บทที่ 5 การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง

บทที่ 5การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง ก า ร แ จ ก แ จ ง ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น ข อ ง ตัว แ ป ร สุ่ ม ช นิ ด ต่ อ เ น่ื อ ง มี อ ยู่ห ล า ย ช นิ ดแต่ในบทน้ีจะกล่าวถึงเพียงบางชนิดซ่ึงมีความสาคญั และจาเป็ นที่จะตอ้ งนาไปใช้ในบทต่อไปได้แก่ ก ารแจก แจงความน่ าจะ เป็ นแบบปก ติ ก ารแจก แจงความน่ าจะ เป็ นแบบทีการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไคกาลงั สอง และการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบเอฟ5.1 การแจกแจงความน่าจะเป็ นแบบปกติ การแจกแจงความน่าจะเป็ นแบบปกติ หรือบางคร้ังจะเรียกส้ันๆ วา่ การแจกแจงแบบปกติ(normal distribution) เป็ นการแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่มที่มีค่าของตวั แปรสุ่มส่วนใหญ่ใกลเ้ คียงกบั ค่าเฉลี่ยของตวั แปรสุ่มเหล่าน้นั โดยมีค่าตวั แปรสุ่มท่ีมากกวา่ หรือน้อยกว่าค่าเฉลี่ยมากๆ เป็ นส่ วนน้อย ซ่ึงพบว่าการแจกแจงของข้อมูลโดยธรรมชาติส่ วนใหญ่เป็ นการแจกแจงแบบปกติ เช่น การแจกแจงน้าหนักของทารกแรกเกิด การแจกแจงอายุของนกั ศึกษาช้นั ปี ท่ี 1 การแจกแจงของคะแนนสอบวดั ผลปลายภาค ดงั น้นั จึงถือวา่ การแจกแจงแบบปกติ เป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุ่มชนิดตอ่ เนื่องท่ีสาคญั ที่สุด กราฟของการแจกแจงแบบปกติจะมีลักษณะเป็ นโคง้ รูประฆังคว่า เรียกว่าโค้งปกติ(normal curve) ในปี ค.ศ.1733 อบั บราฮมั เดอ มวั ฟอร์ (Abarham De Moivre) (ค.ศ.1667 – 1754 )ชาวฝร่ังเศสไดค้ ิดสมการเส้นโคง้ ปกติไดส้ าเร็จ และต่อมา คาร์ล ฟรีดริค เกาส์ (Carl FriedrichGauss) (ค.ศ.1777 – 1855) ชาวเยอรมันได้พัฒนาต่อโดยการศึกษาความคลาดเคล่ือนของการวดั ซ้ าๆ ในกลุ่มเดิม และเกาส์พบว่าการแจกแจงที่ได้เป็ นโค้งปกติ ดังน้ันบางคร้ังกา ร แ จ ก แ จ ง แ บ บ ป ก ติ น้ี จึ ง อา จ เ รี ย ก ไ ด้อี ก อ ย่า ง ว่า ก า ร แ จ ก แ จ ง แ บ บ เ ก า ส์ เ ซี ย น(Gausssian distribution) เพ่ือเป็นเกียรติแก่เกาส์บทนิยาม 5.1.1 ถา้ X เป็นตวั แปรสุ่มแบบปกติ เรียกการแจกแจงของ X วา่ การแจกแจงแบบปกติ ท่ีมีค่าเฉล่ีย  มีส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน  เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ X ~ n(X; ,  ) และเรียก f (x) วา่ ฟังกช์ นั ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของ X โดยที่f (x) =  1  x  2 ; – < x <12    e    2เม่ือ  = 3.14159… , e = 2.71828… , –  <  <  ,  > 0

182 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้โดย f (x) มีสมบตั ิดงั น้ี1. f (x) > 0 ทุกค่าของ xเนื่องจาก 1 0 และ  1  x 2 > 0 ทุกค่าของ x 2    e  22.    1  1 x 2 dx  1 f (x)dx  2    e   2ให้ y = x   จะได้ dx  dy  ดงั น้นั  f (x)dx  1  y2 e 2 dy  2 Iให้ =  y2 e 2 dy ดงั น้นั   y2   y2 e 2 dy e 2 dy  I 2     u2  v2   e 2 dy e 2 dy    u 2 v 2  2 2     e   dudv  เปลี่ยนตวั แปร u และ v ใหอ้ ยใู่ นรูปพิกดั เชิงข้วั โดย u = rcos  และ v = rsin จะได้    r2 I2  e 2 rddr 00   r 2  2    e 2 r  d dr  0 0  r2  2 e 2 rdr 0 a r2  2 lim e 2 rdr a 0 e r 2  a 2   2 lim  a  0  2

บทที่ 5 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่มชนิดตอ่ เน่ืองบางชนิด 183  y2 I  e 2 dy  2    1  เพราะฉะน้นั   f (x)dx  2  2 dx  1   ทฤษฎบี ท 5.1.1 ถา้ X เป็นตวั แปรสุ่มแบบปกติ แลว้ ค่าเฉล่ียและความแปรปรวน ของการแจกแจงปกติ คือ E(X )   และ V (X )  2พสิ ูจน์ จาก  E(X )  xf (x)dx   1  1  x 2   2 2      x  e  dx     ให้ y  x   จะได้ dx  dy  ดงั น้นั 1  y2 E(X )  (y  )e 2 dy 2    y2   y2 ye 2 dy  e 2 dy   2  2  จากคุณสมบตั ิของ f (x) จะไดว้ า่  y2 2  e 2 dy   จะไดว้ า่   y2  E(X )  2 ye 2 dy  2 2    y2  ye 2 dy  2   y 2   2        2 e     0   2  ดงั น้นั E(X )  

184 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้จาก V (X )  E(x  )2    1  1  x 2 dx 2     x 2 e   2ให้ y  x   จะได้ dx  dy   y2 V (X )  2 2e 2 y dy 2 ให้ u  v จะได้ du  dv และ dv   y2 dy จะได้  y2 2 ye v  e 2 2    y2   y2 ดงั น้นั 2   2 dy  2    ye e  V (X )       dy    2 0  2  2  2ดงั น้นั E(X )   และ V (X )  2 5.1.1 สมบตั ิของโค้งปกติ จากบทนิยาม 5.1.1 เม่ือพิจารณาฟังกช์ นั ความหนาแน่นของตวั แปรสุ่มแบบปกติ Xหรือ f (x) ซ่ึงก็คือสมการของเส้นโคง้ ปกติอยา่ งละเอียด จะพบวา่ 1. f (x)  0 ทุกค่าของ X เน่ืองจาก 2 และ e 1  x 2 > 0 ทุกค่าของ X 2   ดงั น้นั เส้นกราฟของโคง้ ปกติจะอยเู่ หนือแกน X และจะเข2า้ ใกลแ้ กน X แตไ่ ม่ตดั กบั แกน Xเมื่อ X มีคา่ เขา้ ใกล้ – หรือ X มีค่าเขา้ ใกล้  2.  f  xdx 1   3. f (x) =  1 e 1  x  2  1   x 1 2 2     2       2เมื่อให้ f (x) = 0 จะได้ X =  แสดงวา่ f (x) มีคา่ สูงสุดที่จุด X = ถา้ ให้ f (x) < 0 จะได้ X >  f (x) > 0 จะได้ X < ดงั น้นั กราฟของโคง้ ปกติจะมีค่าสูงสุดท่ี X = และเป็นฟังกช์ นั เพิ่มในช่วง – < x <  เป็นฟังกช์ นั ลดในช่วง  < x < 

บทท่ี 5 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่มชนิดต่อเน่ืองบางชนิด 185. f (x)4  = 1 e 1  x  2  1  x 2 1 2 2    (1) 2      (1)2   ถา้ ให้ f (x) = 0 จะได้ X =   f (x) < 0 จะได้    < X <   f (x) > 0 จะได้ X <    และ X >   แสดงวา่ ท่ี X =    เป็นจุดเปล่ียนความเวา้ ( Inflection point)และในช่วง    < X <    โคง้ จะมีลกั ษณะเวา้ ล่าง (Concave downward)ในช่วง X <    และ X >    โคง้ จะมีลกั ษณะเวา้ บน (Concave upward) 5. เม่ือพจิ ารณาคา่ ของ f (x) เมื่อ X =    จะไดว้ า่f ( + X) = 1 e 1  x 2 2     2f ( – X) = 1 e 1  x 2 2     2ดงั น้นั f ( + X) = f ( – X) แสดงว่าโคง้ ของ f (x) เป็ นโคง้ สมมาตรโดยมีแกนสมมาตร คือ X =  จากการพิจารณาท้งั 5 ขอ้ ท่ีผา่ นมา สามารถสรุปคุณสมบตั ิของโคง้ ปกติไดด้ งั น้ี1. เส้นโคง้ ปกติจะไม่มีความเบ้ (skewness) หรือมีความเบเ้ ป็นศนู ย์2. เส้นโคง้ ปกติมีลกั ษณะคลา้ ยรูประฆงั คว่า (bell-shaped) โดยโคง้ ท้งั สองมีลกั ษณะสมมาตร (symmetrical) กบั แกนต้งั ท่ีลากผา่ นคา่  3. ค่าเฉล่ีย (mean) มธั ยฐาน(median) และฐานนิยม (mode) ของโคง้ ปกติจะมีค่าเท่ากนัและอยตู่ รงกลางของเส้นโคง้ ดงั รูปที่ 5.1 mean median modeรูปท่ี 5.1 แสดงตาแหน่งของ ค่าเฉล่ีย มธั ยฐาน ฐานนิยม ของโคง้ ปกติ

186 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ 4. เส้นโคง้ ปกติจะมีเส้นกากบั (asymptote) คือแกน X ดงั น้นั ปลายสองขา้ งของโคง้ จะไม่ตดั แกน X ไม่วา่ ค่า X จะมากหรือนอ้ ยเพียงใดกต็ าม 5. พ้นื ท่ีใตโ้ คง้ ปกติท้งั หมดคือ 100% ดงั น้นั เนื่องจากเป็ นโคง้ สมมาตร พ้นื ท่ีทางซา้ ยมือและขวามือของแกนสมมาตรมีพ้นื ท่ีเท่ากนั คือ 50% 6. พ้ืนท่ีใตโ้ คง้ ในแตล่ ะส่วนเป็นดงั น้ี พ้ืนที่ใตโ้ คง้ ในช่วง     68%   2  95%   3  99% ซ่ึงโดยทว่ั ไปมกั หาพ้ืนท่ีใตโ้ คง้ ปกติช่วง   3 แต่ถา้ ช่วงที่เลยออกไปจาก   3 แลว้พ้นื ท่ีจะมีค่านอ้ ยมากๆ พ้ืนท่ีใตโ้ คง้ ในแตล่ ะช่วงสามารถแสดงไดด้ งั รูปท่ี 5.2 2.14% 13.6% 43.13% 43.13% 13.6% 2.14%3 2    2 3รูปท่ี 5.2 แสดงพ้ืนที่ใตโ้ คง้ ปกติ7. ความสูงหรือความโด่งของโคง้ ปกติ หาไดจ้ ากy = f (x) = 1 e 1  x 2 2       2 5.1.2 ลกั ษณะของโค้งปกติทม่ี ีค่า  และ  แตกต่างกนั สมการของโค้งปกติข้ึนอยู่กับค่าพารามิเตอร์ 2 ตัว ได้แก่ ค่าเฉล่ีย  และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน  โดยคา่ เฉลี่ย  จะเป็นตวั กาหนดวา่ จุดสูงสุดของโคง้ อยู่ ณ ตาแหน่งใดและส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน  จะเป็นตวั กาหนดวา่ โคง้ น้นั มีความโด่งมากนอ้ ยเพียงใด เนื่องจากจุดเปล่ียนเวา้ คือ    ดงั น้นั ถา้ ค่า  มีค่ามาก ก็จะทาให้จุดเปล่ียนเวา้ อยหู่ ่างจาก  ซ่ึงทาให้โคง้ ปกติมีลกั ษณะแบน แตถ่ า้  มีค่านอ้ ยจุดเปลี่ยนเวา้ จะอยใู่ กลค้ า่  โคง้ ปกติก็จะมีลกั ษณะโด่ง การเปรียบเทียบลกั ษณะของโคง้ ปกติ เมื่อ  และ  มีคา่ ต่างๆ ดงั น้ี

บทที่ 5 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่มชนิดต่อเนื่องบางชนิด 187 1. ถา้ 1  2 แต่ 1  2 โคง้ ปกติจะมีลกั ษณะเหมือนกนั แตม่ ีตาแหน่งของคา่ เฉล่ียต่างกนั ดงั รูปท่ี 5.3 1 2 1 2 รูปที่ 5.3 แสดงโคง้ ปกติที่ 1  2 แต่ 1  2 2. ถา้ 1  2 แต่ 1  2 จะไดโ้ คง้ ปกติ 2 รูปท่ีมีคา่ เฉลี่ย ณ ตาแหน่งเดียวกนัแตค่ วามสูงหรือความโด่งของโคง้ ปกติ 2 รูปไมเ่ ทา่ กนั ดงั รูปที่ 5.4 1 2 1  2 รูปท่ี 5.4 แสดงความโด่งของโคง้ ปกติที่มี 1  2 แต่ 1  2 3. ถา้ 1  2 และ 1  2 จะไดโ้ คง้ ปกติท่ีมีคา่ เฉล่ียอยตู่ า่ งตาแหน่งกนั และโคง้ ที่มี นอ้ ยกวา่ จะมีความโด่งหรือความสูงมากกวา่ ดงั รูปที่ 5.5 1 2 1 2รูปท่ี 5.5 แสดงความโด่งของโคง้ ปกติท่ีมี 1  2 และ 1  2

188 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้ 5.1.3 การแจกแจงแบบปกตมิ าตรฐาน ถ้า X เป็ นตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง การหาค่าความน่าจะเป็ น ณ จุดใดจุดหน่ึงจะมีค่าเป็ นศูนย์ หรือ P(X = a) = 0 ดงั น้นั ความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่ม X เมื่อ a  X  bจึงมีคา่ เท่ากบั ความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่ม X เม่ือ a < X < b หรือ P(a  X  b) = P(a < X < b)การหาความน่าจะเป็ นของการแจกแจงแบบปกติก็คือการหาพ้ืนที่ใตโ้ คง้ ปกติในช่วงท่ีตอ้ งการนน่ั เอง นนั่ คือ P( a < X < b ) = b  f (x)dx a =  1 e dxb  1  x 2 2      a  2หรือแสดงไดด้ งั รูปท่ี 5.6 a b X รูปที่ 5.6 แสดง P( a < X < b ) หรือพ้นื ที่ใตโ้ คง้ ปกติในช่วงท่ี a < X < b แต่เน่ืองจากการคานวณหาพ้ืนท่ีใตโ้ คง้ ปกติตอ้ งใช้การอินทิเกรตหาพ้ืนท่ีโดยตรงทุกคร้ังทาให้เป็ นเร่ืองยุง่ ยาก เนื่องจากวา่ โคง้ ปกติอาจมีลกั ษณะไม่เหมือนกนั ข้ึนอยกู่ บั ค่าเฉล่ีย  และส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน  จึงมีการแปลงค่าของตวั แปรสุ่ม X ท่ีมีค่าเฉล่ีย  และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน  ให้อยู่ในรู ปตัวแปรสุ่ มปกติมาตรฐาน เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ Z โดยท่ีZ  x   และสร้างตารางแสดงพ้ืนที่ใตโ้ คง้ ปกติมาตรฐานข้ึน (ตารางที่ 3 ภาคผนวก) เพอื่ ช่วยใหห้ าพ้ืนที่ใตโ้ คง้ ปกติไดง้ ่ายข้ึน

บทท่ี 5 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่มชนิดตอ่ เน่ืองบางชนิด 189บทนิยาม 5.1.2 ถา้ X เป็นตวั แปรสุ่มแบบปกติที่มีค่าเฉล่ีย  และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน แลว้ กาหนดให้ Z  x   จะเรียก Z วา่ ตวั แปรสุ่มแบบปกติมาตรฐาน และเรียกการแจกแจงของ Z วา่ การแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน (standardnormal distribution) ที่มีฟังกช์ นั ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น f(z) คือ f(z) = 1 2 z2 ; – < z <  e2โดย f(z) มีสมบตั ิคือ 1. f(z)  0 ทุกคา่ ของ z 2.  f (z)dz  1  ทฤษฎบี ท 5.1.2 คา่ เฉลี่ย (mean) และความแปรปรวน (variance) ของการแจกแจงแบบปกติ มาตรฐานคือ E(Z) = 0 V(Z) = 1พสิ ูจน์ โดยทฤษฎีบท 3.6.3ให้ Z  x   = E  x       จาก E(Z) = 1 E(x  )  = 1 (  )  =0และจาก V(Z) = V  x       = 1 V ( x  ) 2 = 1 V (x) 2 = 1 2 2 =1ดงั น้นั ค่าเฉล่ียของการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานมีค่าเทา่ กบั 0ความแปรปรวนของการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานเท่ากบั 1

190 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ ตัวแปรสุ่ม X ที่มีการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานมีค่าเฉลี่ยเท่ากับ 0 ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานเท่ากบั 1 เขียนแทนดว้ ย X ~ n( x ; 0 , 1 ) โดยจะถือวา่ พ้ืนท่ีใตโ้ คง้ ปกติมาตรฐานจะมีค่าเท่ากับหน่ึงหน่วย และจากการที่มีค่าเฉล่ียเป็ น 0 มีส่วนเบ่ียงมาตรฐานเป็ น 1ทาให้โคง้ ปกติมาตรฐานเป็ นโคง้ ท่ีมีจุดสูงสุดอยทู่ ี่ Z = 0 และมีจุดเปล่ียนความเวา้ อยทู่ ่ี Z =  1แสดงไดด้ งั รูปที่ 5.7 –3 –2 –1 0 1 2 3 Z รูปที่ 5.7 แสดงโคง้ ของการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน การแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน Z น้ีบางคร้ังเรียกส้ันๆ ว่าคะแนนมาตรฐานและค่าความน่าจะเป็ นหรือพ้ืนที่ใตโ้ คง้ ของ P(x1 < X < x2) จะเท่ากบั P(z1 < Z < z2) เม่ือกาหนดZ  x   การหาพ้ืนที่ใต้โค้งปกติมาตรฐาน จึงสามารถทาได้โดยการปรับค่าตวั แปรสุ่ม X ใหเ้ ป็นตวั แปรสุ่ม Z แลว้ นาไปเปิ ดตารางพ้ืนที่ใตโ้ คง้ ปกติซ่ึงจะเรียกส้นั ๆวา่ ตาราง Z จากตารางท่ี 3ของภาคผนวก ซ่ึงตารางดงั กล่าวเป็ นการหาพ้ืนท่ีใตโ้ คง้ ต้งั แต่ Z = 0 ถึง Z = z1 เมื่อ z1 มีค่าเป็ นบวก หรือการหาคา่ P ( 0 < Z < z1 ) ดงั รูปท่ี 5.8 0 Z1 Zรูปที่ 5.8 แสดงค่าของ P (0 < Z < z1)

บทท่ี 5 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่มชนิดต่อเนื่องบางชนิด 191 ดังน้ันเม่ือกาหนดค่า Z มาให้ สามารถหาพ้ืนท่ีใต้โค้งได้ และยังสามารถหาพ้ืนที่ใตโ้ คง้ ในส่วนอื่นๆ ไดอ้ ีก เช่น 0 z2 ZP(Z > z2) = 0.5 – P(0 < Z < z2) –z3 0 ZP(Z > –z3) = 0.5 + P(–z3 < Z < 0) = 0.5 + P (0 < Z < z3) เนื่องจากค่า P(–z3 < Z < 0) = P (0 < Z < z3) และการเปิ ดตารางพ้ืนท่ีใตโ้ คง้ ปกติมาตรฐาน หรื อตาราง Z จากตารางท่ี 3 ของภาคผนวกเป็ นการเปิ ดหาพ้ืนท่ีด้านขวาวดั จากแกนสมมาตรหรือวดั จาก Z = 0–z4 0 z5 ZP(–z4 < Z < z5 ) = P(0 < Z < z5) + P(–z4 < Z < 0) = P(0 < Z < z5) + P(0 < Z < z4 )

192 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ตัวอย่าง 5.1 จงหาพ้นื ที่ใตโ้ คง้ ปกติมาตรฐานตอ่ ไปน้ี 1. P(0 < Z < 1.20) 2. P(Z > 2.54) 3. P(Z < 1.36) 4. P(–2.05 < Z < 2.08) 5. P(–2.51 < Z < –1.84) 6. P(–1.23 < Z < 0.65) 7. P( 0.82 < Z < 2.57) 8. P( 1.86 < Z < 2.24)วธิ ีทา โดยอาศยั ตารางท่ี 3 จากภาคผนวก จะไดพ้ ้นื ท่ีใตโ้ คง้ ปกติมาตรฐานของแตล่ ะขอ้ ดงั น้ี 1. P(0 < Z < 1.20) 0 1.20 Z P(0 < Z < 1.20) = 0.38492. P(Z > 2.54) 0 2.54 Z P(Z > 2.54) = 0.5 – P( 0 < Z < 2.54 ) = 0.5 – 0.4945 = 0.0055

บทท่ี 5 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่มชนิดต่อเนื่องบางชนิด 193 3. P(Z < 1.36) 0 1.36 Z P (Z < 1.36) = 0.5 + P(0 < Z < 1.36)4. P(–2.05 < Z < 2.08) = 0.5 + 0.4131 = 0.9131 –2.05 0 2.08 ZP(–2.05 < Z < 2.08) = P( 0 < Z < 2.05) + P( 0 < Z < 2.08) = 0.4798 + 0.4812 = 0.9615. P(–2.51 < Z < –1.84)–2.51 –1.84 0 Z

194 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้ P(–2.51 < Z <–1.84) = P(0 < Z < 2.51) – P(0 < Z <1.84) = 0.4940  0.4671 = 0.0269 6. P(–1.23 < Z < 0.65) –1.23 0 0.65 ZP(–1.23 < Z < 0.65) = P( 0 < Z < 0.65) + P( 0 < Z < 1.23) = 0.2422 + 0.3907 = 0.63297. P(0.82 < Z < 2.57) 0 0.82 2.57 ZP ( 0.82 < Z < 2.57 ) = P( 0 < Z < 2.57 ) – P( 0 < Z < 0.82) = 0.4949 – 0.2939 = 0.201

บทท่ี 5 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่มชนิดตอ่ เน่ืองบางชนิด 195 8. P (1.86 < Z < 2.24) 0 1.86 2.24 ZP (1.86 < Z < 2.24) = P( 0 < Z < 2.24) – P(0 < Z < 1.86) = 0.4875 – 0.4686 = 0.0189 การหาความน่าจะเป็ นของ X เม่ือ X เป็ นตวั แปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปกติก็สามารถทาได้โดยการปรับค่า X ใหเ้ ป็นค่า Z จาก Z  x   แลว้ จึงนาไปหาพ้นื ที่ใตโ้ คง้ จากตาราง Z ตวั อย่าง 5.2 ถา้ X มีการแจกแจงแบบปกติที่มีค่า  = 25 และ  = 10 จงหา 1. P(X > 30) 2. P(X < 35) 3. P(5 < X < 18) 4. P(30 < X < 42) 5. P(25 < X < 40) 6. P(35 < X < 39)วธิ ีทา เปลี่ยนค่า X ใหเ้ ป็นค่า Z จาก Z  x  แลว้ หาความน่าจะเป็ นจากพ้ืนท่ีใตโ้ คง้ จากตาราง Z 1. P(X > 30) Z  30  25  0.5 10

196 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้ 0 0.5 Z ดงั น้นั P( X > 30) = P( Z > 0.5 ) = 0.5 – 0.1915 = 0.30852. P(X < 35) Z  35  25 1 10 01 Zดงั น้นั P(X < 35) = P(Z < 1) = 0.5 + 0.3413 = 0.84133. P(5 < X < 18) จะได้ Z1  5  25  2 ให้ X1 = 5 10 ให้ X2 = 30 จะได้ Z2  18  25  0.7 10 –2 –0.7 0 Z

บทท่ี 5 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่มชนิดต่อเน่ืองบางชนิด 197ดงั น้นั P(5 < X < 18) = P(– 2 < Z < – 0.7) = 0.4772 – 0.2580 = 0.21924. P(30 < X < 42) จะได้ Z1  30  25  0.5 ให้ X1 = 30 10 ให้ X2 = 42 จะได้ Z2  42  25  1.7 10 0 0.5 1.7 Zดงั น้นั P( 30 < X < 42 ) = P( 0.5 < Z < 1.7 ) = 0.4554 – 0.1915 = 0.26395. P(25 < X < 40) จะได้ Z1  25  25  0 ให้ X1 = 25 10 ให้ X2 = 40 จะได้ Z2  40  25  1.5 10 0 1.5 Zดงั น้นั P(25 < X < 40) = P(0 < Z < 1.5) = 0.4332

198 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้ 6. P(35 < X < 39) Z1  35  25  1 ให้ X1 = 35 จะได้ 10 ให้ X2 = 39 จะได้ Z2  39  25  1.4 10 0 1 1.4 Z ดงั น้นั P(35 < X < 39) = P(1 < Z < 1.4) = 0.4192 – 0.4313 = 0.0779ตัวอย่าง 5.3 ถา้ คะแนนสอบปลายภาคในวชิ าหน่ึง มีการแจกแจงแบบปกติ มีคา่ เฉล่ีย 38 คะแนนส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 10 คะแนน จงหาวา่ 1. มีนกั ศึกษาก่ีเปอร์เซ็นตท์ ่ีไดค้ ะแนนต่ากวา่ 35 คะแนน 2. มีนกั ศึกษาก่ีเปอร์เซ็นตท์ ี่ไดค้ ะแนนสูงกวา่ 45 คะแนน 3. ถา้ มีนกั ศึกษาท่ีเขา้ สอบท้งั สิ้น 120 คน จะมีนกั ศึกษาก่ีคนท่ีไดค้ ะแนนระหวา่ ง 30 ถึง 40 คะแนนวธิ ีทา 1. P(X < 35) ให้ X = 35 จะได้ Z  35 38  0.3 10 – 0.3 0 Z P(X < 35) = P( Z < – 0.3 ) = 0.5 – 0.1179 = 0.3821

บทท่ี 5 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่มชนิดตอ่ เน่ืองบางชนิด 199 ร้อยละของ P( Z < – 0.3 ) = 0.3821  100% = 38.21% ดงั น้นั มีนกั ศึกษา 38.21% ไดค้ ะแนนต่ากวา่ 35 คะแนน 2. P(X > 45) ให้ X = 45 จะได้ Z  45  38  0.7 10 0 0.7 Z P(X > 45) = P(Z > 0.7 ) = 0.5 – 0.2580 = 0.242 ร้อยละของ P( Z > 0.7 ) = 0.242  100% = 24.2%ดงั น้นั มีนกั ศึกษา 24.2% ไดค้ ะแนนสูงกวา่ 45 คะแนน3. P(30 < X < 40) จะได้ Z1  30  38  0.8 ให้ X1 = 30 10 ให้ X2 = 40 จะได้ Z2  40  38  0.2 10 –0.8 0 0.2 Z

200 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ P( 30 < X < 40 ) = P( – 0.8 < Z < 0.2 ) = 0.2881 + 0.0793 = 0.3674 มีนกั ศึกษา 36.74% ท่ีมีคะแนนอยรู่ ะหวา่ ง 30 – 40 คะแนน ถา้ ผเู้ ขา้ สอบมีท้งั หมด 120 คนจะมีผทู้ ่ีไดค้ ะแนนระหวา่ ง 30 – 40 คะแนน อยจู่ านวน 36.74120  44.09 คน 100 ดงั น้นั จากนกั ศึกษาท้งั หมด 120 คน จะมีผสู้ อบไดค้ ะแนนระหว่าง 30 ถึง 40 คะแนนจานวนประมาณ 44 คนตัวอย่าง 5.4 โรงงานบรรจุนมกล่องขนาด 200 ลบ.ซม. ยหี่ อ้ หน่ึง พบวา่ ปริมาตรเฉล่ียของนมแต่ละกล่องคือ 199 ลบ.ซม. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1.4 ลบ.ซม. ถา้ สุ่มนมกล่องยหี่ ้อน้ีมา 1 กล่อง จงหา1. ร้อยละของความน่าจะเป็นที่จะไดน้ มกล่องท่ีมีปริมาตรนอ้ ยกวา่ 200 ลบ.ซม.2. ร้อยละของความน่าจะเป็นที่จะไดน้ มกล่องที่มีปริมาตรมากกวา่ 202 ลบ.ซม.3. ร้อยละของความน่าจะเป็นท่ีจะไดน้ มกล่องท่ีมีปริมาตรระหวา่ ง 195 – 198 ลบ.ซม.วธิ ีทา 1. ร้อยละของความน่าจะเป็นท่ีจะไดน้ มกล่องที่มีปริมาตรนอ้ ยกวา่ 200 ลบ.ซม. หรือP( X < 200) X = 200 จะได้ Z  200 199  0.71 1.4 0 0.71 Zดงั น้นั P( X < 200 ) = P( Z < 0.71 ) = 0.5 + 0.2611 = 0.7611 = 76.11%

บทที่ 5 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่มชนิดต่อเนื่องบางชนิด 2012. ร้อยละของความน่าจะเป็ นที่จะไดน้ มกล่องที่มีปริมาตรมากกว่า 202 ลบ.ซม. หรือP( X > 202 ) X = 202 จะได้ Z  202 199  2.14 1.4 0 2.14 Zดงั น้นั P( X > 202 ) = P( Z > 2.14 ) = 0.5 – 0.4838 = 0.0162 = 1.62%3. ร้อยละของความน่าจะเป็นที่จะไดน้ มกล่องท่ีมีปริมาตรระหวา่ ง 195 – 198 ลบ.ซม.หรือ P(195 < X < 198) X1 = 195 จะได้ Z1  195 199  2.86 X2 = 198 จะได้ 1.4 Z  198 199  0.71 1.4 –2.86 –0.71 0 Zดงั น้นั P( 195 < X < 198 ) = P( – 2.86 < Z < – 0.71 ) = 0.4979 – 0.2611 = 0.2368 = 23.68%

202 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้ตัวอย่าง 5.5 จากการทดสอบวดั ผลสัมฤทธ์ิทางการเรี ยนคณิตศาสตร์ของนักเรี ยนระดับมธั ยมศึกษาปี ที่ 6 ของกระทรวงศึกษาธิการ พบวา่ มีการแจกแจงแบบปกติ มีค่าเฉลี่ย 64 คะแนนส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 22.5 คะแนน ถา้ นางสาวแน่งน้อยไดเ้ ขา้ สอบวดั ผลคร้ังน้ี และทราบว่ามีผทู้ ี่ไดค้ ะแนนนอ้ ยกวา่ ตนเอง 84.38% จงหาวา่ แน่งนอ้ ยไดค้ ะแนนสอบคร้ังน้ีกี่คะแนนวธิ ีทา  = 64 ,  = 22.5 ให้ x แทนคะแนนสอบของแน่งนอ้ ย Z แทนคะแนนมาตรฐาน พจิ ารณาจากพ้นื ท่ีใตโ้ คง้ 0Z Zพ้นื ท่ี 0.8438 = 0.5 + 0.3438พ้ืนท่ี 0.3438 = P(0 < Z < 1.1)หาค่า x จาก Z = x 1.1 x  = x  64 22.5 = 88.75ดงั น้นั คะแนนสอบท่ีแน่งนอ้ ยไดค้ ือ 88.75 คะแนนตัวอย่าง 5.6 โรงงานผลิตโทรทศั น์ยีห่ อ้ หน่ึงพบวา่ เวลาท่ีใชใ้ นการประกอบโทรทศั น์แต่ละเครื่องมีการแจกแจงแบบปกติ มีค่าเฉลี่ย 185 นาที ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 8 นาที ถา้ สุ่มโทรทศั น์ที่ประกอบแลว้ มา 1 เคร่ือง 1. จงหาความน่าจะเป็นที่โทรทศั นเ์ ครื่องน้ี จะผลิตโดยใชเ้ วลาเกินกวา่ 197 นาที 2. สุ่มโทรทศั น์ที่ประกอบแลว้ มา 1 เคร่ือง จงหาวา่ โทรทศั น์น้ีใชเ้ วลาในการประกอบกี่นาทีถา้ ทราบวา่ มีโทรทศั น์อีก 20% ที่ผลิตโดยใชเ้ วลามากกวา่ โทรทศั นเ์ คร่ืองน้ี

บทที่ 5 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่มชนิดต่อเน่ืองบางชนิด 203วธิ ีทา 1. จงหาความน่าจะเป็นที่โทรทศั น์เคร่ืองน้ี จะผลิตโดยใชเ้ วลาเกินกวา่ 197 นาที หรือP(X > 197) x = 197 จะได้ Z  197 185 1.5 8 0 1.5 Z ดงั น้นั P(X > 197) = P(Z > 1.5) = 0.5 – 0.4332 = 0.0668 2. สุ่มโทรทศั น์ท่ีประกอบแลว้ มา 1 เคร่ือง จงหาวา่ โทรทศั นน์ ้ีใชเ้ วลาในการประกอบกี่นาที ถา้ ทราบวา่ มีโทรทศั น์อีก 20% ที่ผลิตโดยใชเ้ วลามากกวา่ โทรทศั น์เครื่องน้ี ให้ x แทนเวลาท่ีใชใ้ นการประกอบโทรทศั นเ์ คร่ืองน้ี Z1 แทนคะแนนมาตรฐาน ถา้ พบวา่ มีโทรทศั น์อีก 20% ที่ผลิตโดยใชเ้ วลาท่ีมากกวา่ โทรทศั นเ์ ครื่องน้ี พิจารณาจากพ้นื ท่ีใตโ้ คง้ 0.2 0 z1 Z P( Z > z1 ) = 0.20 P( 0 < Z < z1 ) = 0.5 – 0.20

204 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้ และ P( 0 < Z < 0.84 )= 0.30 หาคา่ x จาก Z = x    0.84 = x 185 8 x = 191.72ดงั น้นั โทรทศั น์เครื่องท่ีสุ่มมาใชเ้ วลาในการประกอบท้งั สิ้น 191.72 นาที 5.1.4 การใช้การแจกแจงแบบปกติประมาณการแจกแจงแบบทวินาม ถา้ X เป็นตวั แปรสุ่มทวนิ าม สามารถหาความน่าจะเป็นของตวั แปรสุ่ม x ไดจ้ าก f (x)  nCx pxqnxซ่ึงถา้ x และ n มีค่าน้อย ๆ สามารถหาค่าโดยตรงจากสมการหรือใช้การเปิ ดตารางการแจกแจงทวินามได้ แต่ถ้า n มีค่ามากๆ ส่วน p มีค่าน้อยมาก การคานวณหาความน่าจะเป็ นของการแจกแจงแบบทวินามจะทาได้ยุ่งยาก จึงใช้การแจกแจงปัวซงในการประมาณการแจกแจงแบบทวนิ าม ดงั ไดก้ ล่าวมาแลว้ ในหวั ขอ้ 4.4.1 แต่ถา้ กรณีท่ี p มีค่าใกลเ้ คียง 0.5 สามารถใชก้ ารแจกแจงแบบปกติประมาณค่าการแจกแจงแบบทวนิ าม ไดด้ งั น้ี ถา้ X เป็ นตวั แปรสุ่มแบบทวินาม ที่มีค่าเฉลี่ย  = np ความแปรปรวน 2 = npqถ้า n มีค่ามาก กาหนดให้ Z  X  np จะได้ว่า Z มีการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน npqจึงใช้การแจกแจงแบบปกติประมาณการแจกแจงแบบทวินาม ในกรณีท่ี n มีค่ามาก และ pมีค่าใกล้ 0 หรือ 1 หรือถา้ p ไม่เขา้ ใกล้ 0 หรือ 1 การประมาณโดยวธิ ีน้ี ก็ยงั คงไดผ้ ลดี ถา้ npหรือ nq มีค่ามากกวา่ 5 เน่ืองจากการแจกแจงแบบทวินามเป็ นการแจกแจงของตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเน่ืองแต่การแจกแจงแบบปกติเป็ นการแจกแจงของตวั แปรสุ่มชนิดต่อเน่ือง ดงั น้นั การใชก้ ารแจกแจงแบบปกติประมาณการแจกแจงแบบทวินาม จึงตอ้ งมีการปรับค่าของตวั แปรสุ่มโดยพยายามขยายคา่ ออกไปใหค้ รอบคลุมคา่ ที่ตอ้ งการเสียก่อน โดยการบวกหรือลบดว้ ย 0.5 ซ่ึงการปรับค่าของตวั แปรสุ่มทาไดโ้ ดยอาศยั หลกั เกณฑต์ อ่ ไปน้ี 1. ถา้ ช่วงท่ีตอ้ งการหาค่าความน่าจะเป็น เป็ นช่วงปิ ด หรือ a  X  b เมื่อขยายค่า จะได้ช่วงใหมท่ ่ีขยายค่าเป็น a – 0.5 < X < b + 0.5

บทที่ 5 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่มชนิดต่อเนื่องบางชนิด 205 2. ถา้ ช่วงที่ตอ้ งการหาค่าความน่าจะเป็น เป็ นช่วงเปิ ด หรือ a < X < b เปล่ียนเป็นช่วงปิ ดโดย a + 1  X  b – 1 แลว้ ขยายค่าจะไดช้ ่วงใหมท่ ่ีขยายคา่ เป็น a + 1 – 0.5 < X < b – 1 + 0.5หรือ a + 0.5 < X < b – 0.5 3. ถา้ ตอ้ งการหาคา่ ความน่าจะเป็นท่ีจุดจุดเดียว คือ X = a เม่ือขยายค่า จะไดช้ ่วงที่ขยายคา่เป็น a – 0.5 < X < a + 0.5ตัวอย่าง 5.7 ในการโยนเหรียญ 1 เหรียญ 10 คร้ัง จงหาความน่าจะเป็ นที่เหรียญจะเป็นหวั 5 ถึง 7 คร้ังวธิ ีทา กรณีท่ี 1 ใชก้ ารแจกแจงทวนิ าม ให้ X แทนจานวนของการข้ึนหวั p เป็นความน่าจะเป็ นของการข้ึนหวั ในการโยนแต่ละคร้ัง นนั่ คือ p = 0.5 และ n=10 จะไดว้ า่ P(5X7) = P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) = 10C5(0.5)2(0.5)2 + 10C6(0.5)6(0.5)4 + 10C7(0.5)7(0.5)3 = 0.2461 + 0.2051 + 0.1172 (ใชต้ ารางภาคผนวก 2) = 0.5684 ดงั น้นั ความน่าจะเป็ นในการโยนเหรียญ 1 อนั 10 คร้ัง แลว้ เหรียญจะเป็นหวั 5 ถึง 7 คร้ัง เท่ากบั 0.5684กรณีที่ 2 ใชก้ ารแจกแจงปกติ  = np = 10(0.5) =5  = npq = (10)(0.5)(0.5) = 1.58P ( 5  X  7 ) = P ( 4.5 < X < 7.5 )Z1  4.5  5  0.32 1.58Z2  7.5  5  1.58 1.58

206 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้–0.32 0 1.58 Zดงั น้นั P ( 4.5 < X < 7.5 ) = P( – 0.32 < Z < 1.58 ) = 0.1255 + 0.4429 = 0.5684ดงั น้นั ความน่าจะเป็ นในการโยนเหรียญ 1 อนั 10 คร้ัง แลว้ เหรียญจะเป็ นหวั 5 ถึง 7 คร้ังเทา่ กบั 0.5684 จะเห็นวา่ การหาความน่าจะเป็ นโดยการแจกแจงทวินามและการแจกแจงแบบปกติไดค้ ่าความน่าจะเป็ นเท่ากนัตัวอย่าง 5.8 ขอ้ สอบปรนยั 4 ตวั เลือกชุดหน่ึง มีจานวน 40 ขอ้ ถา้ ขอ้ สอบทุกขอ้ มีคาตอบเพียงคาตอบเดียว จงหา 1. ความน่าจะเป็นที่นกั ศึกษาหญิงคนหน่ึงจะสอบไดค้ ะแนนระหวา่ ง 10 – 15 คะแนน 2. ความน่าจะเป็นท่ีนกั ศึกษาชายคนหน่ึงจะสอบไดค้ ะแนน 20 คะแนน 3. ความน่าจะเป็นท่ีนกั ศึกษาคนหน่ึงจะไดค้ ะแนนนอ้ ยกวา่ 5 คะแนน 4. ความน่าจะเป็นที่นกั ศึกษาคนหน่ึงจะไดค้ ะแนนมากกวา่ 19 คะแนนวธิ ีทา ให้ X แทนจานวนขอ้ สอบที่นกั เรียนตอบถูก ความน่าจะเป็นที่จะตอบขอ้ สอบแตล่ ะขอ้ ถูก คือ p = 1 = 0.25 4 จะไดว้ า่ X เป็นตวั แปรสุ่มแบบทวนิ าม นน่ั คือ b( X ; 40 , 0.25 ) แต่จะประมาณการแจกแจงของ X โดยใชก้ ารแจกแจงแบบปกติ  = np = 40(0.25) = 10 2 = npq = 40(0.25)(0.75) = 7.5  = 2.74

บทที่ 5 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่มชนิดต่อเน่ืองบางชนิด 2071. หา P ( 10 < X < 15 ) ปรับค่า X เป็นตวั แปรสุ่มชนิดต่อเนื่องได้ P ( 10.5 < X < 14.5 )จาก Z  x   Z1  10.5 10  0.18 2.74Z2  14.5 10  1.64 2.74 0 0.18 1.64 Z ดงั น้นั P ( 10.5 < X < 14.5 ) = P( 0.18 < Z < 1.64 ) = 0.4495 – 0.0714 = 0.3781 นนั่ คือความน่าจะเป็ นที่นกั ศึกษาหญิงคนหน่ึงจะสอบไดค้ ะแนนระหวา่ ง 10 – 15 คะแนนเท่ากบั 0.37812. หา P ( X = 20 ) ปรับค่า X เป็นตวั แปรสุ่มชนิดต่อเนื่องได้ P ( X = 20 ) = P ( 19.5 < X < 20.5 )Z1  19.5 10  3.47 2.74Z2  20.5 10  3.83 2.74 0 3.47 3.83 Z

208 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้ ดงั น้นั P ( 19.5 < X < 20.5 ) = P( 3.47 < Z < 3.83 ) = 0.5 – 0.4997 = 0.0003 นนั่ คือความน่าจะเป็นที่นกั ศึกษาชายคนหน่ึงจะสอบไดค้ ะแนน 20 คะแนน เท่ากบั 0.0003 3. หา P ( X < 5 ) ปรับค่า X ใหม่ จะได้ P ( X < 5 ) = P ( X < 5 – 1 + 0.5 ) = P ( X < 4.5 ) Z  4.5 10  2.01 2.74– 2.01 0 Z ดงั น้นั P ( X < 4.5 ) = P( Z < – 2.01 ) = 0.5 – 0.4778 = 0.0222 นนั่ คือความน่าจะเป็ นท่ีนกั ศึกษาคนหน่ึงจะสอบไดค้ ะแนนนอ้ ยกว่า 5 คะแนน เท่ากบั0.02224. หา P ( X > 19 ) ปรับค่า X ใหม่ จะได้ P ( X > 19 ) = P ( X > 19 + 1 – 0.5 ) = P ( X > 19.5 ) Z  19.5 10  3.47 2.74

บทที่ 5 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่มชนิดต่อเน่ืองบางชนิด 209 0 3.47 Z ดงั น้นั P ( X > 19.5 ) = P( Z > 3.47 ) = 0.5 – 0.4997 = 0.0003 นน่ั คือความน่าจะเป็ นท่ีนกั ศึกษาจะสอบไดค้ ะแนนมากกวา่ 19 คะแนนเท่ากบั 0.00035.2 การแจกแจงความน่าจะเป็ นแบบที การแจกแจงแบบความน่าจะเป็ นแบบที (T – probability distribution) เป็ นการแจกแจงความน่าจะเป็นชนิดต่อเนื่องที่มีลกั ษณะคลา้ ยกบั การแจกแจงความน่าจะเป็ นแบบปกติท่ีมีเส้นโคง้ของฟังก์ชนั มีลกั ษณะเป็ นระฆงั คว่าแต่มีความโด่งนอ้ ยกวา่ โดยลกั ษณะเส้นโคง้ ของการแจกแจงแบบทีจะข้ึนอยู่กบั พารามิเตอร์ที่เรียกว่า องศาเสรีซ่ึงมีค่าเท่ากบั n-1 เมื่อ n คือขนาดของกลุ่มตวั อยา่ งท่ีสุ่ม และเส้นโคง้ ของการแจกแจงแบบทีจะมีลกั ษณะใกลเ้ คียงกบั เส้นโคง้ ของการแจกแจงแบบปกติเม่ือสุ่มตวั อยา่ งขนาดใหญ(่ n  ) ในการสุ่มตัวอย่างจากประชากรน้ัน โดยส่วนใหญ่มักไม่ทราบค่าความแปรปรวนของประชากร ( 2 ) แต่ถา้ กลุ่มตวั อย่างท่ีสุ่มมีขนาดใหญ่หรือ n  30 อาจใชค้ วามแปรปรวนของกลุ่มตวั อย่าง (S2) ประมาณค่า 2 ได้ใกล้เคียงข้ึน แต่การแทนค่าใช้ S2 ประมาณค่า 2มีผลทาให้ค่า Z เปลี่ยนแปลงไป แมว้ า่ การแจกแจงของ Z เมื่อ Z = x   หรือ Z = X   จะ S Snยงั มีลกั ษณะของการแจกแจงแบบปกติกต็ าม ยง่ิ ถา้ สุ่มตวั อยา่ งขนาดเล็กหรือ n < 30 และไม่ทราบค่าของ 2 แลว้ ค่าของ S2 ที่ไดก้ ็จะยิ่งเปลี่ยนแปลงมากข้ึน ทาให้การแจกแจงของ Z ไม่เป็ นการแจกแจงแบบปกติ เรียกการแจกแจงแบบน้ีวา่ การแจกแจงความน่าจะเป็ นแบบที หรือการแจกแจงแบบที (T - distribution)

210 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้โดย T = x   ;   x   Sเม่ือ x แทนตวั แปรสุ่มชนิดต่อเนื่องท่ีมีการแจกแจงแบบปกติ แทนคา่ เฉล่ียประชากรของตวั แปรสุ่ม XS แทนส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของตวั อยา่ งหรือ T = X เมื่อ X Sn  แทนค่าเฉลี่ยของกลุ่มตวั อยา่ ง แทนค่าเฉล่ียประชากร S แทนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตวั อยา่ ง n แทนขนาดกลุ่มตวั อยา่ งหมายเหตุ องศาเสรี (degree of freedom) โดยท่ัวไปองศาเสรี หมายถึ ง ความเป็ นอิสระ ท่ีข้อมูลจะ เปล่ี ยนไปจานวนองศาเสรี แทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ df หรือ  กค็ ือจานวนของขอ้ มูลท่ีมีอิสระในการเปลี่ยนแปลงไปได้อย่างสมบูรณ์ ค่าขององศาเสรีถือเป็ นค่าพารามิเตอร์ของการแจกแจงของฟังก์ชันน้ันโดยข้ึนอยกู่ บั ขนาดของกลุ่มตวั อยา่ งและฟังกช์ นั ที่มีผลต่อการแจกแจงของตวั อยา่ งน้นั ซ่ึงโดยปกติถา้ สุ่มตวั อยา่ งขนาด n องศาเสรี (df หรือ  ) จะมีค่าเท่ากบั n – 1 แต่การแจกแจงบางชนิดอาจมีค่าdf ท่ีแตกต่างจากน้ีก็ได้บทนิยาม 5.2 ตวั แปรสุ่ม X จะมีการแจกแจงแบบที เมื่อ X มีค่าระหวา่ ง –  ถึง  และมีฟังกช์ นั ของการแจกแจงความน่าจะเป็ น คือ f (x) = 21211!!1 x2   1 ; –<x <  2 ; –<t <  หรือ f (t) =  1 1!   1  2 2 1 t2    1!     2 เมื่อ v แทนองศาเสรี และ  = n – 1

บทที่ 5 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่มชนิดตอ่ เน่ืองบางชนิด 211 กราฟของการแจกแจงแบบที มีลักษณะคล้ายกราฟของการแจกแจงแบบปกติมีแกนสมมาตรอยทู่ ี่ X = 0 หรือ T = 0 แตโ่ คง้ จะมีความโด่งนอ้ ยกวา่ โคง้ ปกติ มีความแบนมากกวา่โคง้ ปกติ โดยรูปร่างของกราฟของการแจกแจงแบบทีจะข้ึนอยู่กบั ขนาดของกลุ่มตวั อย่างหรือองศาเสรี คือ ถา้ n มีขนาดใหญ่ข้ึน เส้นโคง้ ของทีจะมีลกั ษณะใกลเ้ คียงกบั โคง้ ปกติ ยิ่งถา้ n มีค่าเขา้ สู่  จะไดว้ า่ เส้นโคง้ ทีจะเทา่ กบั เส้นโคง้ ปกติ การแจกแจงแบบที มีลกั ษณะท่ีสาคญั ดงั น้ี 1. โคง้ ของการแจกแจงแบบทีมีลกั ษณะคลา้ ยโคง้ ปกติและสมมาตรเมื่อเทียบกบั แกน T = 0 2. ค่าเฉล่ียของการแจกแจงแบบทีคือ  = 0 3. ความแปรปรวนของการแจกแจงแบบทีจะมากกวา่ 1 4. คา่ เฉลี่ย , มธั ยฐาน , ฐานนิยมมีคา่ เท่ากนั 5. ถา้ n มีคา่ เขา้ สู่  การแจกแจงแบบที กค็ ือการแจกแจงแบบปกติ การหาค่าความน่าจะเป็ นของการแจกแจงแบบทีก็ใชว้ ิธีพิจารณาพ้ืนท่ีใตโ้ คง้ ที เช่นเดียวกบัการหาพ้ืนท่ีใตโ้ คง้ ปกติ โดยใชต้ ารางการแจกแจงความน่าจะเป็ นแบบทีซ่ึงจะเรียกส้ันๆวา่ ตาราง Tในตาราง 4 จากภาคผนวกตวั อย่าง 5.9 ให้ T เป็นตวั แปรสุ่มท่ีมีการแจกแจงที จงหา1. P (T  2.650 ) เมื่อ  = 132. P ( – 1.721 < T < 2.831 ) เม่ือ  = 213. P ( – 2.650 < T < – 1.771 ) เมื่อ  = 134. P ( 2.045 < T < 2.756 ) เมื่อ  = 295. P (T < 4.541 ) เม่ือ  = 3วธิ ีทา พิจารณาโคง้ ของการแจกแจงแบบทีจากตารางการแจกแจงแบบที หรือตาราง 4 ในภาคผนวกพ้นื ที่ในการแรเงาหรือพ้นื ท่ี  จะวดั จากปลายดา้ นขวาของโคง้ เขา้ หาแกนสมมาตร1. P (T  2.650 ) เมื่อ  = 13  0 2.650 T

212 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้ ที่  = 13 , T = 2.650 t 0.01 เน่ืองจาก 2.650 = t = จะได้  = 0.01 ดงั น้นั P (T  2.650 ) = 0.01 2. P ( – 1.721 < T < 2.831 ) เม่ือ  = 21 พิจารณาโคง้ ของการแจกแจงแบบที 1 2 –1.721 0 2.831 T ท่ี  = 21 จะได้ t1 = 1.721 = t0.05 จะได้ 1  0.05 t2 = 2.831 = t0.005 จะได้ 2  0.005 ดงั น้นั P (– 1.721 <T < 2.831) = 1 – ( 1 + 2 ) = 1 – (0.05+0.005) = 1 – 0.055 = 0.945 3. P ( – 2.650 < T < – 1.771 ) เมื่อ  = 13 พิจารณาโคง้ ของการแจกแจงแบบที 2 1 T –2.650 –1.771 0

บทท่ี 5 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่มชนิดตอ่ เน่ืองบางชนิด 213ที่  = 13 จะได้ t1 = 2.650 = t0.01 จะได้ 1  0.01 t2 = 1.771 = t0.05 จะได้ 2  0.05ดงั น้นั P ( –2.650 <T < – 1.771 ) = 2 – 1 = 0.05 – 0.01 = 0.044. P ( 2.045 < T < 2.756 ) เม่ือ  = 29 พิจารณาโคง้ ของการแจกแจงแบบที 1 2 0 2.045 2.756 Tท่ี  = 29 จะได้ t1 = 2.045 = t0.025 จะได้ 1  0.025 t2 = 2.756 = t0.005 จะได้ 2  0.005ดงั น้นั P ( 2.045 < T < 2.756 ) = 1 – 2 = 0.025 – 0.005 = 0.025. P (T < 4.541 ) เมื่อ  = 3พิจารณาโคง้ ของการแจกแจงแบบที  0 4.541 T

214 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ที่  = 3 จะได้ t = 4.541 = t0.01 จะได้  =0.01ดงั น้นั P (T < 4.541 ) = 1 – 0.01 = 0.99ตวั อย่าง 5.10 ในการทดสอบวิชาหน่ึงซ่ึงมีการแจกแจงของคะแนนสอบเป็ นแบบปกติ มีค่าเฉลี่ย15 คะแนน ถา้ สุ่มนกั ศึกษาท่ีสอบรายวชิ าน้ีมา 8 คน พบวา่ มีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบเป็น 5 คะแนน จงหาความน่าจะเป็นที่นกั ศึกษาคนหน่ึงจาก 8 คนน้ีจะสอบไดค้ ะแนนมากกวา่24.5 คะแนนข้ึนไปวธิ ีทา จากที่กาหนดใหค้ ะแนนสอบของนกั ศึกษามีการแจกแจงแบบปกติ มี  = 15 , n = 8 เนื่องจากไมท่ ราบค่า 2 แต่ทราบค่า S = 5 ให้ X เป็นคะแนนสอบของนกั ศึกษา ตอ้ งการหาคา่ P ( X > 24.5 ) แต่เนื่องจากไม่ทราบคา่ 2 และสุ่มตวั อยา่ งขนาดเล็ก ดงั น้นั จึงใชก้ ารแจกแจงแบบที โดยแปลงคา่ ตวั แปรสุ่ม X ใหเ้ ป็นตวั แปรสุ่มที จาก T = x S = 24.5 15 5 = 1.9 นน่ั คือ P ( X > 24.5 ) = P (T > 1.9 ) จากตารางที ที่ v = 7 จะได้ P (T > 1.9 ) = 0.05  = 0.05 0 1.9 T ดงั น้นั ความน่าจะเป็นท่ีนกั ศึกษาคนหน่ึงจะสอบไดค้ ะแนนมากกวา่ 24.5 คะแนนข้ึนไปมีค่าเท่ากบั 0.05

บทที่ 5 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่มชนิดตอ่ เนื่องบางชนิด 2155.3 การแจกแจงความน่าจะเป็ นแบบไคกาลงั สองถา้ X เป็นตวั แปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปกติ มีคา่ เฉลี่ย  และความแปรปรวน 2ถา้ สุ่มตวั อยา่ งจากประชากรมา 1 (n = 1) แลว้ ยกกาลงั สองของคะแนนมาตรฐานZ2  (X  )2 2(21)  Z 2ซ่ึงจะได้การแจกแจงของ Z2 หรือ (21) เป็ นการแจกแจงแบบไคกาลงั สอง (Chi – squaredistribution) ที่องศาเสรีเทา่ กบั 1 ซ่ึงจะมีคา่ เฉลี่ย =E((21)) 1 และความแปรปรวน V ((21)) = 2ถา้ สุ่มตวั อยา่ งมา 2 (n = 2) ท่ีอิสระกนั จะได้(22)  2 2 Z1  Z2โดย (22) มีการแจกแจงแบบไคกาลงั สองที่องศาเสรีเทา่ กบั 2ดงั น้นั ถ้าสุ่มตวั อย่างขนาด n ที่อิสระกนั ผลบวกของกาลงั สองของคะแนนมาตรฐานท้งั หมดจะมีการแจกแจงแบบไคกาลงั สองท่ีมีองศาเสรีเทา่ กบั n ดงั น้นั(2n)  2  2  2  ...  2 Z1 Z2 Z3 Zn = n 2 Zi i12  n  xi  2 i1 2บทนิยาม 5.3.1 ถา้ X เป็นตวั แปรสุ่มชนิดตอ่ เนื่องที่มีการแจกแจงแบบไคกาลงั สอง ที่องศาเสรี  แลว้ ฟังกช์ นั การแจกแจงของความน่าจะเป็นของ X เป็นดงั น้ี f (x) =  1  1  X ;x0  2 ; 2  0 22 2 x2 e   1! หรือ f (2 ) = 1  1  2 2 2 ( ) e2    1!  2  22

216 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้ทฤษฎบี ท 5.3.1 ค่าเฉล่ียของการแจกแจงความน่าจะเป็ นแบบไคกาลงั สองมีคา่ เทา่ กบั  และความแปรปรวนมีคา่ เทา่ กบั 2  หรือ E(2 )   V (2 )  2 พสิ ูจน์ เน่ืองจาก Z มีการแจกแจงปกติมาตรฐานดงั น้นั E(Z) = 0 , V(Z) = 1 (จากทฤษฎีบท 5.1.2)จากทฤษฎีบท 3.7.1 V (X )  E(X 2)  E(X )2ดงั น้นั V (Z)  E(Z 2)  E(Z)2  E(Z2) =1จาก (2n)  2  2  2  ...  2 Z1 Z2 Z3 Znจะไดว้ า่ E((2n) )  2 2 2 2 E(Z1  Z2  Z3  ...  Zn ) 222 2  E(Z1 )  E(Z2 )  E(Z3 )  ...  E(Zn ) =1+1+1+…+1 (n จานวน) =n =  เมื่อ  = n แทนองศาเสรีจาก (2n)  2  2  2  ...  2 Z1 Z2 Z3 Znจะไดว้ า่ V ((2n) )  V 2 ) V 2 ) V 2 )  ... V 2 ) (Z1 (Z2 (Z3 (Zn 222 2 (n จานวน)  V (1 ) V (1 ) V (1 )  ... V (1 ) (n จานวน) =2+2+2+…+2 = 2n =2ดงั น้นั ค่าเฉล่ียของการแจกแจงความน่าจะเป็ นแบบไคกาลงั สองมีค่าเทา่ กบั และความแปรปรวนมีค่าเท่ากบั 2 

บทท่ี 5 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่มชนิดตอ่ เนื่องบางชนิด 217เมื่อ Z1 ,Z2 ,Z3 ,...,Zn เป็ นอิสระกนั (2n)  2  2  2  ...  2 Z1 Z2 Z3 Zn   x1   2   x2   2   x3   2  ...   xn   2              n xi  2 i1     1 n  )2 2 ( xi i1  n 1 n (xi  )2 2 i1 n 1  n 1 S 2 2เมื่อ S2 คือความแปรปรวนของกลุ่มตวั อย่างขนาด n ซ่ึงสุ่มมาจากประชากรที่มีการแจกแจงแบบปกติท่ีมีความแปรปรวน 2ดงั น้นั (2n)  n 1 S 2 2เม่ือ S2 คือความแปรปรวนของกลุ่มตวั อยา่ งขนาด n2 คือความแปรปรวนของประชากร2 คือคา่ ของตวั แปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบไคกาลงั สองท่ีองศาเสรี   n 1เน่ื อ ง จ า ก ก า ร แ จก แ จ ง แ บ บ ไ ค ก าลัง ส อ ง มี ก า ร แ จ กแ จ ง เ ฉ พ า ะ ท่ี ไ ด้จ า ก ก า ร แ จ ก แ จ งความน่าจะเป็ นของขอ้ มูล (Z) ที่มีค่าเหลือ 0 และความแปรปรวนเท่ากับ 1 การที่ 2 แทนการแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรกาลงั สอง จึงทาให้ 2 เป็นลบไมไ่ ด้กราฟของการแจกแจงความน่าจะเป็ นแบบไคกาลังสองจะเป็ นโค้งไม่สมมาตรข้ึนอยกู่ บั องศาเสรี ถา้ องศาเสรีเป็ น 1 หรือ 2 โคง้ จะมีลกั ษณะเป็ นตวั J กลบั ขา้ ง แต่ถา้ องศาเสรีมากกว่า 2 โคง้ จะมีลกั ษณะเป็ นโคง้ เบข้ วา ถา้ องศาเสรีมีค่าเพ่ิมข้ึนความเบข้ องโคง้ จะลดลงและลกั ษณะคลา้ ยโคง้ ปกติมากข้ึน ดงั รูปที่ 5.9f (2 )  = 1  = 3 =2 =8 2 รูปที่ 5.9 แสดงลกั ษณะของโคง้ ไคกาลงั สองท่ีมีค่า  ตา่ งกนั

218 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้ สรุปลกั ษณะของการแจกแจงแบบไคกาลงั สองเป็ นดงั น้ี 1. โคง้ ของการแจกแจงจะเป็ นโคง้ เบข้ วา ข้ึนอยกู่ บั ค่าองศาเสรี 2. ถา้ องศาเสรีมีคา่ เพิ่มข้ึน เส้นโคง้ จะมีลกั ษณะใกลเ้ คียงเส้นโคง้ ปกติ 3. ค่า 2 มีค่าต้งั แต่ 0 ถึง  4. คา่ เฉล่ียจะเท่ากบั องศาเสรีหรือ E(2 ) =  และความแปรปรวน หรือ V(2 ) = 2 5. พ้ืนท่ีใตโ้ คง้ มีค่าเท่ากบั 1 หน่วย การคานวณหาค่าความน่าจะเป็ นของการแจกแจงแบบไคกาลงั สอง จะใช้ตาราง 5 ในภาคผนวกซ่ึงจะสะดวกและง่ายกวา่ การใชว้ ิธีคานวณโดยตรงจากสูตรตามบทนิยาม การใชต้ ารางจะต้องทราบค่าองศาเสรีซ่ึงมีค่าต่างๆ กัน ตวั เลขในตารางเป็ นค่าความน่าจะเป็ นที่เริ่มจาก0 ถึง 2 ดงั น้นั P(2  2 )   ดงั รูปท่ี 5.10 f (2 ) 20 2 รูปท่ี 5.10 แสดงค่าของ P(2  2 )ตัวอย่าง 5.11 ถา้ X เป็นตวั แปรสุ่มท่ีมีการแจกแจงแบบไคกาลงั สอง จงใชต้ าราง 5 จากภาคผนวกในการหาค่า 2 ต่อไปน้ี 1. 02.05 ,  14 2. 02.95 ,  6 3. 02.995 ,  26วธิ ีทา ตารางการแจกแจงแบบไคกาลงั สอง 2 ค่าของ 2 จะข้ึนอยกู่ บั พารามิเตอร์ 2 ตวั ไดแ้ ก่องศาเสรี  ซ่ึงจะมีค่าเท่ากบั n – 1 และค่า  ซ่ึงเป็ นพ้ืนที่ใตโ้ คง้ วดั จากดา้ นขวาของโคง้ เขา้ มาทางดา้ นซ้าย เช่น ท่ี   0.90 และ  10 ค่า 2 จะเขียนไดใ้ นรูป (20.90,10) ซ่ึงจากตาราง 2(ตาราง 5 ภาคผนวก) มีค่า 4.87 หรือ (20.90,10)  4.87

บทที่ 5 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่มชนิดตอ่ เนื่องบางชนิด 219 1. 02.05 ,  14 2 จากตาราง 5 จะได้ (20.05,14)  23.68 2 f (2 ) 2  = 0.05 0 23.68 2. 02.95 ,  6 จากตาราง 5 จะได้ (20.95,6) 1.64 f ( 2 )  = 0.95 0 1.64 3. 02.995 ,  26 จากตาราง 5 จะได้ (20.995,26) 11.16f ( 2 )  = 0.9950 11.16

220 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้ตวั อย่าง 5.12 จากตาราง 5 ในภาคผนวก จงหา 1. P ( 2  2.20 ) , 6 2. P ( 2 < 30.19 ) ,  17 3. P ( 5.23  2  30.58 ) ,  15วธิ ีทา 1. P ( 2  2.20 ) , 6 =(20.90,6) 2.20  P ( 2  2.20 ) = 0.90 f ( 2 )  = 0.90 0 2.20 2 2. P ( 2 < 30.19 ) ,  17 (20.25,17) = 30.19  P ( 2 < 30.19 ) = 1 – 0.25 = 0.75 f ( 2 )  = 0.25 2 0 30.19 3. P ( 5.23  2  30.58 ) ,  15 จะได้ 1  0.99 = 5.23 จะได้ 2  0.01 (20.99,15) = 30.58 (20.01,15)

บทท่ี 5 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่มชนิดต่อเนื่องบางชนิด 221  P ( 5.23  2  30.58 ) = P ( 2  5.2 ) – P ( 2  30.58 )f ( 2 ) = 1 – 2 = 0.99 – 0.01 = 0.98 1=0.990 5.23 2=0.01 2 30.58ตวั อย่าง 5.13 ถา้ 2 เป็ นตวั แปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบ 2 จงหาคา่ a และ b ท่ีทาให้ P(a < 2 < b) = 0.95 และ P( 2  b) = 0.025 เมื่อกาหนดองศาเสรี 12วธิ ีทา f ( 2 ) 0.95 2 ตถ baP( 2  b) = 0.025 จากตารางจะได้ =(20.025,12) 23.34 = bเน่ืองจาก P(a < 2 < b) = P( 2  a) – P( 2  b)ดงั น้นั 0.95 = P( 2  a) – 0.025 P( 2  a) = 0.975 (20.975,12) = 4.40 = aดงั น้นั จะไดว้ า่ a = 4.40 และ b = 23.34

222 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้5.4 การแจกแจงความน่าจะเป็ นแบบเอฟ การแจกแจงความน่าจะเป็ นแบบเอฟ เป็ นการแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่มชนิดต่อเน่ืองท่ีสาคัญอีกชนิดหน่ึง ที่มีประโยชน์และใช้ในการทดสอบสมมุติฐานที่เก่ียวกับความแปรปรวนของประชากร 2 กลุ่มบทนิยาม 5.4.1 X จะเป็นตวั แปรสุ่มชนิดต่อเนื่องที่มีการแจกแจงแบบเอฟ (F probabilitydistribution ) ท่ีองศาเสรี 1,2 เมื่อฟังก์ชนั การแจกแจงความน่าจะเป็ นของ Xคืออตั ราส่วนของตวั แปรท่ีมีการแจกแจงแบบไคกาลงั สอง 2 ตวั ที่เป็ นอิสระกนั 12นนั่ คือ f (x) = F(1,2 ) = 1 = 122 22 221 2เมื่อ 12,22 เป็ นตวั แปรสุ่มท่ีมีการแจกแจงแบบไคกาลงั สองที่องศาเสรี 1,2 เส้นโค้งของการแจกแจงแบบเอฟ จะมีลักษณะเบ้ขวาเหมือนโค้งของการแจกแจงแบบไคกาลงั สอง แต่การแจกแจงแบบเอฟมีพารามิเตอร์ 2 ตวั คือ 1 และ 2 ตวั อยา่ งของเส้นโคง้ ของการแจกแจงท่ีกาหนด 1,2 แตกตา่ งกนั เป็ นดงั รูปที่ 5.11 f (F) F(5, 20) F(5, 8)0F รูปท่ี 5.11 เส้นโคง้ ของการแจกแจงแบบเอฟท่ี 1,2 ตา่ งกนั

บทท่ี 5 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่มชนิดต่อเน่ืองบางชนิด 223 สรุปลกั ษณะของการแจกแจงแบบเอฟ เป็นดงั น้ี 1. เส้นโคง้ ของการแจกแจงมีลกั ษณะเบข้ วาและข้ึนอยกู่ บั ค่า 1,2 โดยที่ 1 = n1 – 1 , 2 = n2 – 1 และจะสลบั ค่า 1,2 ไม่ได้ 2. คา่ ของ F จะมีคา่ ต้งั แต่ 0 ถึง  3. พ้ืนท่ีใตโ้ คง้ ของการแจกแจงแบบเอฟ มีค่า 1 หน่วยทฤษฎบี ท 5.4.1 ถา้ S12 และ S22 เป็ นความแปรปรวนจากกลุ่มตวั อยา่ งสองจุดที่มีขนาด n1 , n2 ที่ถูกสุ่มจากประชากรท่ีมีการแจกแจงแบบปกติและมีความแปรปรวน 12 และ 22 ตามลาดบั จะไดว้ า่ หรือF   S12  F  S1222  12  S2212  S22   22 พสิ ูจน์ จากบทนิยาม 5.4.1 F  122 221เนื่องจาก (21)  (n1  1) S12 ; 1  n1 1 12 ; 2  n2 1 (22)  (n2  1) S22 22 (n1  1) S12 (n2  1) 12  1)จะได้ F  (n2  1) S22 22 (n1 S12  12 S22 22  S1222 S2212ดงั น้นั F  S1222 S2212

224 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ การหาค่าความน่าจะเป็ นของการแจกแจงแบบเอฟ จะใช้วิธีเปิ ดตารางการแจกแจงแบบ F (ตาราง 6 ในภาคผนวก) ซ่ึงค่าของ F จะข้ึนอยคู่ ่าพารามิเตอร์ คือ 1,2 และค่า  หรือค่าระดบั นยั สาคญั บางคร้ังจึงเขียนค่า F โดยระบุค่า , 1,2 ดว้ ยค่าคงท่ี F(,1,2) เช่น ถา้ กาหนดระดบั นยั สาคญั  = 0.05 , 1 = 15 , 2 = 18 เมื่อเปิ ดคา่ F จากตาราง 6 ภาคผนวก ที่  = 0.05และ 1 = 15 , 2 = 18 จะได้ = 2.27F(0.05,15,18) f (F) 1    0.95   0.050 = 2.27F(0.05,15,18) F รูปที่ 5.12 ค่าเอฟเม่ือกาหนด  = 0.05 , 1 = 15 , 2 = 18 เน่ืองจากตารางท่ี 6 กาหนดค่า  เป็ น 0.10 , 0.05 , 0.025 , 0.01 , 0.005 และ 0.001ถา้ ตอ้ งการหาค่า F ที่  = 0.90 , 0.95 , 0.975 , 0.995 หรือ 0.999 จะมีวธิ ีการหาดงั น้ีF(1,1,2 )  1 F(,2 ,1)เช่น ถา้ ตอ้ งการหาค่า F ท่ี  = 0.995 , 1 = 10 , 2 = 20 แต่ตารางท่ี 6 ไม่ไดก้ าหนด = 0.995 แตส่ ามารถหาค่าของ F(0.995,10,20) ไดด้ งั น้ี กาหนด  = 0.005 จะไดว้ า่ 1 –  = 0.995F(0.995,10,20) = F(10.005,10,20) =1 F(0.005,20,10) =1 5.27 = 0.1898ดงั น้นั F(0.995,10,20) = 0.1898

บทท่ี 5 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่มชนิดต่อเนื่องบางชนิด 225ตวั อย่าง 5.14 จงใชต้ ารางท่ี 6 จากภาคผนวก หาคา่ F เมื่อกาหนด1.  = 0.01 , 1 = 24 , 2 = 152.  = 0.005 , 1 = 26 , 2 = 103.  = 0.99 , 1 = 5 , 2 = 124.  = 0.999 , 1 = 18 , 2 = 205.  = 0.975 , 1 = 15 , 2 = 246.  = 0.025 , 1 = 23 , 2 = 28วธิ ีทา 1. ท่ี  = 0.01 , 1 = 24 , 2 = 15F(0.01,24,15) = 3.292. ที่  = 0.005 , 1 = 26 , 2 = 10หา F(0.005,26,10)เน่ืองจาก F(0.005,24,10) = 5.17 = 5.07F(0.005,30,10)ดงั น้นั F(0.005,26,10) = 5.17 – 0.03 = 5.143. ที่  = 0.99 , 1 = 5 , 2 = 12 เนื่องจากตารางเอฟท่ี  = 0.99 ไมม่ ี แต่ 0.99 = 1 – 0.01 = 1 –  ดงั น้นั จะเปิ ดหาค่าเอฟโดยใชต้ ารางเอฟท่ี  = 0.01โดย =F(0.99,5,12) 1 F(0.01,12,5) =1 9.89 = 0.10114. ที่  = 0.999 , 1 = 18 , 2 = 20 จะไดว้ า่ 0.999 = 1 – 0.001

226 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้โดย =F(0.999,18,20) 1 F(0.001,20,18) =1 4.59 = 0.21795. ท่ี  = 0.975 , 1 = 15 , 2 = 24 จะไดว้ า่ 0.975 = 1 – 0.25โดย =F(0.975,15,24) 1 F(0.025,24,15) =1 2.70 = 0.37046. ที่  = 0.025 , 1 = 23 , 2 = 28 ท่ี = 1.96F(0.025,20,28) = 1.91F(0.025,24,28)ดงั น้นั F(0.025,23,28) = 1.96  0.05 3 4 = 1.9225

บทที่ 5 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่มชนิดต่อเน่ืองบางชนิด 227 แบบฝึ กหัดบทท่ี 51. จงเปลี่ยนค่าตวั แปรสุ่ม X ต่อไปน้ี ใหเ้ ป็นคะแนนมาตรฐาน Z เม่ือกาหนด 1.1. X = 5 ,  = 8 ,  = 3 1.2. X = 12 ,  = 8 ,  = 3 1.3. X = 17 ,  = 15 ,  = 6 1.4. X = 32 ,  = 24 ,  = 9 1.5. X = 18 ,  = 24 ,  = 92. จงหาพ้นื ที่ใตโ้ คง้ ต่อไปน้ี 2.1 P ( Z > 2.23 ) 2.2 P ( Z < 1.48 ) 2.3 P ( Z > – 2.55 ) 2.4 P ( Z < – 1.62 ) 2.5 P ( 1.33 < Z < 2.34 ) 2.6 P (– 0.82 < Z < 1.56 ) 2.7 P (– 1.96 < Z < – 0.85 ) 2.8 P ( Z < 3.09 )3. จากการสอบวชิ าสถิติธุรกิจของนกั ศึกษาจานวน 82 คน พบวา่ มีคะแนนเฉลี่ย 32.5 คะแนนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 6.2 คะแนน จงหาวา่ 3.1 ความน่าจะเป็นที่จะมีนกั ศึกษาที่สอบไดค้ ะแนนนอ้ ยกวา่ 20 คะแนน 3.2 ความน่าจะเป็นที่จะมีนกั ศึกษาท่ีสอบไดค้ ะแนนมากกวา่ 45 คะแนน 3.3 จานวนนกั ศึกษาท่ีสอบไดค้ ะแนนต้งั แต่ 30 ถึง 35 คะแนน 3.4 ถา้ สุ่มนกั ศึกษามา 2 คน คือ นาย ก. ไดค้ ะแนน 28 คะแนน นาย ข.ไดค้ ะแนน 32 คะแนน จะมีนกั ศึกษากี่คนท่ีไดค้ ะแนนมากกวา่ นาย ก. แต่นอ้ ยกวา่ นาย ข. 3.5 ถา้ สุ่มนกั ศึกษามา 1 คน พบวา่ มีนกั ศึกษาอีก 32% ไดค้ ะแนนมากกวา่ คะแนนที่เขาได้ จงหาวา่ คะแนนสอบของนกั ศึกษาคนน้ีเป็นเท่าใด4. อายกุ ารใชง้ านของแบตเตอร์ร่ียห่ี อ้ หน่ึง มีการแจกแจงแบบปกติ ท่ีมีค่าเฉล่ีย 300 ชวั่ โมง และส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 25 ชวั่ โมง จงหาวา่ มีแบตเตอร์รี่ก่ีเปอร์เซ็นต์ที่มีอายุการใชง้ านระหว่าง290 ถึง 370 ชวั่ โมง

228 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้5. ถา้ X เป็นตวั แปรสุ่มชนิดไมต่ ่อเน่ือง จงปรับค่าของ X เป็นตวั แปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง เม่ือกาหนด 5.1 X = 5 5.2 5 < X < 10 5.3 5  X  10 5.4 X > 8 5.5 X < 86. ในการโยนเหรียญ 1 อนั 15 คร้ัง จงหาความน่าจะเป็ นที่ 6.1 เหรียญข้ึนหวั 10 คร้ัง 6.2 เหรียญข้ึนหวั มากกวา่ 10 คร้ัง 6.3 เหรียญข้ึนหวั นอ้ ยกวา่ 10 คร้ัง 6.4 เหรียญข้ึนหวั ต้งั แต่ 6 ถึง 8 คร้ัง 6.5 เหรียญข้ึนหวั ระหวา่ ง 4 ถึง 9 คร้ัง7. การผลิตอุปกรณ์ไฟฟ้ าชนิดหน่ึง ถา้ ในกระบวนการผลิตทาใหเ้ กิดสินคา้ ที่มีตาหนิ 10% ถา้ พบอุปกรณ์ไฟฟ้ าน้ีมา 100 ชิ้น จงหาความน่าจะเป็นท่ีจะพบอุปกรณ์ไฟฟ้ าที่มีตาหนิเกินกวา่ 15 ชิ้น8. ถา้ T เป็นตวั แปรสุ่มชนิดต่อเนื่องที่มีการแจกแจงแบบที จงหา 8.1 P (T > 1.796 ) 8.2 P (T < 2.086 ) 8.3 P ( 1.533 < T < 3.747 ) 8.4 P (– 1.711 < T < 2.797 ) 8.5 P (– 3.012 < T < – 1.356 )9. ให้ 2 เป็นตวั แปรสุ่มท่ีมีการแจกแจงแบบไคกาลงั สอง จงใชต้ ารางที่ 5 จากภาคผนวกหาคา่ ตอ่ ไปน้ี9.1 02.99, 10 ,  = 209.2 02.005,  219.3 P ( 9.59 < 2 < 40.0 )9.4 P ( 2 > 44.31 ) ,  = 259.5 P ( 2 < 6.57 ) ,  = 14

บทท่ี 5 การแจกแจงความน่าจะเป็ นของตวั แปรสุ่มชนิดตอ่ เนื่องบางชนิด 22910. จงใชต้ ารางที่ 6 ภาคผนวก ในการหาคา่ F เม่ือกาหนดค่าตอ่ ไปน้ี 10.1  = 0.005 , 1 = 30 , 2 = 27 10.2  = 0.05 , 1 = 11 , 2 = 21 10.3  = 0.99 , 1 = 9 , 2 = 10 10.4  = 0.95 , 1 = 29 , 2 = 30