MODUL BARISAN DAN DERET MATEMATIKA WAJIB KELAS XI DEBY VIYANA TAHUN 2020
Modul Barisan dan Deret Matematika Wajib Kelas XI Penyusun : Deby Viyana, S.Pd. Desain Cover : office.com Tahun Pembuatan : 2020 ii
KATA PENGANTAR Puji syukur kami panjatkan kepada Allah SWT yang telah memberikan rahmat- Nya sehingga penyusun dapat menyelesaikan modul barisan dan deret matematika wajib kelas XI. Modul ini memuat tiga materi yaitu barisan dan deret aritmetika, barisan dan deret geometri, serta deret geometri tak hingga. Modul ini diperuntukkan bagi siswa kelas XI baik program MIPA maupun IPS dan guru pengampu mata pelajaran matematika wajib kelas XI semester 1. Modul digunakan sebagai sumber belajar dalam pembelajaran daring. Terimakasih kami sampaikan kepada Ibu Endang Listyani selaku dosen pembimbing dalam penyusunan modul ini, Ibu Laksmi Indrawati selaku guru pamong serta Ibu Sunarni, M.Pd. selaku kepala SMA Negeri 2 Slawi dan seluruh pihak yang telah mendukung dalam penyusunan modul ini. Penyusun berharap modul ini dapat bermanfaat dalam pembelajaran baik untuk siswa maupun guru. Slawi, September 2020 Penyusun Deby Viyana, S.Pd. iii
DAFTAR ISI Cover ………………………………………………………………………………………. i Kata Pengantar …………………………………………………………………………… iii Daftar Isi …………………………………………………………………………………… iv Pendahuluan …………………………………………………………………………….... v Materi 1 Barisan dan Deret Aritmetika A. Uraian Materi 1. Apersepsi …………………………………………………………………. 2 2. Barisan Aritmatika ……………………………………………………..… 3 3. Suku ke-n Barisan Aritmetika …………………………………………... 4 4. Sisipan Barisan Artmetika ……………………………….……………… 5 5. Suku Tengah Barisan Aritmetika ………………………………………. 6 6. Jumlah Deret Aritmetika ………………………………………………… 6 B. Rangkuman ……………………………………………………………………. 9 C. Soal Latihan ……………………………………………………………………10 Materi 2 Barisan dan Deret Geometri A. Uraian Materi 1. Apersepsi …………………………………………………………….. 12 2. Barisan Geometri ……………………………………………………. 12 3. Suku ke-n Barisan Geometri ……………………………………….. 14 4. Suku Tengah Barisan Geometri …………………………………… 15 5. Sisipan Barisan Geometri ………………………………………….. 15 6. Jumlah Deret Geometri …………………………………………….. 16 B. Rangkuman ………………………………………………………………….. 19 C. Soal Latihan …………………………………………………………………. 20 Materi 3 Deret Geometri Tak Hingga A. Uraian Materi 1. Apersepsi …………………………………………………………….. 22 2. Deret Geometri Tak Hingga ………………………………………... 22 B. Rangkuman ………………………………………………………………….. 24 C. Soal Latihan …………………………………………………………………. 25 Daftar Pustaka …………………………………………………………………………... 26 iv
PENDAHULUAN Kepada para siswa kelas XI yang melaksanakan pembelajaran daring, tetap bersemangat dan selalu menjaga kesehatan. Modul ini diharapkan dapat membantu kalian dalam pembelajaran daring mata pelajaran matematika wajib khususnya materi barisan dan deret. Dalam modul ini terdiri dari tiga materi. Materi 1 : Barisan dan Deret Aritmetika Materi 2 : Barisan dan Deret Geometri Materi 3 : Deret Geometri Tak Hingga Petunjuk penggunaan modul: Pembelajaran modul ini dapat berjalan dengan baik dengan tahapan sebagai berikut: 1. Melakukan apersepsi dengan mengingat kembali materi prayarat untuk masing- masing materi yang akan dipelajari 2. Pelajari materi pada setiap pokok bahasan materi 3. Memahami alternatif penyelesalaian pada contoh-contoh soal yang diberikan 4. Mengerjakan soal latihan di akhir modul 5. Kesungguhan dalam belajar sangat mempengaruhi kalian dalam belajar, maka belajarlah dengan sungguh-sungguh baik secara mandiri maupun berbagi dengan teman 6. Apabila mengalami kesulitan dapat berdiskusi dengan teman dan guru Selamat belajar, semoga materi yang dipelajari dapat bermanfaat dan dapat diimplementasikan dalam kehidupan sehari-hari. v
PETA KONSEP Aritmetika Geometri Barisan Deret Barisan Deret Aritmetika Aritmetika Geometri Geometri Deret Geometri Tak Hingga vi
MATERI POKOK I BARISAN DAN DERET ARITMETIKA Kompetensi Dasar : 3.4 Menggeneralisasikan pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri 4.4 Menggunakan pola barisan aritmetika atau geometri untuk menyajikan dan menyelesaikan masalah kontekstual (termasuk pertumbuhan, peluruhan, bunga majemuk, dan anuitas). Tujuan Pembelajaran : 1. Siswa dapat menemukan rumus pola bilangan suku ke-n pada barisan aritmetika 2. Siswa dapat menemukan rumus jumlah suku ke-n pertama deret aritmetika 3. Siswa dapat menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan barisan aritmetika 4. Siswa dapat menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan deret aritmetika Pokok Materi : 1. Barisan Aritmetika 2. Sisipan Barisan Aritmetika 3. Suku Tengah Barisan Aritmetika 4. Jumlah Deret Aritmetika 1
A. Uraian Materi Barisan dan Deret sangat bermanfaat dalam kehidupan. Sebagai contoh dalam dunia usaha, kita dapat memprediksi skala keuntungan maupun kerugian apabila perkembangan usaha konstan dari waktu ke waktu. Contoh lain adalah menghitung jumlah simpanan di bank dengan bunga tertentu, dan masalah yang berkaitan dengan pertumbuhan lainnya. Dengan mengetahui manfaat materi barisan dan deret diharapkan kalian termotivasi mempelajarinya. Ayo mengingat kembali tentang barisan Seorang siswa sedang menyusun stik ice cream warna-warni untuk membuat hasta karya ke dalam bentuk seperti di bawah ini, Susunan ke-1 : terdiri dari 3 stik Susunan ke-2 : 2 terdiri dari 5 stik Susunan ke-3 : 2 terdiri dari 7 stik Susunan ke-4 : 2 terdiri dari 9 stik 2
Dari susunan pertama terdiri dari 3 stik ice cream, susunan kedua 5 stik ice cream, susunan ketiga 7 stik ice cream, susunan keempat 9 stik ice cream. Susunan tersebut membentuk barisan bilangan 3,5,7,9. Barisan tersebut membentuk pola tertentu. Bagaimana polanya ? Ya dari susunan stik ice cream adalah ditambah 2 dari susunan sebelumnya. Itulah yang disebut sebagai barisan yaitu bilangan yang tersusun dengan pola tertentu. Ayo cari tahu tentang Barisan Aritmetika Untuk mengetahui apa itu barisan aritmetika coba perhatikan masalah berikut Seorang relawan satuan tugas covid-19 mempunyai jadwal jaga selama satu bulan. Jadwal ia tandai dengan stabilo warna biru yaitu tanggal 2, 6, 10, 14, 18. Apabila jadwal dilanjutkan sampai akhir bulan September dengan pola yang sama, tanggal berapa seorang relawan tersebut terakhir bertugas di bulan September 2020? Senin Selasa Rabu Kamis Jumat Sabtu Minggu 1 23 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Apakah jadwal relawan satgas covid-19 tersebut membentuk pola bilangan tertentu? Kalau ya, bagaimana polanya? Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, coba kita perhatikan penjelasan berikut. Susunan tanggal jadwal relawan tersebut adalah 2, 6, 10, 14, 18 6–2=4 10 – 6 = 4 14 – 18 = 4 Selisih dua bilangan yang berurutan selalu sama yaitu 4. Barisan di atas yang kita sebut sebagai barisan aritmetika yaitu barisan yang memiliki selisih yang sama. Selisih tersebut kita sebut sebagai beda (b) 3
Secara umum, barisan aritmatika didefinisikan sebagai berikut. Suatu barisan ������1, ������2, ������3, … , ������������ merupakan barisan aritmetika apabila untuk ������ adalah beda dan setiap ������ bilangan asli berlaku ������������ − ������������−1 = ������������−1 − ������������−2 = ������3 − ������2 = ������2 − ������1 = ������ Dari beberapa barisan berikut, manakah yang merupakan barisan aritmatika? Tentukan bedanya! 1. 2, 4, 6, 8, 10 2. 1, 4, 9, 16, 25 3. 3, 4, 5, 7, 9 4. 3, 6, 9, 12, 15 5. 1, 3, 5, 7, 9 Ya bagus, benar sekali bahwa yang merupakan barisan aritmetika adalah barisan nomor 1, 4 dan 5. Untuk barisan nomor 1 yaitu 2, 4, 6,8,10 adalah barisan aritmetika dengan beda 2. Barisan nomor 4 yaitu 3,6,9,12,15 adalah barisan aritmetika dengan beda 3, sedangkan barisan nomor 5 yaitu 1,3,5,7,9 merupakan barisan aritmetika dengan beda 2. Suku ke-n Barisan Aritmetika Pada barisan 2, 4, 6, 8, 10 Berapa bedanya? Dapatkah kamu menentukan suku ke-6 , suku ke-8 dan suku ke-n?..... Untuk menemukan rumus pola bilangan aritmatika kita buat tabel berikut Susunan ke- Suku Beda Pola bilangan 1 2 2 2 = 2 + (1 − 1)2 2 4 2 4 = 2 + (2 − 1)2 3 6 2 6 = 2 + (3 − 1)2 4 8 2 8 = 2 + (4 − 1)2 5 10 2 10 = 2 + (5 − 1)2 ⋮⋮ ⋮ ⋮ ������ ������������ 2 ������������ = 2 + (������ − 1)2 4
Dari tabel tersebut diperoleh rumus suku ke-n pada barisan 2, 4, 6, 8, 10 adalah ������������ = 2 + (������ − 1)2 Suku pertama beda Secara umum, rumus pola bilangan pada barisan aritmatika adalah sebagai berikut. Jika ������������ adalah suku ke-n, ������ adalah suku pertama barisan aritmetika, ������ adalah beda dan setiap ������ bilangan asli maka suku ke-n (������������) adalah ������������ = ������(������ − 1)������. Setelah tahu apa itu barisan aritmetika permasalahan tentang relawan satgas covid-19 bisa diselesaikan. Untuk menyelesaikannya silahkan ikuti aktivitas pembelajaran menggunakan LKPD dari gurumu. Sisipan Barisan Aritmetika Jika diantara dua suku yang berurutan dalam suatu barisan aritmetika dimasukkan satu atau lebih suku (bilangan) yang lain sehingga menjadi barisan aritmetika yang baru, maka proses ini disebut menyisipkan atau interpolasi. Misalkan diantara dua suku (bilangan) U1 dan U2 disisipkan k bilangan sehingga terjadi barisan aritmetika, maka: Barisan pertama U1, U2 dimana beda b = U2 – U1. Apabila beda barisan aritmetika yang baru dimisalkan b’ , maka barisan aritmetika baru ialah : ������1, (������1 + ������’), (������1 + 2������’), . . . , (������1 + ������������’), ������2 Dimana (������1 + ������������’) + ������’ = ������2 ⇔ ������1 + (������ + 1)������’ = ������2 ⇔ ������′ = ������2 − ������1 ������������������������ ������′ = ������ ������ 1 ������ + 1 + Beda barisan aritmetika yang baru ialah ������′ = ������2 − ������1 ������������������������ ������′ = ������ ������ 1 ������ + 1 + 5
Suku Tengah Barisan Aritmetika Suku tengah suatu barisan aritmatika hanya terdapat pada barisan aritmatika yang memiliki suku ganjil. Perhatikan tabel di bawah ini Barisan Suku tengah Rumus Suku tengah ������1 , ������2 , ������3 ������2 ������1 , ������2 , ������3, ������4 , ������5 ������3 1 ������1 , ������2 , ������3, ������4 , ������5, ������6 , ������7 ������4 2 (������1 + ������3) ������1 , … , ������������, … , ������2������−1 ������������ 1 2 (������1 + ������5) 1 2 (������1 + ������7) 1 2 (������1 + ������2������−1) Suatu barisan aritmatika dengan banyak suku adalah ganjil (2������ − 1), dengan t bilangan asli lebih dari dua. Suku tengah dari barisan aritmatika itu adalah suku ke-t atau ������������ dan rumus suku tengah ������������ ditentukan oleh hubungan : 1 ������������ = 2 (������1 + ������2������−1) Suatu barisan aritmatika dengan banyak suku adalah ganjil (2������ − 1), dengan t bilangan asli lebih dari dua. Suku tengah dari barisan aritmatika itu adalah suku ke-t atau ������������ dan rumus suku tengah ������������ ditentukan oleh hubungan : 1 ������������ = 2 (������1 + ������2������−1) Jumlah Deret Aritmetika Jika setiap suku pada barisan aritmatika dijumlahkan, maka diperoleh deret aritmatika. Secara umum, deret aritmatika didefinisikan sebagai berikut. Jika ������1, ������2, ������3, … , ������������ suku-suku pada barisan aritmatika, maka ������1 + ������2 + ⋯ + ������������−1 + ������������ adalah deret aritmetika. misal ������������ menyatakan deret aritmatika maka diperoleh: ������1 + ������2 + ⋯ + ������������−1 + ������������ = ������������ 6
⇔ ������������ = ������ + (������ + ������) + ⋯ + (������ + (������ − 2)������) + (������ + (������ − 1)������) ................... (i) persamaan (i) dengan ������ maka dapat ditulis sebagai berikut : ������������ = (������ + (������ − 1)������) + (������ + (������ − 2)������) + ⋯ + (������ + ������) + ������................... (ii) Dengan menjumlahkan persamaan (i) dan (ii), maka diperoleh : ������������ = ������ + (������ + ������) + ⋯ + (������ + (������ − 2)������) + (������ + (������ − 1)������) + ������������ = (������ + (������ − 1)������) + (������ + (������ − 2)������) + ⋯ + (������ + ������) + ������ 2������������ = (������ + (������ + (������ − 1)������)) + ( ������������ + (������ + (������ − 2)������)) + ⋯ + ((������ + (������ − 1)������) + ������)) 2������������ = ������(2������ + (������ − 1)������) ������ suku ������ ������������ = 2 (2������ + (������ − 1)������) Secara umum, rumus n pertama deret aritmatika adalah sebagai berikut: jika ������ suku pertama barisan aritmatika, ������ adalah beda dan setiap ������ maka ������ ������������ = 2 (2������ + (������ − 1)������) Contoh Soal : 1. Suku ke-40 dari barisan 7, 5, 3, 1, … adalah … Pembahasan: Diketahui: a = 7 b = –2 ditanya ������40 Jawab: ������������ = ������ + (������ − 1)������ ������40 = 7 + (40 − 1)(−2) = 7 + 39 . (-2) = 7 + (-78) = – 71 Jadi, suku ke-40 barisan aritmatika tersebut adalah –71. 7
2. Rumus suku ke-n dari barisan 5, –2, –9, –16, … adalah … Pembahasan: Diketahui: a = 5 b = –7 Ditanya: rumus suku ke-n barisan aritmatika tersebut = ? Jawab: ������������ = ������ + (������ − 1)������ = 5 + (������ − 1)(−7) = 5 − 7������ + 7 = 12 − 7������ Jadi, rumus suku ke-n barisan aritmatika tersebut adalah 12 − 7������ 3. Dalam suatu gedung pertunjukkan disusun kursi dengan baris paling depan terdiri dari 12 kursi, baris kedua berisi 14 kursi, baris ketiga berisi 16 kursi, dan seterusnya. Banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah … Pembahasan: Diketahui: a = 12 b=2 Ditanyakan ������20 Jawab: ������������ = ������ + (������ − 1)������ ������20 = 12 + (20 − 1)(2) = 12 + 19.2 = 12 + 38 = 50 Jadi, banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah 50 kursi. 4. Rumus jumlah n suku pertama deret bilangan 2 + 4 + 6 + … + adalah … Pembahasan: Diketahui: a = 2 b=2 Ditanya: rumus jumlah n suku pertama barisan aritmatika tersebut = ? 8
Jawab: ������ ������������ = 2 (2������ + (������ − 1)������) = ������ (2.2 + (������ − 1)2) 2 ������ = 2 (4 + 2������ − 2) = ������ (2 + 2������) 2 = ������ . 2(1 + ������) 2 = ������(1 + ������) = ������ + ������2 Jadi, rumus jumlah n suku pertama barisan aritmatika tersebut adalah ������������ = ������2 + ������ B. Rangkuman 1. Secara umum, barisan aritmatika didefinisikan sebagai berikut. Suatu barisan ������1, ������2, ������3, … , ������������ merupakan barisan aritmetika apabila untuk ������ adalah beda dan setiap ������ bilangan asli berlaku ������������ − ������������−1 = ������������−1 − ������������−2 = ������3 − ������2 = ������2 − ������1 = ������ 2. Secara umum, rumus pola bilangan pada barisan aritmatika adalah sebagai berikut. Jika ������������ adalah suku ke-n, ������ adalah suku pertama barisan geometri, ������ adalah beda dan setiap ������ bilangan asli maka ������������ = ������(������ − 1)������. 3. Beda barisan aritmetika yang baru ialah ������′ = ������2 − ������1 ������������������������ ������′ = ������ ������ 1 ������ + 1 + 4. Suatu barisan aritmatika dengan banyak suku adalah ganjil (2������ − 1), dengan t bilangan asli lebih dari dua. Suku tengah dari barisan aritmatika itu adalah suku ke-t atau ������������ dan rumus suku tengah ������������ ditentukan oleh hubungan : ������������ = 1 (������1 + ������2������−1) 2 5. Secara umum, rumus n pertama deret aritmatika adalah sebagai berikut: jika ������ suku pertama barisan aritmatika, ������ adalah beda dan setiap ������ maka ������ ������������ = 2 (2������ + (������ − 1)������) 9
Soal Latihan 1. Diketahui suku ke-3 dan suku ke-8 suatu barisan aritmatika berturut-turut adalah 2 dan -13. Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah ... 2. Seorang anak bernama Bima ingin membelikan ibunya hadiah berupa gamis dengan harga Rp. 375.000,00. Dia berencana menabung dengan selisih kenaikan tabungan antar bulan tetap. Pada bulan pertama sebesar Rp50.000,00, bulan kedua Rp55.000,00, bulan ketiga Rp60.000,00, dan seterusnya. Berapa lama Bima menabung agar dapat membelikan gamis tersebut untuk ibunya? 3. Nilai dari 1−3+5+7−9+11+13−15+17+⋯ +193−195+197 adalah ... 10
MATERI POKOK II BARISAN DAN DERET GEOMETRI Kompetensi Dasar : 3.4 Menggeneralisasikan pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri 4.4 Menggunakan pola barisan aritmetika atau geometri untuk menyajikan dan menyelesaikan masalah kontekstual (termasuk pertumbuhan, peluruhan, bunga majemuk, dan anuitas). Tujuan Pembelajaran : 1. Siswa dapat menemukan rumus pola bilangan suku ke-n pada barisan geometri 2. Siswa dapat menemukan rumus jumlah suku ke-n pertama deret geometri 3. Siswa dapat menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan barisan geometri 4. Siswa dapat menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan deret geometri Pokok Materi : 1. Barisan Geometri 2. Suku Tengah Barisan Geometri 3. Sisipan Barisan Geometri 4. Jumlah Deret Geometri 11
A. Uraian Materi Sebelumnya kalian telah mempelajari barisan dan deret aritmetika. Pada materi kedua ini kita pelajari barisan dan deret geometri. Manfaat barisan dan deret diantaranya adalah menghitung jumlah simpanan di bank dengan bunga tertentu, dan masalah yang berkaitan dengan pertumbuhan lainnya. Dengan mengetahui manfaat materi barisan dan deret geometri diharapkan kalian termotivasi untuk mempelajarinya. Ayo mengingat kembali tentang barisan aritmetika Pada materi sebelumnya kita sudah mempelajari apa itu barisan bilangan, barisan dan deret aritmetika. Susunan barisan bilangan 3,5,7,9 membentuk pola tertentu, yaitu selisih dua suku yang berurutan adalah sama yaitu 2. Itulah yang disebut sebagai barisan aritmetika yaitu barisan yang memiliki selisih suku berurutan yang sama. Bagaimana dengan barisan 2, 4, 8, 16, ….? Apakah membentuk pola tertentu? Apakah barisan tersebut termasuk barisan aritmetika? Ayo cari tahu tentang Barisan Geometri Untuk mengetahui apa itu barisan geometri coba perhatikan masalah berikut Bakteri adalah makhluk bersel satu yang berkembangbiak dengan cara membelah diri. Satu ekor bakteri jenis tertentu mampu membelah diri menjadi dua dalam waktu 10 detik. Berapa banyak bakteri selama 1 menit jika pada awal terdiri dari 1 bakteri? Sumber Gambar : halodoc.com 12
Permasalahan di atas dapat dituangkan dalam tabel sebagai berikut. No Pengamatan ke Detik Banyak bakteri 1. 1 10 2 2. 2 20 4 3. 3 30 8 4. 4 40 16 5. 5 50 32 6. 6 60 64 Apakah pertumbuhan bakteri membentuk pola bilangan tertentu? Kalau ya, bagaimana polanya? Coba kita perhatikan Susunan banyak bakteri tersebut adalah 2, 4, 8, 16, 32, 64 4 8 16 32 64 2 = 4 = 8 = 16 = 32 = 2. Perbandingan dua bilangan yang berurutan selalu sama yaitu 2 Barisan di atas yang kita sebut sebagai barisan geometri yaitu barisan yang memiliki perbandingan yang sama. Perbandingan tersebut kita sebut sebagai rasio (r). Secara umum, barisan geometri didefinisikan sebagai berikut. Suatu barisan ������1, ������2, ������3, … , ������������ dinamakan barisan geometri apabila untuk ������ adalah rasio dan setiap ������ bilangan asli berlaku ������������ = ������������−1 = ⋯ = ������3 = ������2 = ������ ������������−1 ������������−2 ������2 ������1 Dari beberapa barisan berikut, manakah yang merupakan barisan geometri? Tentukan rasionya! 1. 160, 80, 40, 20, 10 2. 1, 1, 2, 3, 5, 8 3. 1 , 1 , 1 , 1 , 1 2 4 8 16 32 4. 1, −3, 9, −27, 81 5. 55, 50, 45, 40, 35 13
Ya benar sekali, barisan yang merupakan barisan geometri adalah barisan nomor 1, 3, dan 4. Barisan nomor 1 yaitu 160,80,40,20,10 adalah barisan geometri dengan rasio 21. Barisan nomor 3 yaitu 1 , 1 , 1 , 1 , 1 2 4 8 16 32 adalah 2. Barisan nomor 4 yaitu 1, −3, 9, −27, 81 adalah -3. Suku ke-n Barisan Geometri Berdasarkan data pertumbuhan bakteri masalah sebelumnya, lengkapilah tabel berikut! Pengamatan Banyak Rasio Pola Bilangan No ke bakteri Detik (Suku) 2 2 = 2 × 21−1 1. 1 2 4 = 2 × 22−1 2. 2 10 2 2 8 = 2 × 23−1 3. 3 20 4 2 16 = 2 × 24−1 4. 4 30 8 2 32 = 2 × 25−1 5. 5 40 16 2 64 = 2 × 26−1 6. 6 50 32 ⋮⋮ 60 64 ⋮⋮ ������ ������ ⋮ ⋮ 2 ������������ = 2 × 2������−1 ������������ Dari tabel tersebut diperoleh rumus suku ke-n pada barisan tersebut adalah ������������ = 2 × 2 ������−1. Suku pertama Rasio Ayo menyimpulkan Secara umum, rumus suku ke-n pada barisan geometri adalah sebagai berikut. Jika ������ adalah suku pertama barisan geometri, ������ adalah rasio dan setiap ������ bilangan asli maka ������������ = ������������������−1. 14
Suku Tengah Barisan Geometri Suku tengah pada barisan geometri hanya terdapat pada barisan geometri yang memiliki banyak suku ganjil. Perhatikan tabel berikut. Suku tengah Rumus suku tengah Barisan geometri 12 √3 × 48 = 12 3, 6, 12, 24, 48 9 √1 × 81 = 9 1, −3, 9, −27, 81 111 1 1 1 √1 × 1 = 1 2 , 4 , 8 , 16 , 32 8 2 32 8 ������1, ������2, ������3, ������4, ������5, ������6, ������7 ������4 = ������������3 √������1 × ������7 = √������ × ������������6 = ������������3 Dari tabel tampak bahwa suku tengah dapat diperoleh dengan menghitung akar dari suku pertama dikalikan suku terakhir. Sehingga secara umum, rumus suku tengah dari barisan geometri adalah sebagai berikut ������1, … , ������������, … , ������2������−1 adalah suatu barisan geometri dengan banyak sukunya ganjil (2������ − 1), dan ������ ∈ himpunan bilangan asli lebih dari dua. Jika ������������ adalah suku tengah barisan geometri tersebut maka ������������ = √������1 × ������2������−1 Sisipan Barisan Geometri Sisipan adalah penambahan sejumlah ������ suku baru diantara suku - suku yang berdekatan. Pada sisipan, suku awal dan suku akhir tetap sama yang berubah adalah rasio. 15
Misalkan antara ������������ dan ������������+1 disisipkan ������ buah suku baru dengan rasio ������, barisan geometri yang terbentuk dapat ditulis sebagai berikut ������������, ������������ × ������, ������������ × ������2, … … … , ������������ × ������������, ������������+1. Dari barisan tersebut diperoleh bahwa ������������+1 = ������������ × ������������+1 ⟺ ������������+1 = ������������+1 ������������ ⟺ ������ = ������+1√���������������������+���1 Jika dua suku ������������ dan ������������+1 disisipkan ������ buah suku baru dengan rasio ������, maka ������ = ������+1√���������������������+���1 Jumlah Deret Geometri Jika setiap suku pada barisan geometri dijumlahkan, maka diperoleh deret geometri. Secara umum, deret geometri didefinisikan sebagai berikut. Jika ������1, ������2, ������3, … , ������������ suku-suku pada barisan geometri maka ������1 + ������2 + ������3 + ⋯ + ������������ dinamakan deret geometri Misalkan jumlah ������ suku pertama dari deret geometri dilambangkan sebagai ������������ maka ������������ = ������1 + ������2 + ������3 + ⋯ + ������������ ⟺ ������������ = ������ + ������������ + ������������2 + ⋯ + ������������������−1…………………….(i) Kalikan persamaan (i) dengan ������, diperoleh ������������������ = ������������ + ������������2 + ������������3 + ⋯ ������������������……………………….(ii) Kurangkan persamaan (i) dengan persamaan (ii) ������������ = ������ + ������������ + ������������2 + ⋯ + ������������������−1 ������������������ = ������������ + ������������2 + ������������3 + ⋯ + ������������������ ������������ − ������������������ = ������ − ������������������ ������������(1 − ������) = ������(1 − ������������) ������(1 − ������������) ������������ = (1 − ������) 16
Dengan cara yang sama, kurangkan persamaan (ii) dengan persamaan (i), diperoleh ������(������������ − 1) ������������ = (������ − 1) Secara umum, rumus jumlah ������ pertama deret geometri adalah sebagai berikut. Jika ������ adalah suku pertama barisan geometri, ������ adalah rasio dan setiap ������ bilangan asli maka ������������ = ������(1−������������), untuk −1 < ������ < 1 (1−������) atau ������������ = ������(������������−1) , untuk ������ < −1 ������������������������ ������ > 1 (������−1) Contoh Soal : 1. Barisan geometri dengan suku ke-5 adalah 1/3 dan rasio = 1/3, maka suku ke- 9 barisan geometri tersebut adalah ... Pembahasan : Diketahui barisan geometri : U5 = ar4 = 1/3 r = 1/3 U9 = ar8 U9 = ar4 . r4 U9 = (1/3) . (1/3)4 U9 = (1/3) . 1/81 U9 = 1/243 2. Hasil produksi suatu pabrik setiap tahunnya meningkat mengikuti aturan barisan geometri. Produksi pada tahun pertama sebanyak 200 unit dan pada tahun keempat sebanyak 1.600 unit. Hasil produksi selama enam tahun adalah ... 17
Pembahasan : U1 = a = 200 U4 = ar3 = 1600 .......................(*) Substitusi a = 200 ke persamaan (*) diperoleh 200r3 = 1600 ⇔ r3 = 8 ⇔ r = 2 Hasil produksi selama 6 tahun adalah jumlah 6 suku pertama barisan geometri diatas, yaitu : 200(1 − 26) 200(−63) ������6 = 1 − 2 = −1 = 12.600 3. Sebuah zat radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 2 jam. Jika pada pukul 06.00 massa zat tersebut 1.600 gram, massa zat yang tersisa pada pukul 14.00 adalah... Pembahasan : 06.00 → 1.600 gram 08.00 → 800 gram 10.00 → 400 gram 12.00 → 200 gram 14.00 → 100 gram atau U5 = 1600 (1/2)5-1 = 100 4. Seutas tali dipotong-potong menjadi 6 bagian dengan panjang potongan- potongan tersebut membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan terpendek 10 cm dan terpanjang 320 cm, panjang tali sebelum dipotong adalah ... Pembahasan : Pandang ke-enam potongan tali sebagai suku-suku barisan geometri, dengan potongan terpendek adalah suku pertama dan potongan terpanjang adalah suku terakhir. n=6 U1 = a = 10 U6 = ar5 = 320 .......................(*) Substitusi a = 10 ke persamaan (*) diperoleh 10r5 = 320 ⇔ r5 = 32 ⇔ r = 2 18
Panjang tali sebelum dipotong adalah jumlah dari ke-enam potongan tali tersebut, yaitu 10(1 − 26) 10(1 − 64) ������6 = 1 − 2 = −1 = 630 B. Rangkuman 1. Secara umum, barisan geometri didefinisikan sebagai berikut. Suatu barisan ������1, ������2, ������3, … , ������������ dinamakan barisan geometri apabila untuk ������ adalah rasio dan setiap ������ bilangan asli berlaku ������������ = ������������−1 = ⋯ = ������3 = ������2 = ������ ������������−1 ������������−2 ������2 ������1 2. Secara umum, rumus suku ke-n pada barisan geometri adalah sebagai berikut. Jika ������ adalah suku pertama barisan geometri, ������ adalah rasio dan setiap ������ bilangan asli maka ������������ = ������������������−1. 3. Secara umum, rumus suku tengah dari barisan geometri adalah sebagai berikut ������1, … , ������������, … , ������2������−1 adalah suatu barisan geometri dengan banyak sukunya ganjil (2������ − 1), dan ������ ∈ himpunan bilangan asli lebih dari dua. Jika ������������ adalah suku tengah barisan geometri tersebut maka ������������ = √������1 × ������2������−1 4. Jika dua suku ������������ dan ������������+1 disisipkan ������ buah suku baru dengan rasio ������, maka ������ = ������+1√���������������������+���1 5. Secara umum, rumus jumlah ������ pertama deret geometri adalah sebagai berikut. 19
Jika ������ adalah suku pertama barisan geometri, ������ adalah rasio dan setiap ������ bilangan asli maka ������������ = ������(1−������������), untuk −1 < ������ < 1 (1−������) atau ������������ = ������(������������−1) , untuk ������ < −1 ������������������������ ������ > 1 (������−1) C. Soal Latihan 1. Bakteri adalah makhluk bersel satu yang berkembangbiak dengan cara membelah diri. Satu ekor bakteri jenis tertentu mampu membelah diri menjadi dua dalam waktu 10 detik. Jika pada 10 detik pertama terdapat 6 bakteri dalam suatu wadah. Berapa banyak bakteri yang terdapat dalam wadah tersebut setelah 1 menit ? 2. Akibat serangan wabah penyakit, jumlah populasi ayam petelur yang dimiliki oleh seorang peternak berkurang menjadi setengahnya tiap lima belas hari. Pada hari keenam puluh populasinya tinggal 500 ekor. Berapakah jumlah populasi ayam pada hari pertama ? 3. Amoeba adalah makhluk bersel satu yang berkembangbiak dengan pebelahan mitosis (biner). Satu amoeba mampu membelah diri menjadi dua dalam waktu 2 menit. Jika pada pukul 08.00 terdapat 4 amoeba dalam suatu wadah, maka berapa banyak amoeba yang terdapat dalam wadah tersebut pada pukul 09.30 ? 20
MATERI POKOK III DERET GEOMETRI TAK HINGGA Kompetensi Dasar : 3.4 Menggeneralisasikan pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri 4.4 Menggunakan pola barisan aritmetika atau geometri untuk menyajikan dan menyelesaikan masalah kontekstual (termasuk pertumbuhan, peluruhan, bunga majemuk, dan anuitas). Tujuan Pembelajaran : 1. Siswa dapat menemukan rumus jumlah deret geometri tak hingga 2. Siswa dapat menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan deret geometri tak hingga Pokok Materi : 1. Jumlah Deret Geometri Tak Hingga 21
A. Uraian Materi Sebelumnya kalian telah mempelajari deret geometri. Pada materi ketiga ini kita akan mempelajari deret geometri tak hingga. Manfaat deret geometri tak hingga dalam kehidupun sehari-hari adalah menghitung Panjang lintasan bola yang jatuh. Dengan mengetahui manfaat materi deret geometri tak hingga diharapkan kalian termotivasi untuk mempelajarinya. Ayo mengingat kembali tentang deret geometri Pada materi sebelumnya kita sudah mempelajari deret geometri. Jika ������ adalah suku pertama barisan geometri, ������ adalah rasio dan setiap ������ bilangan asli maka jumlah deret geometri dapat dihitung dengan rumus ������������ = ������(1−������������), untuk −1 < ������ < 1 (1−������) atau ������������ = ������(������������−1) , untuk ������ < −1 ������������������������ ������ >1 (������−1) Rumus di atas digunakan untuk menghitung jumlah deret geometri dengan banyak suku diketahui. Bagaimana dengan deret geometri yang tak hingga banyaknya? Dapatkah kita menghitung jumlah deret tersebut? Ayo cari tahu tentang Deret Geometri Tak Hingga Untuk mengetahui deret geometri tak hingga coba perhatikan masalah berikut Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 2 m dan memantul kembali menjadi 4/5 tinggi sebelumnya. Berapakah panjang lintasan bola tenis sampai bola berhenti? Sumber Gambar : sumberbelajar.belajar.kemdikbud.go.id 22
Untuk mencari penyelesaian dari permasalahan tersebut, kita dapat mempelajari materi deret geometri tak hingga terlebih dahulu. Jika banyak suku pada sebuah barisan geometri mendekati tak hingga, maka jumlah suku-sukunya disebut sebagai deret geometri tak hingga. Deret geometri tak hingga dapat ditulis sebagai berikut: ������1 + ������2 + ������3 + ⋯ + ������������ + ⋯ = ������ + ������������ + ������������2 + ⋯ + ������������������−1 + ⋯ Jika −1 < ������ < 1 dan jumlah dari deret geometri tak hingga dilambangkan dengan ������∞ , maka ������∞ = lim ������������ ������→∞ = lim ������(1 − ������������) ������→∞ 1 − ������ = lim 1 ������ ������ − lim 1 ������ ������ ������������ − − ������→∞ ������→∞ = 1 ������ ������ − 1 ������ ������ lim ������������ − − ������→∞ ������ ������ = 1 − ������ − 1 − ������ × 0 ������ = 1 − ������. Jika ������ < −1 ������������������������ ������ > 1 dan jumlah dari deret geometri tak hingga dilambangkan dengan ������∞ , maka ������∞ = ���������l���i(→m���∞������������−��������� 1) = lim (������ − 1) ������→∞ = lim 1 ������ ������ ������������ − lim 1 ������ ������ − − ������→∞ ������→∞ = 1 ������ ������ lim ������������ − 1 ������ ������ − − ������→∞ ������ ������ = 1 − ������ × ∞ − 1 − ������ = ∞. Berdasarkan uraian di atas, ciri deret geometri tak hingga dapat ditetapkan dengan menggunakan sifat sebagai berikut: 23
Deret geometri tak hingga ������ + ������������ + ������������2 + ⋯ + ������������������−1 + ⋯ dikatakan 1. Mempunyai limit jumlah atau konvergen, jika dan hanya jika −1 < ������ < 1. Limit jumlah deret geometri konvergen ditentukan oleh ������∞ = ������ . 1−������ 2. Tidak mempunyai limit jumlah atau divergen, jika dan hanya jika ������ < −1 ������������������������ ������ > 1. Setelah tahu apa itu deret geometri tak hingga permasalahan tentang panjang lintasan bola tenis bisa diselesaikan. Untuk menyelesaikannya silahkan ikuti aktivitas pembelajaran menggunakan LKPD dari gurumu. Contoh Soal : Rumus suku ke-n suatu barisan geometri dinyatakan dengan Un = 3-n. Tentukan jumlah tak hingga suku-suku dari barisan tersebut! Jawab : Diketahui : Un = 3-n. U1 = 3-1.= 1/3 U2 = 3-2 = 1/9 Diperoleh a = 1/3 r = (1/9)/(1/3) = 1/3 Jumlah tak hingga suku-sukunya adalah ������ 11 1 − 2 ������∞ = 1 ������ = 3 1 = 3 = − 3 2 1 3 B. Rangkuman Deret geometri tak hingga ������ + ������������ + ������������2 + ⋯ + ������������������−1 + ⋯ dikatakan Mempunyai limit jumlah atau konvergen, jika dan hanya jika −1 < ������ < 1. Limit jumlah deret geometri konvergen ditentukan oleh ������∞ = ������ . 1−������ Tidak mempunyai limit jumlah atau divergen, jika dan hanya jika ������ < −1 ������������������������ ������ > 1. 24
Soal Latihan 1. Suatu deret geometri tak hingga konvergen dengan jumlah 6. Apabila jumlah suku-suku genapnya sama dengan 2, tentukan suku pertama dan rasio deret tersebut! 2. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 10 m dari permukaan tanah. Apabila bola tersebut selalu memantul 2/3 kali dari ketinggian sebelumnya, tentukan panjang lintasan bola mulai dijatuhkan sampai berhenti.. 25
DAFTAR PUSTAKA Manullang, S., dkk. 2017. Matematika SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI Edisi Revisi. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia. https://www.zenius.net/blog/23365/materi-soal-barisan-deret-aritmatika (diakses tanggal 20 September 2020, pukul 13:19) https://smatika.blogspot.com/2018/02/pembahasan-soal-un-barisan-dan-deret.html (diakses tanggal 20 September 2020 pukul 13:31) http://www.matjitu.com/2019/01/pembahasan-soal-hots-tentang-barisan.html (diakses tanggal 20 September 2020 pukul 13:42) https://smatika.blogspot.com/2018/07/deret-geometri-tak-hingga.html (diakses tanggal 21 September 2020, pukul 21:28) 26
Search
Read the Text Version
- 1 - 32
Pages: