1-2

1 เวกเตอรแ์ ละแรง vector analysis and force พีชคณิตเวกเตอร์ Vector algebra 1.1.1 สเกลารแ์ ละเวกเตอร์ Scalars and vectors เวกเตอร์ (Vector) เป็นคณิตศาสตร์แขนงหนึ่งที่สามารถใช้แสดงค่าของสนาม (Field) ว่า ซับซอ้ นใหด้ ขู น้ึ และทำใหม้ องเห็นภาพพจน์ของสนามได้ดียิ่งข้ึนปริมาณที่ใชเ้ กีย่ วกบั เวกเตอรไ์ ด้แก่ สเกลาร์ (Scalar) เป็นชื่อเรียกว่าที่ใช้แทนปริมาณที่มีขนาดเพียงอย่างเดียวเช่น มวล ความดัน ระยะทาง พื้นที่ อุณหภูมิ และความเร็ว เป็นต้น ปริมาณสเกลาร์นี้เขียนแทนด้วยตัวอักษร A,B,C,X ,Y ,Z เปน็ ตน้ เวกเตอร์ (Vector) เป็นชื่อที่ใช้แทนปรมิ าณที่มีทัง้ ขนาดและทิศทาง ซึ่งไม่สามารถแทนค่าจำนวนจรงิ เป็นค่าเดียว เช่น ความเร็ว แรง แรงดัน และโมเมนตัม เป็นต้น ปริมาณเวกเตอรน์ ้ีจะเขียนแทนด้วยสัญลกั ษณ์   เช่น A, B,C, A, B,C, aˆ x , aˆ y , aˆ z หรือจะเขียนแทนด้วย   ,  หรือ ax ,ay ,az เป็นต้น ในเอกสารนี้จะใช้ ax ,a y az  ลักษณะ A แทนเวกเตอร์ aˆx แทนเวกเตอร์หน่วย ax และ A แทนสเกลาร์ เวกเตอร์จะใช้ส่วนของลูกศรที่มีตัวลูกศรแทนและเวกเตอร์จะมีทิศทางไปตามหัวลูกศรและมีขนาด เทา่ กับความยาวของสว่ นของเสน้ ตรง A 00 B y x zV y D W C U E x รูปที่ 1.1 เวกเตอร์ 1.1.2 ส่วนประกอบของเวกเตอร์ (Components of Vector) ผลคูณเชิงเวกเตอร์สามารถนำไปประยุกต์ใช่ในการหาภาพฉาย (หรือองค์ประกอบ) ของ เวกเตอร์ในทิศทางกำหนด ภาพฉายนั้นอาจจะเป็นสเกลาร์หรือเวกเตอร์ กำหนดเวกเตอร์ ⃑A เราให้ องคป์ ระกอบ สเกลาร์ AB ของ ⃑A ตามเวกเตอร์ B⃑ ดงั น้ี (ดูรปู 1.2) AB = Acos θAB = ⃑A a⃑ B cos θAB (1.1) หรอื (1.2) AB = ⃑A . a⃑ B

2 องค์ประกอบของเวกเตอร์ ⃑AB ของ ⃑A ตาม B⃑ คอื องคป์ ระกอบของสเกลารใ์ นสมการ (1.2) คูณดว้ ยเวกเตอร์ หน่วยตาม B⃑ เชน่ AB = (⃑A . a⃑ B) ⃑aB (1.3) องค์ประกอบสเกลาร์และเวกเตอร์ของ ⃑A แสดงในรูป 1.2(ข.) สังเกตได้ว่าเวกเตอร์สามารถแตกออกเป็น สองส่วนตั้งฉากซึ่งกันและกัน องค์ประกอบ ⃑AB จะขนานกับ B⃑ และองค์ประกอบ (⃑A - ⃑AB) จะตั้งฉาก กับ ⃑B ท่ีจรงิ แล้วเวกเตอร์ในรูปของคาร์ทีเซียนเป็นการแตกเวกเตอร์ออกเป็นองคป์ ระกอบสามส่วนต้ังฉากซ่ึง กันและกนั เราได้พิจารณาการบวก การลบ และการคูณเวกเตอร์แล้ว ส่วนการหารเวกเตอร์ ⃑A /B⃑ เราไม่ได้ พิจารณาเน่ืองจากมนั ไมม่ นี ยิ ามนอกเสยี จากวา่ ⃑A และ ⃑B ขนานกนั จะได้ ⃑A = k⃑B เมือ่ k คือ ค่าคงตวั ������������������ ⃑A B⃑ AB (ก) องค์ประกอบสเกลาร์ AB ⃑A ������ A⃑ B ⃑B ⃑AB (ข) องค์ประกอบเวกเตอร์ A⃑ B รูปที่ 1.2 องคป์ ระกอบของ ������ ตาม B⃑

3 1.1.3 การบวกเวกเตอร์และการลบเวกเตอร์ (Addition of vectors) and (Subtraction of Vector)   การบวกเวกเตอร์ (Addition of vectors) ผลบวก (Sum) ของ A และ B เขียนแทนด้วย      A + B คอื เวกเตอรท์ ่ีมีจุดเร่ิมต้นที่จุดเริ่มต้นของ A และจุดปลายที่จุดปลายของ B เมอ่ื เริ่มต้นของ B อยู่     ท่ีปลายของ A เนอ่ื งจากการบวกด้วย A ด้วย B คอื A+ B ทำใหเ้ กิดรูปสามเหลี่ยมขึน้ เรยี กสามเหลี่ยมนี้ ว่า สามเหลย่ี มของการบวกเวกเตอร์ (Triangular Addition of Vectors) z B z z A+B A A A+B A B B y y A+B y x xx รปู ที่ 1.3 การบวกเวกเตอร์ การบวกเวกเตอร์ทางพชี คณิตหมายถงึ การบวกซึ่งกันและกนั ในแต่ละส่วนประกอบของเวกเตอร์ ดงั นี้  ( )( )ถ้าให้ A= Ax ,Ay ,Az และ  B = Bx ,By ,Bz ( )จะได้  (Ax + Bx )aˆx aˆ y + (Az + Bz )aˆz (1.4) A+ B = + Ay + By คุณสมบัติของการบวกเวกเตอร์  A+B=B+ A กฎการสลบั ท่ี (Commutative Law)    กฎการจัดหมู่ (Associative Law) (A + B) + C = A + (B + C)    m(A + B) = mA + mB กฎการแจกแจง (Distributive Law)   (m + n)A = mA + nA กฎการแจกแจง   A B การลบเวกเตอร์ (Subtraction of Vector) หรือผลต่าง (Difference) ระหว่างเวกเตอร์ และ   เขียนแทนด้วย A−B หรือ A + (−B) ( ) = (Ax − )aˆ x + aˆ y + (Az − Bz )aˆz (1.5) B A− Bx Ay − By zz z B B B A A A C=A-B x A-B B y y y x -B x A-B รปู ท่ี 1.4 การลบเวกเตอร์

4 คุณสมบัติของการลบเวกเตอร์  A -B= O เมอื่  A =B O โดยที่ เป็นเวกเตอร์ท่ีมีขนาดเท่ากับศนู ย์และมีทศิ ทางอะไรก็ได้ 1.1.4 เวกเตอรร์ ะยะทางและตำแหนง่ Distance and position vectors จุด P ในพิกัดคาร์ทีเซียนอาจแทนด้วย (x, y, z) เวกเตอร์ตำแหน่ง rp (หรือ เวกเตอร์รัศม)ี ของจุด P ถูกนิยามว่าเป็นระยะทางตรง rp = OP = x⃑ax + xa⃑ y + z⃑az (1.6) จดุ (3,4,5) จะมีเวกเตอรต์ ำแหน่ง 3⃑ax + 4a⃑ y + 5a⃑ z ดงั แสดงในรปู 1.4 ถ้าจดุ สองจุด P1 และ P2 กำหนดโดย (x1, y1, z1) และ (x2, y2, z2) เวกเตอรร์ ะยะทาง คอื การ กระจัด (Displacement) จาก P1 ไป P2 rp1p2 = rp2 - rp1 (1.7) = (x2 - x1) ⃑ax + (y2 - y1) ⃑ay + (z2 - z1) a⃑ z z P (3,4,5) z=5 y x=3 x y=4 รปู 1.5 แสดงเวกเตอร์ตำแหนง่ rp = 3a⃑ x + 4⃑ay + 5a⃑ z

5 P1 rp1p2 rp1 P2 P3 rp2 รปู 1.6 เวกเตอร์ระยะทาง rp1p2 จุด P และเวกเตอร์ ⃑A มีความแตกต่างกัน แม้ว่า P และ ⃑A จะถูกแทนด้วยลักษณะเดียวกนั คือ (x, y, z) และ (Ax, Ay, Az) ตามลำดับ จุด P ไม่เป็นเวกเตอร์แต่เวกเตอร์ตำแหน่งของมันเป็น เวกเตอร์ เวกเตอร์ ⃑A อาจขึ้นอยู่กับจุด P ตัวอย่างเช่น ถ้า ⃑A = 2xy⃑ax + y2 ⃑ay - xz2 ⃑az และ P อยู่ที่ (2, -1, 4) แล้ว ⃑A ที่ P จะเป็น -4a⃑ x + a⃑ y - 322 a⃑ z สนามเวกเตอร์จะคงตัวหรือมีความเป็น เอกรูป ถ้าสนามไม่ขึ้นอยู่กับตัวแปรอวกาศ (Space) x, y และ z ตัวอย่าง เช่น เวกเตอร์ B⃑ = 3⃑ax - 2⃑ay + 10a⃑ z เป็นเวกเตอร์เอกรูป (Uniform vector) ในขณะที่เวกเตอร์ ⃑A = 2xya⃑ x + y2 ⃑ay - xz2 ⃑az ไม่เปน็ เอกรูป เนอ่ื งจาก ⃑B มคี ่าเท่ากนั ทุกแห่ง ในขณะที่ ⃑A แปรไปตามจดุ หน่ึงไปยังอีกจดุ หนึง่ ตัวอย่าง 1.1 ถา้ ⃑A = 10⃑ax - 4⃑ay + 6a⃑ z และ ⃑B = 2a⃑ x + ⃑ay จงหา (ก) องคป์ ระกอบของ ⃑A ตาม ⃑ay (ข) ขนาดของ 3⃑A - B⃑ (ค) เวกเตอรห์ น่วยตาม ⃑A = 2⃑B วิธีทำ (ก) องคป์ ระกอบของ ⃑A ตาม ⃑ay คือ Ay = - 4 (ข) 3⃑A - ⃑B = 3 (10, -4, -6) – (2, 1, 0) = (30, -12, 18) – (2, 1, 0) = (28, -13, 18) ดังน้นั |3A⃑ − B⃑ | = 2√(28)2 +(-13)2 + (18)2 = 2√1277 = 35.74 (ค) ให้ ⃑C = ⃑A - 2B⃑ = (10, -4, 6) + (4, 2, 0) = (14, -2,6)

6 ตวั อยา่ ง 1.2 จุด P และ Q อยูท่ ่ตี ำแหนง่ (0, 2, 4), (-3, 1, 5) จงคำนวณหา (ก) เวกเตอร์ตำแหนง่ P (ข) เวกเตอรร์ ะยะทางจาก P ไป Q (ค) ระยะระหวา่ ง P และ Q (ง) เวกเตอรข์ นานกบั PQ มขี นาดเท่ากับ 10 วธิ ีทำ (ก) rp = 0⃑ax + 2a⃑ y + 4⃑az = 2⃑ay + 4⃑az (ข) rPQ = rQ - rp = (-3, 1, 5) – (0, 2, 4) = (-3, -1, 1) หรือ rPQ = -3⃑ax - a⃑ y - ⃑az (ค) เนอ่ื งจาก rPQ คือ เวกเตอร์ระยะทางจาก P ไป Q ดงั น้นั ระยะทางจาก P ไป Q คอื ขนาดของเวกเตอรน์ ้ี d = rPQ = √9 + 1 + 1 = 3.317 (ง) กำหนดให้เวกเตอร์ทต่ี ้องการเปน็ ⃑A แลว้ ⃑A = A⃑aA เมื่อ A = 10 เป็นขนาดของ ⃑A เนื่องจาก ⃑A ขนานกับ PQ ฉะนั้น ⃑A ต้องมีเวกเตอร์หน่วยเท่ากับ เวกเตอร์หน่วยของ rPQ หรือ rQP ดงั นั้น ������������= ± rPQ = (−3, −1,1) rPQ ± 3.317 และ ⃑A = ± 10(−3,−1,1) = ± (-9.045 ⃑ax -3.015 ⃑ay + 3.015⃑az) 3.317 1.1.5 การคูณเวกเตอร์ Vector multiplication เมือ่ สองเวกเตอร์ ⃑A และ B⃑ คณู กัน ผลลัพธ์ท่ีได้อาจเป็นสเกลารห์ รอื เวกเตอร์ ข้นึ อยู่กับว่า เวกเตอรเ์ หลา่ นี้คูณกันอยา่ งไร การคูณเวกเตอรม์ สี องชนิด คอื 1. ผลคูณเชิงสเกลาร์ (หรือ จดุ ) : ⃑A . ⃑B 2. ผลคณู เชิงเวกเตอร์ (หรือ ไขว)้ : ⃑A × B⃑ 3. การคูณสามเวกเตอร์ ⃑A B⃑ 4. ผลคูณเชิงสเกลาร์สามเวกเตอร์ ⃑A B⃑ และ ⃑C ไดผ้ ลลัพธ์ ดังนี้ หรอื ผลคณู เชงิ เวกเตอร์ของสามเวกเตอร์ : ⃑A × ⃑B × C⃑

7 ก. ผลคูณจดุ (Dot Product) ผลคูณจดุ ของเวกเตอร์ ⃑A และ ⃑B เขยี นเป็น ⃑A . ⃑B ถกู ให้นิยามทางเรขาคณิตเป็นผลคูณของ ขนาดของ ⃑B กบั ภาพฉายของ ⃑A ลงบน B⃑ (หรอื ตรงกนั ข้าม) ดงั น้ัน ⃑A . B⃑ = ⃑A B⃑ cos θAB (1.8) เมื่อ θAB คอื มุมท่ีเล็กกว่าระหวา่ งเวกเตอร์ ⃑A และ B⃑ ผลลัพธ์ของ ⃑A . ⃑B ถูกเรยี กวา่ ผลคณู เชิง สเกลารห์ รอื ผลคูณจดุ เน่ืองมันมาจากเครื่องหมายจุด ถา้ ⃑A = (Ax, Ay, Az) และ ⃑B = (Bx By Bz) แล้ว ⃑A . ⃑B = AxBx + AyBy + AzBz (1.9) ซึ่งหาไดโ้ ดยการคูณองค์ประกอบของ ⃑A และ B⃑ แต่ละองค์ประกอบ ผลคูณจุดมีคุณสมบตั ิเป็นไปตามกฎดงั ต่อไปน้ี (1.10) 1. กฎการสลบั ที่ : ⃑A . B⃑ = B⃑ . ⃑A (1.11) 2. กฎการแจกแจง (1.12) ⃑A . (B⃑ + C⃑ ) = ⃑A . ⃑B + ⃑A . C⃑ 3. ⃑A . ⃑A = ⃑A 2 = A2 เราสามารถพสิ ูจน์ได้ว่า (1.13)ก. a⃑ x . ⃑ay = a⃑ y . ⃑az = a⃑ z . a⃑ x = 0 (1.13)ข. a⃑ x . a⃑ x = a⃑ y . ⃑ay = a⃑ z . ⃑az = 1

8 ข. ผลคณู ไขว้ (Cross Product) ผลคูณไขวข้ องสองเวกเตอร์ ⃑A และ B⃑ เขยี นเป็น ⃑A x ⃑B มนี ยิ าม เป็น ⃑az ⃑A × ⃑B = ⃑A B⃑ sin ������AB a⃑ n (1.14) เมื่อ ⃑an คือ เวกเตอร์หน่วยที่ตัง้ ฉากกับระนาบที่ประกอบด้วย ⃑A และ ⃑B ทิศทางของ ⃑an จะช้ี ไปตามหัวแม่มือขวา ในขณะที่นิ้วที่เหลือของมือขวาหมุนจาก ⃑A ไปยัง B⃑ ดังแสดงในรูป 1.6(ก) ในอีก ทางหน่งึ a⃑ n คือทิศทางท่ีสกรขู วาเคล่อื นทีไ่ ป เมอื่ ⃑A หมุนไปยงั B⃑ ดงั รปู 1.6(ข) การคูณเวกเตอรข์ องสมการถกู เรียกว่าผลคูณไขว้ หรอื อาจเรยี กว่าผลคณู เชงิ เวกเตอร์ ถา้ ⃑A = (Ax Ay Az) และ B⃑ = (Bx By Bz) แลว้ ⃑A × ⃑B = ⃑ax ⃑ay a⃑ z Ax Ay Az Bx By Bz = (Ay Bz - Az By) a⃑ x + (Az Bx - Ax Bz) a⃑ y + (Ax By - Ay Bx) a⃑ z (1.15) ผลคูณไขว้มีคุณสมบัตพิ นื้ ฐานดงั ตอ่ ไปน้ี (1.16)ก. (1.16)ข. 1. ไมส่ ามารถสลับทีไ่ ด้ (1.17) (1.18) ⃑A × B⃑ ≠ ⃑B × ⃑A (1.19) ⃑A × ⃑B = -B⃑ × ⃑A (1.20) 2. เปล่ียนหมูไ่ ม่ได้ ⃑A × (B⃑ × ⃑C) ≠ (⃑A × ⃑B) × ⃑C 3. มีคณุ สมบัติการแจกแจง ⃑A × (B⃑ + C⃑ ) = ⃑A × B⃑ + ⃑A × ⃑C 4. ⃑A × ⃑A = 0 และมีข้อสังเกตวา่ a⃑ x × ⃑ay = ⃑az ⃑ay × a⃑ z = ⃑ax a⃑ z × ⃑ax = ⃑ay

9 ค. ผลคณู เชิงสเกลารข์ องสามเวกเตอร์ กำหนดสามเวกเตอร์ ⃑A , ⃑B และ ⃑C เราให้นยิ ามผลคูณสเกลารข์ องสามเวกเตอร์ คือ ⃑A . (⃑B × C⃑ ) = B⃑ . (⃑C × ⃑A) = C⃑ . (⃑A × ⃑B) (1.21) ผลลทั ธ์ทีไ่ ด้อยใู่ นรูปวธิ กี ารสลับเปลยี่ น ถ้า ⃑A = (Ax ,Ay ,Az), ⃑B = (Bx ,By ,Bz) และ ⃑C = (Cx ,Cy ,Cz) แล้ว ⃑A . (B⃑ × ⃑C) คอื ปรมิ าตรของท่อส่เี หลย่ี มมี ⃑A , ⃑B และ ⃑C เป็นขอบและสามารถหาได้ง่าย ๆ โดยการ หาเมทริกซ์ขนาด 3 x 3 ดังน้ี Ax Ay Az (1.22) ⃑A . (B⃑ × ⃑C) = Bx By Bz Cx Cy Cz เนื่องจากผลลัพธ์ของการคูณเวกเตอร์นี้เป็นสเกลาร์ สมการ (1.24) หรือ (1.25) จึงถูกเรียกว่าผลคูณเชิงส เกลารข์ องสามเวกเตอร์ ง. ผลคูณเวกเตอร์ของสามเวกเตอร์ สำหรับเวกเตอร์ ⃑A , B⃑ และ C⃑ เราใหน้ ยิ ามผลคูณเชงิ เวกเตอร์ของสามเวกเตอร์ คอื ⃑A . (⃑B × ⃑C) = ⃑B (⃑A . ⃑C) - ⃑C (⃑A . ⃑B) (1.26) ซึ่งหาได้จากฎ “bac - cab” สังเกตได้วา่ (1.27) (1.28) ≠ (⃑A . B⃑ ) ⃑C ⃑A (⃑B . ⃑C) แต่ (⃑A . ⃑B) ⃑C = ⃑C (⃑A . ⃑B)

10 ระบบพิกดั ตา่ งๆ coordinate system 1.2.1 ระบบพกิ ัดคาร์ทีเชียน (Cartesien coordinate) ระบบพิกัดคาร์ทีเชียน หรือเรียกว่าระบบพิกัดฉาก (Rectangular coordinate) ประกอบ ดว้ ยแกน 3 แกนไดแ้ กแ่ กน x, y และ z ซ่ึงทั้ง 3 แกนนจ้ี ะตง้ั ฉากซึ่งกันและกัน ดงั รูป 1.7 z P dz dL y P dy dx x รปู ท่ี 1.7 ระบบพิกัดคารท์ เี ชียน ระยะทางดิฟเฟอเรนเชยี ล ตามแนวแกน x,y และ z จะได้เป็น dx,dy,dz พืน้ ทีด่ ิฟเฟอเรนเชยี ล (ds) จะได้เปน็ dxdy,dydz,dzdx ปรมิ าตรดิฟเฟอเรนเชยี ล (dv) จะได้เป็น dxdydz ระยะทางดิฟเฟอเรนเชียล (dL) จากจดุ P ไปยังจุด P คือ 1.2.2 ระบบพิกัดทรงกระบอก (Cylindrical Coordinate) ในระบบพิกัดทรงกระบอกจะประกอบดว้ ย 1) ������ : รัศมีของรูปทรงกระบอกทีม่ ีแกนกลางอยูบ่ นแกน Z ถึงขอบผิวโค้งของ ทรงกระบวกมคี ่าได้จาก 0 ถึง ∞ 2) : มมุ ท่ีวัดในทิศทางทวนเข็มนาฬกิ าจากแกน + x (ท่ีตำแหนง่ ∅ = 0) ไป ยังแนวนอน ������ มีคา่ ได้จาก 0 ถึง 2������ หรือ 360 องศา 3) Z : ระยะบนแกน Z มลี ักษณะเหมือนกันกับในระบบพิกดั คาร์ทีเซียนมีค่าได้ จาก - ∞ ถงึ + ∞

11 z P (������, ∅, Z) y x รูปท่ี 1.8 ระบบพิกดั ทรงกระบอก จุดพิกัดในระบบทรงกระบอก คือ P (������, ∅, Z) เช่น ถ้ากำหนดให้จุด P (2, ������/4, 3) สามารถ พล็อตพิกัดทรงกระบอก รูปที่ 1.9 พลอ็ ตพกิ ัดทรงกระบอก เวกเตอร์ ������̅ จะตั้งฉากกับพิกัดของรูปทรงกระบอกเสมอ คือ ���̂���������, ���̂���∅, ���̂���Z เป็นยูนิตเวกเตอร์ซึ่ง จะตั้งฉากซึ่งกันและกันและ ���̂��������� จะสัมผัสกับผิว ของรูปทรงกระบอกและตั้งฉากกับ ���̂��������� เวกเตอร์ในระบบ พิกัดทรงกระบอกเขยี นแทนเวกเตอร์ใด ๆ ได้เปน็ ���⃗��� = A���������̂��������� + A∅���̂���∅ + Az���̂���z ค่าการเพิ่มขึ้น ของ ระยะทาง พื้นที่และปริมาตร คำนวณได้จากการเพิ่ม ������, ∅, z โดยการเพิ่มค่าดิฟเฟอเรนเชียล เป็น d������, d∅, dz

12 รูปท่ี 1.10 คำนวณ ระยะทาง พ้นื ทปี่ ริมาตร จากการเพิ่ม ������, ∅, z โดยการเพม่ิ คา่ ดิฟเฟอเรนเชยี ล เปน็ d������, d∅, dz 4) เวกเตอร์ปริมาณดฟิ เฟอเรนเชียล ในระบบพกิ ัดทรงกระบอก 1) เวกเตอรบ์ อกตำแหนง่ คอื O���⃑��� = ���������̂���p + z���̂���z 2) ผลคูณแบบจดุ และแบบไขว้คุณสมบัตคิ ลา้ ยระบบพิกดั คาร์ทเ่ี ซียน คือ ���̂���p . ���̂���p = l, ���̂���p . ���̂���∅ = 0 ���̂���p x ���̂���p = 0, ���̂���p x ���̂���∅ = ���̂���z เม่อื ⃑A และ B⃑ ประกอบดว้ ยสว่ นประกอบ 3 ส่วนในแกนเวกเตอร์ชดุ เดยี วกนั ⃑A . B⃑ = A������ B������ + A∅ B∅ + Az Bz ⃑A x B⃑ = (A∅ Bz - Az B∅) ���̂���p + (Az B������ - A������ Bz) ���̂���∅ + (A������ B∅ - A∅ B������) ���̂���z ������̈ x B⃑ = ���̂���p ���̂���∅ ���̂���z A������ A∅ Az B������ B∅ Bz ปรมิ าณดฟิ เฟอเรนเซียล : d������, ������d∅, dz ความยาวดฟิ เฟอเรนเซยี ล dL : ������d������d∅, d������dz, ������d∅dz พ้นื ท่ีดิฟเฟอเรนเซยี ล ds : ������d������d∅dz ปรมิ าณดฟิ เฟอเรนเซยี ล dv dL = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2 (1.23)

13 1.2.3 ระบบพิกดั ทรงกลม (Spherical Coordinate) ระบบพิกดั ชนดิ นเ้ี ทยี บไดก้ บั โลกมสี ว่ นประกอบ ดังนี้ ∞r : รศั มี มีจุดศนู ยก์ ลางทจ่ี ดุ กำเนิดไปจนถงึ จดุ P(r, , ∅) มคี ่าจาก 0 ถงึ ∞ : เปน็ มมุ ท่วี ดั จาดแกน z ไปยังแกน 0P ซำ้ ผ่านจดุ P(r, , ∅) มคี ่าได้จาก 0 ถึง ∅ : มุมที่วัดจากแกน X ไปยังส่วนฉายของ 0P บนระนาบ xy ในทิศทวนเข็มนาฬกิ า เมื่อมองจากแนวแกน z โดยผ่านจดุ P(r, , ∅) มีคา่ ไดจ้ าก 0 ถึง 2������ ตวั อย่าง เชน่ ต้องการพลอ็ ตจดุ 2������ /, 4������, ������ / 4 เปน็ พิกัดทรงกลมสามารถทำได้ดังนี้ คือ รปู ที่ 1.11 รายละเอียดระบบเวกเตอรส์ มมตทิ ่ใี ชก้ บั ลูกบาศก์วงกลมเขียนเวกเตอร์ ������������ (Ar ,A ,A∅) หรอื Ar ⃑ar + A a⃑ + A∅ a⃑ ∅ (1.54) ������������เม่อื a⃑ r , ⃑a และ a⃑ ∅ คือ เวกเตอรห์ นว่ ยตามทิศทาง r, และ ∅ ขนาดของ ⃑A คือ A2∅ A2������ ⃑⃑A⃑ = ( + A2������ + )1/2 (1.55) r, θ, ∅ จุด P สามารถแทนด้วยเราสังเกตได้ว่า ������ ถูกนิยามเป็นระยะทางจากจุดกำเนิดไปยังจุด P หรือ เปน็ รศั มีของทรงกลม มีจุดศนู ย์กลางอย่ทู ่จี ุดกำเนดิ และผ่าน P ส่วน θ (เรยี กวา่ ละตจิ ูดร่วมเกี่ยว) คอื มมุ ระหวา่ งแกน Z กบั เวกเตอรต์ ำแหนง่ P และ ∅ คอื มุมท่ถี กู วัดจากแกน X (มุมเดยี วกับมุมเชิงขั้วในพิกัด ทรงกระบอก) ตามนยิ ามเหล่านพี้ ิสยั ของตัวแปร คือ < ≤≤ 0 r ∞ ≤< ≤ 0 θ ������ 0 ∅ 2������

14 ������������ เวกเตอร์หน่วย ⃑ar , ⃑a และ ⃑a∅ จะตั้งฉากซึ่งกันและกัน ⃑ar ชี้ไปตามรัศมีหรือชี้ไปในทิศทาง เพ่ิมขึ้นของ r ในขณะที่ ⃑a ชไ้ี ปในทิศทางเพ่ิมขึน้ ของ θ และ ⃑a∅ ชีใ้ นทิศทางเพมิ่ ข้นึ ของ ∅ ดงั นน้ั ������������ ⃑ar . a⃑ r = ⃑a . a⃑ = ⃑a∅ . a⃑ ∅ = 1 ������������ ⃑ar . a⃑ = a⃑ . a⃑ ∅ = ⃑a∅ . ⃑ar = 0 ������ ⃑ar x ⃑a = a⃑ ∅ (1.57) ������ ⃑a x ⃑a∅ = ⃑ar ������ a⃑ ∅ x a⃑ r = a⃑ ระบบพิกดั ทรงกลม 1. การกระจัดอนพุ นั ธ์ คือ (1.24) sin θ d ∅⃑a∅ dl = dra⃑ r + rdθa⃑ θ + rsin θ ⃑aθ + r 2. พื้นท่ตี ง้ั ฉากอนุพันธ์ คอื dS⃑ = r2 sinθdθd ∅⃑ar r sinθdrd ∅⃑aθ rdrdθ⃑a∅ 3. ปริมาตรอนุพนั ธ์ คอื dv = r2 sinθdrdθd∅ r, θ, ∅ตัวแปรอวกาศ (x,y,z) ในพิกัดคารท์ ีเซยี น จะมีความสัมพันธก์ ับตัวแปร () ของระบบพิกดั ทรงกลม r = √x2 + y2 + z2 , θ = tan -1√x2+y2 , ∅ = tan-1 y Zx หรือ x = r sin θ cos θ , y = r sin θ cos ∅ , z = r cos θ สมการ (1.24) เป็นการแปลงจดุ (x, y, z) (r, θ, ∅) และสมการ (1.25) เปน็ การแปลงจุด (r, θ, ∅) (x, y, z) เวกเตอรห์ น่วย a⃑ x ⃑ay ⃑az และ a⃑ r a⃑ θ a⃑ ∅ มีความสัมพนั ธก์ นั ดังต่อไปน้ี a⃑ x = sin ������ cos ∅ ���⃗��������� + cos ������ cos ∅ ���⃗��������� − sin ∅ ���⃗���∅ ⃑ay = sin ������ sin ∅ ���⃗��������� + cos ������ sin ∅ ���⃗��������� − cos ∅ ���⃗���∅ ⃑az = cos ���������⃗��������� − sin ������ ���⃗���������

15 หรือ รูปที่ 1.12 ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งตวั แปรอวกาศ (x, y, z), (r, θ, ∅) และ (p, ∅, z) a⃑ r = sin ������ cos ∅ ���⃗��������� − sin ������ cos ∅ ���⃗��������� + cos ������ ���⃗��������� (1.25) a⃑ ������ = cos ������ cos ∅ ���⃗��������� + cos ������ sin ∅ ���⃗��������� − sin ������ ���⃗��������� ⃑a∅ = − sin ∅ ���⃗��������� + cos ∅ ���⃗��������� ความสัมพันธ์ขององค์ประกอบเวกเตอร์ ⃑A = (Ax , Ay , Az) และ ⃑A = (Ar , A������ , A∅) หาได้โดยการ แทนสมการ (1.26) ลงในสมการ (1.27) และรวมพจน์จะได้ ⃑A = (Ax sin ������ cos ∅ ���⃗��������� + Ay sin ������ sin ∅ + Az cos ∅) ⃑ar (1.26) + (Ax cos ������ cos ∅ + Ay cos ������ sin ∅ − Az sin ������) ⃑a������ + (−Ax sin ������ + Ay cos ∅) ⃑a∅ จากสมการนีเ้ ราได้ (1.27) Ar = Ax sin ������ cos ∅ + Ay sin ∅ sin ∅ + Az cos ������ A������ = Ax cos ������ cos ∅ + Ay cos ������ sin ∅ − Az sin ������ A∅ = Ax sin ∅ + Ay cos ∅

16 1.3 แรง force 1.3.1 การกระจดั Displacement การกระจดั (Displacement) คือ การเปลย่ี นตำแหน่งของวัตถุ จัดเปน็ ปรมิ าณเวกเตอร์ชนิด หนึ่ง ระยะทางที่สั้นที่สุดก็คือความยาวของเส้นตรงสมมติที่ลากจากจุดเริ่มต้นไปยังจุดสิ้นสุด ดังนั้นมันจึงอาจ แตกต่างจากเส้นทางเดินปกติก็ได้ เวกเตอร์การกระจัด ก็คือความยาวและทิศทางของเส้นตรงสมมติดังกล่าว เวกเตอร์ตำแหน่งเป็นตัวบ่งชี้ตำแหน่งของจุด P ในปริภูมิ ซึ่งเกี่ยวข้องกับการกระจัดจากจุดอ้างอิง O (โดยทว่ั ไปจะเปน็ จดุ กำเนิดของระบบพิกดั ) เวกเตอร์ตำแหนง่ แสดงให้เห็นวา่ ถา้ เคลอื่ นท่ีไปในแนวเส้นตรงโดย เริ่มจากจุด O ด้วยระยะทางและทิศทางนั้น ก็จะพบกับจุด P ที่ปลายทางการกระจัดอาจถูกเรียกว่า เป็น เวกเตอร์ตำแหน่งสัมพัทธ์ กล่าวคือ เมื่อเวกเตอร์สิ้นสุดตำแหน่ง Rf สัมพันธ์กับเวกเตอร์ตำแหน่ง เริ่มต้น Ri เวกเตอร์การกระจัดสามารถนิยามขึ้นได้จากผลต่างระหว่างเวกเตอร์สิ้นสดุ กับเวกเตอร์เริ่มต้น ดังนี้ (สญั กรณ์ตวั หนาหมายถงึ เวกเตอร์) รูปที่ 1.13 การกระจดั 1.3.2 ความเร็ว speed ความเรว็ คือ การกระจดั ของวัตถุในหนงึ่ หนว่ ยเวลา เปน็ ปริมาณเวกเตอร์ มหี น่วยเป็น เมตร/วินาที เช่น นกั วิง่ มาราธอนว่ิงดว้ ยความเร็ว 5 กิโลเมตรตอ่ ชว่ั โมง ไปทางทิศเหนือ หมายความวา่ ใน 1 ชวั่ โมง นกั วิ่ง มาราธอนจะสามารถวง่ิ ไดเ้ ป็นระยะทาง 5 กโิ ลเมตร โดยมงุ่ ตรงไปยงั ทิศเหนอื จากสตู ร ΔV = ΔS / Δt V = S / t = การกระจดั / เวลา กำหนดให้ V คอื ความเรว็ หนว่ ย เมตร/วินาที ( m/s ) S คอื การกระจดั หน่วย เมตร ( m ) t คอื เวลา หน่วย วินาที ( s ) หน่วย เมตร/วนิ าที ( m / s )

17 1.3.3 ความเรง่ acceleration ในฟสิ กิ ส์ ความเรง่ (องั กฤษ: acceleration, สัญลกั ษณ์: a) คอื อัตราการเปลีย่ นแปลง (หรืออนุพันธ์ เวลา) ของความเร็ว เป็นปริมาณเวกเตอร์ที่มีหน่วยเป็น ความยาว/เวลา² ในหน่วยเอสไอกำหนดให้หน่วย เป็น เมตร/วินาท²ี เม่ือวตั ถมุ คี วามเร่งในช่วงเวลาหน่งึ ความเร็วของมันจะเปล่ยี นแปลงไป ความเรง่ อาจมีคา่ เป็น บวกหรือลบก็ได้ ซึ่งเรามักว่าเรียกความเร่ง กับ ความหน่วง ตามลำดับ ความเร่งมีนิยามว่า “อัตราการ เปลี่ยนแปลงความเร็วของวัตถใุ นชว่ งเวลาหน่งึ ” และกำหนดโดยสมการน้ีเมอื่ a คือ เวกเตอร์ความเรง่ v คอื เวกเตอร์ความเร็ว ในหน่วย m/s t คือ เวลา ในหนว่ ยวินาที จากสมการน้ี a จะมหี น่วยเปน็ m/s² (อา่ นวา่ “เมตรตอ่ วนิ าทยี กกำลังสอง”) หรอื เขียนเปน็ อกี สมการได้เมื่อ a คอื ความเร่งเฉล่ยี (m/s²) u คือ ความเร็วตน้ (m/s) v คือ ความเรว็ ปลาย (m/s) t คือ ชว่ งเวลา (s) ความเร่ง คือ ความเร็วที่เปลี่ยนไปในหนึ่งหน่วยเวลาเป็นปริมาณเวกเตอร์หรืออัตราการเปลี่ยน ความเร็วเม่อื วตั ถมุ ีความเรง่ ในช่วงเวลาหนึ่ง ความเร็วของมนั จะเปลยี่ นแปลงไป ความเรง่ อาจมีค่าเป็นบวกหรือ ลบก็ได้ ซึ่งเรามักว่าเรียก ความเร่ง (+a) กับ ความหน่วง (-a) ตามลำดับ ความเร่งมีนิยามว่า “อัตราการ เปลี่ยนแปลงความเร็วของวัตถุในช่วงเวลาหนึ่ง” โดยสามารถเขียนเป็นความสัมพันธ์ระหว่างความเร็ว และ เวลาได้วา่ ������ = ∆������ หรือ ������ ������2 − ������1 ∆������ ������2−������2 เม่ือกำหนดให้ ������= ความเรง่ (m/������2) ∆������= ความเร็วสุดท้าย – ความเรว็ เรม่ิ ตน้ (m) ∆������= ระยะเวลาทง้ั หมดทว่ี ตั ถุใช้ในการเคล่อื นที่ (s) คำนิยามของความเร่งขณะหนึ่ง และความเรง่ เฉลยี่ ความเร่งขณะหนึ่ง คอื ความเรง่ ในชว่ งเวลาสน้ั ๆ ความเรง่ เฉล่ีย คือ อตั ราส่วนระหวา่ งความเรว็ ทเี่ ปลีย่ นไปทั้งหมดกับช่วงเวลาทเี่ ปล่ยี นความเร็วน้ัน นอกจากสตู รการคำนวณการเคลือ่ นทีใ่ นแนวเส้นตรง และ แลว้ ยงั สตู รการคำนวณเกย่ี วกับการเคล่อื นที่แบบ มคี วามเร่งอีก 4 สูตร

18 สนามไฟฟา้ และกฎของเกาส์ Electrie field and Gauss law สนามไฟฟ้า Electrie field 2.1.1 สมบัติของประจุไฟฟ้า การทดลองอย่างง่ายๆหลายการทดลองแสดงใหเ้ หน็ ว่า แรงไฟฟา้ มอี ยู่จริง ตัวอย่างเช่นใน วันที่มีอากาศแห้ง เมื่อเราถูลูกโป่งเข้ากับเส้นผมของราก็จะพบว่าลูกโป่งนั้นสามารถดูดเศษกระดาษชิ้นเล็กๆ ขึ้นมาได้ แรงดึงดดู น้มี คี า่ มากพอทจ่ี ะดงึ ดดู เศษกระดาษให้ติดอยู่กับลูกโป่งไดเ้ มื่อวัตถตุ ่างๆ มีพฤตกิ รรมข้างต้น เราเรยี กวา่ วัตถนุ ัน้ มคี วามเปน็ ประจไุ ฟฟ้า (electrified) หรือได้รับการชารจ์ ประจุ electrically charged เรา สามารถทำให้ร่างกายของเรามีความเปน็ ประจุไฟฟ้าได้โดยการขัดผิวรองเท้าของเรากับพื้น หลกั ฐานที่แสดงว่า ร่างกายของเรามีประจุไฟฟ้าอยู่ก็คือเมื่อเราสมั ผัสถูกตัวของเพื่อน (ทำให้เขาตกใจ) ภายใต้เงื่อนไขที่เหมาะสม เราจะพบวา่ มีการสปาร์ก กค็ อื มปี ระจุไฟฟ้าไหลผ่านจากตวั ของเราไปยังจุดทเ่ี ราสัมผัสถูกตัวของเพื่อน และทำ ให้ท้ังเราและเพอื่ นร้สู ึกเหมือนโดนไฟดดู (การทดลองดังทีก่ ล่าวมาแล้วจะประสบผลสำเร็จได้ก็ตอ่ เมื่อเราทำมัน ในวันที่มีอากาศแห้งเท่านั้น เพราะในวันท่มี ีอากาศชนื้ ประจุไฟฟ้าทีเ่ กิดข้ึนในร่างกายของเราจะ ร่ัวไหลว่ิงลงไป ทีพ่ นื้ โลกกอ่ นทจี่ ะไหลไปยงั ตวั ของเพื่อนของเรานน่ั เอง) ในการทดลองอย่างง่ายๆ ทั้งหลาย เราจะพบว่ามีประจุไฟฟ้าอยู่สองชนิดนั่นคือ ประจุบวก และประจุลบ ซงึ่ คน้ พบโดย เบนจามนิ แฟรงกลิน (Benjamin Franklin) (ค.ศ. 1706-1790)โดยเรากำหนดให้ อิเล็กตรอนมีประจุลบ และโปรตอนมีประจุบวก เพื่อแสดงให้เห็นว่ามีประจุไฟฟ้าอยู่สองชนิด ลองพิจารณา เหตุการณ์ตอ่ ไปนี้ เม่ือถูแท่งยางเขา้ กบั ผา้ ขนสัตว์แลว้ แขวนแท่งยางนี้ไวด้ ว้ ยเชือกดังรูปท่ี 23.1 เมื่อนำแท่งแก้ว ที่ถูกับผ้าไหมมาวางใกล้ๆกับแท่งยาง แท่งวัตถุทั้งสองจะดึงดูดซึ่งกันและกัน (รูปที่ 23.la) ในทางตรงข้าม ถ้า นำแท่งยาง (หรือแท่งแก้ว) ที่มีประจุไฟฟ้าอยู่มาวางไว้ใกล้ๆ กันดังรูปที่ 23.1b จะพบว่าแท่งวัตถุทั้งสองผลัก กัน การสังเกตดังกลา่ วแสดงให้เห็นว่าแท่งยางและแทง่ แกว้ มีประจุไฟฟ้าต่างชนิดกัน จากการสังเกตข้ันพ้ืนฐาน นเ้ี ราสามารถสรุปไดว้ ่า ประจไุ ฟฟ้าชนดิ เดยี วกันผลักกัน ประจไุ ฟฟ้าต่างชนิดกนั ดดู กัน จากคำแนะนำของแฟรงกลิ่นจะพบว่า ประจุไฟฟ้าที่อยู่บนแท่งแก้วเรียกว่า ประจุบวก และ ประจุไฟฟ้าที่อยู่บนแท่งยางเรียกว่า ประจุลบ ดังนั้นวัตถุใดๆ ที่มีประจุไฟฟ้าอยู่ เมื่อนำมาวางใกล้กับแท่งยาง (หรือแทง่ แก้ว) แล้วถูกแทง่ ยางดึงดูด (หรอื ถูกแท่งแกว้ ผลัก) วัตถนุ ั้นจะตอ้ งมีประจุบวกและดังนั้นวัตถุใดๆ ท่ีมี ประจไุ ฟฟา้ อยู่เมื่อนำมาวางใกล้กับแท่งยาง (หรอื แทง่ แก้ว) แลว้ ถกู แท่งยาง ผลัก (หรอื ถูกแท่งแก้วดึงดูด) วัตถุ นั้นจะตอ้ งมีประจุลบ นอกจากนสี้ งิ่ ท่ไี ดจ้ ากการสังเกตการทดลองก็คอื ในระบบโดดเดยี่ ว ประจไุ ฟฟา้ จะมีสมบัติของ การอนุรักษ์ นั่นคือ เมื่อถูวัตถุหนึ่งเข้ากับอีกวัตถุหนึ่งจะไม่มีประจุใหม่เกิดขึ้น แต่เกิดความเป็นประจุไฟฟ้า เนื่องจากการถ่ายโอนประจุจากวัตถุหนึ่งไปยังอีกวัตถุหนึ่ง โดยวัตถุหนึ่งได้รับประจุลบในขณะที่อีกวัตถุหน่ึง ได้รับประจุบวก ซึ่งประจุไฟฟ้าที่เกิดขึ้นไม่ได้สร้างใหม่หรือถูกทำลายไป ตัวอย่างเช่น เมื่อถูแท่งแก้วเข้ากับผา้ ไหมดังรูปที่ 23.2 ผ้าไหมจะได้รับประจุลบที่มีขนาดเทา่ กับประจุบวกที่ถ่ายโอนไปยงั แท่งแก้ว จากความเข้าใจ เรื่องโครงสร้างของอะตอมเราทราบว่าอิเล็กตรอนจะมีการถ่ายโอนจากแท่งแก้วไปยังผ้าไหมในระหว่างที่เราถู

19 วตั ถทุ ง้ั สองเข้าดว้ ยกัน ในทำนองเดียวกนั เมอ่ื เราถแู ท่งยางกบั ผ้าขนสตั ว์ จะมกี ารถา่ ยโอนอิเลก็ ตรอนจากผ้าขน สัตว์มายังแท่งยาง ทำให้แท่งยางมีประจุลบและผ้าขนสัตว์มีประจุบวก กระบวนการดังกล่าวสามารถเกดิ ข้นึ ได้ เพราะวา่ ในธรรมชาตวิ ัตถุที่ไม่ได้รับการชารจ์ ประจุไฟฟ้าจะมปี ระจบุ วก (ซึ่งก็คอื โปรตอนที่อยู่ในนิวเคลียสของ อะตอม) อยู่จำนวนมากกว่าประจุลบ (อิเล็กตรอน) โดยการอนุรักษ์ประจุไฟฟ้าสำหรับประจุโดดเดี่ยว นั้น เหมือนกับการอนุรักษ์พลังงาน การอนุรักษ์โมเมนตัม และการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม แต่เราจะไม่สร้าง แบบจำลองสำหรับการวเิ คราะห์สำหรับการอนุรักษ์ประจนุ ้ีเพราะเราไม่ค่อยได้ใช้บ่อยนกั ในการเฉลยโจทย์ทาง คณิตศาสตร์ ในปี ค.ศ. 1909 โรเบิร์ต มิลลิแกน (Robert Milikan) (ค.ศ. 1868-1953) ค้นพบว่า ประจุ ไฟฟ้าที่อยู่บนวัตถุ (หยดน้ำมัน) มีค่าเท่ากับเลขจำนวนเต็มคูณกับค่าของประจุพื้นฐาน (ดูหัวข้อ 25.7) ใน ปัจจุบันเรากล่าววา่ ประจไุ ฟฟ้า q มีสมบัติของการควอนไทซ์ (quantized) โดย q คือ สัญลักษณ์มาตรฐานใช้ แทนประจุไฟฟา้ นน่ั คือประจไุ ฟฟ้าจะรวมกันเป็นกลุ่ม “packets” และเราสามารถเขียนได้ว่า q = + Ne เมื่อ N คือเลขจำนวนเต็มใดๆ การทดลองอื่นๆในช่วงเวลาเดียวกันยังแสดงให้เห็นว่าอิเล็กตรอนมีประจุ -e และ โปรตอนมีขนาดของประจุเท่ากับอิเล็กตรอนแต่มีเครื่องหมายต่างกันนั่นคือ +e อนุภาคบางชนิดเช่นนิวตรอน เปน็ อนภุ าคท่ไี ม่มปี ระจุ 2.1.3 สนามไฟฟา้ Electrie field รูทที่ 2.1 สนามไฟฟ้า ในการหาสนามโน้มถ่วง g ณ จุดใดๆ เรานิยาเท่ากับแรงโน้มถ่วงที่มีต่อมวลทดสอบ (test mass) m0 หารด้วยขนาดของมวล m0 : g = F ด้วยวิธีที่คล้ายกันนี้สนามไฟฟ้า ณ จุดๆหนึ่งนิยาม ไว้ว่า m0 เทา่ กับแรงไฟฟา้ ท่ีกระทำต่อประจุทดสอบ ณ จดุ น้นั กล่าวสรปุ ไดว้ า่ เวกเตอร์สนาไฟฟ้า E ณ จุดใจๆ ในสเปซจะเท่ากับแรงไฟฟ้า F กระทำต่อประจุทดสอบท่ี ณ จุดนัน้ หารดว้ ยขนาดประจุทดสอบน้ัน E= F (1.28) q0

20 เวกเตอร์สนามไฟฟ้า E ในระบบหน่วย SI เป็น นิวตันต่อคูลอมบ์ (N/C) ทิศของ E จะชี้แรง F ทั้งนี้แรง F กระทำประจุทดสอบที่เป็นบวก ดังนั้นเรากล่าวได้ว่าจะมีสนามไฟฟ้า ณ จุดที่มีประจุอยู่นิ่งที่จุดที่มีแรงไฟฟ้า ดังนั้นถ้าทราบสนามไฟฟ้า ณ จุดหนึ่ง ๆ แรงที่กระทำต่ออนุภาคที่มีประจุ ณ จุดนั้น สามารถคำนวณได้ เม่ือ ประยุกต์ใช้สมการเราจะประมาณว่าขนาดของประจุทดสอบมีขนาดน้อยมาก จนไม่มีผลกระทบกระเทือนต่อ การกระจายประจุที่มีส่วน ประจุบนทรงกลม ที่ให้ค่าสนามจะยังคงมีการกระจายอย่างสม่ำเสมออย่างเดิม เช่นนี้ทำให้แรงไฟฟ้าที่ A B และ C มีขนาดเท่ากัน ซึ่งห่างจากทรงกลมเป็นระยะทางเท่ากัน ถ้าประจุทดสอบ q0 ›› q0 ดัง ประจุบนทรงกลมจะมีการกระจายใหม่และอัตราส่วน ของแรงกับประจุทดสอบมีค่าต่อไป (F/q#F/q0) (ก) เม่อื ประจทุ ดสอบ q0 อยู่ใกลท้ รงกลมตัวนำท่ปี ระจุ q (q ›› q0 ) สนามไฟฟา้ จะมีขนาดสมำ่ สมอ (ข) ถ้าประจุ q0 มีขนาดมากๆ สนามไฟฟา้ จะไม่สม่ำเสมอ กล่าวได้ว่าเพราะการกระจายประจุใหม่บนทรงกลม สนามไฟฟ้าที่จุด A จะต่าง จากสนามไฟฟ้าที่ A (ค) นอกจากนี้ถ้าให้ประจุ *4, เคลื่อนที่จาก A ถึง B หรือ C จะมีสนามไม่คงที่เมื่อพิจารณาประจุ q ห่างจาก ประจุทดสอบ q0 เปน็ ระยะ r จากกฎคูลอมบ์ จะหาแรงคูลอมบ์ ไดว้ า่ F = k e q q0 ̂r r2 ฉะนัน้ จากนยิ ามสนามไฟฟา้ เราหาสนามไฟฟา้ ดังนี้ E = ke q ̂r r2 เมื่อ r̂ เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยชี้จากประจุ 9ไปยัง 4 ถ้าประจุ 4 เป็นบวก สนามไฟฟ้าจะพุ่งออกถ้า ประจุ 9 เป็นลบ สนามไฟฟ้าจะพุ่งเข้า ในการที่ต้องการคำนวณสนามไฟฟ้าท่ี จุด P เนื่องจากประจุหลาย ๆ ประจุให้ คำนวณสนามจากแต่ละกบั ประจุแล้วรวมกัน แบบเวกเตอร์จะไดส้ นามลัพท์ท่ีระยะ r กับ ประจุ q จุด P ประจุ q ดังกบั ประจุ สมการ ประจุทดสอบ q0 ทจี่ ุด P หา่ งเป็น E = ke ∑i qi r̂i (1.29) ri2 เมื่อ r1 เปน็ ระยะหา่ งจากประจุท่ี i,qi หา่ งจาก P r̂i เปน็ เวกเตอรห์ นึง่ หนว่ ย จาก q1 ไปยงั จดุ P

21 ตัวอย่าง 2.1 ให้หาแรกไฟฟา้ ทม่ี ตี อ่ โปรตอนท่ีวา่ งอยู่บริเวณทีม่ สี นามไฟฟา้ 2.0 × 104 N/C ชใ้ี นทิศ ˖× คำตอบ เนือ่ งจากโปรตอนมีประจเุ ป็น +1.6×10-10 C ดงั นั้นแรงไฟฟ้าท่ีมตี ่อโปรตอนคือ F = eE= (1.6×10-19)(2.0×i04)=3.2×10-15 iN ตวั อยา่ ง 2.2 ประจุ q1 = 7.0 µC อยทู่ ี่จดุ เร่ิมต้นประจุ q2 = 5.0 µC อยูท่ ่ี x = 0.3 m จากจดุ เรม่ิ ตน้ ให้คำนวณหา สนามไฟฟ้าท่ีตำแหนง่ (0,0.40) m คำตอบ E1 เน่อื งจาก 7.0 µC คือ E1 = ke |q1| = (8.99×109)[7.0(0×.41)02−6] r2 = 3.9 × 105 N/C E2 เนื่องจากประจุ -5.0 µC คือ E2 = ke |q2|= (8.99×109)[5.0(0×.31)02−6] r2 E1 = อยู่ในแกน y E2 = อยทู่ ัง้ ในแกน x และ y โดยที่ E2 cosθ ในแกน x และ E2 sin θ ในแกน –y กลา่ วคือ E1 = 3.9×105 j N/C E2 = (1.1 ×105 i + 2.5×105 j) N/C 2.1.4 สนามไฟฟา้ เนือ่ งจากการกระจายประจุอย่างสม่ำเสมอ นกั ศกึ ษาจะพบวา่ มีบ่อยคร้ังท่ปี ระจุอยรู่ วมกันอย่างใกล้ชดิ เม่อื เปรียบเทียบกบั ระยะทางจาก ประจุไปยังตำแหน่งที่ต้องการหาสนามไฟฟ้า ในกรณีเช่นนี้ระบบที่ประจุอยู่ใกล้ชิดกันมากจะสมนัยกับประจุ ทั้งหมดกระจายอย่างสม่ำเสมอตามเสน้ บนผิวหรือตลอดปริมาตร ในการที่จะคำนวณหาสนามไฟฟ้า ของการ กระจายประจุอย่างสม่ำเสมอ เราจะทำดังนี้ แรกเริ่มเราแบ่งการกระจายประจุออกเป็นส่วนเล็ก ๆ ที่มีประจุ ∆q ดังแสดงใน จากนั้นใช้กฎคูลอมบ์คำนวณสนามไฟฟ้า ที่จุด P เนื่องจากประจุ ∆q ขั้นตอนสุดท้าย สนามไฟฟ้าทั้งหมดโดยการรวมสนามไฟฟ้าเนื่องจากการกระจายประจุทุก ๆ ส่วนจนครบสนามไฟฟ้าที่จุด P เนือ่ งจากสว่ น ของประจุ ∆q เลก็ คอื

22 ∆E = ke △q r̂ r2 เมื่อ r คือระยะห่างจาก ∆q ถึงจุด P และ ̂r คือเวกเตอร์หนึ่งหน่วยชี้จากประจุ *qไปยังจุด P สนามไฟฟ้าทั้งหมดทจี่ ดุ P หาได้จาก E≈ ke ∑ △qi r̂i i ri2 เมื่อดัชนี i หมายถึงส่วนประจุที่ 1 ที่กระจายอยู่ ถ้าระยะห่างระหวา่ งการกระจายประจุน้อย มากเมอ่ื เทยี บกบั ระยะทางถึง P จะถอื วา่ ประจุมีการกระจายอย่างสมำ่ เสมอ ดงั นน้ั สนามไฟฟา้ ทงั้ หมดท่ีจุด 2 โดยท่ีลมิ ิต ∆q o คือ E= k lim ∑ △qi r̂ =ke ∫ dq r̂ (1.30) eΔqi→0 i r2i r2 เมื่อการอินทิเกรตเป็นแบบเวกเตอร์ และจะต้องพิจารณาให้รอบคอบ ในหัวข้อนี้จะแสดง ตัวอย่างการคำนวณหลาย ๆ แบบตามตัวอย่างดังกล่าว เราถือว่าประจุมีการกระจายอย่างสม่ำเสมอตามเส้น บนผิว หรือในปริมาตร เมื่อมีการคำนวณ เพื่อความง่ายจะแนะให้ใช้แนวคิด ความหนาแน่นประจุเป็นกรณี ๆ ไปดงั นี้ ถ้าประจุ Q กระจายอย่างสม่ำเสมอตลอดปรมิ าตร V ความหนาแนน่ ประจุ p คอื p=Q C/m3 V ถ้าประจุ Q กระจายอยา่ งสม่ำเสมอบนผวิ ทมี่ ีพ้ืนท่ี A ความหนาแนน่ ประจตุ ามผิว * คือ σ= Q C/m2 A ถา้ ประจุ Q กระจายอย่างสม่ำเสมอตามเสน้ ยาว * ความหนาแนน่ ประจเุ ชิงเสน้ คือ λ= Q C/m ℓ ถา้ การกระจายประจุเปน็ ไปอย่างไม่สม่ำเสมอตลอดในปริมาตร บนผวิ หรือ ตามเสน้ ความหนาแน่ ประจุจะเขียนได้ดังน้ี p = dQ ; σ = dQ ; λ = dQ dV dA dℓ เม่อื dQ คือประจใุ นปรมิ าตรเล็ก ๆ บนผวิ นอ้ ย ๆ และตามเสน้ สนั้ ๆ

23 ตัวอย่าง 2.3 สนามไฟฟ้าเนื่องแท่งประจุแห่งประจุยาว 8 มีประจุบวกกระจายอย่างสม่ำเสมอ ต่อหน่วยความยาว เป็น λ และประจุทั้งหมด Q ให้คำนวณสนามไฟฟ้าที่จุด P ตาม แกนของแท่งประจุโดยมีระยะห่างจากปลาย ดา้ นหน่ึง คำตอบ ในการคำนวณครงั้ นี้ แท่งประจอุ ยใู่ นแกน x มีประจกุ ระจายอย่างสม่ำเสมอดว้ ยความหนาแนน่ เชิงเส้น λ= Q/e ฉะนัน้ สนามไฟฟา้ ∆E คอื ∆E = ke ∆q = ke λ∆x x2 x2 ทศิ ของสนามไฟฟ้าจะชไ้ี ปในทิศลบของแกน x ฉะน้ันสนามไฟฟ้าท้ังหมด คอื E = ∫dℓ+d ke λ dx x2 [− 1]ℓ+d = keλ ∫dℓ+d dx ke λ x2 xd = keQ d(ℓ+d) กฎของเกาส์ Gauss law 2.2.1 ฟลักซ์ไฟฟ้า แนวคิดของเส้นสนามไฟฟ้าได้อธิบายเชิงลักษณะแล้วในบทที่ 1 ในบทนี้ จะกล่าวแนวคิด ฟลักซ์ไฟฟ้า (electric flux) ในเชิงปริมาณ ฟลักซ์ไฟฟ้าหมายถึงจำนวนเส้นสนามไฟฟ้าที่พุ่ง ผ่าน ผิวใด ๆ เมื่อผิวที่ฟลักซ์ไฟฟ้าหุ้มครอบประจุสุทธิ จำนวนเส้นสนามไฟฟ้าที่พุ่งผ่านผิวนั้นจะเป็นสัด ส่วน โดยตรงกับประจุสุทธิที่อยู่ผิว จำนวนเส้นที่นับได้จะเป็นอิสระต่อรูปทรงของพื้นผิวที่หุ้มประจุ ข้อความนี้เป็น หัวใจของกฎของเกาส์ส ซึ่งเราจะกล่าวต่อไปในบทนี้ในขั้นแรกใหพ้ ิจารณาสนาม ไฟฟ้าสม่ำเสมอทั้งขนาดและ ทิศทาง เส้นสนามไฟฟ้าที่พุ่งทะลุผ่านพื้นที่สี่เหลี่ยม A และตั้งฉากกับพื้นที่เราทราบดีว่าจำนวนเส้นต่อหน่วย พื้นที่เป็นสัดส่วนกับขนาดของสนามไฟฟ้า ดังนั้นจำนวนเส้นที่ทะลุผ่านผิวจะเป็นสัดส่วนกับ EA ผลคูณนี้คือ ฟลักซไฟฟา้ Φ นั่นเอง คือ เส้นสนาม ของสนามไฟฟ้าสม่ำเสมอพุ่งทะลผุ า่ นพ้นื ท่ี A ในในแนวตั้งฉาก ฟัลกซ์ไฟฟ้า Φ เท่ากับ EA Φ = EA ในระบบหนว่ ย SI หนว่ ยของ * เป็น N.m2 /C ในกรณีที่ผิวที่พิจารณาอยู่ไม่ตั้งฉากกับสนามไฟฟ้าจำนวนเส้นหรือฟลักซ์ทะลุผ่านผิวจะ น้อยลงกว่านี้เขียนไว้ในสมการ (2.1) เรื่องนี้จะทำความเข้าใจได้โดยพิจารณา รูป 2.2 ซึ่งเส้นตั้งฉากกับผิวทำ

24 มุม θกับสนามไฟฟ้าในท่ีน้ีพบว่าจำนวนเส้นทะลุผา่ นพ้นื ทนี่ ี้จะเท่ากบั จำนวนเส้นที่ทะลุ ผา่ นพนื้ ท่ี * ซึ่งต้ังฉาก กับสนามไฟฟ้าดงั แสดงในรปู 2.2 เราพบวา่ A *= Acos* ดังนน้ั เราสรุปไดว้ ่า Φ= EAcosθ (1.31) จากผลที่ได้ดังกล่าว เราจะพบว่าฟลักซ์ผ่านผิวของพื้นที่จำกัดจะมากที่สุดเท่ากับ EA เมื่อผิว นั้นตั้งฉากกับสนามหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งได้ว่าเส้นตั้งฉากผิวขนานกับสนาม (θ = 0°) ค่าฟลักซ์จะเป็นศูนย์ ต่อเมื่อผิวของพื้นที่ขนานกับสนามไฟฟ้า (θ= 90°) เมื่อพิจารณาในกรณีทั่ว ๆ ไปว่าสนามไฟฟ้าอาจจะ แปรเปลีย่ นไปตามพนื้ ผิวท่ตี ำแหน่งตา่ ง ๆ พจิ ารณาในพื้นทเ่ี ลก็ ๆ ∆Ai มีสนามไฟฟา้ Ei Δθi สนาม ไฟฟ้า E* ทำมุม 6 กับเส้นตง้ั ฉากผิว ฉะ นน้ั ฟลกั ซ์ ΔΦ������ = Ei∆Ai cosθ ผลลพั ธท์ ไ่ี ดจ้ ะพบว่า ΔΦ������ = Ei∆Ai cosθ = Ei ∙ ∆Ai โดยการรวมทุก ๆ ส่วนของพื้นท่ีเล็ก ๆ Δθi เราจะได้ฟลกั ซ์ทั้งหมดที่พุง่ ผ่านผิวเปน็ สมการ (1.32) นี้เป็นการ อนิ ทเิ กรตตามผวิ โดยท่ัวไป Φ จะขน้ึ อยู่กบั ลกั ษณะของสนามและของผวิ Φ= lim 0 ∑ Ei ∙ ∆A = ∫ E ∙ dA (1.32) ∆Ai → surface เรามักจะสนใจการหาฟลักซท์ ีย่ ุ่งผ่านผิวปิด (closed surface) ซึ่งแสดงผิวปดิ หนึง่ จะพบว่า ∆Ai จะ ชี้ในทิศทางตา่ ง ๆ กันสำหรับผวิ ที่ต่างกันที่แต่ละจดุ เวกเตอร์ ∆Ai จะตั้ง ฉากและพุ่งออกจากผิวแต่ละจดุ ที่ผวิ ท่ีระบุไวเ้ ปน็ (1) และ (2) E จะพุง่ ออกและ θ< 90 และคา่ ฟลักซ์ มี เคร่อื งหมายเป็น บวกเพราะ cosθ มีคา่ เป็นบวกที่บริเวณระบุ เป็น (3) สนามไฟฟ้าพุ่งเข้าหาผิวปิดดัง นั้น θ> 90° ฟลักซ์ จะมีค่าเป็นลบ ทั้ง นี้ เนื่องจาก θ> 90°ฟลักซ์สุทธิพุ่งผ่านผิวจะเป็นสัดส่วนกับจำนวนเส้นที่พุ่งออกจากผิวถ้า ฟลกั ซพ์ ุ่งออกมมี ากกวา่ ฟลักซ์พงุ่ เขา้ ค่าฟลกั ซส์ ทุ ธจิ ะเป็นบวกแต่ ฟลักซพ์ ุ่งเข้ามีมากกว่าฟลักซ์พุ่งออก ค่าฟลกั ซส์ ุทธิจะเปน็ ลบ ฉะน้นั จะเขยี นได้ว่า Φc = ∮ E ∙ dA = ∮ EndA (1.33)

25 เมื่อ En เป็นองค์ประกอบย่อยของสนามที่ตั้งฉากกับผิว และอักษร c ที่ห้อยท้าย Φc หมายถึงการอินทิเกรต ครบผิวปดิ ตวั อยา่ ง 2.4 หาฟลักซ์พุ่งผ่านลูกบาศ์ศ ให้พิจารณาสนามไฟฟ้าสม่ำเสมอ E พุ่งผ่านในทิศ 1 ลูก บาก์ศแต่ละด้าน ยาว ℓ คำตอบ เราคำนวณฟลักซ์สทุ ธโิ ดยการรวมฟลกั ซท์ ี่พุ่งผ่านแต่ละผวิ ใหค้ รบทั้งหมด ในทีน่ ีเ้ ราจะพบว่ามีฟลักซ์ท่ี ผิวหน้า q หน้ามีค่าเป็นศูนย์ เนื่องจาก E ตั้งฉากกับ dA ได้แก่ผิวหนัง (3) (4) ในรูป 2.5 เนื่องจาก θ = 90° ดังนั้น E•4A - EAcos90° - 0 ฟลักซ์ที่พุ่งผ่านผิวที่ขนานกับระนาบ yx จะมีค่าเป็นศูนย์ด้วยเหตุผลเดียวกัน ทั้งน้ันฟลกั ซ์สุทธผิ ่านผิวของลูกบาก์ศคือ Φc = ∫ E ∙ dA + ∫ E ∙ dA 1 2 = ∫ E ∙ dA cos 180∘ + ∫ E ∙ dA cos o∘ 12 = EA + EA = Eℓ2 + Eℓ2 = 0 2.2.2 กฎของเกาส์ Gauss law รูปที่ 2.2 กฎของเกาส์ ในหัวข้อนี้เราจะกล่าวถึงความสัมพันธ์ระหว่างฟลักซ์ไฟฟ้าสุทธิผ่านผิวปิดซึ่งมีชื่อเรียกว่า ผิวเกาส์ สเซยี น (gaussian surface) กับประจุท้ังหมดอยู่ภายในผิวปิดน้ัน ความสมั พันธ์ดังกล่าวนี้มชี ื่อเรียกว่า กฎของ เกาส์ส ซึ่งมีความสำคัญมากต่อการหาสนาม ไฟฟ้าเริ่มแรกให้พิจารณาประจุบวก q มีตำแหน่งอยู่ที่จุด

26 ศนู ยก์ ลางของผิวทรงกลมรัศมี r จากกฎคูลอมบเ์ ราทราบว่าขนาดของสนามไฟฟ้าทุก ๆ จุดบนผิวทรงกลมมีค่า เท่ากับ E =keq/r2 นอกจากนี้ยังทราบว่าทิศสนามพุ่งออกจากจุดศูนย์กลางตั้งฉากกับผิวทรงกลมดังนั้นจึง กลา่ วไดว้ ่า E ตง้ั ฉากกบั ∆Ai ดงั น้ัน E• ∆Ai = En∆Ai E∆Ai และจากสมการเราสามารถหาฟลักซส์ ทุ ธิทีพ่ งุ่ ผา่ นผิวปดิ ทรงกลมไดด้ ังนี้ Φc = ∮ En dA = ∮ EdA = E ∮ dA โดยอาศัยสมบัติสมมาตร E มีค่าคงที่ตลอดบนผิวทรงกลมซึ่งเท่ากับ keq/r2 นอกจากนี้ผิวเกาส์เซยี น เท่ากับ 4πr2 ดงั นน้ั ∮ dA = A = 4πr2 ดังนั้น Φc = ������������������ (4πr2) ������2 เนอ่ื งจาก ke = 1 ดังนน้ั 4πε0 Φc = q (1.34) ε0 จะเห็นไดผ้ ลลพั ธ์ทีไ่ ด้ไม่ขนึ้ อยู่กับ r กล่าวไดว้ า่ ขนาดฟลักซ์ไฟฟา้ ข้ึนอยู่กบั ขนาดของประจุ q ในผวิ ปิดผลทเ่ี กิด เช่นนี้เพราะสนามไฟฟ้าขึ้นอยู่กับ 1/r2 ในตอนนี้จะพิจารณากรณีที่มีผิวปิดมากกว่าหนึ่ง ผิวหุ้มล้อมรอบประจุ q ซ่งึ มีผวิ ปิด ท้งั หมด 3 ผิว โดยผวิ ปิด S1 เปน็ ทรงกลม ส่วนผิวปิด S2และ S3 เป็นผวิ ปิดท่ีไมใ่ ช้ผิวทรงกลม ใหเ้ ราพจิ ารณาระบบประจุแสดงดังรปู 2.9 ผิวปิด Sมปี ระจุ q1 อยขู่ ้างใน ดังนนั้ ฟลักซ์ไฟฟ้า q1/ε0 ผิวปิด S' หุ้มประจุ q2 และ q3 ดังนั้นฟลักซ์ไฟฟ้าเท่ากับ (q1+q2)/ε0 และฟลักซ์ไฟฟ้า สำหรับผิวปิด s\" มีค่า เปน็ ศูนย์เพราะไมม่ ีประจอุ ยู่ภายใน ดงั น้ันเราจะเขยี นได้ว่า Φc = ∮ E ∙ dA = ������������������ (1.35) ������0 เมื่อ qin หมายถึงประจุสุทธิอยู่ภายในผิว และ E คือสนามไฟฟ้าที่จุดใด ๆ บนผิวปิด เราอาจจะกล่าว กฎของ เกาส์สไดด้ งั นี้ ฟลกั ซ์ไฟฟ้าสทุ ธิผ่านผวิ ปิดใด ๆ จะเท่ากบั ประจุสุทธทิ ่ีอยภู่ ายในผิวปดิ หารดว้ ย ������0 โดยหลักการแล้วเราสามารถใช้กฎของเกาส์ของสนามไฟฟ้าจากระบบประจุหรือการกระจายของประจุอย่าง สม่ำเสมอ แต่ในทางปฏิบัติเทคนิกทใ่ี ชแ้ ละมีประโยชน์มากเฉพาะกรณที ี่ปญั หามคี วามเปน็ สมมาตรสูง

27 2.2.3 การประยุกต์กฎของเกาส์ต่อฉนวนทมี่ ีประจุ กฎของเกาส์สมีประโยชนต์ ่อปัญหา ที่มีความเป็นสมมาตรสูง เช่นกรณีการกระจายประจุบนทรงกลม ทรงกระบอกยาวและชที (sheets) ที่เป็นแผน่ ในกรณขี ้างต้นเราสามารถเลือกผิวเกาสเ์ ซียนทง่ี ่ายและเหมาะสม ทำใหก้ ารอินทิเกรตไดง้ ่ายไมซ่ บั ซ้อน รูปที่ 2.3 ผิวเกาส์เซยี น ตวั อยา่ ง 2.5 เริ่มต้นจากกฎของเกาส์ ให้คำนวณสนามไฟฟ้าเนื่องจากประจุ q และแสดงว่าเราสามารถสตู รกฎของ คูลอมบ์ ไดจ้ ากกรณีน้ี คำตอบ ในกรณีนี้จะเลือกผิวเกาส์เซียนเป็นผิวทรงกลมรัศมี r มีประจุอยู่ที่จุดศูนย์กลางสนามไฟฟ้าเนื่องจาก ประจุบวกจะช้ีพ่งุ ออกในแนวรัศมโี ดยความมสี มมาตรสนามไฟฟ้านีจ้ ะต้องฉากกับผิว กล่าวคอื E ขนานกับ dA ทแี่ ตล่ ะจุด ดงั นนั้ E.dA = EdAและจากกฎของเกาส์จะเขยี นไดว้ ่า Φc = ∮ E ∙ dA = ∮ EdA = q/ε0 ทงั้ นเี้ พ่อื ท่ีของผิวทรงกลมเทา่ กับ 4������������2 ดังน้นั สนามไฟฟา้ คอื E = q = ke q 4πε0 r2 r2 เมื่อนำประจุ q* มาวางในบรเิ วณท่ีมสี นาม E นจี้ ะทำให้ไดข้ นาดของแรงไฟฟ้าซ่ึงเปน็ แรงคูลอมบ์ได้ F = q0E = ke qq0 r2 ดงั นนั้ การใชก้ ฎของเกาสช์ ่วยให้เราไดส้ ูตรของกฎคูลอมบ์

28 ตัวอย่าง 2.6 ฉนวนทรงกลมรศั มี a มีประจกุ ระจายอย่างสม่ำเสมอดว้ ยความหนาแนน่ p และมปี ระจุรวมทั้งหมด Q คำนวณขนาดสนามไฟฟ้าที่จุดอยู่นอกทรงกลม คำตอบ เนอ่ื งจากการกระจายประจุอย่างสมำ่ เสมอบนผิวทรงกลม เราจึงเลือกผวิ เกาส์เซียนเป็นทรงกลมรัศมี r ท่ีมากกว่า a เราจะหาสนามไฟฟา้ ไดด้ ังน้ี E = ke Q (r > a) r2 เราจะสังเกตได้ว่ากรณีน้ีได้ผลลพั ธ์เท่ากับการหาสนามไฟฟา้ จากประจุ Q รูป 2.4 ฉนวนทรงกลมมปี ระจุกระจายอยา่ งสมำ่ เสมอ (ข) ใหห้ าสนามไฟฟา้ ที่จดุ อยู่ภายในทรงกลม ตวั อย่าง 2.7 คำตอบ ในกรณีนี้เราเลือกผิวเกาส์เซียนผิวทรงกลม รัศมี r < a โดยมีจุดศูนย์กลางร่วมกัน เราจะพบว่าประจุ ในปริมาตรของทรงกลมรัศมี r มีค่าไม่เท่ากับ Q แต่มีค่าเท่ากับ p (4 πr3) ดังนั้นประยุกต์ใช้กฎของเกาส์ 3 จะได้วา่ ∮ EdA = ∮ dA = E(4πr2) = qin ε0 ฉะนน้ั E = qin = p(34πr3) = pr 4πε0 r2 4πε0r2 3ε0 แทนคา่ p = Q/4 πa3 ลงไปจะได้ E = keQ r (r <a) 3a จากผลที่ได้สามารถสังเกตพบว่า E → 0 ขนะที่ r → 0 ซึ่งอาจคาดการณ์ได้ว่าเกิดจากประจุ กระจายในทรงกลมอย่างมีสมมาตร ถา้ E แปรตาม 1/r2 ในทรงกลม E ∝ 1 สนามจะมคี ่าที่จุด r=0 r2