บทที่ 7 การประมาณค่าพารามิเตอร์

บทท่ี 7 การประมาณค่าพารามเิ ตอร์เน่ืองจากในการเก็บขอ้ มูลส่วนใหญ่ไม่สามารถเก็บขอ้ มูลท้งั หมดในระดบั ประชากรได้จึงจาเป็ นต้องใช้ข้อมูลจากกลุ่มตวั อย่างท่ีได้จากการสุ่มตวั อย่างแทน โดยมีจุดประสงค์ของการสุ่มตวั อย่างก็เพื่อที่จะนาค่าสถิติที่ไดจ้ ากการศึกษากลุ่มตวั อย่างอา้ งอิงไปเป็ นค่าพารามิเตอร์ของประชากร และเน่ืองจากตวั อยา่ งสุ่มที่ไดจ้ ากประชากรน้นั มีไดห้ ลายๆ ชุด แต่ละชุดจะไดค้ ่าสถิติซ่ึงเปลี่ยนแปลงไปตามลักษณะของกลุ่มตัวอย่างท่ีสุ่มมาได้ ดังน้ันค่าสถิติจึงมีลักษณะเป็ นตวั แปรสุ่ม ซ่ึงในบทที่ผา่ นๆ มา ไดก้ ล่าวถึงค่าพารามิเตอร์และค่าสถิติ รวมท้งั การคานวณค่าพอสรุปเพอ่ื นามาใชใ้ นบทน้ี ดงั น้ีค่าพารามิเตอร์ เป็ นค่าท่ีแสดงลกั ษณะของประชากร คานวณจากทุกหน่วยของประชากรจะใชอ้ กั ษรกรีกเป็นสัญลกั ษณ์แทนพารามิเตอร์ตอ่ ไปน้ี N  xiคา่ เฉล่ีย แทนดว้ ย   i1 N N (xi  )2ความแปรปรวน แทนดว้ ย 2  i1 N N (xi  )2ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน แทนดว้ ย   i1 Nคา่ สัดส่วน แทนดว้ ย p  X Nค่าสถิติ เป็ นฟังก์ชันของตัวแปรสุ่มที่ได้จากกลุ่มตวั อย่างขนาด n จากประชากรจะใชอ้ กั ษรลาตินเป็นสญั ลกั ษณ์แทนคา่ สถิติต่อไปน้ี n  xiค่าเฉลี่ย แทนดว้ ย X  i1 n 2  ความแปรปรวน n  X )2 n xi2  n แทนดว้ ย   S2  ( xi  n xi i1 i1 i1 n 1 n(n 1) n n  n 2 i1  i1  (xi  X )2 i1    S  n xi2  xiส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน แทนดว้ ย n 1 n(n 1)สดั ส่วนของตวั อยา่ ง pˆ  X n

274 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้ ส่ิงที่ต้องการทราบคือลักษณะของประชากรหรื อค่าพารามิเตอร์ แต่ถ้าเก็บข้อมูลหรือศึกษาจากตวั อยา่ งจะไดเ้ พียงค่าสถิติของตวั อย่างน้นั แลว้ จึงนาค่าสถิติที่ไดไ้ ปอา้ งอิงหรือไปสรุปลักษณะของประชากรหรือค่าพารามิเตอร์ ซ่ึงทาได้ 2 วิธี คือ การประมาณค่าพารามิเตอร์(estimation) และการทดสอบสมมุติฐาน (testing hypothesis) ซ่ึงในบทน้ีจะกล่าวถึงวธิ ีการสรุปลกั ษณะของประชากรโดยใชว้ ธิ ีการประมาณค่าเท่าน้นั โดยมีรายละเอียดดงั ตอ่ ไปน้ี7.1 การประมาณค่าพารามเิ ตอร์ การประมาณค่าพารามิเตอร์ มีวิธีการประมาณค่า 2 แบบ ไดแ้ ก่ การประมาณค่าแบบจุด(point estimation) และการประมาณคา่ แบบช่วง (interval estimation) 7.1.1 การประมาณค่าแบบจุด การประมาณค่าแบบจุดเป็ นการประมาณค่าพารามิเตอร์ดว้ ยค่าสถิติเพียงค่าเดียวที่สมนยั กบั พารามิเตอร์น้ัน เช่น ประมาณค่าเฉลี่ยของประชากร  โดยใช้ค่าเฉล่ียของกลุ่มตัวอย่าง X เป็ นตัวประมาณค่า ประมาณค่าความแปรปรวนของประชากร 2 โดยใช้ความแปรปรวนของกลุ่มตวั อย่าง S2 หรือประมาณสัดส่วนของประชากร p โดยใชส้ ัดส่วนของกลุ่มตวั อย่าง pˆ เป็ นตวั ประมาณค่า ค่าประมาณที่ได้จากการประมาณค่าแบบจุดน้ีมีโอกาสคลาดเคลื่อนไปจากพารามิเตอร์ไดม้ าก โดยเฉพาะถา้ ขอ้ มูลมีการกระจายสูง การใช้ค่าใดค่าหน่ึงเพียงค่าเดียวไปประมาณค่าพารามิเตอร์น้ันจะไม่สามารถระบุระดับความเป็ นไปได้ของคา่ ประมาณน้นั การประมาณคา่ แบบจุดจึงไมเ่ ป็นที่นิยมใช้ 7.1.2 การประมาณค่าแบบช่วง การประมาณค่าแบบช่วงเป็ นการประมาณค่าโดยการหาช่วงของตวั แปรสุ่ม ที่คาดว่าจะครอบคลุมคา่ ของพารามิเตอร์ดว้ ยค่าความน่าจะเป็ นระดบั หน่ึง ถา้ สมมุติให้  เป็ นพารามิเตอร์ท่ีต้องการประมาณค่า และสมมุติให้ค่าสถิติ ˆ เป็ นตวั ประมาณค่าแบบจุดของพารามิเตอร์ ช่วงของพารามิเตอร์ที่ตอ้ งการประมาณค่าจะเป็ น a <  < b โดยที่ a และ b เป็ นตวั แปรสุ่มท่ีไดจ้ ากการแจกแจงค่าสถิติ เรียกช่วงระหว่าง a และ b ท่ีแน่ใจว่าครอบคลุมค่าพารามิเตอร์ ดว้ ยความน่าจะเป็ นระดบั หน่ึงว่าระดบั ความเช่ือมน่ั (level of confidence) ของการประมาณค่าโดยทว่ั ไปมกั จะเขียนระดบั ความเชื่อมน่ั ของการประมาณค่าพารามิเตอร์อยู่ในรูป 1  หรือ(1 )100% น่ันคือการประมาณค่าพารามิเตอร์  น้ันมีความน่าจะเป็ นที่  จะมีค่าอยู่ใน

บทท่ี 7 การประมาณค่าพารามิเตอร์ 275ช่วงระหวา่ งค่า a ถึง b เท่ากบั 1  หรือ P(a <  < b) = 1  เรียกตวั แปรสุ่ม a วา่ ขีดจากดัล่าง และเรียกตวั แปรสุ่ม b วา่ ขีดจากดั บนหมายเหตุ ระดบั ความเช่ือมน่ั (1 )100% ของการประมาณคา่ พารามิเตอร์  แบบช่วง อาจเรียกส้นั ๆ วา่ ช่วงความเชื่อมน่ั (1 )100% ของการประมาณค่า 7.2 การประมาณค่าเฉลยี่ ประชากร การประมาณคา่ เฉลี่ยของประชากร  ถา้ เป็นการประมาณค่าแบบจุด จะใชค้ ่าสถิติ Xเป็นตวั ประมาณ นน่ั คือ n  xi   X  i1 n เมื่อ xi เป็นขอ้ มูลหรือตวั อยา่ งสุ่มตวั ท่ี i = 1 , 2 , 3 , … , n n คือขนาดของกลุ่มตวั อยา่ ง การประมาณค่าแบบช่วงน้ันตอ้ งสร้างช่วงของค่าประมาณที่คาดว่าจะครอบคลุมค่า ท้งั น้ีข้ึนอยกู่ บั ขนาดของตวั อยา่ ง n ความแปรปรวนของประชากร ( 2 ) และระดบั ความเช่ือมน่ั(1 ) ของการประมาณค่า ซ่ึงสามารถแบ่งวธิ ีการสร้างช่วงความเช่ือมน่ั ของการประมาณค่า ได้ 3 กรณี คือกรณที ่ี 1 สุ่มตวั อยา่ งขนาด n จากประชากรท่ีมีการแจกแจงปกติ และทราบ ความแปรปรวนของประชากร ( 2 )กรณที ่ี 2 สุ่มตวั อยา่ งขนาดใหญ่ ( n  30) จากประชากรที่ไม่ทราบวา่ มีการแจกแจง แบบปกติหรือไมแ่ ละไมท่ ราบความแปรปรวนของประชากร ( 2 )กรณีที่ 3 สุ่มตวั อยา่ งขนาดเล็ก ( n  30) จากประชากรที่มีการแจกแจงปกติ และไม่ทราบความแปรปรวนของประชากร ( 2 )

276 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้ทฤษฎบี ท 7.2.1 สุ่มตวั อยา่ งขนาด n จากประชากรท่ีมีการแจกแจงแบบปกติที่มีค่าเฉลี่ย  มีความแปรปรวนของประชากร 2 ถา้ ทราบคา่ 2 แลว้ ช่วงความเชื่อมนั่ ของการประมาณคา่  ที่ระดบั ความเช่ือมนั่ (1 )100% คือ   X  Z  n 2 เมื่อ X เป็นค่าเฉลี่ยจากกลุ่มตวั อยา่ ง Z เป็ นคา่ ของตวั แปรสุ่มแบบปกติมาตรฐาน Z 2 (1 )100% เป็ นระดบั ความเช่ือมน่ั ของการประมาณค่าพสิ ูจน์ ถา้ สุ่มตวั อยา่ งจากประชากรท่ีมีการแจกแจงแบบปกติท่ีมีค่าเฉล่ีย  ความแปรปรวน 2จะได้ว่า X จะเป็ นตัวแปรสุ่ มมีการแจกแจงแบบปกติที่มีค่าเฉล่ีย  และมีความแปรปรวน 2 nจะไดว้ ่า Z  X  มีการแจกแจงแบบปกติที่มีค่าเฉล่ียเท่ากบั 0 และความแปรปรวน  nเทา่ กบั 1 แตค่ วามน่าจะเป็ นที่ Z จะตกอยใู่ นช่วง Z และ Z เทา่ กบั 1  ดงั รูปที่ 7.1 22 1   2 2 Z 0 Z 2 2รูปท่ี 7.1 แสดงช่วงความเชื่อมน่ั 1  ท่ี Z จะตกอยใู่ นช่วง Z ถึง Z 22จากรูปจะไดว้ า่ P(Z  Z  Z ) = 1 = 1 22 P(Z   X   Z )  22 n

บทที่ 7 การประมาณคา่ พารามิเตอร์ 277 P(Z    X   Z ) = 1 n n 2 2 P(X  Z     X  Z ) = 1 n n 2 2 P(X  Z    X  Z  = 1 n ) 2 2 nหรือ P(X  Z     X  Z  = 1 n ) 2 2 nดงั น้นั ช่วงความเช่ือมนั่ (1 )100% ของการประมาณคา่  คือ X  Z  n 2นน่ั คือ   X  Z  ซ่ึงหมายความวา่ ช่วงระหวา่ ง X  Z  และ X  Z  n n n 2 2 2เป็ นช่วงที่ครอบคลุมคา่ ของ  ดว้ ยความน่าจะเป็น 1 ทฤษฎีบทน้ีสามารถนาไปใช้ในการประมาณค่า  ในกรณีท่ีสุ่มตวั อย่างขนาดใหญ่n  30 จากประชากรที่ไม่ทราบวา่ การแจกแจงแบบปกติหรือไม่และไม่ทราบค่าความแปรปรวนของประชากร 2 เน่ืองจากโดยทฤษฎีลิมิตสู่ส่วนกลางในการสุ่มตวั อยา่ งขนาดใหญ่น้นั อนุโลมได้ว่า X จะมีการแจกแจงแบบปกติ เมื่อไม่ทราบค่า 2 ให้ใช้ค่า S2 ประมาณค่าของ 2ดังน้ันช่วงความเช่ือมั่น (1 )100% ของการประมาณค่า  ในกรณี ที่ n  30 และไม่ทราบคา่ 2 คือ   X  Z S n 2ตัวอย่าง 7.1 อายุการใช้งานของหลอดไฟที่ผลิตจากโรงงานแห่งหน่ึงมีการแจกแจงแบบปกติมีส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 100 ชวั่ โมง สุ่มหลอดไฟมา 25 หลอด พบวา่ มีอายกุ ารใชง้ านเฉล่ีย 750ชว่ั โมง จงหาช่วงความเช่ือมนั่ 95% ของอายกุ ารใชง้ านของหลอดไฟที่ผลิตจากโรงงานน้ีท้งั หมดวธิ ีทา ให้  แทนอายกุ ารใชง้ านเฉลี่ยของหลอดไฟท่ีผลิตจากโรงงานน้ีกาหนดให้   100 , X  750 , n  25ระดบั ความเช่ือมน่ั 95% ดงั น้นั  = 0.05จะไดว้ า่ Z  Z0.025 = 1.96 2ดงั น้นั ช่วงความเชื่อมน่ั 95% ของการประมาณคา่  คือ   X  Z  n 2   750 1.96  100 = (710.8 , 789.2) 5

278 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้ ดงั น้นั อายุการใช้งานเฉล่ียของหลอดไฟที่ผลิตจากโรงงานแห่งน้ี ท่ีระดบั ความเช่ือมนั่95% อยใู่ นช่วง 710.8 ชวั่ โมง ถึง 789.2 ชวั่ โมงตัวอย่าง 7.2 จากการสุ่มสอบถามพนักงานโรงงานผลิตอุปกรณ์ไฟฟ้ าแห่งหน่ึงจานวน 50 คนพบวา่ มีรายไดเ้ ฉล่ียเดือนละ 8,500 บาท ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 500 บาท จงหาช่วงความเช่ือมน่ั90% ของรายไดเ้ ฉลี่ยของพนกั งานโรงงานแห่งน้ีท้งั หมดวธิ ีทา ให้  แทนรายไดเ้ ฉล่ียต่อเดือนของพนกั งานทุกคนของโรงงานผลิตอุปกรณ์ไฟฟ้ าแห่งน้ีจากกาหนดให้ไม่ได้ระบุว่าการแจกแจงรายไดเ้ ป็ นปกติหรือไม่ แต่เน่ืองจาก n  30ดงั น้นั X จึงมีการแจกแจงใกลเ้ คียงการแจกแจงปกติ จึงใช้ S ประมาณคา่  ได้ทราบวา่   8,500 , X  500 , n  50 ระดบั ความเชื่อมนั่ 90% ดงั น้นั   0.10จะได้ Z  Z0.05 = 1.645 2ดงั น้นั ช่วงความเช่ือมน่ั 90% ของการประมาณคา่  คือ   X Z  S 2 n = 8,500  500 ± 1.645 50 = 8,500 ± 116.319 = (8,383.68 , 8,616.32)ดังน้ัน ช่วงความเช่ือมั่น 90% ของรายได้เฉล่ียของสาวโรงงานแห่งน้ีอยู่ในช่วง8,383.68 บาท ถึง 8,616.32 บาททฤษฎบี ท 7.2.2 สุ่มตวั อยา่ งขนาดเล็ก ( n  30) จากประชากรที่มีการแจกแจงแบบปกติ มีค่าเฉล่ีย  ความแปรปรวน 2 ถา้ ไม่ทราบคา่ 2 แลว้ ช่วงความเชื่อมน่ั (1 )100% ของการประมาณค่าเฉล่ีย ของประชากร คือ   X  t   S 2  n  , เมื่อ S เป็นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตวั อยา่ ง t  ,  เป็นคา่ ของตวั แปรสุ่มที ท่ีองศาเสรี  2    เป็ นองศาเสรีมีคา่ เทา่ กบั n 1

บทท่ี 7 การประมาณคา่ พารามิเตอร์ 279พสิ ูจน์ เนื่องจาก n  30 และไม่ทราบความแปรปรวนของประชากรจะไดว้ า่ X เป็นตวั แปรสุ่ม ท่ีมีการแจกแจงแบบทีมีค่าเฉลี่ย  ความแปรปรวน S2 nดงั น้นั T  X  S nความน่าจะเป็ นท่ี T จะตกอยใู่ นช่วง t ถึง t เทา่ กบั 1  ดงั รูปท่ี 7.2 22 1   2 2 t 0 t 2 2รูปที่ 7.2 แสดงช่วงความเชื่อมน่ั 1  ท่ี T จะตกอยใู่ นช่วง t ถึง t 22จากรูปจะไดว้ า่ P(t  T  t ) = 1 22 P(t   X   t ) = 1 S 22 n P(t S  X   t S) = 1 n n 2 2 P(X  t S    X  t S) = 1 n n 2 2 P(X  t S   X  t S) = 1 n n 2 2 หรือ P(X  t S    X  t S) = 1 n n 2 2นนั่ คือช่วงความเช่ือมน่ั (1 )100% ของการประมาณค่า  คือ X  t S n 2ดงั น้นั   X  t S เม่ือ n  30 และไมท่ ราบคา่ 2 n 2

280 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ตัวอย่าง 7.3 จากการสุ่มนกั ศึกษามหาวิทยาลยั ราชภฏั ลาปางซ่ึงมีการแจกแจงของค่าใชจ้ ่ายต่อวนัแบบปกติ จานวน 28 คน พบวา่ มีค่าใชจ้ ่ายเฉลี่ยต่อวนั เป็ น 120 บาท ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 32บาท จงหาช่วงความเชื่อมนั่ 95% ของรายจ่ายเฉล่ียตอ่ วนั ของนกั ศึกษามหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ลาปางวธิ ีทา ให้  แทนรายจ่ายเฉล่ียตอ่ วนั ของนกั ศึกษามหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ลาปาง ทราบค่า X  120 , S  32 , n  28 , (1 )100% = 95% ดงั น้นั  = 0.05 เนื่องจากสุ่มตวั อยา่ งขนาดเล็ก ตวั แปรสุ่ม X จึงมีการแจกแจงแบบที โดยมี   n 1= 27 จะไดว้ า่ t  ,) = t(0.025,27) = 2.052 ( 2 ช่วงความเชื่อมน่ั 95% ของการประมาณคา่  คือ   X  t   S 2  n  , = 120 ± 2.052  32 28 = 120 ± 12.41 = (107.59 , 132.41) ดงั น้นั ช่วงความเชื่อมน่ั 95% ของรายจ่ายเฉล่ียต่อวนั ของนกั ศึกษามหาวิทยาลยั ราชภฏัลาปางอยู่ ในช่วง 107.59 บาท ถึง 132.41 บาท7.3 ขนาดของตัวอย่างทเ่ี หมาะสมสาหรับการประมาณค่าเฉลย่ี ขนาดของตัวอย่างมีผลต่อความผิดพลาด (error) ในการประมาณค่า  ด้วยค่า Xนอกจากน้ีขนาดของตวั อยา่ งยงั มีผลต่อช่วงความเชื่อมน่ั ของการประมาณค่าดว้ ย กล่าวคือถา้ ขนาดของตัวอย่างเล็ก จะใช้ช่วงของการประมาณค่าที่กว้าง แต่ถ้าขนาดของตัวอย่างใหญ่ข้ึนช่วงของการประมาณก็จะแคบลง ดังน้ันการใช้ขนาดของกลุ่มตัวอย่างท่ีเหมาะสมจะทาให้ความผิดพลาดซ่ึงเกิดจากความแตกต่างของค่า X กบั ค่า  หรือ X   มีค่าที่พอยอมรับได้ตามขอ้ จากดั พิจารณาช่วงความเชื่อมนั่ (1 )100% ของการประมาณค่า  โดยใชค้ ่า X ซ่ึงมีค่าเท่ากบัX  Z  ดงั น้นั ค่า X จะเป็ นจุดก่ึงกลางช่วงความเช่ือมนั่ ถ้า X เท่ากบั  แสดงว่า n 2การประมาณน้นั ไม่มีค่าผิดพลาด แต่เนื่องจากค่า X ไม่ไดเ้ ท่ากบั  เสมอไป ดงั น้นั ขนาดของค่าผิดพลาดจึงข้ึนอยู่กบั ความแตกต่างระหวา่ ง  กบั X ค่าผิดพลาดของการประมาณค่าจะมากท่ีสุดเม่ือ อยทู่ ่ีปลายสุดของช่วงการประมาณคา่ และถา้  อยใู่ นช่วงความเช่ือมนั่ (1 )100%คา่ ความผดิ พลาดของการประมาณคา่  จะนอ้ ยกวา่ Z  ดงั รูปท่ี 7.3 n 2

บทที่ 7 การประมาณคา่ พารามิเตอร์ 281 e = คา่ ผดิ พลาดX  Z  X  X  Z  n n 2 2 รูปที่ 7.3 แสดงคา่ ผดิ พลาดในการประมาณค่า  โดย X ขนาดของตวั อย่างท่ีเหมาะสมสาหรับการประมาณค่าเฉล่ียของประชากร หาได้จากทฤษฎีบทตอ่ ไปน้ีทฤษฎบี ท 7.3.1 ให้ X เป็ นตวั ประมาณคา่ ของ  ท่ีระดบั ความเช่ือมน่ั (1 )100% คา่ ผดิ พลาดจะมีขนาดนอ้ ยกวา่ คา่ e ท่ีกาหนด เม่ือขนาดของตวั อยา่ ง คือ  Z  2   เม่ือ e แทนขนาดของคา่ ผดิ พลาดระหวา่ ง และ n   2  X   e  พสิ ูจน์ จาก   X  Z  ให้ n นนั่ คือ 2 X   Z  n 2 e X  จะไดว้ า่ e  Z  n 2 Z n 2 e  Z   2  2  n     e   จะเห็นวา่ การกาหนดขนาดของตวั อยา่ งน้นั ข้ึนอยกู่ บั ช่วงความเช่ือมน่ั ของการประมาณค่า และคา่ ผดิ พลาด e ท่ียอมรับได้ แต่ท้งั น้ีจะตอ้ งทราบคา่ ความแปรปรวน 2 ถา้ ไม่ทราบค่า 2จะตอ้ งสุ่มตวั อยา่ งที่มีขนาดไม่ต่ากวา่ 30 แลว้ หาความแปรปรวน S2 ของตวั อย่าง แลว้ ใช้ S2เป็ นคา่ ประมาณของ 2

282 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้ตวั อย่าง 7.4 จากตวั อยา่ ง 7.1 ถา้ ตอ้ งการหาขนาดของตวั อยา่ งที่เหมาะสมในช่วงความเชื่อมน่ั 90%ในการประมาณค่า  ใหม้ ีความผดิ พลาดนอ้ ยกวา่ 20 ชวั่ โมง จะตอ้ งใชข้ นาดของตวั อยา่ งเทา่ ใดวธิ ีทา ทราบวา่   100 , e  20 ,   0.10 จะไดว้ า่ Z0.05 = 1.645  Z   2  2 จะได้ n     67.6506  68  e ดงั น้นั ควรใชข้ นาดตวั อยา่ ง 68 หลอดตัวอย่าง 7.5 จากตวั อยา่ ง 7.1 จงหาขนาดตวั อยา่ งท่ีเหมาะสมเมื่อกาหนด 1.   0.01 ,   100 , e  20 2.   0.10 ,   100 , e  10วธิ ีทา 1.   0.01 ,   100 , e  20  Z   2  2 จาก Z0.005 = 2.575 และ n     e  จะได้ n   2.575 100 2  20  = 165.77  166ดงั น้นั ควรใชข้ นาดตวั อยา่ ง 166 หลอด2.   0.10 ,   100 , e  10  Z  2จาก Z0.05 = 1.645 และ   n 2    e จะได้ n   1.645 100 2  10  = 270.60  271ดงั น้นั ควรใชข้ นาดตวั อยา่ ง 271 หลอด

บทที่ 7 การประมาณคา่ พารามิเตอร์ 283 จากตัวอย่าง 7.4 และ 7.5 จะเห็นได้ว่าขนาดตัวอย่างข้ึนอยู่กับระดับความเชื่อมั่นและค่าผิดพลาดที่ยอมรับได้ โดยท่ีถ้าต้องการประมาณค่าเฉลี่ยท่ีระดับความเช่ือมน่ั ที่สูงข้ึนตอ้ งใช้ขนาดตวั อย่างท่ีใหญ่ข้ึน และถ้าต้องการประมาณค่าเฉล่ียให้ค่าผิดพลาดน้อยลงขนาดตวั อยา่ งที่ใชต้ อ้ งใหญข่ ้ึนดว้ ย7.4 การประมาณค่าผลต่างของค่าเฉลยี่ ประชากร การประมาณค่าผลต่างของค่าเฉลี่ยประชากร 1 2 โดยใชก้ ารประมาณแบบจุด จะใช้ค่าของ X1  X2 เป็ นตวั ประมาณค่า เมื่อ X1 และ X2 เป็ นค่าเฉล่ียที่ไดจ้ ากตวั อย่างกลุ่มท่ี 1และกลุ่มท่ี 2 ซ่ึงสุ่มมาจากประชากร กลุ่มท่ี 1 และกลุ่มที่ 2 ซ่ึงมีค่าเฉล่ีย 1 และ 2 ดว้ ยขนาดn1 และ n2 ตามลาดบั ดงั น้นั สาหรับการประมาณค่าผลต่างของค่าเฉลี่ยประชากรแบบจุดน้นั จะไดว้ า่ n1 n2= =  1  2X1  X2 X1i X 2i i1  i1 n1 n2ส่วนการประมาณค่าผลต่างของค่าเฉล่ียประชากร 1 2 แบบช่วงน้นั จะตอ้ งสร้างช่วงของการประมาณที่คาดวา่ จะครอบคลุมผลต่างของค่าเฉลี่ย 1 2 แต่เนื่องจากประชากรมี 2 กลุ่มซ่ึงประชากร 2 กลุ่มอาจมีความเป็ นอิสระกนั เช่น ถา้ ตอ้ งการเปรียบเทียบผลการเรียนเฉล่ียของนกั ศึกษาสาขาวชิ าคณิตศาสตร์ และสาขาวิชาคณิตศาสตร์ศึกษาซ่ึงสาเร็จการศึกษาในปี การศึกษา2555 หรือตอ้ งการเปรียบเทียบอายุการใช้งานเฉลี่ยของหลอดไฟ 2 ย่ีห้อ จะเห็นว่าประชากร2 กลุ่มที่ใช้ในการเปรียบเทียบค่าเฉล่ียของประชากรมีลกั ษณะที่เป็ นอิสระต่อกนั แต่ถา้ ตอ้ งการเปรียบเทียบคะแนนเฉลี่ยก่อนและหลงั การเรียน แต่ละหน่วยตวั อยา่ งจะใหค้ ่าขอ้ มูลคะแนนก่อนและหลงั การเรียน หรือหากตอ้ งการประมาณค่าผลต่างของคะแนนเฉล่ียท่ีไดจ้ ากการใชน้ วตั กรรมการสอน 2 แบบ โดยทดลองใชก้ บั กลุ่มตวั อยา่ ง 2 กลุ่ม จาเป็ นท่ีกลุ่มตวั อย่างท้งั 2 กลุ่มน้ีตอ้ งมีลกั ษณะท่ีไมแ่ ตกต่างกนั เพ่อื ใหค้ า่ คะแนนท่ีวดั ไดจ้ ากการทดลองเป็นคา่ ที่เกิดจากการใชน้ วตั กรรมท้งั 2 แบบ เป็ นตน้ ลกั ษณะของประชากร 2 กลุ่มท่ีมีลกั ษณะคลา้ ยหรือไม่แตกต่างกนั น้ีเรียกวา่ประชากร 2 กลุ่มที่ไม่อิสระกนั ดงั น้ันจะสร้างช่วงความเชื่อมนั่ ของการประมาณค่า 1 2ในกรณีท่ีประชากร 2 กลุ่มเป็นอิสระกนั หรือกรณีท่ีประชากร 2 กลุ่มไม่อิสระกนั ไดด้ งั ตอ่ ไปน้ี 7.4.1 การประมาณค่าผลต่างของค่าเฉลย่ี ประชากร 2 กล่มุ ทอี่ สิ ระกนั การประมาณค่าผลต่างของค่าเฉลี่ยประชากร 1 2 แบบช่วงโดยการสุ่มตวั อยา่ งจากประชากร 2 กลุ่มท่ีอิสระกัน ช่วงของการประมาณค่าท่ีได้จะข้ึนอยู่กับขนาดของ n1 , n2

284 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ความแปรปรวน 12 , 22 และระดบั ความเชื่อมน่ั (1 )100% ของการประมาณ โดยสามารถแบ่งวธิ ีสร้างความเชื่อมนั่ ของการประมาณค่า 1 2 เม่ือประชากร 2 กลุ่มอิสระกนั ได้ 2 กรณี คือ กรณที ่ี 1 ประชากร 2 กลุ่มมีการแจกแจงปกติ และทราบคา่ 12 , 22 หรือไม่ทราบวา่ ประชากรท้งั 2 กลุ่มมีการการแจกแจงแบบปกติหรือไม่ และไมท่ ราบคา่ 12 , 22 แตส่ ุ่มตวั อยา่ ง n1  30 , n2  30 จะใช้ S12 แทน 12 และใช้ S22 แทน 22 กรณที ่ี 2 ประชากร 2 กลุ่มมีการแจกแจงปกติและไม่ทราบค่า 12 , 22 แต่สุ่มตวั อยา่ ง n1  30 , n2  30 จะใชก้ ารแจกแจงแบบ t แบ่งไดอ้ ีก 2 แบบ คือ 1. ไม่ทราบค่า 12 และ 22 แตท่ ราบวา่ =12 22 2. ไม่ทราบค่า 12 และ 22 แต่ทราบวา่ 12  22ทฤษฎบี ท 7.4.1 สุ่มตวั อยา่ งขนาด n1 และ n2 จากประชากร 2 กลุ่มท่ีอิสระกนั และมีการแจกแจง แบบปกติ มีค่าเฉลี่ย 1 และ 2 มีความแปรปรวน 12 และ 22 ตามลาดบั ถา้ ทราบคา่ 12 และ 22 แลว้ ช่วงความเช่ือมน่ั ของการประมาณคา่ 1  2 ท่ีระดบั ความเช่ือมน่ั (1 )100% คือ =1  2 (X1  X2 )  Z 12  22 n1 n2 2เมื่อ Z คือคา่ ของตวั แปรสุ่มแบบปกติมาตรฐานท่ีมีพ้ืนที่ปลาย 2 ขา้ งเป็น  2 2พสิ ูจน์ สุ่มตวั อยา่ งขนาด n1 , n2 จากประชากร 2 กลุ่มที่มีการแจกแจงแบบปกติและเป็นอิสระกนัจะไดว้ า่ X1  X2 เป็ นตวั แปรสุ่มท่ีมีการแจกแจงแบบปกติ มีค่าเฉลี่ย (X1X2)  1  2เป็นการกระจายต่อเนื่องเป็ นช่วง (2X1 X2 )  12  22 แลว้ Z  ( X1  X 2 )  (1  2 ) n1 n2 12  22 n1 n2จะมีการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานมีค่าเฉลี่ยเทา่ กบั 0 และมีความแปรปรวนเท่ากบั 1จาก P(Z  Z  Z ) = 1 22P(Z   (X1  X 2 )  (1  2)  Z) = 1 12  22 2 2 n1 n2

บทที่ 7 การประมาณค่าพารามิเตอร์ 285P(Z  12  22  ( X1  X 2 )  (1  2 )  Z  12  22 ) = 1 n1 n2 n1 n2 2 2  =  12  22 12  22 P  ( X1 X 2 )  Z  n1 n2  1  2  ( X1  X 2 )  Z   1  2 n1 n2  2ดงั น้นั ช่วงความเช่ือมนั่ (1 )100% ของการประมาณคา่ 1  2 คือ =1  2 (X1  X2 )  Z 12  22 n1 n2 2 จากทฤษฎีบท 7.4.1 ในกรณีที่ตอ้ งการประมาณค่า 1 2 โดยท่ีไม่ทราบวา่ ประชากร2 กลุ่มมีการแจกแจงแบบปกติหรือไม่ และไม่ทราบความแปรปรวน 12 , 22 แต่ขนาดของตัวอย่างมีขนาดใหญ่พอหรื อ n1 , n2  30 โดยทฤษฎีลิมิตสู่ส่วนกลางจะได้ว่า X1  X2 มีการแจกแจงใกลเ้ คียงการแจกแจงปกติ อนุโลมใช้ S12 และ S22 ประมาณค่า 12 , 22 ดงั น้ันช่วงความเช่ือมนั่ (1 )100% ของการประมาณค่า 1  2 คือ =1  2 (X1  X2 )  Z S12  S22 n1 n2 2ตัวอย่าง 7.6 จากการสุ่มสารวจค่าใชจ้ ่ายต่อเดือนของนกั ศึกษามหาวิทยาลยั ราชภฏั ลาปาง และมหาวิทยาลยั ราชภฏั เชียงใหม่ โดยสุ่มตวั อย่างขนาด 240 และ 160 คน ตามลาดบั ผลการสารวจปรากฏว่า นักศึกษามหาวิทยาลัยราชภฏั ลาปางและมหาวิทยาลยั ราชภฏั เชียงใหม่ มีค่าใช้จ่ายต่อเดือนเป็ น 5,000 และ 6,100 บาท มีค่าส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของค่าใชจ้ ่ายเป็ น 400 และ 900บาทตามลาดบั จงหาช่วงความเช่ือมน่ั 95% ของผลต่างของค่าใช้จ่ายเฉลี่ยต่อเดือนของนกั ศึกษามหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ลาปางและมหาวทิ ยาลยั ราชภฏั เชียงใหม่วธิ ีทา กาหนดให้ 1 แทนคา่ ใชจ้ ่ายเฉลี่ยต่อเดือนของนกั ศึกษามหาวทิ ยาลยั ราชภฏั เชียงใหม่ 2 แทนค่าใชจ้ ่ายเฉล่ียตอ่ เดือนของนกั ศึกษามหาวทิ ยาลยั ราชภฏั ลาปาง จากกาหนดใหจ้ ะไดว้ า่ n1 = 160 , X1 = 6,100 , S1 = 900 n2 = 240 , X2 = 5,000 , S2 = 900 ,  = 0.05 และไมท่ ราบค่า 12 และ 22 แต่ n1 , n2  30 ดงั น้นั จะใช้ S12 และ S22 แทน 12 และ 22 จะได้ Z  Z0.025 = 1.96 2 ดงั น้นั ช่วงความเชื่อมน่ั 95% ของการประมาณค่า 1 2 คือ

286 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้ =1  2 (X1  X2 )  Z S12  S22 n1 n2 2 = (6,100  5,000) 1.96 9002  4002 160 240 = 1,100  1.96 2, 430,000  320,000 480 = 1,100 1.96(75.691) = 1,100 148.36 = (951.64 , 1,248.36)ดงั น้นั ช่วงความเชื่อมัน่ 95% ของผลต่างของค่าใช้จ่ายเฉลี่ยต่อเดือนของนักศึกษาม ห า ว ิท ย า ล ยั ร า ช ภ ฏั เ ชีย ง ใ ห ม่แ ล ะ ม ห า ว ิท ย า ล ยั ร า ช ภ ฏั ลา ป า ง คือ 951.64 บ า ทถึง 1,248.36 บาททฤษฎบี ท 7.4.2 สุ่มตวั อยา่ งขนาด n1 , n2 < 30 จากประชากร 2 กลุ่มที่อิสระกนั มีการแจกแจงแบบปกติ และไมท่ ราบความแปรปรวน 12 , 22 แต่ทราบวา่ 12 = 22 ช่วงความเช่ือมนั่ (1 )100% ของการประมาณ คา่ 1  2 คือ =1  2 ( X1  X 2 )  t  , S p 11 2 n1 n2   เมื่อ S 2  (n1 1)S12  (n2 1)S22 p n1  n2  2 เรียก S 2 วา่ ความแปรปรวนร่วม (pooled variance) p t  ,  เป็นคา่ ของตวั แปรสุ่ม T ท่ีองศาเสรี   n1  n2  2 2  พสิ ูจน์ เน่ืองจากสุ่มตวั อยา่ งขนาดเล็กจากประชากร 2 กลุ่มท่ีมีการแจกแจงแบบปกติและไม่ทราบค่า 12 , 22 จะไดว้ า่ (X1  X2) มีการแจกแจงแบบที มีค่าเฉล่ีย (X1X2)  1  2มีความแปรปรวน (2X1 X2 )  S 2  1  1  มีองศาเสรี   n1  n2  2 โดย p  n1 n2   T  ( X1  X 2 )  (1  2 ) 11 Sp n1 n2

บทท่ี 7 การประมาณคา่ พารามิเตอร์ 287ความน่าจะเป็ นที่คา่ T จะตกอยใู่ นช่วง t ถึง t เทา่ กบั 1  22จะไดว้ า่ P(t  T  t ) = 1 22 P(t  ( X1  X 2 )  (1  2 )  t ) = 1 2 Sp 11 2 n1 n2P(t S p 1  1  ( X1  X 2 )  (1  2 )  t S p 1 1) = 1 n1 n2 n1 n2 2 2  1 1 1 1  = 1    n1  n2  1  2  (X1  X2 )  t S p n1  n2 P  ( X1 X 2 ) t S p  2 2ดงั น้นั ช่วงความเช่ือมนั่ (1 )100% ของการประมาณค่า 1  2 คือ =1  2 ( X1  X 2 )  t   S p 11 2  n1 n2  ,ตัวอย่าง 7.7 สุ่มตวั อยา่ งนกั ศึกษาวิชาเอกสถิติ จานวน 25 คน และนกั ศึกษาวิชาเอกคณิตศาสตร์จานวน 22 คน มาทากิจกรรมวดั ความสามารถทว่ั ไปชุดหน่ึงพบวา่ นกั ศึกษาวิชาเอกสถิติ มีคะแนนเฉล่ีย 79 คะแนน มีส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 15 คะแนน ส่วนนักศึกษาวิชาเอกคณิตศาสตร์มีคะแนนเฉล่ีย 64 คะแนน มีส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 9 คะแนน จงประมาณช่วงผลต่างของคะแนนเฉล่ียของนกั ศึกษาท้งั 2 กลุ่มน้ี ท่ีช่วงความเชื่อมนั่ 96% ถา้ ทราบวา่ ความแปรปรวนของประชากรท้งั 2 กลุ่มน้ีเทา่ กนัวธิ ีทา กาหนดให้ 1 แทนคะแนนเฉลี่ยของนกั ศึกษาวชิ าเอกสถิติ 2 แทนคะแนนเฉล่ียของนกั ศึกษาวชิ าเอกคณิตศาสตร์ จากกาหนดให้ n1 = 25 , X1 = 79 , S1 = 15 n2 = 22 , X2 = 64 , S2 = 9 และ  = 0.04 เน่ืองจากไม่ทราบค่าความแปรปรวน 12 , 22 แต่ทราบวา่ 12 = 22 และ n1 , n2  30 จึงตอ้ งหาความแปรปรวนร่วมจาก S 2  (n1 1)S12  (n2 1)S22 p n1  n2  2  (24)(15)2  (21)(9)2 45  5, 400 1,701 45 = 157.8

288 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้จะได้ Sp 12.56หาคา่ ทีจากตารางแจกแจงความน่าจะเป็ นแบบที ที่   n1  n2  2 = 45แต่เน่ืองจากคา่ ท่ีเปิ ดจากตารางที ท่ี   45ไม่มี จึงเปิ ดท่ีค่าใกลเ้ คียงที่   60และ   40แลว้ ใชว้ ธิ ีการเทียบค่าที่เปิ ดไดแ้ ทน ดงั น้นั จะได้ t(0.025,45) = 2.01575ช่วงความเชื่อมน่ั 96% ของการประมาณค่า 1 2 คือ=1  2 ( X1  X2 )  t  S p 11 2 n1 n2  ,  = (79  64)  2.01575(12.56) 1  1 25 22 = 15  7.40 = (7.60 , 22.40) ดงั น้นั ท่ีช่วงความเช่ือมน่ั 96% ผลต่างของคะแนนเฉลี่ยของนกั ศึกษาท้งั 2 กลุ่มอยใู่ นช่วง 7.60 คะแนน ถึง 22.40 คะแนนทฤษฎบี ท 7.4.3 สุ่มตวั อยา่ งขนาด n1 , n2 < 30 จากประชากร 2 กลุ่มท่ีอิสระกนั และมีการแจกแจงแบบปกติ โดยไมท่ ราบค่าความแปรปรวน 12 , 22 แต่ทราบวา่ 12  22 ช่วงความเช่ือมน่ั (1 )100% ของการประมาณคา่ 1  2 คือ =1  2 ( X1  X 2 )  t   S12  S22 2  n1 n2  ,  S12  S22 2  โดยท่ี  n1 n2    2 2  S12   S22     n1    n2  n1 1 n2 1พสิ ูจน์ การพิสูจน์ทานองเดียวกบั การพิสูจนท์ ฤษฎีบท 7.4.2 แตก่ าหนดค่า ให้ T  ( X1  X 2 )  (1  2 ) S12  S22 n1 n2

บทที่ 7 การประมาณค่าพารามิเตอร์ 289ตวั อย่าง 7.8 ในการทดลองสอนโดยวธิ ีการสอน 2 แบบกบั นกั ศึกษา 2 กลุ่มเรียน ปรากฏผล ดงั น้ีวธิ ีสอน จานวนกลุ่มตวั อยา่ ง คะแนนเฉลี่ย ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานแบบกรณีศึกษา 20 76.90 4.85แบบบรรยาย 20 72.70 6.35ถา้ ประชากรสองกลุ่มมีการแจกแจงปกติและมีความแปรปรวนตา่ งกนั จงหาช่วงความแตกต่างของคะแนนเฉลี่ยจากการสอนท้งั 2 วธิ ี ท่ีระดบั ความเชื่อมน่ั 99%วธิ ีทา ให้ 1 , 2 แทนคะแนนเฉลี่ยจากการสอนแบบกรณีศึกษาและคะแนนเฉล่ียจากการสอนแบบบรรยาย ตามลาดบัเนื่องจาก n1 , n2 < 30 และโดยไมท่ ราบค่า 12 , 22 แต่ทราบวา่ 12  22จากโจทย์ n1 = 20 , X1 = 76.90 , S1 = 4.85 n2 = 20 , X2 = 72.70 , S2 = 6.35 และ  = 0.01หาค่าองศาเสรีจาก  S12  S22 2   4.852  6.352 2      20 20     n1 n2   35 2 2 2 2  S12   S22    4.852   6.352        n1    n2   20    20  n1 1 n2 1 19 19ท่ี   35 จะไดว้ า่ t(0.005,35)  2.727ดงั น้นั ช่วงความเช่ือมน่ั 99% ของการประมาณค่า 1 2 คือ=1  2 ( X1  X2 )  t   S12  S22 2  n1 n2  , = (76.90  72.70)  2.727 4.852  6.352 20 20 = 4.2  4.872 = (– 0.672 , 9.072) ดงั น้นั ช่วงความแตกต่างของคะแนนเฉลี่ยจากการสอนท้งั 2 วธิ ี ที่ระดบั ความเช่ือมน่ั99% อยใู่ นช่วง – 0.672 คะแนน ถึง 9.072 คะแนน

290 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้ตัวอย่าง 7.9 ผจู้ ดั การหา้ งสรรพสินคา้ แห่งหน่ึงตอ้ งการเปรียบเทียบรายไดเ้ ฉล่ียต่อวนั จากการขายสินคา้ ของหา้ งจาก 2 สาขา จึงสุ่มรายไดจ้ ากการขายสินคา้ ของ 2 สาขา ไดข้ อ้ มลู ดงั น้ีสาขา จานวนวนั ท่ีสุ่ม รายไดเ้ ฉล่ียตอ่ วนั ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานสาขา 1 15 2,576 675สาขา 2 17 2,481 588 ถ้าทราบว่าการแจกแจงของรายได้จากการขายสินคา้ ของท้งั 2 สาขาเป็ นแบบปกติมีความแปรปรวนต่างกนั จงประมาณค่าความแตกต่างของรายไดเ้ ฉลี่ยจากการขายต่อวนั ของร้านท้งั 2 สาขา ท่ีช่วงความเช่ือมน่ั 90%วธิ ีทา ให้ 1 , 2 แทนรายไดเ้ ฉลี่ยจากการสินคา้ ของสาขา 1 และ สาขา 2 ตามลาดบั เน่ืองจาก n1 , n2 < 30 และโดยไม่ทราบค่า 12 , 22 แต่ทราบวา่ 12  22 จากกาหนดให้ n1 = 15 , X1 = 2,576 , S1 = 675 n2 = 17 , X2 = 2,481 , S2 = 588 และ  = 0.10 หาคา่ องศาเสรีจาก  S12  S22 2   6752  5882 2       15 17     n1 n2   28 2 2 2 2  S12   S22    6752   5882          n1    n2   15    17  n1 1 n2 1 15 1 17 1จะไดว้ า่ =t t(0.05,28) = 1.701 ( 2 ,)ดงั น้นั ช่วงความเชื่อมน่ั 90% ของความแตกตา่ งของการประมาณค่า 1 2 คือ =1  2 ( X1  X 2 )  t   S12  S22 2  n1 n2  , = (2,576  2, 481) 1.701 6752  5882 15 17 = 95  383.06 = ( – 288.06 , 478.06) ดงั น้นั ช่วงความเช่ือมนั่ 90% ของความแตกตา่ งของรายไดเ้ ฉลี่ยต่อวนั จากการขายสินคา้ของสาขาที่ 1 และสาขาที่ 2 อยใู่ นช่วง – 288.06 บาท ถึง 478.06 บาท

บทที่ 7 การประมาณค่าพารามิเตอร์ 291ตัวอย่าง 7.10 จากขอ้ มูล 7 ปี ท่ีผา่ นมา พบว่าจงั หวดั เชียงรายมีผลผลิตลิ้นจ่ีเฉลี่ยปี ละ 1,500 ตนัส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 120 ตนั ส่วนจงั หวดั สมุทรสาครมีผลผลิตลิ้นจี่เฉล่ียปี ละ 1,280 ตนัมีส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 130 ตนั จงหาช่วงความเช่ือมนั่ 99% ของความแตกต่างของผลผลิตลิ้นจี่เฉล่ียของจังหวัดเชียงรายและจังหวัดสมุทรสาคร สมมติว่าข้อมูลน้ีมาจากประชากรท่ีมีการแจกแจงแบบปกติมีคา่ ความแปรปรวนแตกตา่ งกนัวธิ ีทา ให้ 1 , 2 เป็ นผลผลิตลิ้นจ่ีของจงั หวดั เชียงรายและสมุทรสาคร ตามลาดบั เน่ืองจากประชากรมีการแจกแจงแบบปกติ ไมท่ ราบค่า 12 , 22 แตท่ ราบวา่ 12  22 และ n1 , n2 < 30 จากกาหนดให้ n1 = 7 , X1 = 1,500 , S1 = 120 , n2 = 7 , X2 = 1,280 , S2 = 130 ,  = 0.01 หาคา่ องศาเสรีจาก  S12  S22 2  120 2  1302 2       7 7     n1 n2   12 2 2 2 2  S12   S22   1202   1302          n1    n2   7    7  n1 1 n2 1 66จะไดว้ า่ = = 3.055t (  ,) t(0.005,12) 2ดงั น้นั ช่วงความเช่ือมนั่ 99% ของการประมาณค่า 1 2 คือ =1  2 ( X1  X2 )  t   S12  S22 2  n1 n2  , = (1,500 1, 280)  3.055 1202  1302 77 = 220  3.055(66.869) = 220  204.28 = ( 15.72 , 424.28)ดงั น้นั ช่วงความเชื่อมนั่ 99% ของความแตกต่างของค่าเฉล่ียของผลิตลิ้นจี่ของจงั หวดัเชียงรายและจงั หวดั สมุทรสาคร อยใู่ นช่วง 15.72 ตนั ถึง 424.28 ตนั

292 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้7.4.2 การประมาณค่าผลต่างของค่าเฉลยี่ ประชากร 2 กล่มุ ทไ่ี ม่อสิ ระกนัในการประมาณค่าผลต่างของคะแนนเฉลี่ยก่อนการเรี ยนและหลังการเรี ยนน้ันเพ่ือกาจัดอิทธิ พลอื่นท่ีอาจมีผลต่อคะแนนท่ีวัดได้ จึงควรใช้หน่วยตัวอย่างเดียวกันคือแต่ละหน่วยตัวอย่างวดั ค่าคะแนนก่อนเรียนและหลังเรียน ส่วนการประมาณค่าผลต่างของคะแนนเฉล่ียจากการใช้นวตั กรรม 2 แบบ หน่วยตวั อย่างท่ีใช้ควรมีลักษณะที่คล้ายกันมากท่ีสุด เช่น ใช้นักเรียน 2 กลุ่มท่ีอยู่ในระดบั ช้ันเดียวกนั และมีเกรดเฉลี่ยหรือความสามารถพอๆ กนั จานวนเท่ากนั โดยหน่วยตวั อยา่ งท้งั 2 กลุ่มจะจบั กนั เป็ นคู่ ๆ ในแต่ละคู่ตอ้ งมีลกั ษณะที่คลา้ ยกนั (ต่างคู่อาจแตกต่างกนั ได)้ การประมาณค่าผลต่างของค่าเฉลี่ยประชากรในลกั ษณะน้ีเรียกว่า การประมาณค่าผลต่างของค่าเฉล่ียประชากร 2 กลุ่ม ท่ีไม่อิสระกนั หรือการประมาณค่าผลตา่ งของคา่ เฉลี่ยแบบจบั คู่ถา้ กาหนดให้ n แทนจานวนคูข่ องตวั อยา่ งที่สุ่ม n  diผลต่างของตวั อยา่ งคู่ท่ี i หรือ di  X1i  X2i จะได้ d  i1 nความแปรปรวนคือ โดยท่ี  Sd2 n di2  n di 2 n(n  i1  Sd2  n  1) i1โดยที่ d  d มีการแจกแจงโดยประมาณแบบที ท่ีองศาเสรี n  1 Sdnดงั น้นั ช่วงความเช่ือมน่ั (1 )100% ของการประมาณค่า d คือ d d  t  ,n1) Sd n ( 2ตัวอย่าง 7.11 ถา้ ตอ้ งการประมาณค่าช่วงความต่างของคะแนนเฉลี่ยก่อนเรียนและหลงั เรียนของนกั ศึกษากลุ่มเรียนหน่ึง โดยผลคะแนนเป็นดงั น้ีนักศึกษาคนท่ี 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10คะแนนก่อนเรียน 12 15 10 15 11 13 12 10 8 14คะแนนหลงั เรียน 18 19 16 15 10 18 14 15 12 19 จงสร้างช่วงความเช่ือมน่ั 99% ของผลต่างเฉล่ียของคะแนนก่อนเรียนและหลงั เรียนของนกั ศึกษากลุ่มน้ี

บทที่ 7 การประมาณคา่ พารามิเตอร์ 293วธิ ีทา ให้ di = คะแนนหลงั เรียน – คะแนนก่อนเรียน di2 จากขอ้ มูลสามารถหาคา่ di และ di2 ไดด้ งั ตาราง 36นักศึกษาคนท่ี คะแนนก่อนเรียน คะแนนหลังเรียน ผลต่าง ( di ) 16 1 12 18 6 36 2 15 19 4 0 3 10 16 6 1 4 15 15 0 25 5 11 10 –1 4 256 13 18 5 167 12 14 2 25 1848 10 15 59 8 12 410 14 19 5 รวม 36จะไดว้ า่ n = di d i1 n = 36 10 = 3.6และความแปรปรวน ( Sd2 )   n di2  n di 2   i1  n i1 n(n 1)  10(184)  362 10(10 1)  1,840 1, 296 10(9)  544 90 = 6.044  Sd = 2.46และ = = 3.25t (  ,) t(0.005,9) 2ดงั น้นั ช่วงความเช่ือมน่ั 99% ของการประมาณค่า d คือ

294 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้d d  t  ,n1) Sd n ( 2  3.6  (3.25) 2.46 10  3.6  2.528 = (1.072 , 6.128) ดังน้ัน ช่วงความเช่ือม่ัน 99% ของความแตกต่างของค่าเฉลี่ยก่อนเรียนและหลงั เรียนของนกั ศึกษากลุ่มน้ี อยใู่ นช่วง 1.072 คะแนน ถึง 6.128 คะแนน7.5 การประมาณค่าสัดส่วนประชากร ถ้าแบ่งประชากรออกเป็ น 2 ส่วน คือส่วนท่ีมีลกั ษณะท่ีสนใจกับส่วนท่ีไม่มีลักษณะท่ีสนใจน้นั ถา้ ให้ p แทนสัดส่วนของประชากรท่ีมีลกั ษณะที่สนใจจะไดว้ า่ p X N เม่ือ X แทนจานวนของประชากรท่ีมีลกั ษณะที่สนใจ N แทนขนาดประชากร แต่เนื่องจากบางคร้ังไมส่ ามารถหาสัดส่วนประชากร p ได้ จึงตอ้ งใชส้ ัดส่วนของตวั อยา่ งpˆ เป็ นตวั ประมาณคา่ p โดย pˆ  X n เมื่อ X แทนจานวนตวั อยา่ งที่มีลกั ษณะท่ีสนใจ n แทนขนาดตวั อยา่ งที่สุ่ม ดัง น้ัน ค่ า ส ถิ ติ pˆ จึ ง เ ป็ น ตัว ป ร ะ ม า ณ ค่ า แ บ บ จุ ด ข อง p นั่น คื อ p  pˆ  X nแต่การประมาณค่า p ด้วย pˆ ซ่ึงเป็ นการประมาณค่าแบบจุด ทาให้โอกาสท่ีจะเกิดความผดิ พลาดในการประมาณมีค่าสูง จึงไม่นิยมใช้ตัวอย่าง 7.12 บริษทั ขายผงซักฟอกยี่ห้อเอ ทาการสุ่มสารวจครัวเรือนในเขตอาเภอเมืองจงั หวดั ลาปาง จานวน 200 ครัวเรือน พบวา่ มีอยู่ 80 ครัวเรือนที่ใชผ้ งซกั ฟอกยี่ห้อเอ นอกน้นั ใช้ผงซกั ฟอกยี่ห้ออื่น จงหาสัดส่วนของครัวเรือนในเขตอาเภอเมือง จงั หวดั ลาปางท่ีใช้ผงซักฟอกยหี่ อ้ เอ โดยใชก้ ารประมาณแบบจุดวธิ ีทา ให้ p เป็นสดั ส่วนครัวเรือนในเขตอาเภอเมือง จงั หวดั ลาปาง ท่ีใชผ้ งซกั ฟอกยห่ี อ้ เอ

บทท่ี 7 การประมาณค่าพารามิเตอร์ 295และ pˆ เป็นสัดส่วนตวั อยา่ งครัวเรือนในเขตอาเภอเมือง จงั หวดั ลาปาง ที่ใชผ้ งซกั ฟอกยห่ี อ้ เอเนื่องจาก pˆ เป็นตวั ประมาณค่าแบบจุดของ pและ pˆ  X  80  0.40 n 200 ดงั น้ันสัดส่วนของครัวเรือนในเขตอาเภอเมือง จงั หวดั ลาปางที่ใช้ผงซักฟอกยห่ี อ้ เอ คือ 0.4 หรือคิดเป็น 40% สาหรับการประมาณค่าสัดส่วนของประชากรแบบช่วงน้ัน ตอ้ งใช้ตวั อย่างขนาดใหญ่เนื่องจากค่าตวั แปรสุ่ม X ซ่ึงแทนลกั ษณะของตวั อยา่ งที่สนใจน้ันมีการแจกแจงแบบทวินามดังน้ันเมื่อ pˆ  X ตวั แปรสุ่ม pˆ จะมีการแจกแจงใกล้เคียงการแจกแจงแบบปกติ ก็ต่อเม่ือ nขนาดตวั อยา่ ง n มีขนาดใหญ่ทฤษฎบี ท 7.5.1 สุ่มตวั อยา่ งขนาด n จากประชากรใดๆ ถา้ pˆ เป็นสัดส่วนตวั อยา่ งท่ีมีลกั ษณะ ท่ีสนใจ เม่ือ n  30 หรือ np , nq  5 แลว้ pˆ จะมีการแจกแจงใกลเ้ คียง การแจกแจงปกติโดยมีค่าเฉลี่ย  pˆ  p ความแปรปรวน 2pˆ  pq n ช่วงความเชื่อมนั่ (1 )100% ของการประมาณคา่ สดั ส่วนประชากร p คือ p  pˆ  Z  pˆ qˆ n 2 เม่ือ pˆ เป็ นสดั ส่วนของตวั อยา่ งและ qˆ 1 pˆ Z เป็นคา่ ตวั แปรสุ่มท่ีมีพ้ืนที่ 2 ปลาย คือ  ซ่ึงเปิ ดจาก 2 2 ตารางพ้นื ที่ใตโ้ คง้ ปกติ Zพสิ ูจน์ จากทฤษฎีลิมิตสู่ส่วนกลาง ถา้ n  30 หรือ np 5 หรือ nq  5 แลว้ pˆ จะเป็ นตวั แปรสุ่มท่ีมีการแจกแจงใกล้เคียงแบบปกติ โดยมีค่าเฉลี่ย pˆ  p และความแปรปรวน2pˆ  pq จะไดว้ า่ Z  pˆ  p มีการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน n pq nท่ีช่วงความเช่ือมน่ั (1 )100% ของการประมาณค่า p จะไดว้ า่

296 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ P(Z  Z  Z ) = 1 = 1 22 P(Z   pˆ  p  Z ) pq 2 2 n P(Z  pq  pˆ  p  Z pq ) = 1 n n 22 P( pˆ  Z pq  p  pˆ  Z pq ) = 1 n n 22 ดงั น้นั p  pˆ  Z pq n 2 แตเ่ นื่องจากไมท่ ราบค่า p จึงทาใหไ้ มท่ ราบคา่ pq ดว้ ย จึงใช้ pˆqˆ แทน nnดงั น้นั ช่วงความเช่ือมน่ั (1 )100% ของการประมาณคา่ p คือ p  pˆ  Z  pˆ qˆ n 2ตัวอย่าง 7.13 บริษทั ผลิตรถยนตย์ ีห่ ้อ A สุ่มสารวจรถยนตท์ ี่จอด ณ ลานจอดรถห้างสรรพสินคา้พบว่าจากจานวนรถท่ีจอดท้งั หมด 185 คนั มีรถที่บริษทั ผลิตอยู่ 43 คนั จงประมาณสัดส่วนประชากรของผทู้ ี่ใชร้ ถที่บริษทั A ท่ีช่วงความเชื่อมนั่ 95%วธิ ีทา ให้ p แทนสดั ส่วนของผใู้ ชร้ ถยนตย์ ห่ี อ้ A จากกาหนดให้ n = 189 , X = 43 ,  = 0.05จะไดว้ า่ pˆ  X  43  0.23 n 185 qˆ 1 pˆ = 1 – 0.23 = 0.77 npˆ = 185(0.23) = 42.55 nqˆ = 185(0.77) = 142.55นน่ั คือเม่ือ np 5 , nq  5 แลว้ pˆ จะเป็ นตวั แปรสุ่มท่ีมีการแจกแจงใกลเ้ คียงแบบปกติและ Z  = Z0.025 = 1.96 2ดงั น้นั ช่วงความเชื่อมนั่ 95% ของการประมาณคา่ สัดส่วนของประชากร คือ p  pˆ  Z  pˆ qˆ n 2  0.23 1.96 (0.23)(0.77) 185

บทที่ 7 การประมาณค่าพารามิเตอร์ 297 p  0.23  0.061 = (0.169 , 0.291) ดงั น้นั ช่วงความเช่ือมนั่ 95% ของการประมาณคา่ สดั ส่วนของผทู้ ี่ใชร้ ถยห่ี ้อ A คือ0.169 ถึง 0.291 หรือ 16.9% ถึง 29.1%7.6 การหาขนาดตวั อย่างทเ่ี หมาะสมสาหรับการประมาณค่าสัดส่วน เช่นเดียวกบั การกาหนดขนาดของตวั อยา่ งเพ่ือประมาณค่าเฉลี่ย คือถา้ ขนาดของตวั อย่างนอ้ ยเกินไป ค่าผิดพลาดของการประมาณค่าสัดส่วนจะสูง แต่ถา้ ขนาดของตวั อยา่ งใหญ่เกินไปก็เป็ นการสิ้นเปลืองท้ังเวลาและค่าใช้จ่าย จึงต้องมีการหาขนาดที่เหมาะสมของตัวอย่างสาหรับการประมาณค่าสดั ส่วนโดยท่ีมีค่าผดิ พลาดและความเชื่อมน่ั ท่ียอมรับไดต้ ามขอ้ จากดัทฤษฎบี ท 7.6.1 ให้ pˆ เป็ นตวั ประมาณคา่ ของ p ที่ระดบั ความเชื่อมนั่ (1 )100% คา่ ผดิ พลาดจะมีขนาดนอ้ ยกวา่ ค่าท่ีกาหนด (e) เม่ือขนาดของตวั อยา่ ง คือ n  (Z  )2 pˆqˆ 2 e2พสิ ูจน์ จาก p  pˆ  Z pˆqˆ ใหค้ ่าผดิ พลาด e คือผลต่างระหวา่ ง p และ pˆ หรือ p  pˆ  e 2 nจะไดว้ า่ p  pˆ  e  Z pˆ qˆ n 2 e2  (Z )2 pˆ qˆ n 2ดงั น้นั (Z  )2 pˆqˆ n 2 e2ตวั อย่าง 7.14 จากตวั อยา่ ง 7.13 หากตอ้ งการช่วงความเชื่อมนั่ 90% ของการประมาณคา่ pโดยใหม้ ีค่าผดิ พลาดนอ้ ยกวา่ 0.01 จะตอ้ งใชก้ ลุ่มตวั อยา่ งขนาดเท่าใดวธิ ีทา ให้ p แทนสัดส่วนของผใู้ ชร้ ถยนตย์ ห่ี อ้ A จากตวั อยา่ ง 7.13 pˆ  0.23 , qˆ = 0.77 ถา้ ตอ้ งการประมาณค่าสัดส่วนของผใู้ ชร้ ถยหี่ อ้ ง A ที่ช่วงความเชื่อมน่ั 90% และใหค้ า่ ผดิ พลาดนอ้ ยกวา่ 0.01 จะไดว้ า่ e = 0.01

298 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้และ Z = =Z0.05 1.645 2ดงั น้นั หาขนาดตวั อยา่ งที่เหมาะสมไดจ้ าก (Z  )2 pˆqˆn 2 e2 (1.645)2 (0.23)(0.77) (0.01)2= 4,792.37  4,793นน่ั คือควรสุ่มตวั อยา่ งรถยนตจ์ านวน 4,739 คนัตวั อย่าง 7.15 จากตวั อยา่ ง 7.13 ถา้ ตอ้ งการหาขนาดของ n เมื่อช่วงความเชื่อมน่ั 90%ใหค้ ่าผดิ พลาด e นอ้ ยกวา่ 0.05วธิ ีทา ถา้ ตอ้ งการประมาณคา่ สัดส่วนของผใู้ ชร้ ถยหี่ อ้ ง A ท่ีช่วงความเช่ือมนั่ 90%และใหค้ า่ ผดิ พลาด e นอ้ ยกวา่ 0.05 จะไดว้ า่ e = 0.05จากตวั อยา่ ง 7.13 pˆ  0.23 , qˆ = 0.77 และ Z = Z0.05 = 1.645 2ดงั น้นั หาขนาดตวั อยา่ งท่ีเหมาะสมไดจ้ าก (Z  )2 pˆqˆn 2 e2 (1.645)2 (0.23)(0.77) (0.05)2= 191.69  192นนั่ คือควรสุ่มตวั อยา่ งรถยนตจ์ านวน 192 คนั จากตวั อยา่ ง 7.14 และ 7.15 พบวา่ ขนาดของ n จะแปรผนั ตรงกบั ระดบั ความเช่ือมนั่และแปรผกผนั กบั คา่ ผดิ พลาด e7.7 การประมาณค่าผลต่างของสัดส่วนประชากร เน่ืองจากในการประมาณค่าแบบจุดน้นั ใช้ pˆ1 เป็ นค่าประมาณค่าของ p1 และ pˆ2เป็ นค่าประมาณค่าของ p2 ดังน้ันการประมาณค่าผลต่างของสัดส่ วนประชากรหรื อการประมาณคา่ p1  p2 แบบจุดน้นั จะใชค้ า่ pˆ1  pˆ2 เป็ นค่าประมาณ นน่ั คือ

บทที่ 7 การประมาณค่าพารามิเตอร์ 299 = =p1  p2 X1  X2 pˆ1  pˆ2 n1 n2เม่ือ n1 , n2 เป็ นขนาดของตวั อยา่ งที่สุ่มมาจากประชากรกลุ่มท่ี 1 และ 2 ตามลาดบัและ X1 , X2 เป็ นจานวนของตวั อยา่ งที่มีลกั ษณะที่สนใจจากตวั อยา่ งกลุ่มท่ี 1 และ 2ตามลาดบั ส่วนการประมาณค่า p1  p2 แบบช่วงน้นั จะตอ้ งสร้างช่วงของการประมาณท่ีคาดวา่จะครอบคลุมคา่ p1  p2 จากทฤษฎีบทต่อไปน้ีทฤษฎบี ท 7.7.1 สุ่มตวั อยา่ งขนาด n1 , n2 จากประชากร 2 กลุ่ม ท่ีมีสดั ส่วนของลกั ษณะ ที่สนใจ p1 , p2 ตามลาดบั ถา้ n1 และ n2 มีขนาดใหญพ่ อ ( n1 , n2  30) หรือ , ,n1pˆ1 n1qˆ1 n2 pˆ2 , n2qˆ2  5 จะถือไดว้ า่ pˆ1  pˆ2 มีการการแจกแจงใกลเ้ คียงกบั การแจกแจงแบบปกติ ท่ีมีคา่ เฉลี่ย ( pˆ1pˆ2)  p1  p2 และความแปรปรวน (2pˆ1 pˆ2 )  p1q1  p2q2 n1 n2 แลว้ ช่วงความเชื่อมน่ั (1 )100% ของการประมาณคา่ p1  p2 คือ p1  p2  ( pˆ1  pˆ2 )  Z  pˆ1qˆ1  pˆ2qˆ2 n1 n2 2พสิ ูจน์ เนื่องจาก pˆ1  pˆ2 มีการแจกแจงใกลเ้ คียงการแจกแจงแบบปกติโดยมี และ( pˆ1 pˆ2)  p1  p2 (2pˆ1 pˆ2 )  p1q1  p2q2 n1 n2จะไดว้ า่ Z  ( pˆ1  pˆ2)  ( p1  p2) มีการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน p1q1  p2q2 n1 n2และความน่าจะเป็ นท่ี Z จะอยรู่ ะหวา่ งค่า Z และ Z คือ 1  22P(Z  Z  Z ) = 1 =1  22P(Z   ( pˆ1  pˆ2 )  ( p1  p2 )  Z ) p1q1  p2q2 2 2 n1 n2

300 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้P(Z  p1q1  p2q2  ( pˆ1  pˆ2 )  ( p1  p2 )  Z p1q1  p2q2 ) =1  n1 n2 n1 n2 2 2P(( pˆ1  pˆ2 )  Z p1q1  p2q2  p1  p2  ( pˆ1  pˆ2 )  Z  =p1q1  p2q2 ) 1  n1 n2 2 2 n1 n2จะไดว้ า่ ช่วงความเชื่อมน่ั (1 )100% ของ p1  p2 คือ p1  p2  ( pˆ1  pˆ2 )  Z  p1q1  p2q2 n1 n2 2แต่เนื่องจากไมท่ ราบค่า (2pˆ1 pˆ2 )  p1q1  p2q2 จึงใชค้ า่ S(2pˆ1 pˆ2 )  pˆ1qˆ1  pˆ 2 qˆ2 n1 n2 n1 n2แทน (2pˆ1 pˆ2 )ดงั น้นั ช่วงความเชื่อมน่ั (1 )100% ของการประมาณค่า p1  p2 คือ p1  p2  ( pˆ1  pˆ2 )  Z  pˆ1qˆ1  pˆ2qˆ2 n1 n2 2ตัวอย่าง 7.16 ร้านขายเคร่ืองซกั ผา้ แห่งหน่ึง ขายเคร่ืองซกั ผา้ อตั โนมตั ิสองแบบ คือ แบบเปิ ดฝาหน้าและเปิ ดฝาบน โดยเครื่องซักผา้ ท้ังสองแบบมีระยะเวลาในการรับประกนั เครื่อง 1 ปีทางร้านคา้ ตอ้ งการประมาณค่าช่วงความแตกต่างของสัดส่วนของเคร่ืองซกั ผา้ ท้งั สองแบบท่ีผซู้ ้ือส่งเข้ามาซ่อมในระยะเวลาประกันที่ระดับความเชื่อม่ัน 95% จึงสุ่มตวั อย่างเครื่องซักผา้ท้งั สองแบบที่มีผสู้ ่ังซ้ือเมื่อปี ที่แลว้ ชนิดเปิ ดฝาหนา้ จานวน 80 เคร่ือง พบวา่ ในจานวนน้ีมีเครื่องท่ีส่งซ่อมในช่วงเวลารับประกนั อยู่ 5 เคร่ือง และเคร่ืองซักผา้ ชนิดเปิ ดฝาบนจานวน 125 เครื่องส่งซ่อมในระยะประกนั 12 เคร่ืองวธิ ีทา ให้ p1  p2 แทนผลต่างของสัดส่ วนของเคร่ื องซักผ้าชนิดเปิ ดฝาบนและชนิด เปิ ดฝาหนา้ ท่ีเสียในระยะเวลาท่ีรับประกนั ตามลาดบัจากกาหนดให้ pˆ1  12  0.096 , qˆ1  0.904 125 pˆ 2  5  0.0625 , qˆ1  0.9375 80 n1pˆ1 = 7.68 , n1qˆ1 = 72.32 , n2 pˆ2 = 7.8125 , n2qˆ2 = 117.19ดงั น้นั pˆ1  pˆ2 มีการแจกแจงแบบปกติและ Z  Z0.025  1.96 2จะไดว้ า่ ช่วงความเชื่อมน่ั (1 )100% ของ p1  p2 คือ

บทท่ี 7 การประมาณค่าพารามิเตอร์ 301 p1  p2  ( pˆ1  pˆ2 )  Z  pˆ1qˆ1  pˆ2qˆ2 n1 n2 2  (0.096  0.0625) 1.96 (0.096)(0.904)  (0.0625)(0.9375) 125 80  0.0335  0.0740 = ( – 0.0405 , 0.1075) ดงั น้นั ช่วงความเชื่อมนั่ 95% ของผลต่างสัดส่วนของเคร่ืองซกั ผา้ แบบเปิ ดฝาบนและแบบเปิ ดฝา หน้าท่ีเสียในระยะเวลารับประกนั คือ – 0.0405 ถึง 0.1075 หรือช่วง – 4.50% ถึง 10.75%7.8 การประมาณค่าความแปรปรวนของประชากรโดยส่วนใหญ่จะหาค่าความแปรปรวนของประชากร 2 ไม่ไดเ้ พราะจะตอ้ งเสียเวลาและค่าใชจ้ ่ายสูง จึงประมาณค่าความแปรปรวนของประชากร 2 โดยใชค้ วามแปรปรวนของตวั อยา่ งS2 ดงั น้นั ในการประมาณค่าแบบจุดจะใช้ S2 เป็ นตวั ประมาณคา่ ของ 2 n n 2   i1 xi  n xi2 i1นนั่ คือ = =  2 S2 n(n 1)ตัวอย่าง 7.17 จากการสุ่มสอบถามค่าจา้ งลูกจา้ งรายวนั ของโรงงานเซรามิกในจงั หวดั ลาปางจานวน 20 คน เป็นดงั น้ี340 335 348 342 360 280 420 300 285 275300 362 315 345 348 370 365 280 300 310จงประมาณคา่ ความแปรปรวนของค่าจา้ งลูกจา้ งรายวนั ของโรงงานเซรามิกในจงั หวดั ลาปางวธิ ีทา ให้ 2 แทนความแปรปรวนของคา่ จา้ งลูกจา้ งรายวนั ของโรงงานเซรามิกในจงั หวดั ลาปาง S2 แทนความแปรปรวนของตวั อยา่ งเน่ืองจากไม่สามารถเกบ็ ขอ้ มลู ในระดบั ประชากรได้ ดงั น้นั จะใช้ S2 ประมาณค่า 2จากขอ้ มลู คา่ จา้ งของตวั อยา่ ง ,20 20  n  20 , xi2  2,192,166 xi  6,580 i1 i1 n n 2   i1 xi  n xi2 i1 จาก =S2 n(n 1)

302 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้ S 2 = 20(2,192,166)  65802 20(20 1) = 546,920 380 = 1,439.26 นนั่ คือ 2 = S2 = 1,439.26 บาท2 ส่วนการประมาณค่าความแปรปรวนของประชากรแบบช่วงน้นั จะตอ้ งสร้างช่วงท่ีคาดวา่จะครอบคลุมคา่ 2 จากทฤษฎีบทต่อไปน้ีทฤษฎบี ท 7.8.1 ถา้ S2 เป็นความแปรปรวนของตวั อยา่ งขนาด n ที่สุ่มจากประชากร ที่มีการแจกแจงแบบปกติ มีความแปรปรวน 2 ซ่ึงไมท่ ราบค่า ช่วงความเชื่อมนั่ (1 )100% ของการประมาณค่า 2 คือ (n 1)S 2  2  (n 1)S 2 2 2  1 22 เม่ือ  2 และ 2  คือค่าของตวั แปรสุ่มไคกาลงั สองท่ีมีพ้ืนท่ีปลาย 2 ขา้ ง  1 22 เทา่ กบั  ที่มีองศาเสรี   n 1 2พสิ ูจน์ เน่ืองจาก 2  (n 1)S2 ;   n 1 เป็ นตวั แปรสุ่มท่ีมีการแจกแจงแบบไคกาลงั สอง 2 ช่วงความเชื่อม่ัน (1 )100% ของการประมาณค่า 2 จะได้ว่าความน่าจะเป็ นที่ คา่ 2 จะอยใู่ นช่วง  2 และ 2  มีคา่ เทา่ กบั 1   1 22 จะได้ P(2   2  2 ) = 1 1 22 P(2   (n 1)S 2  2 ) = 1 2 1 2 2 1  2  1 ) = 1 P( 2 (n 1)S 2 2  1 22

บทท่ี 7 การประมาณคา่ พารามิเตอร์ 303P( (n 1)S 2  2  (n 1)S 2 ) = 1 2 2  1 22ดงั น้นั ช่วงความเช่ือมน่ั (1 )100% ของการประมาณค่า 2 คือ(n 1)S 2  2  (n 1)S 2 2 2  1 22ตัวอย่าง 7.18 สุ่มตวั อยา่ งขนาด 25 จากประชากรท่ีมีการแจกแจงแบบปกติ ความแปรปรวนของกลุ่มตวั อยา่ งเป็น 36 จงประมาณช่วงของความแปรปรวนของประชากรท่ีระดบั ความเชื่อมน่ั 99%วธิ ีทา ให้ 2 แทนความแปรปรวนของประชากรสุ่มตวั อยา่ งขนาด n  25 , S2 = 36 ,   24จะได้ 2  (20.005,24)  45.56 ( ,24)2และ 2  ,24)  (20.995,24)  9.89 (1 2จะไดว้ า่ ช่วงความเช่ือมน่ั 99% ของการประมาณค่า 2 คือ(n 1)S 2  2  (n 1)S 2 2 2  1 22(24)(36)  2  (24)(36)45.56 9.89 18.96  2  87.36ดังน้ันระดับความเช่ือมั่น 99% ของการประมาณค่าความแปรปรวนของประชากรอยใู่ นช่วง 18.96 ถึง 87.367.9 การประมาณค่าอตั ราส่วนของความแปรปรวนของประชากร การประมาณค่าอตั ราส่วนความแปรปรวนของประชากร 12 แบบจุดน้นั จะใช้ S12 เป็ น 22 S22ค่าประมาณ นน่ั คือ =12 S12 22 S22 ส่วนการประมาณค่า 12 แบบช่วงน้นั ทาไดโ้ ดยอาศยั ทฤษฎีบทต่อไปน้ี 22

304 ความน่าจะเป็ นและสถิติเบ้ืองตน้ทฤษฎบี ท 7.9.1 ,S12 S22 เป็ นความแปรปรวนของตวั อยา่ งขนาด n1 และ n2 ที่สุ่มจากประชากร 2 กลุ่มที่มีการแจกแจงแบบปกติ ไม่ทราบคา่ ความแปรปรวน 12 , 22 ช่วงความเชื่อมน่ั ของการประมาณค่า อตั ราส่วนความแปรปรวน 2 ประชากร ท่ีระดบั ความเช่ือมน่ั (1 )100% คือ S12  12  S12 S22 F 22 S22 F  1 22 เม่ือ F และ F  เป็นคา่ ของตวั แปรสุ่ม F ที่มีพ้ืนที่ปลายเป็น  2 1 22 และ 1  ที่มีองศาเสรี ,1  n1 1 2  n2 1 2พสิ ูจน์ เนื่องจาก S12 เป็ นตวั ประมาณค่าของ 12 และ (n1 1)S12 มีการแจกแจงแบบไคกาลงั สอง 12 ที่องศาเสรี 1  n1 1 และ S22 เป็ นตวั ประมาณค่าของ 22 และ (n2 1)S22 มีการแจกแจงแบบไคกาลงั สอง 22 ท่ีองศาเสรี 2  n2 1 (n1 1)S12 S12 จะไดว้ า่ 12 (n1 1)  12  S1222  F (n2 1)S22 S22 S2212 22 (n2 1) 22 โดย F เป็ นตวั แปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบเอฟโดยมีองศาเสรี ,1  n1 1 2  n2 1 ที่ระดบั ความเช่ือมนั่ (1 )100% ของการประมาณค่า 12 นน่ั คือ 22 ความน่าจะเป็ นที่ F จะมีคา่ อยใู่ นช่วง F  ถึง F มีคา่ เทา่ กบั 1  1 22 หรือ P(F   F  F ) = 1 1 22 P( F   S1222  F ) = 1 S2212 1 2 2 F  S22 22 F S22 = 1 12 1 2 2 P(   ) S12 S12

บทที่ 7 การประมาณค่าพารามิเตอร์ 305หรือ =P( S12  12  S12 ) 1  S22 F 22 S22 F  1 22ดงั น้นั ช่วงความเชื่อมนั่ (1 )100% ของการประมาณคา่ 12 คือ ( S12 , S12 ) 22 S22 F S22 F  1 22หรือ S12  12  S12 22 S22 F S22 F  1 22ตัวอย่าง 7.19 จงหาช่วงความเช่ือมนั่ 90% ของอตั ราส่วนระหว่างค่าความแปรปรวนจานวนของสินคา้ ที่ผลิตโดยเครื่องจกั ร 2 แบบ โดยสุ่มสารวจเครื่องจกั รท้งั 2 แบบ ไดข้ อ้ มูลดงั ตารางตอ่ ไปน้ีเคร่ืองจักร จานวน (เครื่อง) ความแปรปรวนของจานวนสินค้าแบบที่ 1 21 121แบบท่ี 2 16 81วธิ ีทา ให้ 12 , 22 แทนความแปรปรวนของจานวนสินคา้ ที่ผลิตจากเคร่ืองจกั รแบบท่ี 1 และ 2 ตามลาดบั จากกาหนดให้ n1  21 , S12 121 , n2 16 , S22  81 ,   0.10 , 1  211 20 ,1 16 1 15จะได้ F  ,1,2 )  F(0.05,20,15)  2.33 ( 2และ F  ,1,2 )  F(0.95,20,15)  1  1  0.4545 (1 2 F(0.05,15,20) 2.20จะไดว้ า่ ช่วงความเช่ือมน่ั 90% ของการประมาณค่า 12 คือ 22 S12  12  S12S22 F 22 S22 F  1 22 121  12  12181(2.33) 22 81(0.4545) 0.64  12  3.29 22ดงั น้นั ช่วงความเชื่อมน่ั 90% ของอตั ราส่วนความแปรปรวนของจานวนสินคา้ ที่ผลิตจาก เคร่ืองจกั รแบบที่ 1 แบบที่ 2 อยใู่ นช่วง 0.64 ถึง 3.29

306 ความน่าจะเป็ นและสถิตเิ บ้ืองตน้ แบบฝึ กหัดบทที่ 71. จากการสุ่มสอบถามราคาขายเน้ือหมู 1 กิโลกรัม ไดข้ อ้ มลู ดงั น้ี 85, 95, 90, 98, 95, 88, 87, 100, 105, 98, 110, 108, 92, 86, 99 ถา้ ราคาขายเน้ือหมูมีการแจกแจงแบบปกติ 1. จงประมาณคา่ เฉล่ียของประชากรแบบจุด 2. จงประมาณค่าเฉล่ียของประชากรท่ีช่วงความเช่ือมนั่ 95%2. ในการสารวจตวั อยา่ งขนาด 50 ครัวเรือน พบวา่ ค่าใช่จ่ายเฉล่ียต่อคนสาหรับอาหารเชา้ เท่ากบั22.65 บาท มีส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 4.82 บาท จงหาช่วงความเชื่อมนั่ 99% ของการคานวณคา่ ใชจ้ า่ ยตอ่ คนสาหรับค่าอาหารเชา้3. ความกวา้ งของแผน่ เหล็กไร้สนิมมีการแจกแจงแบบปกติ มีความแปรปรวน 16 มิลลิลิตร2 สุ่มจดั แผ่นเหล็กไร้สนิมจานวน 18 แผ่น พบว่ามีความกวา้ งเฉลี่ย 622 มิลลิเมตร จงหาช่วงความเชื่อมน่ั 90% ของความกวา้ งเฉลี่ยของแผน่ เหลก็ ไร้สนิม4. จากการสุ่มสอบถามพนักงานบญั ชีจานวน 200 คน พบว่ามีค่าเฉล่ียต่อเดือนเป็ น 9,578 บาทส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 256 บาท จงประมาณค่ารายไดเ้ ฉล่ียต่อเดือนของพนักงานบญั ชีที่ช่วงความเช่ือมน่ั 98%5. จากการสารวจความนิยมรถยนตย์ ่ีห้อหน่ึงพบว่ากลุ่มตวั อยา่ งขนาด 500 ช่ืนชอบรถยี่ห้อน้ีอยู่180 ราย จงประมาณคา่ สดั ส่วนของประชากรท่ีนิยมใชร้ ถยนตย์ หี่ อ้ น้ีที่ช่วงความเช่ือมนั่ 85%6. ผผู้ ลิตรถยนตต์ อ้ งการประมาณค่าผลต่างของสดั ส่วนของหวั เทียนรถยนตท์ ี่มีอายกุ ารใชง้ านนอ้ ยกวา่ 1 ปี 2 ยี่ห้อ ท่ีช่วงความเช่ือมน่ั 95 % จึงสุ่มหวั เทียนย่ีหอ้ ท่ี 1 จานวน 100 หวั พบวา่ มีอายุการใชง้ านนอ้ ยกวา่ 1 ปี 8 หัว สุ่มหวั เทียนย่ีห้อที่ 2 จานวน 180 หัว พบวา่ มีอายุการใชง้ านนอ้ ยกวา่ 1 ปี 12 หวั7. สุ่มตวั อย่างหลอดไฟ 2 ชนิด คือ A และ B ชนิดละ 25 หลอด พบว่ามีอายกุ ารใชง้ านเฉลี่ย1,400 ชว่ั โมง และ 1,200 ชว่ั โมง ถา้ อายกุ ารใชง้ านของหลอดไฟท้งั สองชนิดมีการแจกแจงแบบปกติ โดยมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอายกุ ารใชง้ านเป็น 200 และ 100 ชวั่ โมง ตามลาดบั จงหาช่วงความเช่ือมน่ั 95% ของความแตกตา่ งระหวา่ งอายกุ ารใชง้ านของหลอดไฟท้งั สองชนิด

บทที่ 7 การประมาณค่าพารามิเตอร์ 3078. เกษตรกรไดท้ ดลองปลูกขา้ วพนั ธุ์เดียวกนั ในแปลงทดลองดว้ ยป๋ ุยท่ีแตกต่างกนั คือ ป๋ ุย A และป๋ ุย B โดย 8 แปลงใชป้ ๋ ุย A และ 16 แปลงใชป้ ๋ ุย B ผลผลิตเฉล่ีย ป๋ ุย A ป๋ ุย B ความแปรปรวนของผลผลิต 38 กิโลกรัม 34 กิโลกรัม 24 (กิโลกรัม)2 14 (กิโลกรัม)2 สมมุติวา่ ผลผลิตขา้ วท้งั สองพนั ธุ์มีการแจกแจงแบบปกติ แต่มีความแปรปรวนของขา้ วท้งั สองพนั ธุ์ไม่เทา่ กนั จงหาช่วงความเชื่อมนั่ 99% ของผลต่างของผลผลิตขา้ วท้งั สองพนั ธุ์9. จากขอ้ 8 ถา้ ทราบความแปรปรวนของผลผลิตขา้ วท้งั 2 พนั ธุ์เท่ากนั จงหาช่วงความเช่ือมนั่90% ของผลตา่ งผลผลิตขา้ วท้งั 2 พนั ธุ์10. จากขอ้ 1 จงประมาณค่า 2 ท่ีช่วงความเช่ือมนั่ 90%11. ถา้ n1  25 , S1  3.67 และ n2 16 , S2  4.88 จงประมาณค่าอตั ราส่วนของ 12 ที่ช่วง 22ความเช่ือมนั่ 99%12. ในการเปรียบเทียบยอดขายกาแฟบรรจุขวดขนาด 400 กรัม จาก 2 ยี่ห้อของร้านต่างๆ โดยการสุ่มตวั อยา่ งสอบถามจากร้านคา้ ขายกาแฟยีห่ ้อ ก. จานวน 10 ร้าน พบวา่ ขายกาแฟยี่ห้อ ก.ไดเ้ ฉล่ียเดือนละ 310 ขวด มีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากบั 5 ขวด สุ่มตวั อยา่ งสอบถามจากร้านคา้ ขายกาแฟยหี่ อ้ ข. จานวน 8 ร้าน พบวา่ ขายกาแฟไดเ้ ฉล่ียเดือนละ 270 ขวด มีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทา่ กบั 7 ขวด สมมุติวา่ กาแฟท้งั 2 ย่ีหอ้ มีการแจกแจงแบบปกติและความแปรปรวนเท่ากนั จงหาช่วงความเชื่อมนั่ 95% ของผลต่างของจานวนเฉล่ียของยอดขายกาแฟ 2 ยห่ี อ้ น้ี13. พรรคการเมืองพรรคหน่ึงตอ้ งการสารวจความนิยมของคนไทยท่ีมีต่อพรรค จึงสุ่มตวั อยา่ งคนไทย 900 คน พบว่ามีผูช้ ่ืนชอบพรรคน้ีจานวน 285 คน จงประมาณสัดส่วนของคนไทยที่ชื่นชอบพรรคการเมืองพรรคน้ี ท่ีช่วงความเช่ือมน่ั 98%14. โรงงานแห่งหน่ึงมีเครื่องจกั รสาหรับผลิตขวด 2 เครื่อง จากการสุ่มขวดท่ีผลิตโดยเครื่องจกั รเคร่ืองท่ี 1 มาจานวน 200 ใบ พบว่ามีตาหนิ 15% ในขณะเดียวกนั สุ่มขวดที่ผลิตโดยเครื่องจกั รเครื่องท่ี 2 มาจานวน 300 ใบ พบว่ามีตาหนิ 12% จงสร้างช่วงความเช่ือมน่ั 94% ของความแตกตา่ งระหวา่ งสัดส่วนของขวดที่มีตาหนิท้งั หมดท่ีผลิตโดยเครื่องจกั รเคร่ืองท่ี 1 และ 2