บทที่ 6 การแจกแจงของตัวอย่างสุ่ม

บทท่ี 6 การแจกแจงของตวั อย่างสุ่ม สถิติแบ่งไดเ้ ป็ น 2 ประเภท ไดแ้ ก่ สถิติพรรณนา (descriptive statistics) และสถิติอา้ งอิงหรือสถิติเชิงอนุมาน (inference statistics) โดยสถิติพรรณนาเป็ นสถิติท่ีศึกษาลกั ษณะของตวั อยา่ งหรือประชากรและผลการศึกษาที่ได้จะอธิบายลกั ษณะของตวั อย่าง หรือประชากรที่ได้ทาการศึกษาน้ัน ซ่ึงแตกต่างจากสถิติเชิงอนุมานท่ีเป็ นสถิติที่ศึกษาลักษณะของตัวอย่างแล้วนาผลของการศึกษาตัวอย่าง ไปอ้างอิงเพื่อการอธิ บายลักษณะของประชากรซ่ึงขอ้ สรุปท่ีไดข้ องประชากรจะถูกตอ้ งหรือไม่น้นั ข้ึนอยกู่ บั เง่ือนไขของตวั อยา่ งที่ไดม้ า ดงั น้นั ในบทน้ีจึงกล่าวถึงวธิ ีการไดม้ าซ่ึงกลุ่มตวั อยา่ งซ่ึงเราเรียกวา่ การสุ่มตวั อยา่ งและการแจกแจงของฟังก์ชนั ท่ีไดจ้ ากการสุ่มตวั อยา่ งเพื่อประโยชน์ในการวิเคราะห์ขอ้ สรุปของประชากรท่ีถูกตอ้ งตอ่ ไป6.1 ประชากรและตัวอย่างบทนิยาม 6.1.1 ประชากร (population) หมายถึง เซตของขอ้ มลู (data) หรือคา่ สังเกต (observation) ท้งั หมดท่ีสนใจศึกษา ในบางคร้ังประชากรอาจไม่จาเป็ นตอ้ งเป็ นคนหรือส่ิงมีชีวติ แต่อาจเป็ นส่ิงของก็ได้ เช่นถา้ สนใจอายุการใชง้ านเฉลี่ยของทีวีสีย่ีห้อพาราโซนิค ประชากรก็คือ เซตของอายกุ ารใชง้ านของทีวีสีย่ีห้อพาราโซนิคทุกเคร่ือง หรือถ้าสนใจค่าใช้จ่ายเฉล่ียท่ีใช้ในการศึกษาต่อภาคเรียนของนกั ศึกษาช้นั ปี ที่ 1 ปี การศึกษา 2556 ของมหาวิทยาลยั ราชภฏั ลาปาง ประชากรก็คือ เซตของค่าใชจ้ ่ายท่ีใชใ้ นการศึกษาต่อภาคเรียนของนกั ศึกษาช้นั ปี ท่ี 1 ปี การศึกษา 2556 ของมหาวทิ ยาลยัราชภฏั ลาปางทุกคน จะเห็นวา่ ในบางคร้ังตอ้ งกาหนดขอบเขตของประชากรท่ีศึกษาใหช้ ดั เจน ซ่ึงอาจเป็นขอบเขตท่ีกาหนดโดยพ้นื ที่ หรือช่วงเวลา เพ่ือให้เกิดความเขา้ ใจที่ตรงกนั ดงั น้นั ค่าใชจ้ ่ายท่ีใช้ในการศึกษาต่อภาคเรียนของนักศึกษาช้ันปี อื่นๆ ของมหาวิทยาลัยราชภฏั ลาปาง หรือค่าใชจ้ ่ายเฉลี่ยของนกั ศึกษาช้นั ปี ท่ี 1 ปี การศึกษา 2555 ก็ไม่ใช่ส่วนหน่ึงของประชากรที่ตอ้ งการศึกษา เป็นตน้

232 ความน่าจะเป็นและสถิติเบ้ืองตน้บทนิยาม 6.1.2 พารามิเตอร์ (parameter) หมายถึง ค่าที่แสดงลกั ษณะของประชากร ในการศึกษาประชากร ค่าท่ีได้จากการศึกษาประชากรน้ันเรียกว่า ค่าพารามิเตอร์ เช่นค่าเฉลี่ยของประชากรซ่ึงใช้สัญลกั ษณ์แทนด้วย  หรือค่าความแปรปรวนของประชากรใช้สัญลกั ษณ์แทนดว้ ย 2 เรียก  และ 2 วา่ พารามิเตอร์ ค่ า พ า ร า มิ เ ต อ ร์ ข อ ง ป ร ะ ช า ก ร น้ ัน ถ้า ป ร ะ ช า ก ร มี จ า น ว น จ า กัด แ ล ะ มี ค่ า ไ ม่ ม า ก นักการหาค่าพารามิเตอร์ก็สามารถทาได้ แมว้ า่ อาจจะตอ้ งเสียเวลาและค่าใช้จ่ายสูง แต่ถา้ ประชากรมีจานวนมากหรื อจานวนไม่จากัดแล้ว ค่าพารามิเตอร์ ก็จะเป็ นค่าทางทฤษฎีท่ีหาได้จากการแจกแจงของตัวแปรสุ่ มที่สอดคล้องกับการแจกแจงของประชากรน้ัน นั่นคือจะหาค่าพารามิเตอร์ได้ เม่ือทราบการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม แต่ถ้าไม่ทราบการแจกแจงของตัวแปรสุ่ มก็จะไม่ส ามารถ หาค่าพารามิเตอร์ จริ งๆ ของประ ชาก รก ลุ่มน้ันได้ซ่ึงในกรณีท่ีไม่สามารถหาค่าพารามิเตอร์โดยการศึกษาจากประชากรได้ แต่ก็ยงั สามารถหาค่าพารามิเตอร์ไดโ้ ดยอาศยั การอา้ งอิงจากค่าสถิติที่ได้จากการศึกษาบางส่วนของประชากรน้ันซ่ึงเรียกวา่ ตวั อยา่ ง หรือกลุ่มตวั อยา่ งบทนิยาม 6.1.3 ตวั อยา่ ง (sample) คือ เซตยอ่ ยของประชากรบทนิยาม 6.1.4 คา่ สถิติ (statistic) หมายถึง คา่ ท่ีแสดงหรืออธิบายลกั ษณะของตวั อยา่ ง เนื่องจากบางคร้ังไม่สามารถวดั ค่าสังเกตหรือค่าข้อมูลจากทุกหน่วยของประชากรเพื่อหาค่าพารามิเตอร์ได้ จึงต้องเลือกค่าข้อมูลหรื อค่าสังเกตจากบางส่วนของประชากรมาทาการศึกษาเพือ่ หาค่าสถิติ เช่น ถา้ ตอ้ งการทราบอายกุ ารใชง้ านเฉล่ียของทีวสี ียหี่ อ้ พาราโซนิคเราไม่สามารถวดั ค่าอายุการใชง้ านของทีวีสีย่หี ้อพาราโซนิคทุกเครื่องได้ จึงตอ้ งเลือกอายุการใช้งานเพียงบางเครื่อง ซ่ึงอาจมีจานวนเป็ น 30 เคร่ือง 50 เคร่ือง หรือขนาดอื่นที่เหมาะสมมาเป็ นตวั อย่าง เพื่อหาค่าอายุการใช้งานเฉลี่ยของตวั อย่าง ( X ) แล้วนาค่าไปประมาณค่าเฉลี่ยของประชากร ( ) ตอ่ ไป ตัวอย่างที่ดีน้ัน ต้องเป็ นตัวแทนท่ีดีของประชากร กล่าวคือ ลักษณะของตัวอย่างต้องเหมือนหรือคล้ายคลึงกับลักษณะของประชากรมากท่ีสุด จึงจะได้ค่าสถิติท่ีจะประมาณ

บทที่ 6 การแจกแจงของตวั อยา่ งสุ่ม 233ค่าพารามิเตอร์ไดใ้ กลเ้ คียงความเป็ นจริงมากที่สุด ซ่ึงการไดม้ าของตวั อยา่ งก็จะข้ึนอยกู่ บั วิธีการสุ่มตวั อยา่ งที่เหมาะสม6.2 วธิ กี ารสุ่มตัวอย่าง วธิ ีการสุ่มตัวอย่าง (random sampling) แบ่งไดก้ วา้ งๆ 2 ประเภท คือ 1. การสุ่มตัวอย่างโดยไม่ใช้ความน่าจะเป็ น (nonprobability random sampling) การสุ่มแบบน้ีอาศยั ความสะดวกหรือความรู้สึกของผเู้ ก็บขอ้ มูลเป็ นหลกั ขอ้ มูลที่ได้อาจมีความลาเอียง (bias) เนื่องจากไม่คานึงถึงความน่าจะเป็ นหรือโอกาสของการเกิดของขอ้ มูลแต่ละตวั การสุ่มตวั อยา่ งโดยไมใ่ ชค้ วามน่าจะเป็นน้ี ทาได้ 3 แบบ คือ 1.1 การสุ่มตวั อย่างโดยสะดวกหรือสุ่มแบบบงั เอิญ ซ่ึงใช้ความสะดวกรวดเร็วของการเก็บขอ้ มูลเป็ นหลกั เช่น ผูเ้ ก็บขอ้ มูลไปยื่นหน้าห้างสรรพสินคา้ แลว้ สารวจความคิดเห็นเก่ียวกบั เรื่องต่างๆ จากลูกคา้ ท่ีเดินผา่ นหน้าห้างสรรพสินคา้ หรือการเก็บขอ้ มูลจากการสัมภาษณ์โดยผสู้ มั ภาษณ์เดินไปเจอใครที่คิดวา่ น่าจะใหข้ อ้ มูลไดก้ ส็ ัมภาษณ์ 1.2 การสุ่มตัวอย่างโดยเฉพาะเจาะจง การสุ่มแบบน้ีจะใช้ความรู้สึกหรื อความคิดเห็นของผูเ้ ก็บข้อมูลเป็ นหลักในการพิจารณาเลือกตวั อย่างท่ีคิดว่าจะเป็ นตวั แทนท่ีดีของประชากร เช่น การเลือกตวั อย่างโดยเจาะจงลงไปว่าจะเป็ นใครบา้ ง ซ่ึงอาจเลือกคนที่รู้จกัหรือคนท่ีคิดวา่ น่าจะใหข้ อ้ มลู น้นั ๆ ไดด้ ี 1.3 การสุ่มแบบแบ่งโควตา (Quota Sampling) การสุ่มแบบน้ีอาจมีการแบ่งลกั ษณะของขอ้ มูลท่ีตอ้ งการไวเ้ ป็ นกลุ่มๆ แลว้ กาหนดจานวนหรือโควตาของขอ้ มูลแต่ละกลุ่มไว้เช่น ถา้ ตอ้ งการทราบสัดส่วนของผทู้ ่ีชื่นชอบพรรคการเมืองพรรคหน่ึง จึงสุ่มสารวจความชื่นชอบโดยแบง่ พ้นื ท่ีออกเป็น 6 ภาค แตล่ ะภาคตอ้ งการตวั อยา่ งภาคละ 200 คน 2. การสุ่มตัวอย่างโดยอาศัยความน่าจะเป็ น (probability random sampling) การสุ่มตวั อยา่ งแบบน้ีโอกาสหรือความน่าจะเป็ นท่ีแต่ละหน่วยของประชากรจะถูกเลือกมาเป็นตวั อยา่ งจะเท่าๆกนั ตวั อยา่ งท่ีไดม้ าจากการสุ่มแบบน้ีเรียกวา่ ตวั อยา่ งสุ่ม (random sampling)การสุ่มตวั อยา่ งโดยอาศยั ความน่าจะเป็ นท่ีนิยมใชม้ ี 5 แบบ ดงั น้ี 2.1 การสุ่มตวั อยา่ งแบบง่าย (simple random sampling) การสุ่มแบบน้ีจะใช้ในกรณีที่ประชากรแต่ละหน่วยมีความแตกต่างกนั น้อยที่สุด และความน่าจะเป็ นที่แต่ละหน่วยของประชากรจะถูกเลือกเป็ นตวั อย่างมีเท่าๆ กนั จากน้ันใช้การจบั สลากหรือใช้ตารางเลขสุ่มเพ่ือหาตวั อย่าง เช่น ถา้ ตอ้ งการทราบรายจ่ายเฉลี่ยต่อวนั ของนักศึกษาช้ันปี ที่ 4 โดยขนาดของประชากรคือ 1,000 คน แต่ตอ้ งการตวั อย่างขนาด 100 คน ถ้าใช้วิธีการจบั สลากก็ทาได้

234 ความน่าจะเป็นและสถิติเบ้ืองตน้โดยการเขียนช่ือหรื อรหัสของนักศึกษาทุกคนใส่สลาก แล้วสุ่มจับสลากข้ึนมา 100 ใบถา้ ใช้ตารางเลขสุ่มก็ทาไดโ้ ดยให้รหสั ของนกั ศึกษาท้งั 1,000 คนโดยกาหนดรหสั ต้งั แต่ 0001 ถึง1000 จากน้ันสุ่มหาตวั เลขเริ่มตน้ ในตารางเลขสุ่มเม่ือได้แล้วให้อ่านค่าตวั เลขชุดละ 4 ตวัการอ่านค่าตวั เลขแต่ละชุดน้ันต้องกาหนดให้ชัดเจนว่าจะอ่านจากซ้ายไปขวา ขวาไปซ้ายบนลงล่าง หรือล่างข้ึนบน ให้ไดจ้ านวน 100 ชุดตวั เลข ชุดตวั เลขท่ีไดก้ ็คือ รหสั ของนกั ศึกษาที่จะใชเ้ ป็นตวั อยา่ งนน่ั เองบางคร้ังชุดตวั เลขที่เปิ ดจากตารางเลขสุ่มอาจอยู่นอกขอบเขตของประชากรเช่น ถ้าประชากรมีจานวน 500 หน่วย ตอ้ งกาหนดรหัสประชากรต้งั แต่ 001 ถึง 500 การอ่านค่าตวั เลขจากตารางเลขสุ่มตอ้ งอ่านชุดตวั เลขละ 3 ตวั ดงั น้ันมีโอกาสท่ีชุดเลขสุ่มที่ได้จะอยู่นอกขอบเขตของประชากรท่ีมี เช่น ไดช้ ุดตวั เลขเป็น 860 หรือ 715 จึงตอ้ งตดั ชุดตวั เลขที่ไดท้ ิ้งไป แลว้อ่านค่าชุดตวั เลขชุดใหม่จนไดช้ ุดตวั เลขที่ตรงกบั รหัสของประชากรครบตามจานวนขนาดของตวั อยา่ งท่ีตอ้ งการ2.2 การสุ่มตวั อย่างแบบแบ่งช้ัน (stratified random sampling) การสุ่มแบบน้ีจะใชก้ บั กรณีท่ีประชากรมีความแตกต่างกนั มาก จึงตอ้ งแบ่งประชากรออกเป็ นช้นั โดยประชากรท่ีอยู่ในช้ันเดียวกันจะมีลักษณะคล้ายคลึงกันมากที่สุ ด และประชากรท่ีอยู่ต่างช้ันกันก็จะมีความแตกต่างกนั มากที่สุด จากน้นั ทาการสุ่มตวั อยา่ งจากประชากรแต่ละช้นั เช่น ตอ้ งการทราบรายได้เฉล่ียในเดือนแรกของการทางานของบัณฑิตท่ีจบกา รศึกษาในปี 2555ของมหาวิทยาลัยราชภฏั ลาปาง จานวน 1,000 คน ถ้าแบ่งช้ันของประชากรโดยใช้อาชีพของบณั ฑิตเป็ น 4 ช้นั คือ รับราชการ 250 คน พนกั งานรัฐวสิ าหกิจ 100 คน ลูกจา้ งเอกชน 450 คนธุรกิจส่วนตวั 200 คน ตอ้ งการกลุ่มตวั อย่างขนาด 120 คน จากแต่ละช้ัน จานวนตวั อย่างในแต่ละช้นั หาไดด้ งั น้ีอาชีพรับราชการหรือรัฐวสิ าหกิจ เท่ากบั 120  250  30 คน 1000อาชีพพนกั งานรัฐวสิ าหกิจ เทา่ กบั 120 100 12คน 1000อาชีพลูกจา้ งเอกชน เท่ากบั 120  450  54 คน 1000อาชีพธุรกิจส่วนตวั เท่ากบั 120  200  24 คน 1000นน่ั คือตอ้ งสุ่มตวั อยา่ ง 30 คน จากบณั ฑิตท่ีรับราชการ 12 คน จากบณั ฑิตที่เป็ นพนกั งานรัฐวสิ าหกิจ 54 คน จากบณั ฑิตท่ีเป็นลูกจา้ งเอกชน และ 24 คนจากบณั ฑิตท่ีประกอบธุรกิจส่วนตวัการสุ่มแบบแบ่งช้นั น้ีถือเป็ นการสุ่มท่ีไดต้ วั อย่างท่ีมีลกั ษณะท่ีเหมือนหรือใกล้เคียงกบัลกั ษณะของประชากรมากท่ีสุด

บทท่ี 6 การแจกแจงของตวั อยา่ งสุ่ม 235 2.3 การสุ่มตัวอย่างแบบเกาะกลุ่ม (cluster random sampling) ถ้าประชากรมีความหลากหลายมาก การท่ีจะแบ่งประชากรออกเป็ นช้ันท่ีแตกต่างกันเพื่อสุ่มตัวอย่างแบบแบ่งช้ันอาจทาได้ยาก หรือเกิดช้ันหลายช้ัน จึงใช้วิธีการแบ่งประชากรออกเป็ นกลุ่มๆโ ด ย ภ า ย ใ น ก ลุ่ ม แ ต่ ล ะ ก ลุ่ ม จ ะ ต้ อ ง ป ร ะ ก อ บ ด้ ว ย ห น่ ว ย ตัว อ ย่ า ง ที่ มี ค ว า ม แ ต ก ต่ า ง กั นหรือมีความหลากหลายเช่นเดียวกบั ลกั ษณะของประชากร แต่ถา้ พิจารณาเปรียบเทียบแต่ละกลุ่มที่แบ่งไวต้ ้องมีลกั ษณะเหมือนหรือคล้ายคลึงกัน จากน้ันทาการสุ่มแต่ละกลุ่มของประชากรท่ีแบ่งไวไ้ ปเป็ นตวั อย่าง เช่น ตอ้ งการทราบค่าใชจ้ ่ายเฉลี่ยต่อเดือนของครัวเรือนภาคเกษตรกรรมในเขตอาเภอแม่ทะ จงั หวดั ลาปาง ถา้ แบ่งกลุ่มของประชากรออกเป็ นหมู่บา้ น เนื่องจากค่าใชจ้ ่ายเฉลี่ยต่อเดือนของครัวเรือนภาคเกษตรกรรมของแต่ละหมู่บา้ นในเขตอาเภอแม่ทะไม่น่าจะมีความแตกตา่ งกนั มากนกั จากน้นั สุ่มหมบู่ า้ นจานวน 2 หมูบ่ า้ นไปเป็นตวั อยา่ ง 2.4 การสุ่มตวั อยา่ งแบบหลายช้นั (multi stage random sampling) เป็ นการสุ่มแบบเกาะกลุ่มหลายๆ คร้ัง เช่น ในกรณีการแบ่งประชากรออกเป็ นกลุ่มตามพ้ืนที่จงั หวดั แลว้ สุ่มจงั หวดั จงั หวดั ที่ไดแ้ บ่งกลุ่มออกเป็ นอาเภอแล้วสุ่มอาเภอ อาเภอที่ไดแ้ บ่งกลุ่มออกเป็ นตาบลแลว้ สุ่มตาบล ตาบลที่ไดแ้ บ่งกลุ่มออกเป็นหมู่บา้ นแลว้ สุ่มหมู่บา้ น6.3 การแจกแจงของฟังก์ชันทไ่ี ด้จากการสุ่มตัวอย่าง ดงั ที่ไดก้ ล่าวมาแลว้ ว่า พารามิเตอร์ของประชากรจะคานวณไดจ้ ากขอ้ มูลหรือค่าสังเกตที่วดั ไดจ้ ากทุกหน่วยของประชากร ดงั น้นั จึงคานวณไดค้ ่าเพียงค่าเดียว ส่วนค่าสถิติที่ไดจ้ ากการสุ่มตวั อย่างมาจากประชากรน้ัน อาจมีได้หลายค่าข้ึนอยู่กับจานวนกลุ่มตัวอย่างที่สุ่มมา เช่นถา้ ประชากรมีจานวน 10 หน่วย การหาค่าเฉล่ียจากขอ้ มูล 10 หน่วยน้ีก็คือค่าเฉล่ียของประชากรซ่ึงจะได้ผลลพั ธ์ออกมาเพียงค่าเดียว แต่ถ้าใช้วิธีการสุ่มตวั อย่างทีละ 3 หน่วย แลว้ หาค่าเฉล่ียจะไดค้ ่าเฉลี่ยของตวั อยา่ งจานวน เท่ากบั 10C3 กลุ่ม ซ่ึงเท่ากบั 120 กลุ่มตวั อย่าง นน่ั คือจะได้ค่าเฉลี่ยของตวั อย่างจานวน 120 ค่า ดงั น้นั จึงถือว่าค่าสถิติท่ีไดจ้ ากตวั อย่างมีลกั ษณะเป็ นตวั แปรสุ่ม

236 ความน่าจะเป็นและสถิติเบ้ืองตน้บทนิยาม 6.3.1 ถา้ x1 , x2 , x3 , … , xN เป็ นค่าสังเกตท่ีไดจ้ ากประชากร N หน่วย จะไดว้ า่ คา่ เฉลี่ยของประชากรและความแปรปรวนของประชากรมีคา่ ดงั น้ี N  xiคา่ เฉล่ียของประชากร    i1 N N  ( xiความแปรปรวนของประชากร  )2 i1  2  Nบทนิยาม 6.3.2 ถา้ x1 , x2 , x3 , … , xn เป็นค่าสงั เกตท่ีไดจ้ ากตวั อยา่ งขนาด n หน่วย คา่ เฉล่ียของตวั อยา่ ง ใชส้ ญั ลกั ษณ์แทนดว้ ย X โดยที่ n  xi X  i1 nบทนิยาม 6.3.3 ถา้ x1 , x2 , x3 , … , xn เป็นคา่ สงั เกตที่ไดจ้ ากตวั อยา่ งขนาด n หน่วย ความแปรปรวนของตวั อยา่ ง ใชส้ ัญลกั ษณ์แทนดว้ ย S2 โดยที่ nS =2 (xi  X )2 i1 n 1ทฤษฎบี ท 6.3.1 ถา้ S2 เป็นความแปรปรวนของตวั อยา่ งขนาด n แลว้S =  2n n xi2   n xi 2 i 1  i 1  n(n 1)

บทท่ี 6 การแจกแจงของตวั อยา่ งสุ่ม 237พสิ ูจน์ จากบทนิยาม 6.3.3 n S =2 (xi  X )2 i1 n 1 n (xi2  2xi X  X 2 ) = i1 n 1 nn  xi2  2X xi  nX 2 = i1 i1 n 1 n n xi  xi2  2nX i 1  nX 2 = i1 n n 1 n  xi2  2nX 2  nX 2 = i1 n 1 n  xi2  nX 2 = i1 n 1  n 2 n   xi = i1 xi2  n i 1    n n 1  n 2 n  xi  = i1 xi2  i 1 n n 1ดงั น้นั S =  2nn xi2   n xi 2 i 1  i 1  n(n 1)บทนิยาม 6.3.4 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตวั อยา่ งคือค่ารากที่สองท่ีเป็นบวกของความแปรปรวน ของตวั อยา่ ง เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ S โดยท่ี S= n หรือ S =  nn xi2   n xi 2 i 1  i 1   (xi  X )2 n(n 1) i 1 n 1

238 ความน่าจะเป็นและสถิติเบ้ืองตน้ตัวอย่าง 6.1 สุ่มตวั อยา่ งขนาด 10 จากประชากร ไดค้ า่ สงั เกตดงั น้ี 10 8 16 5 9 12 7 8 11 15จงหา 1. ค่าเฉลี่ยของตวั อยา่ ง 2. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตวั อยา่ งวธิ ีทา 1. คา่ เฉลี่ยของตวั อยา่ งจาก nจะไดว้ า่  xi X  i1 n 10  xi X  i1 10 = 8 16  5  9 12  7  8 1115 10 10 = 101 10 = 10.1ดงั น้นั คา่ เฉลี่ยของตวั อยา่ ง คือ 10.12. ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของตวั อยา่ งจาก  S2 n xi2   n xi 2 โดยท่ี 10 = 101 และ 10 = 1,129  i 1   n  xi  xi2 i 1 n(n 1) i1 i1ดงั น้นั S2 = (10)(1,129)  (101)2 (10)(9) = 1089 90 = 12.1  S = 12.1 = 3.479ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตวั อยา่ ง คือ 3.479ตวั อย่าง 6.2 สุ่มจบั สลากจานวน 2 ใบ จากสลากท้งั หมด 5 ใบ ซ่ึงเขียนหมายเลข 1, 2, 3, 4, 5 1. จงหาคา่ เฉลี่ยและความแปรปรวนของประชากรหมายเลขสลาก 2. จงสร้างตารางแสดงคา่ เฉล่ียของหมายเลขสลากท่ีไดจ้ ากการสุ่มตวั อยา่ ง

บทที่ 6 การแจกแจงของตวั อยา่ งสุ่ม 239วธิ ีทา 1. จงหาค่าเฉล่ียและความแปรปรวนของประชากรหมายเลขสลากให้ X เป็นตวั แปรสุ่มแทนหมายเลขสลากท้งั 5 ใบ จะได้ X = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 N  xiจะไดว้ า่ คา่ เฉล่ียของประชากรหมายเลขสลาก    i1 N 5  xi = 1 23 45 = 15 = 3 i1 5 55 N (xi  )2ความแปรปรวนของประชากรหมายเลขสลาก  2  i1 N 5 = (1 3)2  (2  3)2  (3  3)2  (4  3)2  (5  3)2 (xi  μ)2 5=2 i1 5 = 10 = 2 5ดงั น้นั คา่ เฉลี่ยของประชากร คือ 3 และความแปรปรวนของประชากร คือ 22. จงสร้างตารางแสดงคา่ เฉลี่ยของหมายเลขสลากท่ีไดจ้ ากการสุ่มตวั อยา่ ง สลากท้งั หมดมี 5 ใบ สุ่มตวั อยา่ งชุดละ 2 ใบ จะไดช้ ุดตวั อยา่ งท้งั หมด 5C2 = 10 ชุด สร้างตารางแสดงค่าเฉล่ียของตวั อยา่ งแต่ละชุดไดด้ งั น้ีชุดท่ี ตวั อยา่ ง คา่ เฉล่ีย ( X )1 1,2 1.52 1,3 23 1,4 2.54 1,5 35 2,3 2.56 2,4 37 2,5 3.58 3,4 3.59 3,5 410 4 , 5 4.5 จากตวั อยา่ ง 6.2 ค่าเฉลี่ยของตวั อยา่ ง หรือ X ของแต่ละชุดก็คือ ตวั แปรสุ่ม ดงั น้นั จึงสามารถหาคา่ เฉล่ียและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเช่นเดียวกบั ตวั แปรสุ่มอื่นๆ เช่นกนั

240 ความน่าจะเป็นและสถิติเบ้ืองตน้6.4 ค่าเฉลย่ี และความแปรปรวนของตวั อย่างสุ่มตัวอย่างขนาด n จากประชากรขนาด N และได้กลุ่มตัวอย่างจานวน k กลุ่มถา้ หาค่าเฉลี่ยของแต่ละกลุ่มตวั อย่างได้ X1, X2, X3,..., Xk แลว้ จะไดว้ ่า X เป็ นตวั แปรสุ่มของประชากรใหม่ขนาด k หน่วย ซ่ึงมีค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง (sample mean) X และความแปรปรวนของตวั อยา่ ง (sample variance) คือ X2 การหาค่าของ X และ X2 แบ่งเป็ น 2 กรณีตามลกั ษณะการสุ่มตวั อยา่ ง ดงั น้ีกรณที ่ี 1 การสุ่มตวั อยา่ งแบบใส่คืน การสุ่มตวั อยา่ งขนาด n จากประชากรขนาด N ท่ีมีคา่ เฉลี่ย  ความแปรปรวน 2 น้นัจะไดช้ ุดตวั อยา่ งท้งั สิ้น N n กลุ่มค่าเฉลี่ยของตวั อยา่ ง ( X ) จะมีคา่ เทา่ กบั ค่าเฉล่ียของประชากร นนั่ คือ X  Xความแปรปรวนของตวั อยา่ งจะเทา่ กบั ความแปรปรวนของประชากรหารดว้ ย n นน่ั คือ X2  2 หรือ X   n n เมื่อ X คือส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของตวั อยา่ งกรณที ่ี 2 การสุ่มตวั อยา่ งแบบไมใ่ ส่คืนการสุ่มตวั อยา่ งขนาด n จากประชากรขนาด N ท่ีมีคา่ เฉล่ีย  ความแปรปรวน 2 โดยการสุ่มแบบไมใ่ ส่คืนน้นั จานวนกลุ่มตวั อยา่ งจะเทา่ กบั NCn กลุ่ม คา่ เฉลี่ยของตวั อยา่ ง X จะมีค่าเท่ากบั ค่าเฉล่ียของประชากร  นน่ั คือ X   ความแปรปรวนของตวั อยา่ ง (X2 ) จะเท่ากบั ความแปรปรวนของประชากรคูณดว้ ยN  n และหารดว้ ย n นนั่ คือN 1 X2 = 2(N  n) n(N 1)หรือ X =  (N  n) n (N 1)เม่ือ X คือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตวั อยา่ งเราเรียก N  n วา่ แฟกเตอร์ปรับสาหรับประชากรที่นบั ไดถ้ ว้ น แต่ในทางปฏิบตั ิเราจะ N 1ไมค่ านึงถึงตวั คูณ N  n เมื่อค่าของ n  0.05 หรือ N  n มีค่าเขา้ ใกล้ 1 และขนาดตวั อยา่ ง N 1 N N 1มีค่ามาก X2 จะมีค่าเขา้ ใกล้ 2 n

บทท่ี 6 การแจกแจงของตวั อยา่ งสุ่ม 241ทฤษฎบี ท 6.4.1 ถา้ X เป็นค่าเฉลี่ยของตวั อยา่ งขนาด n ท่ีสุ่มจากประชากรขนาด N ท่ีมีคา่ เฉล่ีย  และความแปรปรวน 2 แลว้ จะไดว้ า่ X  และ 2X  2 nพสิ ูจน์ เนื่องจาก X  E(X ) n  xi  E i1 n  1 n E(xi ) n i1  1 n n ดงั น้นั X  และจาก 2X V (X ) n  xi  V i1 n  1 n n2 V (xi ) i1  1 n2 n2  2 nดงั น้นั 2X  2 nตัวอย่าง 6.3 ถา้ จบั สลาก 2 ใบ โดยการหยบิ ทีละใบแลว้ ใส่คืนลงในกล่องท่ีมีสลากหมายเลข 1, 2,3, 4, 5 จงหาค่าเฉล่ียของตวั อยา่ งและความแปรปรวนของตวั อยา่ งวธิ ีทา เน่ืองจากสลากมีท้งั หมด 5 ใบ เขียนหมายเลขกากบั คือ 1, 2, 3, 4, 5ค่าเฉล่ียของประชากร (  ) 5 = xi i 1 5 = 1 23 45 5 =3

242 ความน่าจะเป็นและสถิติเบ้ืองตน้ 5 (xi  μ)2ความแปรปรวนของประชากร ( 2 ) = i 1 5 = (1 3)2  (2  3)2  (3  3)2  (4  3)2  (5  3)2 5 = 10 5 =2จบั สลาก 2 ใบ จากท้งั หมด 5 ใบ โดยการหยบิ ทีละใบแลว้ ใส่คืน จะไดจ้ านวนชุดตวั อยา่ งท้งั หมด 5 2 = 25 ชุด ซ่ึงมีค่าเฉลี่ยของแตล่ ะชุดดงั ตารางชุดท่ี ตวั อยา่ ง X ชุดที่ ตวั อยา่ ง X 1 1,1 14 3,4 1 3,5 3.5 4,1 42 1 , 2 1.5 15 4,2 2.5 4,3 33 1,3 2 16 4,4 3.5 4,5 44 1 , 4 2.5 17 5,1 4.5 5,2 35 1,5 3 18 5,3 3.5 5,4 46 2 , 1 1.5 19 5,5 4.5 57 2,2 2 208 2 , 3 2.5 219 2,4 3 2210 2 , 5 3.5 2311 3 , 1 2 2412 3 , 2 2.5 2513 3 , 3 3หาคา่ เฉล่ียของ X หรือคา่ เฉลี่ยของตวั อยา่ ง X จาก 25 = XiX i1 25 = 11.5  2  ...  5 25 = 75 25 =3นน่ั คือ X =  = 3

บทท่ี 6 การแจกแจงของตวั อยา่ งสุ่ม 243หาคา่ ความแปรปรวนของ X หรือหาคา่ ความแปรปรวนของตวั อยา่ ง X2 จาก 25 (xi  X )2 =X2 i1 n = (1 3)2  (1.5  3)2  ...  (5  3)2 = 25 = 1 25 25 X = 1พิจารณาคา่ 2 = 2 , n = 2 2 = 2 =1 = X2 22นน่ั คือ =X2 2 nตัวอย่าง 6.4 จากตวั อยา่ ง 6.2 จะเห็นวา่ เป็นการสุ่มตวั อยา่ งแบบไมใ่ ส่คืน จงหาคา่ เฉล่ียของตวั อยา่ ง ( X ) และความแปรปรวนของตวั อยา่ ง ( X2 )วธิ ีทา จากตวั อยา่ ง 6.2 จะได้  = 3 และ 2 = 2 การสุ่มตวั อยา่ งขนาด 2 หน่วย จากประชากร 5 หน่วย จะไดก้ ลุ่มตวั อยา่ ง 5C2 = 10 กลุม่คา่ เฉลี่ยของแตล่ ะตวั อยา่ งกค็ ือ ตวั แปรสุ่ม ( X ) ท่ีมีการแจกแจงดงั ตาราง กลุ่มที่ ตวั อยา่ ง X 1 1,2 2 1,3 1.5 3 1,4 2 4 1,5 2.5 5 2,3 3 6 2,4 2.5 7 2,5 3 8 3,4 3.5 9 3,5 3.5 10 4 , 5 4 4.5

244 ความน่าจะเป็นและสถิติเบ้ืองตน้ หาค่าเฉล่ียตวั อยา่ ง ( X ) จาก 10  X = i1 Xi = 1.5  2  2.5  ...  4.5 10 10 = 30 = 3 10 X = 3 ซ่ึงเทา่ กบั  หาคา่ ความแปรปรวนของตวั อยา่ ง ( X2 ) จาก n2 Xi  X2 = X2 i1พจิ ารณา X2 จาก n X2 = 1.5  32  (2  3)2  ...  (4.5  3)2 10 = 0.75 = 2(N  n) n(N 1) = 2(5  2) 2(5  1) =3 4 = 0.75จะไดว้ า่ X2 = 2(N  n) n(N 1)ตัวอย่าง 6.5 สุ่มตวั อยา่ งนกั ศึกษาช้นั ปี ท่ี 1 มา 20 คน จากนกั ศึกษาช้นั ปี ที่ 1 ท้งั หมด 400 คนถา้ ทราบวา่ อายเุ ฉล่ียของนกั ศึกษาช้นั ปี ที่ 1 เป็น 19 ปี มีส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 1.5 ปี 1. ถา้ เป็นการสุ่มตวั อยา่ งแบบใส่คืน จงหาค่าเฉล่ียและความแปรปรวนของอายเุ ฉล่ียของนกั ศึกษาที่สุ่มมา 2. ถา้ เป็นการสุ่มตวั อยา่ งแบบไมใ่ ส่คืน จงหาคา่ เฉลี่ยและความแปรปรวนของอายเุ ฉลี่ยของนกั ศึกษาท่ีสุ่มมาวธิ ีทา เนื่องจาก  = 19 และ X2 = (1.5)2 = 2.25 เมื่อ X เป็นตวั แปรสุ่มแทนอายขุ องนกั ศึกษาช้นั ปี ท่ี 1 X เป็นตวั แปรสุ่มแทนอายเุ ฉล่ียของนกั ศึกษาที่เป็นตวั อยา่ ง

บทที่ 6 การแจกแจงของตวั อยา่ งสุ่ม 2451. ถา้ เป็นการสุ่มตวั อยา่ งแบบใส่คืน จงหาค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของอายเุ ฉล่ียของนกั ศึกษาที่สุ่มมา X = X = 19 =X2 2 n = 2.25 = 0.1125 20 ถา้ เป็นการสุ่มตวั อยา่ งแบบใส่คืน จะไดค้ ่าเฉล่ียของตวั อยา่ ง X = 19 ปี และมีความแปรปรวนของตวั อยา่ ง X2 = 0.1125 ปี 22. ถา้ เป็นการสุ่มตวั อยา่ งแบบไม่ใส่คืน จงหาค่าเฉล่ียและความแปรปรวนของอายเุ ฉล่ียของนกั ศึกษาท่ีสุ่มมา X = X = 19 X2 = 2(N  n) n(N 1) = 2.25(400  20) 20(400  1) = 2.25(380) = 0.107 20(399) ถา้ เป็นการสุ่มตวั อยา่ งแบบไม่ใส่คืน จะไดค้ ่าเฉลี่ยของตวั อยา่ ง X = 19 ปี และมีความแปรปรวนของตวั อยา่ ง X2 = 0.107 ปี 26.5 การแจกแจงของค่าเฉลย่ี ของตัวอย่าง การแจกแจงของค่าเฉลี่ยของตวั อยา่ งแบง่ เป็น 3 กรณี ดงั น้ี กรณีท่ี 1 ประชากรมีการแจกแจงแบบปกติ และทราบความแปรปรวนของประชากร กรณที ่ี 2 ประชากรมีการแจกแจงแบบปกติ ไม่ทราบความแปรปรวนของประชากร และกลุ่มตวั อยา่ ง มีขนาดเลก็ (n < 30) กรณีท่ี 3 ประชากรมีการแจกแจงแบบปกติ ไมท่ ราบความแปรปรวนของประชากร และกลุ่มตวั อยา่ ง มีขนาดใหญ่ (n  30) หรือประชากรมีการแจกแจงแบบอื่น แตป่ ระชากรมีขนาดใหญ่(n  30) ซ่ึงการแจกแจงคา่ เฉลี่ยตวั อยา่ งในแตล่ ะกรณีจะกล่าวถึงรายละเอียดในรูปของบทนิยามและทฤษฎีบท ต่อไป

246 ความน่าจะเป็นและสถิติเบ้ืองตน้ทฤษฎบี ท 6.5.1 ถา้ X เป็นคา่ เฉลี่ยของตวั อยา่ งขนาด n ซ่ึงสุ่มจากประชากรท่ีมีการแจกแจง แบบปกติ มีคา่ เฉล่ีย  และความแปรปรวน 2 แลว้ X จะเป็ นตวั แปรสุ่ม ท่ีมีการแจกแจงแบบปกติ มีค่าเฉล่ีย  และความแปรปรวน 2 n จะไดว้ ่าตวั แปรสุ่ม Z ซ่ึงกาหนดโดย Z = X   จะมีการแจกแจง  n แบบปกติมาตรฐาน มีค่าเฉล่ียเท่ากบั 0 และความแปรปรวนเทา่ กบั 1พสิ ูจน์ กาหนดให้ Z = X    nตอ้ งการพสิ ูจนว์ า่ Z มีการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน และมีค่า Z = 0 , 2Z = 1เนื่องจาก X เป็นตวั แปรสุ่มท่ีมีการแจกแจงแบบปกติ มีคา่ เฉล่ีย Xและมีความแปรปรวน 2X จะสามารถเปลี่ยนตัวแปรสุ่ม X ให้เป็ นตัวแปรสุ่ มแบบปกติมาตรฐาน Z โดย Z = X  X Xจะไดว้ า่ X = X Z  X dX = X dZเนื่องจาก F(Z) = P( Z  z ) = P( X  X  z ) X = P( X  X Z  X ) = X z  X (โดยบทนิยาม 3.4.1) (โดยบทนิยาม 5.1.2) f (X ) dX  เมื่อ – < Z <  = X z  X X 1  z2 X dz  2 e2 = X z  X 1  z2  e 2 dz 2 f (Z) = 1  z2 e2 2นนั่ คือ Z มีฟังกช์ นั การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบปกติ

บทท่ี 6 การแจกแจงของตวั อยา่ งสุ่ม 247และเน่ืองจาก Z = E (Z)ดงั น้นั Z = จาก 2Z  z f (z) dz  =  1  z2 z e 2 dz  2 = 1   z2 ze 2 dz 2  =1  z2  2 (e) 2  = 1 (0) 2 =0 = E (Z2) – (E (Z))2 = E (Z2) – 0 =   z2 f (z) dz  =  1  z2 z2 2 e 2 dz    z2 = 1 2 z e2 dz 2  = 1 2 2 ดงั น้นั 2Z = 1 จะไดว้ า่ Z มีการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน และมีคา่ เฉลี่ย (Z ) เทา่ กบั 0และมีความแปรปรวน ( 2Z ) เท่ากบั 1ตัวอย่าง 6.6 แบตเตอรีรถยนตย์ ี่ห้อหน่ึง ที่อายุการใช้งานของแบตเตอรีมีการแจกแจงแบบปกติมีอายกุ ารใชง้ านเฉลี่ย 600 ชวั่ โมง ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอายกุ ารใชง้ านเป็ น 80 ชวั่ โมง ถา้ สุ่มตวั อย่างแบตเตอรีจานวน 25 ตวั อยา่ ง จงหาความน่าจะเป็ นที่อายุการใช้งานเฉล่ียของแบตเตอรีท่ีสุ่มมาจะมีคา่ นอ้ ยกวา่ 580 ชว่ั โมงวธิ ีทา ให้ X เป็นตวั แปรสุ่มแทนอายกุ ารใชง้ านของแบตเตอรียห่ี อ้ น้ี และ X เป็นตวั แปรสุ่มแทนอายกุ ารใชง้ านเฉลี่ยของแบตเตอรีท่ีสุ่มมาศึกษา เน่ืองจาก X มีการแจกแจงแบบปกติ มีค่าเฉลี่ย  = 600 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน  = 80 จากทฤษฎีบท 6.5.1 จะไดว้ า่ X จะมีการแจกแจงแบบปกติโดยมี X =  = 600

248 ความน่าจะเป็นและสถิติเบ้ืองตน้และ X =  = 80 = 16 n 25   ดงั น้นั P( X < 580 ) = P X   580  600    16   n  = P( Z < – 1.25 ) = 0.5 – 0.3944 = 0.1056นนั่ คือความน่าจะเป็นท่ีอายกุ ารใชง้ านเฉล่ียของแบตเตอรีที่สุ่มมาจะมีค่านอ้ ยกวา่ 580ชว่ั โมง คือ 0.1056ตัวอย่าง 6.7 ถา้ รายไดเ้ ฉลี่ยต่อวนั ของคนงานโรงงานเซรามิคในเขตอาเภอเมือง จงั หวดั ลาปางเป็ น 380 บาท ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 22 บาท ถ้าทราบว่าการแจกแจงของรายได้ต่อวันของคนงานโรงงานเซรามิคเป็ นแบบปกติ สุ่มคนงานโรงงานเซรามิคในเขตอาเภอเมืองจงั หวดั ลาปาง มา 35 คน จงหา 1. ความน่าจะเป็นท่ีรายไดเ้ ฉล่ียต่อวนั ของคนงานที่สุ่มมาจะมากกวา่ 375 บาทต่อวนั 2. ความน่าจะเป็ นที่รายไดเ้ ฉลี่ยตอ่ วนั ของคนงานที่สุ่มมาอยรู่ ะหวา่ ง 378 ถึง 390 บาทต่อวนัวธิ ีทา ให้ X แทนรายไดต้ ่อวนั ของคนงานโรงงานเซรามิคในเขตอาเภอเมือง จงั หวดั ลาปางX แทนรายไดเ้ ฉล่ียตอ่ วนั ของคนงานโรงงานเซรามิคในเขตอาเภอเมือง จงั หวดั ลาปางที่เป็นกลุ่มตวั อยา่ งถา้ X มีการแจกแจงแบบปกติ มีค่าเฉลี่ย  = 380 และส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน  = 22จะไดว้ า่ X จะมีการแจกแจงแบบปกติ มีคา่ เฉลี่ย X =  = 380มีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน X =  = 22 = 3.72 n 351. ความน่าจะเป็นท่ีรายไดเ้ ฉล่ียตอ่ วนั ของคนงานท่ีสุ่มมาจะมากกวา่ 375 บาทต่อวนัหรือหาคา่ P X  375   ดงั น้นั P X  375 = P X   375  380    3.72  n = PZ  1.34 = 0.4099 + 0.5 = 0.9099ความน่าจะเป็นที่กลุ่มตวั อยา่ งท่ีสุ่มมาจะมีรายไดเ้ ฉลี่ยมากกวา่ 175 บาทต่อวนั คือ 0.9099

บทที่ 6 การแจกแจงของตวั อยา่ งสุ่ม 2492. ความน่าจะเป็ นท่ีรายไดเ้ ฉล่ียต่อวนั ของคนงานที่สุ่มมาอยรู่ ะหวา่ ง 378 ถึง 390 บาทต่อวนัหรือหาค่า P(378 < X < 390 )   ดงั น้นั P(378 < X < 390 ) = P 378  380  X   390  380  3.72  3.72   n = P0.54  Z  2.69 = 0.2054 + 0.4964 = 0.7018ดงั น้นั ความน่าจะเป็ นท่ีกลุ่มตวั อยา่ งท่ีสุ่มมาจะมีรายไดเ้ ฉล่ียต่อวนั ระหวา่ ง 378 ถึง 390 บาทคือ 0.7018บทนิยาม 6.5.1 ถา้ สุ่มตวั อยา่ งขนาดใหญ่ ( n  30 ) จากประชากรที่มีการแจกแจงแบบปกติ ไม่ทราบคา่ 2 แลว้ X จะมีการแจกแจงแบบปกติ ท่ีมีคา่ เฉล่ีย X =  และความแปรปรวน 2X  S2 เม่ือ S2 เป็นความแปรปรวนของตวั อยา่ ง n จะไดว้ า่ ตวั แปรสุ่ม Z โดยที่ Z = X   จะมีการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน S nตวั อย่าง 6.8 สุ่มตวั อยา่ งขนาด 60 จากประชากรมีการแจกแจงแบบปกติ มีค่าเฉล่ีย 615ถา้ ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของตวั อยา่ งมีค่าเท่ากบั 85 จงหา1. ความน่าจะเป็นท่ีคา่ เฉลี่ยตวั อยา่ งจะมีคา่ ไม่เกิน 6002. ความน่าจะเป็นที่ค่าเฉล่ียตวั อยา่ งจะมีคา่ ระหวา่ ง 630 ถึง 650วธิ ีทา ให้ X เป็นตวั แปรสุ่มแทนค่าเฉล่ียของตวั อยา่ ง เน่ืองจากไม่ทราบคา่ ความแปรปรวนของประชากรแต่ขนาดตวั อยา่ ง n  30จากบทนิยาม 6.5.1 จะไดว้ า่ X จะมีการแจกแจงแบบปกติ มีค่าเฉลี่ย X = 615มีความแปรปรวน 2X  S 2  852 n 601. หาความน่าจะเป็ นท่ีค่าเฉล่ียตวั อยา่ งจะมีค่าไมเ่ กิน 600 หรือหา P( X  600 )    ดงั น้นั P( X  600 ) = P X   600  615  S 85   n 60 = PZ  1.37 = 0.5 – 0.4147 = 0.0853 นน่ั คือ ความน่าจะเป็ นท่ีค่าเฉล่ียตวั อยา่ งจะมีคา่ ไม่เกิน 600 คือ 0.0853

250 ความน่าจะเป็นและสถิติเบ้ืองตน้2. หาความน่าจะเป็ นที่คา่ เฉลี่ยตวั อยา่ งจะมีค่าระหวา่ ง 630 ถึง 650 หรือหา P(630 < X < 650)   P(630 < X < 650) = P 630  615  X   650  615  S   85 85 60 n 60 = P(1.37 < Z < 3.19 ) = 0.4993 – 0.4147 = 0.0846นนั่ คือ ความน่าจะเป็ นท่ีคา่ เฉลี่ยตวั อยา่ งจะมีค่าระหวา่ ง 630 ถึง 650 คือ 0.0846บทนิยาม 6.5.2 ถา้ สุ่มตวั อยา่ งขนาดเล็ก (n < 30) จากประชากรท่ีมีการแจกแจงแบบปกติหรือ ใกลเ้ คียงแบบปกติ ไม่ทราบความแปรปรวน 2 แลว้ จะไดว้ า่ ค่า T โดยท่ี T= X  เม่ือ S2 เป็นความแปรปรวนของตวั อยา่ ง S n จะไดว้ า่ T เป็นตวั แปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบที ที่มีองศาเสรี n – 1ตัวอย่าง 6.9 ถา้ ส่วนสูงของนกั เรียนช้นั ป.6 ของโรงเรียนอนุบาลลาปาง มีการแจกแจงแบบปกติมีค่าเฉล่ีย 152 เซนติเมตร สุ่มตวั อย่างนกั เรียนช้นั ป.6 ของโรงเรียนแห่งน้ีมา 18 คน พบว่ามีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของความสูงเป็ น 8.5 เซนติเมตร จงหาความน่าจะเป็ นท่ีนกั เรียนตวั อยา่ งจะมีความสูงเฉลี่ยนอ้ ยกวา่ 149 เซนติเมตรวธิ ีทา ให้ X เป็นส่วนสูงของนกั เรียนช้นั ป.6 ของโรงเรียนอนุบาลลาปาง X เป็นส่วนสูงเฉล่ียของนกั เรียนช้นั ป.6 ที่สุ่มมาเนื่องจากประชากรมีการแจกแจงแบบปกติ ไม่ทราบคา่ 2 และ n < 30ดงั น้นั X มีการแจกแจงแบบที ที่มี  = 152 และ S = 8.5ตอ้ งการหา P( X < 149 )   จะไดว้ า่ P( X < 149 ) = P X    149  152  S 8.5   n 18  = P(T < – 1.50 )

บทที่ 6 การแจกแจงของตวั อยา่ งสุ่ม 251 P( X < 149 ) = 0.079 ดงั น้นั ความน่าจะเป็นท่ีส่วนสูงเฉลี่ยของนกั เรียนตวั อยา่ งจะนอ้ ยกวา่ 149 เซนติเมตรคือ 0.079ทฤษฎบี ท 6.5.2 ทฤษฎลี มิ ิตสู่ส่วนกลาง (central limit theorem) ถา้ สุ่มตวั อยา่ งขนาด n จากประชากรใดๆ ท่ีมีค่าเฉลี่ย  ความแปรปรวน 2 โดยประชากรดงั กล่าวไม่ทราบการแจกแจงแลว้ ถา้ n มีขนาดใหญ่ จะไดว้ า่ คา่ เฉลี่ยตวั อยา่ ง X จะมีการแจกแจงเขา้ สู่ การแจกแจงแบบปกติ มีค่าเฉล่ีย  และความแปรปรวน 2 จะไดว้ า่ คา่ Z โดย ที่ Z = X   จะมีการแจกแจง n n ใกลเ้ คียงแบบปกติมาตรฐานที่มีคา่ เฉลี่ยเท่ากบั 0 และมีความแปรปรวนเทา่ กบั 1การพสิ ูจน์ พสิ ูจนเ์ ช่นเดียวกบั การพสิ ูจนท์ ฤษฎีบท 6.5.1จากทฤษฎีลิมิตสู่ส่วนกลาง จะไดข้ อ้ สรุปดงั น้ี1. ไม่วา่ ประชากรจะมีการแจกแจงแบบใด ถา้ สุ่มตวั อยา่ งขนาดใหญ่ (n  30) แลว้ X จะมีการแจกแจงใกลเ้ คียงการแจกแจงแบบปกติ ยง่ิ เมื่อ n เขา้ สู่  แลว้ การแจกแจงของ X จะเป็ นแบบปกติ2. คา่ เฉล่ียของตวั อยา่ ง X = 3. ความแปรปรวนของตวั อยา่ ง 2X = 2 nหรือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตวั อยา่ ง X =  nในทางปฏิบตั ิบางคร้ังไม่ทราบค่าความแปรปรวนของประชากร ( 2 ) อาจเน่ืองมาจากประชากรมีจานวนอนนั ตห์ รือขอ้ จากดั อ่ืน ๆ อนุโลมใชค้ ่า S2 แทน 2 ได้ แต่ท้งั น้ีขนาดตวั อยา่ งตอ้ งใหญ่ (n  30) โดยทฤษฏีลิมิตสู่ส่วนกลาง X จะมีการแจกแจงใกลเ้ คียงการแจกแจงแบบปกติ จะได้ Z = X   มีการแจกแจงใกลเ้ คียงการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน Sn

252 ความน่าจะเป็นและสถิติเบ้ืองตน้ตัวอย่าง 6.10 ถา้ ราคาขายของเครื่องเล่น MP3 ย่หี อ้ หน่ึง มีการแจกแจงแบบเบข้ วา โดยมีราคาขายเฉล่ีย 8,500 บาท ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็ น 2,000 บาท สุ่มสอบถามราคาขายของเคร่ืองเล่นMP3 ยห่ี อ้ น้ี จานวน 120 เครื่อง จงหาความน่าจะเป็นที่ 1. ราคาขายเฉล่ียของตวั อยา่ งจะแตกตา่ งจากราคาขายเฉล่ียของประชากรไม่เกิน 300 บาท 2. ราคาขายเฉล่ียของตวั อยา่ งจะสูงกวา่ 9,000 บาทวธิ ีทา ให้ X แทนราคาขายของเครื่องเล่น MP3 ยห่ี อ้ หน่ึง สุ่มตวั อยา่ งขนาด n = 120 จะไดว้ า่ แมว้ า่ X จะมีการแจกแจงแบบเบข้ วา แต่เน่ืองจากสุ่มตวั อยา่ งขนาดใหญ่โดยทฤษฎีลิมิตสู่ส่วนกลาง จะไดว้ า่ X จะมีการแจกแจงใกลเ้ คียงแบบปกติ โดยมี X =  = 8,500 X = x = 2, 000 = 182.57 120 n 1. หาความน่าจะเป็ นที่ราคาขายเฉล่ียของตวั อย่างจะแตกต่างจากราคาขายเฉล่ียของประชากรไม่เกิน 300 บาท หรือหาคา่ P(8,500 – 300 < X < 8,500 + 300 )   ดงั น้นั P(8,500 – 300 < X < 8,500 + 300 ) = P  8, 200  8, 500  X   8, 800  8, 500   182.57  182.57  n P(8,200 < X < 8,800 ) = P(–1.64 < Z < 1.64 ) = 0.4495 + 0.4495 = 0.8990 ความน่าจะเป็นท่ีราคาขายเฉล่ียของตวั อยา่ งจะแตกต่างจากราคาขายเฉลี่ยของประชากรไมเ่ กิน 300 บาท คือ 0.8990 2. หาความน่าจะเป็ นที่ราคาขายเฉลี่ยของตวั อยา่ งจะสูงกวา่ 9,000 บาท หรือP( X > 9,000 )   ดงั น้นั P( X > 9,000 ) = P  X   9, 000  8, 500   182.57   n = P( Z > 2.74 ) = 0.5 – 0.4969 = 0.0031 ความน่าจะเป็นที่ราคาขายเฉล่ียของตวั อยา่ งจะสูงกวา่ 9,000 บาท คือ 0.0031

บทที่ 6 การแจกแจงของตวั อยา่ งสุ่ม 2536.6 การแจกแจงผลต่างของค่าเฉลยี่ ของตวั อย่าง ถ้า X1 , X2 คือค่าเฉลี่ยของตัวอย่างกลุ่มที่ 1 และ 2 ท่ีสุ่ มมาจากประชากร 2กลุ่มท่ีอิสระกนั และมีค่าเฉล่ียเป็ น 1 , 2 มีความแปรปรวน 12 , 22 เนื่องจาก X1 และ X2ต่างก็เป็ นตวั แปรสุ่ม ดงั น้ันผลต่าง X1  X2 ก็มีลกั ษณะเป็ นตวั แปรสุ่มด้วยโดยมีค่าเฉลี่ยของผลต่าง (X1  X2) เป็ น (X1X2)  1  2 และความแปรปรวน (2X1 X2 )  12  22 n1 n2ทฤษฎบี ท 6.6.1 X1 , X2 เป็ นคา่ เฉลี่ยตวั อยา่ งจากการสุ่มตวั อยา่ งขนาด n1 , n2 จากประชากร2 กลุ่มท่ีอิสระกนั และมีคา่ เฉล่ีย 1 , 2 มีความแปรปรวน 12 , 22 จะไดว้ า่ค่าเฉลี่ยของผลต่างของคา่ เฉล่ียตวั อยา่ ง (X1X2)  1  2 และความแปรปรวนของผลต่างของค่าเฉลี่ยตวั อยา่ ง (2X1 X2 )  12  22 n1 n2พสิ ูจน์ เน่ืองจาก X1 , X2 เป็ นตวั แปรสุ่มท่ีอิสระกนัจาก (X1X2 ) = E ( X1  X2) = E ( X1 ) – E ( X2 ) = 1  2และ (2X1X2 ) = E [( X1  X2 ) – ( 1  2 ) ]2 = E [( X1  1 ) – ( X2  2 ) ]2 E E E= ( X1  1 )2 – 2 +(X1  1)(X2  2 ) ( X2  2 )2พิจารณาค่า E (X1  1)(X2  2) ท่ี X1 , X2 อิสระกนัE = E(X1  1)(X2  2 )  X1X2  1X2  2 X1  12  = E( X1X2 ) – 1 E( X2 )– 2 E( X1 ) + E( 12 ) E= ( ) – – +X1X2 12 21 12 E= ( X1X2 ) – 12 = E( X1 )E( X2 ) – 12 = –12 12 =0

254 ความน่าจะเป็นและสถิติเบ้ืองตน้ จาก (2X1 X2 ) E E E= ( X1  1 )2 – 2 +(X1  1)(X2  2 ) ( X2  2 )2 = E( X1  1 )2 – 0 + E( X2  2 )2 ดงั น้นั และ = +2X1 2X2 = 12  22 n1 n2 ( X1X2 )  1  2 (2X1 X2 )  12  22 n1 n2 การสุ่มตวั อยา่ งขนาด n1 , n2 จากประชากร 2 กลุ่มท่ีอิสระกนั ถา้ ประชากรท้งั สองกลุ่มมีการแจกแจงแบบปกติ X1  X2 กจ็ ะมีการแจกแจงแบบปกติดว้ ย แต่ถา้ การแจกแจงของประชากรท้งั 2 กลุ่ม ไม่ใช่แบบปกติ แต่สุ่มตวั อยา่ งขนาดใหญ่ (n1 , n2  30) โดยทฤษฎีลิมิตสู่ส่วนกลางจะไดว้ า่ X1  X2 จะมีการแจกแจงใกลเ้ คียงแบบปกติ จึงสามารถเปลี่ยนตวั แปรสุ่ม X1  X2 เป็ นตวั แปรสุ่ม Z ซ่ึงมีการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานได้ทฤษฎบี ท 6.6.2 ให้ X1 , X2 เป็ นค่าเฉล่ียตวั อยา่ งท่ีไดจ้ ากการสุ่มขนาด n1 , n2 จากประชากร 2 กลุ่มท่ีอิสระกนั มีค่าเฉลี่ย 1 , 2 และความแปรปรวน 12 , 22 แลว้ X1  X2 จะมีการแจกแจงใกลเ้ คียงแบบปกติ มีค่าเฉลี่ย (X1X2)  1  2 และความแปรปรวน (2X1 X2 )  12  22 จะไดว้ า่ ตวั แปรสุ่ม Z โดยท่ี n1 n2 Z = (X1  X2)  (1  2) จะมีการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน 12  22 n1 n2 มีค่าเฉล่ียเท่ากบั 0 และความแปรปรวนเท่ากบั 1พสิ ูจน์ ให้ X1  X2 เป็ นตวั แปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปกติ มีคา่ เฉลี่ย ( X1X2 )  1  2 ความแปรปรวน (2X1 X2 )  12  22 n1 n2  1  ( X1  X 2 )(1 2 ) 2  จะไดว้ า่ f ( X1  X2 ) =1 e 2   เมื่อ – < <X1  X2  ( X1 X2 ) ( X1 X2 ) 2

บทท่ี 6 การแจกแจงของตวั อยา่ งสุ่ม 255ให้ Z = (X1  X2 )  (1  2 )ดงั น้นั ( X1 X2 ) d( ) =X1  X2 ( X1X2 )dz F(Z) = P( Z  z ) = P( (X1  X2 )  (1  2 )  z ) ( X1 X2 ) = P( )X1  X 2  z(X1X2)  (1  2 ) = z( X1 X2 )(12 ) f (X1  X2 )d (X1  X 2 )  z( X1 X2 )( 12 ) 1 z2 ( X1  X2 )dz e2 =   1 ( X1 X2 ) 2 z( X1 X2 )(12 ) z2 2 =  12 e dzf (Z) = 1  z2 เมื่อ – < Z <  2 e2นนั่ คือ Z มีฟังกช์ นั การแจกแจงความน่าจะเป็ นแบบปกติท่ีมีคา่ เฉล่ียมาตรฐาน (Z )เท่ากบั 0 และความแปรปรวน (2Z ) เทา่ กบั 1 ดงั พสิ ูจนแ์ ลว้ ในทฤษฎีบท 5.1.2ตวั อย่าง 6.11 ถา้ คะแนนเฉล่ียของนกั ศึกษาที่เรียนรายวชิ าสถิติธุรกิจเป็ น 38 คะแนน ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 5 คะแนน และคะแนนเฉล่ียของนักศึกษาที่เรียนรายวิชาความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ เป็ น 35 คะแนน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 คะแนน สุ่มตวั อยา่ งนกั ศึกษาที่เรียนรายวชิ าสถิติธุรกิจมาจานวน 36 คน นกั ศึกษาที่เรียนรายวิชาความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ จานวน42 คน จงหาความน่าจะเป็ นที่คะแนนเฉล่ียของตัวอย่างท้งั 2 กลุ่ม จะแตกต่างกันมากกว่า5 คะแนน ถา้ การแจกแจงของคะแนนสอบท้งั 2 รายวชิ าเป็นแบบปกติวธิ ีทา ให้ X1 , X2 เป็นตวั แปรสุ่มแทนคะแนนสอบของนกั ศึกษาที่เรียนรายวชิ าสถิติธุรกิจและ ความน่าจะเป็นและสถิติเบ้ืองตน้ ตามลาดบั X1 , X2 เแทนคะแนนเฉลี่ยของนกั ศึกษาท่ีเรียนรายวชิ าสถิติธุรกิจและวชิ าความน่าจะ เป็นและสถิติเบ้ืองตน้ ตามลาดบั เน่ืองจากคะแนนสอบท้งั สองรายวชิ ามีการแจกแจงแบบปกติ และเป็นอิสระกนั ดงั น้นั X1  X2 มีการแจกแจงแบบปกติดว้ ย จะไดว้ า่ =( X1X2 ) 1  2 = 38 – 35 = 3

256 ความน่าจะเป็นและสถิติเบ้ืองตน้(2X1 X2 )  12  22 n1 n2 = 25  25 36 42 = 1.29    ดงั น้นั P( X1  X2  5 ) = P ( X1  X2)  (1  2)  53   12  22 1.29   n1 n2    = P( Z > 1.76 ) + P( Z < – 1.76 ) = (0.5 – 0.4628) + (0.5 – 0.4628) = 0.0074นนั่ คือ ความน่าจะเป็ นท่ีคะแนนเฉล่ียของตวั อยา่ งท้งั 2 กลุ่มจะแตกต่างกนั มากกวา่ 5คะแนน คือ 0.0074ตัวอย่าง 6.12 กระดาษถ่ายเอกสารยห่ี อ้ A มีจานวนแผน่ เฉลี่ยต่อรีมเป็ น 312 แผน่ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 20 แผน่ ส่วนกระดาษถ่ายเอกสารย่ีห้อ B มีจานวนแผ่นเฉลี่ยต่อรีมเป็ น 315 แผ่นส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 16 แผน่ ถา้ สุ่มตวั อยา่ งกระดาษถ่ายเอกสารยีห่ ้อ A มา 40 รีม ย่หี ้อ Bมา 50 รีม จงหาความน่าจะเป็นที่จานวนแผน่ เฉล่ียต่อรีมของกระดาษถ่ายเอกสารย่ีห้อ A จะนอ้ ยกวา่ ยห่ี อ้ B ไมเ่ กิน 6 แผน่วธิ ีทา ให้ X A , XB แทนจานวนแผน่ เฉลี่ยต่อรีมของกระดาษถ่ายเอกสารยหี่ อ้ A และ B ตามลาดบัเน่ืองจากไม่ทราบการแจกแจงของ X A , XB แตส่ ุ่มตวั อยา่ งขนาดใหญ่ดงั น้นั X A  XB มีการแจกแจงใกลเ้ คียงแบบปกติ=( X A XB ) A  B = 312 – 315 = –3(2X A  X B )  2A  2B nA nB = 202  162 40 50 = 15.12

บทที่ 6 การแจกแจงของตวั อยา่ งสุ่ม 257    ดงั น้นั P( X A  XB  – 6 ) =P  ( X A  XB)  (A  B )  (6)  (3)   2A  2B 15.12   nA  nB = P( Z > – 0.77 ) = 0.5 + 0. 2794 = 0.7794 นน่ั คือ ความน่าจะเป็นที่จานวนแผน่ เฉล่ียต่อรีมของกระดาษถ่ายเอกสารยห่ี อ้ Aจะนอ้ ยกวา่ ยห่ี อ้ B ไม่เกิน 6 แผน่ คือ 0.77946.7 การแจกแจงสัดส่วนของตัวอย่าง ถา้ ประชากรมีขนาด N หน่วย โดยแบ่งเป็ น 2 กลุ่มซ่ึงกลุ่มที่ 1 ประกอบดว้ ยหน่วยตวั อยา่ งที่มีลกั ษณะท่ีสนใจและอีกกลุ่มหน่ึงประกอบดว้ ยหน่วยตวั อยา่ งท่ีมีลกั ษณะไมส่ นใจ ถา้ ให้ p แทนคา่ สัดส่วนลกั ษณะท่ีสนใจจากประชากรท่ีมีขนาด N หน่วย จะไดว้ า่ p = จานวนหน่วยตวั อยา่ งที่มีลกั ษณะท่ีสนใจ / N และ p เป็นค่าพารามิเตอร์ตวั หน่ึงซ่ึงแสดงคา่ สัดส่วนหรือความน่าจะเป็ นของหน่วยตวั อยา่ งที่สนใจในประชากร เช่น ประชากรนกั ศึกษาสาขาวิชาคณิตศาสตร์ มี 100 คน เป็ นนักศึกษาหญิง80 คน ดงั น้นั สัดส่วนของนักศึกษาหญิงในประชากรคือ p  80  0.8 และสัดส่วนที่ไม่ใช่ 100นกั ศึกษาหญิงคือ q  20  0.2 100 สาหรับกลุ่มตวั อย่างขนาด n ที่มี X เป็ นตวั แปรสุ่มของจานวนสิ่งที่สนใจจะแทนค่าสัดส่วนของตวั อยา่ งซ่ึงเขียนแทนดว้ ย pˆ อา่ นวา่ พแี ฮท โดยท่ี pˆ = จานวนหน่วยตวั อยา่ งท่ีมีลกั ษณะที่สนใจ / n หรือ pˆ  X n ค่า pˆ จะแปรเปล่ียนไปตามขนาดของตวั อย่างที่สุ่มในแต่ละคร้ัง ดังน้ัน pˆ จึงเป็ นตวั แปรสุ่มที่มีการแจกแจงความน่าจะเป็ นที่มีค่าเฉลี่ยของสัดส่วนตวั อยา่ ง pˆ และความแปรปรวนของสดั ส่วนตวั อยา่ ง 2pˆ

258 ความน่าจะเป็นและสถิติเบ้ืองตน้ทฤษฎบี ท 6.7.1 ให้ X แทนจานวนตวั อยา่ งที่มีลกั ษณะที่สนใจหรือแทนจานวนคร้ังในการเกิด ความสาเร็จจากการทดลอง n คร้ัง (หรือสุ่มตวั อยา่ งขนาด n) จากการทดลอง แบบทวนิ ามท่ีมีคา่ เฉลี่ย  = np และความแปรปรวน 2 = npq แลว้ สัดส่วนของความสาเร็จ pˆ โดยที่ pˆ  X จะเป็นตวั แปรสุ่มท่ีมีค่าเฉลี่ย  pˆ n และความแปรปรวน 2pˆ คือ  pˆ = p =2pˆ pq nพสิ ูจน์ จาก pˆ  X n  pˆ = E( pˆ ) = E( X ) n = 1 E(X) n = 1 np n =pและ 2pˆ = V( pˆ ) = V( x ) n = 1 V(X) n2 = 1 npq n2 = pq nดงั น้นั  pˆ = p และ =2pˆ pq n

บทท่ี 6 การแจกแจงของตวั อยา่ งสุ่ม 259ทฤษฎบี ท 6.7.2 สุ่มตวั อยา่ งขนาด n จากประชากรที่มีการแจกแจงแบบทวนิ าม มีค่าเฉลี่ย  = np และความแปรปรวน 2 = npq แลว้ สัดส่วน ของลกั ษณะ ที่สนใจ pˆ ซ่ึงมีค่าเฉลี่ย pˆ = p และความแปรปรวน 2pˆ = pq จะมีการแจกแจงใกลเ้ คียงแบบปกติ ถา้ n มีคา่ มาก จะไดว้ า่ n ตวั แปรสุ่ม Z โดยที่ Z = pˆ  p จะมีการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน pq n มีค่าเฉลี่ย ( Z ) เท่ากบั 0 และความแปรปรวน( 2Z ) เท่ากบั 1พสิ ูจน์ ให้ pˆ เป็นตวั แปรสุ่มท่ีมีการแจกแจงแบบปกติท่ีไดจ้ ากประชากรที่มีการแจกแจงแบบทวนิ าม และ pˆ = p , =2pˆ pq nดงั น้นั ฟังกช์ นั การแจกแจงความน่าจะเป็นของ pˆ คือ  pˆ   2   f ( pˆ ) =  1 pˆ 1 e 2   pˆ  เมื่อ – < pˆ <  เมื่อ – < Z <   pˆ 2ให้ Z = pˆ   pˆ  pˆจะได้ d pˆ = 2pˆ dzจากฟังกช์ นั ความน่าจะเป็ นสะสม F(Z) = P( Z  z ) = P( pˆ   pˆ  z )  pˆ = P( pˆ  )zpˆ   pˆ = z pˆ  pˆ f ( pˆ )d ( pˆ )  = zpˆ  pˆ 1  z2  pˆ dz   2 e2 pˆ = z pˆ  pˆ 1  z2  2 e 2 dz f (Z) = 1  z2 เม่ือ – < Z <  2 e2

260 ความน่าจะเป็นและสถิติเบ้ืองตน้ นนั่ คือ Z มีฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็ นแบบปกติมาตรฐาน มีค่าเฉล่ีย ( Z )เท่ากบั 0 และความแปรปรวน ( 2pˆ ) เท่ากบั 1 (ค่าเฉล่ียและความแปรปรวนของตวั แปรสุ่มแบบปกติมาตรฐานไดพ้ ิสูจนแ์ ลว้ ในทฤษฎีบท 5.1.2 ) ดงั ที่เคยกล่าวไวแ้ ล้วในเรื่องการใช้การแจกแจงแบบปกติประมาณการแจกแจงแบบทวินามว่า เน่ืองจาก pˆ เป็ นตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเน่ือง แต่ Z เป็ นตัวแปรสุ่มชนิดต่อเน่ืองดังน้ันต้องปรับค่า pˆ โดยการบวกหรื อลบด้วย 0.5 เพื่อให้ครอบคลุ มค่าท่ีต้องการแต่ถ้าสุ่มตวั อย่างขนาดใหญ่ โดย np หรือ nq มีค่ามากกว่าหรือเท่ากบั 5 การปรับค่าของ pˆก็ไม่จาเป็นตอ้ งทาตวั อย่าง 6.13 เครื่องคิดเลขยหี่ อ้ หน่ึงมีโอกาสที่จะเสียเม่ือใชง้ านครบ 3 ปี ดว้ ยสดั ส่วน 12% ถา้ สุ่มตวั อยา่ งเคร่ืองคิดเลขยหี่ อ้ น้ีมา 300 เคร่ือง จงหาความน่าจะเป็นท่ี 1. สัดส่วนของเครื่องคิดเลขท่ีสุ่มมาจะเสียเม่ือใชง้ านครบ 3 ปี จะเกิน 10%2. สดั ส่วนของเคร่ืองคิดเลขท่ีสุ่มมาจะเสียเมื่อใชง้ านครบ 3 ปี จะอยรู่ ะหวา่ ง 8% ถึง 15%วธิ ีทา ให้ pˆ แทนสัดส่วนของเคร่ืองคิดเลขตวั อยา่ งท่ีเสีย เมื่อใชง้ านครบ 3 ปี p แทนความน่าจะเป็นที่เครื่องคิดเลขจะเสียเมื่อใชง้ านครบ 3 ปีดงั น้นั p = 0.12 และ q = 0.88สุ่มตวั อยา่ งขนาด n = 300จะได้ np = 300(0.12) = 36 และ nq = 300(0.88) = 264ดงั น้นั จะประมาณการแจกแจงของ pˆ ดว้ ยการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานโดยท่ี Z = pˆ  p pq n1. หาความน่าจะเป็ นของสดั ส่วนของเครื่องคิดเลขที่สุ่มมาจะเสียเมื่อใชง้ านครบ 3 ปีจะเกิน 10% หรือหา P( pˆ > 0.1 )   จะได้ P( pˆ > 0.1 ) = P pˆ  p  0.1 0.12   pq (0.12)(0.88)   n 300  = P( Z > – 1.07) = 0.5 + 0.3577 = 0.8577 ดงั น้นั ความน่าจะเป็นท่ีสัดส่วนของเคร่ืองคิดเลขท่ีสุ่มมาจะเสียเม่ือใชง้ านครบ 3 ปีจะเกิน 10% คือ 0.8577

บทที่ 6 การแจกแจงของตวั อยา่ งสุ่ม 261 2. หาความน่าจะเป็ นท่ีสัดส่วนของเครื่องคิดเลขท่ีสุ่มมาจะเสียเม่ือใชง้ านครบ 3 ปีจะอยรู่ ะหวา่ ง 8% ถึง 15% หรือหา P( 0.08 < pˆ < 0.15 )    จะไดว้ า่ P( 0.08 < pˆ < 0.15 ) = P 0.08  0.12  pˆ  p  0.15  0.12   (0.12)(0.88) pq (0.12)(0.88)   300 300  n = P(– 2.13 < Z < 1.60 ) = 0.4834 + 0.4452 = 0.9286 ดงั น้นั ความน่าจะเป็นที่สดั ส่วนของเคร่ืองคิดเลขท่ีสุ่มมาจะเสียเม่ือใชง้ านครบ 3 ปีอยรู่ ะหวา่ ง 8% ถึง 15% คือ 0.92866.8 การแจกแจงของผลต่างของสัดส่วนของตัวอย่าง เน่ืองจาก pˆ , pˆ เป็ นสัดส่วนของตวั อยา่ งที่ไดจ้ ากการสุ่มตวั อยา่ งขนาด n1 , n2 จาก 1 2ประชากร 2 กลุ่มที่อิสระกนั ดงั น้นั ผลต่างของ pˆ  pˆ จึงเป็ นตวั แปรสุ่มที่มีค่าเฉล่ียของผลต่าง 12สัดส่วนของตวั อยา่ ง หรือแทนดว้ ย ( pˆ1  pˆ 2 )  p  p และความแปรปรวนของผลต่างสัดส่วน 1 2ของตวั อยา่ งหรือแทนดว้ ย 2 ( pˆ1  pˆ 2 ) pq p q  1 1 2 2 n n 12ทฤษฎบี ท 6.8.1 ให้ pˆ , pˆ เป็นสดั ส่วนของตวั อยา่ งขนาด n1 , n2 ที่สุ่มจากประชากร 2 กลุ่ม 1 2 ท่ีอิสระกนั มีการแจกแจงแบบทวนิ ามและมีความน่าจะเป็ นหรือสัดส่วนของ ลกั ษณะที่สนใจเป็น p1 , p2 มีความแปรปรวนเป็น pq , pq ตามลาดบั 11 22 n n 12 จะไดว้ า่ ผลต่างของสดั ส่วนของตวั อยา่ ง pˆ  pˆ จะเป็นตวั แปรสุ่มที่มีค่าเฉล่ีย 12 และความแปรปรวนดงั น้ี ( pˆ1  pˆ 2 )  p  p 1 2 2 pq p q ( pˆ1  pˆ 2 )  1 1 2 2 n n 12

262 ความน่าจะเป็นและสถิติเบ้ืองตน้พสิ ูจน์ ให้ p1 , p2 แทนสัดส่วนของประชากรที่มีลกั ษณะที่สนใจและ pq , pq แทนความแปรปรวนของประชากรกลุ่มท่ี 1 และ 2 ซ่ึงเป็ นอิสระกนั 11 22 nn 12ตามลาดบั =( pˆ1  pˆ 2 ) E ( pˆ  pˆ ) = 12 = E ( pˆ ) – E ( pˆ ) 12 2 = ( pˆ1  pˆ 2 ) = p p 12 V ( pˆ  pˆ ) 12 V ( pˆ ) + V ( pˆ ) 12 = pq pq 22 1 1 nn 12ดงั น้นั ค่าเฉลี่ยของผลต่างของสดั ส่วนของตวั อยา่ ง ( pˆ1  pˆ 2 )  p  p 1 2และความแปรปรวนของผลต่างของสัดส่วนของตวั อยา่ ง 2 ( pˆ1  pˆ 2 ) pq p q  1 1 2 2 n n 12ทฤษฎบี ท 6.8.2 pˆ , pˆ เป็นสดั ส่วนของตวั อยา่ งที่มีลกั ษณะท่ีสนใจ ซ่ึงสุ่มมาจากประชากร 12 2 กลุ่มที่อิสระกนั และมีสัดส่วนของประชากร เป็ น p1 , p2 มีความแปรปรวน เป็ น pq , pq ตามลาดบั ถา้ สุ่มตวั อยา่ งขนาดใหญ่ นนั่ คือ n1 p1 , n1 q1 , 11 22 n n 12 n2 p2 และ n2 q2  5 แลว้ pˆ  pˆ จะมีการแจกแจงใกลเ้ คียงการแจกแจงแบบ 12 ปกติมีค่าเฉล่ีย ( pˆ1  pˆ 2 )  p  p 1 2 และความแปรปรวน 2 ( pˆ1  pˆ 2 ) pq p q  1 1 2 2 n n 12 จะไดว้ า่ ตวั แปรสุ่ม Z โดยท่ี ( pˆ  pˆ )  ( p  p ) Z 1 2 12 pq p q 1 1 22 nn 12 จะมีการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน มีค่าเฉล่ียเทา่ กบั 0 และความแปรปรวน เท่ากบั 1

บทที่ 6 การแจกแจงของตวั อยา่ งสุ่ม 263พสิ ูจน์ ให้ pˆ  pˆ เป็ นตวั แปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปกติ 12มีค่าเฉลี่ย ( pˆ1  pˆ 2 )  p  p 1 2ความแปรปรวน 2 ( pˆ1  pˆ 2 ) pq p q  1 1 2 2 n n 12 1 ( pˆ1  pˆ 2 )( pˆ1  pˆ 2 ) 2  ดงั น้นั f ( ) =pˆ  pˆ 1 e 2  ( pˆ1  pˆ 2 )  เม่ือ – < pˆ  pˆ <  1 2 ( pˆ1  pˆ 2 ) 2 12ให้ Z = ( pˆ  pˆ 2 )  ( pˆ1   pˆ 2 ) 1 ( pˆ1  pˆ 2 )dจะไดว้ า่ ( ) =pˆ  pˆ ( pˆ1  pˆ 2 )dz 12จากฟังกช์ นั ความน่าจะเป็ นสะสม จะไดว้ า่ F(Z) = P( Z  z ) P( z )( pˆ 1 =  pˆ 2 )  ( pˆ1   pˆ 2 )  ( pˆ1  pˆ 2 ) = P( )pˆ  pˆ  12 z( pˆ1  pˆ 2 )  ( pˆ1   pˆ 2 ) = z( pˆ1  pˆ 2 ) ( pˆ1  pˆ 2 ) 1 1 z2 e2 ( pˆ1  pˆ 2 )dz  ( pˆ1  pˆ 2 ) 2 = z( pˆ1  pˆ 2 ) ( pˆ1  pˆ 2 ) 1  z2  2 e 2 dzดงั น้นั f (Z) = 1  z2 เม่ือ – < Z <  2 e2มีการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน โดยมี Z = 0 และ 2Z = 1(การแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน ที่มีค่าเฉล่ียเป็น 0 มีความแปรปรวนเป็ น 1 ไดท้ าการพสิ ูจนไ์ ปแลว้ )ตัวอย่าง 6.14 ถา้ ชายไทย 16% และหญิงไทย 11% ไม่รู้สึกรังเกียจผทู้ ี่สูบบุหร่ี สุ่มชายไทยจานวน800 คน หญิงไทย 650 คน เพ่ือสอบถามความรู้สึกรังเกียจผสู้ ูบบุหรี่ จงหาความน่าจะเป็ นท่ีผลต่างของสดั ส่วนตวั อยา่ งของชายไทยและหญิงไทยท่ีไมร่ ู้สึกรังเกียจผทู้ ่ีสูบบุหร่ี จะไมเ่ กิน 3%วธิ ีทา ให้ pˆ  pˆ เป็นสัดส่วนตวั อยา่ งของชายไทยและหญิงไทยที่ไมร่ ู้สึกรังเกียจผทู้ ่ีสูบบุหรี่ 12 เนื่องจาก n1 p1 = 800(0.16) = 128 > 5 n1 q1 = 800(0.84) = 672 > 5

264 ความน่าจะเป็นและสถิติเบ้ืองตน้ n2 p2 = 650(0.11) = 71.5 > 5 n2 q2 = 650(0.89) = 578 > 5ดงั น้นั pˆ  pˆ มีการแจกแจงแบบปกติ โดยมี 12มีค่าเฉลี่ย = 0.05( pˆ1  pˆ 2 )  p  p 1 2ความแปรปรวน 2  pq  pq = 3.19 ( pˆ1  pˆ 2 ) 11 22 n n 12ตอ้ งการหา P( –0.03 < pˆ  pˆ < 0.03 ) จะได้ 12    pˆ  pˆ   P( –0.03  pˆ  pˆ  0.03 ) = P 0.03  0.05  ( 1 2 ) ( p p )  0.03  0.05  12 1 2  3.19 pq p q 3.19   1 1 22    nn 12 = P(–0.04  Z  – 0.016 ) = 0.636 – 0.0160 = 0.0476ดงั น้นั ความน่าจะเป็นท่ีผลต่างของสดั ส่วนตวั อยา่ งของชายไทยและหญิงไทยที่ไม่รู้สึกรังเกียจผทู้ ่ีสูบบุหรี่ จะไม่เกิน 3% คือ 0.04766.9 การแจกแจงความแปรปรวนของตัวอย่าง n (xi  X )2ความแปรปรวน S2 เป็ นค่าสถิติท่ีสาคญั อีกค่าหน่ึง เน่ืองจาก S2  i1 n 1ถ้าสุ่มตวั อย่างหลายกลุ่มจากประชากรจะทาให้ได้ค่า S2 หลายค่า ดงั น้ัน S2 จึงมีลักษณะเป็ นตวั แปรสุ่ม ซ่ึงมีการแจกแจงเป็นไปดงั ทฤษฎีบทต่อไปน้ีทฤษฎบี ท 6.10 ถา้ X เป็นตวั แปรสุ่มจากประชากร ซ่ึงมีค่าเฉลี่ย  และความแปรปรวน 2 แลว้ ความแปรปรวนของตวั อยา่ ง S2 โดยท่ี n S2 ( xi  X )2  i1 n 1 จะเป็ นตวั แปรสุ่มที่มีคา่ เฉล่ียเป็ น 2 หรือ E(S2) = 2

บทที่ 6 การแจกแจงของตวั อยา่ งสุ่ม 265พสิ ูจน์ สุ่มตวั อยา่ งขนาด n จากประชากรท่ีมีค่าเฉล่ีย  มีความแปรปรวน 2 n  ( xiกาหนดให้ S2  X )2 i1  n 1  n  จาก E S E( 2 ) =  ( xi  X )2  i1   n 1  E = 1  n ( xi  X )2  n 1  i 1  E =1  n ( xi  )  (  X )2  n 1  i 1  = E 1  n ( xi  )2  2(xi  )(  X )  (  X )2  n 1  i 1 E  =1  n )2 n )2  n 1  i 1 ( xi   2(  X ) i 1 ( xi  )  n(  X  E =1  n ( xi  )2  2(  X )(nX  n)  n(  X ) 2  n 1  i 1  E =1  n ( xi  )2  2n(  X )( X  )  n(  X )2  n 1  i 1  E = 1  n    (xi  )2 n i1  2n(  X )2  n(  X )2  n 1  n  E= 1 n2  n(  X )2  n 1 = 1 nE(2 )  nE(  X )2  n 1 = 1 n2  n2X  n 1 = 1 n2 n 2  n 1 n  = 1 n2  2  n 1 = 1 2 (n 1)  n 1 = 2ดงั น้นั E(S2) = 2

266 ความน่าจะเป็นและสถิติเบ้ืองตน้ทฤษฎบี ท 6.9.1 ถา้ S2 เป็นความแปรปรวนของกลุ่มตวั อยา่ งขนาด n ที่สุ่มมาจากประชากร ที่มีการแจกแจงแบบปกติ มีความแปรปรวน 2 แลว้ 2 โดยท่ี 2  (n 1)S 2 2 จะเป็นตวั แปรสุ่มท่ีมีการแจกแจงแบบไคกาลงั สอง ท่ีมีองศาเสรี 2 = n – 1ตัวอย่าง 6.15 ถา้ ราคาขายส่งสินคา้ ชนิดหน่ึง มีการแจกแจงแบบปกติ มีความแปรปรวน 30 บาท2สุ่มตวั อยา่ งสินคา้ ชนิดน้ีมา 25 ชิ้น จงหาความน่าจะเป็นท่ี 1. ความแปรปรวนของราคาขายปลีกของสินคา้ ตวั อยา่ งน้ีจะนอ้ ยกวา่ 41.5 บาท2 2. ความแปรปรวนของราคาขายปลีกของสินคา้ ตวั อยา่ งน้ีจะอยรู่ ะหวา่ ง 15.5 ถึง 57 บาท2วธิ ีทา ให้ S2 เป็นความแปรปรวนของราคาขายปลีกของสินคา้ ตวั อยา่ งจาก 2  (n 1)S 2 21. หาความน่าจะเป็ นที่ความแปรปรวนของราคาขายปลีกของสินคา้ ตวั อยา่ งน้ีจะนอ้ ยกว่า41.5 บาท2 หรือ หา P( S2 < 41.5 ) ท่ี  = 24ดงั น้นั P( S2 < 41.5 ) =  (n 1)S 2 (24)(41.5)   2 P   30   = P( 2 < 33.2) = 0.10นน่ั คือความน่าจะเป็ นท่ีความแปรปรวนของราคาขายปลีกของสินคา้ ตวั อยา่ งน้ีจะนอ้ ยกวา่ 41.5 บาท2 คือ 0.10 2. หาความน่าจะเป็ นที่ความแปรปรวนของราคาขายปลีกของสินคา้ ตวั อยา่ งน้ีจะอยรู่ ะหวา่ ง15.5 ถึง 57 บาท2 หรือหา P( 15.5 < S2 < 57 ) ที่  = 24ดงั น้นั P( 15.5 < S2 < 57 ) = P  (24)(15.5)  (n 1)S 2  (24)(57)   30 2   30  = P(12.4 < 2 < 45.6 ) = 0.975 – 0.005 = 0.97 นน่ั คือความน่าจะเป็ นท่ีความแปรปรวนของราคาขายปลีกของสินคา้ ตวั อยา่ งน้ีจะอยู่ระหวา่ ง 15.5 ถึง 57 บาท2 คือ 0.97

บทท่ี 6 การแจกแจงของตวั อยา่ งสุ่ม 2676.10 การแจกแจงของอตั ราส่วนของความแปรปรวนในกรณีที่สุ่มตวั อยา่ งขนาด n1 , n2 จากประชากร 2 กลุ่มท่ีมีการแจกแจงแบบปกติท่ีมีค่าเฉล่ีย 1 , 2 และความแปรปรวน 12 , 22 ตามลาดบั ,S12 S 2 เป็ นความแปรปรวนของ 2ตวั อยา่ งท่ี 1 และ 2 แลว้ อตั ราส่วนของความแปรปรวนตวั อยา่ ง S12 จะมีการแจกแจงแบบเอฟ S22ทฤษฎบี ท 6.10.1 ถา้ S12 , S22 เป็ นความแปรปรวนของตวั อยา่ งขนาด n1 , n2 จากประชากร 2 กลุ่ม ท่ีมีการแจกแจงแบบปกติ ที่มีค่าเฉล่ีย 1 , 2 และความแปรปรวน 12 ,  2 2 ตามลาดบั โดยท่ี 2 (n1 1)S12 F = =n1 1 12 (n1 1) 2 (n2  1)S 2 2 n2 1 22 (n2 1) S12 = 12 2 S 2  2 2 = S1222 S2212 จะไดว้ า่ ตวั แปรสุ่ม F จะมีการแจกแจงแบบเอฟ ท่ีมีองศาเสรี 1 = n1 – 1 , 2 = n2 – 1ตัวอย่าง 6.16 สุ่มตวั อยา่ ง n1 = 10 , n2 = 10 จากประชากร 2 กลุ่มที่มีการแจกแจงแบบปกติมีคา่ 12 = 200 , 22 = 450 จงหา1. ความน่าจะเป็นท่ีอตั ราส่วนของความแปรปรวนตวั อยา่ ง S12 จะมีค่านอ้ ยกวา่ 4.4932 S 22. ความน่าจะเป็นท่ีอตั ราส่วนของความแปรปรวนตวั อยา่ ง S12 จะมีคา่ มากกวา่ 0.182 S223. ความน่าจะเป็นที่อตั ราส่วนของความแปรปรวนตวั อยา่ ง S12 จะมีค่ามากกวา่ 0.1103 S22แต่นอ้ ยกวา่ 1.413

268 ความน่าจะเป็นและสถิติเบ้ืองตน้วธิ ีทา ให้ S12 , S22 เป็ นความแปรปรวนของตวั อยา่ งกลุ่มที่ 1 , 2 โดยท่ี 12 = 200 , 22 = 450 1. หาความน่าจะเป็นท่ีอตั ราส่วนของความแปรปรวนตวั อยา่ ง S12 จะมีค่านอ้ ยกวา่ 4.493 S22หรือหา P( S122 < 4.493 ) ที่ 1 = n1 – 1 =9 และ 2 = n2– 1 =9 S 2 ดงั น้นั P( S12 < 4.493 ) =  S1222  4.493 450  P S2212  S22 200   = P( F < 10.109 ) = 1 – P( F < 10.109) = 1 – 0.001 = 0.999 นน่ั คือ ความน่าจะเป็ นท่ีอตั ราส่วนของความแปรปรวนตวั อยา่ ง S12 จะมีคา่ นอ้ ยกวา่ 2 S 24.493 คือ 0.999 2. หาความน่าจะเป็นท่ีอตั ราส่วนของความแปรปรวนตวั อยา่ ง S12 จะมีคา่ มากกวา่ 2 S 20.182 หรือหา P( S12 > 0.182 ) ท่ี 1 = n1 – 1 = 9 และ 2 = n2– 1 =9 S22 ดงั น้นั P( S12 > 0.182) = S1222  0.182  450  S2212  S22 P 200   = P( F > 0.4095 ) = P  F  1    2.44 = 1 – PF  2.44 = 1 – 0.1 = 0.9 ดงั น้นั P( S12 > 0.182) = P( F > 0.182 ) = 0.9 S22 นนั่ คือ ความน่าจะเป็ นท่ีอตั ราส่วนของความแปรปรวนตวั อยา่ ง S12 จะมีค่ามากกวา่ S220.182 เป็น 0.9

บทที่ 6 การแจกแจงของตวั อยา่ งสุ่ม 2693. หาความน่าจะเป็ นท่ีอตั ราส่วนของความแปรปรวนตวั อย่าง S12 จะมีค่ามากกว่า S220.1103 แต่นอ้ ยกวา่ 1.413 หรือหา P( 0.1103 < S122 < 1.413 ) ที่ 1 = 9 และ 2 = 9 S 2ดงั น้นั P( 0.1103 < S12 < 1.413 ) = 450  S1222  1.413  450  200 S2212  S 2 P 0.1103 200  2  = P( 0.2482 < F < 3.179 ) = 0.975 – 0.05 = 0.925 นน่ั คือ ความน่าจะเป็นท่ีอตั ราส่วนของความแปรปรวนตวั อยา่ ง S12 จะมีคา่ มากกวา่ S220.1103 แต่นอ้ ยกวา่ 1.413 คือ 0.925

270 ความน่าจะเป็นและสถิติเบ้ืองตน้ แบบฝึ กหัดบทที่ 61. ตวั แปรสุ่ม X มีคา่ 1, 3, 5, 7, 9 ถา้ สุ่มตวั อยา่ งขนาด 2 หน่วย โดยสุ่มท่ีลงตวั แลว้ ใส่คืน จงหา 1.1 ค่าเฉล่ียและความแปรปรวนของ X 1.2 คา่ เฉลี่ยและความแปรปรวนของ X2. จบั สลาก 2 ใบออกจากกล่องที่มีสลากท้งั หมด 6 ใบ ประกอบดว้ ยสลากหมายเลข 1, 5, 6, 8, 9โดยหยบิ คร้ังละ 2 ใบ 2.1 ค่าเฉล่ียและความแปรปรวนของหมายเลขสลากท้งั หมด 2.2 ค่าเฉล่ียและความแปรปรวนของ X เม่ือ เป็นตวั แปรสุ่มแทนคา่ เฉลี่ยของชุดตวั อยา่ งแต่ละชุดที่สุ่มได้3. ถา้ ทราบวา่ นกั ศึกษาของมหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ลาปางจานวน 6,000 คน มีรายจ่ายเฉลี่ยตอ่ วนั เป็ น120 บาท มีส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 10 บาท ถา้ สุ่มนกั ศึกษาของมหาวทิ ยาลยั แห่งน้ีมา 5 คนโดยสุ่มแบบไม่ใส่คืน จงหาคา่ เฉลี่ยและส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของตวั อยา่ ง4. ถา้ ปริมาตรเฉลี่ยต่อกล่องของนมยีห่ อ้ หน่ึงมีค่า 200 ลูกบาศก์เซนติเมตร มีส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน3 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร ถา้ ทราบปริมาตรต่อกล่องของนมมีการแจกแจงแบบปกติ สุ่มตวั อยา่ งนมยห่ี ้อน้ีมา 50 กล่อง จงหาความน่าจะเป็ นที่ปริมาตรเฉลี่ยของนมกล่องตวั อยา่ งจะน้อยกว่า 199 ลูกบาศก์เซนติเมตร5. ถ้าน้ าหนักของน้าตางทรายต่อถุงของน้าตางทรายย่ีห้อหน่ึงมีการแจกแจงแบบปกติมีค่าเฉลี่ย 1 กิโลกรัม สุ่มตวั อยา่ งน้าตาลทรายยี่ห้อน้ีมาวดั น้าหนักจานวน 100 ถุง พบว่าส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของน้าหนักต่อถุงเป็ น 12 กรัม จงหาความน่าจะเป็ นท่ีน้าหนักเฉลี่ยของน้าตาลทรายท่ีสุ่มตวั อยา่ งมาจะนอ้ ยกวา่ 997 กรัม6. หมึกพิมพ์สาหรับเครื่องพิมพค์ อมพิวเตอร์ย่ีห้อหน่ึง มีจานวนหน้าเฉล่ียที่พิมพไ์ ดต้ ่อชุดเป็ น3,850 หน้า มีส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของจานวนหน้าเป็ น 400 หน้า ถา้ สุ่มหมึกพิมพ์ย่ีห้อน้ีมาจานวน 50 ชุด จงหาความน่าจะเป็ นท่ีจานวนหน้าเฉล่ียที่พิมพไ์ ดต้ ่อชุดของตวั อย่างจะมีค่านอ้ ยกวา่ 4,000 หนา้

บทท่ี 6 การแจกแจงของตวั อยา่ งสุ่ม 2717. สุ่มตวั อยา่ ง n1 = 80 จากประชากรกลุ่มท่ี 1 ที่มีค่าเฉล่ีย 376 ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 52และสุ่มตวั อยา่ ง n2 = 100 จากประชากรกลุ่มท่ี 2 ซ่ึงมีค่าเฉลี่ย 418 ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 75ถ้าประชากรท้ังสองมีการแจกแจงแบบปกติ จงหาความน่าจะเป็ นท่ีค่าเฉลี่ยตัวอย่างท่ี 1จะนอ้ ยกวา่ กลุ่มท่ี 2 มากกวา่ 308. ถา้ 28% ของคนลาปางชอบรายการโทรทศั น์รายการหน่ึง สุ่มตวั อยา่ งคนลาปางมา 500 คน จงหาความน่าจะเป็ นท่ี 8.1 สัดส่วนของตวั อยา่ งท่ีชอบรายการโทรทศั น์รายการน้ีจะมากกวา่ 25% 8.2 สัดส่วนของตวั อยา่ งที่ชอบรายการโทรทศั น์รายการน้ีจะมากกวา่ 25% แต่ไม่เกิน 32%9. ถา้ สัดส่วนของสินคา้ ท่ีมีตาหนิจากการผลิตของเคร่ืองจกั รท่ี 1 และ 2 คือ 9% และ 5%ตามลาดบั สุ่มสินคา้ ตวั อยา่ งที่ผลิตจากเคร่ืองจุกรที่ 1 มา 1,000 ชิ้น จากเครื่องจกั รเครื่องที่ 2 มา1,500 ชิ้น จงหาความน่าจะเป็นที่ 9.1 ผลตา่ งของสัดส่วนของตวั อยา่ งท่ีมีตาหนิจากการผลิตของเครื่องจกั รท่ี 1 จะมีคา่ มากกวา่เครื่องที่ 2 เกินกวา่ 5% 9.2 ผลตา่ งของสดั ส่วนของตวั อยา่ งท่ีมีตาหนิจากการผลิตของเครื่องจกั รท่ี 1 จะมีคา่ นอ้ ยกวา่เคร่ืองท่ี 2 ไมเ่ กิน 2%10. สุ่มตวั อยา่ ง n = 15 จากประชากรท่ีมีการแจกแจงแบบปกติ มีความแปรปรวน 210จงหาความน่าจะเป็นที่ความแปรปรวนของตวั อยา่ งจะมีค่านอ้ ยกวา่ 316