บทที่ 4 ระบบเลขฐาน

บทท่ี 4 ระบบเลขฐาน ในชีวติ ประจาวนั เราคุน้ เคยกบั การใชต้ วั เลขแทนจานวนโดยอาศยั เลขโดดสิบตวั ไดแ้ ก่ 0 , 1 ,2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 และจานวนทุกจานวนที่มีค่าเกินกวา่ 9 จะเขียนอยูใ่ นรูปท่ีใชเ้ ลขโดดเหล่าน้ีประกอบกนั ท้งั สิ้น เช่น 10 ประกอบดว้ ยเลขโดด 1 และ 0 763 ประกอบดว้ ยเลขโดด 7 , 6 และ 3 จานวนท่ีประกอบดว้ ยเลขโดดต้งั แต่ 0 ถึง 9 น้ีเราเรียกว่าจานวนในระบบเลขฐานสิบ(decimal system)หรือเรียกส้ันๆ ว่า เลขฐานสิบ ซ่ึงอาจเขียนจานวนโดยเขียนเลขฐานสิบกากบั ไว้เช่น 76310 หรือ 1010 แต่โดยทวั่ ไปเราจะไม่เขียนเลขฐานกากบั ไวใ้ นกรณีท่ีเป็ นเลขฐานสิบเนื่องจากเป็ นระบบเลขฐานที่เราใชก้ นั โดยทวั่ ไป แต่ถา้ จานวนน้นั เป็ นระบบเลขฐานอื่นจาเป็ นตอ้ งเขียนเลขฐานกากบั ไวด้ ว้ ย เช่น 7638 อ่านวา่ “ เจด็ หกสามฐานแปด ” 4035 อา่ นวา่ “ สี่ศูนยส์ ามฐานหา้ ” 94110 อา่ นวา่ “ เกา้ ส่ีหน่ึงฐานสิบ ” แต่โดยปกติแลว้ เรามกั จะอ่านค่าจานวนน้ีวา่ “เกา้ ร้อยส่ีสิบเอด็ ” ตามคา่ ของจานวนในระบบเลขฐานสิบ นอกจากจานวนในระบบเลขฐานสิบ แลว้ ยงั มีระบบเลขฐานอ่ืนๆ อีก เช่น จานวนในระบบเลขฐานสอง ( binary system ) ก็จะเขียนอยใู่ นรูปท่ีใชเ้ ลขโดดเพียง 2 ตวั คือ 0 และ 1 จานวนในระบบเลขฐานห้า ก็จะเขียนอยูใ่ นรูปที่ใชเ้ ลขโดดเพียง 5 ตวั คือ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 แต่ระบบเลขฐานที่ใชก้ บั ระบบคอมพิวเตอร์ไดแ้ ก่ระบบฐานสอง ระบบฐานแปด(octal system) และระบบฐานสิบหก(hexadecimal system)บทนิยาม 4.1 จานวน (number ) หมายถึงเลขโดด (digit) ต้งั แตห่ น่ึงตวั ข้ึนไปที่นามาเขียนเรียงกนับทนิยาม 4.2 จานวนในระบบเลขฐาน b จะมีเลขโดดใชจ้ านวน b ตวั ไดแ้ ก่ 0 , 1 , 2 ,…, b-1

132 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์ เนื่องจากเราคุน้ เคยกบั เลขโดดในระบบเลขฐานสิบซ่ึงมีเลขโดด 10 ตวั คือ 0 ถึง 9 ดงั น้นั จะใชเ้ ลขโดด A,B,C,D,… แทนเลขโดด 10,11,12,13,… ในระบบเลขฐานที่มากกวา่ ฐานสิบ จานวนเลขโดดในระบบเลขฐานตา่ ง ๆ แสดงไดด้ งั ตารางท่ี 4.1ระบบเลขฐาน เลขโดดท่ีใชใ้ นระบบเลขฐาน สอง 01 สาม 012 สี่ 0123 หา้ 01234 หก 012345 เจด็ 0123456 แปด 01234567 เกา้ 012345678 สิบ 0122456789 สิบเอด็ 0123456789A สิบสอง 0123456789AB สิบสาม 0123456789ABC สิบสี่ 0123456789ABCD สิบหา้ 0123456789ABCDE สิบหก 0123456789ABCDEFตาราง 4.1 แสดงเลขโดดในระบบเลขฐานสองถงึ ฐานสิบหก4.1 ค่าของจานวนในระบบเลขฐาน และการเปลย่ี นฐาน เพื่อความสะดวก ในบทน้ีจะแทนจานวนในระบบเลขฐานดว้ ยขอ้ ความว่า เลขฐาน เช่น ใช้คาวา่ เลขฐานสิบ แทนจานวนในระบบเลขฐานสิบ ใชเ้ ลขฐานสอง แทนจานวนในระบบเลขฐานสองใชเ้ ลขฐานแปด แทนจานวนในระบบเลขฐานแปด เป็นตน้

บทที่ 4 ระบบเลขฐาน 133บทนิยาม 4.3 ค่าของจานวนในระบบเลขฐาน b สามารถเขียนใหอ้ ยใู่ นรูปผลบวกของผลคูณ ระหวา่ งคา่ ของเลขโดด กบั ค่าประจาหลกั ของเลขโดดน้นั โดยที่ คา่ ประจาหลกั ท่ี n ของเลข ฐาน b มีค่าเท่ากบั bn-1จากบทนิยาม 4.3 เลขฐานสิบสามารถเขียนใหอ้ ยใู่ นรูปของผลรวมของผลคูณระหวา่ งเลขโดดกบั คา่ ประจาหลกั ของเลขโดดแตล่ ะตวั ดงั น้ี5,415  (5  1,000)  (4  100)  (1  10)  (5  1)  (5  103)  (4  102)  (1  101)  (5  100)เราจะเรียก 103 , 102 , 101 , 100 วา่ คา่ ประจาหลกั โดยที่หลกั ที่ 1 ของเลขฐานสิบ มีคา่ ประจาหลกั คือ 100 หรือ 1หลกั ที่ 2 ของเลขฐานสิบ มีคา่ ประจาหลกั คือ 101 หรือ 10หลกั ที่ 3 ของเลขฐานสิบ มีค่าประจาหลกั คือ 102 หรือ 100หลกั ที่ 4 ของเลขฐานสิบ มีคา่ ประจาหลกั คือ 103 หรือ 1,000หลกั ท่ี n ของเลขฐานสิบ มีคา่ ประจาหลกั คือ 10n-1 บางคร้ังเรามกั เรียกแต่ละหลกั ของเลขฐานสิบโดยเรียกหลกั ที่ 1 วา่ หลกั หน่วย เรียกหลกั ท่ี 2วา่ หลกั สิบ เรียกหลกั ท่ี 3 วา่ หลกั ร้อย และเรียกหลกั ท่ี 4 วา่ หลกั พนั ซ่ึงเป็ นการเรียกตามค่าประจาหลกั นน่ั เองตัวอย่าง 4.1 จงเขียนเลขฐานสิบต่อไปน้ีใหอ้ ยใู่ นรูปของผลรวมของผลคูณของเลขโดดกบัค่าประจาหลกั1) 76,321 2) 4,002  (7  104)  (6  103)  (3  102)  (2  10) 3) 6,904,211วธิ ีทา 1) 76,321  (1  1)

134 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์2) 4,002  (4  103)  (0  102)  (0  10)  (2  1)3) 6,904,211  (4  103)  (2  1)  (6  106)  (9  105)  (4  103)  (2  102)  (1  10)  (1  1) จะเห็นวา่ ค่าประจาหลกั ที่ n ของเลขฐานสิบ จะมีค่าเท่ากบั 10n-1 ดงั น้นั การหาค่าของจานวนในระบบเลขฐานอื่นก็เช่นเดียวกนั เราจะหาค่าจากผลรวมของผลคูณของเลขโดดกบั ค่าประจาหลกั ของเลขฐานน้นั ๆ เช่น 5,0268  (5  83)  (0  82)  (2  81)  (6  80) โดยท่ี หลกั ท่ี 1 ของเลขฐานแปดมีคา่ ประจาหลกั คือ 80  1 หลกั ที่ 2 ของเลขฐานแปดมีค่าประจาหลกั คือ 81  8 หลกั ท่ี 3 ของเลขฐานแปดมีคา่ ประจาหลกั คือ 82  64 หลกั ท่ี n ของเลขฐานแปดมีค่าประจาหลกั คือ 8n-142,3065  (4  54)  (2  53)  (3  52)  (2  50)โดยที่ หลกั ที่ 1 ของเลขฐานหา้ มีค่าประจาหลกั คือ 50  1 หลกั ท่ี 2 ของเลขฐานหา้ มีค่าประจาหลกั คือ 51  5 หลกั ท่ี 3 ของเลขฐานหา้ มีค่าประจาหลกั คือ 52  25 หลกั ที่ n ของเลขฐานหา้ มีค่าประจาหลกั คือ 5n-1

บทท่ี 4 ระบบเลขฐาน 135บทนิยาม 4.4 ค่าประจาหลกั ของทศนิยมตาแหน่งที่ n ของเลขฐาน b มีคา่ เทา่ กบั 1 bnพิจารณาค่าประจาหลกั ของจานวนทศนิยมในระบบเลขฐานสิบ คือ 0.4825เลขโดด 4 มีค่า 0.4 ซ่ึงไดจ้ าก 4 8เลขโดด 8 มีค่า 0.08 ซ่ึงไดจ้ าก 10 102เลขโดด 2 มีค่า 0.002 ซ่ึงไดจ้ าก 2เลขโดด 5 มีค่า 0.0005 ซ่ึงไดจ้ าก 8 หรือ 103ดงั น้นั จะไดว้ า่ 5 100 104 2 หรือ 1000 5 หรือ 100000.4825  4  8  2  5 10 102 103 104 1 1 1 1  ( 4  10 )  (8  102 )  (2  103 )  ( 5  104 )นน่ั คือ คา่ ประจาหลกั ของทศนิยมตาแหน่งที่ 1 ของเลขฐานสิบคือ 1 101 1 คา่ ประจาหลกั ของทศนิยมตาแหน่งท่ี 2 ของเลขฐานสิบคือ 102 ค่าประจาหลกั ของทศนิยมตาแหน่งที่ 3 ของเลขฐานสิบ คือ 1 103 1ดงั น้นั คา่ ประจาหลกั ของทศนิยมตาแหน่งท่ี n ของเลขฐานสิบคือ 10 nในลกั ษณะเดียวกนั จานวนทศนิยมในระบบฐาน b กจ็ ะมีค่าประจาหลกั ของทศนิยมตาแหน่งท่ี n คือ 1 เช่นกนั bn

136 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์ 4.1.1 การเปลยี่ นเลขฐานอื่นให้เป็ นเลขฐานสิบ การเปลี่ยนจานวนจากฐานอื่นให้เป็ นฐานสิบ เราจะใชว้ ิธีการเขียนจานวนท่ีตอ้ งการเปล่ียนใหเ้ ป็นฐานสิบ ใหอ้ ยใู่ นรูปของผลคูณของเลขโดดกบั ค่าประจาหลกั ของเลขโดดน้นั ดงั น้ี 5,0268  (5  83)  (2  81)  (6  80)  (5  512)  16  6  2,560  16  6  2,582 นนั่ คือ 5,0268  2,582ตัวอย่าง 4.2 จงทาจานวนต่อไปน้ีใหเ้ ป็นเลขฐานสิบ1) 11,01122) 11,01143) 11,01154) 11,0118 5) 11,0119 (1  24)  (1  23)  (0  22)  (1  21)  (1  1)วธิ ีทา 1) 11,0112  (1  16)  (1  8)  (1  2)  (1  1)  16  8  2  1  27 ดงั น้นั 11,0112  272) 11,0114  (1  44)  (1  43)  (1  41)  (1  1)  (1  256)  (1  64)  (1  4)  (1  1)  256  64  4  1  325ดงั น้นั 11,0114  325

บทที่ 4 ระบบเลขฐาน 1373) 11,0115  (1  54)  (1  53)  (1  51)  (1  1)  (1  625)  (1  125)  (1  5)  (1  1)  625  125  5  1  756ดงั น้นั 11,0115  7564) 11,0118  (1  84)  (1  83)  (1  81)  (1  1)  (1  4,096)  (1  512)  (1  8)  (1  1)  4,096  512  8  1  4,617ดงั น้นั 11,0118  4,6175) 11,0119  (1  94)  (1  93)  (1  9)  (1  1)  6,561  729  9  1  7,300ดงั น้นั 11,0119  7,300ตัวอย่าง 4.3 จงหาคา่ ของจานวนทศนิยมต่อไปน้ีในระบบฐานสิบ 1) 0.514 9 2) 3) 0.24415วธิ ีทา 1) 0.110112 (5 1 ) 1 1 9 92 93 0.514 9   (1 )  ( 4 ) 51 4   9 81 729 405  9  4  729 418  729

138 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์2) 0.24415  (2 1 )  (4  1 )  (4  1 )  (1 1 ) 5 52 53 54 24 4 1  5  25  125  625 250  100  20  1  625 371  6253) 0.110112  (1 1 )  (1 1 )  (1 1 )  (1 1 ) 2 22 24 25 11 1 1  2  4  16  32 16  8  2  1  32 27  32 4.1.2 การเปลยี่ นเลขฐานสิบให้เป็ นฐานอ่ืน ในการเปลี่ยนเลขฐานสิบให้เป็ นฐานอ่ืน ในกรณีท่ีจานวนน้นั เป็ นจานวนเตม็ เราจะทาไดโ้ ดยการนาเลขฐานที่ตอ้ งการเปลี่ยนไปหารเลขฐานสิบ แลว้ เขียนผลลพั ธ์และเศษที่เหลือกากบั ไว้ดา้ นขา้ ง การหารตอ้ งทาซ้าจนกวา่ ผลหารท่ีไดเ้ ป็ น 0 จากน้นั นาเศษที่เหลือจากการหารแต่ละคร้ังมาเขียนเรียงจากเศษลาดบั สุดทา้ ยจนถึงเศษตวั แรกผลที่ไดจ้ ากการเรียงดงั กล่าวคือเลขฐานใหม่ที่ตอ้ งการตวั อย่าง 4.4 จงเปลี่ยน 765 ใหเ้ ป็นเลขฐานแปดวธิ ีทา นาเลขฐานกค็ ือ 8 ไปหาร 765 8 ) 765 8 ) 95 เศษ 5 8 ) 11 เศษ 7 8 ) 1 เศษ 3 0 เศษ 1 ดงั น้นั 765  1,3758

บทที่ 4 ระบบเลขฐาน 139ตวั อย่าง 4.5 จงทา 4,263 ใหเ้ ป็นเลขฐานหา้วธิ ีทา นา 5 ไปหาร 42635 ) 4,2635 ) 852 เศษ 3 25 ) 170 เศษ 0 45 ) 34 เศษ 1 1 5 ) 6 เศษ5 ) 1 เศษ 0 เศษดงั น้นั 4,263  114,0235ตวั อย่าง 4.6 จงทา 4,263 ใหเ้ ป็นเลขฐานสิบหกวธิ ีทา 16 ) 4,26316 ) 266 เศษ 716 ) 16 เศษ 10 ซ่ึงแทนดว้ ย A 16 ) 1 เศษ 0 0 เศษ 1ดงั น้นั 4,263  10A716ตัวอย่าง 4.7 จงทา 98 ใหเ้ ป็นเลขฐานสองวิธีทำ 2 ) 98 2 ) 49 เศษ 0 2 ) 24 เศษ 1 2 ) 12 เศษ 0 2 ) 6 เศษ 0 2 ) 3 เศษ 0 2 ) 1 เศษ 1 0 เศษ 1 ดงั น้นั 98  1,100,0102

140 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์ ส่วนการเปลี่ยนเลขฐานสิบท่ีเป็ นทศนิยมให้เป็ นฐานอ่ืนน้นั มีวิธีการคือ ให้นาเลขฐานมาคูณกบั จานวนที่ตอ้ งการเปล่ียนฐาน แลว้ เขียนผลลพั ธ์จากการคูณเป็ น 2 ส่วนคือ ส่วนของจานวนเต็มกบั ส่วนของทศนิยม จากน้นั นาเลขฐานไปคูณกบั ทศนิยมที่ไดใ้ นข้นั แรกแลว้ แยกจานวนเต็มกบัทศนิยมอีก ทาซ้าจนกวา่ ผลการคูณในส่วนทศนิยมจะเป็ นศูนย์ หรือจนกวา่ จานวนเตม็ ที่ไดจ้ ะวนซ้าจากน้นั นาจานวนเตม็ ที่ไดม้ าเขียนเรียงกนั หลงั จุดทศนิยม โดยเขียนเรียงต้งั แต่จานวนเต็มที่ไดจ้ ากการหารคร้ังแรกจนถึงคร้ังสุดทา้ ย ดงั ตวั อยา่ งต่อไปน้ีตวั อย่าง 4.8 จงทา 0.125 ใหเ้ ป็นทศนิยมในระบบเลขฐานสองวธิ ีทา .125 2 0 .250 2 0 .500 2 1 .000 ดงั น้นั 0.125  0.0012ตวั อย่าง 4.9 จงทา 0.45 ใหเ้ ป็นจานวนในระบบฐานหา้วธิ ีทา .4 5 5 2 .2 5  5 1 .2 5 5 1 .2 5

บทท่ี 4 ระบบเลขฐาน 141 จะเห็นวา่ ผลการนา 5 ไปคูณกบั ทศนิยมท่ีได้ จะไดจ้ านวนเตม็ คือ 1 และทศนิยมคือ 0.25 ซ่ึงจะทาใหไ้ ดผ้ ลคูณเป็น 1.25 เร่ือยๆ ดงั น้นั จะไดว้ า่ 0.45  0.215ตวั อย่าง 4.10 จงทา 65.05 ใหเ้ ป็นทศนิยมในระบบเลขฐานสามวธิ ีทา เน่ืองจาก 65.05 ประกอบดว้ ยจานวนเตม็ คือ 65 และทศนิยมคือ 0.05 การเปล่ียน 65.05เป็นจานวนในระบบเลขฐานสามจึงมีข้นั ตอน 2 ข้นั ตอนไดแ้ ก่ ข้นั ตอนท่ี 1 ทาจานวนเตม็ คือ 65 ใหเ้ ป็นจานวนเตม็ ในระบบเลขฐานสาม ข้นั ตอนที่ 2 ทาทศนิยม 0.05 ใหเ้ ป็นทศนิยมในระบบเลขฐานสามข้นั ตอนท่ี 1 3 ) 65 3 ) 21 เศษ 2 3 ) 7 เศษ 0 3 ) 2 เศษ 1 0 เศษ 2 ดงั น้นั 65  21023 .0 5ข้นั ตอนที่ 2 3 0 .1 5  0 3 1 1 .4 5 0 3 .3 5 3 .0 5  3 .1 5จะเห็นวา่ ผลคูณของ 3 กบั ทศนิยมจะทาใหผ้ ลคูณที่เป็ นจานวนเตม็ วนซ้าที่ 0.0011

142 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ ดงั น้นั 0.05  0.0011 3 ทาให้ 65.05  21023  0.00113  2102.00113ตัวอย่าง 4.11 จงทา 563.35 ใหเ้ ป็นเลขฐานแปดวธิ ีทา ข้นั ตอนท่ี 1 ทา 563 ใหเ้ ป็นเลขฐานแปด 8 ) 563 8 ) 70 เศษ 3 8 ) 8 เศษ 6 8 ) 1 เศษ 0 0 เศษ 1 ดงั น้นั 563  10638 ข้นั ตอนท่ี 2 ทา 0.35 ใหเ้ ป็นเลขฐานแปด .3 5 8 2 .8 0 8 6 .4 0 8 3 .2 0 8 1 .6 0 8 4 .8 0 8 6 .4 0 8 3 .2 0

บทท่ี 4 ระบบเลขฐาน 143 จะไดว้ า่ 0.35  0.26314 8 ดงั น้นั 563.35  1063.263148 4.1.3 การเปลยี่ นจานวนในระบบเลขฐานอื่นๆ การเปลี่ยนจานวนในระบบเลขฐานอื่นซ่ึงไม่ใช่ฐานสิบไปเป็ นอีกฐานหน่ึง ก็ทาไดโ้ ดยการเปลี่ยนให้เป็ นเลขฐานสิบก่อน แลว้ จึงเปล่ียนเป็ นฐานที่ต้องการในข้นั ตอนสุดท้าย ดงั ตวั อย่างตอ่ ไปน้ีตวั อย่าง 4.12 จงทา 4,5069 ใหเ้ ป็นเลขฐานหา้วธิ ีทาข้นั ตอนท่ี 1 ทา 4,5069 ใหเ้ ป็นเลขฐานสิบ 4,5069  (4  93)  (5  92)  (6  1)  2,916  405  6  3,327ข้นั ตอนที่ 2 ทา 3,327 ใหเ้ ป็นเลขฐานหา้ 5 ) 3,327 5 ) 665 เศษ 2 5 ) 133 เศษ 0 5 ) 26 เศษ 3 5)5 เศษ 1 5)1 เศษ 0 0 เศษ 1 จะได้ 3,327  101,3015ดงั น้นั 4,5069  101,3015

144 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ตวั อย่าง 4.13 จงทา C4F16 ใหเ้ ป็นเลขฐานเกา้วธิ ีทาข้นั ตอนท่ี 1 ทา C4F16 ใหเ้ ป็นฐานสิบ C4F16  (C  162)  (4  161)  (F  160)  (12  256)  (4  16)  (15  1)  3,072  64  15  3,151ข้นั ตอนท่ี 2 ทา 3,151 ใหเ้ ป็นฐานเกา้ 9 ) 3,151 9 ) 350 เศษ 1 9 ) 38 เศษ 8 9)4 เศษ 2 0 เศษ 4ดงั น้นั C4F16  4,2819 4.1.4 การเปลยี่ นจานวนในระบบฐานสอง , ฐานแปด และฐานสิบหก การเปลี่ยนจานวนในระบบเลขฐานจากฐานหน่ึงไปเป็ นอีกฐานหน่ึงจะอาศยั วิธีการเปลี่ยนให้เป็ นฐานสิบก่อน แลว้ จากน้นั ค่อยเปล่ียนจากฐานสิบไปเป็ นฐานอื่นตามความตอ้ งการ แต่สาหรับการเปลี่ยนฐานระหวา่ งฐานสอง , ฐานแปด หรือฐานสิบหก อาจไม่จาเป็ นตอ้ งอาศยั วธิ ีการเปล่ียนใหเ้ ป็นฐานสิบก่อน ท้งั น้ีเนื่องจากจานวนในระบบเลขฐานสอง มีความสัมพนั ธ์กบั จานวนในระบบเลขฐานแปดและฐานสิบหก คือทุกๆ 3 หลักของเลขฐานสองจะสามารถเปลี่ยนให้เป็ นเลขฐานแปดได้ 1 หลกั และทุกๆ 4 หลกั ของเลขฐานสองสามารถเปลี่ยนให้เป็ นเลขฐานสิบหกได้1 หลกั พจิ ารณาค่าของ 0 ถึง 16 จากตาราง 4.2

บทท่ี 4 ระบบเลขฐาน 145ฐานสิบ ฐานสอง การเขียนจานวนในระบบฐาน ฐานสิบหก 0 ฐานแปด 0 0 1 0 1 1 10 1 2 2 11 2 3 3 100 3 4 4 101 4 5 5 110 5 6 6 111 6 7 7 7 8 8 1000 9 9 1001 10 A 10 1010 11 B 11 1011 12 C 12 1100 13 D 13 1101 14 E 14 1110 15 F 15 1111 16 16 17 10 10000 20ตาราง 4.2 แสดงการเปรียบเทยี บจานวนหลกั ของจานวนในฐานสอง ฐานแปด ฐานสิบหก จากตาราง 4.2 ทุก 3 หลกั ของเลขฐานสองสามารถเปล่ียนให้เป็ นเลขฐานแปด ได้ 1 หลกัเช่น 1,0002  001,0002  108 1,1012  001,1012  158 111  78

146 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์ และทุก 4 หลกั ของเลขฐานสองเปลี่ยนใหเ้ ป็นเลขฐานสิบหกได้ 1 หลกั เช่น 11012  D16 1102  01102  616 1,0111,11012  17D16 ในลกั ษณะเดียวกนั ทุก 1 หลกั ของเลขฐานแปดจะเปล่ียนเป็ นเลขฐานสองได้ 3 หลกั และทุก 1 หลักของเลขฐานสิบหกจะเปลี่ยนให้เป็ นเลขฐานสองได้ 4 หลกั เราจึงสามารถเปลี่ยนเลขฐานสองใหเ้ ป็นฐานแปดหรือฐานสิบหก หรือเปลี่ยนเลขฐานสิบหก ฐานแปดให้เป็ นฐานสองได้โดยไมต่ อ้ งเปล่ียนใหเ้ ป็นฐานสิบก่อน ดงั ตวั อยา่ งต่อไปน้ีตัวอย่าง 4.14 จงเปล่ียน 1010001002 ใหเ้ ป็นเลขฐานแปด และ เลขฐานสิบหกวธิ ีทา 1) ทา 1010001002 ใหเ้ ป็นเลขฐานแปดโดยแบง่ ชุดละ 3 หลกั จากหลกั ขวาสุด แลว้ เปล่ียนทุก 3 หลกั ที่แบ่งไวใ้ หเ้ ป็นเลขฐานแปด 1010001002  101,000,1002  5,0,48  5048 2) ทา 1010001002 ใหเ้ ป็นเลขฐานสิบหกโดยแบง่ ชุดละ 4 หลกั จากหลกั ขวาสุด แลว้ เปลี่ยนทุก 4 หลกั ท่ีแบ่งไวใ้ หเ้ ป็นเลขฐานสิบหก 1010001002  1,0100,01002  1,4,416  14416 ดงั น้นั 101,000,1002  5048  14416

บทท่ี 4 ระบบเลขฐาน 147ตวั อย่าง 4.15 จงเปล่ียน 100100001012 ใหเ้ ป็นฐานแปดและฐานสิบหกวธิ ีทา 1) เปล่ียน 100100001012 ใหเ้ ป็นฐานแปด จะได้ 10,010,000,1012  22038 2) เปล่ียน 100100001012 ใหเ้ ป็นฐานสิบหก จะได้ 100,1000,01012  48316 ดงั น้นั 100100001012  22038  48316ตวั อย่าง 4.16 จงเปลี่ยนฐานของจานวนตอ่ ไปน้ี 1) A72E16 ใหเ้ ป็นเลขฐานสอง 2) 5B0916 ใหเ้ ป็นเลขฐานแปด 3) 457218 ใหเ้ ป็นเลขฐานสิบหก 4) 304158 ใหเ้ ป็นเลขฐานสอง 5) 1,111,111,1102 ใหเ้ ป็นเลขฐานแปด 6) 1,111,111,1102 ใหเ้ ป็นเลขฐานสิบหกวธิ ีทา A72E16  1010,0111,0010,11102 1) 5B0916  0101,1011,0000,10012 2) 457218  100,101,111,010,0012 3)  100,1011,1101,00012  4,B,D,116  4BD116

148 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์ 4) 1,111,111,1102  1, 7 , 7 , 68  17768 5) 1,111,111,1102  11,1111,11102  3 , F , F16  3FE164.2 การบวก ลบ คูณ และหารจานวนในระบบเลขฐาน เราสามารถหาผลบวก ผลลบ ผลคูณ และผลหารของจานวนในระบบเลขฐานต่าง ๆ ไดด้ งั น้ี 4.2.1 การบวกจานวนในระบบเลขฐาน การบวกจานวนในระบบเลขฐานต่างๆน้นั จะบวกกนั ทีละหลกั โดยเริ่มจากหลกั ท่ี 1 หรือหลกั ดา้ นขวามือสุด ถา้ ผลบวกมีคา่ ต่ากวา่ เลขฐาน ใหใ้ ส่ผลบวกน้นั ในหลกั ท่ีบวก แต่ถา้ ผลบวกมีค่าเท่ากบั เลขฐานใหใ้ ส่ 0 ในหลกั น้นั แลว้ นา 1 ไปทดในหลกั ต่อไป แต่ถา้ ผลรวมมากกวา่ เลขฐานใหน้ าเลขฐานไปหารผลรวม ใส่เศษของการหารลงในหลกั น้นั แลว้ นาผลหารไปทดในหลกั ต่อไป ดงัตวั อยา่ งต่อไปน้ีตัวอย่าง 4.17 จงหาผลบวกของ 11012 + 11102 หลกั ท่ี 5 4 3 2 1 +1 1 0 12 1 1 1 02 1 1 0 11หลกั ที่ 1 10  1 ใส่ผลลพั ธ์ 1 ในหลกั ที่ 1หลกั ท่ี 2 01  1 ใส่ผลลพั ธ์ 1 ในหลกั ท่ี 2หลกั ที่ 3 11  2 นา 2 ไปหาร 2 ไดผ้ ลลพั ธ์ 1 เศษ 0 ใส่ 0 ในหลกั ที่ 3 แลว้ ทด 1 ในหลกั ที่ 4

บทท่ี 4 ระบบเลขฐาน 149หลกั ที่ 4 11  2 รวมกบั ที่ทดมาจากหลกั ท่ี 3 อีก 1 ไดผ้ ลรวมเป็น 3 นา 2 ไปหาร 3 ไดผ้ ลลพั ธ์ 1 เศษ 1 ใส่ 1 ในหลกั ที่ 4 ทด 1 ในหลกั ท่ี 5ดงั น้นั 11012  11102  110112ตวั อย่าง 4.18 จงหาผลรวมของ 111012  11102วธิ ีทา หลกั ท่ี 6 5 4 3 2 1 +1 1 1 0 12 0 1 1 1 02 1 0 1 0 11หลกั ที่ 1 101 ใส่ 1 ในหลกั ท่ี 1หลกั ท่ี 2 011 ใส่ 1 ในหลกั ที่ 2หลกั ที่ 3 112 2 หาร 2 ใส่ 0 ในหลกั ท่ี 3 ทดหลกั ท่ี 4 ดว้ ย 1หลกั ที่ 4 112 รวมกบั ท่ีทดจากหลกั ท่ี 3 อีก 1 เป็น 3 นา 2 ไปหาร 3 ได้ 1 เศษ 1หลกั ที่ 5 101 ใส่ 1 ในหลกั ท่ี 4 ทด 1 ในหลกั ที่ 5 รวมกบั ที่ทดมาอีกได้ 2ดงั น้นั 2 หาร 2 ได้ 1 เศษ 0 ใส่ 0 ในหลกั ที่ 5 ทด 1 ในหลกั ที่ 6 111012  11102  1010112

150 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ตวั อย่าง 4.19 จงหาผลรวมของ 4133 5  1342 5วธิ ีทา หลกั ที่ 5 4 3 41 21 13 +3 35 110 4 25 30หลกั ท่ี 1 32  5 นา 5 ไปหาร 5 ได้ 1 เศษ 0หลกั ที่ 2 34 1  8 ใส่ 0 ในหลกั ท่ี 1 ทดหลกั ท่ี 2 ดว้ ย 1หลกั ที่ 3 13 1  5 นา 5 ไปหาร 8 ได้ 1 เศษ 3หลกั ที่ 4 41 1  6 ใส่ 3 ในหลกั ที่ 2 ทดหลกั ที่ 3 ดว้ ย 1ดงั น้นั นา 5 ไปหาร 5 ได้ 1 เศษ 0 ใส่ 0 ในหลกั ท่ี 3 ทดหลกั ท่ี 4 ดว้ ย 1 นา 5 ไปหาร 6 ได้ 1 เศษ 1 ใส่ 1 ในหลกั ที่ 4 แลว้ ทด 1 ในหลกั ที่ 5 4133 5  1342 5  11030 5ตัวอย่าง 4.20 จงหาผลรวมของ 640138  72158วธิ ีทา +6 4 0 1 38 7 2 1 58 7 3 2 30ดงั น้นั 64013 8  7215 8  73230 8

บทท่ี 4 ระบบเลขฐาน 151ตัวอย่าง 4.21 จงหาคา่ ของ 3145 6  5412 6 4 +5 6วธิ ีทา 1 31 0 26 1 54 1 30 ดงั น้นั 3145 6  5412 6  13,0016 4.2.2 การลบจานวนในระบบเลขฐาน การลบจานวนในระบบเลขฐานจะลบทีละหลกั โดยเร่ิมจากหลกั ท่ี 1 ดา้ นขวามือสุดก่อน เช่นเดียวกบั การบวก โดยพิจารณาแตล่ ะหลกั วา่ ถา้ ตวั ต้งั มากกวา่ ตวั ลบ ใหใ้ ส่ผลลบในหลกั น้นัถา้ ตวั ลบเทา่ กบั ตวั ต้งั ผลลบมีค่าเป็นศูนย์ แต่ถา้ ตวั ต้งั เหลือคา่ นอ้ ยกวา่ ตวั ลบใหย้ มื จานวนขา้ งหนา้ มา 1หน่วย ซ่ึงหน่ึงหน่วยของการยืมจะมีค่าเท่ากบั ค่าเลขฐานของจานวนน้นั เช่น การยืม 1 หน่วยของเลขในฐานเกา้ มีคา่ เท่ากบั 9 การยมื 1 หน่วยของฐานสามมีคา่ เทา่ กบั 3 เป็นตน้ตัวอย่าง 4.22 จงหาค่า 11001102  10101002วธิ ีทา หลกั ท่ี 7 6 5 4 3 2 1 1 1 0 0 1 1 02  1 0 1 0 1 0 02 0 0 1 0 0 1 02 หลกั ที่ 1 00  0 หลกั ท่ี 2 10  1 หลกั ท่ี 3 11  0 หลกั ท่ี 4 00  0 หลกั ท่ี 5 0  1 ยมื หลกั ที่ 6 มา 1 หน่วย มีคา่ เป็น 2  0  1  1 หลกั ที่ 6 ถูกยมื ไป 1 เหลือค่า 1  1  0 จะได้ 0  0  0 หลกั ที่ 7 11  0 ดงั น้นั 1100110 2  1010100 2  10,0102

152 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์ตวั อย่าง 4.23 จงหา 11,100,0112  1,111,1012วธิ ีทา 1 1 1 0 0 0 1 12  0 1 1 1 1 1 0 12 0 1 1 0 0 1 1 02 หลกั ที่ 1 11  0 หลกั ที่ 2 10  1 หลกั ท่ี 3 0  1 ยมื หลกั ท่ี 4 , 5 , 6 (หลกั ที่ 4 ยมื หลกั ที่ 5 หลกั ท่ี 5 ยมื หลกั ท่ี 6 ) ดงั น้นั หลกั ที่ 3 มีค่า 2  0  1  1 หลกั ท่ี 4 เหลือคา่ 2  1  1  0 หลกั ท่ี 5 เหลือคา่ 2  1  1  0 หลกั ท่ี 6 เหลือคา่ 0 เนื่องจากถูกยมื จึงตอ้ งยมื จากหลกั ที่ 7 จึงทาใหม้ ีคา่ 201  1 หลกั ที่ 7 เหลือคา่ 0 เนื่องจากถูกยมื จึงตอ้ งยมื จากหลกั ท่ี 8 มีคา่ 201  1 หลกั ที่ 8 เหลือค่า 0 ดงั น้นั 11,100,0112  1,111,1012  1,100,1102ตัวอย่าง 4.24 จงหา 420,134 5  344120 5วธิ ีทา 4 2 0 1 3 45  3 4 4 1 2 05 0 2 1 0 1 45 หลกั ท่ี 1 40  4 หลกั ท่ี 2 32  1 หลกั ที่ 3 11  0 หลกั ท่ี 4 0 ยมื หลกั ท่ี 5 มา 1 มีค่า 5  0  4  1

บทท่ี 4 ระบบเลขฐาน 153 หลกั ท่ี 5 เหลือ 2  1  1 ยมื หลกั ที่ 6 มา 1 มีคา่ 5  1  6 หลกั ท่ี 6 64  2 ดงั น้นั เหลือ 4  1  3 33  0 420,1345  344120 5  21,0145ตัวอย่าง 4.25 จงหาผลลบของ 605,3148  441,025 8วธิ ีทา 6053 4410 1 48  1442 2 58 6 78 ดงั น้นั 605,3148  441,0258  144,2678 4.2.3 การคูณจานวนในระบบเลขฐาน สาหรับการคูณจานวนในระบบเลขฐานอื่น ก็ใช้หลกั การเดียวกบั การคูณจานวนในระบบเลขฐานสิบ คือเร่ิมคูณจากหลกั ท่ี 1 ดา้ นขวามือ ผลคูณของแต่ละหลกั ใหน้ าเลขฐานไปหารใส่เศษที่เหลือจากการหารและนาผลหารไปทดใหห้ ลกั ตอ่ ไป หรืออาจหาผลคูณของจานวนในฐานอ่ืนโดยการเปลี่ยนใหเ้ ป็นฐานสิบแลว้ คูณกนั ก่อนจากน้นั นาผลคูณที่ไดเ้ ปล่ียนใหเ้ ป็นจานวนในฐานเดิมตวั อย่าง 4.26 จงหาผลคูณ 10112  11 2วธิ ีทา 1 0 1 12  1 12 1 0 1 1 + 0 1 1 1 1 0 0 0 01 ดงั น้นั 1011 2  11 2  100,001 2

154 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ตัวอย่าง 4.27 จงหาผลคูณของ 1101112  101 2วธิ ีทา 1 1 0 1 12  1 0 12 1 1 0 11 + 00000 11011 1 0 0 0 0 1 11 ดงั น้นั 110111 2  101 2  10,000,111 2ตวั อย่าง 4.28 จงหาผลคูณของ 430125  324 5วธิ ีทา วธิ ีท่ี 1 4 3 0 1 25  3 2 45 332103 + 141024 234041 3 1 2 0 1 4 4 35 วธิ ีที่ 2 43012 5  ( 4  54 )  ( 3  53 )  ( 1  5 )  2  2500  375  5  2  2,882 324 5  ( 3  52 )  ( 2  5 )  4  75  10  4  89 2,882  89  256,498

บทที่ 4 ระบบเลขฐาน 155จากน้นั เปล่ียนใหเ้ ป็ นฐานเดิม เศษ 3 5 ) 256498 เศษ 4 5 ) 51299 เศษ 4 5 ) 10259 เศษ 1 5 ) 2051 เศษ 0 5 ) 410 เศษ 2 5 ) 82 เศษ 1 5 ) 16 เศษ 3 5 )3 0 256,489  31,201,4435ดงั น้นั 43012 5  324 5  31,201,4435 4.2.4 การหารจานวนในระบบเลขฐาน การหารมีหลกั การหารในลกั ษณะเดียวกบั การหารจานวนในระบบเลขฐานสิบดงั ตวั อยา่ งต่อไปน้ีตวั อย่าง 4.29 จงหาผลหารของ 101010 2 ดว้ ย 11 2 วธิ ีท่ี 1 0 0 11 10 11 1 0 1 0 1 0 1 1 100 1 1 0110 1 1 0 0  101010 2  11 2  11 1 0 2

156 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ วธิ ีท่ี 2 เปลี่ยนจานวนท้งั สองจานวนใหเ้ ป็นฐานสิบ แลว้ นามาหาผลหาร เมื่อไดผ้ ลหารแลว้ใหเ้ ปล่ียนกลบั ไปเป็นฐานสอง 101,010 2  (1  2 5)  (1  2 3)  (1  2)  32  8  2  42 112  (1  2)  (1  1) 3 42  3  14 จากน้นั ทา 14 ใหเ้ ป็ นฐานสอง 2 ) 14 2 ) 7 เศษ 0 2 ) 3 เศษ 1 2 ) 1 เศษ 1 0 เศษ 1 ดงั น้นั 101010 2  11 2  1,1 1 0 2ตัวอย่าง 4.30 จงหาค่าของ 1,110,011 2  1012 0 ,0 10 , 111 วธิ ีที่ 1 101 1 , 1 1 0 , 0 1 1 1 01 10 0 0 1 0 1 00 1 11 1 0 1 0 101 1 0 1 0  1,110,011 2  101 2  10,1 1 1 2

บทท่ี 4 ระบบเลขฐาน 157วธิ ีท่ี 2 1,110,011 2  (1  2 6)  (1  2 5)  (1  2 4)  (1  2)  1  64  32  16  2  1  115 101 2  (1  2 2)  1 5 115  5  23 ทา 23 ใหเ้ ป็นฐานสอง 2 ) 23 2 ) 11 เศษ 1 2 ) 5 เศษ 1 2 ) 2 เศษ 1 2 ) 1 เศษ 0 0 เศษ 1 ดงั น้นั 1,110,011 2  101 2  10,1 112ตวั อย่าง 4.31 จงหา 62,325 7  6 7วธิ ีทา 10 , 262 วธิ ีท่ี 1 6 623, 25 6 0 23  ( 23 7  17 ) 15 ( 15 7  12 ) ( 52 7  37 ) 5 2 51 ( 51 7  36 ) 15 1 5 0 62,325 7  6 7  10,262 7

158 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์ วธิ ีที่ 2 62,325 7  (6  7 4)  (2  7 3)  (3  7 2)  (2  7)  5  14,406  686  147  14  5  15,258 หาผลหารจากฐานสิบ 2 , 543 6 15 , 25 8 12 32 3 0 25 24 18 1 8 0 15,258  6  2543 ทา 2543 ใหเ้ ป็นฐานเจ็ด 7 ) 23 7 ) 11 เศษ 2 7 ) 5 เศษ 6 7 ) 2 เศษ 2 7 ) 1 เศษ 0 0 เศษ 1 จะได้ 2,543  10,262 7 ดงั น้นั 62,325 7  6 7  10,262 74.3 การลบโดยวธิ ีการส่วนเติมเตม็ โดยปกติเราหาผลลบโดยวิธีการดงั หัวขอ้ 4.2.2 ซ่ึงเป็ นการหาผลลบโดยตรง แต่ในวงจรดิจิตอลของเครื่องคอมพิวเตอร์จะหาผลลบโดยวิธีการที่เรียกวา่ การลบโดยวิธีการส่วนเติมเต็ม ซ่ึงมีการลบดว้ ยวิธีการส่วนเติมเต็ม 10 และการลบโดยวิธีการส่วนเติมเตม็ 9 สาหรับการหาผลลบของ

บทที่ 4 ระบบเลขฐาน 159เลขฐานสิบ และการลบโดยวธิ ีการส่วนเติมเต็ม 2 และการลบโดยวธิ ีการส่วนเติมเต็ม 1 สาหรับหาผลลบของเลขฐานสอง4.3.1 การลบโดยวธิ ีการส่วนเติมเต็ม 10บทนิยาม 4.5 ส่วนเติมเต็ม 10 ( 10’s complement) ของจานวน N ใดๆ เขียนแทนด้วย สญั ลกั ษณ์ C 10 โดยท่ี C 10  10a  N เม่ือ N แทนจานวนในระบบฐานสิบท่ีตอ้ งการหาส่วนเติมเตม็ 10 C 10 แทนส่วนเติมเตม็ 10 ของ N a แทนจานวนหลกั ท่ีตอ้ งการใชซ้ ่ึงตอ้ งมากกวา่ จานวนหลกั ของ Nตวั อย่าง 4.32 จงหาส่วนเติมเตม็ สิบของ 7435 ใช้ ถา้ ตอ้ งการใชจ้ านวนหลกั 6 หลกัวธิ ีทา N  7435 , a  6 C 10  10 6  7435 หาโดย 1,000,000 7,435 992,565 ดงั น้นั ส่วนเติมเตม็ 10 ของ 7435 คือ 992,565ตวั อย่าง 4.33 จงหาส่วนเติมเตม็ 10 ของ 36,482 เม่ือตอ้ งการใชจ้ านวนหลกั 6 หลกัวธิ ีทา N  36,482 , a  6 , C 10  10 6  7435หาโดย 1,000,000  36,482 963,518ดงั น้นั ส่วนเติมเตม็ 10 ของ 36,482 คือ 963,518

160 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์การลบจานวนในระบบเลขฐานสิบโดยวธิ ีการส่วนเติมเตม็ 10 มหี ลกั การดังนี้ 1. หาส่วนเติมเตม็ 10 ของตวั ลบ หรือ หา C 10 2. หาผลบวกของตวั ต้งั กบั C 10 3. ถา้ ผลบวกในขอ้ 2 มีหลกั เพม่ิ ข้ึน แสดงวา่ คาตอบมีเครื่องหมายเป็นบวก โดยคาตอบคือ ผลบวกในขอ้ 2 แต่ตดั หลกั ที่เพิม่ ทิ้งไป 4. ถา้ ผลบวกในขอ้ 2 ไม่มีหลกั เพิม่ แสดงวา่ คาตอบมีเครื่องหมายเป็นลบ โดยคาตอบคือ C 10 ของผลบวก ขอ้ 2 และใส่เครื่องหมายลบตวั อย่าง 4.34 จงหาค่าของ 7643  4298 โดยใชว้ ธิ ีการส่วนเติมเตม็ 10 ใหจ้ านวนหลกั 6 หลกัวธิ ีทา หา C 10 ของ 4298 ใชเ้ ลข 6 หลกั 1. C 10  106  4298 2.  995,702 หาผลบวกของตวั ต้งั กบั C 10 ของตวั ลบ 007,643  995,702 + 1,003,345 มีหลกั เพิม่ ข้ึน 1 หลกั3. ผลบวกมีจานวนหลกั เพิ่มข้ึน แสดงวา่ คาตอบเป็ นบวกใหต้ ดั หลกั ท่ีเพมิ่ ทิง้ ดงั น้นั คาตอบคือ 003,345นนั่ คือ 007,643  004,298  003,345ตัวอย่าง 4.35 จงหาคา่ ของ 758,042  965,763 โดยวธิ ีส่วนเติมเตม็ 10 ใชจ้ านวน 8 หลกัวธิ ีทา หา C 10 ของ 965,763 ใชเ้ ลขจานวน 9 หลกั 1. C 10  109  965,763  99,034,237

บทท่ี 4 ระบบเลขฐาน 161 2. หาผลบวกของ 00,758,042  C 10 ที่ได้ 0909075348203472 99792279 3. ไม่มีหลกั เพ่มิ แสดงวา่ คาตอบมีเครื่องหมายลบ หา C 10 ของ 99,792,279 จะได้ C 10  00,207,721 ดงั น้นั 758,042  965,763   00,207,721 4.3.2 การลบโดยวธิ ีการส่วนเติมเตม็ 9บทนิยาม 4 . 6 ส่วนเติมเตม็ ของ 9 (9’ s complement) ของจานวน N ใด เขียนแทนดว้ ย สญั ลกั ษณ์ C 9 โดยท่ี C 9  (10a  1)  N เมื่อ N แทนจานวนในระบบฐานสิบ C 9 แทนส่วนเติมเตม็ 9 ของ N a แทนจานวนหลกั ที่ตอ้ งการใช้ตวั อย่าง 4.36 จงหาส่วนเติมเตม็ 9 ของ 76053 เม่ือตอ้ งการใชจ้ านวนหลกั 6 หลกัวธิ ีทา N  76,052 , a  6 , C 9  (106  1)  76,052 หา C 9 1,000,000 1 99769,,905929 923,947 ดงั น้นั C 9 ของ 76,052 คือ 923,947

162 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์จากตวั อยา่ ง 4.36 จะเห็นวา่ (10a  1) จะมีคา่ เป็น 9 9 9 . . . 9 ดงั น้นั ส่วนใหญ่ เราจึงหา a ตวัคา่ C 9 จากการนา 9 9 9 . . . 9 ( a หลกั ) ลบดว้ ย Nตัวอย่าง 4.37 จงหา C 9 ของ 1432 เม่ือตอ้ งการใชจ้ านวน 8 หลกัวธิ ีทา N  1432 , a  8 C 9  99,999,999  00,001,432  99,998,568 ดงั น้นั C 9 ของ 1432 คือ 99,998,567การลบโดยใช้วธิ ีการส่วนเตมิ เตม็ 9 มีหลกั การดังนี้1. หาส่วนเติมเตม็ 9 ของตวั ลบ หรือหา C 92. หาผลบวกของตวั ต้งั กบั C 93. ถา้ ผลบวกในขอ้ 2 มีหลกั เพ่มิ ข้ึนโดยมี 1 เพมิ่ มาดา้ นซา้ ยมือ ใหน้ า 1 ท่ีไดไ้ ป บวกกบั ตวั เลขในหลกั ขวามือสุด ก็จะไดค้ าตอบซ่ึงเป็ นบวก4. ถา้ ผลบวกในขอ้ 2 ไม่มีหลกั เพิ่ม แสดงวา่ คาตอบมีค่าเป็ นลบ ใหห้ า C 9 ของ ผลบวกในขอ้ 2 แลว้ ใส่เคร่ืองหมายลบตวั อย่าง 4.38 จงหาค่าของ 867,041  439,622 โดยวธิ ีการส่วนเติมเตม็ 9 ใชจ้ านวนหลกั8 หลกัวธิ ีทา หา C 9 ของ 439,622 ใชจ้ านวน 8 หลกั C 9  99,999,999  00,439,622 1.  99,560,377 2. หาผลบวกของ 867,041 กบั 99,560,377 0990,,856607,,034717 100,427,418

บทท่ี 4 ระบบเลขฐาน 163 3. มี 1 เพ่มิ มา 1 หลกั แสดงวา่ คาตอบเป็นบวก นา 1  00,427,418  00,427,419 ดงั น้นั คาตอบคือ 00,427,419ตัวอย่าง 4.39 จงหาค่าของ 23,049  518,604 โดยวธิ ีการส่วนเติมเตม็ 9 ใชจ้ านวนหลกั8 หลกัวธิ ีทา 1. หา C 9 ของ 518,604 ใชจ้ านวน 8 หลกั C 9  99,999,999  00,518,604  99,481,395 2. หาผลบวกของ 23,049 กบั 99,481,395 00,023,049 99,481,395 99,504,444 3. ผลบวกในขอ้ 2 มีจานวนหลกั เพม่ิ แสดงวา่ คาตอบมีเครื่องหมายเป็นลบ หา C 9 ของ 99,504,444 แลว้ ใส่เคร่ืองหมายลบได้ 00,495,555 ดงั น้นั 23,049  518,604  00,495,555 4.3.3 การลบโดยวธิ ีการส่วนเตมิ เต็ม 2บทนิยาม 4.7 ส่วนเติมเตม็ 2 (2’ s complement)ของจานวน Nใดๆ เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ C 2 โดยที่ C 2  2a  N เมื่อ N แทนจานวนในระบบฐานสองที่ตอ้ งการหาส่วนเติมเตม็ 2 C 2 แทนส่วนเติมเตม็ 2 ของ N a แทนจานวนหลกั ที่ตอ้ งการใช้

164 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์ตัวอย่าง 4.40 จงหาส่วนเติมเตม็ 2 ของ 110,101 2 โดยใชจ้ านวนหลกั 8 หลกัวธิ ีทา N  110,101 2 , a  8 C 2  28  110,1012หาโดย 100,000,0002 11,001,011 2 110,101 2 11,001,011 2ดงั น้นั ส่วนเติมเตม็ 2 ของ 110,101 2 คือตัวอย่าง 4.41 จงหาส่วนเติมเตม็ 2 ของ 1,100,0102 โดยใชจ้ านวนหลกั 8 หลกัวธิ ีทา N  1,100,0102 , a  8 C 2  28  1,100,0102หาโดย 100,000,0002  1,100,010 2 10,011,110 2ดงั น้นั ส่วนเติมเตม็ 2 ของ 1,100,0102 คือ 10,011,110 2การลบโดยวธิ ีการส่วนเตมิ เต็ม 2 มีหลกั การดงั นี้1. หา C 2 ของตวั ลบ2. หาผลบวกของตวั ต้งั กบั C 2 ของตวั ลบ3. พจิ ารณาผลบวกในขอ้ 2 ถา้ มีหลกั เพมิ่ มาดา้ นซา้ ยมือสุด แสดงวา่ คาตอบมีเคร่ืองหมาย เป็นบวกใหต้ ดั หลกั ที่เพิม่ ทิ้งไป4. ถา้ ผลบวกในขอ้ 2 มีจานวนหลกั เทา่ เดิมแสดงวา่ คาตอบมีเคร่ืองหมายเป็นลบ ใหห้ า C 2 ของผลบวกในขอ้ 2 ใส่เครื่องหมายลบ

บทท่ี 4 ระบบเลขฐาน 165ตวั อย่าง 4.42 จงหาคา่ ของ 111,1112 2  101,0112 2 โดยวธิ ีการส่วนเติมเตม็ 2 ใชจ้ านวนหลกั 8 หลกัวธิ ีทา 1. หา C 2 ของ 101,0112 2 ใชจ้ านวนหลกั 8 หลกั 100,000,000 2 101,011 2 11,010,101 2 2. หา 111,111 2  11,010,1012 00,111,111 2 11,010,1012  100,010,100 2 3. มีหลกั เพม่ิ จากเดิม ดงั น้นั 111,1112 2  101,0112 2  00,010,1002ตัวอย่าง 4.43 จงหาคา่ ของ 100,111 2  101,010 2 โดยใชว้ ธิ ีการส่วนเติมเตม็ ใชจ้ านวนหลกั8 หลกัวธิ ีทา1. หา C 2 ของ 101,010 2 ใชจ้ านวนหลกั 8 หลกั 100,000,000 2 101,010  2 11,010,110 2

166 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์2. หา 100,111 2  11,010,1102 00,100,111 2  11,010,110 2 11,111,101 23. ไม่มีหลกั เพม่ิ แสดงวา่ คาตอบมีเคร่ืองหมายลบ หา C 2 ของ 11,111,101 2 100,000,000 2  11,111,101 2 00,000,011 2ดงั น้นั 100,111 2  101,010 2  00,000,011 24.3.4 การลบโดยวธิ ีการส่วนเตมิ เตม็ 1บทนิยาม 4.8 ส่วนเติมเตม็ 1 (1’s complement) ของจานวน N ใดๆ แทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์คือ C 1 โดยท่ี C 1  ( 2a  1)  N เม่ือ N แทนจานวนในระบบฐานสองท่ีตอ้ งการหาส่วนเติมเตม็ 1 C 1 แทนส่วนเติมเตม็ 1 ของ N a แทนจานวนหลกั ที่ตอ้ งการใช้ เน่ืองจากถา้ ตอ้ งการใชจ้ านวนหลกั a หลกั แลว้ 2a  1 จะมีค่าเทา่ กบั 1 1 1 . . . 1 a หลกัและเนื่องจาก N เป็ นจานวนในระบบฐานสองจึงมีเลขโดดใชเ้ พียงสองตวั คือ 0 และ 1 เม่ือนา Nไปลบกบั C 1 จึงทาใหผ้ ลลบในแตล่ ะหลกั เป็นตวั เลขที่ตรงกนั ขา้ ม ระหวา่ ง 0 กบั 1 เช่น ส่วนเติมเตม็ 1 ของ 101,010,111 2 คือ 010,101,000 2 ส่วนเติมเตม็ 1 ของ 111,000,101 2 คือ 000,111,010 2

บทท่ี 4 ระบบเลขฐาน 167การลบโดยวธิ ีส่วนเตมิ เต็ม 1 มีหลกั การดังนี้1. หา C 1 ของตวั ลบ2. หาผลบวกของตวั ต้งั กบั C 1 ของตวั ลบ3. ถา้ ผลบวกในขอ้ 2 มี 1 เพ่ิมข้ึนอีกหลกั ทางดา้ นซา้ ยใหน้ า 1 ไปบวกกบั ผลบวกใน ขอ้ 2 คาตอบเป็นบวก4. ถา้ ผลบวกในขอ้ 2 ไมม่ ีหลกั เพม่ิ ใหห้ า C 1 ของผลบวกในขอ้ 2 แลว้ ใส่เคร่ือง หมายเป็ นลบตวั อย่าง 4.44 จงหาผลลบของจานวนต่อไปน้ีโดยวธิ ีการส่วนเติมเตม็ 1 ใชจ้ านวนหลกั 8 หลกั1) 1,101,110 2  111,0002 2) 111,000 2  1,101,1102วธิ ีทา1) 1,101,1102  111,000 2C 1 ของ 111,000 2  11,000,111 2หา 01,101,110 2  11,000,1112  01,101,110 2 11,000,111 2 100,110,101 2มี 1 เพมิ่ มาอีก 1 หลกั ใหน้ า 1  00,110,1012ดงั น้นั 1,101,110 2  111,0002  00,110,1102

168 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพวิ เตอร์2) 111,0002  1,101,110 2C 1 ของ 1,101,110 2  10,010,0012หา 00,111,000 2  10,010,0012 00,111,000 2 10,010,001  2 11,001,001 2ไมม่ ีหลกั เพ่มิหา C 1 ของ 11,001,001 2  00,110,110 2ดงั น้นั 111,000 2  1,101,1102  00,110,110 2บทสรุป จานวนท่ีเราใชใ้ นชีวติ ประจาวนั คือจานวนในระบบเลขฐานสิบ ซ่ึงมีเลขโดดใช้ 10 ตวั ไดแ้ ก่0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 และในระบบเลขฐาน b จะมีเลขโดดใชจ้ านวน b-1 ตวั นอกจากจานวนในระบบเลขฐานสิบแล้วเรายงั มีจานวนในระบบเลขฐานอ่ืน ๆ อีกท่ีสาคัญ โดยเฉพาะระบบเลขฐานสอง ฐานแปด และฐานสิบหก ซ่ึงเป็ นพ้ืนฐานในการศึกษาวงจรและการทางานในระบบดิจิตอลของคอมพิวเตอร์ ค่าของจานวนในระบบฐาน b ใด ๆ สามารถเขียนให้อยูใ่ นรูปผลคูณของเลขโดดกบั ค่าประจาหลกั ของเลขโดดน้นั เราจึงสามารถเปลี่ยนจานวนในระบบฐานต่าง ๆ ใหเ้ ป็ นฐานสิบหรือฐานอื่น ๆ ได้ การหาผลบวก ผลลบ ผลคูณและผลหารของจานวนในระบบเลขฐานอื่นก็สามารถดาเนินการบวก ลบ คูณหรือหารไดเ้ ช่นเดียวกนั กบั จานวนในระบบเลขฐานสิบ แต่การหาผลลบของการทางานของคอมพิวเตอร์จะทาโดยวธิ ีการส่วนเติมเตม็

บทที่ 4 ระบบเลขฐาน 169 แบบฝึ กหดั บทท่ี 41. จงเปลี่ยนจานวนต่อไปน้ีใหเ้ ป็นจานวนในระบบเลขฐานสิบ 1) 46053 8 2) 430211 5 3) A1D 16 4) 5716 9 5) 11,010,111 22. จงทา 6,034 ใหเ้ ป็นจานวนในระบบเลขฐานหา้3. จงทา 269 ใหเ้ ป็นจานวนในระบบเลขฐานแปด4. จงทา 49.125 ใหเ้ ป็นจานวนในระบบเลขฐานสอง5. จงทา 1,213 ใหเ้ ป็นจานวนในระบบเลขฐานสิบหก6. จงทา 0.72 ใหเ้ ป็นจานวนในระบบเลขฐานหา้7. จงทา 4132 5 ใหเ้ ป็นจานวนในระบบเลขฐานแปด8. จงทา B3A5 12 ใหเ้ ป็นเลขฐานหก9. จงเปลี่ยนฐานของจานวนตอ่ ไปน้ี1) 110,010,111,0112 ใหเ้ ป็นฐานแปด2) 111,000,011,1112 ใหเ้ ป็นฐานสิบหก3) 4DE3 16 ใหเ้ ป็นฐานสอง

170 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์4) 50714 8 ใหเ้ ป็นฐานสิบหก5) 1A4C916 ใหเ้ ป็นฐานแปด10. จงหาผลบวกของจานวนต่อไปน้ี 1) 111,010,110 2  100,111,0102 2) 10,110,110 2  100,100,0112 3) 34,6589  45,2069 4) 21,4345  10,0415 5) 3,300,121 4  210,223411. จงหาผลลบของจานวนต่อไปน้ี 1) 100,110 2  11,1012 2) 110,011,101 2  100,001,1112 3) 43,2015  34,0125 4) 604,135 8  544,2478 5) 220,213 4  123,123412. จงหาผลคูณของจานวนต่อไปน้ี 1) 12,312 6  34 6 2) 42,013 5  212 5 3) 101,110 2  110 2 4) 100,100 2  1010 2

บทท่ี 4 ระบบเลขฐาน 17113. จงหาผลหารต่อไปน้ี 1) 110,011 2  11 2 2) 10,101 2  111 2 3) 100,1112  110 214. จงหาผลลบต่อไปน้ีโดยวธิ ีการส่วนเติมเตม็ 10 หรือ วธิ ีการส่วนเติมเตม็ 9 ใชจ้ านวนหลกั 8 หลกั 1) 567,013  1,932,648 2) 449,821  376,485 3) 103,428  59,407 4) 47,684  84,29015. จงหาส่วนเติมเตม็ 10 ของจานวนต่อไปน้ี( ใช้ 8 หลกั ) 1) 70,643 2) 5,681 3) 497,65316. จงหาส่วนเติมเตม็ 9 ของจานวนต่อไปน้ี ( ใช้ 8 หลกั ) 1) 70,643 2) 5,681 3) 497,65317. จงหาส่วนเติมเตม็ 2 ของจานวนต่อไปน้ี ( ใช้ 8 หลกั ) 1) 110,100 2 2) 111,101 2 3) 1,110,001 2

172 คณิตศาสตร์สาหรับคอมพิวเตอร์18. จงหาส่วนเติมเตม็ 1 ของจานวนต่อไปน้ี ( ใช้ 8 หลกั ) 1) 111,011 2 2) 11,000,011 2 3) 10,001,111 219. จงหาผลลบต่อไปน้ี โดยวธิ ีการส่วนเติมเตม็ 2 หรือ วธิ ีการส่วนเติมเตม็ 1 ( ใช้ 8 หลกั ) 1) 11,0002  1,000,1112 2) 101,010 2  10,1112 3) 1,000,111 2  1,011,0112 4) 111,010 2  100,1002