1454487399_example

หนังสือเรียน รายวิชาพ้ืนฐาน คณติ ศาสตร์ ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 2 ภาคเรียนที่ 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศกึ ษาข้นั พน้ื ฐาน พุทธศักราช 2551 ผู้เรียบเรยี ง รศ. ดร.นพพร แหยมแสง ทรงศกั ด์ิ ด่านพานชิ ผู้ตรวจ สวุ ร กาญจนมยูร รัตนา เชอื้ รนื่ ยุพดี มงคลจินดาวงศ์ บรรณาธิการ ทรงวิทย์ สุวรรณธาดา

หนงั สือเรียน รายวิชาพืน้ ฐาน คณิตศาสตร์ ช้นั มัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรยี นท่ี 2 ข้อมูลทางบรรณานุกรมของสำ�นกั หอสมดุ แห่งชาติ นพพร แหยมแสง. หนังสอื เรียน รายวิชาพืน้ ฐาน คณิตศาสตร์ ชัน้ มัธยมศึกษาปที ่ี 2 ภาคเรียนที่ 2.--กรุงเทพฯ : แม็คเอด็ ดเู คชั่น, 2559. 156 หนา้ . 1. คณิตศาสตร-์ -การศกึ ษาและการสอน (มัธยมศกึ ษา). I. ทรงศักดิ์ ด่านพานชิ , ผู้แต่งร่วม. II. ชอ่ื เรอ่ื ง. 510.7 ISBN 978-616-274-705-2 สงวนลขิ สิทธ์ิ : กมุ ภาพนั ธ์ 2559 สงวนลิขสิทธต์ิ ามกฎหมาย หา้ มลอกเลยี น ไม่วา่ จะเปน็ ส่วนหนงึ่ ส่วนใดของหนังสอื เล่มน้ี นอกจากจะไดร้ ับอนุญาตเป็นลายลกั ษณ์อักษร จัดพิมพแ์ ละจัดจ�ำ หนา่ ยโดย ส่งธนาณตั ิสั่งจ่าย ไปรษณีย์ลาดพร้าว ในนาม บริษัท แม็คเอด็ ดูเคชน่ั จ�ำ กัด เลขท่ี 9/99 อาคารแม็ค ซอยลาดพรา้ ว 38 ถนนลาดพรา้ ว แขวงจันทรเกษม เขตจตจุ ักร กรงุ เทพฯ 10900 ☎ 0-2938-2022-7 โทรสาร 0-2938-2028 E-mail : [email protected] www.MACeducation.com พิมพท์ ี่ : บริษัท กรีนแอปเปิ้ล พรน้ิ ต้ิง จำ�กัด

ค�ำ นำ� หนังสอื เรียน รายวชิ าพื้นฐาน คณิตศาสตร์ ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 2 ภาคเรยี นท่ี 2 กลุ่มสาระการเรยี นรู้ คณติ ศาสตร เลม่ น ี้ ไดจ้ ัดท�ำ ขน้ึ ตามมาตรฐานการเรยี นรู้ ตวั ช้วี ดั ชั้นปี ของหลกั สตู รแกนกลางการศกึ ษาขั้นพน้ื ฐาน พทุ ธศกั ราช 2551 ของกระทรวงศกึ ษาธกิ าร เมอ่ื ผเู้ รยี นไดเ้ รยี นและปฏบิ ตั กิ จิ กรรมตามหนงั สอื เรยี นรายวชิ าพน้ื ฐาน คณติ ศาสตร์ ครบทง้ั 6 เลม่ ผเู้ รยี นจะมศี กั ยภาพ ความสามารถทง้ั ในดา้ นความรเู้ ชงิ เนอ้ื หา และมที กั ษะ/กระบวนการ ทางคณติ ศาสตรท์ จ่ี �ำ เปน็ สามารถแกป้ ญั หาไดด้ ว้ ยวธิ ที ห่ี ลากหลาย สามารถใหเ้ หตผุ ล สามารถสอ่ื สาร สอ่ื ความหมาย ทางคณติ ศาสตร์ มคี วามคดิ รเิ รมิ่ สรา้ งสรรค์ สามารถเชอื่ มโยงความรตู้ า่ งๆ ทางคณติ ศาสตร์ และเชอื่ มโยงคณติ ศาสตร์ กับศาสตร์อ่นื ๆ ได้ อย่างไรกต็ าม แม้ว่าการนำ�เสนอเนือ้ หาในหนงั สอื ชดุ นีจ้ ะมุ่งเน้นให้ผ้เู รยี นมีความรอบรูใ้ นเน้อื หา และมี ทักษะ/กระบวนการทางคณิตศาสตร์ดังกล่าว แต่ผู้เรียนจะบรรลุตามมาตรฐานการเรียนรู้ที่จำ�เป็นท้ัง 6 สาระ คือ สาระท่ี 1 จ�ำ นวนและการด�ำ เนนิ การ สาระที่ 2 การวดั สาระที่ 3 เรขาคณติ สาระท่ี 4 พชี คณติ สาระท่ี 5 การวเิ คราะห์ ข้อมูลและความนา่ จะเปน็ และสาระที่ 6 ทกั ษะ/กระบวนการทางคณิตศาสตร์ ยอ่ มขึน้ อยู่กับองค์ประกอบทส่ี ำ�คญั 2 ประการ คอื ตัวผเู้ รียนและตัวผสู้ อน ท้งั ผ้เู รยี นและผู้สอนจำ�เป็นจะต้องให้ความเอาใจใสต่ อ่ การจดั กิจกรรมการเรยี น การสอนอย่างจริงจังในทุกขั้นตอน กล่าวคือผู้เรียนจะต้องพร้อมที่จะศึกษาเล่าเรียนอย่างจริงจัง มุ่งมั่นท่ีจะศึกษา คน้ ควา้ และท�ำ แบบฝกึ หดั อยา่ งสม�่ำ เสมอ เมอ่ื มขี อ้ สงสยั จะตอ้ งด�ำ เนนิ การศกึ ษาหาค�ำ ตอบในขอ้ สงสยั เหลา่ นนั้ โดย อาจรว่ มกันศกึ ษาไปพรอ้ มกบั เพื่อนและกบั ผู้สอน สว่ นผู้สอนจะมีบทบาทเปน็ ผชู้ ว่ ยเหลือ ส่งเสรมิ ใหผ้ ูเ้ รยี นเกดิ การ เรียนรู้ ผู้สอนจะต้องคำ�นึงถึงระดับความสามารถและวุฒิภาวะของผู้เรียน โดยการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนจะ ต้องเร่มิ จากง่ายไปยาก จากรปู ธรรมไปสูก่ ึ่งรูปธรรมและนามธรรม ใช้สอ่ื ต่างๆ ท่จี ำ�เปน็ เพ่อื ใหผ้ เู้ รียนได้ใช้ประกอบ การศึกษาค้นคว้า เพื่อให้พบกฎเกณฑ์ต่างๆ ร่วมกัน แต่การท่ีผู้เรียนจะค้นพบกฎเกณฑ์ต่างๆ ได้ จะต้องอยู่ใน สถานการณ์ที่เหมาะสม เช่น ในสถานการณ์การสาธิตหรือทดลองร่วมกัน และผู้สอนต้องใช้คำ�ถามกระตุ้นไปตาม ล�ำ ดบั จนผเู้ รยี นสามารถสรปุ กฎเกณฑไ์ ด้ ผสู้ อนพงึ ระลกึ ดว้ ยวา่ การมอบหมายงานอยา่ งใดอยา่ งหนง่ึ ใหผ้ เู้ รยี นศกึ ษา คน้ ควา้ จะตอ้ งอยภู่ ายใตพ้ ื้นฐานความรขู้ องผู้เรยี นที่จะสามารถท�ำ ได้ ดว้ ยความมงุ่ มน่ั ของผสู้ อนทจ่ี ะพฒั นาการเรยี นการสอนคณติ ศาสตรใ์ หเ้ ปน็ ไปตามมาตรฐานทก่ี �ำ หนดไว้ และดว้ ยความตง้ั ใจจรงิ ของผเู้ รยี นทจี่ ะแสวงหาความรแู้ ละพฒั นาทกั ษะ/กระบวนการ ตลอดจนความเอาใจใสใ่ นการ ท�ำ แบบฝกึ หดั เพอื่ ฝกึ ทกั ษะ และการตรวจสอบความเขา้ ใจในเนอ้ื หาดว้ ยการฝกึ แกป้ ญั หาทแ่ี ตกตา่ งไปจากตวั อยา่ ง ที่พบเห็นในหนังสือเรียน จะท�ำ ให้ผ้เู รยี นประสบความส�ำ เรจ็ ในการเรียนคณติ ศาสตรไ์ ด้อยา่ งแนน่ อน รศ. ดร.นพพร แหยมแสง ทรงศักด์ิ ดา่ นพานชิ

หนงั สอื เรยี น รายวชิ าพืน้ ฐาน คณิตศาสตร์ ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2 ภาคเรยี นที่ 2 ตรงตามสาระและมาตรฐานการเรียนรู้ ดงั น้ี สาระการเรยี นรู้ มาตรฐานการเรียนรู้ สาระท่ี 1 จ�ำ นวนและการด�ำ เนนิ การ ค 1.1 เข้าใจถึงความหลากหลายของการแสดงจำ�นวนและการใช้จำ�นวน ในชีวติ จรงิ ค 1.2 เขา้ ใจถงึ ผลทเ่ี กดิ ขนึ้ จากการด�ำ เนนิ การของจ�ำ นวนและความสมั พนั ธ์ ระหวา่ งการด�ำ เนนิ การตา่ งๆ และสามารถใชก้ ารด�ำ เนนิ การในการแกป้ ญั หา ค 1.3 ใชก้ ารประมาณค่าในการคำ�นวณและแกป้ ญั หา ค 1.4 เขา้ ใจระบบจ�ำ นวนและน�ำ สมบัติเกย่ี วกบั จำ�นวนไปใช้ สาระที่ 3 เรขาคณิต ค 3.2 ใช้การนึกภาพ (visualization) ให้เหตผุ ลเก่ียวกับปริภมู ิ (spatial reasoning) และใช้แบบจ�ำ ลองทางเรขาคณิต (geometric model) ใน การแก้ปญั หา สาระที่ 4 พีชคณิต ค 4.2 ใช้นิพจน์ สมการ อสมการ กราฟ และตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ (mathematical model) อ่ืนๆ แทนสถานการณ์ต่างๆ ตลอดจนแปล ความหมายและนำ�ไปใชแ้ ก้ปญั หา สาระที่ 6 ทักษะและกระบวนการ ค 6.1 มีความสามารถในการแก้ปัญหา การให้เหตุผล การส่ือสาร การ ทางคณิตศาสตร์ ส่ือความหมายทางคณิตศาสตร์ และการนำ�เสนอ การเชื่อมโยง ความรู้ ต่างๆ ทางคณิตศาสตร์และเชื่อมโยงคณิตศาสตร์กับศาสตร์อื่นๆ และมี ความคิดรเิ ร่ิมสร้างสรรค์

ค�ำ ช้แี จง หนงั สือเรียน รายวิชาพนื้ ฐาน คณิตศาสตร์ ช้นั มัธยมศึกษาปีที่ 2 ภาคเรยี นที่ 2 นี้ บริษทั แม็คเอ็ดดูเคช่ัน จำ�กัด จัดทำ�และพัฒนาข้ึนใหม่ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพ้ืนฐาน พุทธศักราช 2551 โดยที่หนังสือเรียนเล่มน้ีได้ปรับปรุงพัฒนาจากการติดตามผลการนำ�ไปใช้ใน ระยะเวลา 5 ปีที่ผ่านมา โดยปรับเน้ือหาและกิจกรรมให้ทันสมัย เหมาะสมกับนโยบายการจัด การศกึ ษาของรฐั และสภาพสงั คมทเ่ี ปลย่ี นแปลงไปสสู่ งั คมอดุ มปญั ญาทเี่ ครอ่ื งมอื สอื่ สารมคี วามทนั สมยั และมีประสิทธิภาพสูง ทำ�ให้มนุษย์สามารถเข้าถึงแหล่งข้อมูลความรู้ได้สะดวกรวดเร็วมาก รูปแบบ การเรียนรู้และการจัดการเรียนการสอนมีความจำ�เป็นต้องปรับเปลี่ยน โดยตระหนักในข้อนี้ บริษัท แม็คเอ็ดดูเคชั่น จำ�กัด จึงได้มีการปรับปรุงและพัฒนาหนังสือเรียนเล่มน้ีใหม่ โดยยังคงยึดแนวทาง ของหลักสตู รแกนกลางการศึกษาขัน้ พ้ืนฐาน พุทธศักราช 2551 ดังนี้ 1. จัดทำ�สาระการเรียนรู้ให้ตรงตามตัวชี้วัดช้ันปีและครอบคลุมมาตรฐานการเรียนรู้ของ หลกั สูตรทกุ มาตรฐานที่หลกั สูตรแกนกลางฯ ก�ำ หนดให้เรียนในแตล่ ะปี 2. จดั ท�ำ ตัวชวี้ ัดชัน้ ปเี พอ่ื การประเมนิ คณุ ภาพภายนอก รอบที่ 4 ด้านผู้เรียนของส�ำ นักงาน รบั รองมาตรฐานและประเมนิ คณุ ภาพการศกึ ษา (สมศ.) และสะทอ้ นใหเ้ หน็ ถงึ ความตระหนกั และความ พยายามของสถานศกึ ษาทจี่ ะจัดการเรยี นการสอนใหไ้ ด้ตามมาตรฐานท่ีกำ�หนด 3. จัดให้มีกิจกรรมเพื่อฝึกกระบวนการเรียนรู้ที่มุ่งพัฒนาให้ผู้เรียนได้เรียนรู้จนบรรลุตาม มาตรฐานการเรียนรู้ ตัวชี้วัดช้ันปีของหลักสูตร โดยผู้สอนควรให้คำ�แนะนำ�เพ่ิมเติมเพื่อให้ผู้เรียน ทุกคนปฏบิ ัตไิ ด้จริง บริษทั แมค็ เอด็ ดูเคช่ัน จ�ำ กดั ขอขอบพระคุณทกุ ท่านท่ีใหค้ วามไว้วางใจเลือกใช้สอ่ื การเรียนรู้ ของบรษิ ทั และขอตงั้ ปณธิ านวา่ จะสรา้ งสรรคส์ อ่ื การเรยี นรทู้ ม่ี คี ณุ คา่ และเกดิ ประโยชนส์ งู สดุ ตอ่ วงการ การศกึ ษาตลอดไป บริษทั แม็คเอด็ ดูเคช่นั จำ�กัด

สารบัญ หน่วยการเรียนรู้ท่ี 1 ทฤษฎีบทพที าโกรสั 1 (ตรงตามมาตรฐาน ค 3.2 ตัวชี้วัดขอ้ 2 และ ค 6.1 ตวั ชี้วัดข้อ 1) 1. สมบตั ขิ องรปู สามเหล่ียมมุมฉาก 2 2. ทฤษฎีบทพที าโกรสั 6 3. บทกลับของทฤษฎบี ทพที าโกรัส 16 4. พหุคณู ของความยาวของด้านทุกด้านของรูปสามเหลยี่ มมมุ ฉาก 22 5. กจิ กรรมชวนศกึ ษา 27 หน่วยการเรยี นรู้ท่ี 2 ความรเู้ บือ้ งตน้ เก่ียวกบั จำ�นวนจรงิ 31 (ตรงตามมาตรฐาน ค 1.1 ตัวชี้วดั ข้อ 1, 2, 3, ค 1.2 ตวั ชี้วดั ข้อ 1, 2, ค 1.3 ตัวชี้วดั ขอ้ 1, ค 1.4 ตวั ช้วี ดั ข้อ 1 และ ค 6.1 ตวั ช้ีวดั ขอ้ 1) 1. ระบบจ�ำ นวนจรงิ เบ้อื งตน้ 32 2. รากท่สี องและรากทส่ี ามในระบบจ�ำ นวนจรงิ 46 หน่วยการเรยี นรู้ที่ 3 การประยกุ ต์ของสมการเชงิ เส้นตวั แปรเดียว 78 (ตรงตามมาตรฐาน ค 4.2 ตัวชี้วดั ข้อ 1 และ ค 6.1 ตัวชว้ี ัดข้อ 2) 79 89 1. สมการ 102 2. การประยกุ ต์ 103 หน่วยการเรียนร้ทู ่ี 4 เสน้ ขนาน 120 (ตรงตามมาตรฐาน ค 3.2 ตวั ช้ีวัดขอ้ 1) 1. เส้นขนาน 2. เสน้ ขนานและมุมแยง้ ภายใน

3. เสน้ ขนานและมมุ ภายนอกกบั มมุ ภายใน 123 4. เส้นขนานและมมุ แยง้ ภายนอก 125 5. รูปสามเหลี่ยมและเส้นขนาน 133 บรรณานกุ รม 143 ภาคผนวก 144 ดัชน ี 148



หนว่ ยการเรียนร้ทู ่ี 1 ทฤษฎบี ทพที าโกรสั 5. กิจกรรมชวนศกึ ษา 1. สมบัตขิ องรปู สามเหลี่ยม 2. ทฤษฎีบทพีทาโกรสั มมุ ฉาก (มฐ. ค 3.2 ตวั ชวี้ ัดขอ้ 2, (มฐ. ค 3.2 ตวั ชวี้ ดั ข้อ 2) มฐ. ค 6.1 ตวั ชวี้ ัดข้อ 1) (มฐ. ค 3.2 ตัวชี้วดั ขอ้ 2) ทฤษฎบี ท พีทาโกรสั 4. พหคุ ณู ของความยาว 3. บทกลับของทฤษฎีบท ของด้านทกุ ดา้ นของ พที าโกรสั รปู สามเหลยี่ มมมุ ฉาก (มฐ. ค 3.2 ตวั ชี้วดั ขอ้ 2) (มฐ. ค 3.2 ตวั ช้ีวดั ข้อ 2) ตัวชี้วดั ชน้ั ปี 1. ใชท้ ฤษฎบี ทพที าโกรสั และบทกลับในการให้เหตผุ ลและแก้ปญั หา (มฐ. ค 3.2 ตวั ชว้ี ัดขอ้ 2) 2. ใชว้ ธิ กี ารท่ีหลากหลายแก้ปญั หา (มฐ. ค 6.1 ตวั ชีว้ ัดข้อ 1)

2 คณติ ศาสตร์ ม.2 ภาคเรียนท่ี 2 ในหน่วยการเรียนรู้นี้ นักเรียนจะได้ทราบสมบัติของรูปสามเหล่ียมมุมฉากที่มีช่ือว่า ทฤษฎบี ทพที าโกรัส (Pythagoras’theorem) ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั เป็นหนงึ่ ในทฤษฎีบททส่ี ำ�คญั มากในคณติ ศาสตร์ มหี ลกั ฐานชดั เจนวา่ ในยคุ สมยั บาบโิ ลนมกี ารศกึ ษาและคน้ พบความสมั พนั ธข์ องความยาว ของด้านของรูปสามเหล่ยี มมุมฉาก ดงั ต่อไปน้ี 1. สมบัติของรูปสามเหล่ยี มมมุ ฉาก รปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก หมายถึง รปู สามเหลย่ี มทมี่ มี มุ ใดมมุ หนง่ึ เปน็ มมุ ฉาก พจิ ารณา รปู สามเหลีย่ มมมุ ฉาก ABC มี AC^ B เปน็ มุมฉาก A เรยี ก AB วา่ ด้านตรงขา้ มมุมฉาก เรยี ก AC และ BC วา่ ด้านประกอบมุมฉาก จะเหน็ วา่ รปู สามเหลยี่ มมมุ ฉากมดี า้ นตรงขา้ มมมุ ฉากเปน็ ด้านท่ยี าวท่สี ุด B C สร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยให้ด้านประกอบมุมฉาก และด้านตรงข้ามมุมฉากมี ความยาวตามที่ก�ำ หนดให้ดังนี้ 1. ด้านประกอบมุมฉากยาว 3 เซนตเิ มตร และ 4 เซนติเมตร 4 ซม. 3 ซม. วัดความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากได้ 5 เซนตเิ มตร ความสมั พนั ธข์ องความยาวของดา้ นท้งั สาม 52 5 32142

3 หน่วยการเรียนร้ทู ่ี 1 ทฤษฎบี ทพที าโกรสั 2. ด้านประกอบมมุ ฉากยาว 6 เซนติเมตร และ 8 เซนติเมตร 8 ซม. 6 ซม. วัดความยาวของดา้ นตรงข้ามมมุ ฉากได้ 10 เซนติเมตร 3.2 ซม. ความสัมพนั ธ์ของความยาวของด้านท้ังสาม 102 5 62182 3. ด้านประกอบมุมฉากยาว 2.4 เซนตเิ มตร และ 3.2 เซนติเมตร 2.4 ซม. วดั ความยาวของดา้ นตรงข้ามมุมฉากได้ 4 เซนติเมตร ความสมั พันธข์ องความยาวของด้านทงั้ สาม 42 5 3.2212.42 ขอ้ 1, 2, 3 จะสอดคลอ้ งกับความสัมพันธ์ของความยาวของด้าน ท้ังสามของรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก ABC มีมมุ ACB เป็นมมุ ฉาก ถ้า c แทนความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก a และ b แทนความยาวของด้านประกอบมุมฉาก ดังรปู A c b B aC จะได้ความสมั พนั ธข์ องความยาวของดา้ นทั้งสามเป็น c2 5 a21b2

4 คณติ ศาสตร์ ม.2 ภาคเรียนที่ 2 สมบัติของรปู สามเหลี่ยมมุมฉาก สำ�หรับรูปสามเหล่ียมมุมฉากใดๆ กำ�ลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก เทา่ กับผลบวกของก�ำ ลงั สองของความยาวของด้านประกอบมุมฉาก กจิ กรรมตรวจสอบความเขา้ ใจ 1 จงใชส้ มบตั ขิ องรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก เขยี นแสดงความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งความยาวของดา้ นทงั้ สาม 1. 2. 3. a b 10 6 z y a 12 x 4. 5. 2.4 n m 3.6 2.6 1.5 ตวั อย่าง จงหาความยาวของด้านของรปู สามเหลยี่ มมมุ ฉากต่อไปนี้ (1) (2) a 12 a 10 9 26 วิธที ำ� (1) จากสมบตั ขิ องรูปสามเหลีย่ มมุมฉาก จะได ้ a2 5 921122 5 811144 5 225 5 15315 หรือ (215)3(215) a 5 15 หรือ 215 เนื่องจาก a เปน็ ความยาวของดา้ นของรปู สามเหล่ยี มมมุ ฉาก ซ่งึ มีคา่ เปน็ บวกเสมอ ดังนัน้ a 5 15 ตอบ 15 หนว่ ย

5 หน่วยการเรียนรูท้ ี่ 1 ทฤษฎีบทพที าโกรัส (2) จากสมบตั ิของรูปสามเหลีย่ มมมุ ฉาก จะได้ 262 5 a21102 a2 5 2622102 5 6762100 5 576 5 24324 หรือ (224)3(224) a 5 24 หรือ 224 เน่อื งจาก a เปน็ ความยาวของดา้ นของรูปสามเหลยี่ มมุมฉาก ซึ่งมคี า่ เปน็ บวกเสมอ ดังนน้ั a 5 24 ตอบ 24 หน่วย แบบฝกึ หัด 1 1. จงหาคา่ ของ x เมือ่ x แทนความยาวของด้านของรูปสามเหลยี่ มมมุ ฉากตอ่ ไปนี้ x x 29 3.5 20 1.2 16 34 x 12 30 x 2. A จากรูป DABC เป็นรูปสามเหลย่ี มหน้าจวั่ AB 5 AC 5 15 หนว่ ย, BC 5 18 หนว่ ย AD ⊥ BC จงหาพืน้ ท่ี DABC B DC 3. D C จากรูป hABCD เปน็ รปู สเ่ี หลย่ี มมมุ ฉาก 25 BD 5 25 หน่วย และ AB 5 15 หน่วย จงหาความยาวเส้นรอบรูปของ hABCD A 15 B

6 คณิตศาสตร์ ม.2 ภาคเรยี นที่ 2 2. ทฤษฎีบทพที าโกรสั A จากรูป DABC เป็นรปู สามเหล่ยี มมมุ ฉาก มมี มุ ABC เป็นมุมฉาก เรยี ก AC ว่าด้านตรงขา้ มมมุ ฉาก เรยี ก AB และ BC ว่าดา้ นประกอบมุมฉาก BC กิจกรรมความสมั พนั ธข์ องด้านของรูปสามเหล่ียมทเ่ี กย่ี วขอ้ งกับ ทฤษฎบี ทพีทาโกรัส มีความสัมพันธ์พิเศษระหว่างพ้ืนท่ีของรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัสท่ีสร้างจากด้านสามด้านของ รูปสามเหล่ียมมุมฉาก กิจกรรมสองกิจกรรมต่อไปนี้จะช่วยให้นักเรียนเร่ิมเห็นความสัมพันธ์ ดังกลา่ วกอ่ นทจ่ี ะกลา่ วในรูปทั่วไปในกจิ กรรม 3 กจิ กรรม 1 1. ให้นักเรียนใชก้ ระดาษสรา้ งรูปสามเหลีย่ มมุมฉาก ABC โดยมี AC และ CB ซึง่ เปน็ ดา้ นประกอบมุมฉากยาวเทา่ กนั และ AB เปน็ ด้านตรงขา้ มมมุ ฉาก 2. สรา้ งรูปส่ีเหลย่ี มจตั รุ สั บน AC , CB และ AB กำ�หนดช่ือเป็น hACMN, hCBPO และ hARQB ตามล�ำ ดับ ดังรปู R NA Q MC B O P

7 หนว่ ยการเรยี นรูท้ ่ี 1 ทฤษฎีบทพีทาโกรสั 3. ลาก AM , NC , CP และ OB 4. ตัด hACMN และ hCBPO แต่ละรปู ออกเปน็ 4 ช้นิ ดังรูป R NA Q 1 42 M 3 C5 B 86 7 OP 5. นำ�รปู สามเหลย่ี มทง้ั 8 ชิ้น ไปวางซ้อนทบั hARQB จะวางซ้อนทบั hARQB ได้สนทิ พอดหี รอื ไม่ กจิ กรรม 2 1. ใหน้ กั เรยี นใช้กระดาษสร้างรูปสามเหล่ียมมมุ ฉาก ABC โดยมี มมุ ACB เปน็ มุมฉาก และ CB ยาวเปน็ สองเทา่ ของ AC 2. สรา้ งรปู สเี่ หล่ยี มจัตรุ สั บน AB, AC และ BC กำ�หนดช่อื เป็น hABDE, hAGFC และ hBCHI ตามลำ�ดับ ดงั รูป GF H AC I E B D

8 คณิตศาสตร์ ม.2 ภาคเรยี นท่ี 2 3. ตดั hAGFC และตดั hBCHI โดยแบง่ hBCHI ออกเปน็ 4 สว่ น โดยมจี ดุ J และ จดุ K เปน็ จดุ ก่งึ กลางของ HI และ BC ตามลำ�ดับ ดงั รปู GF 1 AC H 2 3 E KJ 5 4 B I D 4. น�ำ กระดาษท้ัง 5 ชิ้น (คอื ชนิ้ ท่ี 1, 2, 3, 4 และ 5) ไปซ้อนทับ hABDE จะวางซ้อนทับ hABDE ไดส้ นทิ พอดหี รือไม่ ในกจิ กรรม 1 และกิจกรรม 2 นกั เรียนไดน้ �ำ ชิน้ ส่วนจากพื้นที่ของรปู สี่เหลีย่ มจตั รุ สั บน ด้านประกอบมุมฉากไปวางซ้อนทับพ้ืนท่ีรูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งจะวาง ไดเ้ ต็มรปู ส่เี หล่ยี มจัตรุ ัสบนดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉากพอดี การทำ�กจิ กรรม 1 และกจิ กรรม 2 พบวา่ ผลบวกของพนื้ ทข่ี องรปู สเ่ี หลย่ี มจตั รุ สั บนดา้ นประกอบมมุ ฉากเทา่ กบั พน้ื ทขี่ องรปู สเี่ หลยี่ มจตั รุ สั บนดา้ นตรงขา้ มมุมฉากของรปู สามเหล่ียมมุมฉาก R GF 5 1 A C H 2 I N A8 4 2 6 Q M C 3 E 7 3 15 B 4B OP รูปกิจกรรม 1 D รูปกิจกรรม 2

9 หน่วยการเรยี นรู้ที่ 1 ทฤษฎีบทพีทาโกรสั กจิ กรรม 3 1. ให้นักเรียนใช้กระดาษสรา้ งรปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก ABC โดยมี มุม ACB เป็นมุมฉาก และ BC ยาวกวา่ AC 2. สร้างรปู สเี่ หลีย่ มจตั รุ ัสบน AB, AC และ BC กำ�หนดชื่อเป็น hABDE, hAGFC และ hBCHI ตามล�ำ ดบั ดงั รูป H F C I G B A ED 3. หาจดุ ใน hBCHI ซึง่ เป็นจดุ ตดั ของเสน้ ทแยงมุม ก�ำ หนดจุดดงั กลา่ วเปน็ จดุ O 4. ที่จุด O ลากเส้นตรง j ตั้งฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉาก AB และลากเส้นตรง k ต้ังฉากกับเสน้ ตรง j เส้นตรง j และเส้นตรง k แบง่ hBCHI เปน็ ส่วนย่อย 4 ส่วน ดงั รูป F H GC OI A k B j ED 5. ตัด hAGFC และสว่ นย่อย 4 ส่วน ของ hBCHI ไปวางซ้อนทับ hABDE จะซ้อนทับ hABDE ได้สนทิ พอดหี รอื ไม่ ถา้ นกั เรยี นสร้างรูปไมค่ ลาดเคลื่อน เมื่อนำ�ไปวางซ้อนทบั hABDE จะพบวา่ ซ้อนทับได้ สนิทพอดี นักเรียนจะสรุปผลการทำ�กิจกรรมนี้ว่าอย่างไร ให้นักเรียนเปรียบเทียบข้อสรุปของ นักเรียนกับข้อสรุปของเพอื่ นๆ

10 คณิตศาสตร์ ม.2 ภาคเรียนท่ี 2 ถ้าความยาวของด้านประกอบมุมฉากของรูปสามเหล่ียมมุมฉากเป็น a และ b ดังนั้น พ้ืนท่ขี องรปู สี่เหล่ยี มจตั รุ สั บนดา้ นประกอบมมุ ฉากจะเป็น a2 และ b2 ตามลำ�ดับ ถา้ ความยาว ของดา้ นตรงข้ามมุมฉากเป็น c ดงั นัน้ พ้ืนท่ีของรปู สเี่ หลีย่ มจัตรุ ัสบนดา้ นตรงข้ามมุมฉากเป็น c2 จงเขยี นข้อความคาดกาณ์ของนกั เรียน ข้อความคาดการณ์ของนักเรียนควรสอดคลอ้ งกับทฤษฎีบทพีทาโกรสั ดังนี้ ส�ำ หรบั รปู สามเหลย่ี มมมุ ฉากใดๆ ก�ำ ลงั สองของความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก จะเท่ากับผลบวกของก�ำ ลังสองของความยาวของด้านประกอบมมุ ฉาก c b a นนั่ คือ เมอื่ c เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมมุ ฉาก a และ b เป็นความยาวของดา้ น ประกอบมมุ ฉาก จะได้ c2 5 a21b2 ตวั อย่างท่ี 1 จงหาความยาวของดา้ นตรงข้ามมุมฉาก c ในรปู สามเหลยี่ มมมุ ฉาก เม่อื ก�ำ หนด a และ b เป็นความยาวของดา้ นประกอบมุมฉาก (1) a 5 12, b 5 5 (2) a 5 1.6, b 5 3 (3) a 5 7, b 5 24 วิธที �ำ (1) จากทฤษฎบี ทพที าโกรสั c2 5 a21b2 เมือ่ a 5 12 และ b 5 5 จะได ้ c2 5 122152 5 144125 5 169 5 13313 ดังน้ัน c 5 13 ตอบ 13 หนว่ ย

11 หนว่ ยการเรยี นรทู้ ่ี 1 ทฤษฎบี ทพที าโกรัส (2) จากทฤษฎบี ทพที าโกรัส c2 5 a21b2 เมอ่ื a 5 1.6 และ b 5 3 จะได ้ c2 5 1.62132 5 2.5619 5 11.56 5 3.433.4 ดงั นั้น c 5 3.4 ตอบ 3.4 หน่วย (3) จากทฤษฎบี ทพที าโกรสั c2 5 a21b2 เม่อื a 5 7 และ b 5 24 จะได้ c2 5 721242 5 491576 5 625 5 25325 ดงั น้ัน c 5 25 ตอบ 25 หน่วย หมายเหต ุ เนอ่ื งจาก a และ b เปน็ ความยาวของดา้ นประกอบมมุ ฉาก และ c เปน็ ความยาว ของดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก ซงึ่ มคี า่ เปน็ บวกเสมอ ดงั นน้ั ในหนว่ ยการเรยี นรนู้ จ้ี งึ กล่าวถึงเฉพาะคา่ a, b และ c ทเี่ ป็นบวกเท่านน้ั ในกรณีที่โจทย์กำ�หนดความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก และความยาวของด้าน ประกอบมมุ ฉากมาใหด้ า้ นหนง่ึ เรากส็ ามารถหาความยาวของดา้ นประกอบมมุ ฉากอกี ดา้ นหนงึ่ ได้ เนื่องจาก c2 5 a21b2 ..........(1) ถา้ โจทยก์ ำ�หนดคา่ c และ a มาให้ และโจทยต์ ้องการหาค่า b เราอาจจัดรูปสมการ (1) เป็น b2 5 c22a2 ..........(2) ถ้าโจทยก์ ำ�หนดค่า c และ b มาให้ และโจทย์ตอ้ งการหาคา่ a เราอาจจดั รปู สมการ (1) เป็น a2 5 c22b2 ..........(3)

12 คณิตศาสตร์ ม.2 ภาคเรียนท่ี 2 ตวั อย่างที่ 2 จงหาความยาวของด้านท่ีเหลอื ของรูปสามเหล่ียมมุมฉาก เม่ือกำ�หนดให้ a และ b เปน็ ความยาวของดา้ นประกอบมุมฉาก และ c เปน็ ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก (1) b 5 15, c 5 39 (2) a 5 24, c 5 30 (3) b 5 4.5, c 5 7.5 วธิ ที �ำ (1) จาก a2 5 c22b2 b 5 15 และ c 5 39 จะได้ a2 5 3922152 5 1,5212225 5 1,296 5 36336 ดงั นน้ั a 5 36 ตอบ 36 หนว่ ย (2) จาก b2 5 c22a2 เมื่อ a 5 24 และ c 5 30 จะได้ b2 5 3022242 5 9002576 5 324 5 18318 ดงั น้นั b 5 18 ตอบ 18 หนว่ ย (3) จาก a2 5 c22b2 เมอ่ื b 5 4.5 และ c 5 7.5 จะได้ a2 5 7.5224.52 5 56.25220.25 5 36 5 636 ดังนัน้ a 5 6 ตอบ 6 หนว่ ย

13 หน่วยการเรียนร้ทู ่ี 1 ทฤษฎบี ทพที าโกรัส ตวั อยา่ งที่ 3 ชายคนหนงึ่ ข่รี ถจกั รยานไปทางทศิ เหนือ 14 กโิ ลเมตร แล้วเดินทางต่อโดยการ เดนิ เทา้ ไปทางทิศตะวนั ตกอีก 10 กโิ ลเมตร จากน้ันนงั่ เรอื ขึ้นไปทางทศิ เหนอื อีก 10 กโิ ลเมตร จึงถงึ ที่หมาย ชายคนนอี้ ย่หู ่างจากจดุ เริ่มต้นกีก่ โิ ลเมตร วธิ ที ำ� D ใหจ้ ุด A เปน็ จดุ เริม่ ต้น AB เปน็ ระยะทางทข่ี ร่ี ถจกั รยานไปทางทศิ เหนอื 10 กม. 14 กโิ ลเมตร C 10 กม. BC เปน็ ระยะทางทเี่ ดนิ เทา้ ไปทางทศิ ตะวนั ตก B 10 กิโลเมตร 14 กม. CD เป็นระยะทางที่น่ังเรือขึ้นไปทางทิศเหนือ 10 กโิ ลเมตร E A AD แทนระยะห่างจากจดุ เรมิ่ ตน้ ถงึ ทหี่ มาย ตอ่ DC ไปทางจุด C พบส่วนของเสน้ ตรง AE ทข่ี นานกับ BC ทจ่ี ดุ E จะไดร้ ูปสี่เหลีย่ มผืนผ้า ABCE และรปู สามเหล่ยี มมมุ ฉาก ADE ท่มี มี มุ AED เปน็ มมุ ฉาก จะได้ AD2 5 AE21DE2 แต่ AE 5 BC 5 10 และ DE 5 DC1CE 5 10114 (CE 5 AB) 5 24 จะได ้ AD2 5 1021242 5 1001576 5 676 5 26326 ดังนน้ั AD 5 26 ตอบ ชายคนนอ้ี ยู่ห่างจากจุดเรม่ิ ต้น 26 กโิ ลเมตร ตวั อยา่ งท่ี 4 จากรูป จงหาพ้นื ท่ีของรูปสเ่ี หล่ียมคางหมู ABCD ซง่ึ มี AB 5 12 เซนตเิ มตร BC 5 13 เซนติเมตร และ CD 5 17 เซนติเมตร 13 ซม. C E B 12 ซม. 17 ซม. AD

14 คณิตศาสตร์ ม.2 ภาคเรยี นท่ี 2 วธิ ที ำ� ลาก BE ขนานกบั AD พบ CD ที่จุด E ดงั นน้ั DBCE เป็นรูปสามเหลยี่ มมุมฉาก และ hABED เปน็ รปู สี่เหล่ยี มมมุ ฉาก จะได ้ EC 5 CD2ED 5 17212 (ED 5 AB) 5 5 เซนตเิ มตร เน่ืองจาก DBCE เปน็ รูปสามเหลยี่ มมมุ ฉาก ดังน้นั BC2 5 BE21CE2 132 5 BE2152 BE2 5 132252 5 169225 5 144 5 12312 จะได ้ BE 5 12 เซนตเิ มตร น่ันคอื พ้ืนที่ของรูปสีเ่ หล่ียมคางหมู ABCD 5 1 3(12117)312 2 5 2936 5 174 ตารางเซนตเิ มตร ตอบ 174 ตารางเซนตเิ มตร กจิ กรรมตรวจสอบความเข้าใจ 2 กำ�หนด a และ b เปน็ ความยาวของด้านประกอบมุมฉาก และ c เป็นความยาวของด้านตรงขา้ ม มมุ ฉากของรูปสามเหล่ียมมมุ ฉาก จงหาความยาวของอกี ดา้ นหนง่ึ 1. a 5 8, b 5 15 2. a 5 12, b 5 35 3. b 5 2.1, c 5 2.9 4. a 5 2.4, c 5 3

15 หนว่ ยการเรยี นร้ทู ี่ 1 ทฤษฎบี ทพีทาโกรัส แบบฝกึ หดั 2 1. จงใช้ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั หาค่าของ c เมือ่ c แทนความยาวของดา้ น (1) (2) 3c 1c 4 2.4 (4) (3) c c 25 33 (5) 60 56 1.2 (6) 0.9 c 60 c 45 (7) c 6.3 (8) 1.6 c5 (9) (10) 1.4 cb c 41 28 40 53

16 คณิตศาสตร์ ม.2 ภาคเรยี นท่ี 2 2. จากรปู ท่ีก�ำ หนดให้ จงหาค่าของ a เม่อื a แทนความยาวของดา้ น (1) 17 12 a (2) 22 20 a (3) 25 7 a 4 8 16 3. บันไดยาว 50 ฟตุ ปลายบันไดขา้ งหนง่ึ จรดกบั เสาสงู 48 ฟุต ปลายบันไดอีกขา้ งหนง่ึ อยหู่ า่ ง จากโคนเสาก่ฟี ตุ 3. บทกลับของทฤษฎีบทพที าโกรสั ถา้ พนื้ ทขี่ องรปู สเ่ี หลยี่ มจตั รุ สั บนดา้ นหนง่ึ ของรปู สามเหลย่ี มเทา่ กบั ผลบวกของพน้ื ทข่ี อง รูปส่เี หลีย่ มจตั ุรัสบนดา้ นอกี สองดา้ น แล้วรปู สามเหลย่ี มนีเ้ ปน็ รปู สามเหลยี่ มมมุ ฉากหรอื ไม่ ให้นกั เรยี นทำ�กิจกรรมต่อไปน้ี ขัน้ ท่ี 1 กำ�หนดสว่ นของเส้นตรงยาว 8 เซนตเิ มตร 15 เซนตเิ มตร และ 17 เซนตเิ มตร พิจารณาความสมั พันธข์ องก�ำ ลงั สองของความยาวสว่ นของเสน้ ตรง จะเห็นวา่ 172 5 152182 ขน้ั ท่ี 2 ใชว้ งเวยี นและสนั ตรงสรา้ งรปู สามเหลย่ี มโดยใชส้ ว่ นของเสน้ ตรงทส่ี รา้ งในขน้ั ท่ี 1 ขน้ั ท่ี 3 ใชโ้ พรแทรกเตอรว์ ดั ขนาดของมมุ ภายในทอ่ี ยตู่ รงขา้ มดา้ นทย่ี าวทส่ี ดุ มมุ ดงั กลา่ ว มีขนาดเทา่ กบั 90 องศา หรอื ไม่

17 หนว่ ยการเรยี นรู้ท่ี 1 ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั ให้นักเรียนหาความสัมพันธ์ของกำ�ลังสองของความยาวส่วนของเส้นตรงที่กำ�หนด ให้แล้วสร้างรูปสามเหลี่ยมจากความยาวส่วนของเส้นตรงท่ีกำ�หนดให้พร้อมตรวจสอบว่าเป็น รูปสามเหล่ียมมุมฉากหรอื ไม่ กำ�หนดความยาวสว่ นของเส้นตรง ดงั นี้ 3 เซนติเมตร, 4 เซนตเิ มตร และ 5 เซนตเิ มตร จะเห็นวา่ 52 5 32142 Z สรา้ งรูป DXYZ ให้ XY 5 3 เซนตเิ มตร XZ 5 4 เซนตเิ มตร และ YZ 5 5 เซนตเิ มตร วดั มุม YXZ มขี นาด 908 หรอื ไม่ 54 Y 3X จากกจิ กรรมจะเหน็ ไดว้ ่า ถา้ รูปสามเหล่ียม XYZ มดี า้ นยาว x, y และ z หนว่ ย ตามลำ�ดับ และ x2 5 y21z2 จะได้วา่ DXYZ เป็นรปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก และมดี ้านที่ยาว x หน่วย เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งเปน็ จริงตามบทกลบั ของทฤษฎบี ทพที าโกรัสทกี่ ล่าวว่า สำ�หรับรูปสามเหล่ียมใดๆ ถ้ากำ�ลังสองของความยาวของด้านด้านหน่ึงเท่ากับผลบวก ของก�ำ ลงั สองของความยาวของดา้ นอกี สองดา้ น แลว้ รปู สามเหลยี่ มนนั้ เปน็ รปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก บทกลบั ของทฤษฎบี ทพีทาโกรสั นน้ั เปน็ จรงิ โดยสามารถพิสูจนไ์ ดด้ ังนี้ A cb B aC ก�ำ หนดให้ DABC มี AB 5 c หนว่ ย BC 5 a หนว่ ย AC 5 b หนว่ ย และ b2 5 a21c2 ต้องการพสิ จู น์วา่ DABC เปน็ รูปสามเหล่ียมมุมฉาก มมี มุ ABC เปน็ มุมฉาก แนวคิดในการพิสจู น์ ตอ้ งสรา้ งรูปสามเหลย่ี มมุมฉาก DEF ให้มมุ DEF เป็นมุมฉาก EF และ DE เป็นดา้ นประกอบมุมฉากยาว a หน่วย และ c หนว่ ย ตามล�ำ ดบั แล้วแสดงว่า DDEF  DABC

18 คณิตศาสตร์ ม.2 ภาคเรยี นท่ี 2 พิสจู น์ สรา้ งรปู สามเหลีย่ มมุมฉาก DEF ใหม้ มุ DEF เป็นมุมฉาก EF และ DE เปน็ ดา้ น ประกอบมมุ ฉากยาว a หนว่ ย และ c หนว่ ย ตามล�ำ ดบั D c E aF EF 5 BC 5 a และ DE 5 AB 5 c (จากการสร้าง) DDEF เป็นรูปสามเหล่ียมมมุ ฉาก จะได้ DF2 5 a21c2 (ทฤษฎีบทพีทาโกรัส) แต่จาก DABC จะได้ b2 5 a21c2 (กำ�หนดให)้ ดังนนั้ DF2 5 b2 (สมบัติการเท่ากัน) นนั่ คือ DF 5 b จะได ้ DDEF > DABC (ดา้ น-ดา้ น-ด้าน) ดังน้นั DE^F 5 AB^C 5 908 (มุมที่สมนัยกันของรูปสามเหล่ียม ท่ีเทา่ กันทุกประการมขี นาดเทา่ กัน) นั่นคอื DABC เปน็ รปู สามเหลย่ี มมุมฉาก มมี มุ ABC เป็นมุมฉาก ตัวอย่างท่ี 1 DABC มีด้านยาว 15 เซนตเิ มตร, 36 เซนติเมตร และ 39 เซนติเมตร DABC เป็น รปู สามเหลีย่ มมมุ ฉากหรือไม่ วิธที ำ� ให ้ a 5 15 เซนตเิ มตร b 5 36 เซนติเมตร A 3396 ซซมม. . CB15 ซม . จ ะได้ bacc222 5555 1213,2,952529เซ61นติเมตร a21b2 5 22511,296 5 1,521 ดังน้นั c2 5 a21b2 ตอบ DABC เปน็ รปู สามเหล่ียมมุมฉาก

19 หนว่ ยการเรียนรู้ที่ 1 ทฤษฎบี ทพที าโกรัส ตวั อย่างท่ี 2 ก�ำ หนดรปู สามเหลีย่ ม ABC ดงั รูป จงแสดงว่า DABC เปน็ รูปสามเหล่ยี มมุมฉาก A 12 B D 9C 16 วิธที ำ� DABD เป็นรูปสามเหล่ียมมมุ ฉาก จะได้ AB2 5 AD21BD2 5 1221162 5 1441256 AB2 5 400 DACD เป็นรูปสามเหลีย่ มมุมฉาก จะได ้ AC2 5 AD21CD2 5 122192 5 144181 AC2 5 225 จะได้ AB21AC2 5 4001225 5 625 และ BC2 5 (BD1DC)2 5 (1619)2 5 252 5 625 ดังนั้น BC2 5 AB21AC2 ตอบ DABC เป็นรูปสามเหลยี่ มมุมฉาก มมี ุม BAC เปน็ มมุ ฉาก

20 คณิตศาสตร์ ม.2 ภาคเรยี นท่ี 2 แบบฝกึ หัด 3 1. จงใชบ้ ทกลบั ของทฤษฎบี ทพที าโกรสั ตรวจสอบวา่ รปู สามเหลยี่ มแตล่ ะรปู เปน็ รปู สามเหลย่ี ม มมุ ฉากหรือไม่ (1) (2) (3) 2 14 37 1.2 5 12 1.6 13 35 (4) (5) (6) 9.5 65 16 5 12.5 4 63 15 10.4 2. จงใช้ทฤษฎบี ทพีทาโกรัสหรือบทกลบั ของทฤษฎบี ทพที าโกรสั แก้ปัญหาแต่ละขอ้ ตอ่ ไปน้ี (1) รูปสามเหล่ียมทมี่ ีความยาวของดา้ นเปน็ 9 นว้ิ 12 นิว้ และ 18 นิว้ เป็นรูปสามเหลย่ี ม มุมฉากหรือไม่ (2) จงหาพ้ืนทขี่ องรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก ซงึ่ มีด้านตรงขา้ มมมุ ฉากยาว 13 เซนตเิ มตร และ ดา้ นประกอบมุมฉากดา้ นหนง่ึ ยาว 12 เซนตเิ มตร (3) รปู สเี่ หลี่ยมด้านขนานมดี า้ นยาว 9 เซนติเมตร และ 12 เซนติเมตร และเส้นทแยงมุมยาว 15 เซนติเมตร รูปส่ีเหลี่ยมด้านขนานน้ีเป็นรูปส่ีเหล่ียมมุมฉากหรือไม่ ถ้าไม่เป็น รปู ส่เี หลยี่ มมุมฉาก ความยาวเส้นทแยงมมุ ที่ยาว 15 เซนติเมตรนี้ เป็นเสน้ ทแยงมุมเส้น ที่สน้ั กวา่ หรือยาวกวา่ เสน้ ทแยงมมุ อกี เสน้ หนงึ่ (4) จงหาความยาวรอบรปู ของรปู สเ่ี หลยี่ มมมุ ฉากทม่ี เี สน้ ทแยงมมุ เสน้ หนงึ่ ยาว 26 เซนตเิ มตร และความยาวของดา้ นอกี ดา้ นหน่งึ ของรปู สีเ่ หลยี่ มมมุ ฉากเป็น 10 เซนติเมตร (5) รูปสี่เหล่ียมขนมเปียกปูนรูปหน่ึง มีเส้นทแยงมุมยาว 16 และ 12 เซนติเมตร จะมี เสน้ รอบรปู ยาวกีเ่ ซนติเมตร

21 หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 ทฤษฎีบทพีทาโกรสั 3. จงแสดงวิธีท�ำ (1) รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากท่ีมีด้านกว้าง 7 เซนติเมตร ด้านยาว 24 เซนติเมตร จะมี เสน้ ทแยงมมุ ยาวเทา่ ไร (2) ถ้าความยาวของด้านสามด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นจำ�นวนนับสามจำ�นวน เรยี งกัน จงหาความยาวของดา้ นท้ังสาม (3) ถา้ ความยาวของดา้ นสามดา้ นของรปู สามเหลยี่ มมมุ ฉากเปน็ จ�ำ นวนคสู่ ามจ�ำ นวนเรยี ง กัน จงหาความยาวของดา้ นทงั้ สาม (4) จงหาพื้นทข่ี องรูปสามเหล่ยี มมุมฉากทม่ี ีด้านตรงข้ามมมุ ฉากยาว 34 เซนตเิ มตร และ ดา้ นประกอบมมุ ฉากด้านหนงึ่ ยาว 30 เซนติเมตร (5) รปู สเ่ี หลี่ยมจัตุรัสมีความยาวของเสน้ ทแยงมมุ เป็น 16 เซนติเมตร รูปส่ีเหลย่ี มจตั ุรัสนี้ มีพื้นที่เท่าไร (6) รูปส่ีเหลี่ยมมุมฉากมีความยาวรอบรูป 28 เซนติเมตร และรูปสี่เหล่ียมมุมฉากน้ีมี ความกว้าง 6 เซนติเมตร จงหาความยาวของเส้นทแยงมุม (7) รปู สามเหลยี่ มหนา้ จวั่ มดี า้ นทย่ี าวเทา่ กนั ยาวดา้ นละ 13 เซนตเิ มตร ฐานยาว 24 เซนตเิ มตร จงหาพ้ืนที่ของรูปสามเหลีย่ มหน้าจัว่ นี้ (8) สวนรูปส่ีเหลี่ยมมุมฉากกว้าง 12 เมตร และมีเส้นทแยงมุมยาว 20 เมตร จงหา ความยาวรอบรูปของสวนรปู สเ่ี หลีย่ มมุมฉากนี้ (9) ในการหาระยะทางระหว่างจุด A และ B ซึ่งเป็นจุดที่อยู่ตรงข้ามกันของทะเลสาบ ผสู้ ำ�รวจไดก้ �ำ หนดจุด C เพ่อื ให้มมุ ABC เปน็ มุมฉาก โดยการวดั พบว่าระยะ AC ยาว 80 เมตร และระยะ BC ยาว 64 เมตร จงหาระยะจาก A ถึง B B ทะเลสาบ 64 ม. A 80 ม. C (10) เสาธงตน้ หนึ่งหกั ณ จดุ ท่สี ูงจากพนื้ ดิน 9 ฟตุ และจุดปลายดา้ นบนของเสาโดนพืน้ ซึ่ง ห่างจากฐาน 12 ฟุต ดงั รูป จงหาว่ากอ่ นท่ีเสาธงจะหกั เสาธงสงู กี่ฟุต 9 ฟุต 12 ฟุต

22 คณติ ศาสตร์ ม.2 ภาคเรยี นท่ี 2 4. อาคารสองหลังอยหู่ ่างกัน 12 เมตร อาคารหลงั หนึง่ สูง 14 เมตร อีกหลงั หนึง่ สูง 23 เมตร ต้องการใช้บันไดพาดระหว่างดาดฟ้าของอาคารท้ังสอง ความยาวของบันไดน้ันยาวอย่าง นอ้ ยกีเ่ มตร 5. จากรูปทรงสีเ่ หล่ยี มมุมฉาก ABCDEFGH มดี า้ น AB ยาว 12 เซนติเมตร ดา้ น AD ยาว 9 เซนติเมตร และด้าน DH ยาว 8 เซนตเิ มตร จงหาความยาวของด้าน BH H G F E 8 ซม. C D B 9 ซม. A 12 ซม. 4. พหุคูณของความยาวของด้าน ทุกด้านของรปู สามเหลยี่ มมมุ ฉาก ถา้ เปล่ยี นความยาวแตล่ ะด้านของรปู สามเหลยี่ มมมุ ฉากโดยคณู ความยาวของดา้ นด้วย จ�ำ นวนบวกเดยี วกัน แล้วรูปสามเหลี่ยมทไ่ี ดเ้ ปน็ รูปสามเหลี่ยมมมุ ฉากหรอื ไม่ นกั เรียนสามารถ สร้างข้อความคาดการณไ์ ดจ้ ากการทำ�กิจกรรมตอ่ ไปนี้

23 หนว่ ยการเรียนรู้ที่ 1 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส กิจกรรม ก�ำ หนดให้ a และ b เปน็ ความยาวของด้านประกอบมุมฉาก และ c เป็นความยาวของ ด้านตรงข้ามมมุ ฉาก ให้นักเรยี นดำ�เนินการดงั น้ี 1. เลอื กรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉากรปู ใดรปู หนงึ่ เปลย่ี นความยาวของรปู สามเหลย่ี มดงั กลา่ ว เป็นสองเทา่ ของความยาวเดิม แล้วตรวจสอบความสัมพนั ธใ์ นรูป a21b2 5 c2 ถ้าเป็นไปตาม ความสมั พนั ธแ์ สดงวา่ รปู สามเหลย่ี มทม่ี คี วามยาวดา้ นเปน็ สองเทา่ ของความยาวเดมิ เปน็ รปู สาม เหลย่ี มมุมฉาก 2. เลอื กรปู สามเหลยี่ มมมุ ฉากรปู อน่ื ๆ ทตี่ า่ งจากรปู สามเหลย่ี มในขอ้ 1 เปลย่ี นความยาว ของรูปสามเหลีย่ มเปน็ สามเท่าของความยาวเดมิ แล้วตรวจสอบความสัมพนั ธใ์ นรปู a21b2 5 c2 ถ้าเป็นไปตามความสัมพันธ์แสดงว่ารูปสามเหลี่ยมท่ีมีความยาวด้านเป็นสามเท่าของความยาว เดมิ เปน็ รูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก 3. เลือกรูปสามเหลยี่ มมมุ ฉากรูปอ่ืนๆ ทีต่ า่ งจากรูปสามเหล่ียมในขอ้ 1 และข้อ 2 คูณ ความยาวของด้านแต่ละด้านของรูปสามเหล่ียมด้วยจำ�นวนบวกเดียวกันซ่ึงไม่จำ�เป็นต้องเป็น จ�ำ นวนนบั แล้วตรวจสอบความสมั พันธ์ในรปู a21b2 5 c2 ถ้าเป็นไปตามความสมั พันธแ์ สดงว่า รูปสามเหล่ียมทม่ี คี วามยาวดงั กลา่ วเปน็ รปู สามเหลีย่ มมุมฉาก 4. เขียนข้อความคาดการณ์เก่ียวกับการคูณความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้วยจ�ำ นวนบวกเดยี วกนั แล้วตรวจสอบวา่ สอดคล้องกบั ข้อสงั เกตตอ่ ไปนห้ี รอื ไม่ ขอ้ สังเกต ถ้าคูณความยาวของด้านทุกด้านของรูปสามเหล่ียมมุมฉากด้วยจำ�นวนบวก เดยี วกนั ความยาวแตล่ ะดา้ นทไ่ี ดจ้ ะยงั คงเปน็ ความยาวของดา้ นของรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก จากข้อความดงั กล่าว เราสามารถเขยี นในรปู ท่วั ไปโดยใชส้ ัญลกั ษณ์ เม่ือ a, b, c เปน็ ความยาวของดา้ นของรปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก และ n  0 ถ้า a21b2 5 c2 แลว้ (na)21(nb)2 5 (nc)2

24 คณิตศาสตร์ ม.2 ภาคเรยี นท่ี 2 จากการทำ�กิจกรรมข้างต้นน้ี นักเรียนจะพบว่า ถ้าคูณความยาวของทั้งสามด้านของ รูปสามเหลี่ยมมุมฉากด้วยจำ�นวนบวกเดียวกัน แล้วความยาวที่ได้จะยังคงเป็นความยาวของ ด้านของรูปสามเหลย่ี มมุมฉาก แบบฝึกหดั 4 1. จงหาความยาวของดา้ นท่ียังไม่ทราบความยาวของรูปสามเหลย่ี มมุมฉากตอ่ ไปนี้ (1) (2) (3) 4.8 5 5.6 6.5 27 45 (4) (5) 20 24 51 48 (6) (7) 13 4 21 12 72 2. ก�ำ หนดรปู สีเ่ หล่ียมมุมฉากมพี ้นื ท่ี 168 ตารางเซนตเิ มตร ดงั รปู a c 7 ซม. จงหา a และ c

25 หนว่ ยการเรียนรทู้ ี่ 1 ทฤษฎบี ทพที าโกรัส 3. ส่วนท่แี รเงามีพื้นท่ีเท่าไร 48 ซม. 4 ซม. (1) 14 ซม. (2) (3) 12 นวิ้ 7 ซม. O 13 นิ้ว 25 ซม. 4. กำ�หนด a, b, c เป็นความยาวดา้ นของรปู สามเหลี่ยมมุมฉาก โดยที่ a , b , c ถ้าเพ่ิม ความยาวดา้ นของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเปน็ 2 เท่า, 3 เทา่ , 4 เท่า และ 2.4 เท่าของความ ยาวเดิม แล้วความยาวด้านท่ีเปลี่ยนไปจะเป็นความยาวด้านของรูปสามเหล่ียมมุมฉาก หรือไม่ ตวั อยา่ ง ก�ำ หนด a 5 3, b 5 4, c 5 5 เ พมิ่ ความยาวดา้ นเปน็ 3 เทา่ ของความยาวเดิม จะได้ 3a 5 9, 3b 5 12 และ 3c 5 15 จะได้ 152 5 921122 225 5 811144 เปน็ จริง ดังน้ัน เม่ือเพ่ิมความยาวด้านของรูปสามเหล่ียมเป็น 3 เท่าของความยาวเดิม ความยาวดา้ นที่เปล่ียนไปยังคงเป็นความยาวดา้ นของรปู สามเหลย่ี มมุมฉาก ใ หน้ กั เรียนเติมขอ้ ความในชอ่ งว่างใหส้ มบูรณ์

26 คณิตศาสตร์ ม.2 ภาคเรยี นท่ี 2 เปล่ยี นเป็น เปลย่ี นเป็น เปลีย่ นเป็น เปลี่ยนเปน็ ความยาว 2 เท่า 3 เท่า 4 เทา่ 2.4 เทา่ ดา้ นของ 2a, 2b, 2c 3a, 3b, 3c 4a, 4b, 4c 2.4a, 2.4b, 2.4c รูปสามเหลี่ยม มุมฉาก a, b, c ....................... 9, 12, 15 ........................ ....................... 152 5 92 1 122 ........................ ....................... 225 5 811144 ........................ ....................... เป็นจริง ........................ 3, 4, 5 ....................... ดงั นัน้ 9, 12, 15 ........................ ....................... เปน็ ความยาวด้าน ........................ ....................... ของรปู สามเหลีย่ ม ........................ ....................... มมุ ฉาก ........................ 5, 12, 13 ........................ ....................... ........................ ....................... ........................ ....................... ........................ ....................... ........................ ....................... ........................ ....................... ........................ ....................... ........................ ....................... 8, 15, 17 ....................... ........................ ....................... ........................ ....................... ........................ ....................... ........................ ....................... ........................ ....................... ........................ ....................... ........................ ....................... ........................

27 หน่วยการเรยี นร้ทู ่ี 1 ทฤษฎบี ทพีทาโกรัส 5. จงหาพ้นื ท่ขี องรูปสามเหลยี่ มมมุ ฉากที่มีดา้ นประกอบมุมฉากดา้ นหน่งึ ยาว 12 เซนติเมตร และด้านตรงข้ามมมุ ฉากยาว 37 เซนตเิ มตร 6. กลอ่ งขนาด 6 ซม.38 ซม.324 ซม.ดังรูป หลอดแก้วท่ียาวทสี่ ดุ ทจ่ี ะใส่กลอ่ งได้มีความยาว เทา่ ไร หลอดแก้ว x 24 ซม. 6 ซม. 8 ซม. 5. กจิ กรรมชวนศึกษา เรามีวิธีที่แสดงให้เห็นจริงในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสอยู่มากมายหลายวิธี ใน หนว่ ยการเรียนรูน้ จี้ ะกล่าวบางวิธีท่นี ักเรียนสามารถศกึ ษาได้ ให้นักเรยี นพจิ ารณา hABCD และ hEFGH ซึง่ เปน็ รูปสเ่ี หลี่ยมจตั รุ สั ที่มีความยาวแต่ละ ด้านเป็น a1b หน่วย และรูปสามเหลี่ยมแต่ละรูปมีด้านประกอบมุมฉากยาว a และ b หน่วย ดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉากยาว c หนว่ ย ดงั รปู จงตอบคำ�ถามต่อไปนี้

28 คณติ ศาสตร์ ม.2 ภาคเรียนท่ี 2 A a Ib B E a M bF b11 2 43 a L7 7 c 2 a a c c ac c 5J Q8 4 3 OP 6 b 5c6 b b DbK aC H a N bG รปู ท่ี 1 รูปที่ 2 1. hABCD มีพน้ื ทกี่ ต่ี ารางหนว่ ย 2. hEFGH มีพื้นท่ีกต่ี ารางหน่วย 3. พื้นท่ี hABCD และพ้นื ท่ี hEFGH เทา่ กนั หรอื ไม่ 4. รูปสามเหลีย่ มทง้ั แปดรปู ท่บี รรจุอยูใ่ น hABCD และ hEFGH แต่ละรปู มพี ้ืนที่เทา่ ไร 5. hIJKL เปน็ รูปสีเ่ หลีย่ มชนิดใด 6. ก�ำ หนดรปู สามเหล่ียมทง้ั แปดรปู แต่ละรปู มีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว c หนว่ ย ดังน้นั hIJKL มพี ้นื ท่กี ี่ตารางหนว่ ย 7. hEMQO เป็นรปู ส่เี หลีย่ มชนิดใด มพี ื้นที่เทา่ ไร 8. hPGNQ เปน็ รปู สเี่ หลย่ี มชนิดใด มพี น้ื ทีเ่ ทา่ ไร 9. พนื้ ท่ี hIJKL เกย่ี วขอ้ งกบั ผลบวกพืน้ ท่ี hEMQO และ hPGNQ อยา่ งไร หากนักเรียนศกึ ษาปญั หาข้างตน้ ไดเ้ ขา้ ใจนกั เรยี นจะสามารถตอบค�ำ ถามไดว้ ่า 1. hABCD มีพ้นื ที่ (a1b)2 5 a212ab1b2 ตารางหนว่ ย 2. hEFGH มีพ้ืนที่ (a1b)2 5 a212ab1b2 ตารางหนว่ ย 3. พ้ืนที่ hABCD เทา่ กบั พื้นท่ี hEFGH (จากค�ำ ตอบขอ้ 1 และขอ้ 2) 4. รปู สามเหลย่ี มทัง้ แปดรปู แต่ละรูปมีพ้ืนท่ี 1 3a3b 5 1 ab ตารางหนว่ ย 2 2 5. จากรปู hIJKL สามารถแสดงได้วา่ 4^ 5 908 ดงั น้ี เน่อื งจาก ^1 1 ^2 5 908 (มมุ อีกสองมุมของรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก) และ ^1 5 ^3 (DAIL > DBJI) ดังน้ัน ^3 1 ^2 5 908 (สมบัติการเท่ากัน) ..........(1) และ ^3 1 ^2 1 4^ 5 1808 (ขนาดของมมุ ตรง) ..........(2) ดงั นัน้ จาก (1) และ (2) จะไดว้ ่า 4^ 5 908

29 หน่วยการเรยี นรทู้ ี่ 1 ทฤษฎีบทพที าโกรัส เช่นเดียวกันสามารถแสดงได้วา่ ^5 , ^6 และ ^7 ตา่ งก็มีขนาด 908 และ hIJKL มีแตล่ ะดา้ นยาว c หนว่ ย ดังนน้ั hIJKL เปน็ รปู สเ่ี หล่ยี มจัตรุ ัส 6. hIJKL มคี วามยาวแตล่ ะด้าน c หน่วย จึงมีพน้ื ที่ c2 ตารางหน่วย 7. hEMQO เปน็ รูปสี่เหลย่ี มจัตรุ ัส มพี ้นื ท่ี a2 ตารางหนว่ ย 8. hPGNQ เป็นรปู สเ่ี หลยี่ มจตั รุ สั มพี น้ื ที่ b2 ตารางหน่วย 9. เน่อื งจาก พ้นื ที่ hABCD ลบด้วยผลบวกพื้นทข่ี องรปู สามเหล่ยี ม 4 รปู เท่ากบั พน้ื ที่ hEFGH ลบดว้ ยผลบวกพ้ืนที่ของรปู สามเหลี่ยม 4 รปู ดังน้ัน พนื้ ท ่ี hIJKL 5 พื้นท่ี hEMQO1พื้นท่ี hPGNQ นน่ั คือ c2 5 a21b2 แบบฝกึ หัด 5 1. hABCD เปน็ รปู สเ่ี หลย่ี มจตั รุ สั มคี วามยาวของดา้ นแตล่ ะดา้ นเทา่ กบั a1b หนว่ ย และ hEFGH มีความยาวของด้านแตล่ ะด้านเท่ากบั c หน่วย จงเติมช่องว่างหรือตอบคำ�ถามต่อไปนี้ A a E bB b1c 2a H c ac 5 F 4 c b 3 DbG a C (1) hABCD มพี นื้ ท่ี (a1b)2 5 a212ab1.................... ตารางหนว่ ย (2) hEFGH มีพืน้ ทีเ่ ทา่ ไร (3) รปู สามเหล่ยี มสรี่ ูปมีพน้ื ทีร่ วมกันเป็น 4 ⎛ 1 × a × b⎠⎞⎟ 5 .................... ตารางหน่วย ⎝⎜ 2 (4) พ้ืนท่ี hABCD ลบดว้ ยพน้ื ท่รี ูปสามเหลีย่ มสี่รูป เท่ากับ (a1b)224⎛1×a × b⎞⎟⎠ 5 a212ab1b22.................... ⎜⎝ 2 5 a21 .................... ตารางหน่วย จากข้อ (2) และข้อ (4) จะได้วา่ c2 5 a21 ....................

30 คณติ ศาสตร์ ม.2 ภาคเรียนท่ี 2 2. hABDE เปน็ รปู สเ่ี หลย่ี มคางหมมู คี วามยาวดา้ นตา่ งๆ ดงั รปู จงเตมิ ชอ่ งวา่ งหรอื ตอบค�ำ ถาม ตอ่ ไปน้ี DqE pr 3 1 A p C4 q2 B (1) AC^E มีขนาด 908 เพราะเหตใุ ด (2) DABC มีพืน้ ท่ี 1 3p3 .................... 5 1 pq ตารางหน่วย 2 2 (3) DCDE มพี ้นื ท่ี 1 3....................3q 5 1 pq ตารางหน่วย 2 2 (4) DACE มีพื้นที่ 1 3r3 .................... 5 1 r2 ตารางหน่วย 2 2 (5) พนื้ ทใ่ี นข้อ (2), (3) และ (4) รวมกันได้ ....................1....................1.................... 5 pq1 1 r2 ตารางหนว่ ย 2 (6) หาพ้นื ท่ี hABDE โดยใชส้ ูตรพ้นื ทร่ี ปู ส่ีเหล่ียมคางหมูได้ 1 3(p1q)(p1q) 5 1 (p212pq1 ....................) 5 1 p21pq1 1 q2 ตารางหนว่ ย 2 2 2 2 (7) จากขอ้ (5) และข้อ (6) เน่อื งจากเปน็ พ้ืนทข่ี อง hABDE เหมือนกัน ดงั นน้ั จะได้ pq1 1 r2 5 1 p21pq1 1 q2 จะได้ 2 2 2 r2 5 ....................1....................