ใบความรู้ที่ 1

ใบความร้ทู ี่ 1 เซต 1. เซต เป็นคำที่ใช้บ่งบอกถึงกลุ่มของส่ิงต่าง ๆ และเม่ือกล่าวถึงกลุ่มใดแล้ว สามารถทราบได้แน่นอน ว่าสง่ิ ใดอยูใ่ นกลุ่มและสิ่งใดไมอ่ ยู่ในกลมุ่ เชน่ เซตของสระในภาษาอังกฤษ หมายถึง กล่มุ ของอักษร a, e, i, o และ u เซตของจำนวนนบั ท่นี อ้ ยกวา่ 10 หมายถงึ กลมุ่ ของตัวเลข 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9 สิ่งทอี่ ยูใ่ นเซต เรยี กว่า สมาชกิ (element หรอื members) 2. การเขียนเซต การเขยี นเซตอาจเขยี นไดส้ องแบบ คือ 2.1 การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก (Tabular From) โดยเขียนสมาชิกทุกตัวของเซตลงใน เคร่ืองหมายวงเล็บปีกกา และใช้เคร่ืองหมายจุลภาค ( , ) คั่นระหว่างสมาชิกแต่ละตัว เช่น เซตของจำนวนนบั ท่นี อ้ ยกวา่ 7 เขียนแทนดว้ ย {1, 2, 3, 4, 5, 6} เซตของพยัญชนะไทย 5 ตวั แรก เขยี นแทนดว้ ย {ก, ข, ฃ, ค, ฅ} เซตของจำนวนค่ตู ้ังแต่ 2 ถงึ 10 เขยี นแทนดว้ ย {2, 4, 6, 8, 10} 2.2 เขียนเซตแบบบอกเงื่อนไข (Builder Form) ใช้ตัวแปรเขียนแทนสมาชิกของเซต แล้ว บรรยายสมบตั ขิ องสมาชกิ ท่ีอยู่ในรูปของตัวแปร เชน่ {x | x เป็นสระในภาษาองั กฤษ } อ่านว่า เซตของ x โดยที่ x เปน็ สระในภาษาอังกฤษ {x | x เปน็ เดือนแรกและเดือนสดุ ท้ายของปี } อ่านว่า เซตของ x โดยที่ x เปน็ เดือนแรกและเดือนสดุ ทา้ ยของปี เคร่อื งหมาย “ | ” แทนคำวา่ โดยที่ ในการเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชกิ น้ันจะใชจ้ ุดสามจุด ( . . . ) เพ่ือแสดงวา่ มี สมาชกิ อืน่ ๆ ซ่งึ เปน็ ที่เขา้ ใจกันท่วั ไปวา่ มอี ะไรบา้ งที่อยใู่ นเซต เช่น {1, 2, 3, . . ., 10} สญั ลักษณ์ . . . แสดงวา่ มี 4, 5, 6, 7, 8 และ 9 เปน็ สมาชิก ของ เซต {วันจันทร์, องั คาร, พุธ, . . ., อาทติ ย์ } สัญลักษณ์ . . . แสดงวา่ มวี นั พฤหสั บดี วัน ศกุ ร์ และวนั เสาร์ เปน็ สมาชิกของเซต 3. สญั ลักษณแ์ ทนเซต ในการเขยี นเซตโดยท่ัวไปจะแทนเซตดว้ ยอักษรภาษาอังกฤษตัวพมิ พ์ใหญ่ เช่น A, B, C และ แทนสมาชิกของเซตด้วยตวั พิมพ์เล็ก เชน่ a, b, c เช่น A = {1, 4, 9, 16, 25, 36} หมายถงึ A เป็นเซตของกำลงั สองของจำนวนนับหกจำนวนแรก 4. สมาชกิ ของเซต จะใชส้ ัญลักษณ์ “  ” แทนคำวา่ เป็นสมาชกิ หรอื อยใู่ น เช่น A = {1, 2, 3, 4} จะได้ว่า 1 เปน็ สมาชิกของ A หรืออยู่ใน A เขยี นแทนดว้ ย 1  A 3 เปน็ สมาชกิ ของ A หรืออยูใ่ น A เขียนแทนด้วย 3  A คำวา่ “ไม่เปน็ สมาชกิ ของ” หรือ “ไม่อยู่ใน” เขยี นแทนด้วยสัญลกั ษณ์ “  ” เช่น

5 ไม่เป็นสมาชิกของ A หรือไม่อยูใ่ น A เขียนแทนดว้ ย 5  A 7 ไมเ่ ป็นสมาชกิ ของ A หรือไม่อยใู่ น A เขียนแทนด้วย 7  A สำหรบั เซต A ซ่งึ มสี มาชิก 4 ตวั เราจะใช้ n(A) เพ่ือบอกจำนวนสมาชกิ ของเซต A นนั่ คอื n (A) = 4 ตวั อยา่ งที่ 1 จงเขยี นเซตต่อไปน้แี บบแจกแจงสมาชิก 1. เซตของจังหวดั ในประเทศไทยที่ลงท้ายด้วยบรุ ี 2. เซตของจำนวนเต็มลบ 3. เซตของพยญั ชนะในภาษาไทย วิธที ำ 1) ให้ A เปน็ เซตของจังหวัดในประเทศไทยท่ลี งทา้ ยด้วยบรุ ี  A = {สุพรรณบรุ ี, ปราจนี บุรี, สิงห์บุรี, ลพบุรี} 2) ให้ B เป็นเซตของจำนวนเตม็ ลบ  B = {-1, -2, -3, . . .} 3) ให้ C เป็นเซตของพยัญชนะในภาษาไทย  C = {ก, ข, ค, . . ., ฮ} ตัวอย่างท่ี 2 จงเขียนเซตต่อไปน้ีแบบบอกเงื่อนไขของสมาชกิ 1. A = {2, 4, 6, 8, 10} 2. B = {1, 3, 5, 7} วิธที ำ 1) A = {x | x เป็นจำนวนคบู่ วกทีน่ อ้ ยกว่า 12} 2) B = {x | x เปน็ จำนวนคบี่ วกทนี่ ้อยกว่า 9}

ใบความร้ทู ่ี 2 เซตว่าง เซตจำกดั และเซตอนนั ต์ 1.1 เซตวา่ ง (Empty set หรอื Null set) บทนยิ าม เซตวา่ ง คอื เซตทไ่ี มม่ สี มาชิก สญั ลักษณ์ท่ใี ช้แทนเซตวา่ ง คอื { } หรอื  (สัญลักษณ์  เปน็ อกั ษรกรีก อา่ นว่า ไฟ (phi)) ตัวอย่างของเซตวา่ ง ไดแ้ ก่ A = {x | x2 < 0} B = {x | 2x2 + 3 = x – 3} C = {x | x เปน็ จังหวดั ในประเทศไทยท่ขี ึ้นตน้ ดว้ ย “ ข ”} 1.2 เซตจำกัด (Finite set) บทนิยาม เซตจำกดั คือ เซตซง่ึ มีจำนวนสมาชกิ เปน็ จำนวนเต็มบวกหรอื ศนู ย์ ตัวอยา่ งเซตจำกัด ไดแ้ ก่ A = {0, 2, 4, . . . , 10} , n(A) = 11 B = {x  I+ | x < 5} , n(B) = 4 C = {x | x เปน็ พยญั ชนะในคำว่า “ เซตว่าง ”} , n(C) = 4 1.3 เซตอนนั ต์ (Infinite set) บทนยิ าม เซตอนันต์ คอื เซตซง่ึ ไม่ใช่เซตจำกัด ตัวอย่างของเซตอนันต์ ได้แก่ A = {x | x เป็นจำนวนเตม็ บวก และ x  7} B = {x | x เปน็ จำนวนเฉพาะทม่ี ากกวา่ 5} C = {3, 7, 11, 15, . . .} ขอ้ ตกลงท่เี ก่ียวกบั เซต 1) เซตว่างเปน็ เซตจำกดั 2) การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชกิ นิยมเขียนสมาชิกแต่ละตัวเพยี งครง้ั เดยี วเท่านัน้ เชน่ เซตของเลขโดดที่อยูใ่ นจำนวน 232 คือ {2, 3} 3) เซตของจำนวนทีม่ ักจะกลา่ วถึงเสมอและใชก้ นั ท่ัว ๆ ไป มดี ังน้ี I เปน็ เซตของจำนวนเตม็ หรอื I = {. . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . .} I+ เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก หรอื I+ = {1, 2, 3, . . .}

I- เป็นเซตของจำนวนเต็มลบ หรือ I- = {-1, -2, -3, . . .} N เป็นเซตของจำนวนนับ หรือ N = {1, 2, 3, . . .} P เป็นเซตของจำนวนเฉพาะ หรอื P = {2, 3, 5, 7, . . .} เซตทเ่ี ท่ากนั (equal sets or identical sets) บทนยิ าม เซต A เทา่ กบั เซต B หมายถงึ สมาชิกทุกตัวของเซต A เปน็ สมาชิก ของเซต B และสมาชิกทุกตัวของเซต B เป็นสมาชกิ ของเซต A เซต A เท่ากับเซต B เขียนแทนด้วย A = B จากบทนยิ าม เซต A เทา่ กับเซต B หมายความว่า เซต A และเซต B มีสมาชกิ เหมอื นกนั ทุก ตวั และเซต A ไม่เท่ากับเซต B หมายความวา่ มสี มาชิกอย่างน้อยหนง่ึ ตวั ของเซต A ที่ไม่ใชส่ มาชิกของ เซต B หรอื มีสมาชิกอย่างน้อยหนงึ่ ตวั ของเซต B ที่ไม่ใช้สมาชิกของเซต A เขียนแทนดว้ ย A  B ตัวอยา่ งท่ี 1 กำหนด A = {2, 3} , B = {x | x2 – 5x + 6 = 0} จงแสดงว่า เซต A เทา่ กบั เซต B วิธีทำ  A = {2, 3} B = {x | x2 – 5x + 6 = 0}  x2 – 5x + 6 =0 (x – 2)(x – 3) =0 x = 2 หรือ x = 3  B = {2, 3} ดงั นัน้ A = B ตวั อยา่ งที่ 2 กำหนด A = {1, 1, 2, 4, 5, 6} , B = {2, 1, 2, 4, 5, 6} , C = {1, 2, 4, 5, 5, 6, 7, 6} จงหาวา่ มเี ซตใดบา้ งทเ่ี ท่ากัน วิธที ำ A = {1, 1, 2, 4, 5, 6} , B = {2, 1, 2, 4, 5, 6} จะได้ A = B เพราะว่ามีสมาชิกเหมือนกันทกุ ตวั แต่ A  C , B  C เพราะวา่ 7  A และ 7  B