การหาพื้นที่

82 เรอ่ื งท่ี 3 การหาพ้นื ทีข่ องรูปเรขาคณติ 1. รปู สามเหลีย่ ม รปู สามเหล่ยี ม คอื รูปปดที่มีดานสามดาน มุมสามมุม เมื่อกําหนดใหดานใดดานหนึ่งเปน ฐานของรูปสามเหลี่ยม แลวมุมที่อยูตรงขามกับฐานจะเปนมุมยอด และถาลากเสนตรงจากมุมยอด มาตง้ั ฉากกับฐาน หรือสวนตอของฐานจะเรียกเสนตัง้ ฉากวาสวนสูง จากรูปสามเหลี่ยม ABC ใหกาํ หนด BC เปน ฐาน เรยี ก A วา มุมยอด เรียก AD วา สว นสูง จากรูปที่ 1 รูปท่ี 2 รปู ท่ี 3 พน้ื ทรี่ ูปสเ่ี หลี่ยมผืนผา ABCD แตล ะรปู เทา กบั 12 ตารางหนวย และพน้ื ทีส่ ามเหลีย่ มแตละรปู เทากบั ครึง่ หนึ่งของพน้ื ท่ีรูปสี่เหลี่ยมผืนผา จากสตู ร พืน้ ที่รูปส่เี หลี่ยมผนื ผา = ฐาน x สูง ดังน้นั พื้นท่ีรูปสามเหลีย่ ม = 1 × ฐาน × สงู 2

83 ตวั อยา ง รูปสามเหล่ียมรปู หนึง่ พนื้ ท่ี 40 ตารางเซนติเมตร และมีฐานยาว 8 เซนติเมตร จะมีความสูง กเ่ี ซนตเิ มตร วธิ ีทาํ ใหความสูงของสามเหลี่ยม h เซนตเิ มตร สตู ร พน้ื ท่ี  = 1 × ฐาน × สูง 2 40 = 1 × 8 × h 2 40 × 2 = h 8 10 = h ดังน้ัน ความสงู ของสามเหลยี่ มเทากับ 10 เซนตเิ มตร แบบฝก หัดท่ี 3 1. จงหาพืน้ ท่สี วนที่แรเงาของรปู ตอไปนี้ ตัวเลขทเ่ี ขียนกาํ กบั ดานไวถอื เปนความยาวของดา น และมี หนว ยเปน หนว ยความยาว ....................................................................... .................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... .......................................................................

84 2. รปู สามเหล่ียมหนง่ึ รูปมพี นื้ ท่ี 90 ตารางเซนติเมตร มีฐานยาว 12 เซนติเมตร จะมีความสูง กเี่ ซนตเิ มตร ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 3. สามเหลี่ยมมุมฉาก ABC มีมุม BAC เปนมุมฉาก และกําหนดความยาวของดานดังรูป จงหาความ ยาวของดาน A ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

85 4. จงหาพื้นที่ของสวนที่แรเงาของไมฉากรูปสามเหลี่ยม ซึ่งมีขนาดตามรูป (ความยาวที่กําหนดมี หนว ยเปน เซนติเมตร) 30 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 2. รูปสี่เหลย่ี ม 2.1 พื้นทขี่ องรูปส่ีเหลย่ี มมมุ ฉาก บทนิยาม รูปสีเ่ หล่ียมมมุ ฉาก คอื รูปส่เี หล่ียมท่ีมีมมุ แตล ะมมุ เปน มุมฉาก รูปส่ีเหลี่ยมมมุ ฉากมี 2 ชนดิ คอื ก) รูปสีเ่ หล่ียมจตั ุรสั เปนรูปส่ีเหลี่ยมมุมฉากทม่ี ดี า นทกุ ดานยาวเทา กัน ข) รปู ส่เี หลย่ี มผืนผา เปนรูปสีเ่ หลยี่ มมุมฉากทีม่ ดี านตรงขามยาวเทากัน

86 ถาแบงรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากออกเปนตาราง ๆ โดยแบงดานกวางและดานยาวออกเปนสวนๆ เทา ๆ กนั แลวลากเสน เช่อื มจุดแบงดังรปู จากรูปตารางเลก็ ๆ ทเ่ี กิดจากแบง แตล ะรปู จะมีความกวาง 1 หนว ย และยาว 1 หนว ย คิด เปน พ้ืนท่ี 1 ตารางหนวย การหาพื้นของสี่เหลี่ยมมุมฉากรูปที่ 1 สเ่ี หล่ยี มมมุ ฉากรปู ท่ี 1 มีดานกวาง 3 หนว ย ดา นยาว 3 หนวย เมอ่ื แบง แลว ไดจาํ นวนตาราง 9 ตาราง หรอื มีพื้นที่ 9 ตารางหนว ย สเี่ หล่ยี มมุมฉากรปู ที่ 2 มีดานกวาง 3 หนว ย ดา นยาว 4 หนวย เมอ่ื แบง แลว ไดจาํ นวนตาราง 12 ตาราง หรือมีพ้ืนท่ี 12 ตารางหนว ย การหาพื้นที่ดังกลาว สามารถคํานวณไดจากผลคูณของดานกวางและดานยาว น่นั คอื พื้นที่รูปส่ีเหล่ียมมุมฉาก = ดา นกวา ง x ดา นยาว ในกรณที เ่ี ปน รูปสี่เหลย่ี มจัตุรสั จะมดี า นกวางเทา กับดา นยาว น่นั คอื พื้นทีร่ ูปสเี่ หลีย่ มมมุ ฉาก = ดา น x ดา น หรือ พ้ืนที่รปู ส่เี หล่ียมมมุ ฉาก = (ดา น)2 ตวั อยา ง จงหาพ้ืนทีข่ องรูปสี่เหลย่ี มตอ ไปน้ี

87 วธิ ที าํ ตอบ (ก) พ.ท. สเี่ หลยี่ มผืนผา = กวาง x ยาว = 5x8 = 40 ตารางหนวย ดังน้นั พืน้ ทส่ี ่ีเหล่ียมผืนผา เทา กบั 40 ตารางหนวย (ก) พ.ท. สี่เหลี่ยมผนื ผา = ดา น x ดา น ตอบ = 4x4 = 16 ตารางเซนตเิ มตร ดงั น้ัน พื้นที่สี่เหล่ยี มผืนผา เทากับ 16 ตารางเซนตเิ มตร (ก) พ.ท. สเ่ี หล่ยี มผนื ผา = (2x3) + (4x7) ตอบ = 6 + 28 = 34 ตารางน้ิว ดงั นน้ั พ้ืนท่สี ่ีเหลี่ยมผืนผา เทากับ 34 ตารางนวิ้ 2.2 พนื้ ทข่ี องรูปส่ีเหลยี่ มดา นขนาน บทนิยาม รูปสเ่ี หลี่ยมดานขนาน คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มีดานตรงขามขนานกันสองคู

88 การหาพ้ืนทข่ี องรูปสเ่ี หลีย่ มดานขนาน ถารปู ส่เี หลี่ยมดา นขนาน ABCD กาํ หนด a แทนความยาวของดาน AB และ b แทนความ สงู DE จากรูปท่ี 1 ลากเสนทแยงมุม BD และลาก DE ใหต ั้งฉากกบั AB ดังรูปท่ี 2 เราสามารถ ใชพ น้ื ทีข่ องรปู สามเหลีย่ มหาสตู รพ้ืนท่ีของรปู สเี่ หลี่ยมดา นขนาน ABCD ไดด งั น้ี พน้ื ที่ของ ABCD เทากับผลบวกของพื้นที่  ABD และพื้นท่ี  CDB เนอ่ื งจาก พื้นที่  ABD เทากับ พ้นื ที่  CDB ดังนนั้ พ้ืนที่ ABCD = 2 เทา ของพืน้ ท่ี  ABD = 2 ×  1 × a × b 2  สูตรพื้นที่ รูปสเี่ หลย่ี มดานขนาน = ความยาวของฐาน x ความสูง รูปสเี่ หล่ยี มดานขนานทมี่ ีดา นทุกดานยาวเทา กนั และมุมไมเ ปน มุมฉาก เรยี กวา รูปสเี่ หลี่ยม ขนมเปยกปูน ในกรณเี ปน รูปสีเ่ หล่ียมขนมเปย กปนู ถา ลากเสนทแยงมุม แบง รปู ส่เี หลีย่ มออกเปนรปู สามเหลยี่ มสองรปู และไดสูตรดังน้ี สตู รพนื้ ท่ี ขนมเปยกปูน = 1 × ผลคูณของเสนทแยงมุม 2 ตวั อยาง จงหาพื้นท่ขี องสี่เหล่ียมดา นขนาน ABCD วิธีทํา

89 รปู สเ่ี หลย่ี มดา นขนาน = ฐาน × สงู ตอบ = AB × AB = 10 × 7 ตารางเซนติเมตร ดังนั้น พื้นท่สี เี่ หลยี่ มดา นขนาน ABCD = 70 ตารางเซนติเมตร 2.3 พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู บทนิยาม รูปสี่เหลี่ยมคางหมู คือรูปสเ่ี หลยี่ มทมี่ ดี า นขนานกันหนึง่ คเู ทา นั้น รูปสเี่ หลยี่ มทงั้ สามรูป แตละรูปมีดานขนานกนั เพยี ง 1 คเู ทานั้น รูปสามเหลยี่ มทงั้ สามรูปจึง เปนสี่เหลี่ยมคางหมู รูปสี่เหลีย่ มรปู ท่ี 2 มีดานที่ไมขนานกนั 1 ดา น ต้งั ฉากกับดา นคูขนาน เรยี กรูปสี่เหลีย่ มคาง หมนู ้ีวา สเ่ี หลีย่ มคางหมมู ุมฉาก รูปสเ่ี หล่ียมรปู ท่ี 3 มดี า นทีไ่ มข นานกันยาวเทา กนั เรยี กรูปสี่เหลี่ยมคางหมูน้วี า ส่เี หลย่ี ม คางหมูหนาจั่ว รปู สีเ่ หลย่ี มคางหมู ABCD มดี า น AB ขนานกบั ดา น CD ลาก CE ใหต ้ังฉากกบั AB และลากเสนทแยงมุม AC ดงั รูปท่ี 2 กาํ หนด a แทนความยาวของดาน AB b แทนความยาวของดาน CD c แทนความสูง เราสามารถใชพ ื้นที่ของรปู สามเหล่ียมหาสตู รพื้นทขี่ องรูปสเ่ี หล่ียมคางหมู ABCD ไดดงั น้ี

90 พนื้ ท่ี ABCD เทากับ ผลบวกของ พน้ื ท่ี  ABC และพน้ื ที่  ACD จากพืน้ ท่ี  ABC = 1×a×c พ้ืนที่  ACD = 2 1 ×b×c ดังนน้ั พน้ื ที่ ABCE = 2  1 × a × e +  1 × b × e = 1 × c × (a + b) 2  2  2 สูตร พนื้ ท่ี คางหมู = 1 × สงู × ผลบวกดา นคขู นาน 2 ตัวอยา ง จงหาพื้นทีข่ องส่ีเหล่ียม ABCD วธิ ีทํา พ้ืนที่สี่เหลีย่ มคางหมู ABCD = 1 × สูง × ผลบวกดานคูขนาน 2 = 1 × DE × (AB + DC) 2 = 1 × 6 × (12 + 8) 2 = 3 × 20 ตารางเซนติเมตร ดงั นั้น พ้นื ทสี่ เ่ี หล่ียมคางหมู ABCD = 60 ตารางเซนติเมตร 2.4 พืน้ ที่ของสเี่ หล่ยี มรปู วาว บทนิยาม รูปสเ่ี หล่ยี มรปู วา ว คือ รูปส่เี หลีย่ มทีม่ ีดานประชิดกนั ยาวเทา กันสองคู เมื่อลากเสนทแยงมุมของรูปสเี่ หลีย่ มรปู วาว จะพบวา เสนทแยงมุมตัดกันเปนมุมฉาก และ แบง ครงึ่ ซ่ึงกันและกนั

การหาพน้ื ทร่ี ปู ส่ีเหล่ียมรูปวาว 91 รูปสเ่ี หลี่ยมรูปวาว ABCD มี AB = AD และ BC = CD กาํ หนด a แทนความยาวของเสนทแยงมุม AC b แทนความยาวของเสนทแยงมุม BD เสนทแยงมุม AC และ BD ตดั กันท่ีจดุ E ทําให DE ตง้ั ฉากกับ AC BE ตง้ั ฉากกบั AC เราสามารถใชพ ื้นที่รูปสามเหล่ยี มหาสูตรพน้ื ท่สี ่ีเหล่ียมรูปวาว ABCD ไดด งั น้ี พน้ื ที่ ABCD เทา กับ ผลบวกของ พ้นื ท่ี  ACD และพื้นที่  ABC จาก  ABC = 1 × a ×  1 × b  ADC = 2 2  ดังน้ัน พน้ื ที่ ABCD = 1 × a ×  1 × b พืน้ ที่ ABCD = 2 2  = =  1 × a ×  1 × b  +  1 × a ×  1 × b   2  2  2  2 1 × a ×  1 × b  +  1 × b  2 2   2 1 × a × b + b 2  2 2  1 ×a×b 2 สูตร พนื้ ที่ส่เี หล่ยี มรปู วาว = 1 × ผลคูณของเสนทแยงมุม 2

92 ตวั อยา ง จงหาพ้นื ท่ีรูปสีเ่ หล่ียมรูปวา ว ABCD ท่ีมี BD =10 เซนตเิ มตร และ AC =12เซนตเิ มตร วธิ ีทํา พื้นทร่ี ปู วา ว = 1 × ผลคูณของเสนทแยงมุม 2 = 1 × AC × BD 2 = 1 ×12 ×10 ตารางเซนตเิ มตร 2 ดงั นัน้ พน้ื ที่รูปสี่เหลย่ี มรปู วาว ABCD = 60 ตารางเซนติเมตร 2.5 พื้นที่ของรูปสี่เหล่ยี มใดๆ รปู ส่เี หล่ียมใดๆ เปนรปู ส่ีเหลยี่ มท่ีไมเ ขา ลกั ษณะของรูปสีเ่ หล่ยี มขางตน การหาพืน้ ท่ีอาจทํา ไดโดยลากเสน ทแยงมุม แลวหาพื้นที่ของรปู สามเหลย่ี มทเ่ี กิดขนึ้ จากรูปสเี่ หลี่ยม ABCD เปน รูปสี่เหลย่ี มใดๆ จากเสน ทแยงมุม AC จากจดุ B ลากเสน BE ใหต ัง้ ฉากกับ AC D ลากเสน DF ใหต งั้ ฉากกับ AC ซึง่ เสน BE และ DF เรียกวา เสนก่งิ พืน้ ที่ ABCD เทากบั ผลบวกของ พืน้ ท่ี  ABC และพื้นท่ี  ADC จากพื้นที่  ABC = 1 × AC × BE พ้ืนที่  ABD = 2 1 × AC × DF ดังนน้ั พ้ืนที่ ABCE = 2 =  1 × AC × BE  +  1 × AC × DF  2  2  ( )1 × AC × BE + DF 2

93 สูตร พนื้ ท่ีสเี่ หลีย่ มใดๆ = 1 × ความยาวของเสนทแยงมุม × ผลบวกของความยาวของเสนกิ่ง 2 ตัวอยา ง จงหาพนื้ ทขี่ องรูปส่ีเหล่ยี ม ABCD มี AC = 10 เซนติเมตร เสนกิง่ DF = 7 เซนตเิ มตร และ EB = 5 เซนตเิ มตร วธิ ที าํ พ้นื ที่ ABCD = 1 × เสนทแยงมุม × ผลบวกของความยาวของเสนกิ่ง 2 = 1 × AC × (BE + DF ) 2 = 1 ×10 × (7 + 5) ตารางเซนตเิ มตร 2 ดงั น้นั พ้นื ท่ี ABCD = 60 ตารางเซนติเมตร แบบฝกหัดท่ี 4

94

95 2. จงหาพ้นื ทสี่ ว นท่ีแรเงา ตัวเลขที่เขียนกํากับไวถือวาเปนความยาวของดานและมีหนวยความยาว เปน เมตร ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………

96 2.6 พน้ื ทร่ี ูปหลายเหล่ียม การหาพ้ืนทร่ี ูปหลายเหลีย่ ม ใชว ธิ ีแบง รูปหลายเหล่ียม เปนรูปสเี่ หลยี่ มยอยๆ แลว หาพ้ืนท่ี ของรปู แตล ะรูปนาํ ผลลัพธมารวมกนั แตบ างครงั้ อาจใชว ิธีตอ เติมรปู เพื่อใหเกิดรปู เหลยี่ มใหมแ ลว นํามาหักลบกนั ดังตัวอยาง ตัวอยา ง จงหาพ้นื ทรี่ ปู เหลยี่ มทแี่ รเงา วธิ ีทํา ลากตอ EF และ HG ทําใหเกิดเปนรปู ส่ีเหลย่ี มมุมฉากยอย 3 รูป คอื DEJC, FGKJ, ABKH จากรูป EJ = 6 เซนติเมตร FJ = 4 เซนตเิ มตร พ้ืนทร่ี ูปหลายเหลีย่ ม ABCDEFGH = พ.ท. DEJC + พ.ท. FGKJ + พ.ท. ABKH = ( 2×6) + (1×4) + (3×10) = 12 + 4 + 30 ตารางเซนติเมตร ดงั น้นั พ้ืนท่ีรูปหลายเหลี่ยม ABCDEFGH = 46 ตารางเซนติเมตร 2.7 พ้นื ที่รูปวงกลม การหาพืน้ ที่ของรูปวงกลมโดยวิธีแบง ออกเปนสว นเลก็ ๆ แลว นําแตละสวนมาสลบั กัน ดัง รปู

97 จะเหน็ ไดวา ถายิง่ แบง สว นยอยใหม จี าํ นวนมากข้ึน รูปสเี่ หลยี่ มท่ไี ดจ ะมีรปู ใกลเคยี งกบั รปู สเ่ี หล่ยี มผนื ผา โดยมีสวนสูงใกลเคียงกับรัศมีของวงกลม ความยาวของฐาน ใกลเคียงกับครึ่งหนึ่งของเสนรอบวง หรือ 1 (2πr) = πr 2 จากสตู ร พื้นท่ี ผนื ผา = ฐาน × สูง = (πr)× r = πr 2 สูตร พ้ืนทว่ี งกลม = πr 2 เมือ่ π = 22 หรอื 3.14 โดยประมาณ 7 r แทนความยาวรัศมี ตวั อยา ง จงหาพื้นที่วงกลมที่มีรัศมียาว 7 เซนติเมตร วธิ ที าํ พื้นที่วงกลม = πr 2 พ้ืนทีว่ งกลม = = 22 × 7 × 7 ตารางเซนตเิ มตร 7 154 ตารางเซนตเิ มตร

98 แบบฝกหดั ท่ี 5 1. จงหาพื้นทีส่ ว นทแี่ รเงา ตวั เลขที่เขียนกํากับดานมหี นว ยเปน เซนติเมตร และจุด O แทน จุดศูนยกลางของวงกลม 1

99 สรุปสูตรการหาพ้ืนที่

100