เฉลย-ม.3-เทอม2

เราจะเรยี นอะไรกนั บาง ? ระบบสมการเชงิ เสน สองตวั แปร วงกลม พรี ะมิด กรวย ทรงกลม ความนาจะเปน ตรีโกณมิติ คณติ ศาสตร ม.3 เทอม 2

ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร รปู ท่ัวไป ByA × + + C= 0 1 A B C เปนคา คงที่ และ A B ไมเ ปน 0 พรอ มกัน กราฟเสน ตรง คำตอบของสมการ คอู ันดบั (x,y) ตวั อยาง จะไดเขา ใจมากข้ึนนนน เราเรยี กชุดของสมการทั้ง สองที่พิจารณาคำตอบ รว มกนั ดังตวั อยางขางตน นวี้ า ระบบสมการเชิงเสน สองตัวแปร (system of linear equations with two variables)

คำตอบของสมการมีหลายแบบ 1. มคี ำตอบเดยี ว ?✗ = y= ? \" zzfs \"% 2. มีหลายคำตอบ 12 = 12 0= 0 3ะ 3 3. ไมมีคำตอบ 0 =3 12 =3 0= G

ทำโจทยกันเลย = 0 หา 'า ✗ , y y→ แทน ✗ , ① 1✗, ✗) - ( 2,1 ) (อ * ตอบ ของ สมรส × +2 y = 4 ⑦- ✗ +2y = 4 4 ✗0 4 ง 4* ตอบ เ6ยว Y2 ๐ 3 12,1 ) :(2,11 10,2 ) 14,0 ) 1 0 12 3 9• Y2✗ +3 = 7 {✗ 0 §Y ง ✗= 0 yj 2L0J +3 ๆ= y :} Y= 0 ; 2 ✗ +3 เอง s า ( 8,7g ) ( { ง ) , ;y s < s /

( )-+ (+ , +) , • 4 า * ตอบ 4 า * ตอบ แ , 1) 13 , -3) • C- , )- -( )+ , 4 หลาย * ตอบ ไ? 4 *ตอบ 4 เ * ตอบ 4 หลาย *ตอบ 1- 2,31

การแกระบบสมการเชงิ เสน สองตวั แปร รูปทัว่ ไป ByA × + + C= 0 1 A B C เปน คา คงที่ และ A B ไมเปน 0 พรอ มกัน

① - h ②Y4×-3 แทน ✗ ใน ③ ① +② ; 3 ✗ -4y + } ✗ +4 y =แ _ Y9 ✗ -3 = 21 912) -34=21 = 0 + 62 4) 18 -3 Y = 21 Oy6 ✗ + 2 4= - ①× 3j 3 ( 3 ✗ - y ) = 3×7 y3- = 21-18 ys3- 3 y ③9 ✗ -3 = 21 g. ; _ y = -1 6✗ 24= - %✗ = - ③-② ; y( 9 ✗ -3 Y ) - ( 4 ✗ -3 ) = 21 -11 ✗= 4- Y9 ✗ -3 y4 ✗- +3 = 10 แทน ✗ = -4 ใน ① 5✗ = 10 2 3 ✗ -4 y = 0 ✗= 36 4) -4 y = 0 y- 12 -4 =0 y = -3 1① ① ×2 y ③2 ✗ + 4 _ ะ -2=0 ② _ _ - ②- * เAอก CDด ✗ F สปส หHา × ใIเJา Kน . ③ ①- ① ×3 ; 3 ( ✗ +7 y ) = 3.8 y +4J2 ✗ +4 - 2- l 2 ✗ - 5) = ๐.๐ y ③3 ✗ + 21 24= # #\\2 ✗ + - ☒- 2- - +s =0 ②③ - - 2+5 =0 ; แy -2ys 24-5 3 =0 19 y = 19 0 = -3 y= า ไ? เLนจNง = ไ? 4*ตอบ y=1 แทน ① ✗ +7y = 8 ✗ +7 (1) = 8 ✗ = 8- 7 f= 1

①- ① ② ✗4 - _ ②- Hy |OP า 4✗ = # +3 ③4 ✗ = กราฟ Rบ Kน s 4หลาย * ตอบ 3g + 12 - OP 2 แทน 3g× = d 3gใน 4 ✗ = y +3 +12 Hy 3)t + = 3y +12 ✗ๆ + 12 ☒= + 1 2 เLน12 = 12 Sง 4 หลาย *ตอบ hา สมการ ① i -2×-5 y = 5 ① - ② ; 2×+2y = 4 ②- ①× 2 : by10 ✗ + = 20 ③ ① +② ; Zy-2✗ -5 y +2✗ + = 5+4 ②✗ 3 ะ y12 ✗ -6 24 ④ - }y =q = §y = = -3 ④③ + : -69\\ๆ \\10 × +6 = 20 + 2 4 + 12✗ 22 ✗ = 44 แทน y =-3 ใน ① ¥✗ = -2✗ -5 C- 3) s 5 ✗= 2 -2 ✗ = 5- 15 - 2✗ = -10 แทน ✗ = 2 ใน ① ✗= 5 5✗ +3g = 10 5 (2) +3g = 10 3g = 10 - 10 y= 0 5ะ ✗ = y= §=0 , . y =-3

① ① - - ② ②- - ①×3 ะ 6 ✗ -9 y = 15 ④ ① ×2 ; y ③2 ✗ - = 4- ② +① i g)+9g-6✗ + ( 6 ✗ -9 = -12+15 ② ①+ ; Y -2 ✗ +12✗ - 4) = -4+4 ☒☒- # fy = 3 Y y-2 ✗ +2 ✗ - =0 0 =3 0= 0 ^\\ ไ? เLนจNง ไ? 4 * ตอบ 4 *i. หลาย ตอบ การแกโจทยป ญหาของระบบสมการเชิงเสน สองตวั แปร แปลงขอความ -> ประโยคสญั ลักษณ -> แกโจทยหาคำตอบ

ฟง อยางเดยี วคงเบ่ือ ทำโจทยเลย เขาใจแนน อนนนน 1. อัตราคาเขา ชมการแขง ขนั ฟตุ บอลนัดพเิ ศษนัดหน่ึงเปน ดังน้ี ผใู หญคนละ 200 บาท เดก็ คนละ 100 บาท ปรากฏวา มผี ูเขา ชม ทัง้ หมด 10,000 คน และขายบตั รเขาชมไดเงิน 1,739,200 บาท อยากทราบวา มผี ใู หญ และเด็กเขา ชมการแขง ขันฟตุ บอลคร้งั น้อี ยา งละ กค่ี น ใหVUใI × แทน Tนวน y งง งง เWก แทน ✗ = 7,392 ใน ① y✗ + = 10,000 ① จาก ✗ + y = 10,000 7,392 + Y = 10,000 ② ÷ 100 ะ 200 ✗ + IOOY = 1,739,200 ② Y = 10,000 -7,392 ③ ① i_ 2✗ + ③ Y = 17,392 เWก Y ะ 2,608 Y YJ2 ✗ + (- ✗ + = 17,392 -10,000 ☒☒2 ✗ + ✗- - = 7,392 U ใหV ✗ = 7.3 92 2. มีน้ำเชือ่ มอยสู องชนิด น้ำเชื่อมชนดิ A มนี ำ้ ตาล 25% นำ้ เชื่อมชนิด B มนี า้ ตาล 15% ถา ตอ งการ นำนำ้ เชอื่ มทง้ั สองชนิดน้ีมาผสมกันใหไ ดนำ้ เชอ่ื มที่มีนา้ ตาล 18% จานวน 600 ลกู บาศกเ ซนตเิ มตร จะตองใชน ำ้ เช่อื มแตล ะชนิด ในปริมาณเทา ใด

15,25) , %1 - ถา คร่ึงหน่งึ ของจำนวนหนึง่ เปนสามเทาของจ.านวนอีกจำนวนหนง่ึ [ {(1. และ)สเ่ี ทา ขอจงผลดตางนขอางสยองงจานวนนั้น เปน 50 จง หาจำนวนสองจำนวนน้ัน ใI × แทน Tนวน หXง . Y แทน Tนวน Yก Tนวน หXง กรZ ① กรZ 2 { y× =3 ① 6g× = by✗ = ① ✗ = by - - ly ②4 50)×- - YJ ②41 ✗ - = s 50 _ 4 lby -g) = 50 CY by4 - ) s 50 g)4 ( ✗ - = 50 ✗② y20 = 50 4 C- 54) s 50 Cy4 ง×- = 50 ys s -20y s 50 2 ys ±- 2 ✗ = 15 Xs -15 2. จำนวนท่ีมสี องหลกั จำนวนหน่งึ มีเลขโดดในหลกั สบิ มากกวา เลขโดดในหลกั หนว ยอยู 4 และผลบ0วกขmองจาnนวนน้ี กบั จำนวนท่ไี ดจ ากการสลับที่เลขโดดเปน 154 จงหาจำนวนนน้ั 950 × cu [ การ ขา N =H Y c ห\\ก ห]วย ) XY + YX = 154 = y ①✗ - 95+59 nt # #✗ ✗ = 14+4 = 4- ③ +① (10×+11)-+1100 + ×) = 154 ②_ 2 ✗ = 18 ✗ 0× = ฯ y11 ✗ t 11 s 154 69=50 xxy # ③= = It _ 3. ถาผลบวกของขนาดของมุมภายในสองมุมของรูปสามเหลย่ี มรูปหนง่ึ เปน 137 องศา และผลตางของขนาดของ มมุ สอง มมุ น้เี ปน 73 องศา จงหาขนาดของมุมภายในทัง้ สามของรูปสามเหล่ยี มน้ี

วงกลม

ทฤษฎวี งกลม b ใf2. คaง1. _มใน วงกลม = goo _ม cด ศก จะ 4ขนาด 2 เJา ของ _ม ภาย . • \\ gวน โiง เ6ยว Kน • • ง2 _ม ตรงjาม บวกKน = 1 8 00 3. _ม bรองkบ 4. อ { 00+ = 1 8 B ภายใfgวนโiง $^ s 180 ° , เ6ยว Kน 13 + 4 ขนาด เJา Kน c bgy D 5. B t lา mอ nานใดnาน หXงของ 6. C ใน วง กลม ออไป A | kศ4 ± Kบ เoนpมqส o _ม ภาย นอก จะ เJา Kบ _ม ภายในbอrตรง ยาม D 7. \" ถาง = BT • t = Bi • 11 ไ 11 ~ แปลvา = 900 A BC u \" , ,,

โจทย ขอ ท่ี 1 \" B It , ! ①= เพราะ เLน kศ4 ของ วง กลม x Gso ° เLน s หHาyว า3s . C ำำ ,c f อา f [ ° = = 35 จากทฤษ~ ผลรวม _ม ภายใน S = 180 ° •+ v+ อ s 180 ° _ม v เLน 2 เJาของ _ม B !\"\"\" \" v s 180-70 = 140 ° 2✗ = _ม Ä AOB ะ s หHาyว 2✗ = 110 ° ✗= 55 ° โจทย ขอที่ 2 จงหา AIB Iy Å่É๋d = BJ I.• = 20 ° Ö § ④ _ม ในภาย s ABB = 180 ° f โ l อ^^ +๐ +13 s 18 Ä Ü20 + +20 s 180 ° O = 140 ° ใน_มภาย ✗ 013C s 180 ° v [+ ฉาก + s 180 ° อs 180 ° 90 ° -40 \" อ= _ 500 ✗ s 50 °

โจทย ขอ ท่ี 3 จง หา AIB C s DBC เLน s หHา T ° :B อ ° _ ~70 70. = = B / ÄๆM ทฤษ~จาก _ม ตรงjาม ใน ☐ แนบ วง กลม 1× % บวก àน = 180 ° 11 D = f _ม ภายใน à อ+ s 180 ° อ 180 ° 70= ° - à s 110 ° AIB = 18 Ä O+ B+I s ° 180 9 ก9 1 10 ° 35 35 โจทย ขอท่ี 4

ปใน พรี ะมดิ กรวย ทรงกลม I. ปNมาตร = พท ฐาน × äง บทนี้เราจะตอ งหาปรมิ าตรและพื้นท่ผี วิ เปน ã้ งปNมาตร = (บท ฐาน × äง) {= × äง × ฐาน ทรง °ก ๘⑦ บท = % 2 / ญื๐ .. . .. . . ... . ปNมาตร : Tlr 2h êTI = = 3.14 \\ }กรวย = #r 2h) ปNมาตร ปรมิ าตร = 1 ✗ äงฐาน× พ ท 3 . พ้ืนท่ีผิว = พท.ฐาน + 1 บท ëว jาง ) . _ % ๐# ปริมาตร = í 1Tr 2h พน้ื ทผ่ี ิว = Tlr2 + Tlrl ปริมาตร = § Fr 3 พืน้ ทผี่ วิ = 41Tv2

}ปNมาตร = d × พ ท ฐาน × äง . ฐานพ . ท 6= ✗ 6 = 36 1gพ .ท ëว jาง = ✗ äง × ฐาน ง= × 36 ✗ 4 3 {= × 5 ✗ 6 / = 15 = 48 ìกบาศîเมตร ïงบ .ท ëวjาง 4 nาน = 15×4 = 60 พท . ëว ฐานพ ท= . + พ ท ëว jาง . = 36 + 60 = 96 ตาราง เมตร พท ëว ñ่ปNมาตร = × Tlr2h บท ëว ฐานบท= + บท ëว jาง (4)1g= × 7 2 124) . . = Tr 2 + Trl = กอง )1 ¥= + แ1) 125) sggg = 22 (7) + 22 ( 2 5) = 154 + 550 s 704 ซมตร . . 242+72 = 2 c 576 t 49 = c2 625 s 2 c c= 25 §ปNมาตร s 1 3 พรก qว s 4 Tr 2 # . ò๋

โจทย hgtthl ะงปNมาตร h | µ4 ± nาน = 80 ✗ 4:240ôöëว =ฐานพ ท + พท. ëว jาง . äงฐาน× × ทพ . ำõ ✗ (16×16)×6/2 บทฐานะ 16×16 = 2 แ ๆµ 8 16cm jางพท. ëว %10 ✗ 1 80 = 256×2 = 16 cm = 512 ลบ ซม .. หา äง เYยง úiùù cts û + H →µ ü = 82 + † s 496 การ1 เซน°เมตร üะ 64+36 ü ± 100 C 10 ôนbเฉพาะ ëว jาง I 4 เ nาน ๒ะ 5cm 1gบท นะ ✗ 4×7.5 = 15 ; £ 6 nาน s 15✗ 6 ะ 90 1 4 cm ตาราง cm

งปNมาตร = × Ir2h แ§ïงหมดพท qว \"\" . \"\" µ= ;) Hmm# #= + µๆ ภื่ != + \"\" \"\" '•๋้)ykศ4 =ๆ = 154 × 8 = 154 + 550 = 1,2 แ ลบ ซม = 704 ตร ซม . . c2.at + H ใ ใ2 242+72 = 24 µ = 576 + 49 ไ U s 625 7 l = 25 ่ง→ \" พาqว = Tr 2 + Trl 1 51.- - \" \"\"\" \" \" \" 1 h :3 m íปNมาตร ะ × Tr 2h s 16T t 20T i § /4) (4) 2 (3) s 36T ตร . ซม = = 16T ลบ . ซม #

tL ☐¶ฺpe_ 7 cm .. 4g 3 4T r 2 Tir ( 2 (/7) G) (7) ปNมาตร = § § § )Tlr 3= = 1,437.37 ลบ ซม. . พท Sง s ;)47v2 s 412 H ) (7) . s 616 ตร ซม ร . r= ? มท ëว = ? 4\"r 2 . ปNมาตร = 38,808 ลบ . ซม %) งjบก qว . s 44 s4 12 1) 3 38,808 ®๋ Tlr = 22 v3 38,808 ✗ } = 5 5 44 ตร ซม = .. T 4 v3 = 38,808 t } × ] 4 22 v3 9,261 = rs 21 *

ความนา จะเปน : จำนวนจำนวนหนงึ่ ท่ีบง บอกโอกาสท่ีจะเกดิ ขน้ึ ของเหตกุ ารณ แซมเปลสเปซ S : ผลลพั ธท ั้งหมดท่เี กิดขึ้นจากการทดลองสมุ เหตุการณ E : ผลลพั ธท ่ีเราสนใจจากการทดลองสุม P (E) = ท (E) n (5)

©๋p (E) = \",← P (E) %= sI 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P (E) = ท (E) n (5) ลง 10

P(E) = ก nm ท (5) s 52 § {= s 3 2 %= ¥ = ™2s {

Tนวน แบบฝก หัด d{ }n (5) เห´การx ïงหมด ะ 1,2 3,4 5,6 , , ¨§P(E) ะ = -6. {3 { 2,4 , 6 } g= { 2. 3,5 } 36 1 =[ * Bi Ö/ ¨-P(E) = Æ= Ø B. Bา ⑧ ะ โ \\☒2 แดง R R 15 า , 3 R4 แดง 2 R B° แดง 3 ะ ✗2 แดง 4 R ำ 3 R4 R4 RzR - , PE) ± 4 15 ำ R- %P (E)= \\3 R4 R3- R 4 15 Tนวน

hl 1) = 8 H = ²ว เห´การx T = ³อย ①② ③ HHH HHT THT \" Thn H T 7 ;, _ า HTH _ _ HTT 8 ;=0 H THH THT H กลไก T TTH g TTT T sstee H T ¥P(E) = , ① ② เห´การx ¥; |\"\" ⑥ 6 II. 6) 12,5 113,4 114,311 5,2 1lb 1) (1,2 ) , 11,31 µ, u 5) , 3% เ ☒ |เงา าแ II. 1) 12,2 113,3 ) . . แ 6) u.nl ⑥ , 2,2) \"\" % ;s เ (2,4 ) (2,51 3 12,8 ) 4 เห´การx 5 6 ก(5) = 36

แบบฝกหดั เห´การxïงหมด ④ +2 ①② }0 HH ๐ -1 HT TH 0 TT I¥ก = เµย = ¶ 4 อา kก° (2×14) 34)'า ความ คาดหมาย = + (-1 × · {= - = -0.25 / HH +3 า- }HT ¸๋ เ% (3 × 14)+(-1 × 34) 'า ความ คาดหมาย = = %% =๐ HH +8 THmn TT ( %) f- } |'า ความ คาดหมาย = 8× + 2๖ g)= 2 + 1- \" = 0.50

ตรีโกณมิติ ' Hº I= + ทฤษฎบี ทพที าโกรัส a. สามเหลี่ยมคลาย b ª Bg {a a == จำนวนอตรรกยะ ร2 , ร3,1T ตัวสวนไมต ิดราก ºตรา gวนต½โก ณø° โฟKส เjา ฉาก 5 ฉาก ¿ด ม jาม 4 ฉาก ( f า C โฟKส B 3 ¡ด A ¡ด B \" §sint = sin A = jาม ¥ นกoosec A = A cos A = g น ctsasec A = \" |ใน ง C- ฉาก ¬ Ãtan A = or cot A = ¥ or 1 _ ม temf

วงกลม 1 หนว ย ( ✗ , g) ICOA.siกอง ƒ

แบบฝก หัด Å๊ % ฐ {= 1 = °3 _ _ 2 =0 * 1 ÆYs 1- ( (g)(E) %)= ร3 + ระ + ระ ;า= - = ¥ = i. { + { ]= * §④«๋ = ¥ ( ;) 2 = - »I= - l :) …= À ® ® า= - s s *

ตัวอยาง 1 sin = jาม ฉาก ฉาก I jาม ¡ด ¡;แนว = ¡ด Ãtan = jาม sint = 8- sin B = b 10 10 HA = § 8 5 13 = น tant s 8 §tan B = I ตัวอยาง 2 c ฉาก sinx = jาม วาด] ฉํ๊ก ü = 3.52 + 12.52 sinxs I 12.5 ü 168.4 = cts 169 c- โ69 Cะ 13

ตวั อยาง 3 ตัวอยาง 4 0 N ò๊ §tan T = = 12 ft {Dm = ✗ äง × ฐาน ;60 s × 12 ✗ AT 120 At = g Ats 10

แบบฝกหัด jาม ฉาก iint ✗ เรา ฉาก tan jาม BC tc ฐ tan } ñ = jŒ COSA = ฐ ¡ด ร3 = jาง (013 ñ = 174 _ I ← 3 1 74 §=¥ jาม = 174 j3 5 ✗ s 174.2 j3 174 ' - ะœ = ฐjาม =น5ง8 A๊

# 4+214 jาง -14ร3) กรอง 30s 4+8ช3- 4 ร3=4+4 ร “ | ไหา ✗ หา y jาม ö\" \"\" tan ะ—่ 4 แ + รถ cos b- §{ = tmm ¡ด ✗= 4 §B = ¡ด = 4 ys 4 ร3 tqn 45 ° ะ jาม - I 1 4 °3 s = Zs 4j3 —๊sin = 0 COI = ¿ด 24 tm ” = jาม Dด หา CB หา CD tan A = jŒ ฅฺsin ☐ = | CD = 48 × โ3 ¿ด O j3 ✗ 3 tan ° = sin เ0 = 2g §CD s 4 ☐ 30 µ µ 124 j3/1 = ( B à §= 2 CB = 24

โจทยปญ หา



Credit https://sites.google.com/a/mail.pbru.ac.th/khanitsast-m-3/lem-2/bro/2-4-khwam- na-ca-pen-kab-kar-tadsin-ci/baeb-fukhad-2-4/chely-baeb-fukhad-2-4 ความ]าจะเLน https://m.facebook.com/145560889584643/posts/152231148917617/ ทฤษ~วงกลม