1.15 กาหนดให้ U  { 1 , 2 , 3 , . . . . , 100 } จงหาส่วนเติมเตม็ ของเซตต่อไปน้ี 1) 2) A  { 1 , 2 , 3 , . . . . , 100 } 3) B  { 2 , 4 , 6 , . . . . , 100 } 4) C  { 1 , 2 , 3 , . . . . , 50 } D วธิ ีทา 1) A   2) B  { 1 , 3 , 5 , . . . . , 99 } 3) C  { 51 , 52 , 53 , . . . . , 100 } 4) D  Uตัวอย่าง 1.16 จากแผนภาพเวนน์ ที่กาหนดให้ A 41 7 B U 6 35 8 0 9 2จงเขียนเซตตอ่ ไปน้ี แบบแจกแจงสมาชิก 1) ( A  B ) 2) ( A  B )  ( B  A ) 3) A  B 4) ( A  B ) 5) ( A  B ) 6) ( A  B )  ( A  B ) 7) A  B 8) A  B

บทท่ี 1 เซต 19วธิ ีทา ( A  B ) 1) (A  B)  {4, 6, 9} ( A  B )  { 0 , 1 , 2 , 3 , 5 , 7 , 8 }เน่ืองจากทาใหไ้ ดว้ า่ (A  B)  (B  A) (A  B)  {4, 6, 9} 2) (B  A)  {7, 8}เน่ืองจาก (A  B)  (B  A) {4, 6, 7, 8, 9}และทาใหไ้ ดว้ า่ A  B A  { 0 , 2 , 7 , 8 } 3) B  { 0 , 2 , 4 , 6 , 9 }เน่ืองจาก A  B  { 0 , 2 }และทาใหไ้ ดว้ า่ ( A  B ) (A  B)  {1, 3, 5} 4) ( A  B )  { 0 , 2 , 4 , 6 , 7 , 8 , 9 }เนื่องจากทาใหไ้ ดว้ า่ ( A  B ) (A  B)  {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 5) ( A  B )  { 0 , 2 }เน่ืองจากทาใหไ้ ดว้ า่ ( A  B )  ( A  B ) ( A  B )  ( A  B )  { 0 , 2 , 4 , 6 , 9 } 6)จะไดว้ า่ A  B B  { 0 , 2 , 4 , 6 , 9 } 7) A  B  { 4 , 6 , 9 }เนื่องจากทาใหไ้ ดว้ า่

20 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ 8) A  Bเน่ืองจาก A  { 0 , 2 , 7 , 8 }ทาใหไ้ ดว้ า่ A  B  { 0 , 1 , 2 , 3 , 5 , 7 , 8 } ถา้ A , B และ C เป็นเซตใดๆ ที่เป็นเซตยอ่ ยในเอกภพสมั พทั ธ์ U จะมีกฎตา่ งๆท่ีใชเ้ ก่ียวกบั การดาเนินการของเซต ดงั น้ีกฎต่างๆทเ่ี กยี่ วกบั การดาเนินการของเซต1) กฏนิจพล ( idempotent laws ) 1.1 A  A  A 1.2 A  A  A2) กฎการสลบั ที่ ( commutative laws ) 2.1 A  B  B  A 2.2 A  B  B  A3) กฎการเปล่ียนหมู่ ( associative laws ) 3.1 A  ( B  C )  ( A  B )  C 3.2 A  ( B  C )  ( A  B )  C4) กฎการแจกแจง ( distributive laws ) 4.1 A  ( B  C )  ( A  B )  ( A  C ) 4.2 A  ( B  C )  ( A  B )  ( A  C )5) กฎเอกลกั ษณ์ ( identity laws ) 5.1 A    A 5.2 A     5.3 A  U  U 5.4 A  U  A 5.5 A  A  

บทท่ี 1 เซต 21 5.6 A    A 5.7 A  B  A  B 5.8 A  B  A  ( A  B )6) กฎส่วนเติมเตม็ ( complement laws ) 6.1 A  A  U 6.2 A  A   6.3 (A)  A 6.4 U   6.5   U7) กฎเดอร์มอร์แกน ( De morgan’s laws ) 7.1 ( A  B )  A  B 7.2 ( A  B )  A  Bตัวอย่าง 1.16 จงพิสูจนข์ อ้ ความต่อไปน้ี1) ( A  B )  ( A  B )  A2) ( B  C )  A  ( B  A )  ( C  A )3) A  ( B  C )  ( A  B )  ( A  C )วธิ ีทา ใชก้ ฎต่างๆเก่ียวกบั การดาเนินการของเซตท้งั 7 ขอ้1) ( A  B )  ( A  B )  A ( A  B )  ( A  B )  A  ( B  B ) ; กฏการแจงแจง  A ; กฏส่วนเติมเตม็  A ; กฏเอกลกั ษณ์2) ( B  C )  A  ( B  A )  ( C  A ) (B  C)  A  A  (B  C) ; การสลบั ที่  ( A  B )  ( A  C ) ; การแจกแจง  ( B  A )  ( C  A ) ; การสลบั ที่

22 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ 3) A  ( B  C )  ( A  B )  ( A  C ) A  ( B  C )  A  ( B  C ) ; กฏเอกลกั ษณ์  A  ( B  C ) ; กฏเดอร์มอร์แกน  ( A  A )  ( B  C ) ; กฏนิจพล  ( A  B )  ( A  C ) ; สลบั ที่และเปล่ียนหมู่  (A  B) (A  C) ; กฏเอกลกั ษณ์1.6 การแก้โจทย์ปัญหาทเ่ี ก่ยี วข้องกับเร่ืองเซตจากดั การแกโ้ จทยป์ ัญหาที่เกี่ยวขอ้ งกบั เรื่องเซตจากดั น้นั ถา้ ใชก้ ฎต่างๆท่ีเกี่ยวกบั การดาเนินการของเซตและแผนภาพเวนน์ มาช่วยใหส้ ามารถแกป้ ัญหาโจทยไ์ ดง้ ่ายข้ึน ดงั น้ี 1.6.1 ถา้ เซต A และเซต B เป็นเซตท่ีไม่มีสมาชิกร่วมกนั หรือไมม่ ีสมาชิกตวั ใดเหมือนกนัเลย แสดงไดด้ งั รูป U ABถา้ ให้ n( A ) แทนจานวนสมาชิกท้งั หมดของเซต An( B ) แทนจานวนสมาชิกท้งั หมดของเซต Bและ n( A  B ) แทนจานวนสมาชิกท้งั หมดของเซต A  Bเนื่องจากเซต A และเซต B เป็นเซตที่ไม่มีสมาชิกร่วมกนั หรือไม่มีสมาชิกตวั ใดเหมือนกนั เลยจะไดว้ า่ n(A  B)  n(A)  n(B)

บทท่ี 1 เซต 23 1.6.2 ถา้ เซต A และเซต B เป็นเซตที่มีสมาชิกร่วมกนั หรือมีสมาชิกบางตวั เหมือนกนัแสดงไดด้ งั รูป U AB จากรูป เน่ืองจากเซต A และเซต B เป็นเซตท่ีมีสมาชิกร่วมกนั หรือมีสมาชิกบางตวัเหมือนกนั นนั่ คือ n(A  B)  จะไดว้ า่ n(A  B)  n(A)  n(B)  n(A  B) ในลกั ษณะเดียวกนั ถา้ มีเซต 3 เซตคือ A , B และ C โดยท่ีท้งั สามเซตไม่มีสมาชิกร่วมกนั เลยจะไดว้ า่ n(A  B  C)  n(A)  n(B)  n(C) แต่ถา้ A  B   , A  C   และ B  C   จะไดว้ า่ n(A  B  C)  n(A)  n(B)  n(C)  n(A  B)  n(A  C)  n(B  C)  n(A  B  C)ซ่ึงแสดงไดโ้ ดยแผนภาพเวนน์ ดงั รูปท่ี 1.8 U A (1) (4) (6) B (3) (2) (5) (7) C รูปท่ี 1.8 แสดงเซต 3 เซตท่มี ีสมาชิกบางตวั เหมือนกนั

24 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ จากรูปที่ 1.8 ถา้ กาหนดใหจ้ านวนสมาชิกในแตล่ ะส่วนเป็ นดงั น้ี n(A )  (1)  (2)  (3)  (4 ) n(B)  (3)  (4)  (5)  (6) n(C)  (2)  (3)  (5)  (7) n(A  B)  (3)  (4) n(A  C)  (2)  (3) n(B  C)  (3)  (5) n(A  B  C)  (3)และ n( A  B  C )  (1)  ( 2 )  ( 3)  ( 4 )  ( 5)  ( 6 )  ( 7 )จะไดว้ า่ n( A  B  C )  n( A )  n( B )  n( A  B )  n(C )  n(A  C)  n(B  C)  n(A  B  C)  n(A)  n(B)  n(C)  n(A  B)  n(A  C)  n(B  C)  n(A  B  C)ตัวอย่าง 1.17 จากขอ้ มูลของโรงเรียนแห่งหน่ึงซ่ึงมีนกั เรียน 100 คน พบวา่ มีนกั เรียน 63 คน ฟันผุ มีนกั เรียน 35 คน สายตาส้นั มีนกั เรียน 48 คน มีปัญหาดา้ นโภชนาการ มีนกั เรียน 16 คนมีปัญหาท้งั ดา้ นโภชนาการและสายตาส้นั มีนกั เรียน 27 คนมีปัญหาท้งั ดา้ นโภชนาการและฟันผุ มีนกั เรียน 10 คนมีปัญหาฟันผแุ ละสายตาส้นั และมีนกั เรียน 5 คนมีปัญหาท้งั 3 อยา่ ง จงหา 1) จานวนนกั เรียนท่ีมีปัญหาฟันผเุ พยี งอยา่ งเดียว 2) จานวนนกั เรียนที่มีปัญหาดา้ นโภชนาการเพียงอยา่ งเดียว 3) จานวนนกั เรียนที่ไม่มีปัญหาดา้ นใดเลย 4) จานวนนกั เรียนที่มีปัญหาเพยี ง 2 ดา้ น 5) จานวนนกั เรียนท่ีมีปัญหาอยา่ งใดอยา่ งหน่ึงเพียงดา้ นเดียววธิ ีทา นาขอ้ มูลจากโจทยก์ าหนดมาสร้างแผนภาพเวนน์ ไดด้ งั น้ี ถา้ ให้ A แทนนกั เรียนท่ีมีปัญหาฟันผุ B แทนนกั เรียนที่มีปัญหาสายตาส้ัน

บทที่ 1 เซต 25 C แทนนกั เรียนท่ีมีปัญหาดา้ นโภชนาการ เราจะใส่จานวนสมาชิกแต่ละส่วนโดยเร่ิมจาก n( A  B  C ) ก่อน แล้วจึงค่อยพิจารณาจานวนสมาชิกในส่วนของ n( A  B ) , n( A  C ) , n( B  C ) , n( A ) , n( B ), n( C ) และ n( U ) ดงั น้ี มีนกั เรียนที่มีปัญหาท้งั 3 อยา่ งอยู่ 5 คน ทาใหไ้ ดว้ า่ n( A  B  C )  5นกั เรียนที่มีปัญหาดา้ นโภชนาการและสายตาส้นั มี 16 คน ทาให้ n( B  C )  16  5  11นกั เรียนท่ีมีปัญหาดา้ นโภชนาการและฟันผมุ ี 27 คน ทาให้ n( A  C )  27  5  22นกั เรียนที่มีปัญหาดา้ นสายตาส้นั และฟันผมุ ี 10 คน ทาให้ n( A  B )  10  5  5นกั เรียนท่ีฟันผมุ ี 63 คน คือ n( A )  63  5  5  22  31นกั เรียนที่สายตาส้ันมี 35 คน คือ n( B )  35  5  5  11  14นกั เรียนท่ีมีปัญหาดา้ นโภชนาการมี 48 คน คือ n(C )  48  5  22  11  10และนกั เรียนท้งั หมดมี 100 คน  63  14  11  10  2จะไดจ้ านวนนกั เรียนแต่ละส่วนของแผนภาพเวนน์ ดงั รูป A U 63 - 5 - 5- 22 = 31 100 - 63 - 14 - 11 - 10 = 2 27 - 5= 22 10 - 5 = 5 5 48 - 22 - 5 - 11 = 10 16 - 5= 11 35 - 5 - 5- 11 = 14 B Cใชแ้ ผนภาพเวนน์ ที่ไดใ้ นการตอบคาถามดงั น้ี 1) จานวนนกั เรียนที่มีปัญหาฟันผเุ พียงอยา่ งเดียวเทา่ กบั 31 คน 2) จานวนนกั เรียนท่ีมีปัญหาดา้ นโภชนาการเพยี งอยา่ งเดียวเท่ากบั 10 คน 3) จานวนนกั เรียนที่ไม่มีปัญหาดา้ นใดเลยเทา่ กบั 2 คน 4) จานวนนกั เรียนที่มีปัญหาเพยี ง 2 ดา้ น เทา่ กบั 22+5+11  38 คน

26 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ 5) จานวนนกั เรียนท่ีมีปัญหาอยา่ งใดอยา่ งหน่ึงเพียงดา้ นเดียว เทา่ กบั 31+14+10  51 คนตวั อย่าง 1.18 จากการสารวจความชอบของแฟนบอลจานวน 120 คน ซ่ึงติดตามเชียร์ฟุตบอลโลก ปรากฏวา่ มีแฟนบอล 82 คนเชียร์ทีมชาติองั กฤษ มีแฟนบอล 64 คนเชียร์ทีมชาติบราซิล มีแฟนบอล 58 คนเชียร์ทีมชาติญี่ป่ ุน มีแฟนบอล 28 คนเชียร์ท้งั ทีมชาติองั กฤษและทีมชาติบราซิล มีแฟนบอล 38 คนเชียร์ท้งั ทีมชาติบราซิลและทีมชาติญี่ป่ ุน มีแฟนบอล 35 คนเชียร์ท้งั ทีมชาติองั กฤษและทีมชาติญี่ป่ ุนถา้ ไม่มีใครที่ไมเ่ ชียร์ทีมใดเลย จงหาวา่ มีแฟนบอลกี่คนท่ีเชียร์ท้งั 3 ทีมวธิ ีทา ให้ A แทนแฟนบอลท่ีเชียร์ทีมชาติองั กฤษ B แทนแฟนบอลที่เชียร์ทีมชาติบราซิล และ C แทนแฟนบอลที่เชียร์ทีมชาติญ่ีป่ ุนสร้างแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ ไดด้ งั น้ีA(องั กฤษ) 82  28  (35  x) 35  x 28  x x58  35  (38  x) 38  x 64  28  (38  x)C(ญ่ีป่ ุน) B(บราซิล) เน่ืองจากไมม่ ีใครท่ีไมเ่ ชียร์ทีมใดเลย จะไดว้ า่ n( U )  120  n( A  B  C )กาหนดให้ x แทน n( A  B  C )เน่ืองจาก n( A  B  C )  n( A )  n( B )  n(C )  n( A  B )  n(A  C)  n(B  C)  n(A  B  C)

บทที่ 1 เซต 27ดงั น้นั 120  82  64  58  28  38  35  xทาใหไ้ ดว้ า่ 120  204  101  x x  17ดงั น้นั มีแฟนบอล 17 คนท่ีเชียร์ท้งั 3 ทีมบทสรุป เซตเป็ นคาอนิยามท่ีใชเ้ รียกกลุ่มของส่ิงที่มีลกั ษณะใดลกั ษณะหน่ึงร่วมกนั และเรียกส่ิงที่อยู่ในเซตวา่ สมาชิกของเซต ถา้ เซตไหนสามารถบอกจานวนสมาชิกไดเ้ ราจะเรียกเซตน้นั ว่าเซตจากดัและถ้าไม่สามารถบอกได้ว่าเซตน้นั มีสมาชิกจานวนเท่าใดเราเรียกเซตน้ันว่าเซตอนนั ต์ ถ้ามีเซตสองเซตใด ๆ เราจะสร้างเซตใหม่ไดโ้ ดยใชก้ ารดาเนินการของเซตไดแ้ ก่ การยูเนียน อินเตอร์เซกชนัผลต่าง และส่วนเติมเต็ม และเราสามารถประยุกต์ใช้สมบตั ิของการดาเนินการของเซตในการแกป้ ัญหาโจทยท์ ี่เกี่ยวกบั การหาจานวนสมาชิกในเซตจากดั

28 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ แบบฝึ กหดั บทที่ 11. จงเขียนเซตตอ่ ไปน้ีแบบแจกแจงสมาชิก 1) A  { x | x  2a เมื่อ a  N } 2) B  {x | x  y 2 , y  I และ y2  10} 3) C  {x | x แทนพยญั ชนะคาวา่ “ Probability ” } 4) D  { y | y แทนเดือนที่มี 31 วนั } 5) E  { y | y2  a , a  I และ a  10}2. จงเขียนเซตต่อไปน้ีแบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก 1) A  {1, 5, 25, 125, . . . } 2) B  {1,  1} 3) C  {. . .,  3,  2 ,  1, 1, 2 , 3, . . .} 4) D  {5, 6, 7, 8, 9} 5) E  { แดง , ขาว , น้าเงิน }3. จงพิจารณาวา่ ขอ้ ใดต่อไปน้ีถูกตอ้ งหรือไมถ่ ูกตอ้ ง 1) A  { 0 } ดงั น้นั A เป็นเซตวา่ ง 2) A   ดงั น้นั A เป็นเซตจากดั 3) A  {  } ดงั น้นั A เป็นเซตวา่ ง 4) A  {  } , B   ดงั น้นั A  B 5) A  { 1 , 2 , 3 } , B  { 2 , 1 , 3 } ดงั น้นั A ~ B 6) C  { 1 , 2 , 3 } , D  { 2 , 1 , 3 } ดงั น้นั A  B 7) E  { 2 , 4 , 6 } , B  { x | x เป็ นจานวนคู่บวก } ดงั น้นั E  F 8) G  { x | x  N และ x  0 } , H  {  1 ,  2 ,  3 , . . . } ดงั น้นั G  H 9) I  { x | x  N และ x  0 } เป็ นเซตอนนั ต์ 10) J  { x | x  I และ x  0 } เป็ นเซตอนนั ต์

บทที่ 1 เซต 294. จงพจิ ารณาวา่ ขอ้ ความตอ่ ไปน้ีถูกหรือผิด 1) { 2 }  { { 2 } } 2)   { { 4 } } 3)   { 0 } 4) 0  { 0 } 5)   { } 6)   {  } 7)   { 7 } 8)   {  } 9) { 1 }  { 1 , { 1 } } 10) { 1 }  { 1 , { 1 } } 11) A  P ( A ) 12)   P( A ) 13)   P(A ) 14) 0  { 0 } 15) { 2 }  { { 2 } , 2 } 16) { 2 }  { { 2 } , 2 }5. จงหาเซตกาลงั ของเซตต่อไปน้ี 1) A  {  } 2) B  { 1 , { 0 ,  } } 3) C  { a , bc }6. กาหนดให้ U  { 1 , 2 , 3 , . . . , 10 } , A  { 1 , 2 , 4 , 6 , 7 , 8 } B  { 2 , 6 , 9 } , C  { 3 , 5 , 6 } จงหา 1) A  B 2) A  B  C 3) A  C

30 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ 4) B  C 5) A 6) B  A 7) B  A 8) A  B 9) B  ( A  C ) 10) ( A  B ) 11) ( B  C ) 12) B  C7. ถา้ เซต A มีสมาชิก 45 คน เซต B มีสมาชิก 52 คน และถา้ สมาชิกของ A  B มี 85 คน จงหาสมาชิกของ A  B8. โรงเรียนแห่งหน่ึงจดั กิจกรรมตน้ ไมใ้ หพ้ อ่ จึงกาหนดให้นกั เรียนทุกคนปลูกตน้ ไมอ้ ยา่ งนอ้ ย คนละ 1 ตน้ จากตน้ ไม้ 3 ชนิดคือ ตน้ สัก ตน้ สะเดา และ ตน้ กลว้ ย ปรากฏวา่ มีนกั เรียน 60 คนปลูกตน้ สัก 52 คนปลูกตน้ สะเดา 72 คนปลูกตน้ กลว้ ย 27 คนปลูกท้งั สักและสะเดา 30 คนปลูกท้งั สะเดาและกลว้ ย 20 คนปลูกท้งั สามอยา่ ง 15 คนปลูกแค่กลว้ ยเพยี งอยา่ งเดียว จงหาวา่ 1) มีนกั เรียนกี่คนที่ปลูกตน้ ไมเ้ พียงอยา่ งเดียว 2) มีนกั เรียนกี่คนที่ปลูกตน้ สกั เพียงอยา่ งเดียว 3) มีนกั เรียนก่ีคนที่ปลูกตน้ กลว้ ยแตไ่ มไ่ ดป้ ลูกตน้ สะเดา 4) โรงเรียนน้ีมีนกั เรียนท้งั หมดกี่คน

บทท่ี 1 เซต 319. นกั เรียนหอ้ งหน่ึงมีท้งั หมด 80 คน ถา้ มี 50 คน สอบตกวชิ าคณิตศาสตร์ 40 คน สอบตกวชิ าภาษาองั กฤษ และมี 12 คน ไมต่ กวชิ าใดเลย จงหา 1) มีนกั เรียนกี่คนที่สอบตกท้งั สองวชิ า 2) มีนกั เรียนกี่คนท่ีสอบตกวชิ าคณิตศาสตร์เพยี งวชิ าเดียว 3) มีนกั เรียนก่ีคนที่สอบตกเพียงวชิ าเดียว