1 บทท่ี 4 ปรพิ ันธ์ตามเสน้ Line Integrals ในการหาปริพนั ธ์ นอกจากเป็นการหาพน้ื ท่ี หรอื ปรมิ าณของฟงั ก์ชันแลว้ การหาปริพนั ธบ์ นเสน้ โค้ง C ก็ ไดร้ ับความสนใจเช่นเดยี วกัน มีการนาปริพันธต์ ามเส้นไปประยุกตใ์ นงานหลาย ๆ ด้านตงั้ แต่ช่วงศตวรรษที่ 19 โดยมีการนาไปชว่ ยแก้ในปัญหาเรอ่ื ง ของไหล(Fluid flow) แรง(Force) ไฟฟ้า(Electricity) เป็นต้น 1. ปรพิ นั ธต์ ามเส้นในปริภมู ิ (Line integrals in space) ใหเ้ ส้นโค้งเรียบ C บนปรภิ ูมิสามมิติ แสดงใหอ้ ยใู่ นสมการอิงตวั แปรเสริม (Parametric equations) ������ = ������(������), ������ = ������(������), ������ = ������(������) ������ ≤ ������ ≤ ������ (1) หรือสามารถเขียนให้อยูร่ ูปแบบของสมการเวกเตอร์ ������(������) = ������(������)���⃑��� + ������(������)���⃑��� + ������(������)���⃑⃑��� นิยาม ถ้าให้ ������(������, ������) หาค่าได้บนเส้นโค้ง C ทสี่ อดคลอ้ งกบั สมการ (1) แล้วปริพนั ธ์ตามเสน้ ของ ������(������, ������) บนเส้นโค้ง C จะได้ ������ ∫ ������(������, ������) ������������ = lim ∑ ������(������������, ������������) ∆������������ ������→∞ ������ ������=1 เมอื่ ������������ = √(������������������������ )2 + ������������ 2 ������������ (������������ ) แล้วปริพันธต์ ามเส้นจะได้ ∫ ������(������, ������) ������������ = ������ ������(������(������), ������(������))√(������������������������ )2 + ������������ 2 ������������ , ������ ≤ ������ ≤ ������ (������������ ) ∫ ������ ������ Figure 1 (Ref.1) S. Pinjai
2 ปรพิ นั ธ์ตามเสน้ บนระนาบ xz ������ ������������ ������������ ) ∫ ������(������, ������) ������������ = ∫ (������(������(������), ������(������)) ������������ , ������ ≤ ������ ≤ ������ ������ ������ ปริพนั ธ์ตามเส้นบนระนาบ yz ������ ������������ ������������ ) ∫ ������(������, ������) ������������ = ∫ (������(������(������), ������(������)) ������������ , ������ ≤ ������ ≤ ������ ������ ������ ตวั อย่างการประยุกต์ใช้ปริพันธต์ ามเส้น - ความยาวสว่ นโค้ง(Arc length: L) ถา้ ������(������, ������) = 1 แลว้ ������ = ∫ ������������ = ������ √(������������������������ )2 + ������������ 2 ������������ , ������ ≤ ������ ≤ ������ (������������ ) ∫ ������ ������ - การหาพ้ืนผวิ บาง (Surface: S) ������ = ∫ ������(������, ������) ������������ = ������ ������(������(������), ������(������))√(������������������������ )2 + ������������ 2 ������������ , ������ ≤ ������ ≤ ������ (������������ ) ∫ ������ ������ - มวลของเส้นลวด (Mass of wire: M) ถ้าให้ ������(������, ������) แทนความหนาแน่นของเส้นลวด แล้ว ������ = ∫ ������(������, ������) ������������ = ������ ������(������(������), ������(������))√(������������������������ )2 + ������������ 2 ������������ , ������ ≤ ������ ≤ ������ (������������ ) ∫ ������ ������ S. Pinjai
3 ตัวอย่าง 1 จงหาคา่ ∫������ (2 + ������2������)������������ เมือ่ เส้นโค้ง C คือครึง่ วงกลมท่ีสอดคลอ้ งกับสมการ ������2 + ������2 = 1 สมการอิงตัวแปรเสริมท่สี อดคลอ้ งกับเส้นโคง้ นี้คือ ������ = cos ������ , ������ = sin ������ และเม่ือเสน้ โคง้ เป็นภาพครง่ึ วงกลม ดังนน้ั ช่วงของสมการองิ ตัวแปรเสรมิ คือ 0 ≤ ������ ≤ ������ ดังนน้ั Figure 2 (Ref.1) ∫ (2 + ������2������)������������ = ������ + (cot ������)2 sin ������)√(������(c���o���������s ������) 2 + ������(sin ������) 2 ������������ ) ( ������������ ) ∫(2 ������ 0 S. Pinjai
4 ตัวอย่าง 2 จงหาค่า ∫������ (������ sin ������)������������ เม่อื C คือเสน้ โค้ง Helix ทอี่ ย่ใู นรูปแบบสมการองิ ตัวแปรเสรมิ คือ ������ = cos ������ , ������ = sin ������ , ������ = ������, 0 ≤ ������ ≤ 2������ Figure 3 (Ref.1) ตวั อยา่ ง 3 จงหาคา่ ∫������ (2������ + 3������)������������ + (3������ − 4������)������������ เมอื่ C คือเสน้ โค้ง ������ = ������2 ทเี่ ดินทางจากจุด (0,0) ไปยงั (1,1) จะได้สมการอิงตัวแปรเสริมคือ ������ = ������, ������ = ������2, 0 ≤ ������ ≤ 1 S. Pinjai
5 ตัวอยา่ ง 4 จงหามวลของเสน้ ลวด ทม่ี ีรปู ร่างเปน็ รปู ครึ่งวงกลมดังสมการ ������2 + ������2 = 4, ������ ≥ 0 โดยท่ีมี ความหนาตรงฐานมากกวา่ ตรงส่วนด้านบนของลวดครึ่งวงกลม เม่ือกาหนดฟงั ก์ชนั ความหนาแนน่ ของลวดคือ ������(������, ������) = (1 − ������) และสมการองิ ตวั แปรเสริมคือ ������ = 2 cos ������ , ������ = 2 sin ������ , 0 ≤ ������ ≤ ������ S. Pinjai
6 2. ปริพนั ธ์ตามเสน้ ของสนามเวกเตอร์ (Line integrals of vector fields) ให้ ���⃑��� แทนแรงที่ใช้ในการเคล่ือนที่ของวัตถุจากจุด A ไปยังจดุ B ดังนนั้ จึงกาหนดให้ ���⃑��� คือสนาม พลงั งานท่ีตอ่ เนอื่ ง(a continuous force fields) บนปริภูมิสามมิติ ���⃑���(������, ������, ������) = ������1(������, ������, ������)���⃑��� + ������2(������, ������, ������)���⃑��� + ������3(������, ������, ������)���⃑⃑��� นิยาม ให้ ���⃑��� คือสนามเวกเตอร์ท่ีต่อเนื่องบนเส้นโค้ง C ที่กาหนดด้วยฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ ���⃑���(������), ������ ≤ ������ ≤ ������ แล้วงานท่ีเกิดขนึ้ จากการเคล่ือนท่บี นเส้นโคง้ C (Work done: W) จะหาได้จากปริพนั ธต์ ามเสน้ คอื ������ ������ ≤ ������ ≤ ������ ������ = ∫ ���⃑��� ∙ ������������ = ∫ ���⃑���(���⃑���(������)) ∙ ���⃑���′(������)������������ , ������ ������ เมอ่ื ���⃑���(���⃑���(������)) = ���⃑���(������(������), ������(������), ������(������)) Figure 4 (Ref.1) ตวั อยา่ ง 5 จงหางานที่เกิดจากการเคลอ่ื นในสนามพลังงาน ���⃑���(������, ������) = ������2���⃑��� − ���������������⃑��� บนเสน้ โคง้ C ทกี่ าหนด โดยฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ ���⃑���(������) = cos ������ ���⃑��� + sin ������ ���⃑���, 0 ≤ ������ ≤ ������ 2 วิธีทา จากฟงั ก์ชันคา่ เวกเตอร์ นั่นคอื ������ = cos ������ , ������ = sin ������ จะได้ ���⃑���(���⃑���(������)) = cos2 ������ ���⃑��� − cos ������ sin ������ ���⃑��� และ ���⃑���′(������) = − sin ������ ���⃑��� + cos ������ ���⃑��� ดังนนั้ งานทเ่ี กิดขน้ึ คือ S. Pinjai
7 ������ 2 ������ = ∫ ���⃑��� ∙ ������������ = ∫ ���⃑���(���⃑���(������)) ∙ ���⃑���′(������)������������ ������ 0 ������ 2 = ∫(cos2 ������ ���⃑��� − cos ������ sin ������ ���⃑���) ∙ (− sin ������ ���⃑��� + cos ������ ���⃑���)������������ 0 ������ 2 = ∫(− cos2 ������ sin ������ − cos2 ������ sin ������)������������ 0 ������ 2 = ∫(−2 cos2 ������ sin ������)������������ 0 ������ cos3 ������ 2 = [2 3 ] 0 2 = −3 ตวั อย่าง 6 จงหางานท่เี กิดจากการเคลื่อนในสนามพลงั งาน ���⃑���(������, ������) = ������2���⃑��� − ������4���⃑��� บนเสน้ โค้ง C ทก่ี าหนด โดยฟงั ก์ชันค่าเวกเตอร์ ���⃑���(������) = ������ ���⃑��� + 1 ���⃑���, 1 ≤ ������ ≤ 3 ������ วิธที า S. Pinjai
8 ตัวอยา่ ง 7 จงหางานที่เกิดจากการเคล่ือนในสนามพลงั งาน ���⃑���(������, ������) = ������2������3���⃑��� − ������√���������⃑��� บนเสน้ โค้ง C ที่ กาหนดโดยฟังก์ชันคา่ เวกเตอร์ ���⃑���(������) = ������2 ���⃑��� − ������3 ���⃑���, 0 ≤ ������ ≤ 1 วิธที า S. Pinjai
9 แบบฝกึ หดั บทท่ี 4 ปริพนั ธ์ตามเส้น (line integrals) 1. ให้ ������ เปน็ เส้นโค้ง ������ = ������2 จากจดุ (0,0) ไปยงั (4,2) จงหาค่า ∫������ ������2+������ ������������ เม่อื ������(������) = √1+4������2 ������2, ������(������) = ������, 0 ≤ ������ ≤ 2 2. ให้ ������ เปน็ โค้งฮีลกิ ซ์ ซ่งึ กาหนดโดย ������ = 3 cos ������ , ������ = 3 sin ������ , ������ = ������, 0 ≤ ������ ≤ ������, จงหาค่า ∫������ ������ 2������ ������������. ������2+������2 3. ให้ ������ คอื ส่วนของเสน้ ตรงจากจุด (0,1) ไปยงั (2,3), จงหาค่าของ ∫������ (2������ + 3������)������������ + (3������ − 4������)������������, เมื่อกาหนดให้ ������(������) = 2������, ������(������) = 1 + 2������, 0 ≤ ������ ≤ 1 4. ให้ ������: ������(������) = [3 cos ������ , 3 sin ������], 0 ≤ ������ ≤ ������, จงหาควายาวเสน้ โค้งน้ี (Hint: ������ = ∫������ ������������ = ∫������ √(������������)2 + (������������)2 ������������ ������������ ������������ 5. ให้ ������ สอดคลอ้ งกบั สมการ ������ = √4 − ������2, 0 ≤ ������ ≤ 2, จงหาค่า ∫������ ������√������������������, เม่อื สมการองิ ตัวแปร เสรมิ คือ ������ = 2 cos ������ , ������ = 2 sin ������ , 0 ≤ ������ ≤ ������ 2 6. ให้ ������ ส่วนของเสน้ ตรงจากจุด (5,0,2) ������������ (5,3,4), และ ���⃗��� = ���������⃑��� − ���������⃑��� + ���������⃑⃑���, จงหาคา่ ∫������ ���⃑��� ∙ ������������ เม่ือ ������(������) = 5, ������(������) = 3������, ������(������) = 2 + 2������ , 0 ≤ ������ ≤ 1 7. ให้ ������ คือเส้นโค้งที่สอดคลอ้ งกับสมการ ������ = 1 − ������2 ทเ่ี คลอ่ื นทีจ่ าก ������ = −1 ไปยงั ������ = 1 และ ���⃗��� = ������2���⃑��� + ������2���⃑��� จงหาค่า ∫������ ���⃑��� ∙ ������������ เม่ือ ������(������) = ������, ������(������) = 1 − ������2, −1 ≤ ������ ≤ 1 8. ให้ ������ คอื เส้นโค้ง ������2 + 4������2 = 4 เคลอื่ นที่จากจดุ (2,0) ������������ (0,1) และ ���⃗��� = ������2���⃑���, จงหางานที่เกิดขึ้น ������ = ∫������ ���⃑��� ∙ ������������ เมื่อ ������(������) = 2 cos ������ , ������(������) = sin ������, 0 ≤ ������ ≤ ������. 2 Reference: 1. James Stewart, Calculus concept & context 3, Tomson Brooks/Cole, 2006. S. Pinjai
Search
Read the Text Version
- 1 - 9
Pages: