Кошийн тэнцэтгэл биш

i DDC-510 22.1 A-298 В. Адъяасүрэн Монгол Улсын Их Сургууль Математикийн Тэнхим Б. Санчир Хөдөө Аж Ахуйн Их Сургууль Инженер Технологийн Сургууль Математик, Физик, Мэдээллийн Технологийн Тэнхим Кошийн тэнцэтгэл биш Редактор: Л. Эрдэнэсувд Хэвлэлийн эхийг : Б. Санчир Талархал: Номыг ивээн тэтгэсэн Шинэ Монгол эрдмийн хүрээлэн- гийн ерөнхийлөгч Ж.Галбадрах танаа талархал илэрхийлье. Мэргэн ухаан үржиж, саруул ухаан дэлгэрч, номын буян арвижих болтугай. Хэвлэлийн хуудас 39.4 х.х Хэвлэсэн тоо 300 ширхэг ISBN: 978-99973-0-889-4 Улаанбаатар 2016

Өмнөх үг Математикийн хэрэглэгдэх хүрээ улам өргөжихийн хирээр математик боловсролын түвшинг зохих шатанд гаргах асуудал хүчтэй тавигдаж байна. Үүнтэй уялдан тодорхой чиглэлүүдээр нарийвчлан бичигдсэн ном, товхимол үндэсний хэл дээр олноор гаргах шаардлага зүй ёсоор гарч байгаа билээ. Энэ агуу их орон зайд тус нэмэр болно хэмээн най- даж дараах номнуудыг уншигч танаа өргөн барьж байна. Дирихлейн зарчмын сонгомол 108 бодлого Комбинаторикийн сонгомол 108 бодлого Өвөрмөц байгуулалт ба үнэлгээний сонгомол 108 бодлого Элементар тооны онолын сонгомол 108 бодлого Шилмэл 108 тэнцэтгэл биш Геометр тэнцэтгэл бишийн сонгомол 108 бодлого Элементар анализын сонгомол 108 бодлого Элементар магадлалын сонгомол 108 бодлого Кошийн тэнцэтгэл биш Коши-Буняковскийн тэнцэтгэл биш Функц, функционал тэгшитгэл ii

Гарчиг 1 Кошийн тэнцэтгэл биш 1 2 Бие халаалтын бодлогууд 6 3 Баланслах арга 41 4 Кошийн тэнцэтгэл бишийг оновчтой хэрэглэх нэгэн ар- га 77 5 Зарим олимпиадын бодлогууд 97 6 Хувьсагчдыг холих арга 193 7 Нэгэн цикл тэнцэтгэл бишийн эргэн тойрноор... 222 8 Шоколадтай бодлогууд 253 iii

Бүлэг 1 Кошийн тэнцэтгэл биш Тодорхойлолт 1. Эерэг a1, a2, ..., an тоонуудын хувьд эдгээрийн ариф- метик дундаж болон геометр дунджуудыг харгалзан An(a) = a1 + a2 +··· + an , √ n Gn(a) = n a1a2 · · · an гэж тодорхойлъё. Теорем 1 (Кошийн тэнцэтгэл биш). Эерэг a1, a2, ..., an тоонуудын хувьд An(a) ≥ Gn(a) буюу a1 + a2 + · · · + an ≥ √ (1) n n a1a2 · · · an тэнцэтгэл биш биелнэ. (1) тэнцэтгэл биш a1 = a2 = · · · = an үед л тэнцэтгэл болно. Тэмдэглэл 1. (1) тэнцэтгэл бишийг n = 2 үед буюу эерэг a, b тоо- нуудын хувьд √ ab a + b ≥ 2 тэнцэтгэл биш биелнэ гэж анх Эвклид (Euclid) баталсан байдаг. Ихэнх ном зохиол, сурах бичиг, эрдэм шинжилгээний өгүүлэлд (1) тэнцэт- гэл бишийг Арифметик-Геометр дунджуудын тэнцэтгэл биш (AM- GM Inequality) гэж бичиж тэмдэглэсэн байдаг. 1

Бүлэг 1. Кошийн тэнцэтгэл биш 2 1897 онд Коши (August Cauchy) индукцийн арга ашиглан (1) тэн- цэтгэл бишийг тухайн үедээ хамгийн ганган баталгааг хийж байсан байна. Энэхүү номонд (1) тэнцэтгэл бишийг товчхон тэмдэглэж, хэрэг- лэхдээ бид \"Кошийн тэнцэтгэл биш\"гэсэн нэрийг сонгосон болно. Ингээд Кошийн гайхамшигт гэсэн тодотгол бүхий баталгааг авч үзье. Баталгаа. Батлах тэнцэтгэл биш n = 2 үнэн гэдгийг хялбархан шал- гаж болно. Бид n − 1 үед үнэн гэж үзээд n үед баталъя. Дараах 2 тохиолдол байна. Тохиолдол 1. n = 2k байг. Бид индукцийн суурь болон индукцийн таамаглал болох 2k−1 тооны үед биелнэ гэж үзсэн тэнцэтгэл бишийг ашиглавал a1 + a2 + · · · + a2k = +a1+a2+···+a2k−1 a2k−1 +1 +a2k−1 +2 +···+a2k 2k ≥ 2k−1 2k−1 2k−√1 a1a2 · · · a2k−1 2 √a2k−1 2k−1+1a2k−1+2 · · · a2k + 2 ≥ 2k−√1 a1a2 · · · a2k−1 2k−√1 a2k−1+1a2k−1+2 · · · a2k = 2√k a1a2 · · · a2k болж энэ тохиолдолд батлах тэнцэтгэл биш батлагдлаа. Тохиолдол 2. 2k−1 < n < 2k = N байг. Бид an+1 = an+2 = ··· = aN = a1 + a2 + · · · + an n гэж аваад өмнө баталсан N = 2k тооны хувьд Кошийн тэнцэтгэл биш бичвэл a1 + a2 + · · · + aN = a1 + · · · + an + (N − n) a1+···+an n NN ≥ N a1 · · · an · a1 + · · · + an N−n n

Бүлэг 1. Кошийн тэнцэтгэл биш 3 болох ба эндээс a1 + a2 + · · · + an ≥ √ n n a1a2 · · · an гэж гарна. Теорем бүрэн батлагдав. Тодорхойлолт 2. Эерэг a1, a2, ..., an тоонууд болон жин гэж цаа- шид яригдах эерэг w1, w2, ..., wn тоонуудын хувьд эдгээрийн арифме- тик дундаж болон геометр дунджуудыг харгалзан An(a; w) = w1a1 + w2a2 + · · · + wnan , w1 + w2 + · · · + wn Gn(a; w) = (aw1 1 aw2 2 · · · a )wn 1 w1 +···+wn n гэж тодорхойлъё. Теорем 2 (Жинтэй Кошийн тэнцэтгэл биш). Эерэг a1, a2, ..., an болон w1, w2, ..., wn тоонуудын хувьд An(a; w) ≥ Gn(a; w) буюу w1a1 + w2a2 + · · · + wnan w1 + w2 + · · · + wn ≥ (aw1 1 a2w2 · · · anwn ) w1 1 (2) +···+wn тэнцэтгэл биш биелнэ. (2) тэнцэтгэл биш a1 = a2 = · · · = an үед л тэнцэтгэл болно. Бид жинтэй Кошийн тэнцэтгэл бишийг баталгаагүйгээр авч үзнэ. Кошийн тэнцэтгэл бишүүдийн янз бүрийн хэлбэрүүдийг авч үзье. n = 3 үед түгээмэл хэрэглэгдэх Кошийн тэнцэтгэл бишээс шууд гарах тэнцэтгэл бишүүдийг бичвэл 2) a3 + b3 + c3 ≥ 3abc √ 1) a + b + c ≥ 3 3 abc 3) (a + b + c)3 ≥ 27abc 4) (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) 6) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca 5) √ 3 3 abc ≥ 1 + 1 + 1 a b c гэх мэт байна. Харин n хувьсагчтай үед Кошийн тэнцэтгэл бишийн олон хэлбэрийг жишээ болгон авч үзье.

Бүлэг 1. Кошийн тэнцэтгэл биш 4 Мөрдлөгөө 1. Эерэг a1, a2, ..., an тоонуудын хувьд a1 + a2 + · · · + an n n ≥ a1a2 · · · an тэнцэтгэл биш биелнэ. (1) тэнцэтгэл бишийг n зэрэгт дэвшүүлснээр энэ тэнцэтгэл биш гарна. Мөрдлөгөө 2. Эерэг a1, a2, ..., an тоонуудын хувьд a1n + an2 + · · · + ann ≥ a1a2 · · · an n тэнцэтгэл биш биелнэ. (1) тэнцэтгэл бишид ak → akn гэж солилт хийхэд энэхүү тэнцэтгэл биш гарна. Мөрдлөгөө 3. Эерэг a1, a2, ..., an тоонуудын хувьд √ ≥ 1 + 1 n 1 n a1a2 · · · an a1 a2 +···+ an тэнцэтгэл биш биелнэ. (1) тэнцэтгэл бишид ak → 1 гэж орлуулахад ak дээрх тэнцэтгэл биш гарна. Нөгөө талаас (1) тэнцэтгэл ёсоор дараах хэлхээ тэнцэтгэл биш биелнэ. a1 + a2 + · · · + an ≥ √ ≥ 1 + 1 n 1 n n a1a2 · · · an a1 a2 +···+ an Дээрх тэнцэтгэл бишийг Арифметик-Геометр-Гармоник дунджуудын тэнцэтгэл биш ч гэдэг. Мөрдлөгөө 4. Эерэг a1, a2, ..., an тоонуудын хувьд (a1 + a2 + · · · + an) 11 1 ≥ n2 + +···+ a1 a2 an тэнцэтгэл биш биелнэ. (1) тэнцэтгэл бишийг өөрийг нь болон (1) тэн- цэтгэл бишид ak → 1 гэж солилт хийхэд үүсэх 2 тэнцэтгэл бишүүдийг ak үржүүлэхэд гарна. Ихэвчлэн энэхүү тэнцэтгэл бишийг 1 + 1 +···+ 1 ≥ n2 a1 a2 an a1 + a2 + · · · + an

Бүлэг 1. Кошийн тэнцэтгэл биш 5 хэлбэртэй бичин бутархай хэлбэрийн тэнцэтгэл биш батлахад тохи- ромжтой байдаг. Энэхүү тэнцэтгэл бишийг Арифметик-Гармоник дунд- жуудын тэнцэтгэл биш ч гэж нэрлэдэг. Ерөнхий тохиолдолд эерэг a1, a2, ..., an ба бодит b1, b2, ..., bn тоонуу- дын хувьд b21 + b22 +···+ b2n ≥ (b1 + b2 + · · · + bn)2 (3) a1 a2 an a1 + a2 + · · · + an тэнцэтгэл биш биелнэ гэдгийг бид хожим батлах болно. Ялангуяа дээрх 2 тэнцэтгэл бишийг ашиглаад олимпиадын тэнцэтгэл бишүүд бүлгээс олон бодлого бодох ба энэхүү тэнцэтгэл биш нь их өргөн хэрэглээтэй тул уншигч та энэ хэсэгт анхаарлаа хандуулна уу. (3) тэнцэтгэл би- шид ak = x2k, yk2 = b2k гэж орлуулбал Коши-Буняковскийн тэнцэтгэл ak биш гэж нэрлэгдэх тэнцэтгэл биш гардаг тул зарим ном, зохиолд (3) тэнцэтгэл бишийг Коши-Буняковскийн тэнцэтгэл биш ч гэдэг. Коши- Буняковскийн тэнцэтгэл биштэй холбоотой дэлгэрэнгүй мэдээллийг В.Адъяасүрэн, Б.Санчир \"Коши-Буняковскийн тэнцэтгэл биш\"номноос үзэж болно. Бид (3) тэнцэтгэл бишийг Кошийн тэнцэтгэл биш ашиглан хялбар- хан баталж цаашид энэ номд Кошийн тэнцэтгэл биш гэж нэрлэн явах болно.

Бүлэг 2 Бие халаалтын бодлогууд Бодлого 2.1. Эерэг a, b, c тоонуудын хувьд a2 + b2 + c2 ≥ a + b + c b ca тэнцэтгэл биш биелнэ гэж батал. Баталгаа. Кошийн тэнцэтгэл биш хэрэглэвэл a2 + b ≥ 2 a2 · b = 2a, b2 + c ≥ 2 b2 · c = 2b b b cc c2 + a ≥ 2 c2 · a = 2c a a болох ба эдгээр гурван тэнцэтгэл бишүүдийг нэмбэл бидний батлах бодлого гарна. Тэнцэтгэл биш a = b = c үед л тэнцэтгэл болно. Бодлого 2.2. Эерэг a, b, c тоонуудын хувьд a3 + b3 + c3 ≥ a2 + b2 + c2 b3 c3 a3 b2 c2 a2 тэнцэтгэл биш биелнэ гэж батал. 6

Бүлэг 2. Бие халаалтын бодлогууд 7 Баталгаа. Кошийн тэнцэтгэл биш хэрэглэвэл a3 a3 +1≥33 a3 · a3 · 1 = 3 · a2 b3 + b3 b3 b3 b2 болох ба үүнтэй яг адилаар b3 + b3 + 1 ≥ 3 · b2 c3 + c3 + 1 ≥ 3 · c2 c3 c3 c2 , a3 a3 a2 гэж гарна. Дээрх гурван тэнцэтгэл бишүүдийг нэмбэл 2 a3 b3 c3 +3≥3 a2 b2 c2 b3 + c3 + a3 b2 + c2 + a2 болно. Энд дахин Кошийн тэнцэтгэл биш хэрэглэвэл 2 a3 b3 c3 +3≥3 a2 b2 c2 b3 + c3 + a3 b2 + c2 + a2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 = 2 b2 + c2 + a2 + b2 + c2 + a2 a2 b2 c2 ≥ 2 b2 + c2 + a2 + 3 болох ба эндээс бодлого шууд гарна. Тэнцэтгэл биш a = b = c үед л тэнцэтгэл болно. Тэмдэглэл 2. Дээрхтэй төстэй байдлаар, эерэг a, b, c тоонуудын хувьд a3 b3 c3 a3 b3 c3 a2 b2 c2 1) b2 + c2 + a2 ≥ a + b + c, 2) b2 + c2 + a2 ≥ + + , b c a a3 b3 c3 a3 b3 c3 3) + + ≥ a + b + c, 4) + + ≥ ab + bc + ca, bc ca ab b ca 5) a5 + b5 + c5 ≥ a2 + b2 + c2, 6) a5 + b5 + c5 ≥ a4 + b4 + c4 b3 c3 a3 b3 c3 a3 b2 c2 a2 , 7) a2 + b2 + c2 ≥ 1 + 1 + 1 b5 c5 a5 a3 b3 c3 тэнцэтгэл бишүүд биелнэ гэж баталж болно.