ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับเซต

ความรเู้ บอ้ื งตน้ เกย่ี วกบั “เซต”

เซต ในวิชาคณติ ศาสตร์ใชค้ าวา่ “เซต” ในการกล่าวถงึ กล่มุ ของสง่ิ ตา่ ง ๆ และ เมือ่ กล่าวถึงกลมุ่ ใด แล้วสามารถทราบได้แนน่ อนวา่ สิ่งใดอยใู่ นกล่มุ และสิ่งใดไมอ่ ย่ใู น กลมุ่ เรยี กสงิ่ ท่ีอยใู่ นเซตวา่ “สมาชกิ ” ยกตวั อย่างเชน่  เซตของชือ่ วันในหนงึ่ สัปดาห์ มวี นั จันทร์ องั คาร พธุ พฤหสั บดี ศกุ ร์ เสาร์ และอาทติ ย์ เปน็ สมาชกิ  เซตของจงั หวัดทีข่ ้นึ ต้น “ม” มีจงั หวัด มหาสารคามและมุกดาหาร เป็น สมาชกิ  เซตของจานวนนบั ที่นอ้ ยกวา่ 10 มี 1,2,3,4,5,6,7,8,9 เปน็ สมาชิก ข้อสงั เกต เซตไม่ใช่กลุ่มสิ่งของทบ่ี ง่ บอกถงึ คุณภาพ เช่น เซตของคนขยนั เซตของคนสวย เป็นต้น

ชื่อเซตและสมาชกิ ของเซต “ 1) ช่ือของเซต เพื่อความสะดวกในการกลา่ วถึงเซตใดเซตหน่ึง จงึ นิยมใชช้ ่อื “ เซตด้วยอกั ษรภาษาอังกฤษตัวพิมพใ์ หญ่ A,B,C,D,…,Z 2) สมาชกิ ของเซตใชอ้ กั ษรภาษาองั กฤษตัวพมิ พเ์ ล็ก a,b,c,d,…,z แทน สมาชิกของเซต เชน่ A = {a,e,i,o,u} เป็นต้น

การเขยี นสญั ลกั ษณ์แทนการเป็นสมาชกิ ใช้สัญลกั ษณ์ “∈” แทนการเป็นสมาชิก และ “∉” แทนการไม่เปน็ สมาชิก เชน่ A = {a,e,i,o,u} หมายถงึ เซต A มสี มาชกิ คอื a,e,i,o,u เขยี นไดด้ งั นี้  a ∈ A หมายความว่า a เป็นสมาชกิ ที่อยใู่ นเซต A  e ∈ A หมายความวา่ e เปน็ สมาชิกทอ่ี ยู่ในเซต A  i ∈ A หมายความว่า i เป็นสมาชิกท่ีอยใู่ นเซต A  o ∈ A หมายความวา่ o เป็นสมาชิกที่อยูใ่ นเซต A  u ∈ A หมายความว่า u เป็นสมาชิกท่ีอยใู่ นเซต A  s ∉ A หมายความวา่ s ไมเ่ ป็นสมาชกิ ทอ่ี ยู่ในเซต A ดังนัน้ จานวนสมาชิกของเซต A มจี านวน 5 ตัว สามารถเขียนจานวนสมาชกิ ของ A ได้ เป็น n(A) = 5

ตวั อยา่ ง 1. กาหนดให้ A = {4,5,6,7} จงบอกสมาชิกในเซต วิธที า จะได้ 4∈A 5∈A 6∈A 7∈A

ตวั อย่าง 2. กาหนดให้ A = {1,2,{2,3},3,{3}} จงบอกสมาชกิ ในเซต วิธีทา จะได้ 1∈A 2∈A {2,3} ∈ A 3∈A {3} ∈ A

การเขียนเซตสามารถเขียนได้ 2 แบบ คือ 1) แบบแจกแจงสมาชกิ 2) แบบบอกเง่ือนไข

การเขยี นเซตแบบแจกแจงสมาชกิ เขียนสมาชกิ ทุกตวั ของเซตลงในวงเลบ็ ปกี กา “{}” และใช้เครอ่ื งหมายจุลภาค (,) คั่นระหว่าง สมาชิกแต่ละตัว โดยมีขอ้ ตกลง ดงั นี้  จานวนสมาชกิ มีนอ้ ย ให้เขียนสมาชิกทกุ ตวั เช่น - เซตของจานวนเต็มบวกทีน่ อ้ ยกว่า 6 A = {1,2,3,4,5}  จานวนสมาชิกมีมากและสามารถนับได้ให้เขียน สมาชิก 3 ตัวแรกแล้วใช้ “…” และเขียน สมาชกิ ตวั สดุ ทา้ ย เช่น - เซตของพยัญชนะในภาษาไทย B = {ก,ข,ค,…,ฮ}  จานวนสมาชิกมมี ากไม่สามารถนับได้ ให้เขียนสมาชิก 3 ตัวแรก แลว้ ใช้ “…” เช่น - เซตของจานวนนับ C = {1,2,3,…} ข้อสงั เกต ในการเขยี นเซตแบบแจกแจงจะเขียนสมาชิกแตล่ ะตัวเพียงครง้ั เดียว เชน่ เซตของ พยญั ชนะในคาวา่ “กรรมการ” A = {ก,ร,ม}

ตวั อยา่ ง 1. ให้ A แทนเซตของจานวนนบั ท่นี อ้ ยกว่า 5 เขียนแบบแจกแจงสมาชกิ ได้ดงั น้ี A = {1,2,3,4} 2. ให้ B แทนเซตของจานวนเต็มท่ยี กกาลงั สองแล้วได้ 16 เขยี นแบบแจกแจงสมาชิกไดด้ งั น้ี B = {4,-4} 3. ให้ C แทนเซตของจานวนนับทีน่ ้อยกว่า 49 เขียนแบบแจกแจงสมาชิกไดด้ ังน้ี C = {1,2,3,…,48} 4. ให้ D แทนเซตของจานวนเต็มลบทม่ี ากกวา่ -15 เขยี นแบบแจกแจงสมาชิกไดด้ งั นี้ D = {-1,-2,-3,…,-14} 5. ให้ E แทนเซตของจานวนเตม็ เขยี นแบบแจกแจงสมาชิกได้ดังนี้ E = {1,2,3,…} 6. ให้ F แทนเซตของจานวนเต็มลบที่มากกว่า 0 เขียนแบบแจกแจงสมาชิกได้ดงั นี้ F = { } เรยี กเซต F ว่า เซตว่าง เน่ืองจากไมม่ สี มาชิก นอกจากยงั สามารถใชส้ ัญลักษณ์ “∅” แทนเซตว่าง

การเขียนเซตแบบบอกเง่อื นไข เขยี นโดยใช้ตัวแปรแทนสมาชกิ แลว้ บรรยายสมบัตหิ รือเงือ่ นไข โดยใช้เครื่องหมาย “I” แทนคา วา่ “โดยที่” คนั่ ระหว่างตวั แปรและเงอ่ื นไข เชน่  F = {x I x เป็นจานวนนับทม่ี หี ลกั เดียว} อ่านว่า F เป็นเซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิก x โดย ท่ี x เป็นจานวนนบั ทม่ี ีหลักเดียว

ตัวอยา่ ง 1. ให้ A แทนเซตของพยญั ชนะในภาษาไทย เขยี นแบบบอกเง่อื นไขไดด้ ังนี้ A = {x I x เปน็ พยญั ชนะในภาษาไทย} 2. ให้ B แทนเซตของจานวนเต็มท่ียกกาลงั สองแลว้ ได้ 16 เขยี นแบบบอกเงือ่ นไขไดด้ งั นี้ B = {x I x เป็นจานวนเตม็ และ x2 = 16} 3. ให้ C = {1,3,5,7,9} เขยี นแบบบอกเงื่อนไขไดด้ งั นี้ C = {x I x เปน็ เซตของจานวนเต็มบวกคีท่ ีน่ ้อยกวา่ 10} 4. ให้ D = {…,-2,-1,0,1,2,…} เขียนแบบบอกเงอ่ื นไขไดด้ งั น้ี D = {x I x ∈ I } ** อ่านว่า เซต D เปน็ เซตประกอบด้วยสมาชิก x โดยท่ี x เปน็ จานวนเตม็