คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 1 สมบูรณ์

46 4. พอพลซื้อบัตรเขา้ ชมสวนสตั วแ์ ห่งหน่ึง บตั รผใู้ หญ่ราคา 25 บาท บัตรเด็กราคา 10 บาท พอพลซื้อบัตร ผู้ใหญ่ 28 ใบ และบัตรเด็ก 9 ใบ ถ้าพอพลใหธ้ นบตั รฉบับละ 1,000 บาท เขาจะได้รับเงนิ ทอนกีบ่ าท วธิ ที า............................................................................................................................. ....................................... ...................................................... ................................................................................................................ ........ ............................................................................................................................. ................................................. ............................................................................................................................. ................................................. ...................................................................................................................................................................... ........ .......................................................................................................................... .................................................... ............................................................................................................................. .................................................

47 แบบฝกึ หดั 1. จงเขยี นผลลพั ธ์ตอ่ ไปน้ีในรูปสญั กรณว์ ทิ ยาศาสตร์ 1) (2 x 1042) - (105 x 1040) 2) (7.6 x 1025 ) + (24 x 1024) วธิ ที า.................................................................... วิธีทา................................................................... ............................................................................. ............................................................................ ............................................................................. ............................................................................ ............................................................................. ............................................................................ ............................................................................. ............................................................................ ............................................................................. ............................................................................ 3) (1.6 × 105 )+(4.4 × 105 ) 1.5 × 103 วิธีทา............................................................................................................................. ......................... ......................................................................................................... ....................................................... ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................. ................................... ............................................................................................................................. ................................... 4) (82 × 1010 )  (1.8 × 1011 ) (2 × 108 ) + (3 × 109 ) วิธที า...................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. ................................... ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................. ...................................

48 2. บริเวณโคนเสาธงชาตขิ องโรงเรยี นแห่งหนึ่งเปน็ คอนกรตี รูปวงกลมซ่ึงมีเสน้ ผ่านศูนย์กลางยาว 2 เมตร ทางโรงเรียนต้องการปรับพนื้ ทร่ี อบคอนกรตี เป็นสวนดอกไม้รูปวงแหวนทมี่ ี ความกว้าง 2 เมตร ดงั แผนภาพ อยากทราบว่าบรเิ วณเฉพาะสวนดอกไม้มีพ้ืนทีป่ ระมาณ กต่ี ารางเมตร (π = 3.14) วิธีทา............................................................................................................................. ......................... ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................. ................................... ............................................................................................................................. ................................... ............................................................................................... ................................................................. ............................................................................................................................. ................................... .......................................................................................................................................................... ...... ............................................................................................................................. ................................... ............................................................................................... ................................................................. ............................................................................................................................. ................................. ............................................................................................................................................................

49 3. ในช่วงครึง่ ปหี ลงั ของ พ.ศ. 2544 ประเทศไทยสง่ ขา้ วออกดงั นี้ ในชว่ งเดอื นกรกฎาคมถงึ เดอื นกันยายน ประมาณ 2.5 x 106 ตนั คดิ เปน็ มูลคา่ ประมาณ 2.3 x 107 พนั บาท และในช่วงเดอื นตลุ าคมถึงเดือน ธันวาคมประมาณ 2 x 106 ตัน คดิ เปน็ มลู ค่าประมาณ 1.75 x 107 พันบาท จงหาว่าขา้ วทส่ี ง่ ออกในชว่ ง ครง่ึ ปหี ลงั นี้มรี าคาเฉลยี่ ประมาณตันละก่ีบาท วิธีทา...................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. ................................... ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................. ................................... ............................................................................................................................. ................................... ............................................................................................... .................................................................

50 แบบฝึกหดั 1. เม่อื วันท่ี 29 ตลุ าคม พ.ศ. 2544 มรี ายงานเกยี่ วกบั ภูมิอากาศของประเทศต่าง ๆ ซ่ึงปรากฏ ว่าอุณหภมู ิเฉล่ียท่เี มืองมอนทรีออล ประเทศแคนาดา เท่ากับ -3°C และท่ีจงั หวัดเชยี งใหมเ่ ท่ากบั 31°C อุณหภูมิเฉลย่ี ของสองเมอื งนี้ตา่ งกันก่ีองศา วิธที า............................................................................................................................. ......................... ........................................................................................................................................... ..................... ............................................................................................................. ................................................... ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................. ................................... ............................................................................................................................. .................................... ................................................................................................................................................................. 2. เมอื งซิดนีย์ประเทศออสเตรเลียใชเ้ ส้นลองจจิ ูด 150° ตะวันออกเปน็ เสน้ กาหนดเวลา ถ้าท่เี มืองซิดนีย์เปน็ วนั อาทติ ย์ เวลา 6.00 น. เวลาทเ่ี มืองเดนเวอร์ ประเทศสหรัฐอเมรกิ าซึ่งใช้ เส้นลองจิจูด 150° ตะวนั ตกเป็น เสน้ กาหนดเวลา จะเป็นวนั และเวลาใด วธิ ีทา............................................................................................................................. ......................... ............................................................................................................................. ................................... ............................................................................................... ................................................................. ............................................................................................................................. ................................... .......................................................................................................................................................... ...... ............................................................................................................................ .................................... ............................................................................................................................. .................................... .................................................................................................................................................................

51 3. มะลิมีทดี่ ินเป็นรปู สเี่ หลีย่ มจตั ุรัสยาวดา้ นละ 30 เมตร ถ้ามะลสิ ร้างบ้านตรงมุมหนงึ่ ของที่ดินในบริเวณรปู สีเ่ หลย่ี มจตั ุรัสยาวดา้ นละ 18 เมตร ดังรูป มะลเิ หลอื ที่ดิน กต่ี ารางเมตร 18 เมตร 30 เมตร บรเิ วณบา้ น วิธที า............................................................................................................................. ......................... ............................................................................................................................. ................................... ............................................................................................... ................................................................. ............................................................................................................................. ................................... .......................................................................................................................................................... ...... ............................................................................................................................ .................................... ............................................................................................................................. .................................... ................................................................................................................................................................. 4. ฉนั มีเงินอยู่ไม่ถึง 200 บาท ถ้าแจกใหเ้ ด็ก 7 คน คนละเท่า ๆ กนั จะเหลอื เงนิ อยู่ 2 บาทและถา้ แจกใหเ้ ดก็ 9 คน คนละเท่า ๆ กัน ก็จะเหลือเงนิ อยู่ 2 บาท เชน่ กัน ถา้ เด็กทุกคน ได้รบั เงนิ เป็นจานวนเต็มบาท ฉันมีเงินอยา่ งน้อยที่สุดกบ่ี าทและอย่างมากทส่ี ดุ กี่บาท วธิ ที า............................................................................................................................. ......................... ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................. ................................... ....................................................................................................................................... ......................... ......................................................................................................... ....................................................... ............................................................................................................................. .................................... ............................................................................................................................. ....................................

52 5. สมศกั ด์ิรบั เหมางานทาสีบ้านหลังหน่ึงในราคา 35,000 บาท ใชเ้ วลา 10 วนั เขาประมาณว่า ตอ้ งใช้สที ง้ั หมด 27 ลติ ร ถ้าสที ีต่ ้องการมขี ายในท้องตลาดอยู่ 3 ขนาด คอื ขนาด 1 ลิตร 2 ลิตร และ 4 ลิตร ราคา 300 บาท 550 บาท และ 960 บาท ตามลาดบั ในการทาสี บ้านหลังนี้สมศักดจิ์ ้างชา่ ง 2 คน และต้อง จ่ายค่าแรงคนละ 285 บาทต่อวนั ถา้ หกั ค่าสแี ละคา่ แรงของช่างที่เปน็ ลูกมือแล้ว สมศกั ดจ์ิ ะเหลอื เงิน มากทสี่ ุดกี่บาท วธิ ีทา............................................................................................................................. ......................... ............................................................................................................................. ................................... ............................................................................................... ................................................................. ............................................................................................................................. ................................... .......................................................................................................................................................... ...... ............................................................................................................................ .................................... ............................................................................................................................. .................................... ................................................................................................................................................................. 6. เงนิ กองทุนหม่บู ้านเปน็ เงินที่ไดร้ ับการอุดหนุนจากกองทุนระดบั ชาตติ ามนโยบายของรัฐบาล หมูบ่ า้ นและ ชมุ ชนละ 1 ล้านบาท มีหม่บู ้านท้งั หมด 71,501 หมู่บ้าน และชุมชนทั้งหมด 3,371 ชุมชน จากรายงานของ เดือนสิงหาคม พ.ศ. 2545 ของกรมพัฒนาชมุ ชนกระทรวง มหาดไทย มีหม่บู ้านได้รบั เงนิ ไปแล้ว 70,723 หมู่บา้ น และชุมชนไดร้ บั เงินไปแล้ว 2,067 ชุมชน จงหาวา่ รัฐบาลจา่ ยเงินกองทนุ หม่บู ้านไปแลว้ กลี่ ้านบาท และยังต้องจ่ายเงินอกี กี่ล้านบาทจงึ จะครบทุกหมู่บ้านและทุกชุมชน วธิ ที า............................................................................................................................. ......................... .................................................................................................................................................... ............ ............................................................................................................................. ................................... ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................. ................................... ............................................................................................................................. .................................... .......................................................................................... .......................................................................

53 7. ดาวพธุ เปน็ ดาวเคราะห์ท่เี ลก็ ท่ีสดุ และอยใู่ กลด้ วงอาทิตยม์ ากท่ีสุดประมาณ 58 ล้านกิโลเมตร โลกอยู่หา่ งจากดวงอาทติ ย์เป็นลาดบั ท่ีสามประมาณ 150 ลา้ นกิโลเมตร ดาวพลโู ตอยู่ห่าง จากดวงอาทิตย์ มากทีส่ ดุ ประมาณ 5,900 ล้านกิโลเมตร จงหาวา่ ดาวพธุ และดาวพลโู ตอยหู่ ่างจากโลกประมาณกี่กิโลเมตร (เขียนคาตอบในรูปสญั กรณว์ ิทยาศาสตร)์ วธิ ที า...................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................. ................................... ............................................................................................... ................................................................. ............................................................................................................................. ................................... .......................................................................................................................................................... ....... ........................................................................................................................... ...................................... ............................................................................................................................. .................................... ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................. .................................... ............................................................................................................................. .................................... . 8. ในการผสมคลอรีนชนดิ เข้มขน้ 90% ในน้ามีอัตราสว่ นการผสมโดยใช้คลอรนี 200 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร ตอ่ น้า 105 ลติ ร ถ้ามนี ้าในสระอยู่ 600 ลูกบาศกเ์ มตร จะตอ้ งใช้คลอรนี กี่ลิตร วธิ ีทา............................................................................................................................. ......................... ............................................................................................................................. ................................... ............................................................................................... ................................................................. ............................................................................................................................. ................................... .......................................................................................................................................................... ...... ............................................................................................................................ .................................... ............................................................................................................................. .................................... .................................................................................................................................................................

54 9. ในชว่ งเดือนกันยายน พ.ศ. 2545 มีฝนตกมาก จากการสารวจพบว่ามีน้าไหลลงสู่แม่น้าเจ้าพระยา ประมาณ 3 x 103 ลกู บาศกเ์ มตรต่อวนิ าที จงหาวา่ ในเวลา 1 ชัว่ โมง มนี า้ ไหลลงสู่แม่นา้ เจา้ พระยาก่ี ลูกบาศก์เมตร (เขยี นคาตอบในรปู สัญกรณ์วิทยาศาสตร์) วธิ ีทา............................................................................................................................. ......................... .................................................................................................................................................. .............. .................................................................................................................... ............................................ ............................................................................................................................. ................................... ................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................. ................................... ............................................................................................................................. .................................... ............................................................................................................................. ....................................

55 10. สารคาเฟอีนทเี่ หลอื อยใู่ นกระแสเลือดภายหลงั ทร่ี า่ งกายรบั สารนี้เข้าไปโดยผา่ นทางอาหาร หรอื เครือ่ งด่มื ที่มคี าเฟอนี ผสมอยสู่ ามารถประมาณไดจ้ ากสตู ร A  B   84 t 100 เม่ือ A แทนจานวนคาเฟอีนที่เหลืออยู่ มีหน่วยเป็นมลิ ลิกรัม B แทนคาเฟอนี ทบี่ ริโภคเข้าไป มหี น่วยเปน็ มลิ ลิกรมั และ t แทนเวลาหลงั จากการบรโิ ภค มหี น่วยเปน็ ชัว่ โมง ชชู าติดื่มกาแฟสองถ้วยเม่อื เวลา 8.00 น. แต่ละถว้ ยมคี าเฟอีน 25 มิลลิกรมั อยากทราบวา่ เมื่อเวลา 10.00 น. จะ มีสารคาเฟอีนอย่ใู นกระแสเลือดของเขา ประมาณกี่มิลลิกรัม วธิ ีทา...................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. ................................... ............................................................................................................................. ................................... .................................................................................. .............................................................................. ............................................................................................................................. ................................... ............................................................................................................................................. ................... ............................................................................................................... ..................................................

56 บทท่ี 3 เรื่อง การสรา้ ง

57 การสรา้ ง การสรา้ งเปน็ การเขยี นรปู เรขาคณิตโดยใชส้ ันตรงและวงเวยี นซง่ึ เปน็ วิธกี ารตงั้ เดิมตั้งยกกรีกโบราณตาม หลักฐานท่ีเพลโต (Plato, ประมาณ 427-347 ปกี ่อนคริสต์ศักราช) บนั ทึกไว้และยคู ลิดเปน็ คนแรกทรี่ วบรวมไว้ อย่างเป็นระบบในหนังสือเอลเลเมนตส์ (Elements) การสรา้ งท่จี ะกลา่ วถึงต่อไปนี้อาศยั ความร้จู ากการสร้าง พ้นื ฐานที่นกั เรยี นเคยเรียนมาแล้วดงั นี้ 1. การสร้างสว่ นของเสน้ ตรงให้ยาวเทา่ กบั ความยาวของสว่ นของเส้นตรงท่ีกาหนดให้ 2. การแบง่ ครง่ึ สว่ นของเส้นตรงทีก่ าหนดให้การ 3. การสรา้ งมุมให้มขี นาดเทา่ กับขนาดของมุมท่ีกาหนดให้ 4. การแบง่ ครง่ึ มมุ ท่ีกาหนดให้ 5. การสร้างเสน้ ตง้ั ฉากจากจดุ ภายนอกมายังเส้นตรงท่ีกาหนดให้ 6. การสรา้ งเส้นตง้ั ฉากทจี่ ุดจุดหน่งึ บนเสน้ ตรงที่กาหนดให้

58 1. การแบ่งส่วนของเส้นตรง นกั เรียนเคยแบ่งครงึ่ ส่วนของเส้นตรงมาแลว้ ในหวั ขอ้ นี้จะเป็นการแบ่งสว่ นของเสน้ ตรงใหเ้ ปน็ ส่วน ๆ ท่ี ยาวเทา่ กนั ดังน้ี 1. การแบ่งส่วนของเสน้ ตรงโดยการแบง่ ครงึ่ การแบง่ คร่ึงส่วนของเส้นตรงทก่ี าหนดให้โดยใช้สันตรงและวงเวียนมีขั้นตอนการสร้าง ดงั น้ี กาหนดให้ AB ต้องการสรา้ ง แบง่ คร่ึง AB วธิ ีสรา้ ง 1. ใช้จดุ A และจุด B เปน็ จดุ ศูนย์กลางรัศมียาวพอสมควรและยาวเท่ากันเขยี นสว่ นโค้งตดั กันทีจ่ ุด C และ จุด D 2. ลาก CD ตดั AB ที่จุด 0 จะได้จุด 0 เป็นจุดกึ่งกลางของ AB ทาให้ AO = OB ตามต้องการ การแบง่ คร่ึงสว่ นของเส้นตรงโดยวิธสี ร้างขา้ งต้นสามารถนาไปใช้เมอ่ื ต้องการแบ่ง AB ออกเป็น 4 สว่ นที่ ยาวเท่ากันโดยแบ่งคร่งึ AO และ OBทีจ่ ดุ P และจุด 2 ตามลาดบั ดังรูป

59 จากการแบ่งครง่ึ AO และ OB จะได้ AP = PO = 00 = QB หรอื กล่าวได้ว่าแบ่ง AB เปน็ 4 สว่ นที่ยาวเทา่ กัน นักเรียนคดิ ว่าจะใช้วธิ สี ร้างข้างตน้ แบ่ง AB เปน็ 8 สว่ น 16 สว่ นหรือ 32 ส่วนที่ยาวเทา่ กนั ได้หรอื ไม่ ............................................................................................................................. ......................................... นกั เรียนคดิ ว่าจะใชว้ ิธสี ร้างขา้ งต้นแบ่ง AB เป็น 6 ส่วน 12 ส่วนหรือ 24 สว่ นทีย่ าวเทา่ กนั ได้หรอื ไม่ ............................................................................................................................. ......................................... นกั เรยี นคดิ วา่ จะใช้วิธีสร้างขา้ งต้นแบง่ AB เป็น 3 สว่ น 5 สว่ นหรอื 7 สว่ นท่ียาวเทา่ กันได้หรือไม่ ............................................................................................................................. .........................................

60 2. การแบ่งส่วนของเสน้ ตรงโดยการสรา้ งมุมแย้ง นอกจากวธิ สี ร้างขา้ งต้นแลว้ ยังมวี ิธแี บง่ ส่วนของเสน้ ตรงออกเป็นสว่ น ๆ ท่ยี าวเท่ากนั ไดอ้ ีกวธิ ี หน่งึ โดยสรา้ งมมุ แยง้ ให้มีขนาดเทา่ กนั การสรา้ งมุมใหม้ ีขนาดเท่ากับขนาดของมุมทกี่ าหนดให้โดยใชส้ ันตรงและวงเวียนที่นักเรียนเคย เรยี นมาแล้ว มขี ้นั ตอนดังน้ี กาหนดให้ ABˆC ตอ้ งการสรา้ ง สร้าง XYˆZ ให้มีขนาดเท่ากบั ขนาดของ ABˆC วิธีสรา้ ง 1. ลาก YZ 2. ใช้จุด B เปน็ จุดศนู ย์กลางรัศมียาวพอสมควรเขียนส่วนโค้งตัด BC และ BA ทีจ่ ดุ N และจุด M ตามลาดับ 3. ใช้จุด Y เป็นจดุ ศนู ย์กลางรัศมยี าวเท่ากับ BN เขยี นสว่ นโค้ง RQ ตดั YZ ที่จุด P 4. ใชจ้ ุด P เป็นจดุ ศนู ยก์ ลางรัศมียาวเทา่ กบั MN เขียนสว่ นโค้งตัดสว่ นโค้ง RQ ทจ่ี ดุ X 5. ลาก YX จะได้ XYˆZ มขี นาดเทา่ กับขนาดของ ABˆC ตามตอ้ งการ

61 การแบง่ ครึ่งสว่ นของเส้นตรงโดยสร้างมุมแยง้ ใหม้ ขี นาดเท่ากันมขี ้นั ตอน ดงั นี้ กาหนดให้ AB ต้องการสรา้ ง แบง่ ครง่ึ AB วิธสี รา้ ง 1. ท่จี ุด A และจุด B สรา้ ง CAˆB และ DBˆA ใหเ้ ปน็ มุมแย้งทมี่ ีขนาดเท่ากัน 1. 1 ท่ีจดุ A สรา้ ง CAˆB ใหม้ ขี นาดพอสมควร 1. 2 ทจ่ี ดุ B สรา้ ง DBˆA ให้มีขนาดเทา่ กับขนาดของ CAˆB และอยู่คนละขา้ งกบั CAˆB 2. ใช้จดุ A เปน็ จดุ ศูนยก์ ลางรัศมยี าวพอสมควรเขยี นส่วนโค้งตัด AC ท่จี ดุ E 3. ใชจ้ ดุ B เป็นจุดศูนย์กลางรัศมียาวเท่ากับ AE เขยี นสว่ นโคง้ ตดั BD ทจ่ี ดุ F 4. ลาก EF ตดั AB ท่ีจุด 0 จะไดจ้ ุด 0 เปน็ จุดกึ่งกลางของ AB ทาให้ AO = OB ตามต้องการ เราสามารถนาวิธีแบง่ ครงึ่ สว่ นของเส้นตรงโดยสรา้ งมมุ แย้งใหม้ ขี นาดเทา่ กนั ไปใชใ้ นการแบ่งส่วนของ เสน้ ตรงเป็นที่ส่วนทเ่ี ท่ากันก็ไดต้ ามต้องการ ดงั ตัวอยา่ งต่อไปนี้

62 ตัวอย่าง จงแบง่ AB เป็น 3 สว่ นที่ยาวเท่ากนั และเขียนวิธีสร้าง กาหนดให้ AB ตอ้ งการสร้าง แบง่ AB เป็น 3 สว่ นทีย่ าวเทา่ กัน วิธีสร้าง 1. ที่จดุ A และจดุ B สร้าง CAˆB และ DBˆA ให้เปน็ มมุ แย้งท่ีมีขนาดเท่ากนั 2. ใหจ้ ุด A เปน็ จดุ ศนู ย์กลางรศั มียาวพอสมควรเขยี นส่วนโคง้ ตดั AC ทีจ่ ุด P 3. ใช้จุด P เป็นจุดศูนย์กลางรัศมียาวเทา่ เดิมเขยี นส่วนโค้งตัด AC ท่จี ุด Q 4. ใหจ้ ุด B เปน็ จุดศูนย์กลางรัศมยี าวเท่าเดิมเขียนสว่ นโคง้ ตัด BD ทจี่ ุด R 5. ใชจ้ ุด R เป็นจุดศูนยก์ ลางรัศมยี าวเทา่ เดิมเขยี นสว่ นโค้งตัด BD ท่ีจุด S 6. ลาก QR และ PS ตดั AB ทจี่ ดุ M และจุด N ตามลาดับ จะได้ AN = NM=MB นั่นคือแบ่ง AB เป็น 3 ส่วนทย่ี าวเท่ากนั ตามต้องการ เราอาจใชว้ งเวยี นตรวจสอบว่า AN = NM = MB จริง

63 ให้นักเรยี นตอบคาถามต่อไปน้ี 1. ในการแบ่ง AB เปน็ 3 ส่วนทยี่ าวเทา่ กนั เราใชส้ ว่ นโค้งทม่ี ีรัศมียาวเท่ากนั ตดั แขนของมมุ แย้งทไี่ มใ่ ช่แขนร่วมกี่ ครัง้ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. ถ้าตอ้ งการแบ่ง AB เปน็ 4 สว่ นทย่ี าวเทา่ กนั เราจะใช้ส่วนโค้งท่ีมรี ศั มียาวเท่ากันตอแขนของมมุ แย้งท่ีไมใ่ ช่แขน รว่ มทีค่ ร้งั ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3. ถ้าต้องการแบ่ง AB เปน็ 5 สว่ นท่ยี าวเทา่ นน้ั เราจะใช้ส่วนโคง้ ทม่ี ีรศั มยี าวเทา่ กันตดั แขนของมุมแยง้ ท่ีไม่ใชแ่ ขน ร่วมกี่คร้งั ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4. ถา้ ต้องการแบ่ง AB เป็น 10 ส่วนทย่ี าวเทา่ กันเราจะใชส้ ่วนโคง้ ท่ีมรี ัศมยี าวเท่ากันตัดแขนของมุมแย้งท่ไี มใ่ ช่ แขนร่วมกี่คร้ัง ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 5. ถ้าตอ้ งการแบ่ง AB เป็น n สว่ นท่ยี าวเทา่ กันเราจะใชส้ ่วนโคง้ ท่มี รี ศั มียาวเทา่ กนั ตดั แขนของมุมแย้งที่ไมใ่ ช่แขน รว่ มก่คี รัง้ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

64 แบบฝกึ หดั 1. จงสร้าง AB ยาวพอสมควรแล้วแบง่ AB เปน็ 4 ส่วนทย่ี าวเทา่ กนั โดยสร้างมมุ แยง้ และเขยี นวิธสี รา้ ง 2. กาหนด AB ดงั รูปจงแบง่ AB เปน็ 5 ส่วนทย่ี าวเทา่ กันและเขยี นวิธสี รา้ ง AB

65 3. จงแบง่ RS ทีก่ าหนดใหเ้ ป็น 7 ส่วนทีย่ าวเทา่ กนั และเขียนวธิ ีสรา้ ง RS 4. กาหนดรูปสามเหลี่ยม ABC เปน็ รูปสามเหล่ยี มใด ๆ จงแบง่ ฐาน BC เปน็ 4 สว่ นทย่ี าวเทา่ กนั ที่จดุ D จุด E และจดุ F โดยให้ BD = DE = EF = FC แลว้ ตอบคาถามต่อไปนี้

66 1) ความยาวของ BE คดิ เปน็ เศษสว่ นเท่าใดของความยาวของ BC ………………………………………………………………………………………………………………………………………. 2) ความยาวของ BD คดิ เปน็ เศษส่วนเทา่ ใดของความยาวของ BC ………………………………………………………………………………………………………………………………………. 3) ความยาวของ BD คิดเปน็ เศษส่วนเทา่ ใดของความยาวของ DC ………………………………………………………………………………………………………………………………………. 4) ถ้าลากส่วนสูงจากจุด A มายังDC , DE ,EF และ FC ของ ABD , ADE , AEF และ AFC ตามลาดบั แลว้ สว่ นสงู ของรปู สามเหล่ียมเหลา่ น้สี มั พันธก์ นั อยา่ งไร ………………………………………………………………………………………………………………………………………. 5) พน้ื ท่ีของรูปสามเหลี่ยมทุกรปู ในข้อ 4) สัมพันธ์กันอย่างไร ………………………………………………………………………………………………………………………………………. 6) พ้นื ท่ีของ AABD คดิ เปน็ เศษส่วนเท่าใดของพน้ื ทข่ี อง ABC ………………………………………………………………………………………………………………………………………. 5. กาหนด PQ เป็นสว่ นของเส้นตรงใด ๆ จงแบ่ง PQ เปน็ สองส่วนทจี่ ุด X โดยให้ PX = 2 PQ และ 3 เขยี นวิธสี รา้ ง

67 6. กาหนด XY เป็นส่วนของเส้นตรงใด ๆ จงแบง่ XY เปน็ สองสว่ นท่จี ดุ P โดยให้ XP = 2 PY และ 3 เขยี นวธิ ีสรา้ ง 7. เสน้ มธั ยฐาน คือ ส่วนของเสน้ ตรงทลี่ ากจากจุดยอดไปยงั จดุ กงึ่ กลางของดา้ นท่ีอยู่ตรงข้ามของรูป สามเหลีย่ ม จากรูป ABC มีจุด D เปน็ จดุ ก่ึงกลางของ BC ดังนนั้ AD เป็นเสน้ มัธยฐานทีล่ ากจากจดุ ยอด A

68 จงสรา้ ง Bฺ E ให้เปน็ เสน้ มธั ยฐานที่ลากจากจดยอด B ไปยงั จดุ กึง่ กลาง E ของ AC ให้ AD และ BE ตดั กันท่ีจดุ M ลาก CM ตดั AB ที่จดุ F แล้วใชว้ งเวยี นตรวจสอบความยาวของ AF และความยาวของ FB และตอบคาถาม ต่อไปน้ี 1) AF และ FB สมั พันธก์ นั อย่างไร …………………………………………………………………………………………………………………………………… 2) CF เป็นเส้นมัธยฐานหรอื ไม่ ………………………………………………………………………………………………………………………………….. จากการสร้างและตรวจสอบข้างตน้ จะไดผ้ ลตรงตามสมบัติที่วา่ เส้นมัธยฐานทั้งสามเส้นของรปู สามเหลีย่ ม ใด ๆ จะพบกนั ที่จดุ จุดหนึ่งและจดุ เดยี วเท่านัน้ เรยี กจุคนั้นว่าเซนทรอยด์ (centroid) 8. จากรูปทสี่ ร้างได้ในข้อ 7 จงใช้วงเวยี นตรวจสอบความยาวและตอบคาถามตอ่ ไปนี้ 1) AM เปน็ กเี่ ทา่ ของ MD ………………………………………………………………………………………………………………………………….. 2) BM เป็นกเี่ ทา่ ของ ME ………………………………………………………………………………………………………………………………….. 3) CM เป็นกี่เท่าของ MF ………………………………………………………………………………………………………………………………….. จากการตรวจสอบข้างต้นจะได้ผลตรงตามสมบัติทว่ี ่าในรปู สามเหล่ยี มใด ๆ เซนทรอยดแ์ บง่ เส้นมธั ยฐาน แต่ละเส้นออกเป็นสองสว่ นทาให้ระยะจากจุดยอดถงึ เซนทรอยด์เปน็ สองเท่าของความยาวของอีกส่วนหนง่ึ

69 9. จากรูปท่ีสรา้ งได้ในข้อ 7 จงลาก DE , EFและ FD แลว้ ใชว้ งเวียนตรวจสอบความยาวและตอบคาถาม ตอ่ ไปน้ี 1) DE และ AB สัมพันธ์กนั อย่างไร ………………………………………………………………………………………………………………………………….. 2) EF และ BC สมั พนั ธ์กันอย่างไร ………………………………………………………………………………………………………………………………….. 3) FD และ CA สมั พันธก์ นั อย่างไร ………………………………………………………………………………………………………………………………….. 4) ความยาวรอบรูปของ DEF และ ABC สัมพนั ธก์ นั อย่างไร …………………………………………………………………………………………………………………………………..

70 การสรา้ งมุมขนาดตา่ งๆ ตวั อยา่ งที่ 1 จงสรา้ งมมุ ที่มขี นาดเทา่ กับ 105 องศาและเขียนวิธสี รา้ ง วธิ ที ี่ 1 วธิ สี รา้ ง 1. สรา้ ง BOˆ C ใหม้ ขี นาดเทา่ กบั 90 องศา 2. สร้าง COˆ F ใหม้ ีขนาดเท่ากับ 60 องศา 3. สรา้ ง OD แบง่ คร่งึ COˆ F ทาให้ COˆ D = 30 องศา 4. สรา้ ง OPแบ่งครึง่ COˆ D ทาให้ COˆ P = 15 องศา จะได้ BOˆ P = BOˆ C+ COˆ P = 90 + 15 = 105 องศา นัน่ คือ BOˆ P มีขนาดเท่ากับ 105 องศา ตามต้องการ

71 วิธีท่ี 2 วิธีสรา้ ง 1. สร้าง BOˆ C ใหม้ ขี นาดเท่ากบั 90 องศา 2. สร้าง OE แบ่งคร่ึง BOˆ C ทาให้ BOˆ E = 45 องศา 3. สรา้ ง EOˆ P ให้มขี นาดเทา่ กับ 60 องศา จะได้ BOˆ P = BOˆ E + EOˆ P = 45 + 60 = 105 องศา นั่นคือ BOˆ P มขี นาดเท่ากับ 105 องศา ตามตอ้ งการ

72 แบบฝกึ หัด 1. จงสร้างมุมใหม้ ีขนาดเทา่ กับที่กาหนดให้ต่อไปน้แี ละบอกว่าได้มาอย่างไร (เช่น 105= 90  120 ) 2 1) 67. 5 องศา 2) 195 องศา

73 3) 150 องศา 4) 225 องศา

74 5) 165 องศา 6) 255 องศา

75 7) 315 องศา 8) 75 องศา

76 2. จงสรา้ งมมุ ให้มีขนาดเท่ากับทีก่ าหนดใหต้ ่อไปน้ีและเขียนวธิ สี ร้าง 1) 52. 5 องศา 2) 135 องศา

77 3. จากรอ่ งรอยการสร้าง จงตอบคาถามในแต่ละขอ้ ต่อไปนี้ 1) (1) CBˆE มขี นาดกอ่ี งศา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… (2) ABˆE มีขนาดกี่องศา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… (3) BF เก่ยี วข้องกบั ABˆE อยา่ งไร ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… (4) ABFC มีขนาดกี่องศา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2) (1) XOˆ M มขี นาดกี่องศา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… (2) XOˆ P มขี นาดก่ีองศา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… (3) NOˆ Y มีขนาดก่ีองศา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………

78 (4) OQ เก่ยี วข้องกับ MOˆ N อยา่ งไร ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… (5) QOˆ Y มีขนาดกี่องศา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3) (1) AQˆ R มีขนาดก่ีองศา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… (2) AQˆ P มีขนาดกี่องศา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… (3) RQˆ P มีขนาดก่ีองศา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… (4) มมุ กลบั PQR มขี นาดกีอ่ งศา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………

79 การสร้างรูปสามเหล่ียมและรูปสีเ่ หลยี่ มด้านขนาน นกั เรียนเคยแบ่งสว่ นของเสน้ ตรงเป็นสว่ น ๆ ท่ียาวเทา่ กันและเคยสร้างมุมท่มี ีขนาดต่าง ๆ มาแล้วในหัวขอ้ นนี้ ักเรียนจะได้นาความรูด้ ังกลา่ วมาใช้สร้างรปู สามเหลีย่ มและรูปสเ่ี หลี่ยมดา้ นขนานดงั ตวั อยา่ งตอ่ ไปน้ี ตวั อยา่ งท่ี 1 จงสร้างรูปสามเหลีย่ มให้มุมมุมหน่งึ มีขนาดเท่ากับ 75 องศาและด้านประกอบมุมนน้ั ยาวเท่ากับ a และ b พรอ้ มทง้ั เขยี นวิธีสร้างวธิ สี ร้าง วิธีสร้าง 1. สรา้ ง PQ ยาวเท่ากับ a 2. สร้าง QPˆX ใหม้ ีขนาดเท่ากบั 75 องศา 3. ใช้จุด P เป็นจุดศนู ยก์ ลางรัศมยี าวเท่ากับ 5 เขยี นสว่ นโคง้ ตดั PX ท่จี ดุ R 4. ลาก QR จะได้ PQR เปน็ รปู สามเหล่ียมที่ QPˆR = 75 องศา PQ = a และ PR = b ตามตอ้ งการ

80 ตัวอย่างที่ 2 จงสรา้ งรูปสามเหล่ียมใหฐ้ านยาว 6 เซนตเิ มตรมมุ ทีฐ่ านมีขนาดเทา่ กบั 105 องศาและ 30 องศา และเขยี นวธิ ีสรา้ ง วิธสี ร้าง 1. สร้าง AB ใหย้ าว 6 เซนติเมตร 2. สร้าง BAˆX ให้มีขนาดเทา่ กบั 105 องศา 3. สรา้ ง ABˆY ใหม้ ีขนาดเทา่ กบั 30 องศาและให้ AX ตดั BY ท่ีจดุ C จะได้ ABC ท่ี AB = 6 เซนตเิ มตร BAˆC = 105 องศาและ CBˆA =30 องศาตามต้องการ

81 ตวั อยา่ งที่ 3 จงสรา้ งรูปสีเ่ หล่ียมดา้ นขนาน ABCD ให้ AB=a , AD= a และ DAˆB  k และเขยี นวธิ สี ร้าง 3 วธิ ีที่ 1 สรา้ งรูปสีเ่ หลี่ยมดา้ นขนาน โยสรา้ งรูปทม่ี ีดา้ นตรงขา้ มขนานกนั สองคู่

82 1. สรา้ ง AB ยาวเทา่ กับ 3 2. สร้าง XAˆB ใหม้ ีขนาดเท่ากับ k 3. ใชจ้ ุด A เป็นจดุ ศนู ยก์ ลางรัศมยี าวเท่ากบั a เขยี นสว่ นโคง้ ตัด AX ทจ่ี ุด D 3 4. สร้าง YDˆA ให้ YDˆA  XAˆB โดยที่ YDˆA และ XAˆB เปน็ มุมแย้ง 5. สรา้ ง ZBˆF ให้ ZBˆF  XAˆB 6. ลาก YD ตดั BZ ทจี่ ุด C จะได้ ABCD เปน็ รปู สี่เหลี่ยมด้านขนานท่ี AB = a, AD = a และ DAˆB  k ตามต้องการ 3 วิธีที่ 2 สร้างรปู สเ่ี หลี่ยมดา้ นขนานโดยสรา้ งรูปส่ีเหล่ยี มทมี่ ดี า้ นตรงขา้ มยาวเท่ากนั สองคู่ 1. สร้าง AB ยาวเท่ากับ a 2. สรา้ ง XAˆB ใหม้ ีขนาดเท่ากับ k 3. ใช้จุด A เปน็ จดุ ศนู ยก์ ลางรัศมียาวเท่ากับ a เขยี นสว่ นโคง้ ตดั AX ทจี่ ุด D 3 4. ใช้จุด D และจุด B เป็นจุดศูนยก์ ลางรศั มียาวเทา่ กับ a และ a ตามลาดับเขียนส่วนโคง้ ตัดกัน 3 ท่ีจดุ C

83 5. ลากBC และ DC จะได้ ABCD เป็นรูปส่เี หลยี่ มดา้ นขนานที่ AB = a, AD = a และ DAˆB  k ตามต้องการ 3 วิธที ่ี 3 สร้างรปู สเี่ หลี่ยมด้านขนานโดยสร้างเปน็ รปู ส่เี หลย่ี มที่มีดา้ นขนานกนั หนงึ่ และใหด้ ้านค่นู ย้ี าวเทา่ กนั 1. สรา้ ง AB ยาวเท่ากบั a 2. สร้าง XAˆB ให้มขี นาดเทา่ กับ k 3. ใชจ้ ดุ A เปน็ จุดศนู ย์กลางรัศมยี าวเทา่ กับ a เขียนส่วนโค้งตดั AX ท่จี ุด D 3 4. สร้าง YDˆA ให้ YDˆA = XAˆB โดยท่ี YDˆA และ XAˆB เป็นมมุ แย้ง 5. ลาก YD และสร้างให้ DC = AB = a 6. ลาก BC จะได้ ABCD เป็นรูปส่ีเหลีย่ มดา้ นขนาน ที่ AB = a, AD = a และ DAˆB  k ตามต้องการ 3

84 แบบฝกึ หดั 1. จงกาหนดส่วนของเส้นตรงใหม้ คี วามยาวเทา่ กบั 4, 5 และ e ตามใจชอบแลว้ สร้างรูปสามเหลย่ี มให้ดา้ น ทัง้ สามยาวเท่ากับ 4, 5 และ 6 จะต้องกาหนด a, b และ c ใหส้ ัมพันธก์ นั อย่างไรจึงจะสร้างรปู สามเหลี่ยมได้ 2. จงกาหนดส่วนของเส้นตรงให้มีความยาวเท่ากับ 3 และมุมใหม้ ขี นาดเท่ากับ k ตามใจชอบแล้วสร้างรปู สามเหลี่ยมทม่ี ีมุมขนาดเทา่ กับ k สองมมุ และด้านที่เป็นแขนร่วมของมมุ ท้ังสองน้ันยาวเทา่ กับ 4 รูปสามเหล่ยี มท่ี ไดเ้ ปน็ รูปสามเหลย่ี มชนิดใดจงอธิบาย

85 3. จงกาหนดสว่ นของเส้นตรงใหม้ ีความยาวเทา่ กับ a และ b ตามใจชอบแลว้ สรา้ งรูปสามเหลีย่ มมมุ ฉากใหด้ ้านตรง ข้ามมุมฉากยาวเท่ากบั 3 และดา้ นประกอบมุมฉากดา้ นหน่ึงยาวเท่ากบั b จะตอ้ งกาหนด a และ b ให้สัมพนั ธ์กัน อย่างไรจึงจะสร้างรูปสามเหลยี่ มมุมฉากท่ีต้องการได้ 4. จงสร้าง ABC ให้ด้าน AB ยาวเทา่ กบั 5 เซนตเิ มตรฐาน BC ยาวเทา่ กบั 7 เซนตเิ มตรและสว่ นสูงทีล่ ากจาก จุด A ยาวเท่ากบั 3 เซนติเมตร

86 5. จงสรา้ ง ABC ใหม้ ี AB = 6 เซนติเมตร BAC = 52. 5 องศาและ ABC = 45 องศาและเขยี นวธิ สี รา้ ง 6. จงสรา้ งรูปส่ีเหลยี่ มขนมเปียกปูนใหม้ ีดา้ นหนึ่งยาว 8 เซนติเมตรและสูง 5 เซนตเิ มตร

87 7. จงสรา้ งรูปสี่เหล่ยี มดา้ นขนานให้ฐานยาว 6 เซนติเมตรสูง 4 เซนตเิ มตรและมมุ ทีฐ่ านมุมหนึ่งมีขนาดเทา่ กบั 75 องศา 8. จงกาหนดสว่ นของเสน้ ตรงให้มคี วามยาวเทา่ กับ 3 ตามใจชอบแลว้ สรา้ งรูปส่เี หลีย่ มด้านขนาน ABCD ท่มี ี AB = 4, AD = 2a และ ABˆC  2BAˆD

88

89 ชอ่ื - ชอ่ื สกุล ประวตั ิผเู้ ขยี น วัน เดอื น ปี เกดิ ที่อยู่ปจั จุบนั นางราณี ประสิทธากรณ์ ประวัตกิ ารศึกษา 24 ธนั วาคม 2505 พ.ศ.2529 บา้ นเลขที่ 50 ม.10 ตาบลเขารูปชา้ ง อาเภอเมืองสงขลา จังหวัดสงขลา พ.ศ.2556 จบการศกึ ษาระดบั ปริญญาตรี ประวัตกิ ารทางาน วุฒิการศกึ ษา ครุศาสตรบัณฑิต สาขาคณิตศาสตร์ ปัจจบุ ัน จากวทิ ยาลัยครูสงขลา จบการศกึ ษาระดับปริญญาโท วุฒกิ ารศึกษาการศกึ ษามหาบัณฑิต วชิ าเอกหลักสูตรและ การสอน จากมหาวทิ ยาลัยทกั ษิณ ครูโรงเรียนมหาวชริ าวุธ จังหวัดสงขลา

90 นางประไพ จิรานกุ รม ชอ่ื - ชื่อสกุล วนั เดือน ปี เกดิ 20 เมษายน 2512 ที่อยู่ปัจจุบนั บ้านเลขท่ี 53/24 ถนนกาญจนวานิช ตาบลพะวง อาเภอเมืองสงขลา จังหวดั สงขลา ประวัติการศึกษา พ.ศ.2535 จบการศกึ ษาระดบั ปริญญาตรี วฒุ กิ ารศึกษา ครศุ าสตรบัณฑิต วดั ผลการศึกษา ประวัตกิ ารทางาน จากมหาวทิ ยาลยั ศรีนครนิ ทรวโิ รฒสงขลา พ.ศ.2537-2540 พ.ศ.2540-2555 ครโู รงเรยี นตากพิทยาคม อาเภอเมอื ง จังหวัดตาก พ.ศ.2555-ปจั จบุ นั ครโู รงเรยี นหาดใหญ่วทิ ยาลยั 2 อาเภอหาดใหญ่ จงั หวดั สงขลา ครูโรงเรยี นมหาวชิราวุธ จังหวดั สงขลา

91 ช่ือ - ช่อื สกุล นางสาวนูรฮายาตี บูยู่โส๊ะ วัน เดือน ปี เกดิ 9 กนั ยายน 2535 ทอ่ี ยู่ปจั จุบัน บ้านเลขท่ี 53 ม.3 ตาบลนาทวี อาเภอนาทวี จงั หวดั สงขลา ประวัติการศึกษา จบการศึกษาระดบั ปริญญาตรี พ.ศ.2559 วฒุ ิการศึกษา ครุศาสตรบัณฑิต โปรแกรมวิชาคณิตศาสตร์ จากมหาวิทยาลยั ราชภัฏสงขลา ประวัติการทางาน พ.ศ.2559-ปัจจุบัน ครโู รงเรียนมหาวชิราวุธ จงั หวดั สงขลา

บรรณานุกรม สถาบันส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยกี ระทรวงศกึ ษาธิการ. (2560). คมู่ อื ครู รายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตตศาสตร์ เลม่ 1 ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 1 กลุม่ สาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์ ตามหลกั สูตรแกนกลาง การศึกษาข้ันพื้นฐาน พุทธศกั ราช 2551. (พมิ พ์ครั้งท่ี 2). กรุงเทพฯ : โรงพิมพแ์ ห่งจุฬาลงกรณ์ มหาวทิ ยาลยั สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีกระทรวงศึกษาธิการ. (2560). หนังสือเรียน รายวิชา เพิ่มเติม คณิตตศาสตร์ เล่ม 1 ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 1 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตร แกนกลางการศึกษาข้ันพ้ืนฐาน พุทธศักราช 2551. (พิมพ์คร้ังท่ี 2). กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์แห่ง จุฬาลงกรณม์ หาวิทยาลยั สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยกี ระทรวงศึกษาธกิ าร. (2560). คมู่ ือครู รายวชิ าพ้ืนฐาน คณติ ตศาสตร์ เล่ม 2 ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 1 กลุ่มสาระการเรียนร้คู ณติ ศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลักสตู รแกนกลางการศึกษาขนั้ พื้นฐาน พทุ ธศักราช 2551. (พมิ พ์คร้งั ที่ 2). กรงุ เทพฯ : โรงพมิ พ์ แหง่ จฬุ าลงกรณ์มหาวิทยาลัย สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีกระทรวงศึกษาธิการ. (2560). หนังสือเรียน รายวิชา พ้ืนฐาน คณิตตศาสตร์ เล่ม 1 ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 1 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพื้นฐาน พุทธศักราช 2551. (พิมพ์ครั้งท่ี 2). กรงุ เทพฯ : โรงพมิ พ์แหง่ จุฬาลงกรณม์ หาวิทยาลยั