Important Announcement
PubHTML5 Scheduled Server Maintenance on (GMT) Sunday, June 26th, 2:00 am - 8:00 am.
PubHTML5 site will be inoperative during the times indicated!

Home Explore unit 1

unit 1

Published by pr_abhas, 2020-05-15 21:20:55

Description: unit 1

Search

Read the Text Version

กฎของพีชคณิตบลู ีนและทฤษฎีของดีมอรแ์ กน

กฎของพีชคณิตบลู ีนและทฤษฎีของดีมอรแ์ กน ผู้คิดค้นพีชคณิตบูลีน คอื นักคณิตศาสตร์ชาวองั กฤษช่ือ จอร์จ บลู (George Boole) ปี พ.ศ. 2390 ใชส้ าหรบั วเิ คราะหว์ งจรลอจกิ พชี คณิตบูลนี มกี ฎและขอ้ บงั คบั ต่าง ๆ เพอ่ื นามาใช้ในการหาคา่ ผลลพั ธข์ องสมการ บูลนี (Boolean Expression) ลอจกิ ฟังก์ชนั (Logic Function) หรอื สมการลอจกิ การลดรูป สมการลอจกิ เพอ่ื นาไปสรา้ งวงจรลอจกิ และสามารถพสิ ูจน์ความถกู ตอ้ งดว้ ยตารางความจรงิ ได้ ������ҧ อ่านวา่ นอตเอ หรอื เอบาร์ หรือ ( A’ )

นิยามศพั ทท์ ี่เก่ียวข้องกบั พีชคณิตบูลีน 1. ตวั คงท่ี (Constant) ในพชี คณติ บูลนี คอื ตวั คงทป่ี ระกอบดว้ ยตวั เลข “0” และ “1” 2. ตวั แปร (Variable) คอื ตวั องั ษรหรอื สญั ลกั ษณ์ทใ่ี ชแ้ ทนหรอื กาหนดคา่ คงท่ี โดยอาจอยใู่ นรปู เชน่ A, B, C, X, Y และ Z หรอื อยใู่ นรปู คอมพลเี มนต์ (Complement) เชน่ ������ҧ ���ത��� ������ҧ 3. ตวั กระทา (Operator) มอี ยู่ 3 ตวั ไดแ้ ก่ (1) ตวั กระทาแอนด์ (AND) ใชส้ ญั ลกั ษณ์ (∙ ) อา่ นวา่ แอนด์ เชน่ 0 · 0 = 0 , 1· 1 = 1 เป็น ตน้ (2) ตวั กระทาออร์ (RO) ใชส้ ญั ลกั ษณ์ (+) อา่ นวา่ ออร์ เชน่ 0 + 0 =0 , 1+1 = 1 (3) ตวั กระทานอต (NOT) ใชส้ ญั ลกั ษณ์ ( ഥ ) อา่ นวา่ บาร์ เชน่ Aഥ 4. เทอม (Term) หมายถงึ การนาตวั แปรมากระทากนั มี 2 แบบ คอื 1) ตวั แปรมนิ เทอม(Min term) เช่น ABഥC เป็นตน้ 2) ตวั แปรแมก็ ซเ์ ทอม (Max Term) เช่น ഥX + Y + Zത

5. ฟังกช์ นั (Function) อาจเรยี กวา่ ลอจกิ ฟังกช์ นั (Logic Function) เชน่ Y = ABഥ + ABC + AഥBCത D 6. นิพจน์ทางลอจกิ (Expression๗ คอื สมการลอจกิ ทม่ี กี ารนาเทอมของตวั แปรมากระทากนั ไดแ้ ก่ 1) สมการผลบวกของผลคณู (มนิ เทอม) เช่น ���������ത��� + ���������ത��������� + ������������������������ 2) สมการผลคณู ของผลบวก (แมก็ ซเ์ ทอม) เชน่ (������ҧ + ������ + ������)(������ + ������ + ������ҧ) 7. คอมพลเี มนตฟ์ ังกช์ นั (Complement Function) หมายถงึ การนาตวั กระทานอตมากระทาทงั้ ฟังกช์ นั ทาใหฟ้ ังกช์ นั เดมิ ถูกกลบั เป็นตรงกนั ขา้ ม เช่น ������������ + ������ คอื ������������ + ������ 8. ดอู ลั ลติ ฟ้ี ังกช์ นั (Duality Function) หมายถงึ การเปลย่ี นตวั กระทาของฟังกช์ นั เดมิ จากแอนดเ์ ป็น ออร์ หรอื จากออรเ์ ป็นแอนด์ เชน่ ������ҧ ∙ ������ + ������ คอื ������ҧ + ������ ∙ ������ ตารางความจรงิ (Truth Table) เป็นตารางทแ่ี สดงระดบั ลอจกิ เอาตพ์ ตุ

กฎข้อบงั คบั ของพีชคณิตบูลีน กลมุ่ ท่ี 1 กฎของนอต กลมุ่ ท่ี 3 กฎของออร์ 1. 0ത = 1 10. A + 0 = A 2. 1ത = 0 11. A + 1 = 1 3. A = 0 ; (Aഥ = 1) 12. A +A = A 4. A = 1 ; (Aഥ = 0) 13. A + ������ҧ =1 5. Aന = A กล่มุ ท่ี 4 กฎของการสลบั ท่ี (Commutative Law) กลุม่ ท่ี 2 กฎของแอนด์ 14. A + B = B + A 6. A·0 = 0 15. A·B = B·A 7. A·1 = A กลุ่มท่ี 5 กฎของการจดั หมู่ (Associative Law) 8. A·A = A 16. A+ (B+C) = (A+B)+C = A+B+C 9. A·Aഥ = 0 17.A(BC) = (AB)C = ABC

กลุม่ ท่ี 6 กฎของการกระจาย (Distributive Law) 18. A(B+C) = (AB)+(AC) 19. A+(BC)=(A+B)(A+C) กลุ่มท่ี 7 กฎของการซ้าซอ้ น(Redundance Law) 20. A + AB = A 21. A+AഥB = A+B 22. Aഥ+AB = Aഥ + B 23. A·(A+B) = A

ทฤษฎีของดีมอรแ์ กน (Demorgan’s Theorems) ดมี อรแ์ กนเป็นนกั คณิตศาสตรท์ เ่ี สนอทฤษฎีทม่ี คี วามสาคญั ต่อพชี คณิตบูลนี เพอ่ื ใชใ้ นการลดรปู ของสมการลอจกิ ไดด้ งั น่ี 1. AB = Aഥ + Bഥ 2. A + B = Aഥ ∙ Bഥ

ตวั อยา่ งท่ี 1.1 พิสจู น์ 1. ������������ = ���ഥ��� + ���ഥ��� (หน้า 7) A B ���ഥ��� ���ഥ��� ���ഥ��� + ���ഥ��� ������������ 001111 011011 100111 110000

ตวั อยา่ งท่ี 1.1 พิสจู น์ 2. ������ + ������ = ���ഥ��� ∙ ���ഥ��� A B ���ഥ��� ���ഥ��� ������ + ������ ���ഥ��� ∙ ���ഥ��� 001111 011000 100100 110000

ตวั อย่างท่ี 1.2 การประยุกตท์ ฤษฎีของดีมอรแ์ กนกบั สมการ ������������������ และ ������ + ������ + ������ ABC = Aഥ + Bഥ + Cത 1. AB = Aഥ + A + B + C = Aഥ ∙ Bഥ ∙ Cത Bഥ 2. A + B = Aഥ ∙ Bഥ

ตวั อยา่ งท่ี 1.3 การประยุกต์ทฤษฎีของดีมอรแ์ กนกบั สมการ (������ + ������ + ������)������ กาหนดให้ A+B+C = X และ D=Y ดงั นนั้ 1. AB = Aഥ + Bഥ XY = ഥX + ഥY 2. A + B = A + B + C D = A + B + C + Dഥ Aഥ ∙ Bഥ ใชท้ ฤษฎดี มี อรแ์ กนกบั เทอม A + B + C + Dഥ A + B + C + Dഥ = AഥBഥCത + Dഥ

ตวั อย่างท่ี 1.4 1. AB = Aഥ + Bഥ 2. A + B = Aഥ ∙ Bഥ

การประยกุ ตใ์ ช้กฎของพีชคณิตบลู ีนและทฤษฎีของดีมอรแ์ กน ลดรปู สมการลอจิก ตวั อยา่ งท่ี 1.5 จงลดรปู สมการ BCത(Cത + CതA) + (Aഥ + Cത)(AഥB + AഥC) = ������������ҧ������ҧ 1 + ������ + ������ҧ������ҧ������ + ������ҧ������ҧ������ + ������ҧ������������ҧ + ������ҧ������������ҧ 9. A·������ҧ=0 8. A·A=A = ������������ҧ + ������ҧ������ + ������ҧ������ + ������ҧ������������ҧ = ������������ҧ + ������ҧ������ + ������ҧ������(1 + ������ҧ) 11. A+1=1 = ������������ҧ + ������ҧ������ + ������ҧ������

11. A+1=1 21. A+������ҧ������=A+B 13. A+������ҧ = 1 ดงึ ตวั รว่ ม 11. A+1=1

21. A+������ҧ������=A+B AB = Aഥ + Bഥ 13. A+������ҧ = 1 1+���ത��� + ������������������ҧ + ������ҧ 1 11. A+1= 1 1+���ത��� + ������ҧ ������������ + 1 13. A+������ҧ = 1 1+���ത��� + ������ҧ AB = Aഥ + Bഥ 1+���ത���������ҧ 11. A+1 = 1 1

แบบฝึ กหดั 1. จงหาคา่ Υ จากสมการ Υ = Α + ������ҧ + B (1) 2. จงหาค่า Υ จากสมการ Υ = Α ( B +C ) ������ҧ + D ( D ) 3. จงพิสจู นว์ า่ ( Α + B ) ⋅ ( Α + ���ത��� ) = Α (A) 4. จงพสิ จู นว์ า่ สมการ (������ + ������) = ΑΒ+( ΑΒ+ ������������ ) (������ + ������)

ตวั แปรแบบมินเทอมและแมก็ ซเ์ ทอม 1) ตวั แปรมนิ เทอม (Minterm) ผลรวมของผลคณู 2) ตวั แปรแมก็ ซเ์ ทอม(Maxterm) ผลคณู ของผลบวก 2 ตวั แปร ตัวแปร มินเทอม สัญลกั ษณ์ แมก็ ซเ์ ทอม สัญลักษณ์ AB มนิ เทอม แม็กซเ์ ทอม เลขฐานสบิ 00 AഥBഥ A+B 01 AഥB m0 A + Bഥ M0 0 10 ABഥ m1 Aഥ + B M1 1 11 AB m2 Aഥ + Bഥ M2 2 m3 M3 3

3 ตัวแปร

4 ตวั แปร หนา้ 12

รปู แบบของสมการลอจิก 1) สมการลอจกิ แบบผลบวกของผลคณู (หน้า 13) ������ ������, ������, ������ = ������������ + ���������ҧ ��������� + ���������ҧ ���������ҧ เขยี นวงจรลอจกิ ไดด้ งั น้ี

รปู แบบของสมการลอจิก 1) สมการลอจกิ แบบผลบวกของผลคณู (หน้า 13) ������ ������, ������, ������ = ������������ + ���������ҧ ��������� + ���������ҧ ���������ҧ เขยี นวงจรลอจกิ ไดด้ งั น้ี

ตวั อยา่ งท่ี 1.10 จงเปลย่ี นสมการลอจกิ ตอ่ ไปน้ีใหอ้ ยใู่ นรปู แบบของสมการผลบวกของผลคณู 1. AB+B(CD+EF) = AB+B(CD+EF) = AB+BCD+BEF วาดวงจรลอจกิ 2. (A+B)(B+C+D)=AB+AC+AD+BB+BC+BD วาดวงจรลอจกิ 3. (A + B) + C = (A + B)Cത = ACത + BCത วาดวงจรลอจกิ

วาดวงจรลอจิก 1. AB+B(CD+EF) 2. (A+B)(B+C+D) 3. (A + B) + C

เฉลย 2. (A+B)(B+C+D) 1. AB+B(CD+EF ) 3. (A + B) + C

รปู แบบมาตรฐานของสมการผลบวกของผลคณู (Canonical Sum of Pro duct From) ตวั อยา่ งท่ี 1.11 ������ ������, ������ = σ ������(0,1,2,3) (หน้าท่ี เลขฐานสบิ ตัวแปร มินเทอม สญั ลกั ษณ์ AB มินเทอม 14) 0 00 AഥBഥ 1 01 AഥB m0 ������ ������, ������ = ������ҧ���ത��� + ������ҧ������ + ���������ത��� + ������������ 2 10 ABഥ m1 3 11 AB m2 ตวั อยา่ งท่ี 1.12 ������ ������, ������, ������ = σ ������ 0,2,4,6 m3 ตวั อยา่ งท่ี 1.13 ������ ������, ������, ������, ������ = σ ������(0,2,4,6)

ตวั อยา่ งท่ี 1.12 ������ ������, ������, ������ = σ ������ 0,2,4,6

ตวั อยา่ งท่ี 1.13 ������ ������, ������, ������, ������ = σ ������(0,2,4,6)

การเปล่ียนสมการลอจิกให้อยู่ในรปู แบบมาตรฐานสมการผลบวกของผลคณู ****เทอมไหนไมม่ ตี วั แปรใดใหค้ ณู ดว้ ยผลบวกของตวั แปรกบั คอมพลเี มนต*์ *** ตวั อยา่ งท่ี 1.14 จงเปลย่ี น ���������ത��� + ������������������ + ���������������������ഥ��� ใหอ้ ยใู่ นรปู แบบมาตรฐานของสมการแบบผลบวกของผลคณู เทอม ���������ҧ ��� = ������ҧ������(������ + ������ҧ) เทอม ���������ҧ ത���C = ������ҧ������������ + ���������ҧ ���������ҧ = (���������ҧ ��������� + ���������ҧ ���������ҧ)(������ + ���ഥ���) = ������ҧ������������������ + ������ҧ���������������ഥ��� + ���������ҧ ���������ҧ������ + ������ҧ������������ҧ���ഥ��� = ���������ҧ ത��������� ������ + ���ഥ��� = ���������ҧ ത��������������� + ���������ҧ ത������������ഥ��� ตอบ เพราะฉะนนั้ = ���������ҧ ��������������� + ������ҧ���������������ഥ��� + ������ҧ������������ҧ������ + ������ҧ������������ҧ���ഥ��� + ���������ҧ ത��������������� + ���������ҧ ത������������ഥ���

สมการลอจิกแบบผลคณู ของผลบวก สมการ (������ + ���ത���)(������ + ������ + ������ҧ)(������ҧ + ���ത��� + ���ഥ���) (หน้า 16)

สมการลอจิกแบบผลคณู ของผลบวก สมการ (������ + ���ത���)(������ + ������ + ������ҧ)(������ҧ + ���ത��� + ���ഥ���) (หน้า 16)

รปู แบบมาตรฐานของสมการผลคณู ของผลบวก (Canonical Product of Sum From) ตวั อยา่ งท่ี 1.15 ������ ������, ������ = ς ������(0,1,2,3) (หน้า 16) = (������ + ������)(������ҧ + ������)(������ + ���ത���)(������ҧ + ���ത���) ตวั อยา่ งท่ี 1.16 ������ ������, ������, ������ = ς ������(0,2,4,6) เลขฐานสบิ ตัวแปร แม็กซเ์ ทอม สญั ลักษณ์ AB แม็กซเ์ ทอม ตวั อยา่ งท่ี 1.17 ������ ������, ������, ������, ������ = ς ������(0,2,4,6) 0 00 A+B 1 01 A + Bഥ M0 2 10 Aഥ + B M1 3 11 Aഥ + Bഥ M2 M3

ตวั อยา่ งท่ี 1.16 ������ ������, ������, ������ = ς ������(0,2,4,6)

ตวั อยา่ งท่ี 1.17 ������ ������, ������, ������, ������ = ς ������(0,2,4,6)

การเปล่ียนสมการลอจิกให้อยูใ่ นรปู แบบมาตรฐานสมการผลคณู ของผลบวก ขนั้ ท่ี 1 นาเทอมผลบวกทต่ี วั แปรขาดหายไปบวกกบั ผลคณู ของตวั แปรและคอมพลเี มนต์ ของ ตวั แปรทข่ี าดหายไป ขนั้ ท่ี 2 ใชข้ อ้ บงั คบั กลุ่มท่ี 6 กฎการกระจาย (Distributive Law) ขอ้ 19. A+BC = (A+B)(A+C) ขนั้ ท่ี 3 ทาซา้ ขนั้ ตอน 1 และ 2 จนกระทงั ่ เทอมของผลบวกประกอบดว้ ยทกุ ตวั แปรทกุ เทอม

ตวั อยา่ งท่ี 1.18 จงเปลย่ี นสมการลอจกิ (������ + ���ത���)(������ + ������ + ������ҧ)(������ҧ + ���ത��� + ���ഥ���) ใหอ้ ยใู่ นรปู แบบมาตรฐาน ของสมการแบบผลคณู ของผลบวก (หน้า 18) เทอมแรก ������ + ���ത��� ขาดตวั แปร C และ D A+BC = (A+B)(A+C) = ������ + ���ത��� + ������������ҧ = (������ + ���ത��� + ������)(������ + ���ത��� + ������ҧ) = ������ + ���ത��� + ������ + ���������ഥ��� = (������ + ���ത��� + ������ + ������)(������ + ���ത��� + ������ + ���ഥ���) = ������ + ���ത��� + ������ҧ + ���������ഥ��� = (������ + ���ത��� + ������ҧ + ������)(������ + ���ത��� + ������ҧ + ���ഥ���) เทอมสอง ������ + ������ + ������ҧ ขาดตวั แปร D = ������ + ������ + ������ҧ + ���������ഥ��� = (������ + ������ + ������ҧ + ������)(������ + ������ + ������ҧ + ���ഥ���) เทอมสาม ������ҧ + ���ത��� + ���ഥ��� ขาดตวั แปร C = ������ҧ + ���ത��� + ���ഥ��� + ������������ҧ = (������ҧ + ���ത��� + ������ + ���ഥ���)(������ҧ + ���ത��� + ������ҧ + ���ഥ���) เพราะฉะนนั้ (������ + ���ത��� + ������ + ������)(������ + ���ത��� + ������ + ���ഥ���) ������ + ���ത��� + ������ҧ + ������ ������ + ���ത��� + ������ҧ + ���ഥ��� (������ + ������ + ������ҧ + ������) (������ + ������ + ������ҧ + ���ഥ���) (������ҧ + ���ത��� + ������ + ���ഥ���)(������ҧ + ���ത��� + ������ҧ + ���ഥ���)

การสรา้ งตารางความจริงจากสมการลอจิกรปู แบบมาตรฐาน 1) การสรา้ งตารางความจรงิ จากสมการรปู แบบผลบวกของผลคณู (หน้า 18) ตวั อยา่ งท่ี 1.19 จงสรา้ งตารางความจรงิ จากสมการผลบวกของผลคณู ���������ҧ ത���������ҧ + ������ҧ������������ + ���������ത���������ҧ + ���������ത��������� เทอมทเ่ี ป็น 1 คอื ���������ҧ ത���������ҧ = 000 , ������ҧ������������ = 0อ1ิน1,พ������ุต���ത���������ҧ = 100, ���������ത���������เอ=าต10พ์ 1ตุ เขยี นเป็นตารางไดด้ งั น้ี AB C Y 00 0 1 00 1 0 01 0 0 01 1 1 10 0 1 10 1 1 11 0 0 11 1 0

การสร้างตารางความจริงจากสมการลอจิกรปู แบบมาตรฐาน 1) การสรา้ งตารางความจรงิ จากสมการรปู แบบผลบวกของผลคณู (หน้า 18) ตวั อยา่ งท่ี 1.19 จงสรา้ งตารางความจรงิ จากสมการผลบวกของผลคณู ���������ҧ ത���������ҧ + ������ҧ������������ + ���������ത���������ҧ + ���������ത��������� เทอมทเ่ี ป็น 1 คอื ������ҧ���ത���������ҧ = 000 , ������ҧ������������ = 0อ1ิน1,พ������ตุ ���ത���������ҧ = 100, ���������ത���������เอ=าต10พ์ 1ตุ เขยี นเป็นตารางไดด้ งั น้ี AB C Y

การเปลี่ยนสมการรปู แบบผลคณู ของผลบวกเป็นตารางความจริง ตวั อยา่ งท่ี 1.20 จงสรา้ งตารางความจรงิ ของสมการแบบผลคณู ของผลบวก (หน้า 20) (������ + ������ + ������ҧ)(������ + ���ത��� + ������)(������ҧ + ���ത��� + ������)(������ҧ + ���ത��� + ������ҧ) เทอมทม่ี คี า่ เป็น 0 ������ + ������ + ������ҧ = 001 , ������ + ���ത��� + ������ = 010, ������ҧ + ���ത��� + ������ = 110, ������ҧ + ���ത��� + ������ҧ = 111 อนิ พตุ เอาตพ์ ตุ AB C Y 00 0 1 00 1 0 01 0 0 01 1 1 10 0 1 10 1 1 11 0 0 11 1 0

การเขียนสมการลอจิกแบบมาตรฐานจากตารางความจริง ตวั อยา่ งที่ 1.21 จงเขียนรูปแบบสมการผลบวกของผลคณู และสมการผลคณู ของผลบวกของตาราง (หนา้ 20) อนิ พุต เอาตพ์ ตุ AB C Y คา่ ของเทอมอินพตุ มนิ เทอม 0 00 0 1 ������ ������, ������, ������ = σ ������(1,2,6,7) 1 ������ = ������ҧ���ത��������� + ������ҧ������������ҧ + ������������ 00 1 0 0 ������ҧ + ������������������ 0 01 0 1 ค่าของเทอมอินพตุ แมก็ เทอม 1 01 1 ������ ������, ������, ������ = ς ������(0,3,4,5) ������ = (������ + ������ + ������)(������ + 10 0 ���ത��� + ������ҧ)(������ҧ + ������ + ������)(������ҧ + ������ + ������ҧ) 10 1 11 0 11 1

ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งวงจรลอจิกกบั สมการลอจิก 1) การเขยี นวงจรลอจกิ จากสมการลอจกิ ตวั อยา่ งท่ี 1.22 การเขยี นวงจรลอจกิ เกตจากสมการแบบผลบวกของผลคณู ������ = ������������ + ������������ ������ (หน้า 22) วาดวงจร

ตวั อยา่ งท่ี 1.23 การเขยี นวงจรลอจกิ เกตจากสมการแบบผลบวกของผลคณู ������ = ������ + ������ + ������ ( ���������ത��� + ������������ )

การเขียนสมการลอจิกจากวงจรลอจิก ตวั อยา่ งท่ี 1.24 การเขยี นสมการลอจกิ จากวงจรลอจกิ (หน้า 23) วงจรลอจิก

ตวั อยา่ งท่ี 1.25 การเขยี นสมการลอจกิ จากวงจรลอจกิ วงจรลอจกิ

แบบฝึ กหดั หน้า 25-26 ข้อ 5 ขอ้ 6 ข้อ 7 ข้อ 8 ขอ้ 9 ขอ้ 10

แบบฝึ กหดั หน้า 25-26 ขอ้ 5 (ข) ขอ้ 6 (ข) ข้อ 7 (ข) ขอ้ 8 (ง) ข้อ 9 (ข) ขอ้ 10 (ค)


Like this book? You can publish your book online for free in a few minutes!
Create your own flipbook